Kinh tế lượng ứng dụng Bài giảng 10: Tự tương quan Phùng Thanh Bình, UEH 1 Bài giảng 10 TỰ TƯƠNG QUAN Mục tiêu học tập: Bản chất của tự tương quan Hậu quả của tự tương quan Phát hiện tự tương quan Khắc phục tự tương quan Các phương pháp ước lượng hệ số tự tương quan, ρ (rho) Tài liệu tham khảo chính: Domodar Gujarati, 1999, Essentials of Econometrics, Chapter 12 Domodar Gujarati, 2003, Basic Econometrics, Chapter 12 Ramanathan, 2002, Introductory Econometrics with Applications, Chapter 9 Phạm Chí Cao, 2006, Kinh tế lượng ứng dụng, Chương 8 Kinh tế lượng ứng dụng Bài giảng 10: Tự tương quan Phùng Thanh Bình, UEH 2 10.1 BẢN CHẤT CỦA TỰ TƯƠNG QUAN Tự tương quan có thể được định nghĩa là “sự tương quan giữa các thành phần của chuỗi các quan sát được sắp xếp theo thứ tự thời gian (dữ liệu thời gian) hay khơng gian (dữ liệu chéo). Tự tương quan thường có ở dữ liệu thời gian Giả định CLRM: E(u i u j ) = 0 (i ≠j) => Khơng có tương quan chuỗi (Sai số ứng với quan sát nào đó khơng bị ảnh hưởng bởi sai số ứng với một quan sát khác) E(u i u j ) ≠ 0 => Có tương quan chuỗi Thể hiện của tự tương quan trên đồ thị  Vẽ hạng nhiễu/phần dư theo thời gian  Vẽ hạng nhiễu u t /phần dư e t theo hạng nhiễu u t-1 /phần dư e t-1 Một số lý do của hiện tượng tự tương quan  Qn tính (Inertia)  Sai dạng hàm  Hiện tượng mạng nhện (Cobweb phenominon)  Xử lý dữ liệu 10.2 HẬU QUẢ CỦA TỰ TƯƠNG QUAN Các ước lượng OLS vẫn tuyến tính và khơng chệch nhưng khơng còn hiệu quả nữa (khơng còn thuộc tính BLUE) Các phương sai của các ước lượng OLS bị chệch (ước lượng thấp giá trị phương sai và sai số chuẩn thực, => giá trị t lớn => dễ sai lầm) Nên các kiểm định t, F, và χ 2 khơng còn đáng tin cậy Cơng thức thơng thường để tính phương sai nhiễu ( 2 ^ σ = RSS/df) là một ước lượng chệch của phương sai thực (σ 2 ) và trong một số trường hợp có thể ước lượng thấp. R 2 có thể khơng phải là ước lượng tin cậy của R 2 thực Các phương sai và sai số chuẩn của dự báo có thể khơng hiệu quả 10.3 PHÁT HIỆN TỰ TƯƠNG QUAN Sử dụng file Table6-3ee.txt (Chi tiêu hàng hóa nhập khẩu (Y) và thu nhập khả dụng (X) của Mỹ giai đoạn 1967 - 1987) Phương pháp đồ thị  Ước lượng hàm sau: Y t = B 1 + B 2 X t + u t (6.51) Kinh tế lượng ứng dụng Bài giảng 10: Tự tương quan Phùng Thanh Bình, UEH 3  Vẽ đồ thị e t theo thời gian  Vẽ đồ thị e t theo e t-1  Nhận xét: Tự tương quan dương Kiểm định d (Durbin – Watson)  Là kiểm định được sử dụng phồ biến nhất để kiểm định hiện tượng tương quan chuỗi  Cơng thức d = ∑ ∑ − = = − n 1t 2 t n 2t 2 1tt e )ee( (12.6.5)  Ưu điểm lớn nhất của kiểm định d là dựa trên phần dư nên là một thước đo được báo cáo phổ biến ở tất cả các phần mềm kinh tế lượng  Một số giả định:  Mơ hình hồi qui phải có hệ số cắt (b 1 )  Các biến giải thích khơng ngẫu nhiên hay cố định  Hạn nhiễu u t có phân phối chuẩn  Mơ hình hồi qui khơng có các biến giải thích là biến trễ của biến phụ thuộc (các mơ hình tự hồi qui)  Khơng được “thiếu quan sát” (missing observations), ví dụ chuỗi thời gian nếu thiếu 2 quan sát năm 1978 và 1982 thì d khơng dùng được  Cơng thức (12.6.5) được triển khai như sau: d = ∑ ∑∑ ∑ −+ −− 2 t 1tt 2 1t 2 t e ee2ee (12.6.7)  Do ∑ 2 t e và ∑ − 2 1t e chỉ khác nhau một quan sát, nên chúng được xem là như nhau, vậy ta có: d = 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ ∑ − − 2 t 1tt e ee 1 (12.6.8)  Đặt ∑ ∑ = ρ − 2 t 1tt ^ e ee , vậy d được viết lại như sau: d ≈ 2(1- ρ ^ ) (12.6.10) Lưu ý: ρ ^ là ước lượng của ρ (rho) là hệ số tự tương quan bậc 1: Kinh tế lượng ứng dụng Bài giảng 10: Tự tương quan Phùng Thanh Bình, UEH 4 u t = ρu t-1 + ε t (-1≤ ρ ≤ 1) (12.2.1) (phương trình tự hồi qui bậc 1)  Giá trị giới hạn của d?  Nếu ρ ^ = 0 => d = 2: khơng có tự tương quan  Nếu ρ ^ = 1 => d = 0: tự tương quan dương hồn hảo  Nếu ρ ^ = -1 => d = 4: tự tương quan âm hồn hảo 0 ≤ d ≤ 4 (12.6.11)  Thống kê d Durbin – Watson được minh họa trong hình sau: Bác bỏ H 0 Tự tương quan dương Vùng khơng quyết định Chấp nhận H 0 Vùng khơng quyết định Bác bỏ H 0 Tự tương quan âm Giả thiết H 0 : Khơng có tự tương quan  Qui trình kiểm định Durbin-Watson:  Hồi qui OLS và phần dư  Tính d theo cơng thức trên (các phần mềm kinh tế lượng đều báo cáo thống kê d với tên Durbin-Watson, hay DW)  Với số quan sát n và số biến giải thích ta tìm giá trị d L và d U  So sánh và quyết định Kiểm định Breusch-Godfrey (BG test)  Ưu điểm: Khắc phục được những hạn chế trong giả định của kiểm định Durbin- Watson  Giả sử mơ hình hồi qui hai biến: Y t = B 1 + B 2 X t + u t (12.6.14) Giả sử: u t có dạng sau: u t = ρ 1 u t-1 + ρ 2 u t-2 + … + ρ p u t-p + ε t (12.6.15) (tự hồi qui bậc p)  Giả thiết H 0 : ρ 1 = ρ 2 = ρ 3 = … = ρ p = 0 (12.6.16) 0 d L d U 2 4-d L 4 4-d U Kinh tế lượng ứng dụng Bài giảng 10: Tự tương quan Phùng Thanh Bình, UEH 5  Qui trình kiểm định BG:  Ước lượng (12.6.14) và lưu phần dư e t  Ước lượng phương trình hồi qui phụ e t theo X t và e t-1 , e t-2 , …, u t-p VÀ lưu R 2  Nếu cỡ mẫu lớn, Breusch và Godfrey cho rằng: (n-p)R 2 ~ 2 p χ  Nếu (n-p)R 2 > Chi 2 tra bảng ở mức ý nghĩa được chọn => Bác bỏ giả thiết H 0  Hạn chế của BG test là xác định số độ trễ tối ưu p. Thơng thường người ta sử dụng các thống kê AIC hay SIC để chọn độ trễ.  Kiểm định BG trên Eviews? View/Residual Tests/Serial Correlation LM Test 10.4 TỰ TƯƠNG QUAN DO SAI MƠ HÌNH VÀ TỰ TƯƠNG QUAN THUẦN TÚY (PURE AUTOCORRELATION) Ví dụ sử dụng file table12-4.wfl (Y = thu nhập thực, X = năng suất lao động) Ước lượng phương trình sau: Y t = B 1 + B 2 X t + u t  d = 0.1229 => Tự tương quan dương  Câu hỏi: Hiện tượng tự tương quan này do sai dạng hàm hay do bản chất của mối quan hệ?  Lập luận: Do dữ liệu thời gian, nên rất có thể cả biến lương và năng suất đều có yếu tố xu thế. Nếu giả thiết này đúng, thì mơ hình nên đưa biến xu thế vào, và ta có kết quả như sau: Ư d vẫn rất thấp Kinh tế lượng ứng dụng Bài giảng 10: Tự tương quan Phùng Thanh Bình, UEH 6  Dạng hàm khác như sau: Y t = B 1 + B 2 X t + B 3 X t 2 + u t Kết quả hồi qui vẫn cho thấy d vẫn rất thấp và vẫn hiện tượng tự tương quan. Kết luận, tự tương quan khơng phải do sai dạng hàm mà là tự tương quan thuần túy. Ý nghĩa: Nếu tự tương quan do sai dạng hàm, cách khắc phục đơn giản là chọn lại dạng hàm đúng. Nếu là tự tương quan thuần túy thì ta có các cách khắc phục như sẽ được trình bày ở phần 10.5. 10.5 KHẮC PHỤC TỰ TƯƠNG QUAN Giả sử ta có phương trình hồi qui sau: Y t = B 1 + B 2 X t + u t (12.12) Giả sử hạn nhiễu là phương trình tự hồi qui bậc 1 như sau: u t = ρu t-1 + ε t - 1 < ρ < 1 (12.7) Giả sử biết ρ  Nếu (12.12) đúng ở t, thì cũng đúng ở t-1, vậy ta có: Y t-1 = B 1 + B 2 X t-1 + u t-1 (12.13) Nhân cả hai vế của (12.13) với ρ, ta có: ρY t-1 = ρB 1 + ρB 2 X t-1 + ρu t-1 (12.14) Lấy (12.12) – (12.14) ta có: (Y t – ρY t-1 ) = B 1 (1-ρ) + B 2 (X t -ρX t-1 ) + ε t (12.15) t * t * 2 * 1 * t XBBY ε++= (12.16)  Hạn nhiễu của (12.16) thỏa các giả định OLS, nên các hệ số của (12.16) có thể được ước lượng bằng OLS. Các hệ số ước lượng này được gọi là các ước lượng GLS (Generalized Least Squares = Bình phương bé nhất tổng qt).  Các phương trình (12.15) và (12.16) là các phương trình sai phân tổng qt (Generalized difference equations) 10.6 ƯỚC LƯỢNG ρ NHƯ THẾ NÀO? Thực tế, ta khơng biết giá trị ρ, nhưng ta có thể ước lượng ρ theo một số phương pháp khác nhau. Minh họa với file table6-3ee.txt.  ρ = 1: Phương pháp sai phân bậc 1 (Y t –Y t-1 ) = B 2 (X t - X t-1 ) + (u t – u t-1 ) ΔYt = B2ΔXt + εt (12.18)  Phương pháp này thích hợp khi hệ số tự tương quan rất cao (>0.8) hay giá trị d rất thấp.  Maddala đề xuất ngun tắc như sau: nếu d < R 2 thì nên chuyển dạng sai phân bậc 1 Kinh tế lượng ứng dụng Bài giảng 10: Tự tương quan Phùng Thanh Bình, UEH 7  Lưu ý: o Hồi qui sai phân khơng có hệ số cắt o Hệ số b 2 giữa 2 mơ hình gốc và mơ hình sai phân khơng khác nhau nhiều (nhưng d và R 2 sẽ khác nhau đáng kể)  Nếu ước lượng có hệ số cắt: ΔY t = B 1 + B 2 ΔX t + ε t (12.9.8) B 1 là gì? Y t = A + B 1 t + B 2 X t + u t (a) Y t-1 = A + B 1 (t-1) + B 2 X t-1 + u t-1 (b) (a) – (b) = (12.9.8) B 1 = hệ số của biến xu thế trong mơ hình gốc  Phát hiện tự tương quan bằng kiểm định Berenblutt-Webb? • Nhắc lại rằng việc chuyển qua sai phân bậc 1 có thể thích hợp nếu ρ cao hay d thấp. Nói cách khác, chuyển qua sai phân bậc 1 chỉ có ý nghĩa nếu và chỉ nếu ρ = 1. • H 0 : ρ = 1 • Thống kê g = ∑ ∑ ε n 1 2 t n 2 ^ e 2 t o t ^ ε là phần dư từ phương trình hồi qui sai phân bậc 1 o e t là phần dư tư phương trình hồi qui gốc • Vẫn sử dụng bảng thống kê Durbin-Watson nhưng chỉ khác giả thiết H 0 .  Ước lượng ρ dựa trên thống kê d Durbin-Watson  Nếu ta khơng sử dụng dạng sai phân bậc 1 do rho khơng q cao, ta có thể ước lượng ρ theo (12.6.10) như sau: ρ ^ ≈ 1 - 2 d (12.9.13)  Áp dụng tương tự phương pháp sai phân tổng qt  Cách này chỉ cho ước lượng tốt nếu cỡ mẫu đủ lớn  Nếu cỡ mẫu nhỏ ta ước lượng ρ theo phương pháp của Theil & Nagar như sau: Kinh tế lượng ứng dụng Bài giảng 10: Tự tương quan Phùng Thanh Bình, UEH 8 ρ ^ = 22 22 kn k) 2 d 1(n − +− Trong đó: - n = cỡ mẫu - k = số hệ số hồi qui (kể cả hệ số cắt) - d = thống kê d Durbin-Watson  ρ được ước lượng từ phần dư (hàm hồi qui gốc)  Ta có: e t = ρ ^ e t-1 + v t (12.9.14)  Áp dụng tương tự phương pháp sai phân tổng qt  Các phương pháp khác  Qui trình lặp của Cochrane-Orcutt  Phương pháp Cochrane-Orcutt hai bước  Phương pháp Durbinh hai bước  Qui trình tìm kiếm Hildreth-Lu  Phương pháp ML BÀI TẬP NHĨM SỐ 8 u cầu làm theo nhóm, nộp bài làm qua email: ptbinh@ueh.edu.vn và nộp bản in (hoặc viết tay) và buổi học tiếp theo. Bài tập này sẽ được tính vào điểm q trình của mơn học. 8.1 Trong một nghiên cứu về xu hướng đong góp của lao động vào tổng giá trị tăng thêm (Y t ), Gujarati ước lượng hai mơ hình sau: Mơ hình A: Y t = B 1 + B 2 t + u t Mơ hình B: Y t = B 1 + B 2 t + B 3 t 2 + u t Từ số liệu theo năm trong giai đoạn 1949 – 1964, Gujarati ước lượng được các kết quả sau đây: Mơ hình A: t Y ^ = 0.4529 - 0.0041t t (-3.961) r 2 = 0.5284 d = 0.8253 Mơ hình B: t Y ^ = 0.4786 - 0.0127t + 0.0005t 2 Kinh tế lượng ứng dụng Bài giảng 10: Tự tương quan Phùng Thanh Bình, UEH 9 t (-3.272) (2.777) R 2 = 0.6629 d = 1.82 a. Có tương quan chuỗi ở mơ hình A? Mơ hình B? b. Nếu có, theo Anh/Chị thương quan chuỗi ở đây thuộc loại nào? Tại sao? c. Làm sao Anh/Chị phân biệt được tương quan chuỗu thuần túy với tương quan chuỗi do sai dạng hàm? 8.2 Giả sử trên một bài báo Anh/Chị gặp mơ hình hồi qui như sau: ΔlnY t = B 1 + B 2 ΔlnL t + B 3 ΔlnK t + u t Y = Sản lượng L = Lao động K = Vốn Δ = Sai phân bậc 1 a. Theo Anh/Chị tại sao tác giả bài báo đó lại sử dụng dạng hàm sai phân? b. Anh/Chị giải thích hệ số B 1 trong mơ hình trên như thế nào? Có phải hệ số này là một giá trị ước lượng của thay đổi cơng nghệ? 8.3 Sử dụng file dữ liệu Table12-9 (Y = Tồn kho (tỳ $), X = Doanh số (tỷ $) của ngành cơng nghiệp sản xuất của Mỹ giai đoạn 1950 - 1991), ước lượng mơ hình sau: Y t = B 1 + B 2 X t + u t a. Ước lượng phương trình trên? b. Kiểm định xem có tự tương quan dương hay khơng? c. Nếu ρ dương, áp dụng kiểm định Berenblutt-Webb để kiểm định giả thiết ρ = 1? d. Nếu Anh/Chị hồi nghi có cấu trúc tự tương quan của nhiễu bậc p, sử dụng kiểm định Breusch-Godfrey để kiểm định? Làm sao Anh/Chị biết p là bao nhiêu? e. Trên cơ sở các kiểm định, Anh/Chị sẽ chuyển dạng dữ liệu như thế nào để loại bỏ tự tương quan? f. Lập lại các bước trên với mơ hình sau: lnY t = B 1 + B 2 lnX t + u t g. Theo Anh/Chị nên chọn mơ hình nào? . with Applications, Chapter 9 Phạm Chí Cao, 2006, Kinh tế lượng ứng dụng, Chương 8 Kinh tế lượng ứng dụng Bài giảng 10: Tự tương quan Phùng Thanh Bình,. Kinh tế lượng ứng dụng Bài giảng 10: Tự tương quan Phùng Thanh Bình, UEH 5  Qui trình kiểm định BG:  Ước lượng (12.6.14) và lưu phần dư e t  Ước lượng