Đang tải... (xem toàn văn)
* Chứng được tính nguyên dương của các bộ nghiệm đã xây dựng.. * Chứng được tính “vô số” của các bộ nghiệm đã xây dựng.[r]
(1)Trang
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VỊNG TÌNH LỚP 12 THPT
TỈNH KIÊN GIANG NĂM HỌC 2011 – 2012
- - HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC
MƠN TỐN Ngày thi 02/11/2011
(Hướng dẫn chấm gồm có 02 trang) Bài
(7 điểm) Đặt S x y P, xy
= + = ĐK : S2 ≥4P
Ta có x2 +y2 +xy= ⇔3 S2− = ⇔P S2 = + ≥ ⇒ ≥ −P P Đẳng thức xảy ra, chẳng hạn x= = −y
Vì S2 ≥4P S2 = +P nên P+ ≥3 4P⇔P≤1 Đẳng thức xảy ra, chẳng hạn x = y = Tóm lại, tập giá trị P [−3 ; 1]
Ta có, M =x y3 3−3xy x( 2+y2+xy+xy)=P3−3 (3P +P)=P3−3P2−9P
Và / ; / [ 3;1]
1 [ 3;1] P
M P P M
P
= ∉ −
= − − = ⇔
= − ∈ −
( 3) 27, ( 1) 5, (1) 11
M − = − M − = M = −
[ 3;1]
minM min{M( 3),M( 1),M(1)} M( 3) 27
− = − − = − = − [ 3;1]
maxM min{M( 3),M( 1),M(1)} M( 1)
− = − − = − =
0,5đ 1,5đ
1,0đ
0,5đ 1,0đ 1,0đ
0,5đ 0,5đ 0,5đ Bài
(6 điểm) 1. Ta có ∆AOB cân đỉnh O nên
180
AOB= − BAO
Ta có ∆AO’C cân đỉnh O’ nên
’ 180 ’
AO C= − CAO
Do đó, ( )
’ 360 ’ 180
AOB+AO C = − BAO CAO+ =
Suy OB // O’C
Gọi I giao điểm BC OO’ ta có IC O C' R' IC R'IB IB = OB = R ⇒ = R
Vậy I tâm vị tự (O) (O’)
Vì vậy, BC ln ln qua điểm I cố định ( đpcm )
2. Gọi M trung điểm BC ta có
3 AG= AM
Gọi K trung điểm OO’ Vì MK đường trung bình hình thang
CO’OB nên '
2 R R KM = +
0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ
0,5đ
(2)Trang
Do M thuộc đường trịn tâm K bán kính '
2 R+R
* Ta có
( , )
( )
A
V M =G
M thuộc đường tròn (K , '
2 R+R
) cố định nên G chạy đường tròn cố
định, ảnh đường tròn ( K , '
2 R+R
) qua phép vị tự tâm A tỷ số k = 2
3
K M
I C
O A O'
B
0,5đ 0,5đ
0,5đ
Bài (7 điểm)
* Xây dựng nghiệm
* Chứng tính nguyên dương nghiệm xây dựng * Chứng tính “vơ số” nghiệm xây dựng Chẳng hạn,
Ta xây dựng nghiệm nguyên dương ( , , )x y z sau : Đặt z= +y ta có y2−z2 = −(2y+1)
Khi ta có
2
2 2
2 x n x +y −z = ⇔ =n y − −
Ta có tập *
{ 2k | | 1: }
A= x= + n + k∈ℕ gồm vô số phần tử x số nguyên dương, khác tính chẵn−lẻ với n.và thỏa điều kiện x2− − >n Vì vậy,
2 x n
y= − − số nguyên dương với x thuộc A
Rõ ràng
2
1
( , , ) ( , , )
2
x n x n
x y z = x − − − + , với x∈A, nghiệm phương trình cho
4đ 2đ 1đ