Chuyên đề phương trình - bất phương trình bậc cao và phân thức hữu tỉ - Giang Sơn

Tài liệu nhỏ được viết theo trình tự kiến thức tăng dần, không đề cập giải phương trình bậc hai, đi sâu giải phương trình bậc ba (dạng đặc biệt với nghiệm hữu tỷ và phân tích hằng đẳng[r]

_

_

x 

- -

C

CHHUUYYÊÊNN ĐĐỀỀ

P

PHHƯƯƠƠNNGGTTRRÌÌNNHHVVÀÀBBẤẤTTPPHHƯƯƠƠNNGGTTRRÌÌNNHH L

LÝÝTTHHUUYYẾẾTTPPHHƯƯƠƠNNGGTTRRÌÌNNHH––BBẤẤTTPPHHƯƯƠƠNNGGTTRRÌÌNNHH Đ

ĐẠẠIISSỐỐBBẬẬCCCCAAOO,,PPHHÂÂNNTTHHỨỨCCHHỮỮUUTTỶỶ((PPHHẦẦNN11))

1 5

E F

 QQUUÂÂNNĐĐOOÀÀNNBBỘỘBBIINNHH C

CHHỦỦ ĐĐẠẠOO:: NNHHẬẬPP MMƠƠNN DDẠẠNNGG TTOỐÁNN PPHHƯƯƠƠNNGG TTRRÌÌNNHH VVÀÀ B

BẤẤTT PPHHƯƯƠƠNNGG TTRRÌÌNNHH BBẬẬCC CCAAOO,, PPHHÂÂNN TTHHỨỨCC HHỮỮUU TTỶỶ



 DDẠẠNNGG TTOOÁÁNN TTRRÙÙNNGG PPHHƯƯƠƠNNGG VVÀÀ MMỞỞ RRỘỘNNGG..



 ĐĐAA TTHHỨỨCC BBẬẬCC BBAA NNGGHHIIỆỆMM HHỮỮUU TTỶỶ..



 ĐĐAA TTHHỨỨCC BBẬẬCC BBAA QQUUYY VVỀỀ HHẰẰNNGG ĐĐẲẲNNGG TTHHỨỨCC..



 ĐĐẶẶTT ẨẨNN PPHHỤỤ CCƠƠ BBẢẢNN..



 ĐĐẶẶTT HHAAII ẨẨNN PPHHỤỤ QQUUYY VVỀỀ ĐĐỒỒNNGG BBẬẬCC..



 BBÀÀII TTOOÁÁNN NNHHIIỀỀUU CCÁÁCCHH GGIIẢẢII..

C

CRREEAATTEEDDBBYYGGIIAANNGGSSƠƠNN((FFAACCEEBBOOOOKK));;XXYYZZ11443311998888@@GGMMAAIILL..CCOOMM((GGMMAAIILL)) T

_ 2 C

CHHUUYYÊÊNN ĐĐỀỀ PPHHƯƯƠƠNNGG TTRRÌÌNNHH VVÀÀ BBẤẤTT PPHHƯƯƠƠNNGG TTRRÌÌNNHH L

LÝÝTTHHUUYYẾẾTTPPHHƯƯƠƠNNGGTTRRÌÌNNHH––BBẤẤTTPPHHƯƯƠƠNNGGTTRRÌÌNNHHĐĐẠẠIISSỐỐBBẬẬCCCCAAOO,,PPHHÂÂNNTTHHỨỨCCHHỮỮUUTTỶỶ((PPHHẦẦNN11)) - Trong chương trình Tốn học phổ thơng nước ta, cụ thể chương trình Đại số, phương trình bất phương trình nội dung quan trọng, phổ biến nhiều dạng toán xuyên suốt cấp học, phận thường thấy kỳ thi kiểm tra chất lượng học kỳ, thi tuyển sinh lớp 10 THPT, thi học sinh giỏi mơn Tốn cấp kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng với hình thức phong phú, đa dạng Mặc dù đề tài quen thuộc, thống khơng mà giảm phần thú vị, nhiều toán tăng dần đến mức khó chí khó, với biến đổi đẹp kết hợp nhiều kiến thức, kỹ làm khó nhiều bạn học sinh THCS, THPT Chương trình Đại số lớp THCS giới thiệu, sâu khai thác tốn phương trình bậc hai, chương trình Đại số 10 THPT đưa tiếp cận tam thức bậc hai với định lý dấu nhị thức bậc nhất, dấu tam thức bậc hai ứng dụng Trong phương trình bất phương trình đại số nói chung, bắt gặp nhiều toán cps dạng đại số bậc cao, phân thức hữu tỷ, toán có mức độ khó dễ khác nhau, địi hỏi tư linh hoạt vẻ đẹp cũng riêng ! Từ lâu rồi, vấn đề quan trọng, xuất hầu khắp công đoạn cuối định trong nhiều tốn phương trình, hệ phương trình chứa căn, phương trình vi phân, dãy số, Vì tinh thần, vẫn đông đảo bạn học sinh, thầy cô giáo chun gia Tốn phổ thơng quan tâm sâu sắc Sự đa dạng hình thức lớp toán đặt yêu cầu cấp thiết làm để đơn giản hóa, thực tế phương pháp giải, kỹ năng, mẹo mực hình thành, vào hệ thống Về để làm việc với lớp phương trình, bất phương trình ưu tiên hạ giảm bậc toán gốc, cố gắng đưa dạng bậc hai, bậc hoặc dạng đặc thù (đã khái quát trước đó) Trong chuyên đề này, chuyên đề lớp phương trình, bất phương trình, hệ phương trình tác giả chủ yếu đề cập tới toán từ mức độ đơn giản tới phức tạp nhất, dành cho bạn học sinh bước đầu làm quen, nhiên đòi hỏi tư logic, tỉ mỉ xác Tài liệu nhỏ được viết theo trình tự kiến thức tăng dần, khơng đề cập giải phương trình bậc hai, sâu giải phương trình bậc ba (dạng đặc biệt với nghiệm hữu tỷ phân tích đẳng thức), dạng toán trùng phương (bậc 4) mở rộng với bậc chẵn, phép đặt ẩn phụ phép đặt hai ẩn phụ quy đồng bậc, phạm vi kiến thức phù hợp với bạn học sinh THCS (lớp 8, lớp 9) ôn thi vào lớp 10 THPT, bạn học sinh THPT thi học sinh giỏi Toán cấp luyện thi vào hệ đại học, cao đẳng, cao tài liệu tham khảo dành cho thầy cô giáo bạn yêu Toán khác

I

I..KKIIẾẾNNTTHHỨỨCC––KKỸỸNNĂĂNNGGCCHHUUẨẨNNBBỊỊ 1 Kỹ thuật nhân, chia đơn thức, đa thức

2 Nắm vững phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

3 Nắm vững phương pháp giải, biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai

I

III..MMỘỘTTSSỐỐBBÀÀIITTOOÁÁNNĐĐIIỂỂNNHHÌÌNNHHVVÀÀKKIINNHHNNGGHHIIỆỆMMTTHHAAOOTTÁÁCC B

Bààii ttoốánn 11. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x43x2 2 0 x

Lời giải

Đặt x2 t t0; phương trình cho tương đương với

  

2 1 0 1

3 2 0 2 2 0 1 2 0

2 0 2

t t

t t t t t t t

t t

  

 

             

  

 

 Với t 1 x2  1 x  1 x1hoặc x 1

 Với t2x2 2 x  2x 2hoặc x  2 Vậy phương trình cho có tập nghiệm S   2; 1;1; 2 

Nhận xét

Bài toán dạng toán phương trình trùng phương quen thuộc, sử dụng đặt ẩn phụ quy phương trình bậc 2 với ẩn số phụ, tính nghiệm sử dụng phương pháp nhóm hạng tử để đưa phương trình dạng tích hai phương trình bậc nhất, giải kết luận nghiệm trở nên dễ dàng

B

Bààii ttoốánn 22. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x45x2 6 0 x

Lời giải

Điều kiện x Đặt  

0

x t t ta 2    2

5 6 0 2 3 6 0 2 3 0

3

t

t t t t t t t

t

 

             

 

o Với  

2 2 2 2; 2

t x   x   x 

o Với  

3 3 3 3; 3

t x   x    x

Vậy phương trình cho có bốn nghiệm S  3; 2; 2; 3 B

Bààii ttoốánn 33. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 2x45x2 2 0 x

Lời giải

Điều kiệnx Đặt x2 t t0 ta thu    1

2 5 2 0 2 2 1 0 ; 2

2

t  t   t t    t  

 

 Với t2x2 2 x  2 x  2; 2

 1 1 1 1 1

;

2 2 2 2 2

t x   x   x   

 

Vậy phương trình cho có bốn nghiệm kể

B

Bààii ttooáánn 44. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh   5 4 0

x  x   x

Lời giải

Điều kiện x Đặt x2 t t0ta thu

  

2 1 4 0 2 2

1 2

5 4 0

1 4 1 2 1

2 1

0 0

1

x

t t x

t t

t x x

x

t t

x

  



  

  

      

          

   

   

    

    

_ 4 Vậy bất phương trình cho có nghiệm S    2; 1 1; 2

B

Bààii ttooáánn 55. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh x48x2 9 0 x

Lời giải

Đặt x2 t t0ta thu

  

  

2

2

1 9 0 3

8 9 0

9 9 3 3 0

3

0 0

t t x

t t

t x x x

x

t t

  

 

     

         

  

 

   

 

Vậy bất phương trình cho có nghiệm x 3 x 3

B

Bààii ttooáánn 66. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

2 1 0 2

x x

x x

 

 

 

Lời giải

Điều kiện x2

Bất phương trình cho tương đương với  

2 2 1

1 1 0

0 1

2 2

2

x

x x

x

x x

x

 

    

    



  

  

Vậy bất phương trình có nghiệm

B

Bààii ttooáánn 77. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

4

2 7 4

0 1

x x

x x x

 

 

  

Lời giải

Điều kiện x

Phương trình cho tương đương đương với

    

4 2 2

2x 7x  4 02x x 8x  4 0 2x 1 x 4 0 x 4  x 2; 2 Vậy bất phương trình cho có hai nghiệm

B

Bààii ttooáánn 88. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

2

15 16 0 5 4

x x

x x x

 

 

  

Lời giải

Điều kiện

5 4 0 1; 4

x  x  x x

Phương trình cho tương đương với x415x2160x21x2160x2 16  x  4; 4 Đối chiếu điều kiện ta thu nghiệm x 4

B

Bààii ttoốánn 99. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

4

6 5 0 1

x x

x x x

 

 

  

Lời giải

Điều kiện x4x2 1 0 Phương trình cho trở thành

    

2

4 2 2

2

1 1

6 5 0 5 5 0 1 5 0 1;1; 5; 5

5 5

x x

x x x x x x x x

x x

 

 

                 

  

 

B

Bààii ttooáánn 1100. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

5

3 2

0 2 3

x x

x x x

 

 

  

Lời giải

Điều kiện x52x 3 0

Phương trình cho tương đương với

    

4 2 2

3x x  2 03x 2x 3x  2 0 3x 2 x 1 0x    1 x 1;1 Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm x 1;x1

B

Bààii ttooáánn 1111. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

7

4 7 2

0

2 3 1

x x

x x x

 

 

  

Lời giải

Điều kiện 2x73x2 1 0 Phương trình cho tương đương với

  

4 2 2 1 1 1

4 7 2 0 4 8 2 0 2 4 1 0 ;

4 2 2

x  x    x x  x    x  x   x    x  

 

Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm 1 1; 2 2

S   

 

B

Bààii ttooáánn 1122. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

4 6 7

0 3 7

x x

x x x

 

 

  

Lời giải

Điều kiện x

Ta có x43x2 7 0, x nên bất phương trình cho tương đương với

  

4 2 2 1

6 7 0 1 7 0 1

1

x

x x x x x

x

 

          

  

Vậy bất phương trình cho có nghiệm x 1 x 1

B

Bààii ttooáánn 1133. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

6 5 6

0

3 9

x x

x x x

 

 

  

Lời giải

Điều kiện x Nhận xét

3x x  9 0, x  Bất phương trình cho tương đương với

  

4 2 2 1

5 6 0 6 1 0 1

1

x

x x x x x

x

 

          

  

Vậy bất phương trình cho có nghiệm x 1 x 1

B

Bààii ttoốánn 1144. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

2 3 2

0 3 1

x x

x x

 

 

 

Lời giải

Điều kiện x

Bất phương trình cho tương đương với

  

4 2 2 1 1 2 1

3 2 0 1 2 0 1 2

2 2 1 2

x x x

x x x x x

x x

    

    

            

     

 

Vậy bất phương trình cho có nghiệm S  2; 1 1; 2

_ 6 B

Bààii ttoốánn 1155. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

4

4 8 3

0 1

x x

x x x

 

 

  

Lời giải

Điều kiện x Nhận xét

   2  2

4 1 1 2 1

1 4 4 4 4 4 1 4 4 1 2 2 1 2 1 2 0,

4 4 4

x   x x  x   x  x   x  x    x   x    x

 

  

Bất phương trình cho trở thành   

3 1

1 3 2 2

4 8 3 0 2 3 2 1 0

2 2 1 3

2 2

x

x x x x x

x



   

 

          



 

 

Kết luận nghiệm 3; 1 1; 3

2 2 2 2

S     

   

B

Bààii ttooáánn 1166. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

2

2 9 7

0

2 9

x x

x x x

 

 

  

Lời giải

Điều kiện x Nhận xét

2x   x 9 0, x  Bất phương trình cho tương đương với

  

4 2 2

7

1

7 2

2 9 7 0 1 2 7 0 1

2 7

1

2

x

x x x x x

x



   

 

          



 

 

Vậy bất phương trình cho có nghiệm 7; 1 1; 7

2 2

S    

   

B

Bààii ttooáánn 1177. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

4 10 9

0 10

x x

x x x

 

 

  

Lời giải

Nhận xét

10 0,

x x    x  nên bất phương trình cho tương đương với

  

2

4 2 2

2

1

1 1 3

10 9 0 1 9 0 1 9 1

3 1

9

3 3

x

x x

x x x x x x

x x

x

 

    

 

              

    

 

   



B

Bààii ttậậpp ttưươơnngg ttựự. G

Giiảảii ccáácc pphhưươơnngg ttrrììnnhh vvàà bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh ssaauu ttrrêênn ttậậpp hhợợpp ssốố tthhựựcc 1

6 5 0

x  x  

2  2 1 4 25

x   x  3  2

1 3 11

x   x x  4  2

2x 1 4x 13 5 2 2

3 1 3 13

x  x  x 

6 2 5 4 0 4 2 x x x x      7 2

2 5 2

0 3 5 6

x x x x      8 4 5 4 0 6 x x x x     9 3 4 0 3 4 1

x x x x      10

4 9 5

0 2 3 1

x x x x      11 5 6 0 2 3 x x x x      12 8 9 0 3 4 x x x x      13 2

4 9 5

0 9 x x x x      14 4 2 3 0 4 x x x x      15 4 2 7 0 4 5 x x x x      16 2 4 5 0 2 10 x x x x      17 4 20 0 12 15 x x x x      18 4

4 3 7

0 6 x x x x      19 7 8 0 5 x x x x      20 4 5 6 0 2 1 x x x x x

_ 8 B

Bààii ttooáánn 1188. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x612x311 0 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

      

3

6 3 3 3

3

1 1

11 11 0 11 11 0 11 1 0

11 11

x x

x x x x x x x x

x x



  

              



 



Vậy tập nghiệm phương trình cho   1; 11

S  B

Bààii ttooáánn 1199. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 2x6x3 3 0 x

Lời giải

Điều kiện x Đặt x3 t, phương trình cho trở thành

  

3

3 3

1

1 1

2 3 0 1 2 3 0 3 3 3

2 2 2

x

t x

t t t t

t x x

 

  



 



         

 

      

 

  

Vậy phương trình cho có hai nghiệm B

Bààii ttooáánn 2200. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh   8x 217x 270 x

Lời giải

Điều kiện x

Đặt x3 tta thu   

3

3

1 1

8 1

8 217 27 0 8 1 27 0 8 2

27

3 27

x

t x

t t t t

t

x x

 



 

  

         

 



  

 



Vậy phương trình cho có tập nghiệm 1;3 2

S    

B

Bààii ttooáánn 2211. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

4 3 2

0 1

x x

x x x

 

 

  

Lời giải

Điều kiện x

Nhận xét 1  2

1 2 1 3 0,

4

x x    x     x

 

  

Bất phương trình cho tương đương với    3

3 2 0 1 2 0 1 2 1 2

x  x    x  x    x   x

Kết luận tập hợp nghiệm 1; 2

S   

B

Bààii ttooáánn 2222. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

4

2 5 2

0 8 9

x x

x x x

 

 

  

Lời giải

Điều kiện x

Nhận xét x48x 9 x4 2x2 1 2x24x4  x2122x22 0, x 

Bất phương trình cho trở thành    3

1 1

2 5 2 0 2 2 1 0 2 2

2 2

x  x    x  x    x   x Kết luận nghiệm

3 1

; 2 2

S   

 

B

Bààii ttooáánn 2233. Giải bất phương trình  

4 7 6

0 2 3

x x

x x x

 

 

  

Lời giải

Điều kiện x

Nhận xét  2

2 3 1 2 0,

x  x   x     x  Bất phương trình cho trở thành

  

3 3

6 3

3

6 6

7 6 0 1 6 0

1 1

x x

x x x x

x x

   

        



 



Vậy bất phương trình cho có nghiệm

6 1

x  x B

Bààii ttooáánn 2244. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x8x4 2 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

  

4

8 4 4

4

1 1

2 2 1 2 0 1

1 2

x x

x x x x x x

x x

   

          

 

  



Vậy phương trình cho có hai nghiệm B

Bààii ttooáánn 2255. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 2x8x4 3 x

Lời giải

Điều kiện x

Đặt x4 t t0, ta thu     

4 1 2 3 0

2 3

1 1 1;1

0 0

t t

t t

t x x

t t

  



   

       

 

  

 

Vậy phương trình cho có hai nghiệm

B

Bààii ttooáánn 2266. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh x84x4 5 0 x

Lời giải

Điều kiện x Bất phương trình cho tương đương với

  

8 4 4 1

5 5 0 5 1 0 1

1

x

x x x x x x

x

 

           

  

Vậy bất phương trình cho có nghiệm x 1 x 1 B

Bààii ttooáánn 2277. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh   17 16 0

x  x   x

Lời giải

Điều kiện x Bất phương trình cho tương đương với

  

8 4 4 1 2

16 16 0 1 16 0 1 16

2 1

x

x x x x x x

x

 



            

    

Kết luận tập hợp nghiệm S   2; 1  1; 2

B

Bààii ttooáánn 2288. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

8

2 3 5

0 5 1

x x

x x

 

 

 

Lời giải

Điều kiện x

_ 10

  

8 4 4 1

2 3 5 0 1 2 5 0 1

1

x

x x x x x

x

 

          

  

Vậy bất phương trình cho có nghiệm S    ; 1 1;

B

Bààii ttooáánn 2299. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

8

7 8

0 1

x x

x x x

 

 

  

Lời giải

Điều kiện x

Nhận xét    

2

4

8 4

8 4 4 1 4 4 1 2 2 1 2 1 2

1 0,

4 4

x x

x x x x

x x                x  Bất phương trình trở thành 7x8x4  8 0 x41 7 x480x4    1 1 x1 Vậy bất phương trình cho có nghiệm S  1;1

B

Bààii ttooáánn 3300. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

8

3 5 8

0 2 2

x x

x x x

 

 

  

Lời giải

Điều kiện x

Nhận xét x82x4 2 x412 1 0, x 

Bất phương trình cho tương đương với 3x85x4 8 0x41 3 x480x4    1 1 x1 Vậy bất phương trình cho có nghiệm S  1;1

B

Bààii ttooáánn 3311. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x104x511520 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

  

5

10 5 5

5

2 32

32 36 1152 0 32 36 0

36 36

x x

x x x x x

x x



  

         

 

  



Vậy phương trình cho có hai nghiệm B

Bààii ttoốánn 3322. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 10   2x 3x  5 0 x

Lời giải

Điều kiện x

Đặt x5 tta thu   

5

5 5

1

1 1

2 3 5 0 1 2 5 0 5 5 5

2 2 2

x

t x

t t t t

t x x

 

  



 



         

 

      

 

  

Vậy phương trình cho có hai nghiệm

B

Bààii ttoốánn 3333. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh   10

5

2 5 7

0 4 1

x x

x x x

 

 

  

Lời giải

Điều kiện x54x2 1 0

  

5

10 5

5 5

1 1

2 5 7 0 1 2 7 0 7 7

2 2

x x

x x x x

x x

 

 

 

        



    

 

 

Đối chiếu điều kiện, kết luận phương trình cho có hai nghiệm

B

Bààii ttooáánn 3344. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh   10

4 5 6

0 2

x x

x x x

 

 

 

Lời giải

Điều kiện x0 Bất phương trình cho tương đương với

  

10 5 5

5 6 0 1 6 0 6 1 6 1

x  x    x  x     x    x

Vậy bất phương trình cho có nghiệm

6 1

0

x x

  

 

  

B

Bààii ttooáánn 3355. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x126x6 7 0 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

  

6

12 6 6

6

1 1

7 7 0 1 7 0 1

1 7

x x

x x x x x x

x x

    

            



  



Vậy phương trình cho có hai nghiệm x 1;x1 B

Bààii ttooáánn 3366. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x149x7 100 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

  

7 7

14 7 7

7

10 10

10 10 0 10 1 0

1 1

x x

x x x x x

x x

     

         



 



Vậy phương trình cho có hai nghiệm   10;1

S  B

Bààii ttoốánn 3377. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh 5x166x8 11 x

Lời giải

Điều kiện x Bất phương trình cho tương đương với

    

16 8 8

5x 5x 11x 11 0  x 1 5x 11 0x    1 x 1;1 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S   1;1

B

Bààii ttooáánn 3388. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh   12

12 6 7

0 5 9

x x

x x x

 

 

  

Lời giải

Điều kiện x

Nhận xét x125x6 9 0, x  Bất phương trình cho tương đương với

  

12 6 6 1

6 7 0 1 7 0 1

1

x

x x x x x

x

 

          

  

_ 12 B

Bààii ttooáánn 3399. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh   14

10 3 4

0 6

x x

x x x

 

 

  

Lời giải

Điều kiện x

Nhận xét  

2

10 2 1 23

6 0,

4

x

x x       x  Bất phương trình cho tương đương với

  

14 7 7

3 4 0 1 4 0 4 1 4 1

x  x    x  x     x    x

Vậy bất phương trình cho có nghiệm S  4;1

B

Bààii ttooáánn 4400. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh   16

4

2 1 0 16

x x

x x

 

 

 

Lời giải

Điều kiện x 2

Bất phương trình cho tương đương với  

8

4

1

1 1 0

0 2

16 16 0

2

x

x x

x

x x

x

 

    

   



   

   

Vậy bất phương trình cho có nghiệm x 1 x 2 x 2

Nhận xét

Các toán từ 17 đến 40 dạng tốn bản, hình thức có dạng đặc trưng "trùng phương" f x ax2nbxnc, bậc đa thức tăng dần, bước đầu có xuất phân thức, định hướng bạn đọc tới lập luận đánh giá mẫu thức Cách giải đơn nhóm nhân tử đưa phương trình – bất phương trình tích – thương đặt ẩn phụ n

x t (kèm theo điều kiện t0, n 2 ,k k) đưa phương trình – bất phương trình bậc hai, nhẩm

nghiệm đưa nhân tử tự nhiên Các bạn lưu ý số kiến thức bất phương trình

2 2 2

0

0 0 ; ;

0

n n

A

A k

A B XYZ B A k A k k A k

A k XYZ

 

  

         

  



 

B

Bààii ttậậpp ttưươơnngg ttựự. G

Giiảảii ccáácc pphhưươơnngg ttrrììnnhh vvàà bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh ssaauu ttrrêênn ttậậpp hhợợpp ssốố tthhựựcc 1

7 8 0

x  x  

2 3  3x x 2x 1 4 3  2

4x  x 1 8 4

6 7

x  x 

5  2 1 5

x  x   6

5x 4x 9 7

6 3 7 10

0 7

x x x x

 



 

8

6

2 7 9

0 7

x x x x

 



 

9

6

5 6

0

3 4 2

x x x x

 



 

10

6

3 7 10 0

x x x x

 





11

8

5 6 0 4

x x x x

 



 

12

8 4

2 5 7

0 5

x x x x

 



 

13

8

3 4 7

0 5

x x x x

 





14 x87x4  8 0 15

8

5 6

0 10

x x x x

 



 

16

10

2 0 1

x x x x

 



 

17

10 10

3 2 5

0 2 7

x x x x

 



 

18

12

4 3 0

4 3

x x x x

 



 

19

10

6 5 0 2

x x x x

 



 

20 10

2x 7x  5 0 21 12

2x 13x 11 0 22 14

8 9 0

x  x  

23 16

7 8 0

x  x  

24

16

10 11 0 1

x x x

 





25

14

9 8 0 2 4 9

x x x x

 



_ 14 B

Bààii ttoốánn 4411. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x36x23x20 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

        

3 2 2

2

5 5 2 2 0 1 5 1 2 1 0 5 2 1 0

1 0 5 33 5 33

1; ;

2 2

5 2 0

x x x x x x x x x x x x x

x

x x x

x x

                 

 

  

    

  



Vậy phương trình ban đầu có ba nghiệm B

Bààii ttooáánn 4422. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x3x2  x 3 0 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

     

    

3 2

2

2 2 3 3 0 1 2 1 3 1 0

1 2

2 3 1 0 1

1

x x x x x x x x x x

x

x x x x

x

            

   

       

 

Vậy phương trình cho có nghiệm x1 B

Bààii ttooáánn 4433. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 2x3x23x 6 0 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

     

    

3 2

2

2 2 3 3 6 6 0 2 1 3 1 6 1 0

2 3 6 0

2 3 6 1 0

1

x x x x x x x x x x

x x x x x

x

            

    

      

 

Phương trình [*] vơ nghiệm  0 Vậy phương trình ban đầu có nghiệm x1

Nhận xét

Các toán từ 41 đến 43 phương trình bậc ba với hệ số nguyên, giải cách đưa phương trình tích Điểm nhấn cách làm tìm nghiệm nguyên hữu tỷ phương trình ban đầu Vấn đề đặt làm cách để tìm nghiệm hữu tỷ thao tác đưa dạng tích thực ?

Phương trình bậc ba (hệ số nguyên) dạng tổng quát:  

0 0

ax bx cxd  a

 Nếu phương trình có nghiệm nguyên x 0 x d , tức 0 x ước số hạng tự d 0  Nếu phương trình có nghiệm hữu tỷ x0 p

q

 với p q, 1, tức p va q nguyên tố nhau, p ước số dạng tự d, q ước hệ số bậc cao a: p d q a ,

Dựa sở hai hệ trên, bạn nhẩm nghiệm phạm vi cho phép Bất nhẩm nghiệm từ số tăng giảm dần hai phía trục số hữu tỷ

B

Bààii ttooáánn 4444. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x34x 5 0 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

     

    

3 2

2

5 5 0 1 1 5 1 0

5 0

5 1 0

1

x x x x x x x x x x

x x x x x

x

            

    

      

 

Phương trình [*] vơ nghiệm  0 Kết luận nghiệm S  1 B

Bààii ttooáánn 4455. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 3x37x2 100 x

Lời giải

Điều kiện x

Phương trình cho tương đương với

     

    

3 2

2

3 3 10 10 10 10 0 3 1 10 1 10 1 0

3 10 10 0 3 10 10 1 0

1

x x x x x x x x x x

x x

x x x

x

            

    

      

 

Phương trình (*) vơ nghiệm  0 Kết luận nghiệm S  1 B

Bààii ttooáánn 4466. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 4x35x 9 0 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

     

    

3 2

2

4 4 4 4 9 9 0 4 1 4 1 9 1 0

2 1 8

4 4 9 1 0 1

1

x x x x x x x x x x

x

x x x x

x

            

   

       

 

Vậy phương trình cho có nghiệm S  1 B

Bààii ttooáánn 4477. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 2x34x25x11 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

     

    

3 2

2

2 2 6 6 11 11 0 2 1 6 1 11 1 0

2 6 11 0

2 6 11 1 0

1

x x x x x x x x x x

x x

x x x

x

            

    

      

 

Phương trình [*] vơ nghiệm  0 Kết luận nghiệm S  1 B

Bààii ttoốánn 4488. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x33x23x 7 0 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

 3

3

3 3 1 8 1 8 1 2 1

x  x  x   x   x  x

Vậy phương trình cho có nghiệm x1 B

_ 16

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

     

    

3 2

2

6 6 0 1 1 6 1 0

6 0

6 1 0

1

x x x x x x x x x x

x x x x x

x

            

    

      

  

Phương trình (*) vơ nghiệm  0 Vậy kết luận nghiệm S   1 B

Bààii ttoốánn 5500. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh   3 6 4 0

x  x  x  x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

     

  

 

3 2

2

2

2 2 4 4 0 1 2 1 4 1 0

1

1 2 4 0 1

1 3

x x x x x x x x x x

x

x x x x

x

            

  

        

  



Vậy phương trình cho có nghiệm B

Bààii ttooáánn 5511. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 2x34x27x 5 0 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

     

  

 

3 2

2

2 2

2 2 2 2 5 5 0 2 1 2 1 5 1 0

1

1 2 2 5 0 1

1 4

x x x x x x x x x x

x

x x x x

x x

            

  

        

   



Vậy phương trình cho có nghiệm S   1 B

Bààii ttoốánn 5522. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh   3x x 8x100 x

Lời giải

Điều kiện x

Phương trình cho tương đương với

     

  

 

2 2

2

2

3 3 2 2 10 10 0 3 1 2 1 10 1 0

1

1 3 2 10 0 1

2 1 9

x x x x x x x x x x

x

x x x x

x x

            

  

        

   



Vậy phương trình cho có nghiệm S   1 B

Bààii ttooáánn 5533. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 4x33x2   x 2 0 x

Lời giải

Điều kiện x

Phương trình cho tương đương với

     

     

 

3 2

2

2

4 4 2 2 0 4 1 1 2 1 0

2

1 4 2 0 1 8 2 4 0 1

7 1 3

x x x x x x x x x x

x

x x x x x x x

x x

            

  

             

   



Nhận xét

Quan sát toán từ 41 đến 53, bạn thấy phương trình bậc ba với hệ

số nguyên, nghiệm phương trình 1 Mấu chốt đốn biết nghiệm phương trình áp dụng kỹ thuật phân tích đa thức thành nhân tử

Lưu ý phương trình đa thức bậc cao có nghiệm 1 (Kết dựa định lý Bezu)  Nếu tổng hệ số đa thức phương trình có nghiệm

 Nếu tổng hệ số bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ phương trình có nghiệm 1

Về kỹ thuật phân tích đa thức thành nhân tử, bạn thực theo phương án sau (xin lấy ví dụ cụ thể toán 53)

Trước hết đốn biết phương trình có nghiệm x 1nên kết phân tích chứa nhân tử x1,

   

3

4x 3x  x 20 x1 f x 0

 Thực phép chia đa thức: Ta có      

4 3 2 : 1 4 2

f x  x  x  x x  x  x

Thao tác hoàn tồn bản, đơn giản (phạm vi chương trình Đại số lớp THCS)  Sử dụng nhóm nhân tử

        

3 2

2

4 3 2 4 4 2 2

4 1 1 2 1 1 4 2

x x x x x x x x

x x x x x x x x

        

         

Thao tác tự nhiên, để xuất nhân tử x1chắc chắn hạng tử

4x , để xuất

3x bắt buộc phải bớt

x , tiếp tục để thu nhân tử x1bắt buộc phải bớt x tất yếu thêm hạng tử 2x, kết hợp với số hạng tự thu nhân tử đẹp Sự kiện đốn biết nghiệm x 1đảm bảo tính chính xác phương án

 Sử dụng lược đồ Horne phân tích nhân tử

Trước hết xin giới thiệu lược đồ Hocrne, phương pháp hữu hiệu tìm đa thức thương đa thức dư phép chia đa thức (kể trường hợp không xảy trường hợp trường hợp chia hết)

Xét đa thức bậc n:   1 2

n n n

n n

P x a x a x  a x   a  xa Giả sử thực phép chia cho x, đa thức thương thu   1 2

n n n

n

Q x b x  b x  b x   b Các hệ số b b b0, ,1 2, ,bn1và số dư r xác định

thông qua lược đồ

0

a a 1 a 2 an1 a n



0

b a b1 b0a1 b2 b1 a2 bn1 bn2an1 rbn1an Lưu ý:

 Các hệ số a a0, , ,1 a liệt kê theo thứ tự giảm dần bậc x n  Nếu phép chia hết số dư r0

Thực hành với đa thức 4x33x2 x 2của

4 3 1 2

1

 4 1 2 0

Suy  

4 2

f x  x  x hay ta có phân tích   

1 4 2

x x  x

Để đảm bảo tính tự nhiên nhân ngược trả lại       

4 2 4 2 0 1 4 2 0

x x  x  x  x   x x  x 

_ 18 B

Bààii ttooáánn 5544. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x39x2 26x240 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

      

       

2 2

2

7 12 2 7 12 0 2 7 12 0

2 3 4 12 0 2 3 4 0 2;3; 4

x x x x x x x x

x x x x x x x x

          

 

             

Vậy phương trình cho có ba nghiệm B

Bààii ttoốánn 5555. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x3x2  x 2 0 x

Lời giải

Điều kiện x

Phương trình cho tương đương với

   

     

 

3 2 2

2

2

2 2 2 0 1 2 1 0

2

2 1 0 2 4 4 4 0 2

2 1 3

x x x x x x x x x x

x

x x x x x x x

x

            

 

            

  



Vậy phương trình cho có nghiệm x2

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

   

  

 

3 2

2

2

2 2 2 0 2 2 2 0

2

2 1 0

1 0

x x x x x x x x x x

x x x x

x x

            

 

      

   



Phương trình (*) vơ nghiệm  0 Vậy phương trình cho có nghiệm x2

Nhận xét

Hai toán trên, 54 55 khơng có nghiệm 1 nữa, điều bắt buộc phải đoán biết cách nhẩm sử dụng máy tính Riêng tốn 55, bạn nhận thấy phương trình có nghiệm x2, áp dụng phân tích nhân tử tìm nhân tử cịn lại x2 x 1, viết trực tiếp dạng

  

2 1 0

x x  x 

Tuy nhiên để lời giải trở nên "tự nhiên, túy" nên nhóm nhân tử hai cách

   

      

2

2

1 2 1 0

2 1 0

2 2 2 0

x x x x x

x x x x x x x x



     

     



      

Tại vế sau lời giải, cách trình bày có khác biệt

Lời giải 1:

     

 

2

2 2

2 1 0 2 4 4 4 0 2

2 1 3

x

x x x x x x x

x

 

           

  



Thực

2

2 1 3

1 0

2 4

x   x x   

 

, phương trình vô nghiệm Việc nhân với để tránh dùng phân số Ngồi bạn nhân với đưa x2x12  1 (Vô nghiệm)

Lời giải

Lời giải sử dụng biến đổi đẳng thức thơng thường, khơng sử dụng kiến thức phương trình bậc hai

(chương trình Đại số học kỳ II lớp THCS), bạn học sinh đầu lớp lớp làm được, lời giải sử

dụng biệt thức  0, rõ ràng phù hợp với bạn qua học kỳ II lớp trở lên

B

Bààii ttoốánn 5566. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 2x33x23x100 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

   

     

 

3 2 2

2

2 2

2 5 4 2 10 0 2 5 2 2 5 0

2

2 2 5 0 2 4 2 10 2

1 3 9

x x x x x x x x x x

x

x x x x x x x

x x

            

 

           

   



Vậy phương trình cho có nghiệm x2 B

Bààii ttoốánn 5577. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x32x2 x 180 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

     

  

 

3 2

2

2

2 4 8 9 18 0 2 4 2 9 2 0

2

2 4 9 0 2

2 5

x x x x x x x x x x

x

x x x x

x

            

 

       

  



Kết luận nghiệm S  2 B

Bààii ttoốánn 5588. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x3x214x240 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

   

        

3 2 2

2

5 6 4 20 24 0 5 6 4 5 6 0

4 5 6 0 4 2 3 0 4; 2;3

x x x x x x x x x x

x x x x x x x

            

            

Vậy phương trình cho có ba nghiệm B

Bààii ttooáánn 5599. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x312x247x600 x

Lời giải

Điều kiện x

Phương trình cho tương đương với

     

        

3 2

2

5 7 35 12 60 0 5 7 5 12 5 0

5 7 12 0 5 3 4 0 3; 4;5

x x x x x x x x x x

x x x x x x x

            

           

Vậy phương trình cho có ba nghiệm x3;x4;x5 B

Bààii ttooáánn 6600. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x34x25x 2 0 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

      2

3 2 2 2

2 2 4 2 0 2 1 2 2 1 0 2 1 0

1

x

x x x x x x x x x x x x

x

 

                  

 

_ 20 B

Bààii ttooáánn 6611. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x37x216x120 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

   

  

3 2 2

2

4 4 3 12 12 0 4 4 3 4 4 0

3

3 2 0

4

x x x x x x x x x x

x x x

x

            

 

     

 

Vậy phương trình cho có nghiệm hai nghiệm x3;x4 B

Bààii ttooáánn 6622. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 4x38x25x 1 0 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

   2  2   2

3 2

1

4 4 4 4 1 0 2 1 2 1 0 1 2 1 0 1

2

x

x x x x x x x x x x

x   

               

  

Vậy phương trình cho có hai nghiệm 1; 1 2

x x

B

Bààii ttooáánn 6633. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x38x221x180 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

   

  

3 2 2

2

6 9 2 12 18 0 6 9 2 6 9 0

2

2 3 0

3

x x x x x x x x x x

x x x

x

            

 

     

 

Kết luận tập nghiệm S2;3 B

Bààii ttooáánn 6644. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh   3 3 1 0

x  x  x  x

Lời giải

Điều kiện x

Phương trình cho tương đương với x130x1 Phương trình có nghiệm

B

Bààii ttooáánn 6655. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x33x23x 7 0 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

     

  

 

3 2

2

2

4 4 7 7 0 1 4 1 7 1 0

1

1 4 7 0 1

2 3

x x x x x x x x x x

x

x x x x

x

            

 

       

  



Vậy phương trình cho có nghiệm x1

Lời giải

Điều kiện x

Phương trình cho tương đương với  3

3 3 1 8 1 8 1 2 1

x  x  x   x  x   x

Nhận xét

Các toán từ 60 đến 64 bước đầu xuất nghiệm bội (hai nghiệm trùng nhau), kết sử dụng máy tính cho hai nghiệm, nhiên khơng hiển thị xác nghiệm nghiệm bội Trong trường hợp có thể dùng phép phân tích phân tích nhân tử thơng thường (chia đa thức, nhóm nhân tử, lược đồ Horne ) Tuy nhiên để giảm bớt cơng đoạn tính tốn bạn dự đốn xác nghiệm bội, từ việc nhóm nhân tử diễn dễ dàng Để cụ thể hóa, xin lấy hai ví dụ điển hình tốn 62 63

 Bài toán 62 Giải phương trình 4x38x25x 1 0 x

Kết nghiệm x1 1;x2 0, 5 Lưu ý phương trình bậc ba nên khơng thể có x1 2 x10

(phương trình bậc hai) Các phép phân tích xảy      

    

2

2

1 2 1 0 1 1 2 1 0 2

x x

x x

   



   



Để ý trường hợp [1], hệ số bậc cao sau khai triển 1.1 1 4 (Loại); trường hợp [2] dễ thấy thỏa mãn Trong hai trường hợp, số hạng tự 1

 Bài toán 63 Giải phương trình x38x221x180 x

Kết nghiệm x1 2;x2 3 Loại trừ trường hợp x2x30 (phương trình bậc hai) Các phép phân tích xảy gồm      

     

2

2

2 3 0 3

3 2 0 4

x x

x x

   



   



Dễ thấy phương án [3], số hạng tự 4.3 12  18, tất yếu phương án [4] phù hợp, từ dẫn đến lời giải xác

B

Bààii ttoốánn 6666. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh x34x23x0 x

Lời giải

Điều kiện x

Bất phương trình cho tương đương với

     1 3

4 3 0 1 3 0

0

x

x x x x x x

x

 



        

 

Vậy bất phương trình cho có nghiệm S  ; 0   1;3 B

Bààii ttooáánn 6677. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh   6 11 6 0

x  x  x  x

Lời giải

Điều kiện x

Bất phương trình cho tương đương với

     

      

3 2

2

2 4 8 3 6 0 2 4 2 3 2 0

3

2 4 3 0 1 2 3 0

1 2

x x x x x x x x x x

x

x x x x x x

x

            

 

           

 



Kết luận tập nghiệm S1; 2  3;

B

Bààii ttoốánn 6688. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh x2 2x 3 6 0 x  x

    

Lời giải

Điều kiện x0

_ 22

        

 

3 2

2

2 3 6 3 3 6 6

0 0

1 3 6

1 3 1 6 1

0 0

x x x x x x x x

x x

x x x

x x x x x

x x

       

  

  

    

    

Ta có 3 6 12 6 12 1  32 3 0,

2 2

x  x  x  x  x  x    x

  nên  

1

0 0 1

x

x x



     

Kết luận tập nghiệm S0;1

B

Bààii ttooáánn 6699. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh 2x 1 32 0 x  x

   

Lời giải

Điều kiện x0 Bất phương trình cho tương đương với

        

3 2 2

2x x  3 02x 2x 3x  3 02x x1 3 x 1 0 x1 2x 3x3 0  Ta có

2

2 3 15

2 3 3 2 0,

4 8

x  x  x     x

   nên    x 1 0x1

Kết luận bất phương trình cho có nghiệm x1 B

Bààii ttooáánn 7700. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh x37x2 15x9 x

Lời giải

Điều kiện x Bất phương trình cho tương đương với

   

  

3 2 2

2

6 9 6 9 0 6 9 6 9 0

3 0 3

1 3 0

1 0 1

x x x x x x x x x x

x x

x x

x x

            

  

 

     

  

 

Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm S   ;1 1 B

Bààii ttooáánn 7711. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh   7 11 5 0

x  x  x  x

Lời giải

Điều kiện x

Bất phương trình cho tương đương với

   

  

3 2 2

2

2 5 10 5 0 2 1 5 2 1 0

1 0 1

5 1 0

5 0 5

x x x x x x x x x x

x x

x x

x x

            

  

 

     

  

 

Vậy bất phương trình cho có nghiệm S 1 5; B

Bààii ttooáánn 7722. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh 2x39x212x 4 0 x

Lời giải

Điều kiện x Bất phương trình cho tương đương với

   

  

3 2 2

2

2 8 8 4 4 0 2 4 4 4 4 0

1 2 1 0

2 1 2 0 2

2 0

2

x x x x x x x x x x

x x

x x

x

x

            



  

 

     

  

 

Vậy bất phương trình cho có nghiệm ;1  2 2

S  

 

B

Bààii ttooáánn 7733. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh 4x312x29x 2 0 x

Lời giải

Điều kiện x Bất phương trình cho tương đương với

   

  

3 2 2

2

4 4 8 8 2 0 4 4 1 2 4 4 1 0

2 2 0

2 2 1 0 1

2 1 0

2

x x x x x x x x x x

x x

x x

x x

            

   

 

     



  





Vậy bất phương trình cho có nghiệm 1 2;  2

S   

 

B

Bààii ttooáánn 7744. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh 9x315x27x 1 0 x

Lời giải

Điều kiện x Bất phương trình cho tương đương với

   

  

3 2 2

2

9 6 9 6 1 0 9 6 1 9 6 1 0

1 1 0

1 3 1 0 1 1

3 1 0

3

x x x x x x x x x x

x x

x x x

x x

            

   

 

       



  





Vậy bất phương trình cho có nghiệm x1 B

Bààii ttooáánn 7755. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh x36x29x 4 0 x

Lời giải

Điều kiện x Bất phương trình cho tương đương với

   

  

3 2 2

2

2 4 8 4 0 2 1 4 2 1 0

4 0 4

4 1 0 4

1 0 1

x x x x x x x x x x

x x

x x x

x x

            

  

 

       

  

 

Vậy bất phương trình có nghiệm x4

B

Bààii ttooáánn 7766. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh x2 x 1 3 0 x  x

    

Lời giải

Điều kiện x0 Bất phương trình cho tương đương với

  

 

3 2 1 2 3

3 2 2 3 3

0 0 x x x 0

x x x x x x x x

x x x

  

       

     

Nhận xét x22x 3 1x2 2 0, x  Do   x 1 0 0 x 1

x 

      Kết luận S 0;1

B

Bààii ttooáánn 7777. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh 2 3 6 0   4

x x x

x

    

 

Lời giải

_ 24

      

      

2 3 2 2

2

2 3 4 6 6 11 6 4 3 2 4 3

0 0 0

4 4 4

2 4 3 1 2 3 1 2

0 0

3 4

4 4

x x x x x x x x x x x

x x x

x x x x x x x

x

x x

           

    

  

        

     

 

  

Kết luận nghiệm 1x  2 3 x4

B

Bààii ttooáánn 7788. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh 14  

4 9 0

2

x x x

x

    

 

Lời giải

Điều kiện x2 Bất phương trình cho tương đương với

     

 

2 3 2

4 9 2 14 2 4 1 3 4

0 0 0

2 2 2

x x x x x x x x x

x x x

         

     

  

Ta có

2

2 3 7

3 4 0,

2 4

x  x x     x

   nên  

1

0 1 2

2

x

x x



     

 Kết luận nghiệm S1; 2

B

Bààii ttooáánn 7799. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh 3 4 4 0   4

x x x

x

    

 

Lời giải

Điều kiện x4 Bất phương trình cho tương đương với

  

      

2 3 2 3 2 2

2

2

3 4 4 4 7 16 12 4 4 3 12 12

0 0 0

4 4 4

2 2 0

4 4 3 4 4 3 2

0 0 3 4

4 4 0

3 4

x x x x x x x x x x x

x x x

x x

x x x x x x x

x x

x x

x x

           

    

  

    

        

       

 

  

  

 

Vậy bất phương trình cho có nghiệm S  ;3  2  4; B

Bààii ttooáánn 8800. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh 20  

2 7 0

3

x x x

x

    

 

Lời giải

Điều kiện x3

Bất phương trình cho tương đương với

  

      

2 3 2 3 2 2

2

2

2 7 3 20 2 5 4 1 2 4 2 2 1

0 0 0

3 3 3

1 0 1

2 2 1 2 1 2 1 1 1

0 0 2 1 1 3

3 3 0 3 2

3 2

x x x x x x x x x x x

x x x

x x

x x x x x x x

x x

x x x

x

           

    

  

  

 

      

 

         

 

    

 



Vậy bất phương trình cho có nghiệm 1;3 2

S    

B

Bààii ttooáánn 8811. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh 4 5 9 0   2

x x

x

   

 

Lời giải

Điều kiện x2

  

      

2 3 2 3 2 2

2

2

4 5 2 9 4 8 5 1 4 4 4 4 1

0 0 0

2 2 2

2 1 0 1

4 4 1 4 4 1 1 2 1 2

0 0 1 2

1

2 2 0

2 1

2

x x x x x x x x x x

x x x

x

x x x x x x x x x

x

x

x x

x x

x

          

    

  

 

 

           

       

  

   

  

 



Vậy bất phương trình cho có nghiệm x 2 x1

B

Bààii ttoốánn 8822. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

2

4 3 8 0 19

x x x

x x x

  

 

  

Lời giải

Điều kiện x Nhận xét

2

2 1 75

19 0,

2 4

x  x x     x

   Bất phương trình cho tương đương với

          

3 2

2

4 3 8 0 5 5 8 8 0

1 5 1 8 1 0 1 5 8 0

x x x x x x x x

x x x x x x x x

          

            

Ta có

2

2 5 7

5 8 0,

2 4

x  x x     x

  

nên   x 1 0 x1 Kết luận nghiệm x1

B

Bààii ttooáánn 8833. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

2

4 5 10 0 5

x x x

x x

  

 

 

Lời giải

Điều kiện x Bất phương trình cho tương đương với

          

3 2

5 5 10 10 0 1 5 1 10 1 0 1 5 10 0 1

x  x x  x x  x x  x x  x   x x  x 

Nhận xét

2

2 5 15

5 10 0,

2 4

x  x x     x

  nên  1 x 1 0 x1 Kết luận nghiệm x1

B

Bààii ttooáánn 8844. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

4

2 18

0 1

x x x

x x x

  

 

  

Lời giải

Điều kiện x Nhận xét

2

4 1 1 1 1 1 1

1 0,

4 4 2 2 2 2

x   x x x  x  x  x   x     x

    

Bất phương trình cho tương đương với

     

      

3 2

2

2 18 0 2 4 8 9 18 0 2 4 2 9 2 0

2 4 9 0 2 2 5 0 2 0 2

x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x

                 

 

              

 

Vậy bất phương trình có nghiệm x2

B

Bààii ttoốánn 8855. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

2

39 0 4 2 1

x x x

x x x

  

 

  

Lời giải

_ 26

     

      

3 2

2

3 4 12 13 39 0 3 4 3 13 3 0

3 4 13 0 3 2 9 0 3

x x x x x x x x x x

x x x x x x

            

 

           

 

Vậy bất phương trình cho có nghiệm x3

B

Bààii ttooáánn 8866. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

7

7 11 5 0 2 6

x x x

x x x

  

 

  

Lời giải

Điều kiện x72x6

Phương trình cho tương đương với

      2 

3 2 2 1

2 5 10 5 0 2 1 5 2 1 0 1 5 0

5

x

x x x x x x x x x x x x

x

 

                  

 

Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm S  1;5

B

Bààii ttoốánn 8877. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

6

2 11 20 12 0 29 3 1992

x x x

x x x

  

 

  

Lời giải

Điều kiện 29x63x19920 Phương trình cho tương đương với

      2

3 2 2

2

2 8 8 3 12 12 0 2 4 4 3 4 4 0 2 3 2 0 3

2

x

x x x x x x x x x x x x

x   

                 

  

So sánh điều kiện thấy thỏa mãn, kết luận phương trình cho có nghiệm 2;3 2

S    

B

Bààii ttooáánn 8888. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

5

3 4 8

0 2 9 1945

x x x

x x x

  

 

  

Lời giải

Điều kiện 2x59x219450 Phương trình cho tương đương với

     

    

3 2

2

2

3 3 4 4 8 8 0 3 1 4 1 8 1 0

2 2 4

3 4 8 1 0 1

1

x x x x x x x x x x

x x

x x x x

x

            

    

       

 

Đối chiếu điều kiện ta thu nghiệm x1

B

Bààii ttooáánn 8899. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

2

3 5 9 0 5 6

x x x

x x x

  

 

  

Lời giải

Điều kiện x2;x3

Bất phương trình cho tương đương với

  

     

2 2

2

4 9 1 2 3

4 4 9 9 1

0 0 0

1

2 3 6 2 3 2 3

x x x x

x x x x x x

x

x x x x x x x

     

     

      



       

B

Bààii ttooáánn 9900. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh   2 0 7 12 x x x x x        Lời giải

Điều kiện x27x120x3;x4 Bất phương trình cho tương đương với

  

     

2 2

2

1 2 4

2 2 1

0 0 0

1 3

3 4 12 3 4 3 4

x x x x

x x x x x x

x

x x x x x x x

    

     

      

 

       

Vậy bất phương trình cho có nghiệm S1;3  4;

B

Bààii ttooáánn 9911. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

3

2 4 0 10

x x x

x x x         Lời giải

Điều kiện x2 Bất phương trình cho tương đương với

     

     

  

  

2 2

3 2

2

2

1 2 1 4 1

2 2 4 4

0 0

2 2 4 5 10 2 2 2 5 2

1 2 4 1

0 0 1 2

2

2 2 5

x x x x x

x x x x x

x x x x x x x x x x

x x x x

x x

x x x

                                     

Vậy bất phương trình cho có nghiệm S1; 2

B

Bààii ttooáánn 9922. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

2

5 8 4 0 8 15

x x x

x x x         Lời giải

Điều kiện x3;x5

Bất phương trình cho tương đương với

  

     

2

3 2

2

2 2

5

1 2

4 4 4 4

0 0 1 5

0 1 3

3 5 15 3 5

3 5 1 3

x x

x x x

x x x x x

x x

x

x x x x x

x x x

                                        

Vậy bất phương trình cho có nghiệm S1;3  5;

B

Bààii ttooáánn 9933. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

3

7 15 9 0 11 38 40

x x x

x

x x x

  

 

   

Lời giải

Điều kiện x2;x4;x5

Bất phương trình cho tương đương với

   

   

  

       

2

3 2

3 2 2

2

6 9 6 9

6 9 6 9

0 0

6 8 5 30 40 6 8 5 6 8

3 3 0

1 3

0 1 4 5

0

2 4 5

2 4 5 1 2

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x

x x

x x

x x

x x x

x x x x

                                                   

_ 28 B

Bààii ttooáánn 9944. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

3

2 14 24 9 0 7 14 8

x x x

x x x x

  

 

   

Lời giải

Điều kiện x1;x2;x4 Bất phương trình cho tương đương với

   

   

  

       

2

3 2

3 2 2

2

2 6 9 6 9

2 12 18 6 9

0 0

3 2 4 12 8 3 2 4 3 2

1 3

3 0 2

4

2 1 3

0 2 1 1 2

0 1 2

4 1 2

4 1 2 4

2 1

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x

x x

x

x x x

x x

x

x x x

x x x x

x

    

    

  

         

 

 

  

 



    

       

  

     



   

  

 

 

Kết luận nghiệm

B

Bààii ttooáánn 9955. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

2

4 8 13

0 13 42

x x x

x x x

  

 

  

Lời giải

Điều kiện x6; 7 Bất phương trình cho tương đương với

   

  

  

  

  

2

4 5 13 4 5 13 1 5 13

0 0

6 7 6 7

0 0

6 7

6 7

x x x x x x x x

x x x x

x x

x x x

       

  

   

 

   

 

  

Kết luận nghiệm S   ; 06; 7

B

Bààii ttoốánn 9966. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

2

2 3 5 10 0 9

x x x

x x x

  

 

 

Lời giải

Điều kiện x0;9 Bất phương trình cho tương đương

   

 

  

 

 

2 2

2 5 10 2 5 10 1 2 5 10

0 0

9 9

9 1

0

0 1

9

x x x x x x x x

x x x x

x x

x x x

       

  

 

  

   

 

 

B

Bààii ttậậpp ttưươơnngg ttựự. G

Giiảảii ccáácc pphhưươơnngg ttrrììnnhh vvàà bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh ssaauu ttrrêênn ttậậpp hhợợpp ssốố tthhựựcc 1

5x 9x 8x 4 0 2

6 8

x  x x

3

4 2 7 0

x  x  x 

4

4x x 10x16 5

3 2 24

x  x  x

6

3

2 4

0 5

x x x x      7 4 6 0 2 5

x x x x

  





8 21

5 15 0

2

x x

x

   



9 2 7 28 76 0 3

x x

x

   



10 9

3 5 0

x x x     11 2 12 0 2 9 x x x x      12 2

3 8 12 0 8

x x x x x      13 3 14 0 9 x x x x     14 2 2 16 0

x x x x x      15 2 3 22 0 3 4

x x x x x      16 2 4 0 10 9 x x x x      17 4 5 0 11 6 1963

x x x x      18 4 6 0 4 10 2013

x x x x x       19

3 7 11 0 28 5 1911

x x x x x       20 3

7 16 12 0 27

x x x x      21

11 19 9 0 1

x x x

x x       22 3

3 20 39 18 0

x x x

x x      23

8 28 22 5 0 12 15

x x x

x x

  



_ 30 B

Bààii ttooáánn 9977. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 3x33x23x 1 0 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

 3

3 3

3 1

2 3 3 1 0 1 2 1 2

1 2

x x  x  x   x   x x   xx 



Kết luận phương trình cho có nghiệm

3 1 1 2

x 



B

Bààii ttooáánn 9988. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x33x23x28 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

     

     

 

3 2

2

2

4 4 8 28 0 4 4 8 4 0

4

4 8 0 4 2 2 16 0 4

1 15

x x x x x x x x x x

x

x x x x x x x

x x

            

 

            

   



Vậy phương trình cho có nghiệm

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

 3

3

3 3 1 27 1 3 1 3 4

x  x  x   x  x   x

Kết luận nghiệm S  4 B

Bààii ttooáánn 9999. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x33x23x 3 0 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

 3

3 3

3 3 1 2 1 2 1 2 2 1

x  x  x    x    x    x  

Kết luận nghiệm 2 1

x   B

Bààii ttooáánn 110000. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 8x312x26x7 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

 

3

3 6 1

8 12 6 1 6 2 1 6 2 1 6

2

x  x  x   x   x  x 

Kết luận phương trình cho có nghiệm

6 1 2

x 

B

Bààii ttooáánn 110011. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x39x2 27x380 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

 3

3 3

9 27 27 11 3 11 3 11 11 3

x  x  x   x  x  x 

Vậy phương trình cho có nghiệm 11 3

Nhận xét

Có thể dễ nhận thấy phương trình từ 97 đến 101 phương trình bậc ba đầy đủ, nhiên số phương trình sử dụng máy tính cho kết tỏ "lẻ, vơ hạn tuần hồn, số vơ tỷ ", điều gây bất lợi cho q trình phân tích nhân tử Mặc dù biến đổi vơ đơn giản – túy, sử dụng hằng đẳng thức lập phương tổng (hiệu), đưa toán dạng A3 B3 Những tốn thực ý này có hình thức đặc biệt đưa đẳng thức Một số tốn khác cần phải sử dụng cơng thức Cacdaro, tác giả xin trình bày Lý thuyết phần vượt q khn khổ tài liệu phần

B

Bààii ttoốánn 110022. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 6 1   3

x x x x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

 3

3 3

3 1

18 3 3 1 0 17 1 0 17 1

17 1

x  x  x   x  x   x xx



Kết luận nghiệm

1 17 1

S   



 

B

Bààii ttoốánn 110033. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh   5x 6x 12x 8 0 x

Lời giải

Điều kiện x

Phương trình cho tương đương với

 3

3 3

3 2

4 6 12 8 0 4 2 0 2 4

1 4

x x  x  x   x  x   x   xx 



Kết luận tập hợp nghiệm

3 2 1 4

S   

 

B

Bààii ttooáánn 110044. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh   21x 6x12x 1 x

Lời giải

Điều kiện x

Phương trình cho tương đương với

 3  3

3 3 3

3 1

13 8 12 8 1 0 13 2 1 0 13 1 2 13 1 2

13 2

x  x  x  x   x  x   x   x  x   xx



Kết luận nghiệm

1 13 2

S   



 

B

Bààii ttooáánn 110055. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 2 3 3   3x x  x x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

 3

3 3 3

3 3

2 3 9 9 6 9 27 27 0 5 3 0 5 3

5 1

x  x  x  x  x  x   x  x  x   x x



Kết luận phương trình có nghiệm

3 5 1

x



B

_ 32

Lời giải

Điều kiện x Bất phương trình cho tương đương với

 3

3 3 1

8 3 3 1 0 8 1 0 1 2

3

x x  x  x   x  x  x   xx 

Vậy bất phương trình cho có nghiệm 1 3

x 

Lời giải

Điều kiện x Biến đổi 3 23 1 3 1 0 3 1 3 1 0 1 3

x x  x   x  x  x 

Vậy bất phương trình cho có nghiệm 1 3

x 

B

Bààii ttooáánn 110077. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh x33x23x10 x

Lời giải

Điều kiện x

Bất phương trình cho tương đương với  3

3 3 1 9 1 9 9 1

x  x  x   x  x 

Vậy bất phương trình cho có nghiệm 9 1

x  B

Bààii ttooáánn 110088. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh 17x36x212x8 x

Lời giải

Điều kiện x

Biến đổi 3  3

3 2

16 6 12 8 0 16 2 16 2

1 16

x x  x  x   x  x x  xx



Vậy bất phương trình cho có nghiệm

3 2 1 16

x



B

Bààii ttooáánn 110099. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh   22x 9x 27x270 x

Lời giải

Điều kiện x Bất phương trình cho tương đương với

 3

3 3

3 3

21 9 27 27 0 21 3 21 3

1 21

x x  x  x   x  x x   x x



Vậy bất phương trình ban đầu có nghiệm

3 3 1 21

x



B

Bààii ttooáánn 111100. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  

2

7 6 12 8 0

3 4

x x x

x x x

  

 

  

Lời giải

Điều kiện x Nhận xét 3 4 16 2 8 1  12 5 7 0,

2 2

x  x  x  x   x  x    x

  

Biến đổi: 3  3

3 2

7 6 12 8 0 6 2 0 2 6

6 1

x  x  x   x  x  x  x x 



Vậy bất phương trình cho có nghiệm

2 6 1

x 

B

Bààii ttậậpp ttưươơnngg ttựự.

Giải phương trình bất phương trình sau tập hợp số thực 1

3 3 19

x  x  x

2

2x 6x 6x7 3

12 6 19

x  x  x

4

4x 12x 12x17 5

9 27 47

x  x  x

6

3

3 9 9 11 0 2 5 1975

x x x x x       7

8 12 8 15 0 30 3 1980

x x x x x       8 2

8 12 6 9 0 6 17

x x x x x       9

9 27 33 0 6

x x x

x x       10 3

5 15 15 16 0 10

x x x

x x       11 3

7 21 21 31 0 4 5

x x x

x x       12 3 8 0 8 12 6 7

x x x x x

     13 3

4 3 3 1

0 6 11 6

x x x x x x

       14 3

5 12 6 1 0 3

x x x x x x

       15 2

7 3 3 1

0

11 11

x x x x x       16 3

5 9 9 27 0

2 7 8 3

x x x x x x

       17 3

4 9 9 27 0 4 4

x x x x x x

      18 3

6 3 3 1

0

3 2 6

x x x x x x

        19 3

4 4 9

0 9 12 6 1

x x x x x x

        20 3

17 12 6 1 0 5 8 4

x x x x x x

       21 2 27 6 6 2

0

5 4

x x x x x       22

6 18 18 11 0 2

x x x

x x x

       23 3 3 4 0 10 12 6 1

x x x x x

 



_ 34 B

Bààii ttooáánn 111111. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x33x53 8 x

Lời giải

Phương trình cho tương đương với

  

 

3 3

3 2

2

9 27 27 15 75 125 8 2 24 102 160 0 5

12 51 80 0 5 7 16 0

7 16 0

x x x x x x x x x

x

x x x x x x

x x

            

 

           

   



Phương trình (*) vơ nghiệm  0 Vậy phương trình cho có tập nghiệm S 5

Lời giải

Đặt x 4 t; phương trình cho trở thành

   

  

 

3 3 2 3 2 3 3

2

2

1 1 8 3 3 1 3 3 1 8 2 6 8 0 3 4 0

1

1 4 0

4 0

t t t t t t t t t t t t

t t t t

t t

                    

 

      

   



Phương trình (*) vơ nghiệm  0 Với t  1 x  4 1 x5 Vậy phương trình cho có tập nghiệm S 5

B

Bààii ttooáánn 111122. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x13x5364 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

  

 

3 3

3 2

2

3 3 1 15 75 125 64 2 18 78 190 0 5

9 39 95 0 5 4 19 0 5

2 15

x x x x x x x x x

x

x x x x x x x

x

            

 

            

  



Vậy phương trình cho có nghiệm x5

Lời giải

Điều kiện x Đặt x 3 t, phương trình cho tương đương với

   

  

 

3 3 2 3 2 3

3

2

2 2 64 6 12 8 6 12 8 64 2 24 64 0

2

12 32 0 2 2 16 0 2 5

1 15

t t t t t t t t t t

t

t t t t t t x

t

                

 

             

  



Vậy phương trình cho có nghiệm x5 B

Bààii ttooáánn 111133. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x34x54 16 x

Lời giải

Điều kiện x

Đặt x 4 t; phương trình cho trở thành

       

       

    

2

4 2 2

2

2 2 2

2

2 2 2

1 1 16 1 2 1 2 16

1 4 1 4 1 4 1 4 16

1 5

2 1 8 16 6 7 0 1 7 0 1

1 3

t t t t t t

t t t t t t t t

t x

t t t t t t t

t x

          

          

 

 

                

  

 

B

Bààii ttooáánn 111144. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x14x74 162 x

Lời giải

Điều kiện x Đặt x 4 t, phương trình cho trở thành

       

   

 

2

4 2

4 2 2

4 2 2

3 3 162 9 6 9 6 162

18 81 12 9 36 18 81 12 9 36 162

18 81 36 81 54 0 0 4

t t t t t t

t t t t t t t t t t

t t t t t t x

          

            

           

Vậy phương trình cho có nghiệm x4 B

Bààii ttooáánn 111155. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh x24x44 16 x

Lời giải

Điều kiện x Đặt x 3 t, bất phương trình cho trở thành

       

       

    

2

4 2 2

2

2 2 2

2

2 2

2

1 1 16 1 2 1 2 16

1 4 1 4 1 4 1 4 16

2 1 8 16 6 7 0 1 7 0

1 1 1 2 4

t t t t t t

t t t t t t t t

t t t t t t

t t x

          

          

           

        

Vậy bất phương trình ban đầu có nghiệm S2; 4 B

Bààii ttooáánn 111166. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh x23x33 1 x

Lời giải

Điều kiện x Đặt 5 2

x t, bất phương trình cho trở thành

   

  

3

3 3 2 3 2

3

1 1

1 2 1 2 1 8 8 12 6 1 8 12 6 1 8

2 2

1

16 12 8 0 4 3 2 0 2 1 2 2 0 3

2

t t t t t t t t t t

t t t t t t t t x

   

                 

   

   

                

Vậy bất phương trình cho có nghiệm x3

Nhận xét

Qua quan sát, bạn thấy phương trình – bất phương trình (từ 111 đến 116) hoàn toàn giải

được phương pháp biến đổi tương đương, khai triển đẳng thức trực tiếp mà không thông qua phép đặt ẩn phụ Đối với phương trình bậc cao, sử dụng ẩn phụ cách làm phổ biến hiệu Các tốn có dạng tổng qt xan x b n c, phép đặt ẩn phụ trung bình

2

a b

x  tsẽ làm cho tính tốn trở nên tương tự, phép khai triển diễn bình thường, bậc khai triển khơng giảm, đổi lại chúng ta triệt tiêu số hạng tử giống nhau, từ dẫn đến kết nhanh chóng, dễ dàng

B

Bààii ttoốánn 111177. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x33x3 27 x

Lời giải

Điều kiện x

_ 36 B

Bààii ttoốánn 111188. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh  3  3  

1 2 0

x  x  x  x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

  

 

3 3

3 2

2

3 3 1 6 12 8 0 3 9 15 9 0

1

3 5 3 0 1 2 3 0 1

1 2

x x x x x x x x x x

x

x x x x x x x

x

             

  

             

  



Vậy phương trình cho có nghiệm B

Bààii ttooáánn 111199. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x132 2 x132x3 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

 

  

3 3

3 2

3 3 1 8 12 6 1 2 15 27 15 3 0

5 9 5 1 0 1 5 4 1 0 1

x x x x x x x x x x

x x x x x x x

            

           

Phương trình có tập nghiệm S  1 B

Bààii ttooáánn 112200. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x332x13 3x23 x

Lời giải

Điều kiện x

Đặt x 3 a; 2x 1 ba b 3x2 Phương trình cho trở thành

 3    

3 3 3

3 3 0

1

3 0 2 1 0

2 3 2 0

2 3

x x

a b a b a b a b ab a b ab a b x x x

x

     

 

 

                

 

   



   

Vậy phương trình cho có tập nghiệm 3; 2 1; 3 2

S   

 

Lời giải

Điều kiện x

Phương trình cho tương đương với

   

3 3

3

9 27 27 8 12 6 1 27 54 36 8

18 57 3 18 0 6 19 6 0

2 1

2 1 3 3 2 0 3; ;

3 2

x x x x x x x x x

x x x x x x

x x x x

          

         

 

         

 

Vậy phương trình cho có ba nghiệm kể B

Bààii ttooáánn 112211. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 2x33x43 1 3 x3 x

Lời giải

Điều kiện x

     

   

3

3 3 3

3 0

3 1

2 3 4 3 0 ; ; 4

2 3

u v u v u v u v uv u v uv u v

x x x x

           

 

         

 

Vậy phương trình cho có ba nghiệm B

Bààii ttooáánn 112222. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh 3x235x23 8x43 x

Lời giải

Điều kiện x Đặt 3x 2 u;5x  2 v 8x 4 uv Bất phương trình cho trở thành

     

   

3

3 3 3

3 0

2 3 3 2 5 2 2 1 0

2 1

5 2

u v u v u v u v uv u v uv u v

x

x x x

x

           

  

      

   

Kết luận bất phương trình cho có nghiệm B

Bààii ttooáánn 112233. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh x235 2 x327x13 x

Lời giải

Điều kiện x Đặt x2u; 2x  5 v u v 3x3 Bất phương trình cho tương đương với

 3        

3 3 3

2

3 0 2 2 5 1 0 5

1

2

x

u v u v u v u v uv u v uv u v x x x

x    

                 

   

Kết luận bất phương trình cho có nghiệm  ; 2 1;5 2

S        

B

Bààii ttoốánn 112244. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x13x235x1x2  2x33 x

Lời giải

Điều kiện x Bất phương trình cho tương đương với

 

   

3 2

3

3 3 1 6 12 8 5 3 2 8 36 54 27

2

6 22 24 8 0 3 11 12 4 0 1 2 3 2 0 3

2 1

x x x x x x x x x x x

x

x x x x x x x x x

x

             

   

               



    

Vậy bất phương trình cho có nghiệm  2; 1 2; 3

S      

 

Lời giải

Điều kiện x

Đặt x 1 a x; 2 b 2x 3 a b , bất phương trình cho trở thành

   

     

3

3 3 3

5 5 3

2

3 3 5 0 2 1 2 3 2 0 3

2 1

a b ab a b a b ab a b ab a b x

ab a b x x x

x

          

   

         



    

_ 38 B

Bààii ttoốánn 112255. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x233x33x2 3 x125 x

Lời giải

Điều kiện x

Đặt x2a;3x b a b 5 Phương trình cho trở thành

   

      

3

3 3 3

3 3 3

1 0 4 0 2 3 0 2;3

a b ab a b a b ab a b ab a b

ab a b ab x x x

          

            

Vậy phương trình cho có hai nghiệm

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

   

 

3 2

2

6 12 8 9 27 27 3 6 125

12 12 72 0 6 0 2;3

x x x x x x x x

x x x x x

           

          

Vậy phương trình cho có hai nghiệm

Nhận xét

Quan sát toán từ 117 đến 125, bạn thấy tốn giải hai phương pháp:

biến đổi tương đương đặt ẩn phụ (hai ẩn phụ) Với hình thức đặc thù lớp toán này, phép đặt ẩn phụ làm cho toán trở nên gọn gàng hơn, từ đơn giản định hướng vấn đề, bạn lưu ý đẳng thức khai triển (bậc ba) quen thuộc sau

   

   

3 3 3 2 2 3 3

3 3 3 2 2 3 3

3 3 3

3 3 3

a b a b a b ab a b ab a b a b a b a b ab a b ab a b

        

        

Ngoài phép đặt ẩn phụ số hạng tử nhân tử cịn lại khơng thiết biểu thị theo biến phụ vẫn cho lời giải đẹp mắt Mời bạn quan sát ví dụ

B

Bààii ttoốánn 112266. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x132x133 2 x23x1 6 x5  3x23 x

Lời giải

Điều kiện x

Đặt x 1 a; 2x  1 b 3x 2 a b Phương trình cho tương đương với

     

          

3 3

3 1 2 1 6 5 3

1 2 1 0 1

1 2 1 6 5 1 2 1 3 2 1;

2 6 5 3 2

a b x x x a b ab a b

x x

x x x x x x x

x x

        

  

  

             

    



Vậy phương trình cho có hai nghiệm B

Bààii ttooáánn 112277. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh x3x133x x 1x4x2x13 x

Lời giải

Điều kiện x

Bất phương trình cho tương đương với

         

    

3 4

2

4

2 1 3 1 2 1 3 1 2 1

1

1 1 1

1 1 0 1 0

0

2 2 2

x x x x x x x x x

x

x x x x x x x x

x

        

      

               



    

 

 

B

Bààii ttooáánn 112288. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh x3x233x23x12 8x133 x

Lời giải

Điều kiện x

Bất phương trình cho tương đương với

     

          

          

2

3

3

3 2

2

2 3 3 1 3 8 1

8 1 3 2 2 2 3 3 3 2 8 1

1

3 3 1 2 6 1 2 0 1 2 0 0

2

x x x x x

x x x x x x x x x

x

x x x x x x x x x x x

x

       

          

   

             

    

Bất phương trình cho có nghiệm B

Bààii ttooáánn 112299. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  4  2  4  

1 6 2 1

x  x  x x  x x

Lời giải

Điều kiện x Bất phương trình cho tương đương với

     

           

   

2

4

4

2

4

4 2

2

1 6 1

1 6 1 4 1 1 6

4 1 1 0 1 0

x x x x x x

x x x x x x x x x x x x

x x x x x

      

 

             

 

 

        

 

Vậy bất phương trình cho có nghiệm S  1; 0 B

Bààii ttooáánn 113300. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh

 4  2     4  

4

3 1 6 3 1 4 3 1 3 13 4 1

x  x  x x  x x x  x x

Lời giải

Điều kiện x Bất phương trình cho tương đương với

          

  

4 2

2

4 1 4 3 1 3 1 4 3 1 3 13 4 1 1

4 3 1 10 3 14 0 0

3

x x x x x x x x x

x x x x x x

 

         

 

         

Vậy bất phương trình cho có nghiệm B

Bààii ttooáánn 113311. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh

 4  4  2     4  

1 2 6 3 2 9 1 2 2 3

x  x  x  x  x x x  x x

Lời giải

Điều kiện x Đặt x 1 a x; 2 b a b 2x3, bất phương trình cho tương đương với

   

     

4

4 2 4 2 4 2 2

2 2

6 9 6 9 4 6

9 4 4 0 1 2 8 15 20 0 2 1

a b a b xab a b a b a b xab a b ab a b a b

ab x a b x x x x x

             

              

Vậy bất phương trình cho có nghiệm S   2; 1 B

Bààii ttooáánn 113322. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 8x3x134x x 1 2 x1  x13 x

_ 40 Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

      

         

         

3

3

3

3

2

8 1 4 1 2 1 2 1

8 1 4 1 2 1 8 1 3.2 1 1

4 1 2 1 6 1 1 0 1 0 1; 0

x x x x x x x

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

        

           

            

Vậy phương trình cho có hai nghiệm B

Bààii ttooáánn 113333. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh 3x13x34x3x1x212x13 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

        

  

3

2

2 1 3 3 1 4 3 1 1 2 1 1

3 1 4 3 4 0 ; 0

3

x x x x x x x

x x x x x

       

 

        

 

Vậy phương trình cho có hai nghiệm B

Bààii ttoốánn 113344. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh x43x146x23x124x3x1  2x14 x

Lời giải

Điều kiện x Bất phương trình cho tương đương với

       

             

   

4

4

4

4 2

4 2

2

3 1 6 3 1 4 3 1 3 1

3 1 6 3 1 4 3 1 3 1 6 3 1 4 3 1 3 1

1

4 3 1 3 1 1 0 0

3

x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x

        

 

               

 

 

         

 

Vậy bất phương trình cho có nghiệm 1; 0 3

S  

 

B

Bààii ttooáánn 113355. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh x14x246x23x227x23x21 x

Lời giải

Điều kiện x Bất phương trình cho tương đương với

           

       

           

     

2

4 2

2

4 2 2

2

4 2 2 2

2

2

1 2 6 3 2 7 3 2 2 1

1 2 6 3 2 7 3 2

1 2 6 3 2 4 3 2 1 2

3 2 4 1 4 2 7 0 3 2 0 2 1

x x x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x x

             

         

 

            

 

 

                

 

Vậy bất phương trình cho có nghiệm S   2; 1

Nhận xét

Phép đặt ẩn phụ làm cho toán trở nên sáng sủa hơn, chất khơng có thay đổi, bạn hoàn toàn sử dụng phép biến đổi đẳng thức thông thường Chú ý

   

   

4 4 4 2 2 2 2

4 4 4 2 2 2 2

6 4

6 4

a b a b a b ab a b a b a b a b ab a b

     

B

Bààii ttooáánn 113366. GGiiảảii pphhưươơnngg ttrrììnnhh x213x13 x2 x 23 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

     

              

  

3 3

2

3 3

2 2

2

1 1 1 1

1 1 1 1 3 1 1 1 1

3 1 1 2 0 1

x x x x

x x x x x x x x

x x x x x

      

 

               

 

         

Vậy phương trình cho có nghiệm B

Bààii ttoốánn 113377. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh   3 3     3  

1 1 1 2 1

x x  x  x x x x  x  x  x

Lời giải

Điều kiện x Bất phương trình cho tương đương với

        

      

       

   

3 3

2 2 2

3

2 2

3

2 2

2

1 1 1 1

1 1 1

1 3 1 1 2 1

1

1 1 6 2 0

0

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x x

x

            

        

         

 

       

 

Vậy bất phương trình cho có nghiệm x 1 x0 B

Bààii ttooáánn 113388. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh  3   2  6  

1 1 1 1

x  x  x x x  x x  x x

Lời giải

Điều kiện x Bất phương trình cho tương đương với

      

         

  

3

3

3 2

3

3 2 2

2

1 1 1 1

1 1 1 1 3 1 1

1

2 1 1 0

0

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x

x

 

          

 

               

  

      

 

Vậy bất phương trình cho có nghiệm x  1 x0 B

Bààii ttooáánn 113399. GGiiảảii bbấấtt pphhưươơnngg ttrrììnnhh

 3  3  6     

3x2  x  x 2  x2 7x 3x2 x  x 2 x

Lời giải

Điều kiện x Phương trình cho tương đương với

      

              

   

3

3 2 2 2

3

3 2 2

2

3 2 2 3 2 2 7 3 2 2

3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 2 7 3 2 2

2

3 2 2 3 5 12 0

3

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x

 

             

                  

         

Vậy bất phương trình cho có nghiệm 2 3

_ 42 B