BÀI TOÁN 1: TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT I. Tọa độ của véctơ Cho hệ tọa độ Oxyz và u r . Khi đó có duy nhất một bộ ba số thực (x, y, z) sao cho . . .u x i y j z k= + + r r r r . Ta gọi bộ ba số (x, y, z) là tọa độ của u r và kí hiệu là : ( ; ; )u x y z= r hoặc ( ; ; )u x y z r Vậy : ( ; ; )u x y z= r . . .u x i y j z k⇔ = + + r r r r Từ định nghĩa trên ta suy ra : (1;0;0), (0;1;0), (0;0;1), 0 (0;0;0)i j k= = = = r r r r II. Tọa độ của điểm Cho hệ tọa độ Oxyz và điểm M. Ta gọi tọa độ của OM uuuur là tọa độ của điểm M. Như vậy bộ ba số (x, y, z) là tọa độ của điểm và kí hiệu là ( ; ; )M x y z= hoặc ( ; ; )M x y z nếu : . . .OM x i y j z k= + + uuuur r r r . Vậy theo định nghĩa trên, ta có : • (0;0;0)O • ( ;0;0)M Ox M x∈ ⇔ • (0; ;0)M Oy M y∈ ⇔ • (0;0; )M Oz M z∈ ⇔ ( ) ( ; ;0)M Oxy M x y• ∈ ⇔ ( ) ( ;0; )M Oxz M x z• ∈ ⇔ ( ) (0; ; )M Oyz M y z• ∈ ⇔  Gọi 1 2 3 ; ;M M M lần lượt là hình chiếu vuông góc của M(x; y; z) lên 3 trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Khi đó 1 2 3 ( ;0;0), (0; ;0), (0;0; )M x M y M z  Gọi 1 2 3 ; ;M M M lần lượt là hình chiếu vuông góc của M(x; y; z) lên 3 mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Oxz). Khi đó 1 2 3 ( ; ;0), (0; ; ), ( ;0; )M x y M y z M x z .  Cho ( ; ; ), ( ; ; ) A A A B B B A x y z B x y z . Khi đó ( ; ; ) B A B A B A AB x x y y z z= − − − uuur III. Các công thức • Cho hai véctơ 1 1 1 2 2 2 ( ; ; ), ( ; ; )a x y z b x y z= = r r . Khi đó : 1. 1 2 1 2 1 2 ( ; ; )a b x x y y z z± = ± ± ± r r 2. 1 1 1 . ( ; ; ) m a mx my mz m R= ∀ ∈ r 3. Tích vô hướng của hai véctơ : a) . . .cos( ; )a b a b a b= r r r r r r b) 1 2 1 2 1 2 .a b x x y y z z= + + r r 4. Độ dài của véctơ : 2 2 2 1 1 1 a x y z= + + r ; 2 2 2 2 2 2 b x y z= + + r 5. Côsin của góc giữa 2 véctơ : 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 . cos( ; ) = ( ; 0) . . a b x x y y z z a b a b a b x y z x y z + + = ≠ + + + + r r r r r r r r r 6. 1 2 1 2 1 2 x x a b y y z z =   = ⇔ =   =  r r 7. a r cùng phương với b r ⇔ 1 1 1 2 2 2 x y z x y z = = • Khoảng cách giữa hai điểm 2 2 2 ( ) ( ) ( ) B A B A B A AB AB x x y y z z= = − + − + − uuur z . x . k r j r 0 y .M . . 1 . . . 0 i j k i j j k i k = = = = = = r r r rr r r rr • Gọi I là trung điểm AB 2 2 2 A B I A B I A B I x x x y y y z z z +  =   +  ⇒ =   +  =   • Gọi G là trọng tâm tam giác ABC 3 3 3 A B C G A B C G A B C G x x x x y y y y z z z z + +  =   + +  ⇒ =   + +  =   • Nếu điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k ( 1k ≠ ), nghĩa là .MA k MB= uuur uuur thì . 1 . 1 . 1 A B M A B M A B M x k x x k y k y y k z k z z k −  =  −  −  =  −  −  =  −  B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Bài 1 : Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với ( 1;2;4), (2;0;5), (1;1;2)A B C− . a. Tính chu vi tam giác ABC. b. Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành. c. Tìm tọa độ điểm E đối xứng với A qua B. d. Tìm tọa độ điểm F sao cho A là trọng tâm tam giác BCF . e. Tính góc A của tam giác ABC. Bài 2 : Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết (1;1;3), ( 2;3;0), (0;4;1), '(2;4; 1)A B D C− − . Tìm tọa độ tất cả các đỉnh còn lại của hình hộp. Bài 3 : Trong không gian Oxyz cho 0u ≠ r r . Chứng minh rằng : 2 2 2 cos ( ; ) cos ( ; ) cos ( ; ) 1u i u j u k+ + = r r r r r r . Bai 4 : Tìm OxM ∈ cách đều 2 điểm (1; 3;1) ; B(0;1;-2)A − . Bài 5 : Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với (2;0; 3), (1;2; 2), (0;2;1)A B C− − . Tìm tọa độ chân đường phân giác trong và chân đường phân giác ngoài góc A của tam giác ABC. Bài 6 : Cho (4; 1;2) ; B(7;3;2)A − . Tìm M trên mặt phẳng (Oyz) sao cho tam giác ABM vuông cân tại A. Bài 7 : Trong không gian Oxyz, cho (2; 1;4), ( 4;3;2)A B− − . Tìm điểm M trên mặt phẳng (Oxy) sao cho : a. MA MB+ uuur uuur đạt giá trị nhỏ nhất. b. 2 2 ( )MA MB+ đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 8 : Cho ( 1;6;6) ; B(3;-6;-2)A − . Tìm (Ox )M y∈ sao cho ( )MA MB+ nhỏ nhất. Bài 9 : Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm (4;0;0), B(7;3;9), (2;2;2)A C . Tìm M thuộc (Oxz) sao cho 2 3MA MB MC+ + uuur uuur uuuur nhỏ nhất. BÀI TOÁN 2: TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ VÀ ỨNG DỤNG A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT I. Định nghĩa : Trong không gian Oxyz, cho hai véctơ 1 2 3 1 2 3 ( ; ; ), ( ; ; )a a a a b b b b= = r r . Tích có hướng của hai véctơ a r và b r là một véctơ, kí hiệu là ;a b     r r , và được xác định như sau : 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 ; ; ; b b b a a a a a a a b b b b     =  ÷     r r II. Tính chất 1. a r cùng phương với b r ; 0a b   ⇔ =   r r r 2. ;a b     r r vuông góc với cả hai véctơ a r và b r a r b r ;a b     r r α 3. ; ;b a a b     = −     r r r r 4. ; . .sin( ; )a b a b a b   =   r r r r r r III. Các ứng dụng 1. Xét sự đồng phẳng của ba véctơ • Ba véctơ ; ; a b c r r r đồng phẳng ; . 0a b c   ⇔ =   r r r • 4 điểm A, B, C, D tạo thành tứ diện ; . 0AB AC AD   ⇔ ≠   uuur uuur uuur 2. Tính diện tích tam giác : 1 ; 2 ABC S AB AC ∆   =   uuur uuur 3. Tính thể tích hình hộp : . ' ' ' ' ; . ABCD A B C D V AB AC AD   =   uuur uuur uuur 4. Tính thể tích tứ diện : 1 ; . 6 ABCD V AB AC AD   =   uuur uuur uuur B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Bài 1 : Trong không gian Oxyz cho (1;2;3), (3; 1;2), (2;3;1) (9; 3;7), (1;8;8), w (5; 5;1) a b c u v = = − = = − = = − r r r r r uur 1. Chứng minh ba véctơ ; ; a b c r r r không đồng phẳng. 2. Chứng minh ba véctơ ; ; wu v r r uur đồng phẳng. Bài 2 : Ba điểm A, B, C nào sau đây thẳng hàng : 1. (1;1;1) ; B(-4;3;1) ; C(-9;5;1)A 2. (1;3;1) ; B(0;1;2) ; C(0;0;1)A Bài 3 : Cho 4 điểm (1;1;2) ; B(0;3;-2) ; C(3;4;1); D(2;0;-3)A 1. Chứng minh 4 điểm A, B, C, D tạo thành một tứ diện. Tính thể tích tứ diện ABCD. 2. Tính độ dài đường cao của tứ diện xuất phát từ đỉnh A. Bài 4 : Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD biết (2;1; 1) ; B(3;0;1) ; C(2;-1;3)A − , còn đỉnh D nằm trên trục Oy. Tìm tọa độ đỉnh D nếu tứ diện ABCD có thể tích bằng 5. (ĐH Văn Hóa HN-1997) Bài 5 : Cho ba điểm ( ;0;0) ; B(0;b;0) ; C(0;0;c)A a với a, b, c > 0. a. Chứng tỏ rằng tam giác ABC không thể là tam giác vuông. b. Tính thể tích hình chóp OABC và diện tích tam giác ABC theo a, b, c. (ĐH Mỹ Thuật 1999) BÀI TOÁN 3 : PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng. • Véctơ 0n ≠ r r được gọi là véctơ pháp tuyến của mp ( ) α nếu giá của n r vuông góc với mp ( ) α , viết tắc là ( )n α ⊥ r . • Nếu hai véctơ a r và b r không cùng phương và giá của chúng song song hoặc nằm trên mp ( ) α (ta còn gọi hai véctơ a r và b r là cặp véctơ chỉ phương của mp ( ) α ) thì mp ( ) α nhận ;n a b   =   r r r làm véctơ pháp tuyến. 2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng. • Mặt phẳng ( ) α đi qua 0 0 0 ( ; ; )M x y z và có VTPT ( ; ; )n A B C= r có phương trình tổng quát là : 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z − + − + − = • Mỗi mặt phẳng đều có phương trình tổng quát dạng : Ax 0By Cz D+ + + = (1) với 2 2 2 0A B C+ + ≠ • Ngược lại, mỗi phương trình có dạng (1) đều là phương trình của một mp và mp đó có một VTPT là ( ; ; )n A B C = r . 3. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn Mặt phẳng ( ) α không đi qua gốc tọa độ O và cắt Ox tại ( ;0;0)A a , cắt Oy tại (0; ;0)B b , cắt Oz tại (0;0; )C c có phương trình là : ( ) : 1 x y z a b c α + + = . 4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng 1 1 1 1 1 ( ): A x 0B y C z D α + + + = và 2 2 2 2 2 ( ) : A x 0B y C z D α + + + = . • 1 ( ) α cắt 2 ( ) α 1 1 1 2 2 2 : : : :A B C A B C⇔ ≠ • 1 ( ) α // 2 ( ) α 1 1 1 1 2 2 2 2 A B C D A B C D ⇔ = = ≠ • 1 ( ) α ≡ 2 ( ) α 1 1 1 1 2 2 2 2 A B C D A B C D ⇔ = = = 5. Chùm mặt phẳng  Tập hợp tất cả các mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) α và ( ) β được gọi là một chùm mặt phẳng  Gọi (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng 1 1 1 1 ( ) : A x 0B y C z D α + + + = và 2 2 2 2 ( ) : A x 0B y C z D β + + + = . Khi đó nếu (P) là mặt phẳng chứa (d) thì phương trình mặt phẳng (P) có dạng : 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 ( ) : .(A x ) .(A x ) 0, 0P m B y C z D n B y C z D m n+ + + + + + + = + ≠ B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Bài 1 : Viết phương trình mặt phẳng ( ) α trong các trường hợp sau : 1. ( ) α qua ( 1;2;4)M − và nhận (3;4;5)n = r làm véctơ pháp tuyến. 2. ( ) α qua (1;3; 2)A − và vuông góc với BC biết (2;0; 3), (0;4; 1)B C− − . 3. ( ) α qua ( 2;4;1)M − và song song với mặt phẳng ( ) :3 2 15 0P x y z− + − = . 4. ( ) α qua (3; 4;1)N − và vuông góc với trục Ox. 5. ( ) α là mặt phẳng trung trực của cạnh AB với (4; 3; 1), (0;1;5)A B− − . 6. ( ) α qua (1; 3;2)I − và chứa trục Oz. 7. ( ) α chứa AB và song song với CD biết (1;1;2) ; B(0;3;-2) ; C(3;4;1); D(2;0;-3)A 8. ( ) α qua (2; 1;2)M − , song song với trục Oy và vuông góc với mp ( ) : 2 3 4 0x y z β − + + = . 9. ( ) α qua 2 điểm (1; 3;1) ; B(0;1;-2)A − và vuông góc với mặt phẳng ( ) :3 5 0P x y− + = . 10. ( ) α qua ( 1;3;4)A − và vuông góc với hai mặt phẳng ( ) : 2 4 5 0P x y z+ − + = ; ( ) :3 4 1 0Q x z− − = . Bài 2 : Viết phương trình mặt phẳng ( ) α qua các điểm là hình chiếu vuông góc của (1;2;4)M lên các trục tọa độ. Bài 3 : Viết phương trình mặt phẳng ( ) α qua (1;2;3)G và cắt 3 trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC. Bài 4 : Viết phương trình mặt phẳng ( ) α qua (1;2;4)M và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho OA OB OC= = . Bài 5 : Viết phương trình mặt phẳng ( ) α qua ( 2;5;1)A − và cách (0;2; 1)B − một khoảng lớn nhất. Bài 6 : Viết phương trình mặt phẳng ( ) α qua (3;1; 4)H − và cắt 3 trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC. Bài 7 : Viết phương trình mặt phẳng ( ) α qua (1;1;1)M và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho 1. Thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất. 2. OA OB OC + + có giá trị nhỏ nhất. 3. 2 2 2 1 1 1 OA OB OC + + có giá trị nhỏ nhất. Bài 8 : Trong không gian Oxyz, hãy viết phương trình mặt phẳng (P) biết A C B x y z O α β P d 1. (P) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) : 2 1 0x z α − + = , ( ) : 4 0x y z β + − − = và đi qua điểm ( 1;4;3)M − 2. (P) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng, ( ) : 2 4 0, ( ) : 3 0y z x y z α β + − = + − − = và song song với mặt phẳng ( ) : 1 0Q x y z+ + − = . 3. (P) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng, ( ) :3 2 0, ( ) : 4 5 0x y z x y α β − + − = + − = và vuông góc với mặt phẳng ( ) : 2 2 0Q x z− + = . Bài 9 : Trong không gian Oxyz, cho ( 1;3;2), (4;1;1), (0;2; 1), (2;2;3)A B C D− − . 1. Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Chứng tỏ ABCD là một tứ diện. 2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và song song với mặt phẳng (BCD). 3. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, B và chia tứ diện ra làm 2 phần có thể tích bằng nhau. Bài 10 : Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau : 1. 2 3 4 0x y z+ − + = và 3 4 2 0x y z− + − = 2. 2 2 3 0x y z− − + = và 4 2 4 5 0x y z− − + = 3. 2 3 1 0x y z− − − = và 3 6 9 3 0x y z− + + + = Bài 11 : Hãy xác định giá trị của m, n để các cặp mặt phẳng sau song song với nhau 1. 2 2 5 0x my z+ + + = và 2 4 7 0nx y z+ − + = 2. 2 1 0nx y z+ + − = và 2 2 ( 3) (3 1) 2 0x m y m z+ + + − − = Bài 12 : Cho ( ) : 2 3 6 0P x my z m− + − + = , ( ) : ( 3) 2 (5 1) 10 0Q m x y m z+ − + + − = . Với giá trị nào của m thì : 1. (P) song song (Q) 2. (P) trùng (Q) 3. (P) cắt (Q) Bài 13 : Với giá trị nào của m thì ba mặt phẳng sau đây cùng đi qua một đường thẳng ( ) : (2 1) 3 2 3 0P m x my z− − + + = , ( ) :3 7 3 0Q x y z+ + − = , ( ) : 9 2 5 0R x y z− − + = . BÀI TOÁN 4 : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT I. Véctơ chỉ phương của đường thẳng Véctơ 0u ≠ r r được gọi là VTCP của đường thẳng d nếu giá của u r song song hoặc trùng với d. Nhận xét : • Một đường thẳng có vô số véctơ chỉ phương, các véctơ này cùng phương với nhau. • Nếu u r là một VTCP của đường thẳng d thì . ( )k u k R∈ r cũng là một VTCP của đường thẳng d . • Hai véctơ a r và b r không cùng phương và cùng vuông góc với đường thẳng d thì ;a b     r r là một VTCP của d. II. Phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng Đường thẳng 0 0 0 ( ; ; ) : ó VTCP là ( ; ; ) qua M x y z d c u a b c    =   r • Phương trình tham số của d là : 0 0 0 . . (t R) . x x a t y y b t z z c t = +   = + ∈   = +  • Nếu . . 0a b c ≠ thì phương trình chính tắc của d là : 0 0 0 x x y y z z a b c − − − = = B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Bài 1 : Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d trong các trường hợp sau 1. d qua (2; 1;5)M − và có VTCP là (4;3;2)u = r . 2. d qua hai điểm ( 1;0;3), (2;5; 1)A B− − . 3. d qua (2; 2;1)A − và song song với BC biết (3; 1;4), (1;2;3)B C− . d d . 4. d qua (0;3;4)A và song song với đường thẳng 2 : 2 1 5 x t y t z t = −   ∆ =   = − +  5. d qua (2;1; 4)M − và song song với trục Ox. 6. d qua (3; 2;0)A − và vuông góc với mặt phẳng ( ) : 3 4 5 0x y z α + − + = . 7. d qua ( 2;2;3)I − và vuông góc với cả hai đường thẳng 1 1 2 : 3 1 1 x y z d − + = = − , 2 3 : 1 4 2 x t d y z t = +   = −   = +  8. d qua (0;2; 3)A − vuông góc với 1 2 : 2 1 1 x y z− + ∆ = = − và nằm trong mặt phẳng ( ) : 2 4 0P x z+ − = . 9. d qua (2;0; 1)B − và song song với hai mặt phẳng ( ) : 3 2 5 0P x y− + = , ( ) : 3 4 0Q x y z+ − + = . 10. d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) : 2 3 0x y z α + + − = và ( ) : 3 2 1 0x y z β − + − = . Bài 2 : Viết phương trình mặt phẳng ( ) α trong các trường hợp sau 1. ( ) α qua ( 1;2;4)M − và vuông góc với 1 2 : 2 1 1 x y z− + ∆ = = − 2. ( ) α qua (2; 3;0)M − và song song với hai đường thẳng 1 1 2 : 3 x t d y t z t = −   = +   =  và 2 1 2 : 3 1 4 x y z d − + = = − 3. ( ) α chứa 1 : 3 2 1 5 x t y t z t = +   ∆ = −   = − +  và song song với 3 1 2 : 2 3 1 x y z d − − + = = 4. ( ) α chứa ( 3;4;1)M − và 1 4 : 2 1 3 x y z d + − = = − . Bài 3 : Cho đường thẳng 1 2 : 3 4 x t d y t z t = −   = +   = −  và mặt phẳng ( ) : 2 4 1 0x y z α + − + = 1. Chứng tỏ rằng đường thẳng d cắt mặt phẳng ( ) α . Tìm tọa độ giao điểm I của d và ( ) α . 2. Viết phương trình đường thẳng ∆ qua I, vuông góc với đường thẳng d và nằm trong mặt phẳng ( ) α . Bài 4 : Cho (1;2;0)A và ( ) : 2 2 9 0x y z α − − + = . Tìm điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng ( ) α . Bài 5 : Cho mặt phẳng ( ) : 2 1 0P x y z− + + = và hai đường thẳng 1 3 1 : 1 2 3 x y z d − + = = − 2 4 3 : 1 1 2 x y z d − − = = Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trên (P), đồng thời cắt cả 1 d và 2 d . Bài 6 : Cho điểm (1;2; 1)A − và đường thẳng 1 3 : 2 2 2 2 x t d y t z t = − +   = −   = +  Tìm hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng d. Bài 7 : Cho hai điểm ( 1;3; 2), ( 3;7; 18)A B− − − − và mặt phẳng ( ) : 2 1 0P x y z− + + = 1. Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (P). 2. tìm tọa độ điểm ( )M P∈ sao cho MA MB+ nhỏ nhất. (Dự Bị A-2007) Bài 8 : Cho hai điểm (1;4;2), ( 1;2;4)A B − và 1 2 : 1 1 2 x y z− + ∆ = = − 1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặ phẳng (OAB) 2. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho 2 2 MA MB+ nhỏ nhất. (ĐH D-2007) Bài 9 : Cho hai đường thẳng 1 3 1 : 1 2 1 x y z− − ∆ = = − và 2 1 : 1 2 x t y t z = +   ∆ = − −   =  1. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng 1 ∆ và song song với đường thẳng 2 ∆ . 2. Xác định điểm A trên 1 ∆ và B trên 2 ∆ sao cho đoạn AB có độ dài nhỏ nhất. Bài 10 : Cho (1;2;3)A và hai đường thẳng 1 3 : 1 2 4 x t d y t z = −   = +   =  ; 2 1 2 2 : 1 1 3 x y z d + − + = = − 1. Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A cắt 1 d và vuông góc với 2 d . 2. Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A và cắt cả 1 d và 2 d . 3. Viết phương trình đường vuông góc chung của 1 d và 2 d . Bài 11 : Cho mặt phẳng ( ) : 4 2 1 0P x y z+ + − = , đường thẳng 1 : 2 3 y z x − ∆ = = và điểm (3;4;2)A . 1. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (P). 2. Viết phương trình đường thẳng ' ∆ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng ∆ lên mặt phẳng (P). 3. Viết phương trình đường thẳng đi qua A, vuông góc và cắt đường thẳng ∆ . Bài 12 : Viết phương trình đường thẳng ∆ qua (1; 1;1)A − và cắt cả hai đường thẳng 1 2 2 : 3 x t d y t z t = +   =   = −  và 2 1 1 : 2 2 1 x y z d − − = = − Bài 13 : Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng ( ) : 1 0P x y z+ + − = và cắt cả hai đường thẳng 1 1 1 : 2 1 x y d z − + = = − và 2 1 : 1 2 x t d y z t = +   = −   = −  Bài 14 : Viết phương trình đường thẳng d qua (3;2; 4)A − , song song với mặt phẳng ( ) : 3 2 3 7 0x y z α − − − = và cắt đường thẳng 2 4 1 : 3 2 2 x y z− + − ∆ = = − . Bài 15 : Viết phương trình đường thẳng ∆ qua (0;1;1)M , vuông góc với đường thẳng 1 1 2 : 3 1 x y d z − + = = và cắt đường thẳng 2 1 : 1 x d y t z t = −   =   = +  III. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1 d và 2 d . Giả sử 1 2 1 2 qua A v c VTCP l qua B v c VTCP l d d d à ó à u d à ó à u      uur uur • 1 d và 2 d chéo nhau ⇔ 3 véctơ 1 2 ; ; d d u u AB uur uur uuur không đồng phẳng 1 2 ; . 0 d d u u AB   ⇔ ≠   uur uur uuur . • 1 d và 2 d cắt nhau ⇔ 3 véctơ 1 2 ; ; d d u u AB uur uur uuur đồng phẳng và 2 véctơ 1 2 ; d d u u uur uur không cùng phương 1 2 1 2 ; 0 ; . 0 d d d d u u u u AB    ≠   ⇔    =     uur uur r uur uur uuur • 1 d song song 2 d 1 2 1 ; 0 ; 0 d d d u u u AB    =   ⇔    ≠     uur uur r uur uuur r . . A B 2 d u uur . . A B 1 d u uur . . A 1 d 2 d . B • 1 d trùng 2 d 1 2 1 ; 0 ; 0 d d d u u u AB    =   ⇔    =     uur uur r uur uuur r IV. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng Cho đường thẳng d và mặt phẳng ( )P • Đường thẳng 0 0 0 ( ; ; ) : ó VTCP là ( ; ; ) d qua M x y z d c u a b c    =   uur • Mặt phẳng (P) có VTPT là ( , , ) P n A B C= uur  d cắt (P) . 0 d P u n⇔ ≠ uur uur  d song song với (P) . 0 ( ) d P u n M P  =  ⇔  ∉   uur uur  d chứa trong (P) . 0 ( ) d P u n M P  =  ⇔  ∈   uur uur BÀI TOÁN 5 : KHOẢNG CÁCH 1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Cho điểm ( ; ; ) M M M M x y z và mặt phẳng ( ) : 0Ax By Cz D α + + + = . Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( ) α là : [ ] 2 2 2 ;( ) M M M Ax By Cz D d M A B C α + + + = + + Chú ý : • Nếu (P) song song với (Q) thì [ ] [ ] ( );( ) ;( )d P Q d M Q= với ( )M Q∈ • Nếu đường thẳng a song song với ( ) α thì [ ] [ ] ;( ) ;( )d a d M α α = với M a ∈ 2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Cho điểm ( ; ; ) M M M M x y z và đường thẳng ∆ qua A và có VTCP là u ∆ uur . Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ là : [ ] ; ;( ) AM u d M u ∆ ∆     ∆ = uuuur uur uur 3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Cho hai đường thẳng chéo nhau 1 d và 2 d . Giả sử 1 2 1 2 qua A v c VTCP l qua B v c VTCP l d d d à ó à u d à ó à u      uur uur Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng 1 d và 2 d là : [ ] 1 2 1 2 1 2 ; . ; ; d d d d u u AB d d d u u     =     uur uur uuur uur uur Bài 1 : Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) biết : 1. (1; 3;4)M − và ( ) : 2 2 13 0P x y z+ − − = . 2. (2;1; 5)M − và ( ) : 7 2 0P x y− + = . Bài 2 : Cho hai mặt phẳng ( ) : 2 3 0P x y z+ − − = và ( ) : 2 7 0Q x y z+ − + = 1 d 2 d . d P . d P M. .M .M . A . . A B 1. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). 2. viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q). Bài 3 : Tìm điểm M trên trục Oz cách đều điểm (2;3;4)A và mặt phẳng ( ) : 2 3 17 0x y z α + + − = . Bài 4 : Tìm điểm M trên trục Oy cách đều hai mặt phẳng ( ) : 1 0x y z α + − + = và ( ) : 5 0x y z β − + − = . Bài 5 : 1. Viết phương trình mặt phẳng ( ) α song song với mặt phẳng ( ) : 2 3 0P x y z+ − + = và cách điểm (2;0; 3)A − một khoảng bằng 2 6 . 2. Viết phương trình mặt phẳng ( ) α song song với mặt phẳng ( ) : 2 3 0P x y z+ − + = và cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 6 . Bài 6 : Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d biết : 1. (0; 2;3)M − và 1 2 : 3 4 x t d y t z t = −   = +   = −  2. (3;1; 4)M − và 4 3 : 1 1 2 x y z d − − = = Bài 7 : Cho hai đường thẳng 1 1 1 2 : 2 3 1 x y z d + − − = = và 2 2 2 : 1 5 2 x y z d − + = = − . Chứng minh 1 d và 2 d chéo nhau. Tính khoảng cách giữa 1 d và 2 d . (Cao Đẳng Y Tế I -2006) Bài 8 : Cho hai đường thẳng 1 2 3 5 0 : 2 0 x y z d x y z − + − =   + − =  ; 2 2 2 3 17 0 : 2 2 3 0 x y z d x y z − − − =   − − − =  và điểm (3;2;5)A 1. Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua 1 d . 2. Lập phương trình mặt phẳng đi qua 1 d và song song với 2 d . 3. Tính khoảng cách giữa 1 d và 2 d . (Cao Đẳng Sư Phạm Quãng Ngãi-2006) Bài 9 : (ĐH A-2005) Cho 1 3 3 : 1 2 1 x y z d − + − = = − và mặt phẳng ( ) : 2 2 9 0P x y z+ − + = . 1. Tìm điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặy phẳng (P) bằng 2. 2. Tìm tọa độ giao điểm A của d và (P). Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ qua nằm trong (P), đi qua A và vuông góc với d. Bài 10 : (ĐH A-2004) Trong không gian Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc tọa độ O. Biết (2;0;0); (0;1;0); (0;0;2 2)A B S . Gọi M là trung điểm SC. 1. Tính khoảng cách giữa SA và BM. 2. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN Bài 11 : (ĐH A-2009) Cho mặt phẳng ( ) : 2 2 1 0P x y z− + − = và hai đường thẳng 1 1 9 : 2 1 6 x y z d + + = = ; 2 1 3 1 : 2 1 2 x y z d − − + = = − ĐS : (0; 1;3) 18 53 3 ( ; ; ) 35 35 35 M M −     Tìm điểm M trên 1 d sao cho khoảng cách từ M đến 2 d bằng khoảng cách từ M đến (P) BÀI TOÁN 6 : PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 1. Định nghĩa Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) có tâm ( ; ; )I a b c , bán kính R. Khi đó phương trình của mặt cầu (S) là : 2 2 2 2 ( ) : ( ) ( ) ( )S x a y b z c R− + − + − = Ví dụ : Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau : 1) (S) có tâm (1;2; 3)I − và 4R = . 2) (S) có tâm ( 1;3;4)I − và đi qua (0;2; 2)M − . 3) (S) có đường kính là AB biết (2 : 2;1); (4;0; 5)A B− − . 4) (S) có tâm (2; 1;4)I − và tiếp xúc với mặt phẳng ( ) : 2 2 17 0P x y z+ − − = . Giải : . . . . . . . . . 2. Nhận dạng phương trình mặt cầu. Phương trình 2 2 2 2 2 2 0x y z ax by cz d+ + − − − + = thỏa điều kiện 2 2 2 0a b c d+ + − > là phương trình của mặt cầu có tâm ( ; ; )I a b c , bán kính 2 2 2 R a b c d= + + − . Ví dụ : Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu, tìm tâm và bán kính (nếu có) 1) 2 2 2 4 6 2 11 0x y z x y z+ + + − + − = . 2) 2 2 2 6 8 2 2018 0x y z x y z+ + − + − + = . Giải : . . . Ví dụ : Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD biết (3; 2;4); ( 1;2; 2); (0;6;1); ( 2;2;1)A B C D− − − − Giải : Gọi (S) : 2 2 2 2 2 2 0x y z ax by cz d+ + − − − + = . Thế tọa độ 4 điểm A; B; C; D vào phương trình mặt cầu (S), ta được : . . . . . . . . . 3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng Cho mặt cầu 2 2 2 2 ( ) : ( ) ( ) ( )S x a y b z c R− + − + − = và mặt phẳng ( ) : 0P Ax By Cz D+ + + = Ta có (S) có tâm ( ; ; )I a b c và bán kính R. Đặt [ ] ;( )d d I P= • Nếu d R> thì (P) và (S) không có điểm chung. • Nếu d R= thì (P) tiếp xúc với (S). Khi đó (P) gọi là tiếp diện của (S) • Nếu d R< thì (P) và (S) cắt nhau theo một giao tuyến là đường tròn (C) có tâm H là hình chiếu vuông góc của I lên (P) và bán kính 2 2 r R d= − Bài tập : 1) Viết phương trình mặt cầu có tâm (0;0;3)I và tiếp xúc với ( ) : 2 2 3 0P x y z+ − + = . Tìm tọa độ tiếp điểm. 2) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD biết ( 2;3;5); (6; 3; 5); (4;3;3); ( 2; 5;1)A B C D− − − − − . 3) Viết phương trình mặt phẳng ( ) α song song với mặt phẳng ( ) : 3 2 1 0P x y z− + − = và tiếp xúc với mặt cầu 2 2 2 ( ) : ( 2) ( 3) ( 5) 14S x y z− + + + − = . 4) Viết phương trình mặt cầu đi qua điểm (2; 3; 7)A − − , có tâm thuộc đường thẳng 1 2 2 : 1 1 3 x y z d − + − = = − và tiếp xúc với mặt phẳng ( ) : 4 0P x y z+ + − = . 5) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc mp (Oxz) và đi qua 3 điểm (1;1;1); (2;1;4); (4; 1;0)A B C − . . r r r r II. Tọa độ của điểm Cho hệ tọa độ Oxyz và điểm M. Ta gọi tọa độ của OM uuuur là tọa độ của điểm M. Như vậy bộ ba số (x, y, z) là tọa độ của điểm. BÀI TOÁN 1: TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT I. Tọa độ của véctơ Cho hệ tọa độ Oxyz và u r . Khi đó có duy nhất một