Đang tải... (xem toàn văn)
Trong tam giác ABC , ta đã biết rằng trọng tâm, trực tâm, tâm ngoại tiếp và tâm Euler là bốn điểm thẳng hàng quen thuộc; nhưng còn có bốn điểm quen thuộc khác cũng thẳng hàng nữa là: t[r]
(1)Chủ đề B. ĐƯỜNG THẲNG NAGEL ĐI QUA TÂM SPIEKER
Trong tam giác ABC, ta biết trọng tâm, trực tâm, tâm ngoại tiếp tâm Euler bốn điểm thẳng hàng quen thuộc; cịn có bốn điểm quen thuộc khác thẳng hàng là: trọng tâm G, tâm nội tiếp I , điểm Nagel N tâm Spierker S Xin nhắc lại:
- Điểm Nagel điểm đồng quy đoạn thẳng nối đỉnh tiếp điểm đường trịn bàng tiếp góc tương ứng lên cạnh đối diện
- Tâm Spierker tâm nội tiếp tam giác có ba đỉnh ba trung điểm Ta chứng minh hai ý:
(1) , ,I G N thẳng hàng (2) , ,I G S thẳng hàng
Để chứng minh , ,I G N thẳng hàng, ta dùng tâm tỷ cự nhanh gọn với ý rằng: ( , , ), (1,1,1)
I a b c G N p a p b p c( , , ) Có cách sơ cấp việc chứng minh bổ đề sau:
Bài Cho hình bình hành ABCD với ,E F di động BA BC, cho AECF giao điểm AF CE, nằm đường thẳng cố định, phân giác góc D
Thật vậy, đặt K AFCE H, ADCE theo định lý Thales, ta có
KH AH AH CB AH CB DH
KC CF AE BE AE BE DC
Suy DK phân giác ADC
Trở lại toán,
Dựng tam giác DEF cho , ,A B C trung điểm EF FD DE, , Vì N điểm Nagel tam giác ABC nên đặt RNBAC S, NCAB CRBS
H
K
F B A
D C
E
S R N
A B C
D
(2)Theo bổ đề N thuộc phân giác góc D Tương tự N thuộc phân giác góc ,E F nên N tâm nội tiếp tam giác DEF
Dễ thấy hai tam giác ABC DEF, có trọng tâm G nên xét phép vị tự tâm G, tỷ số 2 biến ABCDEF nên biến I N Do đó, , ,I G N thẳng hàng
(2) Để chứng minh , ,I G S thẳng hàng, ta dễ dàng dùng phép vị tự tâm G, tỷ số
biến tam giác ABC thành tam giác XYZ (trung điểm ba cạnh) Do đó, phép vị tự biến I thành
S , ,I G S thẳng hàng Kết chứng minh
Liên quan đến đường thẳng Nagel, kỳ thi hình học Sharygin có vài lần nhắc đến: Bài (Vòng loại Sharygin 2016) Cho tam giác ABC có O M N tâm ngoại tiếp, , , trọng tâm điểm Nagel Chứng minh MON 90 góc tam giác ABC 60
Lời giải
Giả sử MON 90 gọi I H E, , tâm nội tiếp, trực tâm tâm Euler tam giác
ABC Từ tỷ lệ quen thuộc, ta có IE ON
S
N I
G A
B C
E H
M N
I
O A
(3)Giả sử I nằm tam giác AHO hai tam giác AIO AIH có AI chung, IHIO 90
IAH IAO
(do tính đẳng giác AO AH, ) nên dễ dàng suy hai tam giác hay AH AO2RcosA R A 60
Chiều ngược lại tương tự (thậm chí cịn dễ thấy hơn)
Bài (Vịng loại Sharygin 2018) Dựng tam giác ABC biết điểm Nagel N đỉnh , B chân đường cao H kẻ từ B đến AC.
Trong lần muốn chế biến đề liên quan đến (1), tác giả viết "vẽ hình sai" đến toán thú vị (cái sai vẽ nhầm đường phân giác góc):
Bài Cho tam giác ABC khơng cân có M N P, , trung điểm BC CA AB, , Giả sử I giao điểm phân giác BPM,MNP J giao điểm phân giác CNM,MPN Đường tròn tâm I tiếp xúc với MP D, đường tròn tâm J tiếp xúc với MN E Chứng minh trục đẳng phương hai đường trịn ( )I ( )J chia đơi đoạn thẳng DE
Lời giải Mấu chốt cần chứng minh DE song song với BC
Đặt BAC2 , ABC2 , BCA2 90 Ta tính 180 ( ) 90
NIP
Rõ ràng hai tam giác PID NJE đồng dạng nên DP IP EN JN
Theo định lý sin sin
sin sin cos
NP IP
IP NP
NIP INP
Tương tự,
sin cos
JN NP
Chia hai vế đẳng thức trên, ta có sin cos sin
sin cos sin
IP B
JN C
(4)sin
,
2 sin
AC AB MP AC B
MP MN
MN AB C
Do đó, MP IP PD
MN JN EN , điều chứng tỏ DE NP hay DE BC
Giả sử đường thẳng DE cắt ( ), ( )I J , S T Ta chứng minh DSET Dễ thấy MDE2 IDS 90 PDS902 Suy
2 cos sin 2 sin sin DS ID IDS ID IP Theo a) sin ,
cos IP NP
nên 2sin sin sin 4sin sin sin cos
DS NP NP
Tương tự, ET 4 sinsinsinNP nên DSET
Gọi K trung điểm DE K/( )I KD KS KE KT K/( )J ,chứng tỏ K thuộc trục đẳng phương ( ),( ).I J Ta có đpcm
Tiếp theo, xét mơ hình sau đề chọn đội tuyển bổ sung 2005:
Bài (VN TST 2005) Cho tam giác ABC có đường cao AD E F, hình chiếu B C, lên phân giác góc A Gọi M trung điểm BC Khi đó, D E F M, , , thuộc đường trịn có tâm nằm đường tròn Euler tam giác ABC
Lời giải
Gọi N P, trung điểm AB AC, dễ thấy gọi B1 giao điểm BE AC, ABB1 cân A nên E trung điểm BB1, suy EMN Tương tự FMP
I
P J
G
T
K N
M D
F E A
(5)Khi DEF B CMP DMF nên D E M F, , , thuộc đường trịn Bằng biến đổi góc, ta có MEMF
Gọi T điểm thuộc ( )O choAT BC J trung điểm cung lớn BC, ta có JAJT
Xét phép vị tự tâm G (trọng tâm tam giác ABC), tỷ số
A M T, D (dễ chứng minh) ( )O biến thành đường tròn Euler (O) Khi đó, J K K(O) K trung điểm cung DM Ngồi ra, ta có AJ EF nên KM EF nên KEKF, mà KM KD nên K tâm đường trịn qua D E F M, , , Bài toán chứng minh
Gọi I tâm nội tiếp tam giác ABC dễ dàng tính phương tích từ I đến ( )K r2 Do đó, xây dựng đường trịn tương tự với K ( ), ( )R S đỉnh B C, I tâm đẳng phương ( ), ( ), ( )K R S
Tiếp theo, ta biết điểm Nagel tam giác MNP tâm nội tiếp I tam giác ABC ( )K đường trịn có tâm trung điểm cung lớn NP (MNP) nên ta thu kết sau, giới thiệu thầy Trần Quang Hùng:
Bài Cho tam giác ABC có điểm Nagel N D E F, , trung điểm cung lớn , ,
BC CA AB đường tròn ngoại tiếp ( )O tam giác ABC Chứng minh N tâm đẳng phương ( ,D DA), ( ,E EB), ( ,F FC)
Trong trường hợp đặc biệt, bạn Nguyễn Văn Linh có giới thiệu tính chất điểm Nagel kỷ yếu Gặp gỡ Toán học 2015 sau:
(1) Nếu ABAC2BC NBNC (NBC), ( )O đối xứng qua BC (2) Nếu ABAC3BC N( )I NI BC
Tiếp theo, nói tâm Spieker, ta có có nhiều tính chất thú vị sau: - Tâm Spieker tâm đẳng phương ba đường tròn bàng tiếp
- Tâm Spieker trung điểm đoạn nối trực tâm H tâm đường tròn qua ba tâm bàng tiếp Để kết thúc chủ đề này, ta xét toán sau thầy Lê Bá Khánh Trình bồi dưỡng đội tuyển PTNK Lời giải có đóng góp bạn Nguyễn Tiến Hoàng, PTNK TP HCM Nguyễn Minh Uyên, THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu, An Giang:
(6)Gọi ( ), ( ), ( )Ia Ib Ic đường trịn bàng tiếp góc , ,A B C tam giác ABC Ta biết M cách hai tiếp điểm ( ),( )I Ia lên BC nên M có phương tích đến ( ), ( )I Ia Do đó, d1 trục đẳng phương hai đường tròn
Tương tự suy d d2, 3 trục đẳng phương ( ), ( )I Ib ( ), ( ).I Ic Suy Dd2d3 tâm đẳng phương ( ),( ),( )I Ib Ic hay /( ) /( )
b c
D I D I
Ngoài ra, /( ) /( )
b c
M I M I nên MD trục đẳng phương ( ), ( )Ib Ic
Vì trục đẳng phương vng góc với đường nối tâm nên
b c a
MDI I MD AI MDEF
Từ dễ dàng thấy MD NE PF, , đồng quy trực tâm T tam giác DEF Rõ ràng T tâm nội tiếp tam giác MNP, tâm Spieker tam giác ABC
Xét phép vị tự tâm G (là trọng tâm tam giác ABC), tỷ số
biến ABCMNP, biến ,
I T H O nên IH TO IH2TO (trong O tâm ngoại tiếp tam giác ABC) Hơn nữa, trung điểm HO KT trùng nhau, tâm đường tròn Euler qua điểm
, ,
M N P Suy HK TO HKTO
K O
H
T
F
E
D
P
N
M Ic
Ib
Ia
I A