GTLN - GTNN CỦA MƠĐUN SỐ PHỨC A BÀI TỐN CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC I CÁC BÀI TOÁN QUI VỀ BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM MỘT BIẾN PHƯƠNG PHÁP Bài toán: Trong số phức z thoả mãn điều kiện T Tìm số phức z để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất, lớn Từ điều kiện T, biến đổi để tìm cách rút ẩn vào biểu thức P để hàm biến Tìm giá trị lớn (hoặc nhỏ nhất) tuỳ theo yêu cầu toán hàm số biến vừa tìm II CÁC BÀI TỐN QUI VỀ BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC HAI BIẾN MÀ CÁC BIẾN THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC PHƯƠNG PHÁP: Để giải lớp tốn này, chúng tơi cung cấp cho học sinh bất đẳng thức như: Bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng trung bình nhân, bất đẳng thức Bunhia- Cốpxki, bất đẳng thức hình học số tốn cơng cụ sau: BÀI TỐN CƠNG CỤ 1: Cho đường trịn (T ) cố định có tâm I bán kính R điểm A cố định Điểm M di động đường U U tròn (T ) Hãy xác định vị trí điểm M cho AM lớn nhất, nhỏ Giải: U TH1: A thuộc đường tròn (T) Ta có: AM đạt giá trị nhỏ M trùng với A AM đạt giá trị lớn 2R M điểm đối xứng với A qua I TH2: A khơng thuộc đường trịn (T) Gọi B, C giao điểm đường thẳng qua A,I đường tròn (T); Giả sử AB < AC +) Nếu A nằm ngồi đường trịn (T) với điểm M (T), ta có: AM ≥ AI − IM = AI − IB = AB Đẳng thức xảy M ≡ B AM ≤ AI + IM = AI + IC = AC Đẳng thức xảy M ≡ C +) Nếu A nằm đường trịn (T) với điểm M (T), ta có: AM ≥ IM − IA = IB − IA = AB Đẳng thức xảy M ≡ B AM ≤ AI + IM = AI + IC = AC Đẳng thức xảy M ≡ C Vậy M trùng với B AM đạt gía trị nhỏ Vậy M trùng với C AM đạt gía trị lớn BÀI TỐN CƠNG CỤ 2: Cho hai đường trịn (T1 ) có tâm I, bán kính R ; đường trịn (T2 ) có tâm J, bán kính R Tìm vị trí U U R R điểm M (T1 ) , điểm N (T2 ) cho MN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ https://toanmath.com/ R R Giải: U Gọi d đường thẳng qua I, J; d cắt đường tròn (T1 ) hai điểm phân biệt A, B (giả sử JA > JB) ; d cắt (T2 ) hai điểm phân biệt C, D ( giả sử ID > IC) Với điểm M bất khì (T1 ) điểm N (T2 ) Ta có: MN ≤ IM + IN ≤ IM + IJ + JN =R1 + R2 + IJ =AD Đẳng thức xảy M trùng với A N trùng với D MN ≥ IM − IN ≥ IJ − IM − JN = IJ − R1 + R2 = BC Đẳng thức xảy M trùng với B N trùng với C Vậy M trùng với A N trùng với D MN đạt giá trị lớn M trùng với B N trùng với C MN đạt giá trị nhỏ BÀI TỐN CƠNG CỤ 3: Cho hai đường trịn (T ) có tâm I, bán kính R; đường thẳng ∆ khơng có điểm chung với (T ) Tìm vị U U trí điểm M (T ) , điểm N ∆ cho MN đạt giá trị nhỏ Giải: Gọi H hình chiếu vng góc I d Đoạn IH cắt đường tròn (T ) J Với M thuộc đường thẳng ∆ , N thuộc đường tròn (T ) , ta có: MN ≥ IN − IM ≥ IH − IJ = JH = const Đẳng thức xảy M ≡ H ; N ≡ I Vậy M trùng với H; N trùng với J MN đạt giá trị nhỏ U B – BÀI TẬP Câu Trong số phức thỏa mãn điều kiện z + 3i = z + − i Tìm số =1 (1) Trường hợp 2: z − − 2i = z + 3i − Gọi z= a + bi (với a, b ∈  ) ta 2 a −1 + (b − 2) i = − ( a − 1) + ( b + 3) i ⇔ ( b − ) = ( b + 3) ⇔ b = Suy w = z − + 2i = a − + i ⇒ w = ( a − ) + ≥ ( ) Từ (1) , ( ) suy | w |= Câu 115 Cho số phức z thỏa mãn z − − 4i = Gọi M m giá trị lớn giá trị = M + mi nhỏ biểu thức P = z + − z − i Môđun số phức w A w = 1258 B w = 309 Chọn A - Đặt z= x + yi , với x, y ∈  https://toanmath.com/ C w = 314 Hướng dẫn giải D w = 137 Ta có: z − − 4i = ⇔ ( x − 3) + ( y − ) i =5 ⇔ ( x − 3) + ( y − ) = , hay tập hợp 2 điểm biểu diễn số phức z đường tròn ( C ) có tâm I ( 3; ) , bán kính r = - Khi : P = z + − z − i = ( x + ) + y − x − ( y − 1) = x + y + 2 2 ⇒ 4x + y + − P = , kí hiệu đường thẳng ∆ - Số phức z tồn đường thẳng ∆ cắt đường tròn ( C ) ⇔ d ( I; ∆) ≤ r ⇔ 23 − P ≤ ⇔ P − 23 ≤ 10 ⇔ 13 ≤ P ≤ 33 Suy M = 33 m = 13 ⇒ w = 33 + 13i Vậy w = 1258 Câu 116 Cho số phức z thoả mãn z − − 4i = biểu thức P = z + − z − i đạt giá trị lớn 2 Môđun số phức z A B 13 D 10 C 10 Hướng dẫn giải Chọn A Đặt z= x + yi với x, y ∈  gọi M ( x; y ) điểm biểu diễn z Oxy , ta có z − − 4i = ⇔ ( x − 3) + ( y − ) = 2 Và P = z + − z − i = ( x + ) + y − x − ( y − 1) = x + y + 2 2 Như P = x + y + 3=  ( x − 3) + ( y − )  + 23 ≤ 42 + 22 ( x − 3) + ( y − ) 2 + 23 = 33 x = x −3 y −4  = = t ⇔ y = Dấu “=” xảy  t = 0,5  10 4 ( x − 3) + ( y − ) =  Vậy P đạt giá trị lớn z= + 5i ⇒ z = Câu 117 Gọi M m giá trị lớn nhỏ P = thỏa mãn z ≥ Tính tỷ số A M =5 m Chọn B https://toanmath.com/ B z+i , với z số phức khác z M m M =3 m M = m Hướng dẫn giải C D M = m z +i ⇒ (T − 1) z= i z Nếu T = ⇒ Khơng có số phức thoả mãn yêu cầu toán i i Nếu T ≠ ⇒= z z ⇔= ≥ ⇒ T −1 ≤ T −1 T −1 Gọi T = Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức T hình trịn tâm I (1;0 ) có bán kính R =   M = OB = OI + R = ⇒ m = OA = OI − R =  M ⇒ = m Câu 118 Cho số phức z thỏa mãn z + = ( z − 2i )( z − + 2i ) Tìm giá trị nhỏ P = z + − 2i A Pmin = B Pmin = C Pmin = D Pmin = Hướng dẫn giải Chọn B  z − 2i = ⇔ z − 2i ( z + 2i − z − + 2i ) =0 ⇔   z + 2i = z − + 2i Do tập hợp điểm N biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ Oxy điểm A ( 0; ) Ta có z + = ( z − 2i )( z − + 2i ) đường trung trực đoạn thẳng BC với B ( 0; −2 ) , C (1; −2 )  1  Ta có BC = (1;0 ) , M  ;0  trung điểm BC nên phương trình đường trung trực BC 2  ∆ : x − =0 Đặt D ( −3; ) , DA = , d ( D, ∆ ) = N P = z + − i = DN Khi , với điểm biểu diễn cho z = , d ( D, ∆ )} Suy P { DA= https://toanmath.com/ Câu 119 Gọi z = x + yi  , 26 ( x y ∈  ) số phức thỏa mãn hai điều kiện z − + z + = z− − A xy = 2 i đạt giá trị lớn Tính tích xy B xy = 13 Chọn A C xy = Hướng dẫn giải 16 D xy = Đặt z = 36 x  + iy ( x , y ∈  ) Thay vào điều kiện thứ nhất, ta x + y = Đặt x 3= cos t ,  = y sin t Thay vào điều kiện thứ hai, ta có P = z − −  π i = 18 − 18 sin  t +  ≤  4 3π 3  π i ⇒ z =− − Dấu xảy sin  t +  =−1 ⇒ t =− 4 2  Câu 120 Xét số phức z= a + bi ( a, b ∈  ) thỏa mãn a+b Tính z − − 2i = z + − 2i + z − − 5i đạt giá trị nhỏ B + A Chọn B Cách 1: w với w= x + yi Đặt z − − 2i = C − Hướng dẫn giải ( x, y ∈  ) Theo ta có 20 + x + = ( ( x + 1) + ( y − 3) x2 + y + 2x + + = + 2x + ) 2( ( x + 1) + ( y − 3) = 2 ( x + 1) + y2 + ( ) Vậy GTNN P đạt z =2 + + i https://toanmath.com/ ( x + 1) + ( y − 3) ≥ 2( y + y − ) ≥ y + − y =  x = −1   x = −1 P = ⇔  y (3 − y ) ≥ ⇔  = y    2 x + y = w =2 ⇔ x + y =4 ( x + 4) Ta có P = z + − 2i + z − − 5i = w + + w + − 3i = = D + + y2 + ( x + 1) + ( y − 3) 2 ( x + 1) + ( y − 3) 2 ) Cách 2: ⇒ M ∈ ( I ; ) với I = ( 3; ) z − − 2i = ⇒ MI = P = z + − 2i + z − − 5i = MA + MB với A = (1; ) , B = ( 2;5 ) Ta có IM = ; IA = Chọn K ( 2; ) IK = Do ta có IA.IK = IM ⇒ IA IM = IM IK AM IM MK = =2 ⇒ AM = MK IK P MA + = MB ( MK + MB ) ≥ 2BK Từ đó= ⇒ ∆IAM ∆IMK đồng dạng với ⇒ Dấu xảy M , K , B thẳng hàng M thuộc đoạn thẳng BK Từ tìm = M ( 2; + ) Cách 3: Gọi M ( a; b ) điểm biểu diễn số phức z= a + bi Đặt I = ( 3; ) , A ( −1; ) B ( 2;5 ) Ta xét tốn: Tìm điểm M thuộc đường trịn ( C ) có tâm I , bán kính R = cho biểu thức= P MA + MB đạt giá trị nhỏ Trước tiên, ta tìm điểm K ( x; y ) cho MA = MK ∀M ∈ ( C )     Ta có MA = MK ⇔ MA2 = MK ⇔ MI + IA = MI + IK        ⇔ MI + IA2 + MI IA = MI + IK + MI IK ⇔ 2MI IA − IK = 3R + IK − IA2 (*)     IA − IK =  (*) ∀M ∈ ( C ) ⇔  2  3R + IK − IA = ( ( ) ( ) ( ) )    −4 x = 4 ( x − 3) = IA − IK =⇔ ⇔  y = 4 ( y − ) = Thử trực tiếp ta thấy K ( 2; ) thỏa mãn 3R + IK − IA2 = Vì BI =12 + 32 =10 > R = nên B nằm ( C ) R2 = nên K nằm ( C ) Vì KI =< Ta có MA + MB = MK + MB = ( MK + MB ) ≥ KB Dấu bất đẳng thức xảy M thuộc đoạn thẳng BK Do MA + MB nhỏ M giao điểm ( C ) đoạn thẳng BK Phương trình đường thẳng BK : x = https://toanmath.com/ Phương trình đường trịn ( C ) : ( x − 3) + ( y − ) = 2  x =   x = x = ⇔ Tọa độ điểm M nghiệm hệ   2 x y − + − = y = + = − y ( ) ( )      ( ) Thử lại thấy M 2; + thuộc đoạn BK Vậy a = , b= + ⇒ a + b = + Câu 121.Cho số phức z thỏa mãn z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = + z + − z A P = 15 B P = Hướng dẫn giải Chọn B Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có P = 1+ z + 1− z ≤ (1 ( C P = 10 ) + 32 ) + z + −= z 2 ( ) 10 (1 + 1) = 10 += z D P = Vậy Pmax = Câu 122 Cho số phức w , z thỏa mãn w + i = 5w = ( + i )( z − ) Giá trị lớn biểu thức P = z − − 2i + z − − 2i B + 13 A C 53 Hướng dẫn giải D 13 Chọn C Gọi z= x + yi , với x, y ∈  Khi M ( x; y ) điểm biểu diễn cho số phức z Theo giả thiết, 5w = ( + i )( z − ) ⇔ ( w + i ) = ( + i )( z − ) + 5i ⇔ ( − i )( w + i ) = z − + 2i ⇔ z − + 2i = Suy M ( x; y ) thuộc đường tròn ( C ) : ( x − 3) + ( y + ) = 2i MA + MB , với A (1; ) B ( 5; ) Ta có P = z − − 2i + z − − = Gọi H trung điểm AB , ta có H ( 3; ) đó: ( = P MA + MB ≤ MA2 + MB ) hay P ≤ MH + AB Mặt khác, MH ≤ KH với M ∈ ( C ) nên P ≤ KH + AB= https://toanmath.com/ ( IH + R ) + AB = 53 2 M ≡ K 11 Vậy Pmax = 53  hay z= − 5i w= − i 5  MA = MB Tìm giá trị lớn module số phức w= z + 2i ? Câu 123 Biết z − = A B + 2+ C − Hướng dẫn giải D 5− Chọn B Quỹ tích M ( z ) đường trịn tâm I (1, ) bán kính R = Còn w = z + 2i =MA với A ( 0, ) Khi w max = IA + R = + Câu 124 Trong số phức z thỏa mãn z = z − + 4i , số phức có mơđun nhỏ A z= + i C z = i Hướng dẫn giải B z = Chọn D D z = + 2i Đặt z = x + yi, ( x, y ∈ R ) ⇒ z = x − yi Khi đó: z = z − + 4i ⇔ x + yi = x − yi − + 4i ( x − )2 + ( y − )2 ⇔ x + y − = Tập hợp điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z đường thẳng ⇔ x2 + y = x + yi = x2 + y = ( − y )2 + y = Suy ra: x + yi bé ( x + 2y −5 = ) y2 − y + + = 5( y − 2) + ≥ y = ⇒ x = Câu 125 Cho số phức z thỏa mãn z − = z + i Tìm giá trị nhỏ P = z A Pmin = 10 B Pmin = 10 10 C Pmin = 5 Hướng dẫn giải Chọn A Gọi z= a + bi , ( a, b ∈  ) Ta có: P= z= a + b2 Mà z − = z + i Hay a + ib − = a + ib + i ⇔ ( a − 3) + ib = a + ( b + 1) i ⇔ ( a − 3) + b = a + ( b + 1) 2 ⇔ b = − 3a Lúc P= z = = a + b2 = a + ( − 3a ) = 24 144  10  10  x − x + + ≥ 10 100  5  https://toanmath.com/ 10a − 24a + 16 D Pmin = Câu 126 Cho số phức z thỏa mãn z = Tìm giá trị lớn biểu thức A= + A B Chọn A Ta có: A =1 + 5i z C Hướng dẫn giải D 5i 5i ≤1+ =1 + =6 Khi z =i ⇒ A =6 z z z Câu 127 Xét số phức z thỏa mãn z − + z − i ≤ 2 Mệnh đề đúng? A < z < 2 B Chọn A Cách Chọn z = i Cách C z > < z < 2 Hướng dẫn giải D z < 2 ≥ z − + z − i= ( z − + z − i ) + z − i ≥ z −1− ( z − i ) + z − i = i −1 + z − i = 2 + z − i ≥ 2 hay z = i ⇒ z = i =1 Dấu " = " xảy z − i = Giá trị lớn z − i Câu 128 Cho số phức z thỏa mãn z − + 3i = A Chọn D Cách = z − + 3i = B C Hướng dẫn giải ( z − i ) − ( − 4i ) D ≥ z − i − − 4i ⇒ z − i ≤ + − 4i ⇒ z − i ≤ Cách Đặt w= z − i Gọi M điểm biểu diễn w hệ trục tọa độ Oxy với I ( 3; −4 ) ⇒ M nằm đường tròn ( C ) tâm z − + 3i = ⇒ w − + 4i = ⇒ MI = I ( 3; −4 ) , bán kính R = = OI + R = + = Ta có z − i = w = OM Vậy max OM = ON = OI − R  Lưu ý: Nếu đề hỏi “Giá trị nhỏ z − i ” OM https://toanmath.com/ ... N ≡ I Vậy M trùng với H; N trùng với J MN đạt giá trị nhỏ U B – BÀI TẬP Câu Trong số phức thỏa mãn điều kiện z + 3i = z + − i Tìm số