CHUYÊN ĐỀ TỌA ĐỘ OXYZ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXYZ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT A.1.Hệ tọa độ không gian Oxyz : + Là hệ gồm trục Ox, Oy , Oz đơi vng góc với  i = j = k = ; + Các véctơ i, j , k véctơ đơn vị Ox, Oy , Oz :  i j = j.k = i.k = i = (1; 0; )   j = ( 0;1; )   k = ( 0; 0;1) Tọa độ tính chất véctơ Véctơ u = ( x; y; z )  u = xi + y j + zk A.2.Tính chất: A.2.1 Véctơ: Cho u = ( x1 ; y1 ; z1 ) , v = ( x2 ; y2 ; z ) + u = x1 + y1 + z1 2 + u  v = ( x1  x2 ; y1  y2 ; z1  z ) TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG  x1 = x2  + u = v   y1 = y2 z = z  + ku = ( kx1 ; ky1 ; kz1 ) Trang | TỌA ĐỘ OXYZ  x1 = kx2 x y z  : u = k v   y1 = ky2  = = x2 y z  z = kz  + u phương với v  k  A.2.2 Tọa độ điểm: Điểm M ( x ; y ; z )  OM = xi + yj + zk Cho A ( x A ; y A ; z A ) , B ( xB ; yB ; z B ) , C ( xC ; yC ; zC ) D ( xD ; yD ; z D )  AB = ( xB − x A ; y B − y A ; z B − z A )  +    AB =| AB |= ( xB − x A ) + ( yB − y A ) + ( z B − z A ) 2  x A + xB y A + y B z A + z B  ; ;  2   x +x +x y +y +y z +z + Nếu G trọng tâm tam giác ABC thì: G  A B C ; A B C ; B C 3  + Nếu M trung điểm AB thì: M     x A − kxB  x = M  1− k  y − ky B  ( k  1) + Nếu M chia AB theo tỉ số k MA = k MB thì:  yM = A 1− k  z A − kz B   zM = − k  + Tích vơ hướng hai vectơ:Cho u = ( x1 ; y1 ; z1 ) v = ( x2 ; y2 ; z2 ) ( ) Tích vơ hướng vectơ là: u v =| u | | v | cos (u , v ) u v = x1.x2 + y1 y2 + z1.z2 Suy ra: u ⊥ v  u v =  x1.x2 + y1 y2 + z1.z2 = B BÀI TẬP ❑ DẠNG TỐN 1: TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ VEC TƠ THỎA ĐK  BÀI TẬP NỀN TẢNG  Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ a = ( 3; − 2;1) , b = ( −1;1; − ) , c = ( 2;1; − ) , u = (11; − 6;5 ) Mệnh đề sau đúng? A u = 2a + 3b + c C u = 3a − 2b − 2c B u = 2a − 3b + c D u = 3a − 2b + c Lời giải Chọn B 3a − 2b + c = ( 3; − 2;1) − ( −1;1; − ) + ( 2;1; − ) = (13; − 7; )  u Nên A sai 2a + 3b + c = ( 3; − 2;1) + ( −1;1; − ) + ( 2;1; − ) = ( 5; 0; − )  u Nên B sai 2a − 3b + c = ( 3; − 2;1) − ( −1;1; − ) + ( 2;1; − ) = (11; − 6;5 ) = u Nên C 3a − 2b − 2c = ( 3; − 2;1) − ( −1;1; − ) − ( 2;1; − ) = ( 7; − 10;13 )  u Nên D sai Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1; −2;0 ) B ( −3;0; ) Tọa độ véctơ AB A ( 4; −2; −4 ) B ( −4; 2; ) C ( −1; −1; ) D ( −2; −2; ) Lời giải TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | TỌA ĐỘ OXYZ Chọn B AB = ( −4; 2; ) Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho OM = (1;5; ) , ON = ( 3;7; −4 ) Gọi P điểm đối xứng với M qua N Tìm tọa độ điểm P A P ( 5;9; −3) B P ( 2;6; −1) C P ( 5;9; −10 ) D P ( 7;9; −10 ) Lời giải Chọn C Ta có: OM = (1;5; )  M (1;5; ) , ON = ( 3;7; −4 )  N ( 3;7; −4 ) Vì P điểm đối xứng với M qua N nên N trung điểm MP nên ta suy  x P = x N − xM =   y P = y N − y M =  P ( 5;9; −10 )  z = z − z = −10 N M  P Câu 4: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A (1;1;1) , B ( 5; − 1; ) , C ( 3; 2; − ) Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn MA + 2MB − MC = 9 9   A M  −4; − ;  B M  4; − ; −  2 2    9 C M  4; ;   2 9  D M  4; − ;  2  Lời giải Chọn D Gọi M ( x; y; z )  x = 1 − x + ( − x ) − ( − x ) =   9   MA + 2MB − MC =  1 − y + ( −1 − y ) − ( − y ) =   y = −  M  4; − ;  2    − z + 2 − z − − − z = ( ) ( )    z = Câu 5: Trong không gian Oxyz , cho vec tơ a = ( 2; −1; ) , b = ( −1; −3; ) , c = ( −2; −4; −3 ) Tọa độ u = 2a − 3b + c A ( 3; 7; ) B ( −5; − 3; ) C ( −3; − 7; − ) D ( 5; 3; − ) Lời giải Chọn D u = 2a − 3b + c = ( 2; − 1; ) − ( −1; − 3; ) + ( −2; − 4; − ) = ( 2.2 + − 2; − + − 4; − − 3) = ( 5; 3; − ) Câu 6: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp ABCD ABC D Biết A ( 2; 4; ) , B ( 4; 0; ) , C ( −1; 4; − ) D ( 6;8;10 ) Tọa độ điểm B A B ( 8; 4;10 ) B B ( 6;12; ) C B (10;8; ) D B (13; 0;17 ) Lời giải Chọn D TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | TỌA ĐỘ OXYZ A' B' C' D'(6; 8; 10) A(2; 4; 0) B(4; 0; 0) O D C(-1; 4;-7) Giả sử D ( a; b; c ) , B ( a; b; c )  a = −3 −7   1 Gọi O = AC  BD  O  ; 4;   b =  2  c = −7  Vậy DD  = ( 9; 0;17 ) , BB  = ( a  − 4; b; c ) Do ABCD ABC D hình hộp nên DD = BB  a  = 13   b = Vậy B (13; 0;17 ) c = 17  Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD ABC D Biết A (1; 0;1) , B ( 2;1; ) , D (1; −1;1) , C ( 4;5; −5 ) Gọi tọa độ đỉnh A ( a; b; c ) Khi 2a + b + c bằng? A B C D Lời giải Chọn D Ta có  AD  = (1 − a; −1 − b;1 − c )   AB  = ( − a;1 − b; − c )   A A = − a ; − b ;1 − c ( )    AC = ( − a;5 − b; −5 − c ) Theo quy tắc hình hộp, ta có AC = AB + AD + AA TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | TỌA ĐỘ OXYZ  ( − a;5 − b; −5 − c ) = ( − 3a; − 3b;3 − 3c )  − a = − 3a a =     − b = − 4b   b = −  −5 − c = − 3c c =   Vậy 2a + b + c = Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , điểm sau thuộc mặt phẳng ( Oxy ) A N (1; 0; ) B P ( 0;1; ) C Q ( 0; 0; ) D M (1; 2; ) Lời giải Chọn D Phương trình mặt phẳng ( Oxy ) : z = Kiểm tra tọa độ điểm ta thấy D  ( Oxy ) Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A (1; 2; − 1) , B ( −3; 4;3 ) , C ( 3;1; − 3) , số điểm D cho điểm A, B, C , D đỉnh hình bình hành A B C D Lời giải Chọn D Ta có AB = ( −4; 2; ) , AC = ( 2; − 1; − ) Dễ thấy AB = −2 AC nên hai véc tơ AB, AC phương ba điểm A , B , C thẳng hàng Khi khơng có điểm D để bốn điểm A, B, C , D bốn đỉnh hình bình hành Vậy khơng có điểm thỏa mãn u cầu tốn Câu 10: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho a = 2i + j − k , b ( 2; 3; − ) Tìm tọa độ x = 2a − 3b A x = ( −2; 3; 19 ) B x = ( −2; − 3; 19 ) C x = ( −2; − 1; 19 ) D x = ( 2; − 1; 19 ) Lời giải Chọn B Ta có a = ( 2; 3; − 1) , b = ( 2; 3; − )  x = 2a − 3b = ( −2; − 3; 19 ) TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | TỌA ĐỘ OXYZ ❑ DẠNG TỐN 2: TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG, VÉC TƠ Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1; 2;3) B ( 5; 2; ) Khi đó: A AB = 61 B AB = C AB = D AB = Lời giải Chọn C Ta có: AB = ( 4; 0; −3 ) Suy ra: AB = + + ( −3 ) = Câu 12: Trong không gian Oxyz , cho A (1;1; −3 ) , B ( 3; −1;1) Gọi M trung điểm AB , đoạn OM có độ dài A B C D Lời giải Chọn D Ta có M trung điểm AB nên M ( 2; 0; −1)  OM = + + = Câu 13: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho vectơ u = 2i − j + k Tìm độ dài vectơ u A u = B u = 49 C u = D u = Lời giải Chọn C 2 Ta có u = ( 2; −3; ) nên u = + ( −3) + = Câu 14: Trong không gian Oxyz cho điểm A ( 3; −4;0 ) ; B ( 0;2;4 ) ; C ( 4; 2;1) Tọa độ diểm D trục Ox cho AD = BC là: A D ( 0; 0; )  D ( 0; 0;8 ) B D ( 0; 0; )  D ( 0; 0; −6 ) C D ( 0; 0; −3)  D ( 0; 0;3) D D ( 0; 0; )  D ( 6; 0; ) Lời giải Chọn D Gọi D ( x;0;0 )  2  AD ( x − 3;4;0 ) x =  AD = ( x − 3) + +    Ta có:  x=6 BC 4;0; −  ( )   BC =   Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 3; 2; −1) , B ( 5; 4;3) M điểm thuộc AM = Tìm tọa độ điểm M BM  13 10   11  B  ; ;  C  − ; − ;   3 3  3 3 tia đối tia BA cho A ( 7; 6; ) D (13;11;5 ) Lời giải Chọn A TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | TỌA ĐỘ OXYZ M điểm thuộc tia đối tia BA cho AM = nên B trung điểm AM BM + xM  5 =  xM =  + yM    4 =   yM =  M ( 7; 6; )  z =  M −1 + z M  =   Câu 16: Trong không gian Oxyz cho điểm A ( 3; −4;3) Tổng khoảng cách từ A đến ba trục tọa độ A 10 B 34 C 10 + D 34 Lời giải Chọn C Hình chiếu A lên trục Ox A1 ( 3; 0; ) nên d ( A, Ox ) = AA1 = Hình chiếu A lên trục Oy A2 ( 0; −4; ) nên d ( A, Oy ) = AA2 = Hình chiếu A lên trục Oz A3 ( 0;0;3) nên d ( A, Oz ) = AA3 = Tổng khoảng cách từ A đến ba trục tọa độ 10 + Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình vng ABCD , B (3; 0;8) , D ( −5; −4; 0) Biết đỉnh A thuộc mặt phẳng ( Oxy ) có tọa độ những số nguyên, CA + CB bằng: A 10 B 10 C 10 D 10 Lời giải Chọn A Ta có trung điểm BD I ( −1; −2; 4) , BD = 12 điểm A thuộc mặt phẳng (Oxy ) nên A( a; b; 0)  AB = AD 2 2 2  ( a − 3) + b + = ( a + 5) + (b + 4)   ABCD hình vng    2 1   ( a + 1) + (b + 2) + = 36  AI =  BD  2   17  a =  b = − a a =  17 −14    ;  (loại)  A(1; 2; 0) A  ;   2 5 − 14   b = ( a + 1) + (6 − a ) = 20 b =  Với A(1; 2; 0)  C ( −3; −6;8) Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với A (1; 1; 1) , B ( −1; 1; ) , C ( 3; 1; ) Chu vi tam giác ABC bằng: TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | TỌA ĐỘ OXYZ A + B C D + Lời giải Chọn B Ta có: AB = + + = 5, AC = + + = 5, BC = 16 + + = 20 = Vậy chu vi tam giác ABC : AB + AC + BC = Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A (1; 2; −1) ; B (1;1;3 ) Gọi I tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác AOB , tính độ dài đoạn thẳng OI 17 11 A OI = B OI = C OI = 2 D OI = 17 Lời giải Chọn D Ta có OA.OB = nên tam giác OAB vng O Vậy, I trung điểm AB , suy ra: OI = 17 AB = 2 Câu 20: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A ( 0; 0; −1) , B ( −1;1;0 ) , C (1; 0;1) Tìm điểm M cho 3MA2 + MB − MC đạt giá trị nhỏ 3    A M  ; ; −1  B M  − ; ;  4     3  C M  − ; ; −1      D M  − ; ; −1    Lời giải Chọn D  AM = x + y + ( z + 1)  AM = ( x; y; z + 1)   2  M x ; y ; z  BM = x + 1; y − 1; z  ( )  ( )  BM = ( x + 1) + ( y − 1) + z Giả sử   2 2 CM = ( x − 1) + y + ( z − 1) CM = ( x − 1; y; z − 1) 2  3MA2 + MB − MC =  x + y + ( z + 1)  + ( x + 1) + ( y − 1) + z      2 − ( x − 1) + y + ( z − 1)    3 5 2  = x + y + z + x − y + z + =  x +  + ( y − 1) + ( z + ) −  − 2 4    Dấu " = " xảy  x = − , y = , z = −1, M  − ; ; −1    2 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | TỌA ĐỘ OXYZ ❑ DẠNG TOÁN 3: XÉT SỰ CÙNG PHƯƠNG, SỰ ĐỒNG PHẲNG Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A (1; 0; 1) B ( 4; 6; − ) Điểm thuộc đoạn AB điểm sau? A N ( −2; − 6; ) B Q ( 2; 2; ) C P ( 7; 12; ) D M ( 2; − 6; − ) Lời giải Chọn B Giả sử C thuộc đoạn AB  AC = k AB, (  k  1) Ta có: AB ( 3;6; −3) , AM (1; −6; −6 ) , AN ( −3; −6;3) , AQ (1; 2; −1) , AP ( 6;12; ) Do có Q thuộc đoạn AB vectơ a , b , c ( x − y ) a + ( y − z ) b = ( x + z − ) c Tính T = x + y + z Câu 22: Trong không gian A cho C B không đồng D phẳng thỏa mãn Lời giải Chọn A Vì vectơ a , b , c không đồng phẳng nên: x − y =   x = y = z = y − z = x + z − =  Vậy T = x + y + z = Câu 23: Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A (1; −2; ) , B (1; 0; −1) C ( 0; −1; ) , D ( 0; m; k ) Hệ thức giữa m k để bốn điểm ABCD đồng phẳng A 2m + k = B m + k = C m + k = D m − 3k = Lời giải Chọn C AB = (0; 2; −1) AC = ( −1;1; 2) AD = (−1; m+ 2; k)  AB, AC  = (5;1; 2)   AB, AC  AD = m + 2k −     Vậy bốn điểm ABCD đồng phẳng   AB, AC  AD =  m + 2k = Chú ý: Có thể lập phương trình ( ABC ) sau thay D để có kết Câu 24: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A a; b; c ; B m; n; p Điều kiện để A, B nằm hai phía mặt phẳng Oyz A am B c p C cp D bn Lời giải Chọn A TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | TỌA ĐỘ OXYZ Ta có phương trình mặt phẳng Oyz x Do A B nằm hai phía mặt phẳng Oyz hồnh độ điểm A hoành độ điểm B trái dấu Điều xảy am Câu 25: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho a = ( 2;3;1) , b = ( −1;5; ) , c = ( 4; − 1;3 ) x = ( −3; 22;5 ) Đẳng thức đẳng thức sau ? A x = a − b + c B x = a − b − c C x = −2 a + b + c D x = a + b − c Lời giải Chọn D Đặt: x = m a + n b + p c , m, n, p   m − n + p = −3   ( −3; 22;5 ) = m ( 2;3;1) + n ( −1;5; ) + p ( 4; − 1;3 )  3m + 5n − p = 22  m + 2n + p =  Giải hệ phương trình ( I ) (I ) m =  ta được:  n =  p = −1  Vậy x = a + b − c Câu 26: Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ a = ( −1;1; ) , b = (1;1; ) , c = (1;1;1) Tìm mệnh đề A Hai vectơ a b phương C a.c = B Hai vectơ b c không phương D Hai vectơ a c phương Lời giải Chọn B Ta có b ; c  = (1; −1; )  suy hai vectơ b c không phương Câu 27: Cho bốn điểm O ( 0; 0; ) , A ( 0;1; −2 ) , B (1; 2;1) , C ( 4;3; m ) Tìm m để điểm O , A , B , C đồng phẳng A m = 14 B m = C m = −14 D m = −7 Lời giải Chọn A Để điểm O , A , B , C đồng phẳng  OA, OB  OC = Ta có OA = ( 0;1; −2 ) suy OA, OB  = ( 5; −2 − 1) OB = 1; 2;1 ( ) Mà OC = ( 4;3; m ) Khi OA, OB  OC =  20 − − m =  m = 14 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | 10 TỌA ĐỘ OXYZ  x = −3 + t A d :  y = − 2t ( t   z = 1− t   x = − − 4t C d :  y = −1 + 3t ( t   z = 4−t   x = 3t B d :  y = + t ( t   z = + 2t   x = −1 − t D d :  y = − 3t ( t   z = − 2t  ) ) ) ) Lời giải Chọn C Vectơ phương  : u  (1;1; −1) , vectơ pháp tuyến ( P ) n( P ) = (1; 2; )  d ⊥   u d ⊥ u    u d = u  ; n ( P )  = ( 4; −3;1) d  ( P ) u ⊥ n d P ( )    Vì  x = t  y = 1+ t  Tọa độ giao điểm H =   ( P ) nghiệm hệ   t = −2  H ( −2; −1; ) z = − t  x + y + 2z − = Lại có ( d ;  )  ( P ) = d , mà H =   ( P ) Suy H  d Vậy đường thẳng d qua H ( −2; −1; ) có VTCP u d = ( 4; −3;1) nên có phương trình  x = − − 4t  d :  y = −1 + 3t ( t   z = 4−t  ) Câu 58: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A (1; 0; ) đường thẳng d có phương x −1 y z +1 Viết phương trình đường thẳng  qua A , vng góc cắt d = = x x −1 y z − x −1 y z − A  : B  : = = = = 1 −1 1 x −1 y z−2 x −1 y z − C  : D  : = = = = −3 1 trình Lời giải Chọn A B   Do  cắt d nên tồn giao điểm giữa chúng Gọi B =   d   B  d x = t +1  Phương trình tham số d :  y = t , t  z = t −1  Do B  d , suy B ( t + 1; t ; t − 1)  AB = ( t ; t ; 2t − ) Do A, B   nên AB vectơ phương  ( ) Theo đề bài,  vng góc d nên AB ⊥ u u = (1,1, ) vectơ phương d Suy AB.u = Giải t =  AB = (1,1, −1) TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | 128 TỌA ĐỘ OXYZ Câu 59: Trong không gian Oxyz , cho điểm M ( 2;1; ) đường thẳng  có phương trình x −1 y −1 z Viết phương trình đường thẳng d qua M , cắt vng góc với = = −1 đường thẳng  x − y −1 z x − y −1 z A d : B d : = = = = −4 −4 x − y −1 z x − y −1 z C d : D d : = = = = 1 −4 −2 : Lời giải Chọn D Gọi H hình chiếu M lên  Nên H (1 + 2t ; −1 + t ; −t )    MH = ( 2t − 1; −2 + t; −t ) Và a = ( 2;1; −1) véc tơ phương  Dó đó: MH a =  ( 2t − 1) − + t + t =  t = 1 2 Khi đó: MH =  ; − ; −   u = (1; −4; −2 ) véc tơ phương d 3 3 x − y −1 z Vậy d : = = −4 −2 Câu 60: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A (1;0; ) đường thẳng d có phương x −1 y z +1 trình: Viết phương trình đường thẳng  qua A , vng góc cắt d = = 1 x −1 y z − x −1 y z − A  : B  : = = = = 1 1 −1 x −1 y z − x −1 y z−2 C  : D  : = = = = 1 −3 Lời giải Chọn B B   Do  cắt d nên tồn giao điểm giữa chúng Gọi B =   d   B  d x = t +1  Phương trình tham số d :  y = t , t  Do B  d , suy B ( t + 1; t ; t − 1) z = t −1   AB = ( t ; t ; 2t − 3) Do A, B   nên AB vectơ phương  Theo đề bài,  vng góc d nên AB ⊥ u , ( u = (1;1; ) ) ( u = (1; 1; 2) vector phương d ) Suy AB.u = Giải t =  AB = (1;1; − 1) Vậy  : TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG x −1 y z − = = 1 −1 Trang | 129 TỌA ĐỘ OXYZ ❑ DẠNG TOÁN 7: PTĐT NẰM TRONG (P), VỪA CẮT VỪA VNG GĨC VỚI D Câu 61: Trong không gian Oxyz , Cho ( ) : x + y + z − = Đường thẳng hai điểm A ( 3;3;1) , B ( 0; 2;1) mặt phẳng d nằm ( ) cho điểm d cách điểm A, B có phương trình x = t  A  y = − 3t  z = 2t  x = t  B  y = + 3t  z = 2t   x = −t  C  y = − 3t  z = 2t   x = 2t  D  y = − 3t z = t  Lời giải Chọn A Mọi điểm d cách hai điểm A, B nên d nằm mặt phẳng trung trực đoạn AB 3  Có AB = ( −3; −1;0 ) trung điểm AB I  ; ;1  nên mặt phẳng trung trực AB là: 2  3  5  −3  x −  −  y −  =  x + y − = 2  2  Mặt khác d  ( ) nên d giao tuyến hai mặt phẳng: 3 x + y − =  y = − 3x   x + y + z − = z = 2x x = t  Vậy phương trình d :  y = − 3t ( t   z = 2t  ) x − y + z −1 mặt phẳng = = 1 −1 ( P ) : x + y + z + = Phương trình đường thẳng a nằm ( P ) , cắt vng góc với d Câu 62: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :  x = − 4t  A  y = −4 + 3t z = − t   x = − 4t  B  y = −4 − 3t z = + t   x = + 4t  C  y = −4 + 3t z = + t   x = + 4t  D  y = −3 − 3t z = 1+ t  Lời giải Chọn A x = + t  d :  y = −3 + t có vectơ phương u (1; 1; − 1) Mặt phẳng ( P ) có vectơ pháp tuyến n (1; 2; ) z = 1− t  Vectơ phương đường thẳng d : v = u; n  = ( 4; − 3; 1) Tọa độ giao điểm d ( P ) : x = + t  y = −3 + t    z = 1− t  x + y + z + = t = − x =  Đường thẳng d cần tìm :   y = −4  z = TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG  x = − 4t   y = −4 + 3t z = − t  Trang | 130 TỌA ĐỘ OXYZ Câu 63: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y + z − = đường thẳng x +1 y z + = = Lập phương trình đường thẳng  nằm mặt phẳng ( P ) , đồng thời cắt vng góc với đường thẳng d x −1 y −1 z −1 x +1 y + z −1 = = = = A B −1 −3 −1 x −1 y −1 z −1 x −1 y +1 z −1 = = = = C D 5 −1 d: Lời giải Chọn A Giao điểm d với ( P ) H (1;1;1)   qua H nhận u =  n p ; ud  làm véc tơ phương   x −1 y −1 z −1  u ( 5; −1; −3 )   : = = −1 −3 Câu 64: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng  giao tuyến hai mặt phẳng ( P ) : z −1 = ( Q ) : x + y + z − = Gọi d đường thẳng nằm mặt phẳng ( P ) , cắt x −1 y − z − vng góc với đường thẳng  Phương trình = = −1 −1 đường thẳng d x = + t x = − t x = + t x = + t     A  y = t B  y = t C  y = t D  y = −t z = 1+ t z = z = z = 1+ t     đường thẳng Lời giải Chọn C d' Q I d P Đặt nP = ( 0; 0;1) nQ = (1;1;1) véctơ pháp tuyến ( P ) ( Q ) Do  = ( P )  ( Q ) nên  có véctơ phương u =  nP , nQ  = ( −1;1; ) Đường thẳng d nằm ( P ) d ⊥  nên d có véctơ phương ud =  nP , u  = ( −1; −1; ) x −1 y − z − A = d   d  A = d   ( P ) = = −1 −1 z = z −1 =   Xét hệ phương trình  x − y − z −   y =  A ( 3; 0;1)  = −1 = −1 x =  Gọi d  : TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | 131 TỌA ĐỘ OXYZ x = + t  Do phương trình đường thẳng d :  y = t z =  x y −3 z −2 = = mặt phẳng −3 ( P ) : x − y + z − = Đường thẳng nằm mặt phẳng ( P ) , cắt vng góc với d có Câu 65: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : phương trình x + y + z −1 = = A x − y − z +1 = = C x+ y −2 z −5 = = x−2 y+2 z+5 = = D B Lời giải Chọn B x y −3 z −2 =  = −3  x − y + z − = Tọa độ giao điểm M d ( P ) nghiệm hệ   x − y = −6  x = −2    3 y + z = 11   y =  M ( −2; 2;5 ) x − y + 2z − = z =   (P) : x − y + z − = có vtpt n = (1; −1; ) , d có vtcp u = ( 2;1; −3) Ta có  qua M ( −2; 2;5 ) nhận k =  n , u  = (1; 7;3 ) vectơ phương có dạng : x+ y −2 z −5 = = Câu 66: Trong khơng gian với hệ tọa độ vng góc Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y + z – = x +1 y z + = = Phương trình đường thẳng  nằm mặt phẳng ( P ) , đồng thời cắt vng góc với đường thẳng d x +1 y + z −1 x −1 y −1 z −1 A B = = = = −1 x −1 y +1 z −1 x −1 y −1 z −1 C D = = = = −1 −1 −3 đường thẳng d : Lời giải Chọn D Gọi M giao điểm d  Khi đó, M ( −1 + 2t ; t ; −2 + 3t ) Do điểm M  ( P ) nên M (1;1;1) x −1 y −1 z −1 Đường thẳng  có u = ud , nP  = ( −5;1;3) Vậy  : = = −1 −3 Câu 67: Trong không gian với hệ tọa độ vng góc Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y + z − = x +1 y z + đường thẳng d : = = Phương trình đường thẳng  nằm mặt phẳng ( P ) , đồng thời cắt vng góc với đường thẳng d là: TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | 132 TỌA ĐỘ OXYZ x −1 = x −1 C = A y −1 z −1 = y −1 z −1 = −1 −3 x +1 = x −1 D = B y+3 = −1 y +1 = −1 z −1 z −1 Lời giải Chọn C Ta có VTPT mp ( P ) n = (1; 2; 1) ; VTCP đường thẳng d ud = (2;1; 3)   ( P) Vì  nên VTCP  u =  n( P ) , ud  = (5; − 1; − 3)  ⊥ d  d   = M   M  = d  ( P )   ( P )   Lại có  Khi M (1; 1; 1) Vậy phương trình đường thẳng  : x −1 y −1 z −1 = = −1 −3 x y −3 z −2 mặt phẳng = = −3 ( P ) : x − y + z − = Phương trình phương trình đường thẳng nằm Câu 68: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : mặt phẳng ( P ) cắt vuông góc với d ? x + y + z −1 = = x − y − z +1 C = = A x+ y −2 z −5 = = x−2 y+2 z+5 D = = B Lời giải Chọn B  x = 2t  Đường thẳng d tham số  y = + t  z = − 3t   x = 2t y = 3+t  M = d  P  Gọi ( ) Tọa độ M nghiệm hệ   z = − 3t  x − y + z − = t = −1  x = −2   M ( −2; 2;5 )  y =   z = Gọi  đường thẳng cần tìm  u =  nP , ud  = (1; 7;3) x+ y −2 z −5 Vậy đường thẳng  cần tìm = = Câu 69: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y + z − = đường thẳng x +1 y z + Viết phương trình đường thẳng  nằm mặt phẳng ( P ) , đồng = = thời cắt vuông góc với đường thẳng d x +1 y + z −1 x −1 y −1 z −1 A B = = = = −1 −3 x −1 y +1 z −1 x −1 y −1 z −1 C D = = = = −1 −1 −3 d: TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | 133 TỌA ĐỘ OXYZ Lời giải Chọn D Vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( P ) là: n( P ) = (1; ;1) Vectơ phương đường thẳng d ud = ( 2;1;3 )  x = − + 2t  Phương trình tham số đường thẳng d :  y = t  z = −2 + 3t  Xét phương trình: −1 + 2t + 2t − + 3t − =  7t − =  t = Suy giao điểm đường thẳng d mặt phẳng ( P ) A (1;1;1) Ta có: A   Vectơ phương đường thẳng  là: u =  n( P ) , ud  = ( 5; − 1; − 3)   x −1 y −1 z −1 Phương trình tắc đường thẳng  : = = −1 −3 x − y + z −1 Câu 70: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  : mặt = = 1 −1 phẳng ( P ) : x + y − z + = Đường thẳng d nằm mặt phẳng ( P ) cho d cắt vng góc với đường thẳng  A u = (1; 2;1) B u = ( −1; 2;1) C u = ( −1; −2;1) D u = ( −1; 2; −1) Lời giải Chọn B Đường thẳng  có vectơ phương u  = (1;1; −1) Mặt phẳng ( P ) có vectơ pháp tuyến n = (1; 2; −3 ) u  , n  = ( −1; 2;1)   Đường thẳng d nằm mặt phẳng ( P ) cho d cắt vng góc với đường thẳng  nên d nhận u d = ( −1; 2;1) làm vectơ phương TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | 134 TỌA ĐỘ OXYZ ❑ DẠNG TOÁN 8: GIAO TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG Câu 71: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi ( ) mặt phẳng chứa đường thẳng  có x − y −1 z vng góc với mặt phẳng = = 1 tuyến ( ) (  ) qua điểm điểm sau phương trình A A ( 2;1;1) B D ( 2;1; ) C B ( 0;1; ) (  ) : x + y − 2z −1 = Giao D C (1; 2;1) Lời giải Chọn A Ta có véc – tơ phương đường thẳng  u (1;1; ) Véc – tơ pháp tuyến mặt phẳng (  ) : x + y − z − = n (1;1; −2 ) x − y −1 z = = vng góc 1 với mặt phẳng (  ) : x + y − z − = nên ( ) có véc – tơ pháp tuyến Vì ( ) mặt phẳng chứa đường thẳng  có phương trình n = u , n  = ( −4; 4;0 ) = (1; −1;0 ) = 4.a Gọi d = ( )  (  ) , suy d có véc – tơ phương ud =  a, n  = ( 2; 2; ) = (1;1;1) x − y −1 z Giao điểm đường thẳng  có phương trình = = mặt phẳng 1 (  ) : x + y − z − = I ( 3; 2; ) x = 3+t  Suy phương trình đường thẳng d :  y = + t z = 2+t  Vậy A ( 2;1;1) thuộc đường thẳng d Câu 72: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P ) : 3x − y + z − = ( Q ) : x + y − z + = Các điểm A, B phân biệt thuộc giao tuyến hai mặt phẳng ( P ) ( Q ) Khi AB phương với véctơ sau đây? A w = ( 3; −2; ) B v = ( −8;11; −23 ) C k = ( 4;5; −1) D u = ( 8; −11; −23 ) Lời giải Chọn D * Ta có: ( P ) ⊥ n ( P ) = ( 3; −2; ) , ( Q ) ⊥ n ( Q ) = ( 4;5; −1)    AB  ( P )  AB ⊥ n ( P )  * Do  nên đường thẳng AB có véctơ phương là: AB  Q ( ) AB ⊥ n Q  ( )    u =  n(Q ) ; n( P )  = ( 8; −11; −23) * Do AB véc tơ phương AB nên AB // u = ( 8; −11; −23 ) Câu 73: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm , B ( 0; 2; 1) , mặt phẳng ( P ) : x + y + z − = Đường thẳng d nằm ( P ) cho điểm d cách hai điểm A , B có phương trình TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | 135 TỌA ĐỘ OXYZ x = t  A  y = − 3t  z = 2t   x = −t  B  y = − 3t  z = 2t  x = t  C  y = + 3t  z = 2t   x = 2t  D  y = − 3t  z = 2t  Lời giải Chọn A 3  Ta có AB = ( −3; −1; ) ; I  ; ;1  trung điểm AB A, B nằm hai phía mặt 2  phẳng ( P ) Gọi ( ) mặt phẳng trung trực AB  = ( )  ( P ) Khi  đường thẳng thuộc mặt phẳng ( P ) cách hai điểm A, B 3  Phương trình mặt phẳng ( ) qua I  ; ;1  có véc tơ pháp tuyến AB = ( −3; −1; ) là: 2    5  −3  x −  −  y −  =  x + y − = 2  2  Khi d đường giao tuyến ( ) ( P ) Véctơ phương d : ud =  n( P ) , n( )  = ( −1;3; −2 ) = − (1; −3; ) , d qua A ( 0; 7; )   x = t  Vậy d có phương trình tham số là:  y = = 3t ( t tham số)  z = 2t  Câu 74: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , gọi ( ) mặt phẳng chứa đường thẳng x − y −1 z vng góc với mặt phẳng (  ) : x + y + z + = Khi giao tuyến = = 1 −2 hai mặt phẳng ( ) , (  ) có phương trình : A x + y −1 z = = −5 B x y +1 z = = 1 −1 C x y +1 z −1 = = 1 D x − y +1 z = = −5 Lời giải Chọn B x − y −1 z qua M ( 2;1; ) có vtcp : u = (1;1; − ) : = = 1 −2 (  ) : x + y + z + = có vtpt : n = (1;1; )  qua M u , n  = ( 4; − 4; ) = (1; − 1; ) vtpt    Phương trình ( ) : ( x − ) − ( y − 1) =  x − y − = ( ) :  Gọi ( d ) giao tuyến hai mặt phẳng ( ) , (  ) Ta có:   qua N ( 0; − 1; ) vtcp  n, n  = ( 2; 2; − ) = (1;1; − 1)   x y +1 z Phương trình ( d ) : = = 1 −1 ( d ) : Câu 75: Trong khơng gian Oxyz , Viết phương trình đường thẳng  giao tuyến hai mặt phẳng ( ) : x + y + z − = (  ) : x − y − z + = TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | 136 TỌA ĐỘ OXYZ x = + t  A  y = 2t  z = −1 − 3t   x = −1 − t  B  y = − 2t  z = 3t   x = −1 + t  C  y = − 2t  z = 3t   x = −1 − 3t  D  y = + 2t z = t  Lời giải Chọn C ( ) : x + y + z − = có vectơ pháp tuyến là: n = (1; 2;1) (  ) : x − y − z + = có vectơ pháp tuyến là: n = (1; −1; −1) Khi đó:  n , n  = ( −1; 2; −3) Vì đường thẳng  giao tuyến hai mặt phẳng ( ) : x + y + z − = (  ) : x − y − z + = nên vectơ phương đường thẳng  u phương với  n , n  Do chọn u = (1; −2;3)   x + y + z −1 = Tọa độ M ( x; y; z )   thỏa hệ phương trình:  x − y − z + = 2 y + z = y =1 Cho x = −1 ta được:    M ( −1;1; ) y + z =1 z = Phương trình đường thẳng  qua điểm M ( −1;1; ) có vectơ phương u = (1; −2;3)  x = −1 + t  là:  :  y = − 2t  z = 3t  ❑ DẠNG TỐN 9: ĐƯỜNG VNG GÓC CHUNG CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Câu 76: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1 : x − y −1 z + = = −1 −2 x−2 y+3 z = = Giả sử M  1 , N   cho MN đoạn vng góc chung hai đường thẳng 1  Tính MN 2 : A MN = ( 5; −5;10 ) B MN = ( 2; −2; ) C MN = ( 3; −3; ) D MN = (1; −1; ) Lời giải Chọn B 1 có VTCP u1 = ( 3; −1; −2 )  có VTCP u = (1;3;1) Gọi M ( + 3t ;1 − t ; −5 − 2t ) N ( + s; −3 + 3s; s ) Suy MN = ( −2 − 3t + s; t + 3s − 4; 2t + s + )  MN u1 = 2s − t − = s =   Ta có   s − 8t − = t = −  MN u2 = Vậy MN = ( 2; −2; ) TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | 137 TỌA ĐỘ OXYZ Câu 77: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng chéo d : x − y + z +1 = = −4 1 x y −1 z − Phương trình phương trình đường thẳng vng góc = = −6 chung d d ' ? x −1 y −1 z +1 x −1 y −1 z A B = = = = 2 2 x +1 y −1 z x +1 y +1 z C D = = = = 2 2 d ': Lời giải Chọn D   AB ⊥ d  A ( − a; −2 + a; −1 + a )  d Gọi  cho   AB ⊥ d    B ( −6b;1 + b; + b )  d  Ta có AB = ( a − 6b − 3; b − a + 3; 2b − a + ) ; u d = ( −4;1;1) ; u d  = ( −6;1; ) ;  AB.u d =  a =  −4 ( 4a − 6b − ) + b − a + + 2b − a + =    b =   AB.u d  =  −6 ( 4a − 6b − ) + b − a + + ( 2b − a + ) =  A ( −1; −1;0 ) , B ( 0;1; ) , AB = (1; 2; ) Vậy phương trình đường thẳng vng góc chung d d ' x +1 y +1 z = = 2 Câu 78: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình đường vng góc chung hai x−2 y −3 z + x +1 y − z − đường thẳng d : d  : = = = = −5 −2 −1 x y z −1 x−2 y −2 z −3 A = = B = = 1 x−2 y + z −3 x y −2 z −3 C D = = = = 2 2 −1 Lời giải Chọn A Ta có M  d suy M ( + 2m;3 + 3m; −4 − 5m ) Tương tự N  d  suy N ( −1 + 3n; − 2n; − n ) Từ ta có MN = ( −3 + 3n − m;1 − n − 3m;8 − n + 5m )  MN ⊥ d Mà MN đường vng góc chung d d  nên   MN ⊥ d    −38m + 5n = 43  m = −1  ( −3 + 3n − 2m ) + (1 − n − 3m ) − ( − n + 5m ) =    − m + 14 n = 19 n = − + n − m − − n − m − − n + m = ( ) ( ) ( )     Suy M ( 0; 0;1) , N ( 2; 2;3) Ta có MN = ( 2; 2; ) nên đường vng góc chung MN x y z −1 = = 1 Câu 79: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : x −1 y z+2 = = −1 x +1 y −1 z − Đường vng góc chung d1 d cắt d1 , d A B = = −1 Tính diện tích S tam giác OAB d2 : TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | 138 TỌA ĐỘ OXYZ A S = B S = C S = D S = Lời giải Chọn C  x = + 2t1  Phương trình tham số d1 :  y = −t1 , a1 = ( 2; −1;1) VTCP d1  z = −2 + t   x = −1 + t  Phương trình tham số d1 :  y = + 7t2 , a2 = (1; 7; −1) VTCP d z = − t  A = d1  d  A (1 + 2a; − a; −2 + a ) B = d  d  B ( −1 + b;1 + 7b;3 − b ) AB = ( −2 + b − a;1 + 7b + a;5 − b − a ) AB đường vuông góc chung d1 d   AB ⊥ d1  AB.a1 =    AB ⊥ d   AB.a2 =   ( −2 + b − 2a ) − (1 + 7b + a ) + ( − b − a ) =   ( −2 + b − 2a ) + (1 + 7b + a ) − ( − b − a ) =   −6b − 6a =  A (1; 0; −2 )  a =b=0   B − 1;1;3 ( ) 52b + 6a =   Ta có OA = (1;0; −2 ) ; OB = ( −1;1;3) ; OA, OB  = ( 2; −1;1) Vậy SOAB = OA, OB  =   x = 1+ t  Câu 80: Trong không gian Oxyz , đường vng góc chung hai đường thẳng d :  y =  z = −5 + t  x =  d  :  y = − 2t  có phương trình  z = + 3t   x−4 y z+2 = = −2 x+4 y z−2 C = = −2 A x−4 y z−2 = = −3 −2 x−4 y z+2 D = = −1 B Lời giải Chọn A Giả sử AB đường vng góc chung d d  với A  d , B  d    A ( a + 1; 0; a − ) Ta có u d = (1; 0;1) , ud  = ( 0; −2;3 ) ,   BA = ( a + 1; 2b − 4; a − 3b − 10 ) B 0; − b ;3 b + ( )      d ⊥ AB a = ud BA = ( a + 1) + ( a − 3b − 10 ) =    Khi   d  ⊥ AB b = −  −2 ( 2b − ) + ( a − 3b − 10 ) =   ud  BA = TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | 139 TỌA ĐỘ OXYZ   A ( 4; 0; −2 )   BA = ( 4; −6; −4 )  u = ( −2;3; ) VTCP AB   B ( 0; 6; ) x−4 y z+2 Kết hợp với AB qua A ( 4; 0; −2 )  AB : = = −2 ❑ DẠNG TỐN 10: HÌNH CHIẾU VNG GĨC CỦA D LÊN (P) Câu 81: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình phương trình hình chiếu x −1 y + z − đường thẳng mặt phẳng ( Oxy ) ? = = x = 1+ t x = 1+ t x = 1+ t  x = + 2t     A  y = −2 + 3t B  y = −2 − 3t C  y = −2 + 3t D  y = − 3t z = z = z = z =     Lời giải Chọn C x −1 y + z − qua M (1; −2;3 ) N ( 3;1; ) = = Gọi M  N  hình chiếu M N ( Oxy ) ta có M  (1; −2; ) , N  ( 3;1; ) Đường thẳng  x = + 2t  Phương trình hình chiếu cần tìm là: M N  :  y = −2 + 3t  z=0  x + y −1 z −1 Hình chiếu = = −3 vng góc d mặt phẳng ( Oyz ) đường thẳng có vectơ phương Câu 82: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : A u = ( 0;1;3 ) B u = ( 0;1; −3 ) C u = ( 2;1; −3 ) D u = ( 2; 0; ) Lời giải Chọn B  7 Ta có d cắt mặt phẳng ( Oyz ) M  M  0; ; −  , chọn A ( −3;1;1)  d gọi B hình  2 chiếu vng góc A lên mặt phẳng ( Oyz )  B ( 0;1;1)  9 Lại có BM =  0; ; −  Khi đó, vectơ phương đường thẳng cần tìm phương  2 với vectơ BM nên chọn đáp án B Câu 83: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z + = đường  x = + 5t  thẳng d :  y = −7 + t ( t   z = − 5t  d qua mặt phẳng ( P )  x = −11 + 5t  A  :  y = 23 + t  z = 32 − 5t  TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG ) Tìm phương trình đường thẳng  đối xứng với đường thẳng  x = 13 + 5t  B  :  y = −17 + t  z = −104 − 5t  Trang | 140 TỌA ĐỘ OXYZ  x = −5 + 5t  C  :  y = 13 + t  z = −2 − 5t   x = −17 + 5t  D  :  y = 33 + t  z = 66 − 5t  Lời giải Chọn C Gọi M ( 7; − 7;6 )  d Gọi N ( x; y; z ) điểm đối xứng M qua mặt phẳng ( P ) I trung điểm MN  MN = k nP  ( x − 7; y + 7; z − ) = k ( 3; −5; ) Ta có:     I  ( P ) 3 x − y + z + 84 =  x = −5 + 5t  Giải hệ, ta có: k = −4  M ( −5;13; − ) Do đó:  :  y = 13 + t  z = −2 − 5t  Câu 84: Viết phương trình đường thẳng d  hình chiếu đường thẳng d : x −1 y + z = = −1 mặt phẳng Oyz x = 1− t  A d  :  y = z =  x =  B d  :  y = + 2t z = 1+ t  x =  C d  :  y = + 2t z = 1− t  x =  D d  :  y = −4 + 2t z = 1− t  Lời giải Chọn D x = 1+ t x =   Ta có: d :  y = −2 + 2t  Hình chiếu d  d lên mặt phẳng Oyz là: d  :  y = −2 + 2t  z = −t  z = −t   x =  Cho t = −1 , ta A ( 0; −4;1)  d   d  :  y = −4 + 2t z = 1− t  Câu 85: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : d lên mặt phẳng ( Oxy )  x = − 2t  A  y = −1 + t z =   x = + 2t  B  y = −1 + t z =   x = − + 2t  C  y = + t z =  x −1 = y + = z − Hình chiếu x =  D  y = −1 − t z =  Lời giải Chọn B  x = + 2t  Phương trình tham số đường thẳng d :  y = −1 + t z = + t   x = + 2t  Do mặt phẳng ( Oxy ) : z = nên hình chiếu d lên ( Oxy )  y = −1 + t z =  TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | 141 TỌA ĐỘ OXYZ  x = + 2t  Câu 86: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d :  y = −2 + 4t Hình chiếu song z = + t  x +1 y − z − = = có phương trình −1 −1  x = − 2t  x = + 2t   C  y = D  y = z = 1+ t  z = − 4t   song d lên mặt phẳng ( Oxz ) theo phương  : x = + t  A  y =  z = + 2t   x = − − 2t  B  y =  z = − 4t  Lời giải Chọn A Giao điểm d mặt phẳng ( Oxz ) là: M (5;0;5)  x = + 2t  Trên d :  y = −2 + 4t chọn M khơng trùng với M (5;0;5) ; ví dụ: M (1; −2;3) Gọi A z = + t  x +1 y − z − = = hình chiếu song song M lên mặt phẳng ( Oxz ) theo phương  : −1 −1 x +1 y − z − = = +/ Lập phương trình d’ qua M song song trùng với  : −1 −1 +/ Điểm A giao điểm d’ ( Oxz ) +/ Ta tìm A(3; 0;1)  x = + 2t  Hình chiếu song song d :  y = −2 + 4t lên mặt phẳng ( Oxz ) theo phương z = + t  x +1 y − z − : = = đường thẳng qua M (5;0;5) A(3; 0;1) −1 −1 x = + t  Vậy phương trình  y =  z = + 2t   HẾT  TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | 142 ... = TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | 39 TỌA ĐỘ OXYZ a =  - Với a = c thay vào (***)  b = −4  R = a − = c =  Tương tự trường hợp khác Chọn D TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | 40 TỌA ĐỘ OXYZ. .. z − x + y + z + = TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | 22 TỌA ĐỘ OXYZ 1 13 Ta có: a = 1, b = − , c = − , d =  a + b + c − d = −  2 Suy (1) không phương trình đường trịn TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG... x = 2a − 3b = ( −2; − 3; 19 ) TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG Trang | TỌA ĐỘ OXYZ ❑ DẠNG TỐN 2: TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG, VÉC TƠ Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1; 2;3)