Đang tải... (xem toàn văn)
Mọi vấn ñề phát sinh trong quá trình chấm phải ñược trao ñổi trng tổ chấm và chỉ cho ñiểm theo sự thống nhất của cả tổ..[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO QUẢNG NINH
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2012 – 2013 Mơn Tốn – Bảng A (đề thi thức)
Bài Sơ lược lời giải ðiểm
Bài 6ñiểm
1 Giao hai tiệm cận I( 1;1)
Giả sử tiếp tuyến cần lập tiếp xúc với đồ thị điểm có hồnh độ x0
=>phương trình tiếp tuyến có dạng:
0
0
3
( )
( 1)
x
y x x
x x
− +
= − +
− −
0,5
Tiếp tuyến cắt tiệm cận ñứng A( 0
5 1;
1 x x
+ − ) Tiếp tuyến cắt tiệm cận ngang B(2x0−1;1)
0,5
Ta có
0
5
1 ;
1
x IA
x x
+ = − =
− − IB= 2x0− −1 1) =2 x0−1
Nên
0
.2 12
1
IA IB x
x
= − =
−
0,5
Do diện tích tam giác IAB :
S = IA IB=
Gọi p nửa chu vi ∆IAB => bán kính đường trịn nội tiếp ∆IAB : r S p p
= = => r lớn <= > p nhỏ Mặt khác ∆IAB vuông I nên
0,5
2
2p=IA+IB+AB=IA+IB+ IA +IB ≥2 IA IB + 2IA IB =4 3+2 Dấu “ = ” xảy <=>IA=IB ⇔(x0−1)2 = ⇔ = ±3 x
0,5 Với x= −1 3ta có tiếp tuyến d1 : y= − −x 2( 1)−
Với x= +1 3ta có tiếp tuyến d2 : y=2( 1)+ −x
0,5
L =
2 2
0
( 2012) ( 2012)
lim x
x x x x
x
→
+ − − + + 1
=
7
0
1
lim ( 2012)
x
x
x x
x →
− −
+ +
Ta có L1 =
2
lim( 2012) 2012
x→ x + = ; L3 = limx→0x=0
1
Tính L2 =
7
1
lim x
x x
→
− −
ðặt
7
71 2
2 t x t x − − = => = Và x → t →
=> L2 = 1 1
2( 1) 2
lim lim
1
t t
t
t t t t t t t
→ →
− −
= = −
− + + + + + +
Vậy L = 2012 4024
7
− + = −
(2)Bài 3ñiểm
ðiều kiện:
2
0
4
8
x x
x x
x x
+
≥
−
≠ ⇔ − ≤ <
+ − ≥
0,5
Với đ/k phương trình cho tương đương với
⇔ 2
( x 2x 8) m 2x x 2x x m
− − + + − + − + + − − − = (1) 0,5
ðặt t =
8+2x−x ; Khi x ∈[ – 2; 4) t ∈[ 0; 3] (2)
Phương trình trở thành : – t2 – mt + 2t – – m = 0,5
⇔
2
2 t t m
t − + − =
+
Xét hàm số [ ]
2 2 6
( ) ; 0;3
1 t t
f t t
t − + −
= ∈
+ ; f’(t) =
2 2 ( 1) t t
t − − +
+
0,5
f’(t) = ⇔ t t
= − =
Bảng biến thiên hàm số f(t) ñoạn [ ; ]
t –∞ –4 –1 +∞
f’(t) – + + + –
f(t)
-
–6
4
−
0,5
Phương trình cho có nghiệm x∈[–2; 4) ⇔ Phương trình (2) có nghiệm t∈[0; 3] ⇔ ðường thẳng y = m cắt ñồ thị hàm số f(t) , t ∈[ 0; ] ⇔ – ≤ m ≤ –
Vậy với – ≤ m ≤ – thi phương trình có nghiệm 0,5
Bài 3điểm
Ta có:
sin 45 sin
r r
x
B C
= o = + ;
; sin
2 r y
B =
sin r z
C =
r
r r
B C
A
I
1
Suy ra:
sin sin sin
2 2 2 ( )
sin sin sin sin
2 2 2
B C B C C B
cos cos
yz r r
r r a
B C B C B C
x tg tg
+
+
= = = + = =>
2 2
2 y z a
x
(3)Ngồi định lý hàm cos tam giác BIC cho : a2 = y2+z2−2yzcosBIC
<=> 2 2 (180 ) B C a = y +z − yzcos − + <=> 2
2 135 a = y +z − yzcos o <=> 2 2
2
a = y +z + yz (2) Từ (1) (2) ta có :
2
2
2
y z
y z yz
x = + + <=> 2
1 1
x = y + z + yz
Bài 5ñiểm
a)
( )
CM BM
CM ABM BH CM AB
⊥
=> ⊥ ⊃
⊥
=> BH CM BH (ACM) AC
BH AM
⊥
=> ⊥ ⊃
⊥
=> AC BH AC (BHK)
AC BK
⊥
=> ⊥
⊥
1
Mặt phẳng (BHK) ñi qua B cố định vng góc với AC cố định nên
mp(BHK) cố định
0,5
∆BHK vng H => SBHK= (1/2) BH.HK
2 2
4
BH HK BK
(const)
+
≤ =
vậy ∆BHK có diện tích lớn BH = HK ∆BHK vng cân Khi
2 BK BH =
1
Mà 2 12 2
BH = AB + BM 2
1 1
BK = AB + BC
=> 2 2 12 12 2 2
2 2
BK = BH <=> AB + BC = AB + BM
1
<=>
2
2 2 2 2
1 1 1
2 4
h R
BM BC AB R h h R
+
= + = + =
=>
2 2
2 2 2
4
2 2
h R hR
BM BM
h R h R
= <=> =
+ +
(với R bán kính đường trịn (C), AB = h )
1
Mà B cố ñịnh => M thuộc đường trịn tâm B bán kính
2
2 hR h + R
=> có hai vị trí M làm cho diện tích ∆BHK đạt GTLN giao đường trịn (C) ñường tròn (B;BM)
0,5
H B
C
M A
(4)Bài 3ñiểm
2 4 2 2 4 2 2 4 2
4 2 4 2 4 2
( )( ) ( )( ) ( )( )
P a b a b a b b c b c b c c a c a c a
a b a b b c b c c a c a
+ + − + + − + + −
= + +
+ + + + + +
Nhận xÐt: Do abc=2 nên a2, b2, c2 l số thùc d−¬ng
0,5
XÐt : A =
2 2
x y xy
x y xy
+ −
+ + với x,y >
Chia tử mẫu cho y2 t t = x
y ta đợc A =
2
1 t t t t − +
+ + víi t >
0,5
XÐt hàm sè f(t) =
2
1 t t t t − +
+ + trªn (0;+∞)
Ta cã : f’(t) =
2
2
2( 1)
0
( 1) t
t t t
−
= ⇔ = + +
Bảng biến thiên:
t +
f’(t) – +
f(t)
1 1
1
0,5
Dựa vào bảng biến thiên ta có ( )
f t ≥ với t > Từ A =
2 2
1 x y xy x y xy
+ − ≥
+ + với x,y > 0; dấu xảy t = nên x = y Áp dụng với x = a2 , y = b2 ta có
4 2 4 2
1
a b a b
a b a b
+ − ≥ + + Tương tự
4 2 4 2
1 b c b c b c b c
+ − ≥
+ + ,
4 2 4 2
1 c a c a c a c a
+ − ≥ + +
0,5
=> P 1( 2) 1( 2) 1( 2) 2( 2 2)
3 a b b c c a a b c
≥ + + + + + = + + 0,5
Áp dụng BðT Cơsi ta có 2 2
3
a +b +c ≥ a b c = với abc=2
=> P ≥ dấu ñẳng thức xảy chẳng hạn a = b = c = Vậy Pmin = chẳng hạn a = b = c =
0,5
Chú ý:
1 Hướng dẫn chấm trình bày sơ lược giải Bài làm học sinh tiết,lập luận chặt chẽ,tính tốn xác ñược ñiểm tối ña
2 Các cách giải khác ñúng cho ñiểm Tổ chấm trao ñổi thông chi tiết nhưng không ñược q số điểm dành cho câu, phần
3 Có thể chia điểm thành phần khơng 0,25 ñiểm phải thống cả tổ chấm
4 ðiểm toàn tổng số điểm phần chấm Khơng làm trịn điểm