Nguyên hàm và các phương pháp tính nguyên hàm

+ Lưu ý: Bậc của đa thức và bậc của ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm.. + Dạng mũ nhân lượng giác là dạng nguyên hàm từng phần luân hồi..[r]

BÀI 1: NGUYÊN HÀM

DẠNG TOÁN 1: TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG BẢNG NGUYÊN HÀM

 Bài tốn 1.Tìm ngun hàm F x( ) hàm số f x( )(giả sử điều kiện xác định) 

 



 n xn 11

x dx C

n 

Mở rộng





  



( ) ( )

1

n

n ax b

ax b dx C

a n Một số công thức thường sử dụng:

 

kdx kx C



kf x dx( ) k f x dx. ( )

  

 f x( ) g x dx( )  f x dx( ) g x dx( ) a) Tìm họ nguyên hàm f x( ) 4 x3 x

Lời giải

Ta có: F x( )f x x( )d       

2

3

(4 5)

2

x

x x dx x x C

b) Tìm họ nguyên hàm f x( ) 3 x22x

Lời giải

Ta có: F x( )f x x( )d  2  3 2

(3x )x dx x x C

c) Tìm họ nguyên hàm  

5

1 ( )

f x x

x

Lời giải

Ta có: F x( )f x x( )d (x5x2)dx 

   

4

x x

C

d) Tìm họ nguyên hàm f x( ) 13 x21 x

Lời giải

Ta có: F x( )f x x( )d x3x21 d x



   

2

x x

x

e) Tính I(x23 )(x x1)dx

Lời giải

Phân phối được: I(x32x2 3 )dx x    

4

3

2

4

x

x x C

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Lời giải

Phân phối được: I(x3x2 2x2)dx     

4

2

2

x x

x x C

g) Tính I(2x1) d5 x (công thức mở rộng)

Lời giải



(2 1) d5  (2 1)6 

2

x

I x x C

h) Tính I(2x10)2020dx

Lời giải



(2 10)2020d  (2 10)2021

2 2021

x

I x x C

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) 4 x34x5 thỏa mãn F(1) 3

A F x( )x42x25x1 B F x( )x4 4x25x1 C F x( )x4 2x25x3 D ( ) 42 25 1

2

F x x x x

Lời giải

Chọn A

Ta có: F x( )f x x( )d (4x34x5)dx  4  

2

x x x C

Theo đề bài, ta có: F(1) 3 142.125.1    C C Do đó:   2 

( )

F x x x x

Lưu ý Nếu đề yêu cầu tìm F a( ) ta cần x a vào F x( ) tìm F a( ) Chẳng hạn, tính F(2), ta x2 vào F x( ), nghĩa   2  

(2) 2.2 5.2 17

F

Câu 2: Tìm nguyên hàm F x  hàm số f x 3x22x5 thỏa mãn F 1 4

A F x x3x2 5x3 B F x x3x25x3 C F x x3x25x3 D F x x3x2 5x3

Lời giải

Chọn B

          

 

d d

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

 1 4

F      7 C C Vậy F x x3x25x3

Câu 3: Hàm số f x  5x44x26 có nguyên hàm F x  thỏa F 3 1 Tính F 3

A F  3 226 B F   3 225 C F  3 451 D F  3 225

Lời giải

Chọn C

      

 

d d

f x x x x x   5 3 

6

x x x C  3 1

F  225   C C 226    5 36 226

F x x x x

Do F  3 451

Câu 4: Hàm số f x x33x2 có nguyên hàm F x  thỏa F 2 14 Tính F 2

A F  2 B F   2 14 C F   2 D F  2 14

Lời giải

Chọn A

      

 

d d

f x x x x x 1 43 22  4x 2x x C  2 14

F 14 C 14 C   1 43 22

4

F x x x x

Do F  2

Câu 5: Hàm số f x   2x13 có nguyên hàm F x  thỏa   

 

1

F Tính    

 

3 P F A P32 B P34 C P18 D P30

Lời giải

Chọn B

            



4

3 2

2 d

2

x x

x x C C

     

1

F     2 C C 2      

4

2

x

F x

Do   

 

3 34

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Câu 6: Hàm số f x   1 2x5 có nguyên hàm F x  thỏa  

 

1 2

F Tính F 1 A F 1  10 B F 1  5 C  1  59

12

F D  1 71 12

F

Lời giải

Chọn D

    5

1

F x x dx 11 2  5 2 

2 x d x

  

  

6

1

2

x

C

Ta có  

 

1 2

F       

6

1

1

2 C  C Do       

6

1

2

x

F x nên  1  1  6 71

2 12

F

Câu 7: Gọi F x  nguyên hàm hàm số f x   2x32 thỏa  0 

3

F Tính giá trị biểu thức Tlog23F 1 2F 2 

A T2 B T4 C T10 D T 4

Lời giải

Chọn A

    2

2

F x x dx 12 3 2 3

2 x d x

  

 

3

2

2

x

C

Ta có  0 1

F      

3

0

1

2 C  

29 C

Do      

3

2

1 29

2

x

F x nên  1 1.1 29 14

2

F ;  2  1 29 5

F

   

 

 T log23F 2F      

 

2

14

log 2.5 log

3

Câu 8: Hàm số f x x33x2 có nguyên hàm F x  Biết đồ thị hàm số yF x  qua điểm

2;10

M Giá trị F 2

A 18 B 6 C 8 D 20

Lời giải

Chọn B

  3  

3

F x x x dx    

4

3

x x

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Hàm số qua M2;10    

4

2 3.2

2.2 10

4 C  C Do     

4 3

2 4

x x

F x x               

4

2

2 2

4

F

 Bài tốn 2.Tìm ngun hàm F x  hàm số f x  (mục đích cho học sinh rèn luyện cơng thức)

Làm quen nhóm cơng thức có mẫu số

 

1dx ln x C

x 

Mở rộng   



 dx 1ln ax b C

ax b a

  



1

dx C

x

x 

Mở rộng

      



1 1

dx C

a ax b ax b

a) Tìm     

 



3 d

I x x

x

Lời giải

Ta có:         

 

 3 2 d ln 2 .

I x x x x x C

x b) Tìm     

 



2

2

3 d

I x x

x x

Lời giải

Ta có:         

 



2

2 1

3 d ln

I x x x x C

x x x

c) Tìm   

2

3 d

x x

I x

x

Lời giải

Ta có:            

 

 

d d ln

x x

I x x x x x x C

x x

d) Tìm   

2

2

d

x x

I x

x

Lời giải

Ta có:            

 

2 

d d 3ln

x x

I x x x x x x C

x x

e) Tìm 



 d

2

I x

x

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Ta có:    



 d 1ln

2

I x x C

x f) Tìm 



 d

3

I x

x

Lời giải

Ta có:        

 

 d ln 1ln

3 4

I x x C x C

x g) Tìm

 







1

I dx

x

Lời giải

 



     

 





1 1

2

2

I dx C C

x x

x

h) Tìm

 

 

 

 



  

 



12

2

I dx

x x

Lời giải

 

  

 

          

  

  

 



12 12 12

ln ln

2 1

1

I dx x C x C

x x x

x

i) Tìm 

 



1

4

I dx

x x

Lời giải

 



      

 

  

 

1 1 1

2

4 2 1

I dx dx C C

x x

x x x

j) Tìm 

 



4

6

I dx

x x

Lời giải

 



      

 

  

 

4 4

1 3

6 3

I dx dx C C

x x

x x x

k) Tìm

 

 





2 1

x

I dx

x

Lời giải

     

 

    

  

 

    

  2

2 2( 1)

1 1

x x

I dx dx

x x x  

 

 

 

2

1dx 1 dx

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold



       

 

3

2 ln ln

1

I x C x C

x x

l) Tìm  

 



2

4

x

I dx

x x

Lời giải

     

 

   

  

 

    

  2

2 2

2 2

x x

I dx dx

x x x

 

 

 

 

1

2 2 1

I dx dx

x x

  

   



1

ln

2 2

I x C

x

 

   



1

ln

2 2

I x C

x

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 9: Cho F x  nguyên hàm hàm số  



1 f x

x F 2 1 Giá trị F 3 A 7

4 B ln 1 C

2 D ln 1

Lời giải

Chọn B

    



 d ln

1

F x x x c

x

 2    1  ln   1  3 ln 1

F c F x x F

Câu 10: Biết F x  nguyên hàm hàm  



1

2

f x

x F  1 Giá trị F 4 A 1ln 5

2 B 2 ln7 5 C ln7 5 D 

1

ln

2

Lời giải

Chọn D

    



 d 1ln

2

F x x x c

x

     1 5   1ln   1   4 1ln 5

2

F c F x x F

Câu 11: Biết F x  guyên hàm hàm số  



3

2

f x

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

A 4ln B 3ln C 3ln

2 D 1

Lời giải

Chọn C

    



 d 3ln

2

F x x x c

x

 1    0   3ln  1  2  3ln

2

F c F x x F

Câu 12: Nguyên hàm F x  hàm số  



1

2

f x

x biết

  

 

 

e

2

F

A F x 2 ln 2x 1 0,5 B F x 2 ln 2x 1 C  1ln  1

2

F x x D F x 0,5ln 2x 1 0,5

Lời giải

Chọn C

    



 d 1ln

2

F x x x c

x

 

  

         

 

 

e 3 1

ln e ln 1

2 2 2

F c c F x x

Câu 13: Tìm nguyên hàm F x  hàm số       

2 , ,

b

f ax b

x x

x a biết F  1 1,  1 4

F f 1 0 A    

2

3

4

x F x

x B    

2

3

4

x F x

x

C    

2

3

2 4

x F x

x D    

2

3

2 2

x F x

x

Lời giải

Chọn A

       

 



2 d 2

b a b

F x ax x x c

x

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Lại có:

     

     

 

    

        

  

   

    

 

 

 

3

2

1

3

1 4

2

1 0 7

4

a

b c a

F

a

F b c b

f a b

c

Nên    

2

3

4

x F x

x

 Bài tốn Tìm ngun hàm F x( ) hàm số f x( ) (giả sử điều kiện được xác định): Làm quen nhóm cơng thức nguyên hàm hàm lượng giác

        

 

sin dx x cosx C sin(ax b x)d cos(ax b) C

a

      

 

cos dx x sinx C cos(ax b x)d sin(ax b) C

a

 Cần nhớ: sin 2x2sin cos ,x x      

cos 2x cos x sin x 2cos x 1 2sin x a) Tìm I(sinxcos )dx x

Lời giải

(sin cos )d  cos sin 

I x x x x x C

b) Tìm I(3cosx2 sin )dx x

Lời giải

(3cos 2 sin )d 3sin 2 cos 

I x x x x x C

c) Tìm I(2 sin 2x3cos )dx x

Lời giải

(2 sin 3cos )d  cos 1sin 

2

I x x x x x C

d) Tìm Isin cos dx x x

Lời giải

sin cos d  1sin d  1cos 

2

I x x x x x x C

e) Tìm    

 

cos d

2 x

I x

Lời giải

 

   

       

   

cos d sin

2 6

x x

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

f) Tìm    

 

sin d

3 x

I x

Lời giải

 

   

       

   

sin d 3cos

3 3

x x

I x C

g) Tìm I(sinxcos ) dx x

Lời giải

        1 

(sin cos ) d (sin sin cos cos )d (1 sin )d cos 2

I x x x x x x x x x x x x C

h) Tìm I(cosxsin ) dx x

Lời giải

     

   2   2    1 

sin cos d sin sin cos cos d sin d cos

2

I x x x x x x x x x x x x C

i) Tìm Icos2xsin2xdx

Lời giải

 

    

cos sin d cos d sin 2

I x x x x x x C

j) Tìm   

cos sin d

I x x x

Lời giải

    

    2 

cos sin d cos sin sin cos d

I x x x x x x x x

 

    

cos sin d cos d sin 2

x x x x x x C

 Nhóm áp dụng cơng thức:

         



  

2

1 d

d (1 cot )d cot cot( )

sin sin ( )

x

x x x x C ax b C

a

x ax b

       



  

2

1 d

d (1 tan )d tan tan( )

cos cos ( )

x

x x x x C ax b C

a

x ax b

k) Tìm    

 

 2

1

d cos sin

I x

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Lời giải

 

      

 

 2

1

d tan cot cos sin

I x x x C

x x

l) Tìm  62 d cos

I x

x

Lời giải

 62 d 6 tan 31  2 tan 

3 cos

I x x C x C

x

m) Tìm Itan2x xd

Lời giải

   

          

 

  

2

1

tan d tan 1 d d tan

cos

I x x x x x x x C

x

n) Tìm I(tanxcot ) dx x

Lời giải

     

           

 

  2 2 

2

1

tan cot d tan cot d d tan cot

cos sin

I x x x x x x x x x C

x x

 Bậc chẵn PP

Hạ bậc lấy công thức nguyên hàm

Công thức hạ bậc: sin2  1 1cos 2

x x cos2  1 1cos 2

x x

(Cần nhớ: Mỗi lần hạ bậc xuất hai số 1;

2 sin trừ, cos cộng, cung góc tăng gấp đơi)

o) Tìm Isin2x xd

Lời giải

Ta có     

    

sin2 d  1cos 2 d 1sin2

2 x 2x x C

I x x x

p) Tìm Icos2x xd

Lời giải

Ta có     

    

cos2 d  1cos 2 d 1sin2

2 x 2x x C

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

q) Tìm I sin d2 x x

Lời giải

Ta có     

    

 

sin d 1cos d 1sin4

2 x 2x x C

I x x x

r) Tìm Icos d2 x x

Lời giải

Ta có     

    

 

cos d 1cos d 1sin4

2 x 2x x C

I x x x

s) Tìm I(2 sin ) d x x

Lời giải

Ta có              

  

  2 

2 sin d 4 sin sin d 4

2 sin 1cos

2 d

I x x x x x x x x

 9 4cos 

2x x 12sin 6x C t) Tìm I(2 cos ) d x x

Lời giải

Ta có            

  

  

(2 cos ) d 4 cos cos d 4 c s 1c s 4o

o

2 d

I x x x x x x x x

 9 2 1

2x sin x 8sin 4x C

 Tích bậc sin cos PP

Áp dụng cơng thức tích thành tổng

 1    

sin cos sin( ) sin( )

a b a b a b

  1    

sin sin cos( ) cos( )

a b a b a b

 1    

cos cos cos( ) cos( )

a b a b a b

u) Tìm I sin cos dx x x

Lời giải

Ta có sin cos d 1sin sin2 d  1cos 1co 2s 

2 x C

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

v) Tìm Isin cos dx x x

Lời giải

Ta có sin cos d 1sin sin    1 s3 

2 d 10cos 6co x C

I x x x x x x x

w) Tìm Isin sin dx x x

Lời giải

Ta có sin sin d   1cos  o  1 1 n2 

2 c s d 8sin 4si x C

I x x x x x x x

x) Tìm Isin sin dx x x

Lời giải

Ta có sin sin d   1cos  o   1 n2  c s d 12sin 4si x C

I x x x x x x x

y) Tìm Icos7 cos dx x x

Lời giải

Ta có cos7 cos d  cos cos    

1 n

1 1

2 d 16sin 2si 6x C

I x x x x x x x

z) Tìm Icos cos dx x x

Lời giải

Ta có cos cos d  cos10 cos    

1 n

1 1

2 d 20sin10 6si 8x C

I x x x x x x x

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 14: Biết F x  nguyên hàm hàm số f x sin 2x    

 4

F Tính    

 6 P F A 

4

P B P0 C 1

2

P D 

4 P

Lời giải

Chọn D

Ta có:  sin d  1cos 

F x x x x C

 

   

      

   

   

1

1 cos 1

4

F C C

Suy              

   

1

cos cos

2 6

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Câu 15: Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x 2xsinx2 cosxthỏa mãn F 0 1

A F x x2cosx2 sinx2 B F x x2 cosx2 sinx C F x  2 cosx2 sinx D F x x2cosx2 sinx2

Lời giải

Chọn D

Ta có: F x   2xsinx2 cosxdxx2cosx2 sinx C

        

0 cos sin

F C C

Suy F x x2cosx2 sinx2

Câu 16: Tìm nguyên hàm F x của hàm số  sin  12

cos

f x x

xthỏa mãn 

      

2

4

F

A F x  cosxtanx C B F x  cosxtanx 1 C F x cosxtanx 1 D F x  cosxtanx 1

Lời giải

Chọn D

Ta có:         

 



1

sin d cos tan

cos

F x x x x x C

x

  

         

   

2

cos tan

4 4

F C C

Suy F x  cosxtanx 1

Câu 17: Cho F x là nguyên hàm f x 4 cos2x5 thỏa mãn F  0 Tìm F x 

A F x   3x sin 2x3 B  4sin3 5 5

F x x x

C   4cos3 5  4 5

3

F x x x D F x   3x sin 2x3

Lời giải

Chọn A

Ta có: F x 4 cos2x5 d x2 cos 2x3 d xsin 2x3x C    0 sin 23    0 3

F C C

Suy F x   3x sin 2x3

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

A 1

2 B

5

16 C 2 D

5

Lời giải

Chọn B

Ta có:  cos2 d  11 cos 2 d  1sin 

2

F x x x x x x x C

Suy 1;  1 2 

2 16

a b a b

Câu 19: Biết sin 2xcos 2x2dx x acos 4x C

b , với a b, số nguyên dương, a b phân số tối giản C Giá trị a b

A 2 B 3 C 4 D 5

Lời giải

Chọn D

Ta có: sin 2xcos 2x2dx 1 sin 4 d  1cos 

x x x x C

Suy a1;b   4 a b

 Bài tốn Tìm ngun hàm F x( ) hàm số f x( ) (giả sử điều kiện xác định): Làm quen nhóm cơng thức mũ

 

    

 

e dx x ex C eax bdx eax b C

a

   



 

    

 d  d

ln ln

x x

x a x a

a x C a x C

a a

aa) Tìm e d 2x

I x

Lời giải

  

e d

x x

I x e C

bb) Tìm Ie1 2 xd x

Lời giải

 

  1 

e d e

2

x x

I x C

cc) Tìm (2 e )d x

I x x

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

 

   2 

(2 e )dx x

I x x x e C

dd) e (1 3ex  2x)d

I x

Lời giải

     

   

e 3ex x d x x d

I x e e xex3ex C ee) Tìm (3 e ) d  x

I x

Lời giải

   

 3 e x 2d  9 6 x  2x d

I x e e x

  1 

9

2

x x

x e e C

ff) Tìm I2 e 3x2dx

Lời giải

   

 2 e 3x 2d  4 4 3x 6x d

I x e e x  4 1 

4

3

x x

x e e C

gg) Tìm 22x1d

I x

Lời giải 



22 1d 1 2. 

2 ln

x x

I x C

hh) Tìm 41 2 xd

I x

Lời giải 



41 d  1 4. 

2 ln

x x

I x C

ii) Tìm 3 dx x

I x

Lời giải

3 d 15 d  15

ln

x

x x x

I x x

jj) Tìm I4 3x x1d x

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold



4 d1 12 d  12. 

3 ln12

x x

x x

I x x C

kk) Tìm  

2

d e x

x

I

Lời giải

 



   2

2

d

e d

5 e

x x

x

x

I x e C

ll) Tìm  

3

d x

x

I

Lời giải

 



   3

3

d

2 d

2

x x

x

x

I x C

mm) Tìm

 

4 31 1d

2

x x

x

I x

Lời giải  

4 31 1d  12 d  46 d 4 

3 3 ln

2

x x x x

x

x x

I x x x C

nn) Tìm

 

42 1.6 1d

3

x x

x

I x

Lời giải  

42 1.6 1d  96 d  32 

24 24 ln 32

3

x x x x

x x

I x x C

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 20: Biết F x( ) nguyên hàm hàm số f x( ) e 2x thỏa (0) 3

2

F Giá trị   

 

1

F A 1 2

2e B 

1

2e C 2e1 D 

1

2e

Lời giải

Chọn B

Ta có:     1 

x x

f x dx e dx e C

*  0  3 2.0   3

2 2

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Vậy        

 

2

1 1

1

2 2

x

F x e F e

Câu 21: Một nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) 2e x3x2 thỏa 

(0) F A 2e  3 3

2

x

x B 2e  3 5

x

x C e  3 7

x

x D 2e  3 9

x

x

Lời giải

Chọn B

Ta có:      2   3

2 x x

f x dx e x dx e x C

*   9 0 3   9

0

2 2

F e C C

Vậy  2  3 5

x

F x e x

Câu 22: Biết F x( ) nguyên hàm hàm số f x( ) 4 x thỏa (1) 

ln

F Giá trị F(2) A (2)

ln

F B (2)

ln

F C (2)

ln

F D (2)

ln

F

Lời giải

Chọn A

Ta có:    4     ln ln

x x

x

f x dx dx C C

*  1       ln 2 ln ln ln

F C C

     

  2 42 

2 ln 2 ln ln

x

F x F

Câu 23: Họ nguyên hàm hàm số f x( ) 7 2x x x

A 84  ln 84

x

C B 

2

2 ln 4.ln 3.ln

x x x

C C 84x 

C D 84 ln 84x 

C

Lời giải

Chọn A

Ta có:    2 72  4.3.72 84  84  ln 84

x

x x x x

f x dx dx dx dx C

Câu 24: BiếtF x( ) nguyên hàm hàm số f x( ) e 3x1 thỏa mãn (0) e

3

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Lời giải

Chọn A

Ta có:  

 

  

  3

3

x

x e

f x dx e dx C

*  



  3.0 1   

0

3 3

e e e

F C C

    

   

3

x

e e

F x F  3   3   4   

ln 3F ln e lne 64

Câu 25: Biết nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) 2 x 2x3 thỏa mãn (0) 

ln

F Tính giá trị

biểu thức    

3

10

ln (1)

F A

A A1 B A8 C A16 D A32

Lời giải

Chọn B

Ta có:  



 

   

 4 22 24 24

4 ln

x

x x x

f x dx dx dx C

*  



  24.0    

0

ln ln ln

F C C

    

  24   25

4 ln ln

x

F x F  

 

 

 

   

     

3

15

10 10 10

2 ln

ln 2.F ln 2 2

2 32

2 2

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

DẠNG TOÁN 2: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ (PHÂN SỐ KHƠNG CĂN)  Bài tốn Tìm ngun hàm F x( ) hàm số f x( ) (giả sử điều kiện xác định): a) Tìm  



3 1d x

I x

x

Lời giải

Ta có       

   

3( 1) 4d  d

1

x

I x x

x x 3x4 ln x 1 C b) Tìm  



2 1d x

I x

x

Lời giải

Ta có        

   

2 3d  d

1

x

I x x

x x 2x4 ln x 1 C

c) Tìm  



3 1d x

I x

x

Lời giải

Ta có        

   

3 7d  d

2

x

I x x

x x 3x7 lnx 2 C

d) Tìm  



4 3d

2

x

I x

x

Lời giải

Ta có        

   

2 5d  d

2

x

I x x

x x    

5

2 ln

2

x x C

e) Tìm 



 d

1

x

I x

x

Lời giải

Ta có:   



( ) 12 d

x

I x

x

    

     

   

( 1)( 1) 1d  1 d

1

x x

x x x

x x

  ln  1

2

x

x x C

f) Tìm 



 d

1

x

I x

x

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Ta có:   



( ) 12 d

x

I x

x

    

     

   

( 1)( 1) 1d  1 d

1

x x

x x x

x x

  ln  1

2

x

x x C

g) Tìm 



 d

1

x

I x

x

Lời giải

Ta có:              

    

( ) 13 ( 1)( 1) 

d d d

1 1

x x x x

I x x x x x

x x x

   ln  1

3

x x

x x C

h) Tìm 



 d

2

x

I x

x

Lời giải

Ta có:

       

       

    

( ) 83 ( 2)( 2 4) 

d d d

2 2

x x x x

I x x x x x

x x x

  24 8 ln  2 .

3

x

x x x C

i) Tìm   



 1d

2

x x

I x

x

Lời giải

Ta có:          



 

 d 3ln

2

x

I x x x x C

x

j) Tìm   



2 3d

1

x x

I x

x

Lời giải

Ta có:          



 



2 d ln

1

I x x x x x C

x

k) Tìm   



4 1d

2

x x

I x

x

http s://www .fa ceboo k.com /viet gold h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

Ta có:          



 



2 d ln

2

I x x x x x C

x

l) Tìm   



3 2 1d

1

x x

I x

x

Lời giải

Ta có:          



 



3 d ln

1

I x x x x x C

x

 Nhớ udxlnudxlnu C

u m) Tìm  

   d x I x

x x

Lời giải

Ta có:  

   d x I x x x       

2 d x x x x       

 22

2 d x x x x x  

 2   2  

2 lnx x dx 2lnx x C

n) Tìm  

   d x I x

x x

Lời giải

Ta có:  

   d x I x x x       

 22

3

d

3

x x

x

x x  

  2 

ln 3x x dx 2  

ln 3x x C

o) Tìm  

   d x I x

x x

Lời giải

Áp dụng f x ax2bx c a x x    1x x 2 với x1, x2 hai nghiệm f x 0 ta được:

   x

x x  

          2 x

x x   

 

 

5 2

x

x x  2 2 3

a b

x x với

h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn ht tps://www .fa ceboo k.com /viet gold

Khi đó, ta có Lời giải sau:  

   d x I x x x          

 d

2 x

x x

2 ln  2 1ln  3

x x C

p) Tìm

  



 

 d

1

I x

x x

Lời giải Ta có:         1 3 a b x x

x x với

                1 1 x x a x b x Khi đó:      

 d

1

I x

x x  

 

        

 

 

1 1 ln ln

4 x x dx x x C

    1 ln x C x q) Tìm      

 d

2

I x

x x

Lời giải

Ta có:

       

1

2

2

a b

x x

x x với

                1 1

2 14

x x a x b x Khi đó:      

 d

2

I x

x x  

 

        

 

 

 1 1 ln ln

14 x x dx 14 x x C

    ln 14 x C x

r) Tìm 

  d I x

x x

Lời giải Ta có: 

x x    

4

x x   4

a b

x x với

http s://www .fa ceboo k.com /viet gold h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

Khi đó:    d I x

x x  

 

       



 

1 1 ln ln

4 x x dx x x C



1ln 

4

x

C

x

s) Tìm  

   d x I x

x x

Lời giải

Ta có: 

 

2

4

2 x

x x   

    x

x x  1 2

a b

x x với

                 5 1 x x x a x x b x

Khi đó:      d x I x x x          

 d

1 x

x x 3lnx 1 lnx 2 C

t) Tìm  

   11 d x I x

x x

Lời giải

Ta có: 

 

2

4 11

5

x

x x   

    11 x

x x  2 3

a b

x x với

                 11 3 11 x x x a x x b x u) Tìm      d I x

x x

Lời giải

Ta có:     



 

 1 d

a b c

I x

x x x

với



 

    



  0

d

1

d

x

a

x x ; 

 

   



  0

1

1

x

b

x ;   

1 1 x c x

Nên     



 



1 1 d

I x

x x x     

1 ln x ln x C

x



ln x 1 1 C

x x

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Ta có:

   



 



2

d

2

I x

x x    

 

 

 

   

 



1

2 d

2 x

x x  

 

   

    

 

2 2 1 d

2

a b c

x

x x x

với



 

    



  2

d 1

d

x

a

x x ; 

 

   



  2

1

1

x

b

x ;  



 

 

 

  

  1

1

9

x

c x

Khi đó:

   



 



2

d

2

I x

x x      

 

 

  

    

 



1 1

2 d

9 x x 3 x 2 x

 

     



2

ln ln

9 x x x C  



  

 

1

2

ln

9

x

C

x x

DẠNG TOÁN 3: NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

 Định lý: Nếu hai hàm số u u x   v v x   có đạo hàm liên tục K            

 d   d

I u x v x x u x v x v x u x x hay I u v uvd  v ud  Vận dụng giải tốn:

Nhận dạng: Tích hai hàm nhân khác nhau, ví dụ:  xsin d , ln d , e x x x x x + Đặt    

 

 

d d d d

u u x

v x v Suy Iu v uvd  v ud

+ Thứ tự ưu tiên chọn u: log – đa – lượng – mũ dv phần lại

+ Lưu ý: Bậc đa thức bậc ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm + Dạng mũ nhân lượng giác dạng nguyên hàm phần luân hồi

Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) (giả sử điều kiện xác định):

 Bài tốn Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) (giả sử điều kiện xác định): a) Tìm Ix1 sin d x x

Lời giải

Chọn     

   



/

/

1

sin cos

v p n h

u x du dx

dv xdx v x

Suy I  x cos xcos dx x   x cos xsinx C b) Tìm Ixln dx x

Lời giải

Chọn



  

 

   



/

/

1 ln

1

v p

n h

u x du dx

x

dv xdx v x

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Suy  1

ln d

2

I x x x x  1 2

ln

2x x 4x C c) Tìm Ixe xxd

Lời giải

Chọn    

  



/

/

d d

v p n h

x x

u x du dx

v e x v e

Suy Ixexe xxd xex ex Ce xx  1 C d) Tìm Ixexdx

Lời giải

Chọn      

   



/

/

d d

v p

x n h x

u x du dx

v e x v e

Suy I xexexdx  xex exC exx 1 C e) Tìm  2 d

sin x

I x

x

Lời giải

Chọn

   

 

   



/

/

1

d d cot

sin

v p n h

u x du dx

v x v x

x

Suy I xcotxcot dx x   cot  d sin  sin

x x x

x  xcotxln sinx C f) Tìm  2 d

cos x

I x

x

Lời giải

Chọn

   

 

  



/

/

1

d d tan

cos

v p n h

u x du dx

v x v x

x

Suy Ixtanxtan dx x  tan  d cos  cos

x x x

x xtanxln cosx C  Cần nhớ: 1) tan dx x ln cosx C 2) cot dx xln sinx C

g) Tìm I lnxdx

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Đặt



         

  

   

1

ln

ln ln

u x du dx

I x x x dx x x x C x

dv dx x

v x h) Tìm I 2x1 ln xdx

Lời giải

Đặt

 



  

 

   

 

   2

1 ln

2

u x du dx

x

dv x dx

v x x

     

  2  2  2   

ln ln

2

x

I x x x x x dx x x x x C

x

i) Tìm Ixsin cosx xdx

Lời giải

Ta có  1 sin 2

I x xdx Khi đó, đặt

 

  



  

 

 sin  1cos

2 du dx u x

dv xdx v x

Suy       

  

1 1 1

cos cos cos sin

2 2

I x x xdx x x x C

j) Tìm Ix2 cos2x1dx

Lời giải

Ta có:       2  

1 cos cos

I x x x dx x x dx x xdx

Đặt

 

       

  



  

3 1

sin sin

cos sin 2

2 du dx

u x x x x

I x xdx

dv xdx v x

    sin 1cos 

3 2

x x x

I x x C

k) Tìm  xsin

I e xdx

Lời giải

Đặt           

  

 

 sin  cos cos  cos cos

x x

x x x

u e du e dx

I e x e xdx e x I

dv xdx v x

Đặt         

 

 

 cos  sin sin  sin sin

x x

x x x

u e du e dx

I e x e xdx e x I

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Suy ra:   cos  sin    sin cos 

x

x x e

I e x e x I I x x C

l) Tìm  xcos

I e xdx

Lời giải

Đặt         

 

 

 cos  sin sin  sin sin

x x

x x x

u e du e dx

I e x e xdx e x I

dv xdx v x

Đặt           

  

 

 sin  cos cos  cos cos

x x

x x x

u e du e dx

I e x e xdx e x I

dv xdx v x

Suy ra:  cos  sin    sin cos 

x

x x e

I e x e x I I x x C

m) Tìm        

 

 1 ln

2

I x x dx

x

Lời giải

Đặt          

  

1

1 ln

2

t x x dt dx I t dt

x

Đặt        



   

           



  



 

   

1 ln

ln ln ln

1

1

u t du dt t

I t t dt t t t t C

t

t

dv dt v t

       

 I x x ln x x  1 x x ln x x 1 C

n) Tìm  

 

 







ln

x x

I dx

x

Lời giải

Đặt

         

   

  

         

   

2

3

ln 1 ln 4 1

1

2 1

x t

dt

t x dt x dx dx I dx dt

x x t

Đặt    

 



     

      

  



   

 



2

4 ln

ln 2

4

1 1 2 4 1

2 2

u t du dt t

t I dt

t t t

dv dt v

t t

        

          



 



ln 1 1 ln 4 1

8 ln

2 4

t t t

I dt C

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

 

   

   

    

 

2 2

2

ln 4 8 3

8 ln

2

x x x x

I C

x x

o) Cho F x lnx nguyên hàm f x 3

x Tìm nguyên hàm f x lnx Lời giải

Áp dụng định nghĩa F x'( ) f x( ), Ta có:  lnx   f x 3 x

 

 1 f x3

x x   

2

f x x Ta tìm If x ln dx x

Chọn

   

   

 

     



1

ln d d

d d

u x u x

x

v f x x v f x x

       

.ln d ln d ln

2

x

I x x x x x x x x x x C

x

Vậy      

2

ln d ln

x

f x x x x x C

p) Cho F x lnx nguyên hàm f x 2

x Tìm nguyên hàm f x lnx Lời giải

Áp dụng định nghĩa F x'( ) f x( ), Ta có:  lnx   f x 2 x

 

 1 f x2

x x  f x x

Ta tìm If x ln dx x

Chọn

   



  

 

   

 

   

1

ln d d

d d

u x u x

x v f x x

v f x x

 I xlnxx d1 xxlnxdxxlnx x C 

x

Vậy f x ln dx xxlnx x C  q) Cho  

3

1 F x

x nguyên hàm  

2

f x

x Tìm nguyên hàm f x lnx Lời giải

Áp dụng định nghĩa F x'( ) f x( ), Ta có:  



 



 

 

1 f x

x x

 

  34  f x2

x x    

3 f x

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Ta tìm If x ln dx x

Chọn

   

 

  

 

    

 

  



1

d d

ln

d d

u x

u x x

v f x x

v f x x

 32 ln  12 d   32 ln 3 13d   32 ln  32 

2

I x x x x x C

x

x x x x x x

Vậy   ln d   32 ln  32 

f x x x x C

x x

r) Cho  

2

1 F x

x nguyên hàm  

f x

x Tìm nguyên hàm   

4

'( ) x x f x

Lời giải

Áp dụng định nghĩa F x'( ) f x( ), Ta có:  



  

 

 

1 f x

x x

 

  23  f x

x

x    

2 f x

x Ta tìm  4 3  

d I x x f x x

Chọn

 

 

 

  

  

 

   

  

 





3

4

2

d d

2

d d

u x x x

u x x

v f x x v f x

x

     

           

        

 

4 3 2

2

2 2

2

d 2 d

2

I x x x x x x x x x

x x

x x x x C x x C

Vậy x4x3f x dx2x2 4x C

s) Cho F x x2 nguyên hàm f x e( ) 2x Tìm nguyên hàm e2x '( )f x

Lời giải

Áp dụng định nghĩa F x'( ) f x( ), Ta có:  2   ( ) 2x

x f x e 2x f x e( ) 2x    2

2 x

f x x e Ta tìm  2x  d

I e f x x

Đặt

    



  

 

   

 

 

 

2

2

d d

d d

x x

x

u e x

u e

v f x x v f x xe

          

 

2 2 2

2 x x x xd d 2

I xe e x e e x x x x x x C

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

t) Cho    x

F x x e nguyên hàm f x e( ) 2x Tìm nguyên hàm e f x2x '( )

Lời giải

Áp dụng định nghĩa F x'( ) f x( ), Ta có: x e x f x e( ) 2x   (x 1)ex  f x e( ) 2x



 f x( )  (x 1).e x

Ta tìm  2x '( ) I e f x dx

Chọn     

    

 

 

2

2 2

'( ) ( ) ( 1)

x x

x

du e dx

u e

dv f x dx v f x x e

Suy   ( 1) x2 ( 1) x   ( 1) x2 1

I x e x e dx x e I

Tìm 1 ( 1) x

I x e dx

Chọn     

 

 

 

1

1

1

x x

u x du dx

dv e dx v e

              

  

1

( 1) x ( 1) x ( 1) x x ( 1) x

I x e I x e x e e dx x e C

Vậy  2x '( ) ( 1) x

e f x dx x e C

DẠNG TOÁN 4: NGUYÊN HÀM ĐỔI BIẾN SỐ

 Định lí: Cho  f u( )du F u ( )C u u x ( ) hàm số có đạo hàm liên tục



     

   

 f u x u x( ) ( )dx F u x( ) C Có sẵn Tách từ hàm Nhân thêm

Một số dạng đổi biến thường gặp

 



       



  

         



  

       



  

1

2

( ) d d d

d d ( 1) d ,

1

( ) d d d

PP n

m n

PP n n

n

PP n

I f ax b x x t ax b t a x

x

I x t x t n x x

ax

I f ax b x x t ax b t ax x

với m n, 

I n f x f x( ) ( )d x PP

Đặt n ( ) n ( ) n1d  ( )d

t f x t f x nt t f x x



   

  



 

1 (ln ) d

1 ( ln ) d

I f x x

x

I f a b x x

x

PP

Đặt

   



 

    



1

ln d d

ln d d

t x t x

x b

t a b x t x

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

  (e ).e dx x

I f x PP

Đặt     

   



e d e d e d e d

x x

x x

t t x

t a b t b x

I f(cos ).sin dx x x PP Đặt        

  



cos d sin d cos d sin d

t x t x x

t a b x t b x x

I f(sin ).cos dx x x PP Đặt     

    



sin d cos d sin d cos d

t x t x x

t a b x t b x x

  (tan ) d2 cos

x

I f x

x 

PP

Đặt tan d  12 d  (1 tan2 )d cos

t x t x x x

x   (cot ) d2

sin x

I f x

x 

PP

Đặt       

2

d

cot d (1 cot )d

sin x

t x t x x

x

  2

(sin ; cos ).sin d

I f x x x x PP Đặt     

   



2

2

sin d sin d cos d sin d

t x t x x

t x t x x

I f(sinxcos ).(sinx x cos )dx x PP

Đặt tsinxcos x

 Lưu ý: Sau đổi biến tính nguyên hàm xong, ta cần trả lại biến cũ ban đầu x

 Nhóm

 

 

 

 

       



  

          

   



       



  

1

2

1 , m, n

1

n PP

m n

PP n n

n

n PP

I f ax b xdx t ax b dt adx x

I dx t ax dt a n x dx Z

ax

I f ax b xdx t ax b dt axdx

 Bài toán Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) (giả sử điều kiện xác định): a) Tìm Ix1x2018dx

Lời giải

Đặt      /  

1 v p

t x x t dx dt

Khi đó:    2018   2018

1

I t t dt t t dt

 

 2019 2018  2020  2019 

2020 2019

t t

t t dt C

Suy       

2020 2019

1

2020 2019

x x

I C

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Lời giải

Đặt      / 

1 v p

t x x t dx dt

Khi đó:   2019

1

I t t dt

 

 2020 2019  2021  2020 

2021 2020

t t

t t dt C

Suy       

2021 2020

1

2021 2020

x x

I C

c) Tìm Ix x 215dx

Lời giải

Đặt    /  

1

2

v p dt

t x dt xdx xdx

Khi đó:  1

2

I t dt  

6

12

t C

Suy    

6

1 12

x

I C

d) Tìm  2  9

1

I x x dx

Lời giải

Đặt      / 

1 v p

t x x t dx dt

Khi đó:   9  11 10 9

1

I t t dt t t t dt

 12 2 11  10 

12 11 10

t t t

C

Suy           

12 11 10

1 1

12 11 10

x x x

I C

e) Tìm 





2 xdx I

x

Lời giải

 

 



 

 

  

  2

2

2

2

2

1

ln 2

d x

x x

I dx

x

x x

x C

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

f) Tìm

 

 



1

xdx I

x

Lời giải

Đặt      / 

1 v p

t x x t dx dt

Khi đó: It51dt t

  13  14 

3t 4t C Suy

   

   

 

1

3

I C

x x

g) Tìm 



 25

1

x dx I

x

Lời giải

Ta có  

 

 25  42

1

x dx x xdx

I

x x

Đặt  2    / 

1

2

v p

t x x t xdx dt

Khi đó:       

 

 

1 ( 1) 1

2

2

t

I dt t dt

t t

  ln 

4

t t

t C

Suy      

 

    

2

2

2

1 ln

1

4

x x

I x C

h) Tìm 



 104

4

x dx I

x

Lời giải

Đặt  / 

5

v p

t x x dx dt

Khi đó:

    

    

 

   

 

1 1 1

5 2 20 2

I dt dt

t t

t t



 



1

ln

20

t

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Suy   



5

1

ln

20

x

I C

x

i) Tìm  



 25

d

x x I

x

Lời giải

Đặt  2 1   1 vp 2 d d

t x x t x x t

 d 1d

x x t Khi đó:  

   

 

       

 

   



     

 

2

2

2

1 1

1 d d

2

1 ln

4

1 1

1 ln

4

I t t t t

t t

t

t t C

x

x x C

j) Tìm  



 104

d

x x I

x

Lời giải

Đặt     

5 d d d

5 dt

t x x x t x x

Khi đó:

 

    

 

  



 

 

 



 

5

1 d 1

d

5 20 2

1

ln

20

1

ln

20

t

I t

t t

t t

C t

x

C x

k) Tìm  



 20172019

( 1)

d (2 3)

x

I x

x

Lời giải

Ta có:     

 

 

 2017

1

d

2 (2 3)

x

I x

x x

Đặt    

 

1

d d

2 (2 3)

x

t t x

x x

Khi đó:   

2018 2017d

2018

t

I t t C

  

   



 

2018

1

2018

x

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

l) Tìm  





d ( 1)

x x I

x

Lời giải

Ta có:    

 

 



1 d ( 1) x

I x

x x

Đặt   

 

1

d d

1 ( 1)

x

t t x

x x

Khi đó:   

6 5d

6

t

I t t C

 

    

 

6

1

6

x

C x

m) Tìm   



 99101

(7 1) d (2 1)

x x

I

x

Lời giải

Ta có:     

 

 

 99

7 1

d

2 (2 1)

x

I x

x x

Đặt    

 

7

d d

2 (2 1)

x

t t x

x x

Khi đó:   

100 99 d

9 900

t t

I t C

  

   



 

100

1

900

x

C x

n) Tìm  



 20012 1002

d (1 )

x x

I

x

Lời giải

Ta có:    

 

 



1000

2 1 ( 1)2 d

x x

I x

x x

Đặt     

d d d

2 dt

t x t x x x x

Khi đó:

 

 

   

  



1000

2

1 d

1 1

t t

I

t t

Đặt   

 

1

du d

1 (t 1)

t

u t

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

   

 

  

 

 

 1000 1001 1001

2

du

2 2002

2001

u

I u C

x x

C  Nhóm

Hai cơng thức thường sử dụng là:

  



 dx ax b C

a

ax b       

3

2

ax bdx ax b C

a

 Bài tốn Tìm ngun hàm F x( ) hàm số f x( ) (giả sử điều kiện xác định): a) Tìm  

4 d

I x x x

Lời giải

Đặt t x2   3 t2 x23

2tdt2xdx

Lúc đó:   3

4

3

I t dt t c

Vậy          

3

2 2

4

3 3

3

I x x x c

b) Tìm I x 2020x xd

Lời giải

Đặt    2 

2020 2020

t x t x

2 dt t dx

Lúc đó:          

5

2 2 4040

2020 d 4040 d

5

t t

I t t t t t t t c

Vậy    

 

  

5

2 2020 4040 2020

5

x x

I c

c) Tìm 





d x I

x x

Lời giải

Đặt    2 2

4

t x t x

2 dt t2 dx x

    

      

 

  



 2 2  

1 8

d dt dt

2

4

x

I x

t t t

t t

x x

 1ln 1ln  2 1ln  2

4 t t t c

Vậy  1ln 2 4 1ln   4 1ln 2  4

4 8

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

d) Tìm 





d x I

x x

Lời giải

Đặt t x2   9 t2 x29

2 dt t2 dx x

    

      

 

  



 2 2  

1 18 18

d dt dt

3

9

x

I x

t t t

t t

x x

 1ln  ln  2 ln  2

9 t 18 t 18 t c

Vậy  1ln 2 9 ln 2  9 ln 2  9

9 18 18

I x x x c

e) Tìm  x 5 xd I e e x

Lời giải

Đặt     2

5 x x

t e t e

2 dt t e xxd

 

       2 3

5 d d d

3

x x

I e e x t t x t t t c

Vậy      

3

2

x

I e c

f) Tìm Isinx 2018 cos d x x

Đặt    2 

2018 cos 2018 cos

t x t x

2 dt t sin dx x  

     2 3

d d

3

I t t x t t t c

Vậy     

3

2018 cos

I x c

g) Tìm 

 

 1

xdx I

x x

Lời giải

Ta có:   

   

 2

( 1)

( 1)( 1)

x x x dx

I

x x x x

 



 

 22 22

1 ( 1) x x x

dx

x x

 



 

 22 22

1 ( 1) x x x

dx

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht