Đề số 1: đề thi học sinh giỏi huyện Môn Toán Lớp (Thời gian làm 120 phút) Bài Tìm giá trị n nguyên dơng: a) n 16 = 2n ; b) 27 < 3n < 243 Bµi Thùc hiƯn phÐp tÝnh: ( 1 1 − − − − − 49 + + + + ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 Bài a) Tìm x biết: x +3 = x +2 b) Tìm giá trị nhá nhÊt cña A = x −2006 + 2007 −x Khi x thay đổi Bài Hiện hai kim ®ång hå chØ 10 giê Sau Ýt nhÊt bao l©u kim đồng hồ nằm đối diện đờng thẳng Bài Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), ®êng cao AH, trung tuyÕn AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vÏ ®êng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH E Chứng minh: AE = BC Đề số 2: đề thi học sinh giỏi Môn Toán Lớp (Thời gian lµm bµi 120 phót) Bài 1:(4 điểm) a) Thực phép tính: A= 212.35 − 46.92 ( 3) + − 510.73 − 255.49 ( 125.7 ) + 59.143 b) Chứng minh : Với số nguyên dương n : 3n + − 2n+ + 3n − 2n chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: a x − + = ( −3, ) + 5 b ( x − ) x +1 − ( x − 7) x +11 =0 Bài 3: (4 điểm) a) Số A chia thành số tỉ lệ theo : : Biết tổng bình phương ba số 24309 Tìm số A b) Cho a c a2 + c2 a = Chứng minh rằng: 2 = c b b +c b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng: a) AC = EB AC // BE b) Gọi I điểm AC ; K điểm EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng · · c) Từ E kẻ EH ⊥ BC ( H ∈ BC ) Biết HBE = 50o ; MEB =25o · · Tính HEM BME Bài 5: (4 điểm) µ Cho tam giác ABC cân A có A = 200 , vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: a) Tia AD phân giác góc BAC b) AM = BC ……………………………… Hết ……………………………… Đáp án đề 1toán Bài Tìm giá trị n nguyên dơng: (4 điểm câu điểm) n 16 = 2n ; a) => 24n-3 = 2n => 4n – = n => n = b) 27 < 3n < 243 => 33 < 3n < 35 => n = Bµi Thùc hiƯn phÐp tÝnh: (4 ®iĨm) ( 1 1 − − − − − 49 + + + + ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 1 1 1 − (1 + + + + + 49) + − + + − ) 14 14 19 44 49 12 1 1 − (12.50 + 25) 5.9.7.89 ) =− =− 49 89 5.4.7.7.89 28 = ( − + − = ( − Bµi (4 điểm câu điểm) a) Tìm x biÕt: x +3 = x +2 Ta cã: x + ≥ => x ≥ - + NÕu x ≥ - th× + NÕu - ≤ x < - x +3 = x +2 Th× => 2x + = x + => x = - (Tho¶ m·n) x +3 = x +2 => - 2x - = x + => x = - (Thoả mÃn) + Nếu - > x Không có giá trị x thoả mÃn b) Tìm giá trị nhá nhÊt cña A = x −2006 + 2007 −x Khi x thay đổi + Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013 Khi ®ã: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = => A > + NÕu 2006 ≤ x ≤ 2007 th×: A = x – 2006 + 2007 – x = + NÕu x > 2007 th× A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013 Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = => A > Vậy A đạt giá trị nhỏ lµ 2006 ≤ x ≤ 2007 Bµi HiƯn hai kim ®ång hå chØ 10 giê Sau kim đồng hồ nằm đối diện đờng thẳng (4 điểm mỗi) Gọi x, y số vòng quay kim phút kim 10giờ đến lúc kim đối đờng thẳng, ta có: xy= (ứng với từ số 12 đến số đông hå) vµ x : y = 12 (Do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ) Do đó: x 12 x y x −y 1 = => = = = : 11 = y 12 11 33 => x = 12 ( vòng) => x = 33 11 (giê) VËy thêi gian Ýt nhÊt ®Ĩ kim ®ång hå tõ 10 giê đến lúc nằm đối diện đờng thẳng 11 Bài Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), ®êng cao AH, trung tuyÕn AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy ®iÓm I cho CI = CA, qua I vÏ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH E Chứng minh: AE = BC (4 điểm mỗi) Đờng thẳng AB cắt EI F ABM = DCM v×: E AM = DM (gt), MB = MC (gt), F · AMB = DMC (®®) => BAM = CDM I =>FB // ID => ID ⊥ AC Vµ FAI = CIA (so le trong) A (1) IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2) B H C M D Tõ (1) vµ (2) => ∆CAI = ∆FIA (AI chung) => IC = AC = AF (3) (4) E FA = 1v Mặt khác EAF = BAH (®®), BAH = ACB ( cïng phơ ABC) => EAF = ACB Tõ (3), (4) vµ (5) => AFE = CAB =>AE = BC Đề số 2: đề thi học sinh giỏi huyện Môn Toán Lớp (5) (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1:(4 điểm) a) Thực phép tính: A= 212.35 − 46.92 ( 3) + − 510.73 − 255.49 ( 125.7 ) + 59.143 b) Chứng minh : Với số nguyên dương n : 3n + − 2n+ + 3n − 2n chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: a x − + = ( −3, ) + 5 b ( x − ) x +1 − ( x − 7) x +11 =0 Bài 3: (4 điểm) c) Số A chia thành số tỉ lệ theo : : Biết tổng bình phương ba số 24309 Tìm số A d) Cho a c a2 + c2 a = Chứng minh rằng: 2 = c b b +c b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng: a) AC = EB AC // BE b) Gọi I điểm AC ; K điểm EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng · · c) Từ E kẻ EH ⊥ BC ( H ∈ BC ) Biết HBE = 50o ; MEB =25o · · Tính HEM BME Bài 5: (4 điểm) µ Cho tam giác ABC cân A có A = 200 , vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: c) Tia AD phân giác góc BAC d) AM = BC ……………………………… Ht Đáp án đề toán Bi 1:(4 điểm): a) (2 điểm) 212.35 − 46.92 10 510.73 − 255.492 212.35 − 212.34 510.73 − A= − = 12 12 − 9 3 ( 3) + ( 125.7 ) + 14 + + 212.34 ( − 1) 510.7 ( − ) = 12 − ( + 1) 59.73 ( + 23 ) 212.34.2 ( −6 ) = 12 − 59.73.9 −10 = − = 10 b) (2 điểm) 3n + − 2n+ + 3n − 2n = 3n + + 3n − 2n + − 2n = 3n (32 + 1) − 2n (2 + 1) = 3n × − 2n ×5 = 3n × − 2n−1 × 10 10 10 = 10( 3n -2n) Vậy 3n + − 2n+ + 3n − 2n M 10 với n số nguyên dương Bài 2:(4 điểm) a) (2 điểm) x− 4 −16 + = ( −3, ) + ⇔ x − + = + 5 5 ⇔ x− 14 + = 5  x −1 =2 ⇔ x− = 2⇔   x−1 =−2    x=2+ = 3 ⇔  x=−2+1 = −5 3   b) (2 điểm) ( x − 7) x +1 ⇔ ( x − 7) − ( x − 7) x +11 =0 1 − ( x − ) 10  =   ( x +1) 1 − ( x − ) 10  = ⇔ ( x − 7)   x +1   x −7  x +1=0  ÷  ⇔  1−( x −7)10 =0    ⇔  x −7=0⇒ x =7 10  ( x −7) =1⇒ x=8 Bài 3: (4 điểm) a) (2,5 điểm) Gọi a, b, c ba số chia từ số A Theo đề ta có: a : b : c = : : (1) a2 +b2 +c2 = 24309 (2) a b c k = = ⇒ = k ⇒ a = k;b = k; c = Từ (1) 6 Do (2) ⇔ k ( + + ) = 24309 25 16 36 ⇒ k = 180 k = −180 + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30 Khi ta có số A = a + b + c = 237 + Với k = −180 , ta được: a = −72 ; b = −135 ; c = −30 Khi ta có só A = −72 +( −135 ) + ( −30 ) = −237 b) (1,5 điểm) Từ a c = suy c = a.b c b a + c a + a.b 2 = b +c b + a.b a ( a + b) a = b( a + b ) = b Bài 4: (4 điểm) A a/ (1điểm) Xét ∆AMC ∆EMB có : AM = EM (gt ) I M B C H · · AMC = EMB (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) Nên : ∆AMC = ∆EMB (c.g.c ) ⇒ AC = EB K E · · Vì ∆AMC = ∆EMB ⇒ MAC = MEB (2 góc có vị trí so le tạo đường thẳng AC EB cắt đường thẳng AE ) Suy AC // BE b/ (1 điểm ) Xét ∆AMI ∆EMK có : AM = EM (gt ) · · MAI = MEK ( ∆AMC = ∆EMB ) AI = EK (gt ) Nên ∆AMI = ∆EMK ( c.g.c ) · Suy · AMI = EMK o · Mà · AMI + IME = 180 ( tính chất hai góc kề bù ) · · ⇒ EMK + IME = 180o ⇒ Ba điểm I;M;K thẳng hàng c/ (1,5 điểm ) µ · Trong tam giác vng BHE ( H = 90o ) có HBE = 50o o o o o · · ⇒ HBE = 90 - HBE = 90 - 50 =40 o o o · · · ⇒ HEM = HEB - MEB = 40 - 25 = 15 A · BME góc ngồi đỉnh M ∆HEM · · · Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o ( định lý góc ngồi tam giác ) 200 M Bài 5: (4 điểm) a) Chứng minh ∆ ADB = ∆ ADC (c.c.c) · · suy DAB = DAC · Do DAB = 200 : = 100 D B C b) ∆ ABC cân A, mà µ = 200 (gt) nên · ABC = (1800 − 200 ) : = 800 A · ∆ ABC nên DBC = 600 Tia BD nằm hai tia BA BC suy · ABD = 800 − 600 = 200 Tia BM phân giác góc ABD nên · ABM = 100 Xét tam giác ABM BAD có: · · AB cạnh chung ; BAM = · ABD = 200 ; · ABM = DAB = 100 Vậy: ∆ ABM = ∆ BAD (g.c.g) suy AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC Đề số 3: đề thi học sinh giỏi Môn Toán Lớp (Thời gian làm 120 phút) Câu 1: Tìm tất số nguyên a biết a Câu 2: Tìm phân số có tử biết lớn Câu Cho đa thức 9 nhỏ 10 11 P ( x ) = x + 2mx + m vµ Q ( x ) = x + (2m+1)x + m T×m m biÕt P (1) = Q (-1) Câu 4: Tìm cặp số (x; y) biÕt: x y a/ = ; xy=84 1+3y 1+5y 1+7y b/ = = 12 5x 4x Câu 5: Tìm giá trị nhỏ lớn cđa c¸c biĨu thøc sau : A= x+ +5 B= x + 15 x2 + C©u 6: Cho tam giác ABC có  < 900 Vẽ phía tam giác hai đoạn thẳng AD vuông góc AB; AE vuông góc AC a Chøng minh: DC = BE vµ DC ⊥ BE b Gọi N trung điểm DE Trên tia ®èi cña tia NA lÊy M cho NA = NM Chøng minh: AB = ME vµ ABC = EMA c Chøng minh: MA ⊥ BC 10 §Ị sè 13: ®Ị thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phút) Bài 1: (2 điểm) Tính: 5  − 10  230 + 46 13 − 27 6 25  2  10   1 +  : 12 − 14  7  10   Bài 2: (3 điểm) a) Chứng minh rằng: A = 3638 + 4133 chia hết cho 77 b) Tìm số nguyên x để B = x + x đạt giá trị nhỏ c) Chứng minh r»ng: P(x) = ax + bx + cx + d có giá trị nguyên với x nguyên vµ chØ 6a, 2b, a + b + c d số nguyên Bài 3: (2 điểm) a) Cho tØ lÖ thøc a c = b d ab a − b = cd c − d vµ Chøng minh r»ng: a + b2 a +b   = c + d2 c+d b) Tìm tất số nguyên d¬ng n cho: 2n −1 chia hÕt cho Bài 4: (2 điểm) Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài Trên cạnh AB, AD lấy điểm P, Q cho chu vi APQ Chøng minh r»ng gãc PCQ b»ng 450 Bµi 5: (1 ®iĨm) Chøng minh r»ng: 3a + 2b M17 ⇔10a + b M17 26 (a, b ∈ Z ) §Ị số 14: đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm 120 phút) Bài 1: (2 điểm) a) Tìm số nguyên dơng a lớn cho 2004! chia hết cho 7a b) TÝnh 1 1 + + + + 2005 P= 2004 2003 2002 + + + + 2004 Bài 2: (2 điểm) Cho x y z t = = = y + z +t z +t + x t + x + y x + y + z chứng minh biểu thức sau có giá trị nguyªn P= x + y y + z z +t t+x + + + z +t t+x x+y y+z Bµi 3: (2 điểm) Hai xe máy khởi hành lúc từ A B, cách 11 km để ®i ®Õn C VËn tèc cña ngêi ®i tõ A 20 km/h Vận tốc ngời từ B 24 km/h Tính quÃng đờng ngời đà Biết họ đến C lúc A, B, C thẳng hàng Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác nhän ABC KỴ AH ⊥ BC (H ∈ BC) VÏ AE ⊥ AB vµ AE = AB (E vµ C khác phía AC) Kẻ EM FN vuông góc với đờng thẳng AH (M, N AH) EF cắt AH O Chứng minh O trung điểm EF Bài 5: (1 điểm) So sánh: 5255 2579 27 Đề số 15: đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm 120 phút) Câu 1: (2 ®iĨm) TÝnh : 1 − + A = 39 51 1 − + 52 68 ; B = 512 − 512 512 512 512 − − − − 10 2 2 Câu 2: (2 điểm) a) Tìm x, y nguyªn biÕt: xy + 3x - y = b) T×m x, y, z biÕt: x y z = = = x+y+z z + y +1 x + z +1 x + y − (x, y, z ≠ ) Câu 3: (2 điểm) a) Chứng minh rằng: Với n nguyên dơng ta có: S = 3n + − 2n + + 3n − n chia hết cho 10 b) Tìm số tự nhiên x, y biÕt: 7( x − 2004) = 23 − y Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC, AK trung tuyến Trên nửa mặt phẳng không chứa B, bờ AC, kẻ tia Ax vuông góc với AC; tia Ax lấy điểm M cho AM = AC Trên nửa mặt phẳng không chứa C, bờ AB, kẻ tia Ay vuông góc với AB lÊy ®iĨm N thc Ay cho AN = AB Lấy điểm P tia AK cho AK = KP Chøng minh: a) AC // BP b) AK ⊥ MN Câu 5: (1 điểm) Cho a, b, c số đo cạnh tam giác vuông với c số đo cạnh huyền Chứng minh rằng: a n + b n ≤ c n ; n số tự nhiên lớn 28 §Ị sè 16: ®Ị thi häc sinh giái (Thêi gian làm 120 phút) Câu 1: (2 điểm) Tính: 16 +3 19 : A=  24  14 −2 2  34 34   17 1 1 1 B= − − − − − − 54 108 180 270 378 Câu 2: ( 2, điểm) 1) Tìm số nguyên m để: a) Giá trị biểu thức m -1 chia hết cho giá trị biểu thức 2m + b) 3m −1 2) Chứng minh n hợp số 29 Đề số 17: đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm 120 phút) Câu 1: (2 điểm) Tính nhanh: 1 1 1 (1 + + + + 99 + 100) − − − (63.1,2 − 21.3,6) 2 9 A= − + − + + 99 − 100 1 2   14 − + 35  ( −15 )  B= 1 2   10 + 25 − Câu 2: (2 điểm) a) Tính giá trị biểu thức A = 3x x + với b) Tìm x nguyên để x +1 chia hÕt cho x = x Câu 3: ( điểm) a) Tìm x, y, z biÕt 3x y 3z = = 64 216 vµ 2x2 + y − z = b) Một ô tô phải từ A ®Õn B thêi gian dù ®Þnh Sau ®i đợc nửa quÃng đờng ô tô tăng vận tốc lên 20 % đến B sớm dự định 15 phút Tính thời gian ô tô từ A đến B Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh C bờ đờng thẳng AB dựng đoạn AE vuông góc với AB AE = AB Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh B bờ đờng thẳng AC dựng đoạn AF vuông góc với AC AF = AC Chứng minh r»ng: a) FB = EC b) EF = AM c) AM EF Câu 5: (1 điểm) Chứng tá r»ng: − 1 1 1 1 + − + + − = + + + + 99 200 101 102 199 200 30 Đề số 18: đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm 120 phút) Câu 1: (2 ®iĨm) 2 1 + − 0,25 + 11 − a) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: M = 7 1,4 − + − 0,875 + 0,7 11 1 1 1 b) TÝnh tæng: P = − − − − − − 10 15 28 21 0,4 Câu 2: (2 điểm) 1) Tìm x biÕt: x +3 −2 −x =5 2) Trªn quÃng đờng Kép - Bắc giang dài 16,9 km, ngời thứ từ Kép đến Bắc Giang, ngời thứ hai từ Bắc Giang đến Kép Vận tốc ngời thø nhÊt so víi ngêi thø hai b»ng 3: Đến lúc gặp vận tốc ngời thứ so với ngời thứ hai 2: Hỏi gặp họ cách Bắc Giang km ? Câu 3: (2 điểm) a) Cho đa thức f ( x) = ax + bx + c (a, b, c nguyªn) CMR nÕu f(x) chia hÕt cho với giá trị x a, b, c ®Ịu chia hÕt cho b) CMR: nÕu a c = b d th× a + 5ac 7b + 5bd = a − 5ac 7b 5bd (Giả sử tỉ số có nghĩa) Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M trung điểm BC, từ M kẻ đờng thẳng vuông góc với tia phân giác góc A, cắt tia N, cắt tia AB E cắt tia AC F Chøng minh r»ng: a) AE = AF b) BE = CF c) AE = AB + AC C©u 5: (1 điểm) Đội văn nghệ khối gồm 10 bạn có bạn nam, bạn nữ Để chào mừng ngày 30/4 cần tiết mục văn nghệ có bạn nam, bạn nữ tham gia Hỏi có nhiều cách lựa chọn để có bạn nh tham gia 31 Đề số 19: đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm 120 phút) Câu 1: (2 điểm) a) Tính giá trị cđa biĨu thøc:  11   2 1 31 − 15 − 19   14  31   −1 A=   1 1   93  50  + 12 −       1 1 > b) Chøng tá r»ng: B = − − − − − 2 3 2004 2004 Câu 2: (2 điểm) Cho ph©n sè: C = x +2 x (x Z) a) Tìm x Z để C đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn b) Tìm x Z để C số tự nhiên Câu 3: (2 điểm) Cho a c = b d Chøng minh r»ng: ab (a + b) = cd (c + d ) C©u 4: (3 điểm) Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC), tia phân giác góc B C cắt AC AB lần lợt E D a) Chøng minh r»ng: BE = CD; AD = AE b) Gọi I giao điểm BE CD AI cắt BC M, chứng minh MAB; MAC tam giác vuông cân c) Từ A D vẽ đờng thẳng vuông góc với BE, đờng thẳng cắt BC lần lợt K H Chứng minh KH = KC Câu 5: (1 điểm) Tìm số nguyên tố p cho: p +1 ; 24 p +1 số nguyên tố 32 Đề số 20: đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm 120 phút) Câu 1: (2 ®iĨm) a) Thùc hiƯn phÐp tÝnh: 3 + 13 A= 11 11 ; 2,75 − 2,2 + + B = ( −251.3 + 281) + 3.251 − (1 − 281) 0,75 − 0,6 + b) Tìm số nguyên tố x, y cho: 51x + 26y = 2000 Câu 2: ( điểm) a) Chøng minh r»ng: 2a - 5b + 6c M 17 nÕu a - 11b + 3c M 17 (a, b, c ∈ Z) b) BiÕt bz − cy cx − az ay − bx = = a b c Chøng minh r»ng: a b c = = x y z Câu 3: ( điểm) Bây 10 phút Hỏi sau hai kim đồng hồ nằm đối diện đờng thẳng Câu 4: (2 điểm) Cho ABC vuông cân A Gọi D điểm cạnh AC, BI phân giác ABD, đờng cao IM BID cắt đờng vuông góc với AC kẻ từ C N Tính góc IBN ? Câu 5: (2 điểm) Số 2100 viết hệ thập phân tạo thành số Hỏi số có chữ số ? 33 Đề số 21: đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm 120 phút) Bài 1: (2 điểm) a) Tính giá trÞ cđa biĨu thøc 3   2,5 + − 1,25   0,375 − 0,3 + + 11 12  P = 2005 :  5 1,5 + − 0,75   − 0,625 + 0,5 − −   11 12   b) Chøng minh r»ng: 19 + 2 + 2 + + 2 < 2 3 10 Câu 2: (2 điểm) a) Chứng minh với số nguyên dơng n thì: 3n +3 + 3n +1 + n +3 + n + chia hết cho b) Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc: D = 2004 −x + 2003 x Câu 3: (2 điểm) Một ô tô phải từ A đến B thời gian dự định Sau đợc nửa quÃng đờng ô tô tăng vận tốc lên 20 % đến B sớm dự định 10 phút Tính thời gian ô tô từ A đến B Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên nửa mặt phẳng không chứa C có bờ AB, vẽ tia Ax vuông góc với AB, tia lấy điểm D cho AD = AB Trên nửa mặt phẳng kh«ng chøa B cã bê AC vÏ tia Ay vu«ng góc với AC Trên tia lấy điểm E cho AE = AC Chøng minh r»ng: a) DE = AM b) AM DE Câu 5: (1 điểm) Cho n số x1, x2, , xn số nhận giá trị -1 Chứng minh x1 x2 + x2 x3 + …+ xn x1 = n chia hết cho 34 Đề số 22: ®Ị thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phút) Bài 1: (2 điểm) a) Tính giá trị biÓu thøc:    81,624 : − 4,505  + 125   A=  11  13    2   : 0,88 + 3,53 − (2,75)  : 25     25    b) Chøng minh r»ng tæng: S= 1 1 1 − + − + n − − n + + 2002 − 2004 < 0,2 2 2 2 2 Bài 2: (2 điểm) a) Tìm số nguyên x thoả mÃn 2005 = x + x −10 + x +101 + x +990 + x +1000 b) Cho p > Chøng minh r»ng nÕu c¸c sè p, p + d , p + 2d lµ số nguyên tố d chia hết cho Bài 3: (2 điểm) a) Để làm xong công việc, số công nhân cần làm số ngày Một bạn học sinh lập luận số công nhân tăng thêm 1/3 thời gian giảm 1/3 Điều hay sai ? ? b) Cho d·y tØ sè b»ng nhau: TÝnh 2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d = = = a b c d a+b b+c c+d d +a M = + + + c+d d +a a+b b+c Bµi 4: (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC, AB > AC phân giác BD CE cắt I a) TÝnh c¸c gãc cđa ∆DIE nÕu gãc A = 600 b) Gọi giao điểm BD CE với đờng cao AH ABC lần lợt M N Chøng minh BM > MN + NC Bµi 5: (1 điểm) Cho z, y, z số dơng Chøng minh r»ng: x y z + + ≤ 2x + y + z y + z + x 2z + x + y 35 §Ị sè 23: đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm 120 phút) Bài 1: (2 điểm) a) Tìm x biết: x + x −2 = x +4 b) T×m tổng hệ số đa thức nhận đợc sau bá dÊu ngc biĨu thøc: A(x) = (3 − x + x ) 2004 (3 + x + x ) 2005 2 Bài 2: (2 điểm) Ba đờng cao tam giác ABC có độ dài 4; 12; x biết x số tự nhiên Tìm x ? Bài 3: (2 ®iĨm) Cho x y z t = = = y + z +t z +t + x t + x + y x + y + z CMR biểu thức sau có giá trị nguyên: P= x + y y + z z +t t+x + + + z +t t+x x+y y+z Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông A có góc B = Trên cạnh AC lấy điểm E cho góc EBA= Trên tia đối tia EB lÊy ®iĨm D cho ED = BC Chứng minh tam giác CED tam giác cân Bài 5: (1 điểm) Tìm số a, b, c nguyên dơng thoả mÃn : a + 3a + = 5b vµ a + = 5c 36 §Ị sè 24: ®Ị thi häc sinh giái (Thêi gian làm 120 phút) Bài 1: (2 điểm) a) Tính A = − 32 + 33 − 34 + + 32003 − 32004 b) T×m x biÕt x + x +3 =4 Bài 2: (2 điểm) Chứng minh r»ng: NÕu Th× x y z = = a + 2b + c 2a + b − c 4a − 4b + c a b c = = x + y + z 2x + y − z 4x y + z Bài 3: (2 điểm) Hai xe máy khởi hành lúc từ A B, cách 11km để đến C (ba địa điểm A, B, C đờng thẳng) Vận tốc ngời từ A 20 km/h Vận tốc ngời từ B 24 km/h Tính quÃng đờng ngời đà Biết họ ®Õn C cïng mét lóc Bµi 4: (3 ®iĨm) Cho tam gi¸c ABC cã gãc A kh¸c 900, gãc B C nhọn, đờng cao AH Vẽ điểm D, E cho AB lµ trung trùc cđa HD, AC trung trực HE Gọi I, K lần lợt giao điểm DE với AB AC Tính số đo góc AIC AKB ? Bài 5: (1 điểm) Cho x = 2005 Tính giá trị biÓu thøc: x 2005 − 2006 x 2004 + 2006 x 2003 − 2006 x 2002 + − 2006 x + 2006 x − 37 §Ị sè 25: ®Ị thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phút) Câu ( 2đ) Cho: Chứng minh: a b c = = b c d a  a +b +c    = d b +c +d Câu (1đ) Tìm A biết r»ng: a c b = = b +c a +b c +a Câu (2đ) Tìm x Z ®Ó x +3 a) A = x −2 A= Câu (2đ) Tìm x: A Z tìm giá trị b) A = 2x x +3 a) x − = b) ( x+ 2) = 81 c) x + x+ = 650 Câu (3đ) Cho ABC vuông cân A, trung tuyến AM E BC, BH,CK ⊥ AE, (H,K ∈ AE) Chøng minh  MHK vuông cân 38 Đề số 26: đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm 120 phút) Câu 1: (2đ) Rót gän A= x x−2 x + x − 20 Câu (2đ) Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng Mỗi học sinh lớp 7A trồng đợc cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng đợc cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng đợc cây, Hỏi lớp có học sinh Biết số lớp trồng đợc nh Câu 3: (1,5đ) Chứng minh 102006 + 53 số tự nhiên Câu : (3đ) Cho góc xAy = 600 vẽ tia phân giác Az góc Từ điểm B Ax vẽ đờng thẳng song song với với Ay cắt Az t¹i C vÏ Bh ⊥ Ay,CM ⊥Ay, BK ⊥ AC.Chứng minh a, K trung điểm AC b, BH = AC c, VKMC Câu (1,5 ®) Trong mét kú thi häc sinh giái cấp Huyện, bốn bạn Nam, Bắc, Tây, Đông đoạt giải 1,2,3,4 Biết câu câu dới nửa sai nửa: a, tây đạt giải 1, Bắc đạt giải b, Tây đạt giải 2, Đông đạt giải c, Nam đạt giải 2, Đông đạt giải Em hÃy xác định thứ tự giải cho bạn Đề số 27: 39 đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bµi 120 phót) Bài 1: (3 điểm): Tính 2 3     ÷ 18 − (0, 06 : + 0,38)  : 19 − 4    Bài 2: (4 điểm): Cho a) a2 + c2 a = b2 + c b a c = chứng minh rằng: c b b2 − a b − a b) 2 = a +c a Bài 3:(4 điểm) Tìm x biết: a) x + − = −2 b) − 15 x+ = x− 12 Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động cạnh hình vng Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vng biết tổng thời gian vật chuyển động bốn cạnh 59 giây µ Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân A có A = 200 , vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: e) Tia AD phân giác góc BAC f) AM = BC Bài 6: (2 điểm): Tìm x, y ∈ ¥ biết: 25 − y = 8( x − 2009)2 - §Ị sè 28: 40 ... = 111a = 3. 37. a Hay n(n+1) =2.3. 37. a VËy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 số nguyên tè vµ n+1 => -77 < 9x < -70 V× 9x M9 => 9x = -72 10 x 11 ? ?70 x ? ?77 => x = Vậy phân số cần tìm Câu Cho ®a thøc P ( x ) = x + 2mx + m vµ