Khối đa diện và thể tích khối đa diện

Ở phần này tôi trình bày tóm tắt các lý thuyết cần nắm, kĩ năng làm bài trắc nghiệm, hướng dẫn sử dụng máy tính cầm tay cần thiết trong quá trình làm bài trắc nghiệm.. Chân thành cảm ơ[r]

HÌNH HỌC 12

CHƯƠNG I

KHỐI ĐA DIỆN VÀ

Quý đọc giả, quý thầy cô em học sinh thân mến! Nhằm giúp em học sinh có tài liệu tự học mơn Tốn, tơi biên soạn tập Hình Học 12

Nội dung tài liệu bám sát chương trình chuẩn chương trình nâng cao mơn Toán Bộ Giáo dục Đào tạo quy định

Bài tập Hình học 12 gồm phần Phần Phần tự luận

Ở phần tơi trình bày đầy đủ lí thuyết tập có hướng dẫn giải học Với mong muốn mong em nắm phương pháp giải tập trước chuyển sang giải Toán trắc nghiệm

Phần Phần trắc nghiệm

Ở phần tơi trình bày tóm tắt lý thuyết cần nắm, kĩ làm trắc nghiệm, hướng dẫn sử dụng máy tính cầm tay cần thiết trình làm trắc nghiệm

Chân thành cảm ơn

MỤC LỤC

Phần tự luận Trang – 36 Phần trắc nghiệm Trang 37 – 59

CHUYÊN ĐỀ

HÌNH HỌC KHƠNG GIAN

I QUAN HỆ SONG SONG

1 Hai đường thẳng song song

a) Định nghĩa: Hai đường thẳng gọi song song chúng đồng phẳng điểm chung

α

 ⊂

⇔

∩ = ∅



, ( ) / / a b

a b

a b

b) Tính chất

Định lí (về giao tuyến ba mặt phẳng)

Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến đồng quy đôi song song với

α β γ

α β

α γ

β γ

 ≡ ≡





∩ =



⇒

 

∩ = 



 ∩ =



( ) ( ) ( )

( ) ( ) , ,

( ) ( ) / / / /

( ) ( )

a a b c đồng qui

b a b c

c

Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng trùng với hai đường thẳng

α β

α β

α β

 ≡

 

∩ =



⇒

 

⊂ ⊂  ≡ ≡

 

( ) ( )

( ) ( ) / / / /

( ), ( ) ( )

/ /

d (nếu có) d a b

a b d a d b

a b

Định lí Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba song song với

 ≡

⇒ 

 / / , / / / /

a b

a b a c b c

2 Đường thẳng song song với mặt phẳng

a) Định nghĩa: Một đường thẳng mặt phẳng gọi song song với chúng khơng có điểm chung d/ /( )α ⇔ ∩d ( )α = O

b) Các tính chất

Định lí Nếu đường thẳng d khơng nằm mặt phẳng ( )α d song song với đường thẳng d’ nằm

trong ( )α d song song với ( )α

α

α α



⊂

 ⇒  

⊂ 

( )

/ / ' / /( ) ' ( )

d

d d d

d

Định lí Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng ( )α Nếu mặt phẳng ( )β chứa d cắt ( )α theo

giao tuyến d’ d’ song song với d:

α β

β α

 

⊃ ⇒



∩ = 

/ /( )

( ) / / '

( ) ( ) '

d

d d d

d

Hệ Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng song song với đường thẳng

đó mặt phẳng

Hệ Nếu hai mặt phẳng phân biệt song song với đường thẳng giao tuyến chúng (nếu có) song song với đường thẳng

α β

α β

 

⇒  

∩ = 

( ) / /

( ) / / / / '

( ) ( ) '

d

d d d

Định lí Cho hai đường thẳng chéo Có mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng

3 Hai mặt phẳng song song

a) Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi song song chúng khơng có điểm chung

α β ⇔ α ∩ β =

( ) / /( ) ( ) ( ) O

b) Các tính chất

Định lí Nếu mặt phẳng ( )α chứa hai đường thẳng cắt a, b a, b song với mặt phẳng ( )β

α

( )song song với ( )β

α α

α β

β β



⊂ ⊂



∩ = ⇒

 

( ), ( )

( ) / /( ) / /( ), / /( )

a b

a b M

a b

Hệ Hai mặt phẳng phân biệt song song với mặt phẳng thứ ba song song với

α β

α γ α β

β γ



≡

 ⇒   

( ) ( )

( ) / /( ) ( ) / /( ) ( ) / /( )

Định lí Cho hai mặt phẳng song Nếu mặt phẳng cắt mặt phẳng cắt mặt phẳng hai giao tuyến song song với

α β

γ α

γ β

 

∩ = ⇒ 

∩ = 

( ) / /( )

( ) ( ) / /

( ) ( )

a a b b

4 Chứng minh quan hệ song song

a) Chứng minh hai đường thẳng song song Có thể sử dụng cách sau:

Chứng minh đường thẳng đồng phẳng, áp dụng phương pháp chứng minh song song hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lí Talét đảo, …)

Chứng minh đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba Áp dụng định lí giao tuyến song song

b) Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Để chứng minh d ( )α , ta chứng minh d không nằm ( )α song song với đường thẳng d′

đó nằm ( )α

c) Chứng minh hai mặt phẳng song song

Chứng minh mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt song song với hai đường thẳng mặt phẳng

II QUAN HỆ VNG GĨC

1 Hai đường thẳng vng góc

a) Định nghĩa: Hai đường thẳng gọi vng góc góc chúng 900

⊥ ⇔( ), =900

a b a b

b) Tính chất

Giả sử u VTCP a, v VTCP b Khi a⊥ ⇔b u v =0

 ⁄⁄

⇒ ⊥



⊥



b c

a b a c

2 Đường thẳng mặt phẳng vng góc

a) Định nghĩa: Đường thẳng d được gọi vng góc với mặt phẳng( )α d vng góc với đường

thẳng a nằm mặt phẳng ( )α d ⊥( )α ⇔ ⊥ ∀ ⊂d a, a ( )α

b) Tính chất

α α  ⊂ ∩ = ⇒ ⊥  ⊥ ⊥  , ( ), ( ) ,

a b a b O d d a d b

α α  ⇒ ⊥  ⊥  / / ( ) ( ) a b b a α α  ≠ ⇒  ⊥ ⊥  ( ), ( ) / / a b a b a b α β β α  ⇒ ⊥  ⊥  ( ) / /( ) ( )

( ) a

a α β α β α β  ≡ ⇒ (  ⊥ ⊥  ( ) ( ) ( ) / / ) ( ) a,( ) a

α α  ⇒ ⊥  ⊥  / /( ) ( ) a b a b α α α  ⊄ ⇒ (  ⊥ ⊥  ( ) / / ) ,( ) a a

a b b

Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng mặt phẳng vng góc với đoạn thẳng trung điểm

Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng

Định lí ba đường vng góc

Cho a ⊥( ),P b⊂( )P , a′ hình chiếu a (P) Khi b ⊥ a ⇔ b ⊥ a′

3 Hai mặt phẳng vng góc

a) Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi vng góc với góc hai mặt phẳng góc

vng ( ) ( )α ⊥ β ⇔(( ),( )α β )=900

b) Tính chất

Điều kiện để hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc

với mặt α α β

β  ⊃ ⇒ ⊥  ⊥  ( ) ( ) ( ) ( ) a a

o α β α β β

α  ⊥ ∩ = ⇒ ⊥  ⊂ ⊥  ( ) ( ),( ) ( ) ( ) ( ), c a

a a c

o α β α α β  ⊥  ∈ ⇒ ⊂   ∋ ⊥  ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) A a

a A a

o α β α γ γ α γ  ∩ =  ⊥ ⇒ ⊥   ⊥  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d

III GÓC – KHOẢNG CÁCH

1 Góc

a) Góc hai đường thẳng: Góc giữa hai đường thẳng a b không gian góc

giữa hai đường thẳng a’ b’ qua điểm song song với a b

 ⇒ =



'/ / ( ; ) ( '; ') '/ /

a a

a b a b

b b Lưu ý: ≤ ≤

0

0 ( ; ) 90a b

b) Góc đường thẳng với mặt phẳng: Nếu d ⊥( )α ( ,( )α )=900

d

Nếu d ⊥( )P (d,( )α )=( )d d, ' với d′ hình chiếu d ( )α

Lưu ý: 00≤( ,( )α )≤900

d

c) Góc hai mặt phẳng: Góc giữa hai mặt phẳng góc hai đường thẳng

vng góc với hai mặt phẳng α (α β ) ( )

β  ⊥ ⇒ =  ⊥  ( ) ( ),( ) , ( ) a a b b

Khi hai mặt phẳng ( )α ( )β cắt theo giao tuyến ∆, để tính góc chúng, ta

việc xét mặt phẳng ( )γ vng góc với∆, cắt ( )α ( )β theo giao tuyến a, b

Lúc góc (( )α ,( )β ) = (a, b)

Nghĩa là: ( )

α β

γ α β

γ α

γ β



∩ = ∆



⊥ ∆ 

⇒ =



∩ =  

∩ = 

( ) ( )

( ) ( ),( ) ( , )

( ) ( ) ( ) ( )

a b a

b

Giả sử (P) ∩ (Q) = c TừI∈ c, dựng : α (α β ) ( )

β



⊂ ⊥ ⇒

=



⊂ ⊥ 

( ), ( ),( ) ,

( ),

a a c

a b

b b c

Lưu ý: 00 ≤(( ),( )α β )≤900

d) Diện tích hình chiếu đa giác

Gọi S diện tích đa giác H ( )α , S′ diện tích hình chiếu H′ H ( )β , ϕ =(( ),( )α β ) Khi đó: S'=S.cosϕ

2 Khoảng cách

a) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (mặt phẳng)bằng độ dài đoạn vng góc vẽ từđiểm

đến đường thẳng (mặt phẳng)

b) Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ điểm

đường thẳng đến mặt phẳng

c) Khoảng cách hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng

d) Khoảng cách hai đường thẳng chéo bằng:

Độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng

Khoảng cách hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng thứ

Khoảng cách hai mặt phẳng, mà mặt phẳng chứa đường thẳng song song với

đường thẳng

IV MỘT SỐ CƠNG THỨC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

1 Hệ thức lượng tam giác:

a) Cho ∆ABC vng A, có đường cao AH

+ =

2 2

AB AC BC

=

2 .

AB BC BH

=

2 .

AC BC CH

= +

2 2

1 1

AH AB AC

= sin = cos

AB BC C BC B

= tan = cot

AB AC C AC B

b) Cho ∆ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài trung tuyến là ma, mb, mc; bán kính đường trịn

ngoại tiếp R; bán kính đường trịn nội tiếp r; nửa chu vi p

•Định lí cosin:

= + −

2 2 2 cos

a b c bc A; = + −2 2 cos

b c a ca B; = 2+ −2 2 cos

c a b ac C

•Định lí sin: = = =2

sin sin sin

a b c

R

A B C

• Cơng thức độ dài trung tuyến:

2= 2+ − 2; 2= 2+ − 2; = 2+ −

2 4

a b c

b c a c a b a b c

m m m

2 Các cơng thức tính diện tích: a) Tam giác:

=1 =1 =1

2 a b c

=1 sin =1 sin =1 sin

2 2

S bc A ca B ab C

=abc4

S R

=

S pr

( )( )( )

= − − −

S p p a p b p c

∆ABC vuông A: =1 =

2

S AB AC BC AH

∆ABCđều, cạnh a: =

2 3

4

a

S , đường cao AH a

2

=

b) Hình vng: S = a2 (a: cạnh hình vng)

c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước)

d) Hình bình hành: S = đáy × cao = AB AD sinBAD

e) Hình thoi: = =1

2

S AB AD sinBAD AC BD

f) Hình thang: =1( + )

2

S a b h (a, b: hai đáy, h: chiều cao)

g) Tứ giác có hai đường chéo vng góc: =1

KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH

§1 KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN

I Khái niệm hình đa diện

Hình đa diện(gọi tăt đa diện) hình tạo số hữu hạn đa giác thỏa mãn hai tính chất: a) Hai đa giác phân biệt khơng có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung

b) Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác

Mỗi đa giác gọi mặt hình đa diện Các đỉnh, cạnh đa giác theo thứ tự gọi đỉnh, cạnh hình đa diện

Mỗi hình đa diện chia khơng gian thành hai phần: Phần bên phần bên II Khái niệm khối đa diện

Khối đa diện phần khơng gian giới hạn hình đa diện, kẻ hình đa diện Những điểm khơng thuộc khối đa diện gọi điểm ngồi khối đa diện Tập hợp điểm gọi miền khối đa diện

Những điểm thuộc khối đa diện khơng thuộc hình đa diện tương ứng với khối đa diện gọi điểm khối đa diện Tập hợp điểm gọi miền khối đa diện

Mỗi khối đa diện hoàn tồn xác định theo hình đa diện tương ứng với đảo lại III Hai hình

1 Phép dời hình khơng gian

Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M′ xác định gọi phép

biến hình khơng gian

Phép biền hình khơng gian gọi phép dời hình bảo tồn khoảng cách hai điểm tùy ý

Phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục, phép đối xứng qua mặt phẳng Thực liên tiếp phép dời hình sẽđược phép dời hình

Phép dời hình biến đa diện ( )H thành đa diện ( )H′ , biến đỉnh, cạnh, mặt ( )H thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng ( )H′

2 Hai hình

Hai hình gọi có phép dời hình biến hình thành hình IV Phân chia lắp ghép khối đa diện

Nếu khối đa diện ( )H hợp hai khối đa diện ( )H1 , ( )H2 cho ( )H1 và( )H2 khơng có điểm chung ta nói chia khối đa diện ( )H thành hai khối đa diện ( )H1 và( )H2 , hay lắp ghép hai khối ( )H1 và( )H2 với đểđược khối đa diện ( )H

2 KHỐIĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU

I Khối đa diện lồi

Khối đa diện (H) gọi khối đa diện lồi đoạn thẳng nối hai điểm (H) ln thuộc (H)

khi đa diện xác định (H) gọi đa diện lồi

II Khối đa diện 1 Định nghĩa

Khối đa diện khối đa diện lồi có tính chất sau đây: a Mỗi mặt đa giác p cạnh

b Mỗi đỉnh đỉnh chung q mặt

2 Bảng tóm tắt năm loại khối đa diện

Khối đa diện loại { }p q; có Dđỉnh, C cạnh, M mặt p M =q D =2C theo Euler: D M+ = +2 C

Khối đa diện Loại Sốđỉnh Số cạnh Số mặt Thể tích

Tứ diện {3;3}

3

2 12

V = a

Lập phương {4;3} 12 V =a3

Bát diện {3; 4} 12 2 3

3

V = a

Mười hai mặt {5;3} 20 30 12

3

15

V = + a

Hai mươi mặt {3;5} 12 30 20

3

15 5 12

V = + a

§3 KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN

1 Thể tích khối hộp chữ nhật: V =a b c , với a, b, c là ba kích thước khối hộp chữ nhật

2 Thể tích khối lập phương: V =a3, với a cạnh hình lập phương

3 Thể tích khối chĩp: đáy

V = S h, với Sđáy diện tích đáy, h chiều cao khối chóp

4 Thể tích khối lăng trụ: V =Sđáy.h, với Sđáy diện tích đáy, h chiều cao khối lăng trụ

5 Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện a) Tính thể tích cơng thức

• Tính yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao, …

• Sử dụng cơng thức để tính thể tích b) Tính thể tích cách chia nhỏ

Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà dễ dàng tính thể tích chúng Sauđó, cộng kết ta thể tích khối đa diện cần tính

c) Tính thể tích cách bổ sung

Ta ghép thêm vào khối đa diện khối đa diện khác cho khối đa diện thêm vào khối đa diện tạo thành dễ tính thể tích

d) Tính thể tích cơng thức tỉ số thể tích Ta vận dụng tính chất sau:

Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng Với điểm A, A’ Ox; B, B' Oy; C, C' Oz,

ta có:

OABC

OA B C

V OA OB OC

BÀI TẬP

Bài Cho hình chóp S ABC có mặt bên SBC tam giác cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt

phẳng đáy Biết BAC=1200, tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

HD Giải Ta có:

( )

SA⊥ ABC ⇒SA⊥AB SA, ⊥AC

Xét hai tam giác vuông SAB SAC, có: SA chung

SB SC

 

=



SAB SAC AB AC

⇒∆ = ∆ ⇒ =

Áp dụng định lí cơsin tam giác cân BAC, có:

a2=BC2= AB2+AC2−2AB AC cosBAC

2AB2(1 cos1200) 3AB2 AB a

3

= − = ⇒ =

Tam giác vng SAB có: SA SB AB a a a

2

2 2

3

 

= − = −  =

 

 

Diện tích: S ABC AB AC BAC AB a

2

2

1 . sin sin120

2 12

∆ = = =

Thể tích: VS ABC SA S ABC a a a

2

1 . 1. 6.

3 ∆ 3 12 36

= = =

a

a a

C

B A

S

120°

Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt

phẳng đáy, góc mặt phẳng (SBD) mặt phẳng đáy 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

theo a

HD Giải Gọi O giao điểm AC BD

ABCD hình vng nên AO⊥BD O

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

SBD ABCD BD

BD SAC doBD SC BD SA SAC SBD SO

SAC ABCD AC

,

 ∩ =



⊥ ⊥ ⊥

 

∩ =

 

∩ =



( ) ( )

( SBD , ABCD ) (SO AC, ) SOA 600

⇒ = = =

Tam giác vng SAO, có:

AC a a

SA OA.tanSOA tan 600

2 2

= = = =

Diện tích: SABCD =a2

Thể tích: VS ABCD SA SABCD a a a

3

1 . 1. 6.

3

= = =

a

a

60°

O

D

C B

A S

Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D với

AD CD= =a AB, =3a.Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy cạnh bên SC tạo với mặt đáy

HD Giải

45° 3a

a a

D C

B A

S Ta có:

( )

SA⊥ ABCD ⇒AC hình chiếu SC (ABCD)

Nên (SC ABCD,( ))=(SC AC, )=SCA=450

Tam giác ACD vuông cân D nên AC=a

Tam giác SAC vuông cân A nên SA a=

Diện tích: SABCD 1(AB DC AD) 1(3a a a) 2a2

2

= + = + =

Thể tích: VS ABCD SA SABCD a a a

3

1 . 1 2.2 2

3 3

= = =

Bài Cho hình lăng trụđứng ABC A B C ' ' 'có đáy ABC tam giác vng B BA BC= =a Góc đường thẳng A B' với mặt phẳng (ABC)bằng 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' theo a

HD Giải

a a 60°

A'

B'

C'

C

B A

Ta có:

( )

AA'⊥ ABC ⇒ AB hình chiếu A’B (ABC)

Nên (A B ABC' ,( ))=(A B AB' , )= A BA' =600

Tam giác vuông A AB' , có: AA'= ABtan 'A BA a= tan 600 =a

Diện tích: S ABC AB BC a

2

1 .

2

∆ = =

Thể tích: VABC A B C AA S ABC a a a

2

' ' '

3

'

2

∆

= = =

Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt

phẳng đáy Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng ( )SAB góc 300 Tính thể tích khối chóp S ABCD

theo a

HD Giải S

A B

C D

30°

a a

Ta có:

( )( , )

AD⊥ SAB AD⊥ AB AD⊥SA ⇒SA hình chiếu SD

trên ( )SAB Nên (SD SAB,( ))=(SD SA, )=DSA=300

Tam giác vuông SAD, có: SA=ADcotDSA a= cot 300=a

Diện tích: SABCD =a2

Thể tích: VS ABCD SA SABCD a a a

3

1 . 1 3.

3 3

= = =

Bài Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân A SC=2 5a Hình chiếu vng S mặt phẳng (ABC)là trung điểm M AB Góc đường thẳng SC (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S ABC theo a

Ta có:

( )

( )

SM ABC

MC SM ABC C

 ⊥



⇒ 

∩ =

 hình chi

ếu SC (ABC)

Suy ra: (SC ABC,( ))=(SC MC, )=SCM=600

Tam giác SMC vng M, có: SM=SC.sin 600 =a 15,

0

.cos60

MC=SC =a

Tam giác ABC vuông cân A nên

2

AC AB=AC⇒AM=

Xét tam giác vuông MAC, ta có:

2

2 2 5 2

2

AC

AC +AM =MC ⇔AC +  = a ⇒AC= a

 

2a 5

60°

S

A

B

C

M

Diện tích 2

2

ABC

S∆ = AC = a Vậy thể tích:

3

1. . 15

3

S ABC ABC

a V = SM S∆ =

Bài Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB a= , BC=a 3, SA vng góc với mặt phẳng đáy Biết góc SC (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S ABC theo a

HD Giải

a 3

a

60° S

A

B

C

Ta có:

ABC

∆ vuông B SABC AB BC a

2

1 .

2

⇒ = =

( )

SA⊥ ABC nên AC hình chiếu SC lên (ABC) Do góc SC (ABC) SCA=600

ABC

∆ vuông B ⇒AC= AB2+BC2 =2a

SAC

∆ vuông A ⇒SA=AC.tan 600 =2 3a

Thể tích khối chóp S ABC là:VS ABC. 1SA S ABC a3

3

= =

Bài Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy; góc ( )SBC (ABC) 300 Tính thể tích khối chóp S ABC theo a

HD Giải

a I

30° C

B A

S

a

Gọi I trung điểm BC Ta có:

( ) ( )

( )

( )

ABC SBC BC AI ABC AI BC SI SBC SI BC

, ,

 ∩ =



⊂ ⊥

 

⊂ ⊥



Do đó, góc ( )SBC (ABC) SIA=300 ABC

∆ cạnh a SABC a

2 3

4

⇒ = AI a

2

=

SAI

∆ vuông A SA AI.tan300 a

2

⇒ = =

Thể tích khối chóp S ABC là:VS ABC SA SABC a

3

1 .

3 24

Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B; biết AB=BC=a,

AD=2a, hai mặt phẳng ( )SAB ( )SAC vuông góc với đáy, góc SC (ABCD)

0

60 Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a.

HD Giải

S

A

B C

D a

a 2a

60°

Ta có:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

SAB SAC SA

SAB ABCD SA ABCD SAC ABCD

 ∩ =



⊥ ⇒ ⊥

 

⊥



⇒ AC hình chiếu SC lên (ABCD) Do đó, góc SC (ABCD) SCA=600

ABC

∆ vuông cân B ⇒AC=AB 2=a

SAC

∆ vuông A ⇒SA=AC.tan 600=a

ABCD hình thang vng A B

( )

ABCD

BC AD AB a S

2

3

2

+

⇒ = =

Thể tích khối chóp S ABCD là:VS ABCD SA SABCD a

3

1 .

3

= =

Bài 10 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, AB a= Gọi I trung điểm

AC, tam giác SAC cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy; biết góc SB mặt phẳng đáy 450 Tính thể tích khối chóp S ABC theo a

HD Giải

I C

B A

S

45°

a

Ta có:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

SAC ABC

SAC ABC AC SI ABC SI SAC SI, AC

 ⊥



∩ = ⇒ ⊥

 

⊂ ⊥



BI hình chiếu SB lên (ABC) Do đó, góc SB (ABC) SBI=450

ABC

∆ vuông cân B ⇒AC=AB 2=a

vàBI AC a

2

= =

SBI

∆ vuông I SI BI.tan 450 a

2

⇒ = =

ABC

∆ vuông cân B SABC AB a

2

1

2

⇒ = =

Thể tích khối chóp S ABC là: VS ABC SI SABC a

3

1 .

3 12

= =

Bài 11 Cho hình lăng trụđứng ABC A B C / / /, có đáy ABC tam giác vng cân B, ACA/ =600,

A C/ =2a Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C / / /theo a

A

B

C C'

B' A'

60°

2a

a

Tam giác ACA/ vuông A

AA / A C/ sin 600 a

⇒ = =

Tam giác ACA/ vuông A⇒AC = A C/ cos600 = a

Tam giác ABC vuông cân B AB = BC = a 2

2

⇒

Diện tích tam giác ABC: SABC = AB BC a

2

1 .

2 =

Thể tích khối lăng trụABC.A/B/C/ là: VABC A B C AA S ABC a

3 ' ' '

3 '

4 ∆

= =

Bài 12 Cho lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có đáy ABC tam giác cạnh a Biết hình chiếu vng góc

của A′ mp(ABC) trung điểm BC góc cạnh bên với đáy 600

a) Tính thể tích lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ theo a.

b) Tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC) (ACC A′ ')

HD Giải a) Tính thể tích lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ theo a

Gọi H trung điểm BC⇒A H′ ⊥(ABC)⇒ Góc giữa cạnh bên với đáy góc A AH′ bằng 600 Tam giác ABCđều cạnh a ABC

a a

S AH

2 3 3

;

4

∆

⇒ = =

Tam giác AA’H vuông ởH AA H A H

AH

' tan( ′ )

⇒ =

⇒ A H AH.tan(AA H)a 3 3a

2

′ = ′ =

Vậy thể tích ABC A B C ABC

a a a

V A H S

2

' ' '

3 3

2

∆

′

= = =

b) Tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC) (ACC A′ ')

KẻHK vng góc AC K ⇒A K' ⊥AC

⇒ Góc hai mặt phẳng (ABC) (ACC A′ ')là ϕ=A KH′

Tính HK a A K a 39

4 ′

= ⇒ =

KH A K

13 cos

13

ϕ

⇒ = =

′

a a

K

60°

A

H C

B

B'

C' A'

Bài 13 Cho hình chóp đều S.ABCD đáy hình vng cạnh a cạnh bên tạo với đáy góc 60o

a) Tính thể tích khối hình chóp theo a.

b) Tính diện tích xung quanh hình nón ngoại tiếp hình chóp HD Giải a) Tính thể tích hình chóp

Gọi O tâm hình vng ABCD Vì hình chóp S.ABCD hình chop nên SO⊥(ABCD)

Do hình chiếu đường thẳng SD mp(ABCD) OD

⇒(SD ABCD,( ))=(SD DO, )=SDO=600

Thể tích: VS ABCD. 1SO S ABCD 1SO AB

3

Mà AB = a SO OD.tan 60o a

2

= = Suy ra:

3

1 .

3

S ABCD

a V = AB SO=

b) Tính diện tích xung quanh hình nón ngoại tiếp hình chóp Hình nón ngoại tiếp hình chóp có đỉnh S Đáy đường trịn

ngoại tiếp hình vng ABCD

⇒ Bán kính đáy hình nón r OA AC a

2

= = =

Đường sinh l = SA = AC = a

Diện tích xung quanh hình nón là:Sxq =πa2

O

D

C B

A S

60°

a a

Bài 14 Cho hình lăng trụđứng ABC A B C ′ ′ ′ có đáy ∆ABC

vng A AC = b, C = 600 Đường chéo BC′ tạo với (AA C C′ ′ ) góc 300 a) Tính AC′ b) Tính VABC.A B C′ ′ ′

HD Giải a) Tính AC′

BA⊥AC (∆ABC vng A) BA⊥ AA′(Tính chất hình lăng trụđứng) ⇒BA⊥ (AA C C′ ′ )

⇒ AC′ hình chiếu BC′ (AA C C′ ′ )

⇒ ( ) o

BC A′ = BC AA C C′,( ′ ′ ) =30

BA⊥ (AA C C′ ′ ) ⇒ BA ⊥ AC′ ⇒ ∆ABC′ vuông A

⇒ AC′=AB.cotBC A′

mà ∆ABC vuông A ⇒AB = AC .tanC = b 3

⇒ AC′ =b 3 3= b b) Tính VABC.A B C′ ′ ′

VABC.A B C′ ′ ′ =S∆ABC.CC′

AB AC AC2 AC2 b b b2 b2 b3

1 . . 9 6

2 ′

= − = − =

30° 60°

b

C'

A'

B' B C

A

Bài 15 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D; AB= AD=2a, CD=a; góc hai mặt phẳng ( )SBC (ABCD) 600 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng

( )SBI ( )SCI vng góc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a

HD Giải Ta có

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

SBI ABCD

SCI ABCD SI ABCD SBI SCI SI

 ⊥



⊥ ⇒ ⊥

 

∩ =



( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

∩ =

 

⊥

 

∩ =



 ∩ =



SBC ADBC BC

BC SKI

SKI SBC SK

SKI ABCD KI

( ) ( )

( , ) ( , ) 600

⇒ SBC ABCD = SK KI =SKI =

Diện tích hình thang: 1( ). 3

2

= + =

ABCD

S AB CD AD a

1 . .

2

∆ABI + ∆ABI = +

S S IA AB ID DC

2

2

2

=a +a = a

2

3

∆

⇒ =

IBC

a S

( )2 2

5

= − + =

BC AB CD AD a

2

1

2

∆IBC = =

a

S IK BC

5

∆

⇒IK = S IBC = a

BC

∆SIK vuông I, có: tan 15

5

= = a

SI IK SKI

Thể tích khối chóp S ABCD :

3

1 . 3. 15.3 15

3 5

= = =

S ABCD ABCD

a a

V SI S a a

2a

2a

K

B

C D

I A S

60°

Bài 16 Cho hình lăng trụ tam giácABC A B C ' ' ' có BB'=a,góc đường thẳng BB' mặt

phẳng(ABC)bằng 600; tam giác ABCvng Cvà BAC=600 Hình chiếu vng góc điểm B'

lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện 'A ABCtheo a

HD Giải Gọi D trung điểm AC, G trọng tâm tam giác ABC

Ta có:

( )

' ⊥ ⇒ ' =60

B G ABC B BG

'

∆BGB có: ' 'sin '

2

= =a

B G BB B BG ,

3 '.cos '

2

= = a⇒ = a

BG BB B BG BD

Tam giác ABC có: 3,

2

= AB = AB⇒ = AB

BC AC CD

Tam giác vuông BCD có:

2 2

2 2 3 13

16 16 13

= + ⇔ a = AB + AB ⇒ = a

BD BC CD AB

2

3 13

26 ∆ 104

= a ⇒ ACB = a

AC S

Thể tích khối tứ diện:

3 ' '

1

'

3 ∆ 208

= = =

A ABC B ABC ABC

a

V V B G S

G D

C'

A' B'

B

C

A

60° 60°

Bài 17 Cho hình lăng trụđứng ABC A B C ' ' 'có đáy ABC tam giác vuông B,

, ' , '

= = =

AB a AA a A C a Gọi M trung điểm đoạn thẳng ' 'A C , I giao điểm AM 'A C

a) Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC

b) Tính khoảng cách từđiểm Ađến mặt phẳng (IBC)theo a

a) Hạ IH ⊥AC H( ∈AC)⇒IH⊥(ABC); IH đường cao tứ diện IABC

Ta có:

2

/ / '

' '

⇒ IH = CI =

IH AA

AA CA

2

'

3

⇒IH = AA = a

2 2

' ' 5,

= − = = − =

AC A C A A a BC AC AB a

Diên tích tam giác ABC:

2

∆ABC = =

S AB BC a

Thể tích khối tứ diện IABC:

3

1

3 ∆

= =

IABC ABC

a

V IH S

b) Ta có:

( )

, ' ' '

⊥ ⊥ ⇒ ⊥

BC AB BC AA BC ABB A

(IBC) (⊥ ABB A' ' ;) (IBC) (∩ ABB A' ')= A B' , hạ AK ⊥ A B K' ( ∈A B' )(1)

Vì BC⊥(ABB A' ') nên AK ⊥BC(2)

Từ (1) (2) suy ra: AK⊥(IBC)

Khoảng cách từđiểm Ađến mp(IBC) AK

'

2

2 '

' '

∆

= = =

+

AA B

S AA AB a

AK

A B A A AB

a 3a 2a

H K I

M A'

B'

C'

C

B A

Bài 18 Cho hình chóp tứ giác S ABCDcó AB=a SA, =a Gọi M, N P trung điểm

của cạnh SA, SB CD

a) Chứng minh đường thẳng MN vng góc với đường thẳng SP

b) Tính theo a thể tích khối chóp tứ diện AMNP

HD Giải a) Ta có: Tam giác SCD cân nên SP⊥CD

/ / (/ / )



⇒ ⊥



⊥



MN CD AB

MN SP

SP CD

b) Gọi O tâm đáy ABCD

Ta có:

2

2

= − = a

SO SA OA

Thể tích khối tứ diện AMNP:

3

1 1 1. .

4 8 48

= = = =

AMNP ABSP S ABCD

a

V V V SO AB

a 2

a

O P

N M

D

C B

A

S

Bài 19 Cho hình chóp S ABCDcó đáy ABCD hình vng cạnh a. Gọi M và N trung điểm

các cạnh AB AD; H giao điểm CN DM Biết SH vng góc với mặt phẳng (ABCD)và

3

=

SH a

a) Tính thể tích khối chóp S CDMN theo a

b) Khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a

HD Giải a) Tính thể tích khối chóp S CDMN

3

=

SH a

= − −

CDMN ABCD AMN BCM

S S S S

2 2

2 . .

2 8

=AB − AM AN− BC BM =a −a −a = a

Vậy:

3

1 .

3 24

= =

S CDMN CDMN

a

V SH S

b) Khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a

Ta có:

∆ADM = ∆DCN⇒ADM =DCN⇒DM ⊥CN

⊥

SH DM Suy ra:DM ⊥(SHC)⇒DM ⊥SC

Hạ HK ⊥SC K( ∈SC), suy HK đoạn vng góc

chung DM SC

Do đó: d DM SC( , )=HK

2 2 5

5

=CD = a

HC

CN , 2

57

19

= =

+

SH HC a

HK

SH HC

Vậy: ( , ) 57

19

= a

d DM SC

a 3

a

M N

H

K

D

C B

A

S

Bài 20 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' 'có AB=a, góc hai mặt phẳng (A BC' )và

(ABC)bằng 60 G0 ọi G trọng tâm tam giác 'A BC

a) Tính thể tích khối lăng trụđã cho theo a

b) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a

HD Giải a) Tính thể tích khối lăng trụđã cho theo a

Gọi D trung điểm BC, Ta có:

Tam giác ABCđều nên AD⊥BC⇒BC⊥ A D' (Định lí ba đường vng góc)

Như vậy:

( ) ( ) ( ) ( )

'

' ' , '

,

∩ =

 

⊂ ⊥

 

⊂ ⊥



A BC ABC BC

A D A BC A D BC

AD ABC AD BC

( ) ( )

( ' , ) ( ' , ) ' 600

⇒ A BC ABC = A D AD =A DA=

2

3

' tan ' ,

2 ∆

= = ABC =

a a

AA AD A DA S Do đó:

3 ' ' '

3

'

8

∆

= =

ABC A B C ABC

a

V AA S

b) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a

Gọi H trọng tâm tam giác ABC

Suy GH / /AA'⇒GH ⊥(ABC)

Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC, ta có I

giao điểm GH với đường trung trực AG

mp(AGH)

Gọi E trung điểm AG, ta có

Bán kính:

2

= =GE GA = GA

R GI

GH GH

2

2 2

'

; ;

3 3 12

= AA = a =a = + = a

GH AH GA GH AH

Do đó: 2.2

12 12

= a = a

R

a

60°

E H

I D

G A'

B'

C'

C

Bài 21 Cho hình chóp S ABCDcó đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA=a; hình chiếu vng

góc đỉnh S mặt phẳng (ABCD)là H thuộc đoạn AC,

4

AC

AH = Gọi CM đường cao tam

giác SAC

a) Chứng minh M trung điểm SA

b) Tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a

HD Giải a) Chứng minh M trung điểm SA

Ta có:

Tứ giác ABCD hình vng cạnh a, nên AC=a

2

4

AC a

AH = =

4

a HC =

( )

SH ⊥ ABCD ⇒SH ⊥AC, 2 14

4

a SH = SA −AH =

Trong tam giác SCH cóSC= SH2+HC2 =a 2= AC

Do tam giác SAC cân C Suy M trung điểm SA

b) Tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a

CM đường trung tuyến thuộc cạnh SA tam giác SAC

nên SSCM =SAMC

2

SCM SCA

S S

⇒ =

1

BSCM BSAC

V = V mà VBSAC =VSABC VBSCM =VSBCM

nên

2

SBCM SABC

V = V

3

1 1 14 14

3 24

SABC ABC

a a

V = SH S∆ = a =

Vậy:

3

1 14

2 48

SBCM SABC

a

V = V =

a a

M

H

D C

B A

S

Bài 22 Cho hình chóp S ABCDcó đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt phẳng (SAB)vng góc với mặt

phẳng đáy, SA=SB, góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy 45 Tính th0 ể tích khối

chóp S ABCD theo a

HD Giải

Gọi I trung điểm AB Ta có: SA=SB⇒SI ⊥AB

(SAB) (⊥ ABCD) (SAB) (∩ ABCD)= AB nên

( )

SI⊥ ABCD

( )

( , ) 450

SC ABCD =SCI = ⇒tam giác SCI vuông cân I

Do đó: 2

2

a SI =IC= IB +BC =

Thể tích khối chópS ABCD :

3

1

3

S ABCD ABCD

a

V = SI S =

Bài 23 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, AB=BC=2a; hai mặt phẳng

(SAB)và (SAC)cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng qua SM

và song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC)và (ABC) 60

a) Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a

HD Giải a) Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a

Ta có:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

SAB ABC

SAC ABC SA ABC

SAB SAC SA

⊥

 

⊥ ⇒ ⊥

 

∩ =



Suy SA chiều cao hình chóp S.BCMN

( )

SA ABC

BC SB

BC AB

⊥



⇒ ⊥



⊥

 Suy ra: SBA góc hai mặt phẳng (SBC)và (ABC)

0

60 tan

SBA= ⇒SA=AB SBA= a

Mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N ⇒MN/ /BC N trung điểm AC

Suy ra: SBA góc hai mặt phẳng (SBC)và (ABC)

0

60 tan

SBA= ⇒SA=AB SBA= a

Mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N ⇒MN/ /BC N trung điểm AC

Tứ giác BCMN hình thang vng, có hai đáy ,

2

BC= a MN = BC=a; chiều cao BM =a

Do đó: ( )

2

1

2

BCMN

a

S = BC+MN BM =

Thể tích khối chóp S.BCMN: . 3

3

S BCMN BCMN

V = SA S =a

b) Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a

Qua N, kẻđường thẳng ∆ song song với AB

Hạ AD⊥ ∆ ∈ ∆(D ), ND/ /AB⇒AB/ /(SDN)

( , ) ( ,( )) ( ,( ))

d AB SN =d AB SDN =d A SDN

(SAD) (⊥ SDN)(SA⊥ND ND, ⊥ AD)và (SAD) (∩ SAN)=SD

Hạ AH ⊥SD H( ∈SD)⇒AH⊥(SDN)

Tam giác SAD vuông A, cóAH ⊥SDvà AD=MN =a

Vậy: ( )

2

39

,

13

SA AD a

d AB SN AH

SA AD

= = =

+

2a

∆

D H

N M

C

B A

S

2a

60°

Bài 24 Cho hình lăng trụ ABCD A B C D 1 1 1 có đáy ABCD hình chữ nhật, AB=a AD, =a Hình

chiếu vuông điểm A1 mặt phẳng (ABCD)trùng với giao điểm AC BD Góc hai mặt

phẳng (ADD A1 1)và (ABCD) 60

a) Tính thể tích khối lăng trụđã cho theo a

b) Tính khoảng cách từđiểm B1 đền mặt phẳng (A BD1 )theo a

HD Giải a) Tính thể tích khối lăng trụđã cho theo a

Gọi O giao điểm AC BD Ta có:

( )

1

A O⊥ ABCD ⇒A O1 chiều cao hình lăng trụ

Gọi E là trung điểm AD

( )

1

1

A O ABCD

A E AD

OE AD

⊥

 ⇒

⊥



⊥



1 1

3

tan tan

2

AB a

A O=OE A OE= A OE=

Diện tích đáy: . 3

ABCD

S = AB AD=a

Thể tích:

1 1

3

3

2

ABCD A B C D ABCD

a

V = A O S =

b) Tính khoảng cách từđiểm B1 đền mặt phẳng

(A BD1 )theo a Ta có:

( )

1 / / 1 / /

B C A D⇒B C A BD

( )

( 1, ) ( ,( ))

d B A BD d C A BD

⇒ =

(CDB) (⊥ A BD1 )và (CBD) (∩ A BD1 )=BD

Hạ CH ⊥BD H( ∈BD)⇒CH ⊥(A BD1 )

Tam giác BCD vng C, có CH ⊥BDvà

,

CD=a BC=a

Vậy: ( ( )) 2 2

,

2

CD CB a

d B A BD CH

CD CB

= = =

+

a 3 a

H

D1

C1 B1

A1

E O B

C

D A

60°

Bài 25 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, BA=3 ,a BC=4a; mặt phẳng

(SBC)vng góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB=2a 3và SBC=300

a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

b) Tính khoảng cách từđiểm Bđến mặt phẳng (SAC) theo a

HD Giải a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Ta có:

(SBC) (∩ ABC)=BC, (ABC) (⊥ SBC);

HạSH⊥BC⇒SH⊥(ABC)⇒SHlà chiều cao hình chóp

1

sin 3

2

SH =SB SBC= a =a

Diên tích: . 1.3 4 6

2

ABC

S∆ = BA BC= a a= a

Thể tích:

1

3.6

3

S ABC ABC

V = SH S∆ = a a = a

b) Tính khoảng cách từđiểm Bđến mặt phẳng (SAC) theo a

Gọi D, K hình chiếu H lên cạnh AC SD

Ta có: HD⊥AC D( ∈AC),HK ⊥SD K( ∈SD)

SH AC AC (SHD) AC HK

HD AC

⊥



⇒ ⊥ ⇒ ⊥



⊥



Suy ra: HK⊥(SAC)⇒HK =d H SAC( ,( ))

3

cos 3

2

BH =SB SBC= a = a⇒BC = HC

( )

( , ) ( ,( ))

d B SAC d H SAC HK

⇒ = =

Tam giác ABC vuông B, có AC= BA2+BC2 =5a

4

HC=BC−BH = a− a=a

30°

2a 3

4a H

K

D C

A B

S

BA HC a

CBA CDH DH

AC

∆ ∼∆ ⇒ = =

Tam giác SHD vuông H, có

2

14

SH HD a

HK

SH HD

= =

+

Vậy: ( ,( ))

7

a

d B SAC HK

⇒ = =

Bài 26 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, AB=a SA vng góc với mặt

phẳng (ABC), góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 30 G0 ọi M trung điểm cạnh SC

Tính thể tích khối chóp S.ABM theo a

HD Giải

a

30°

M

C

B A

S Ta có:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( , )

SBC ABC BC

SAB BC BC AB BC SA

SAB SBC SB

SAB ABC AB

∩ =

 

⊥ ⊥ ⊥

 

∩ =



 ∩ =



( ) ( )

( , ) ( , ) 300

ABC ABC SB AB SBA

⇒ = = =

Tam giác ABC vng cân B, có BC=AB=a

Tam giác SAB vng A, có tan 300

3

a

SA= AB =

Thể tích:

3

1 1

2 36

S ABM S ABC ABC

a V = V = SA S∆ = SA AB BC=

Bài 27 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S lên mặt

phẳng (ABC)là điểm H thc cạnh AB cho HA=2HB Góc đường thẳng SC mặt phẳng

(ABC) 60 Tính theo a

a) Thể tích khối chóp S ABC b) Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC

HD Giải a) Thể tích khối chóp S ABC

Ta có:

( )

SH ⊥ ABC ⇒ HC hình chiếu SC lên (ABC)⇒(SC ABC,( ))=(SC HC, )=SCH =600 SH chiều cao hình chóp

Gọi D trung điểm cạnh AB

2

a

CD AB BD

⇒ ⊥ ⇒ = ;

2

a

CD= ;

3

a AH = BH ⇒BH = BA=

Do đó:

2

a a a HD=BD−BH = − =

Tam giác CHD vng D, có: 2

3

a HC= HD +CD =

Tam giác SHC vng H, có: tan 600 21

3

a

SH =HC =

Diện tích tam giác ABC:

2 3

4

ABC

a S∆ =

Thể tích:

2

1 21

3 3 12

S ABC ABC

a a a

b) Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC

Qua A, kẻAx // BC Gọi N, K hình chiếu vng góc

của H Ax SN Ta có

( ) ( )

/ /

/ /

BC AN

BC SAN

AN SAN



⇒ 

⊂



( , ) ( ,( ))(hay ( ,( )))

d SA BC d B SAN d C SAN

⇒ = =

( )

( ) ( ( ))

3

, ,

2

BA= HA⇒d B SAN = d H SAN

( )

,

Ax⊥HN Ax⊥SH⇒Ax⊥ SHN ⇒Ax⊥HK

Vậy: HK⊥SN HK, ⊥ AN⇒HK⊥(SAN)

( )

( , )

d H SAN HK

⇒ =

a a

60°

a

x

K

N

D H

C

B A

S

3

a

AH = Tam giác AHN vng N, có HAN= ABC=600 sin 600

3

a

HN AH

⇒ = =

Tam giác SHN vng H, có:

2

42

12

SH HN a

HK

SH HN

= =

+

Vậy ( ,( )) ( ,( )) 42

2

a d B SAN = d H SAN =

Bài 28 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA=2 ,a AB=a Gọi H hình chiếu vng góc A

trên cạnh SC

a) Chứng minh SC vng góc với mặt phẳng (ABH)

b) Tính thể tích khối chóp S ABHtheo a

HD Giải Hình chóp tam giác S.ABC, Gọi O tâm tam giác ABC⇒SO⊥(ABC)

a) Chứng minh SC vng góc với mặt phẳng (ABH)

Gọi D trung điểm AB Ta có:

( ) ( )

(do )

CD AB

AB SCD

SO AB SO ABC

⊥



⇒ ⊥



⊥ ⊥



( )

(do ) ( )

AH SC

SC ABH

AB SC AB SCD

⊥



⇒ ⊥



⊥ ⊥



b) Tính thể tích khối chóp S ABHtheo a

( )

SH ⊥ ABH ⇒SH chiều cao hình chóp S.ABH

Thể tích:

1

S ABH ABH

V = SH S∆

a 2a

O

H

D

C

B A

S

CD đường cao tam giác ABC nên

2

a

CD= ;

3

a

OC= CD= ; tam giác vng

SOC, có: ( )

2

2 2 33

3

a a

SO= SC −OC = a −  =

 

SOC DHC

∆ ∼∆ ( hai tam giác vng có chung góc C)

3 33

2 3 11

2

a a

DH DC DC SO a

DH

SO SC SC a

Tam giác DCH vuông H, có: 2

4

a

HC= CD −DH =

4

a SH SC HC

⇒ = − =

Diện tích:

2

1 11 11

2

ABH

a a

S∆ = AB DH = a =

Vậy thề tích:

3

1 11

3 96

S ABH ABH

a V = SH S∆ =

Lưu ý:Để tính thể tích VS ABH. ta dựa vào cơng thức tỉ số thể tích:

7

2

S ABH S ABC

a

V SH

V = SC = a = ,

3

1 11

3 12

S ABC ABC

a V = SO S∆ =

Bài 29 Cho hình hộp đứng ABCD A B C D ' ' ' ' có đáy hình vng, tam giác 'A ACvng cân,

'

A C=a Tính theo a

a) Thể tích khối tứ diện ABB C' '

b) Khoảng cách từđiểm Ađến mặt phẳng (BCD')

HD Giải Hình hộp đứng ABCD A B C D ' ' ' ' nên AA'⊥(ABCD)

a) Thể tích khối tứ diện ABB C' ' Ta có:

( )

' '

AA ⊥ ABCD ⇒AA ⊥ AC; tam giác 'A ACvuông cân A nên ' '

2

A C a AA =AC= =

Tam giác ABC vuông B nên

2

2 2

AC a a

AB= = =

( )

' ' , ' ' ' ' ' '

B C ⊥AB B C ⊥BB ⇒B C ⊥ ABB ⇒B C' 'là đường cao tứ diện ABB C' ' ' '

2

a B C =AB=

Thể tích: ' ' ' ' ' ' '.1 '

3

ABB C ABB

V = B C S∆ = B C AB BB

3

1 .

6 2 48

a a a a

= =

b) Tính khoảng cách từđiểm Ađến mặt phẳng (BCD')

Ta có:

(ABA') (⊥ A BC' )(hiển nhiên (ABA') (⊥ D BC' ))

(ABA') (∩ A BC' )= A B' Từ A, kẻ AH ⊥A B'

Như vậy: ( ' )

'

AH BC

AH A BC

AH A B

⊥



⇒ ⊥



⊥

 , hiển nhiên

( ' )

AH ⊥ D BC ⇒d A D BC( ,( ' ))= AH

Tam giác 'A ABvng A, có: 2 12 2 62

'

AH = AB + AA =a

Vậy: ( ,( ' ))

6

a d A D BC = AH =

a

H

D' C'

B' A'

D

C

B A

Bài 30 Cho khối chóp S ABCcó đáy ABC tam giác vng cân A, AB=a 2,SA=SB=SC Góc

giữa SA mặt phẳng (ABC) 60 Tính theo a

a) Thể tích khối tứ diện S ABC

b) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

Gọi H trung điểm BC⇒HA=HB=HC(do tam giác ABC

vuông cân A)

Giả thiết: SA=SB=SC⇒SH ⊥BC

SHA SHB SHC

∆ = ∆ = ∆ ⇒SH ⊥(ABC) SHA=600 ABC

∆ vuông cân A: AC= AB=a 2⇒BC=2a⇒AH =a

SHA

∆ vuông: tan 600 3

SH =AH =a

Thể tích:

3

1 . .1 ,

3 3

S ABC ABC

a V = SH S∆ = SH AB AC=

b) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC a 2

C

A B

H S

60°

Gọi O, R tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC⇒Othuộc đường thẳng SH O

⇒ thuộc mặt phẳng (SBC)⇒Rlà bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆SBC SHA

∆ ta có: 0

sin 60

SH

SA= = a⇒∆SBCđều

0

2

2sin 60

a a

R= =

Bài 31 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A, ABC=300, SBC tam giác cạnh a mặt bên SBC vng góc với đáy Tính theo a

a) Thể tích khối chóp S ABC

b) Khoảng cách từđiểm Cđến mặt phẳng (SAB)

HD Giải a) Thể tích khối chóp S ABC

Gọi H trung điểm BC⇒SH ⊥BC(do tam giác SBCđều)

( ) ( )

( ) ( ) ( )

SBC ABC

SBC ABC BC SH ABC

BC SH

⊥

 

∩ = ⇒ ⊥



 ⊥



Ta có:

2

a

BC=a⇒SH = ; tam giác ABC vng A có:

0

sin 30 , cos 30

2

a a

AC=BC = AB=BC =

Thể tích:

3

1

3 16

S ABC ABC

a V = SH S∆ = SH AB AC=

b) Tính khoảng cách từđiểm Cđến mặt phẳng (SAB)

Tam giác ABC vuông A H là trung điểm BC nên HA=HB=HC⇒∆SBH = ∆SHA⇒SB=SA=a

Gọi I trung điểm AB⇒SI ⊥AB(do ∆SABcân)

Tam giác vng SBI có:

2

2 2 13

4

AB a

SI = SB −BI = SB − =

a

a a

I H

A

C B

S

30°

( )

( )

1

,

3

S ABC ABC

V = d C SAB S∆ ( ,( )) S ABC SAB

V d C SAB

S∆

⇒ = 39

13

S ABC

V a

SI AB

= =

Bài 32 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm

mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính theo a

a) Thể tích khối chóp S ABCD

HD Giải a) Thể tích khối chóp S ABCD

Gọi H là trung điểm AB ⇒SH⊥ AB(do ∆SABđều)

( ) ( )

( ) ( ) ( )

SAB ABCD

SAB ABCD AB SH ABCD

AB SH ⊥   ∩ = ⇒ ⊥   ⊥ 

Tam giác SABđều nên

2 a SH=

1 . 1. 3.

3

S ABCD ABCD

a a

V = SH S = a =

a a I H K D C B A S

b) Tính khoảng cách từđiểm Ađến mặt phẳng (SCD)

( ) ( ) / / / / AB CD AB SCD CD SCD  ⇒  ⊂

 H∈AB d A SCD( ,( ))=d H SCD( ,( ))

Gọi K trung điểm CD I hình chiếu vng góc H lên SK

( ) ( ( ))

HK CD

CD SHK CD HI HI SHK

SH CD ⊥  ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⊂  ⊥  ( ) HI SK HI SCD HI CD ⊥  ⇒ ⊥  ⊥  ( )

( ) 2

21

,

7

SH HK a

d A SCD HI

SH HK

= = =

+

Bài 33 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy, BAD=1200, M trung điểm cạnh BC SMA=450 Tính theo a

a) Thể tích khối chóp S ABCD

b) Khoảng cách từđiểm Dđến mặt phẳng (SBC)

HD Giải a) Thể tích khối chóp S ABCD

ABCD hình thoi BAD=1200⇒ABC=600 ⇒∆ABCđều ⇒AM ⊥BCvà

2

a AM =

Diện tích:

2

1

2

2

ABCD ABC

a S = S∆ = AM BC=

Tam giác SAM vuông A có SMA=450 ⇒∆SAM vng cân A

2

a SA AM

⇒ = =

Thể tích:

3

1

3

S ABCD ABCD

a

V = SA S =

b) Tính khoảng cách từđiểm Dđến mặt phẳng (SBC)

( ) ( ) / / / / AD BC AD SBC BC SBC  ⇒  ⊂  ( ) ( , ) ( ,( ))

d D SBC d A SBC

⇒ =

Gọi H hình chiếu vng góc A lên SM

( )

BC AM

BC SAM BC AH

BC SA ⊥  ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥  ( ) AH BC AH SBC AH SM ⊥  ⇒ ⊥  ⊥

 d A SBC( ,( )) AH

Tam giác SAM vuông cân A nên

2

a AH = AM =

Vậy: ( ,( ))

4

a d D SBC =

Bài 34 Cho hình lăng trụđềuABC A B C ' ' 'có AB=a đường thẳng A B' tạo với đáy góc

0

60 Gọi M N trung điểm cạnh AC ' 'B C Tính theo a

a) Thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' b) Độ dài đoạn thẳng MN

HD Giải

600

K M

N A'

B'

C'

C

B A

a) Thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' '

( ) ( ( ))

' ' , ' 60

AA ⊥ ABC ⇒ A B ABC = A BA=

'

A AB

∆ có: AA'= ABtan 'A BA=atan 600 =a 3

Thể tích:

3 ' ' '

3 '

4

ABC A B C ABC

a

V = AA S∆ =

b) Độ dài đoạn thẳng MN

Gọi K trung điểm BC ⇒NK⊥(ABC)⇒NK⊥MK MNK

∆ vng K, có , '

2

AB a

MK= = NK= AA =a

2 13

2

a MN = MK +NK =

Bài 35 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a,

a

SD= Hình chiếu vng góc S

mặt phẳng (ABCD) trung điểm cạnh AB Tính theo a

a) Thể tích khối chóp S ABCD

b) Khoảng cách từđiểm Ađến mặt phẳng (SBD)

HD Giải a) Thể tích khối chóp S ABCD

Gọi H trung điểm AB, suy ra: SH⊥(ABCD)

Xét tam giác SAD vng D, có:

( ) 2

2 2 2

2

a a

SH SD DH SD AH AD a a

 

   

 

= − = − + =   −  +  =

    

Diện tích: SABCD =AB2=a2 Thể tích:

3

1 .

3

S ABCD ABCD

a V = SH S = b) Khoảng cách từđiểm Ađến mặt phẳng (SBD)

Gọi K hình chiếu vng góc H BD E hình chiếu

vng góc H SK

Ta có: DB HK BD (SHK)

BD SH

 ⊥

⇒ ⊥



⊥



Mà HE⊂(SHK)⇒HE⊥DB Lại có: HE ⊥SK Do đó: HE⊥( )SBD ⇒HE=d H SBD( ,( ))

H trung điểm AB nên d A SBD( ,( ))=2d H SBD( ,( ))=2HE

3a

2

a a E

K

D

C H

B

Xét tam giác vng HBK, có: sin sin 450

2

a a

HK=HB KBH = =

Xét tam giác vng SHK, có:

2

2 2

4

a a

SK= SH +HK = a +  =

 

Và

2

4

3

4

a a

SH HK a

HE SK SH HK HE

SK a

= ⇒ = = = Vậy: ( ,( )) 2

a d A SBD = HE =

Bài 36 Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy tam giác cạnh a. Hình chiếu vng góc A/ mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh AB, góc đường thẳng A C/ mặt đáy 600 Tính

theo a

a) Thể tích khối trụ . / / /

ABC A B C

b) Khoảng cách từđiểm Bđến mặt phẳng (ACC A/ /) HD Giải a) Thể tích khối trụ ABC A B C. / / /

Gọi H trung điểm AB Suy ra: A H/ ⊥(ABC)

( )

( ) ( ) ( ) ( )

/

/ / /

/ ,( ) , 60

A H ABC

A C ABC A C HC A CH A C ABC C

 ⊥



⇒ = = =



∩ =



Xét tam giác vuông A HC/ , có:

/ .tan / 3.tan 600

2

a a

A H=CH A CH= = Diện tích:

2 3

4

ABC

a S∆ = Vậy Thể tích khối trụ / / /

3 /

3

8

ABC ABC A B C

a V =A H S∆ = b) Khoảng cách từđiểm Bđến mặt phẳng (ACC A/ /)

60°

a

a a K

I H A

B

C C'

B' A'

Gọi I hình chiếu vng góc H AC; K hình chiếu vng góc H A I/

Ta có: ( )

/

/

AC A H

AC A HI AC HK AC HI

 ⊥



⇒ ⊥ ⇒ ⊥



⊥



Như vậy: ( ) ( ( ))

/

/ / , / /

HK A I

HK A ACC HK d H ACC A HK AC

 ⊥



⇒ ⊥ ⇒ =



⊥



Xét tam giác vng AHI, có: sin sin 600

2

a a

HI= AH IAH = =

Xét tam giác vng A HI/ , có: 12 12 12 12 12 522 13

26

3 9

16

a HK

HK = HI +HA = a + a = a ⇒ =

Do ( ,( / /)) ( ,( / /)) 13

13

a d B ACC A = d H ACC A = HK =

a) Thể tích khối chóp S ABC

b) Khoảng cách hai đường thẳng SA, BC

HD Giải a) Thể tích khối chóp S ABC

Gọi H trung điểm BC Tam giác SBCđều nên SH ⊥BCvà

a SH =

Ta có: ( ) (SBC ABC) BC SH (ABC)

SH BC

 ∩ =

 ⇒

⊥



⊥



ABC

∆ vuông cân A, nên

2

BC a

AH = = Diện tích:

2

1 . 1 .

2 2

ABC

a a

S∆ = AH BC= a= Thể tích khối chóp là:

2

1. . 1. 3.

3 24

S ABC ABC

a a a V = SH S∆ = =

b) Khoảng cách hai đường thẳng SA, BC

Gọi K hình chiếu vng góc H SA, suy HK ⊥SA

Ta có: BC⊥( )SHA ⇒BC⊥HK ⇒HKlà đường vng góc chung BC SA

Do đó: d SA BC( , )=HK Xét tam giác vng SHA, có:

2 2

1 1 16

4

a HK

HK =SH + AH = a ⇒ =

Vậy: ( , )

4

a d SA BC =HK =

H

K

C

B A

S

Bài 38 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy, SC tạo đáy góc

bằng 450 Tính theo

a

a) Thể tích khối chóp S ABCD

b) Khoảng cách từđiểm Bđến mặt phẳng (SCD)

HD Giải a) Thể tích khối chóp S ABCD

Ta có:

( )

( ) ( ,( )) ( ,AC) ( ) 450

SC ABCD C

SC ABCD SC SCA

SA ABCD

 ∩ =



⇒ = = =



⊥



ABCD hình vng cạnh a nên AC=a Tam giác vng

SAC, có SA=AC.tanSCA a= Thể tích khối chóp

3

1 .

3

S ABCD ABCD

a V = SA S = b) Khoảng cách từđiểm Bđến mặt phẳng (SCD)

( )

( ) ( ( ))

/ / , ,

AB CD⇒d B SCD =d A SCD

H

D

C B

A S

45°

Gọi H hình chiếu vng góc A SD, có: ⇒AH ⊥SD

Do CD⊥( )SAD ⇒CD⊥AH Suy ra: AH ⊥(SCD)

( )

( , )

d A SCD =AH Xét tam giác vuông SAH, có: 12 12 12 32

AH =SA + AD = a

Vậy: ( ,( )) ( ,( ))

3

Bài 39 Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' 'có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB a AC= , =a 3và hình chiếu vng góc đỉnh A' mặt phẳng (ABC)là trung điểm cạnh

BC. Tính theo a

a) Thể tích khối chóp '.A ABC

b) Cơsin góc hai đường thẳng AA B C', ' '

HD Giải a) Thể tích khối chóp '.A ABC

Gọi H trung điểm BC Ta có: A H' ⊥(ABC);

ABC

∆ vng A, có:BC= AB2 +AC2 = a2 +3a2 =2avà AH 1BC a

2

= =

A HA'

∆ vng H, có:

A H' = A A' −AH2 =3a2 ⇒ A H' =a

Diện tích: S ABC AB AC a a a

2

1 . 1 3

2 2

∆ = = =

Thể tích: VA ABC A H S ABC a a a

2

'

1 ' 1 3.

3 ∆ 2

= = =

b) Cơsin góc hai đường thẳng AA B C', ' '

Ta có:

( ) ( )

AA BB

AA B C BB BH B BH BB BH

'/ / ' ', ' ' ', '

'/ / ϕ



⇒ = = =

 

a 3

a 2a

A'

B'

C'

H C

B A

A B H' '

∆ vng A' có: HB'= A B' '2+A H' =2a⇒∆BB H' cân tại B' BB H'

∆ có:HB'2 =BH2+BB' 22− BH BB 'cosϕ a a

1 cos

2.2

ϕ

⇒ = =

Bài 40 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a,SA a SB a= , = mặt phẳng ( )SAB vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N lần lượt trung điểm cạnh AB, BC Tính theo a

a) Thể tích khối chóp S BMDN

b) Cơsin góc hai đường thẳng SM DN,

HD Giải a) Thể tích khối chóp S BMDN

Gọi H hình chiếu S lên AB Ta có:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

SAB ABCD

SAB ABCD AB SH ABCD SH AB

 ⊥



∩ = ⇒ ⊥

 

⊥



SH

⇒ là chiều cao hình chóp

S BMDN

SA2+SB2 =a2+3a2 =AB2⇒∆SAB vng tại S Do đó:

AB

SM a AB MA

2

= = = =

SAM

∆ SH a

2

⇒ =

a 3 a

2a E

D

C N

B M

H A S

Diện tích: SBMND SBMD SBND 1SBAD 1SBCD 1SABCD 2a2

2 2

Thể tích: VS BMDN SH SBMDN a

3

1 .

3

= =

b) Cơsin góc hai đường thẳng SM DN,

Ta kẻ ME/ /ND E( ∈AD)

Ta có:

( ) ( )

ME ND

SM ND SM ME SME SM ME M

/ /

, , ϕ



⇒ = = =



∩ =



AM AE AME CDN

CD CN

∆ ∼∆ ⇒ = AE AM CN a a

CD a

2

2

⇒ = = =

SH⊥AE⇒SA⊥AE(định lí ba đường vng góc) SE SA2 AE2 a

2

= + =

AME

∆ vng A, có: ME AM2 AE2 a SE

2

= + = =

Áp dụng định lý côsin tam giác AME, có:

SE2=SM2+ME2−2SM ME cosϕ

a SM

ME a

5

cos

2 5

2

ϕ

⇒ = = =

Bài 41 Cho hình lăng trụđứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC tam giác vuông, AB=BC=a, cạnh bên

AA'=a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a

a) Thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' '

b) Khoảng cách hai đường thẳng AM, B C'

HD Giải a) Thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' Ta có:

ABC tam giác vng vàAB=BC=a⇒∆ABCvng cân B

Diện tích: SABC BA BC a

2

1 .

2

= =

Thể tích: VABC A B C AA SABC a a a

2

' ' '

2

'

2

= = =

b) Khoảng cách hai đường thẳng AM, B C'

Gọi E trung điểm BB’

Khi mặt phẳng (AME) song song với B’C nên khoảng cách

hai đường thẳng AM,B’C khoảng cách B’Cđến mặt phẳng

(AME)

Hơn d B C AME( ' ;( ))=d C AME( ;( ))=d B AME( ;( ))

Gọi h khoảng cách tửBđến mp(AME)

Do tứ diện BAME có BA, BM, BE đơi vng góc nên

h2 BA2 BM2 BE2

1 1

= + +

a2 a2 a2 a2

1

= + + = h a

7

⇒ =

Vậy khoảng cách hai đường thẳng AM B’C a 7

a 2

a

a M E

B'

C'

A'

A

C B

Bài 42 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang, BAD=ABC=900, AB BC= =a AD, =2a,

SA vng góc với đáy SA=2a Gọi M, N trung điểm SA, SD

a) Chứng minh BCNM hình chữ nhật

b) Tính thể tích khối chóp S BCNM theo a

a) Chứng minh BCNM hình chữ nhật MN đường trung bình tam giác SAD

MN AD

MN BC MN AD a

/ /

/ /

2

 

⇒ ⇒

= =

 

MN=BC=a BCNM

⇒ hình bình hành (1)

( )

BC AB

BC SAB BC SA

 ⊥

⇒ ⊥



⊥

 BC BM

⇒ ⊥ (2)

Từ (1) (2) suy BCNM hình chữ nhật

b) Tính thể tích khối chóp S BCNM theo a

BCNM BCM S BCNM S BCM

S =2S∆ ⇒V. =2V.

N M

D

C B

A S

2a

a a

S BCM C SBM SBM SAB

V. V . 1CB S 1CB S

3 ∆ ∆

= = = CB SA AB a a a a

3

1 .1 . .2

6 12

= = =

Vậy thể tích khối chóp VS BCNM a

3

= 3

Bài 43 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, mặt bên SAD tam giác

nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB, SC, CD

a) Chứng minh AM vng góc với BP

b) Tính thể tích khối tứ diện CMNPtheo a

HD Giải a) Chứng minh AM vng góc với BP

Gọi H trung điểm AD Tam giác SADđều ⇒SH⊥AD

( ) ( )

( ) ( ) ( )

SAD ABCD

SAD ABCD AD SH ABCD SH AD

 ⊥



∩ = ⇒ ⊥

 

⊥



SH BP

⇒ ⊥ (1)

Hình vng ABCD, P trung điểm BC H trung

điểm AD⇒∆CDH= ∆BCP ⇒B1=C1

Mà: B1+ =P 900 ⇒C1+ =P 900 ⇒Iɵ=900

Hay CH⊥BP (2)

Từ (1) (2) suy BP⊥(SCH)

( )

( ) ( )

MN SC AN CH

AMN SCH NM AN N

MN AN AMN

/ / / /

/ / ,

  

⇒ 

∩ =



 ⊂



Suy ra: BP⊥(ANM)⇒BP⊥AM

a a

P

K M

B N C D

A

H S

b) Tính thể tích khối tứ diện CMNPtheo a

Gọi K giao điểm AN BH⇒K trung điểm BH

( ) ( )

MK SH

MK ABCD SH ABCD

/ /



⇒ ⊥



⊥



CMNP M CNP CNP

V V . 1MK S

3 ∆

= =

1

I P H

D C

SAD

∆ SH a MK 1SH a

2

⇒ = ⇒ = =

CNP

a a a S CN CP

2

1 . 1 .

2 2

∆ = = =

Vậy: VCMNP VM CNP a a a

2

1. 3.

3 96

= = =

Bài 44 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi E điểm đối xứng

của D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC

a) Chứng minh MN vng góc với BD

b) Tính khoảng cách hai đường thẳng MN AC theo a

HD Giải a) Chứng minh MN vuông góc với BD

Gọi O giao điểm AC và BD Hình chóp tứ giác S ABCD ⇒SO⊥(ABCD)

Gọi P là trung điểm SA Trong tam giác EAD có:

MP AD a MP AD

/ /

2

  

= =

 

MP NC MP NC

/ /

 ⇒ 

=



MNCP

⇒ hình bình hành

( ) ( )

MN CP

MN SAC CP SAC

/ /

/ /

 ⇒



⊂

 (1)

( )

BD AC

BD SAC BD SO

 ⊥

⇒ ⊥



⊥

 (2)

Từ (1) (2) suy BD⊥MN

b) Tính khoảng cách hai đường thẳng MN AC theo a ( )

MN/ / SAC ⇒d MN AC( , )=d N SAC( ,( ))

( )

( ) ( ( ))

BC

NB d N SAC, 1d B SAC,

2

= ⇒ = 1BD a

4

= =

Vậy: d MN AC( , ) a

4

=

a a

P E

M

D

C N

B

A

O S

Bài 45 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang, BAD= ABC=900, AB BC= =a AD, =2a,

SA vng góc với đáy SA a= Gọi H hình chiếu A SB

a) Chứng minh tam giác SCD vng

b) Tính khoảng cách từHđến mặt phẳng (SCD)theo a

a) Chứng minh tam giác SCD vuông

Gọi I là trung điểm AD

IA IC= =ID=a⇒∆ACD vuông C hay AC⊥CD(1)

( )

SA⊥ ABCD ⇒SA⊥CD(2)

Từ (1) và(2) suy CD⊥SChay ∆SCD vuông C

b) Tính khoảng cách từHđến mặt phẳng (SCD)theo a

Trong tam giác SAB ta có:

SA SH SA SH SB SA SH

SB SB SB

2

2

2

= ⇒ = ⇒ =

SAB

∆ vng A, có SB2 =SA2+AB2 =3a2

a 2

2a

a a

D I

C H

B

A S

Do đó: SH a

SB a

2

2

3

= =

Gọi d1và d2lần lượt khoảng cách từB Hđến mặt phẳng (SCD) Khi đó: d1/ /d2 nên

d SH

d d

d SB

2

2

1

2

3

= = ⇒ =

B SCD BCD

B SCD SCD

SCD SCD

V SA S

V d S d

S S

1

3

1

3 ∆ ∆

∆ ∆

= ⇒ = =

BCD

a

S AB BC

2

1 .

2

∆ = = ;

SCD

S 1SC CD

2

∆ = SA AC IC ID

2 2

1 .

2

= + + SA2 AB2 BC2 IC2 ID2 a2

2

= + + + =

Suy ra:

a

a a

d a

2

1 2

2

2

= = Vậy khoảng cách từđiểm Hđến mặt phẳng (SCD)là: d2 2d1 a

3

= =

Bài 46 Cho hình trụ có đáy hai hình trịn tâm O O', bán kính đáy chiều cao a

Trên đường tròn tâm O lấy điểm A, đường tròn tâm O' lấy điểm B cho AB=2a Tính thể tích khối tứ diện OO AB' theo a

HD Giải

Kẻđường sinh AA' Gọi D điểm đối xứng A' qua O'và H hình chiếu B đường thẳng

A D'

Để tính thể tích khối tứ diện OO AB' , ta tính thể tích khối chóp B AOO '

( )

BH A O

BH AOO A BH AA

' ' '

'

 ⊥

⇒ ⊥



⊥

 hay

( )

BH ⊥ AOO' ⇒BHlà chiều cao hình chóp B AOO '

B AOO AOO

V . ' 1BH S '

3 ∆

=

AOO'

∆ vuông cân S AOO AA AO a

2 '

1 '. '

2

∆ = =

A AB'

∆ vng, có: A B' = AB2−AA'2 =a

A BD'

∆ vng, có: BD= A D' 2−A B' =a

BD=BO'=DO'=a⇒∆BDO' BH a

2

⇒ =

Vậy: VB AOO a a a

2

'

1. 3.

3 2 12

= =

B

O' H

D

O A

Bài 47 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB a AD a= , = 2, SA a= SA

vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M N lần lượt trung điểm AD SC; I giao điểm BM AC

a) Chứng minh mặt phẳng ( )SAC vng góc với mặt phẳng (SMB)

b) Tính thể tích khối tứ diện ANIB theo a

HD Giải

a) Chứng minh mặt phẳng ( )SAC vng góc với mặt phẳng (SMB)

( )

SA⊥ ABCD ⇒SA⊥BM(1) a

AD a AM

2

= ⇒ =

a AM

AB a

2 2

2

= = BA a

BC a

2 2

= =

AM BA

ABM AB BC

⇒ = ⇒∆ đồng dạng với ∆BCA⇒ABM =BCA

BCA BAC+ =900⇒ABM BAC+ =900⇒AIB=900 hay BM⊥AC (2)

Từ (1) (2) suy BM ⊥( ) (SAC ⇒ SBM) ( )⊥ SAC

b) Tính thể tích khối tứ diện ANIB theo a

Gọi H trung điểm AC ⇒NHlà đường trung bình

SAC

∆ ⇒NH/ /SA SA⊥(ABCD) ⇒NH⊥(ABCD) hay

( )

NH⊥ ABI NH chiều cao hình chóp N ABI

N ABI ABI

V . 1NH S

3 ∆

= ; NH SA a

2

= =

ABM

∆ , có: AI a

AI2 AB2 AM2

1 1

3

= + ⇒ = ,

ABI

∆ , có BI AB AI a a BI a

2

2 2

9

= − = − ⇒ =

ABI

a a a S BI AI

2

1 . 1. 6.

2 3

∆ = = =

Vậy VN ABI a a a

2

1 . 2

3 36

= =

a

a 2 a

M N

I H

D

C B

A S

Bài 48 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA=2a SA vng góc với mặt

phẳng (ABC) Gọi M N hình chiếu vng góc A trên đường thẳng SB SC Tính

thể tích khối chóp A BCNM theo a

HD Giải

Gọi K trung điểm BC ⇒BC⊥AKvà BC⊥SA ⇒BC⊥( )SAK

Trong tam giác SAK, kẻ AH ⊥AK AH SK AH ( )SBC

AH BC

 ⊥

⇒ ⊥



⊥

 hay AH ⊥(BCNM) AH

⇒ là chiều

A BCNM BCNM

V . 1AH S

3

=

Xét tam giác SAK có:

AH2 SA2 AK2

1 1

= +

( )a a a2

1 19

12

2 3

2

= + =

 

 

 

 

a AH

19

⇒ =

Hai tam giác SMN SBC có chung gócSɵ nên tỉ số diện tích chúng tỉ số cạnh bên S SMN 1SM SN sinSɵ

2

∆ = ,

ɵ SBC

S 1SB SC sinS

2

∆ = SMN

SBC

S SM SN

S SB SC

∆ ∆

⇒ =

a

a a

2a

K H M

N

C

B A

S

Xét tam giác SAB: SA2=SM SB SM SA SA

SB SB SA AB

2

2 2

4

⇒ = = =

+

Xét tam giác SAC: SA2=SC SN SN SA SA

SC SC SA AC

2

2 2

4

⇒ = = =

+

Suy ra: SMN

BCNM SBC

SBC

S

S S

S

16

25 25

∆

∆ ∆

= ⇒ =

Xét tam giác SAK có: SK SA AK a a a

2

2 4 19

4

= + = + =

SBC

a a

S SK BC a

2

1 . 1. 19. 19

2 2

∆ = = = BCNM

a a

S

2

9 . 19 19

25 100

⇒ = =

Vậy thể tích khối chóp VA BCNM a a a

2

1 9. 19 3

3 19 100 50

= =

Cách khác: Áp dụng công thức tỉ số thể tích, ta có:

S AMN

S AMN S ABC

S ABC

V SA SM SN

V V

V SA SB SC

16 16

25 25

= = ⇒ =

A BCNM S ABC

V V.

25

⇒ = Mà

S ABC ABC

a a

V SA S a

2

1 . 1.2 3

3 ∆

= = =

Vậy thể tích khối chóp VA BCNM a a

3

9 . 3

25 50

= =

Bài 49 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC vng C có AB=2 ,a CAB=300; SA=2a SA vng

góc với mặt phẳng (ABC) Gọi H K hình chiếu vng góc A trên đường thẳng SB

và SC

a) Tính thể tích khối chóp H ABC theo a

b) Chứng minh AH ⊥SB SB⊥(AHK)

c) Tính thể tích khối chóp S AHK theo a

a) Tính thể tích khối chóp H ABC theo a

Cách

Trong mặt phẳng ( )SAC , kẻ HI song song với SA ⇒HI⊥(ABC)

Vậy VH ABC. 1HI S ABC

3 ∆

=

Ta có:

AC=ABcos300 =a 3.SABC AB AC a

2

1 . .sin30

2

∆ = =

HI HC HC SC AC AC a

SA SC SC SC SA AC a

2 2

2 2 2

3

7

= = = = = =

+

a HI

7

⇒ =

H K

I S

B

C A

2a

2a

30°

Vậy: VH ABC a a a

2

1 6. . 3

3 7

= =

Cách VH ABC. VB AHC. 1BC S AHC

3 ∆

= =

b) Chứng minh AH ⊥SB SB⊥(AHK)

Ta có:

( )

( ) ( )

AH SC

AH SBC AH CB BC SAC

 ⊥



⇒ ⊥



⊥ ⊥

 AH SB

⇒ ⊥

( )

SB AH

SB AHK SB AK

 ⊥

⇒ ⊥



⊥



c) Tính thể tích khối chóp S AHK theo a

Cách

S AHK S ACB

V SA SH SK SH SH SC SA

V SA SC SB SC SC SA AC

2

2 2

,

1

2 2

= = = = =

+

S ABC ABC

a a

V SA S a

2

1 . 1.2 3

3 ∆ 3

= = = Vậy VS AHK a a

3

3 2.

3 21

= =

Cách 2: VS AHK. 1SK S AHK

3 ∆

=

Bài 50 Cho hình lăng trụđứng ABC A B C ′ ′ ′ có đáy ABClà tam giác cân với AB=AC a BAC= , =1200, mặt phẳng (AB C′ ′) tạo với đáy góc 60 Tính thể tích V khối lăng trụđã cho

HD Giải Gọi I trung điểm B C′ ′ Suy ra:

0

((AB C′ ′), (A B C′ ′ ′)) (= A I IA′ , )=A IA′ =60 Ta có: A B I′ ′ tam giác nên

2

3

,

2 A B C

a a a

A I′ = B I′ = ⇒B C′ ′=a ⇒S∆ ′ ′ ′ = A I B C′ ′ ′=

Ta lại có: tan 600 3.

2

a

AA′=A I′ = Vậy

3

3

8

A B C

a V =AA S′ ∆ ′ ′ ′ =

I

C'

B' A'

C

B A

Bài 51 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB=a, BC=2a, SA vng góc với

mặt phẳng đáy SA=a Tính khoảng cách hai đường thẳng AC SB

Dựng điểm Esao cho ACBElà hình bình hành,

Khi đó:AC EB// ⇒AC//(SBE)

( , ) ( ,( )) ( ,( ))

d AC SB d AC SBE d A SBE

⇒ = =

Kẻ AI ⊥EB I( ∈EB),

kẻAH⊥SI H( ∈SI)⇒d A SEB( ,( ))= AH

Tam giác ABE vuông 12 12 12 12 12 52

4

AI = AB + AE = a +a = a

Xét ∆SAI, ta có:

2 2 2

1 1 .

4 AH 3a

AH =SA + AI = a + a = a ⇒ =

Vậy : ( , )

3

a h=d AC SB =

H

I

E D

C B

A S

Cách 2. Vẽ hình hộp chữ nhật có ba cạnh liên tiếp AB AD AS , (

như hình vẽ ) SB|| (ACD′)

( , AC) ( , ( ')) ( , ( ')) ( , ( '))

d SB d SB ACD d B ACD d D ACD h

⇒ = = = =

( B, D hai điểm đối xứng qua O )

Do DA DC DD, , ′ đơi vng góc suy

2 2 2

1 1

'

a h

h = DA +DC + DD = a ⇒ =

O

C' B'

S D'

D

C B

37

CHƯƠNG I KHỐI ĐA DIỆN

PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Cho khối lăng trụ có diện tích đáy B chiều cao h Tính thể tích V khối trụđã cho A V=B h2 B =1

6

V B h C V =B h D =1

3

V B h

Câu 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B; biết AB=BC=a,

AD=2a, hai mặt phẳng ( )SAB ( )SAC vng góc với đáy, góc SC (ABCD)

0

60 Thể tích khối V của chóp S ABCD A =

3

V a B =2 3

V a C =

V a D = 6

V a

Câu 3: Cho tứ diện ABCD tích 12 G trọng tâm tam giác BCD Tính thể tích V khối chóp A GBC

A V =6 B V =4 C V=3 D V =5

Câu 4: Cho khối hộp đứng ABCD A B C D ′ ′ ′ ′, ABCD hình thoi có hai đường chéo

,

AC=a BD=a có đường chéo hình hộp AC′ =a Tính thể tích V khối hộp cho A

3

a

V = B

3

a

V = C

3

a

V = D V =a3

Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A, ABC=300, SBC tam giác cạnh

a mặt bên SBC vng góc với đáy Đường cao h hạ từđỉnh C tam giác SAB theo a A 13

4

a

h= B = 13

2

a

h C =

4

a

h D =2 13

3

a h

Câu 6: Cho hình lăng trụ tam giác Nếu ta tăng chiều dài cạnh đáy lên gấp hai lần thể tích khối lăng trụ thu lần thể tích khối lăng trụ ban đầu?

A lần B lần C lần D 1 lần Câu 7: Hình lăng trụ tam giác có mặt phẳng đối xứng ?

A mặt phẳng B mặt phẳng C mặt phẳng D mặt phẳng

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy, SC tạo đáy góc 450 Khoảng cách h từđiểm Bđến mặt phẳng (SCD)tính theo a

A =

a

h B =

6

a

h C

3

a

h= D =

3

a h

Câu 9: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng B, AB=a, BC=a 3, SA vng góc với mặt phẳng đáy Biết góc SC (ABC) 600 Tính thể tích khối V của chóp S ABC