Đang tải... (xem toàn văn)
Vieát phöông trình maët caàu coù taâm thuoäc ñöôøng thaúng , baùn kính baèng 1 vaø tieáp xuùc vôùi maët phaúng (P).. Goïi I laø taâm cuûa maët caàu.[r]
(1) Chuyên đề 8:
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN OXYZ Vấn đề 1: MẶT PHẲNG VAØ ĐƯỜNG THẲNG
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỌA ĐỘ
1 u (u ; u ; u ) 1 2 3 u u i u j u k 1 2 3
2 a b (a b ; a 1 1 2b ; a2 3b )3 a.b a b 1 1a b2 2a b 3 3
4 3 1
2 3 1
a a a a
a a
a,b ; ;
b b b b b b
5 a a12a22a 32
1 2 3
a b
a b a b
a b
7 Cos(a,b) a.b
a b
8 a phương ba,b 0 a : a : a1 2 3b : b : b1 2 3 a,b,c đồng phẳng a,b c
10 Diện tích tam giác: SABC 1 AB,AC
2
11 Thể tích tứ diện ABCD: VABCD 1 AB,AC AD
6
12 Thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D': VABCD.A B C D AB,AD AA MẶT PHẲNG
Vectơ pháp tuyến mặt phẳng vectơ khác vectơ có giá vuông góc mặt phẳng
Phương trình tổng quát: (): Ax + By + Cz + D = (A2B2C2 0)
( ) : ñi qua M(x ; y ; z )0 0
co ùvectơ pháp tuyến : n (A;B;C)
(2)Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –
Mặt phẳng chắn: () cắt Ox, Oy, Oz A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), (a, b, c khác 0)
( ) : x y z 1
a b c
Mặt phẳng đặc biệt: (Oxy): z = 0, (Oxz): y = 0, (Oyz): x =
ĐƯỜNG THẲNG
Véctơ phương đường thẳng vectơ khác vectơ có giá phương với đường thẳng
0
1
ñi qua M (x ; y ; z ) d :
có vectơ phương a (a ; a ; a )
0 0
1
1
x x y y z z
Phương trình tham số : với (a ; a ; a 0)
a a a
Đường thẳng đặc biệt: Ox : y ; Oy : x 0; Oz x
z z y
B ĐỀ THI
Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1; 2; 3) đường thẳng d: x y z
2
Viết phương trình đường thẳng qua điểm A, vng góc với
đường thẳng d cắt trục Ox
Giaûi
Gọi M giao điểm với trục Ox M(m; 0; 0) AM= (m –1; –2; –3) Véctơ phương d a = (2; 1; –2)
d AM d AM.a 0 2(m – 1) + 1(–2) –2(–3) = m = –1 Đường thẳng qua M nhận AM= (–2; –2; –3) làm vectơ phương
nên có phương trình: x y z
2
Caùch
qua A cắt trục Ox nên nằm mặt
phẳng (P) qua A chứa trục Ox
qua A vng góc với d nên nằm mặt
phẳng (Q) qua A vng góc với d
Ta có: +) Vectơ pháp tuyến (P) n(P) OA,i
d A
O
x P
(3)+) Vectơ pháp tuyến (Q) n(Q)ad
= (P)(Q) véctơ phương là: a n ,n(P) (Q)
Caùch
Mặt phẳng (Q) qua A vng góc với d (Q): 2x + y – 2z + =
Gọi M giao điểm Ox (Q) M(–1; 0; 0) Véctơ phương là: AM
Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : x y z
1
và hai điểm A(–2; 1; 1), B(–3; –1; 2) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng
sao cho tam giác MAB có diện tích
Giaûi
Đường thẳng qua E(–2; 1; –5) có vectơ phương a1; 3; 2 nên có phương trình tham số là:
x t
y 3t
z 2t
(t R)
M M t; 3t; 2t
AB 1; ; 1, AMt; 3t; 2t , AB,AM t 12; t 6; t
SMAB = AB,AM
2
2 2
t 12 t t 6
3t2 + 36t = t = t = –12
Vậy M(–2; 1; –5) M(–14; –35; 19)
Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
x y z
1 1
và mặt phẳng (P): x + 2y – 3z + = Viết phương trình đường thẳng d nằm (P) cho d cắt vng góc với đường thẳng
Giaûi
Tọa độ giao điểm I với (P) thỏa mãn hệ:
x y 21 z1 I 3; 1; l
x 2y 3z
(4)Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –
Đường thẳng d cần tìm qua I có vectơ phương: n P1 1; 2; , n P2 3; 2; 1
Phương trình d:
x t
y 2t z t
(t )
Bài :CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P1): x + 2y + 3z + =
vaø (P2): 3x + 2y – z + = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm
A(1; 1; 1), vng góc với hai mặt phẳng (P1) (P2)
Giải
Vectơ pháp tuyến hai mặt phẳng (P1) (P2):
n P1 1; 2; , n P2 3; 2; 1
(P) vng góc với hai mặt phẳng (P1) (P2)
(P) coù vectơ pháp tuyến: n P n P1 ,nP2 8; 10; 4 2 4; 5; 2
Mặt khác (P) qua A(1; 1; 1) nên phương trình mặt phẳng (P): 4(x – 1) – 5(y – 1) + 2(z – 1) =
Hay (P): 4x – 5y + 2z – =
Baøi 5: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 1; 0), B (0; 2; 1) trọng tâm G(0; 2; 1) Viết phương trình đường thẳng qua điểm C vng góc với mặt phẳng (ABC)
Giải
Ta có:
G trọng tâm tam giác ABC C(1; 3; 4)
AB 1; 1; ; AC 2; 2; 4
Đường thẳng vng góc với mặt phẳng (ABC) nên có vectơ phương a AB,AC = 6(1; 1; 0)
Mặt khác đường thẳng qua điểm C nên
Phương trình :
x t
y t t
(5)Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2008
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2), B(2; –2; 1), C(–2; 0; 1)
1 Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C
2 Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – = cho:
MA = MB = MC
Giải
1 (ABC) : qua A(0; 1; 2)
có vectơ pháp tuyến AB,AC 2(1; 2; 4)
Phương trình mp(ABC): 1(x – 0) + 2(y – 1) – 4(z – 2) = x + 2y – 4z + =
2 Caùch 1:
Ta có: AB.AC nên điểm M nằm đường thẳng d vng góc với mp(ABC)
tại trung điểm I(0; 1; 1) BC
qua I(0; 1; 1) x y z 1
d : d :
1
có vectơ phương :a (1;2; 4) Tọa độ M nghiệm hệ
x 2x 2y z
y x y z
z
1
Vaäy M(2; 3; 7) Cách 2: Gọi M(x; y; z) Ta có
MA MB MA MC M ( )
2 2 2
2 2 2
(x 0) (y 1) (z 2) (x 2) (y 2) (z 1)
(x 0) (y 1) (z 2) (x 2) (y 0) (z 1)
2x 2y z
x
y M(2; 3; 7)
z
(6)Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Tốn học –
Bài 7:CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2008
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 1; 3) đường thẳng d
có phương trình:
x y z
1
1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vng góc với đường thẳng d Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d cho tam giác MOA cân đỉnh O
Giaûi
1
(P) d
qua A(1; 1; 3) (P) :
co ùvectơ pháp tuyến n a (1; 1;2)
Phương trình mặt phẳng (P): 1(x – 1) – (y – 1) + 2(z – 3) = x – y + 2z – =
2 Goïi M(t; t; 2t + 1) d
Tam giác OMA cân O MO2 = OA2 t2 + t2 + (2t + 1)2 = + +
6t2 + 4t – 10 = t t 5
3
Với t = tọa độ điểm M(1; 1; 3)
Với t 5
3 tọa độ điểm
5
M ; ;
3 3
Bài :ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2), B(–1; 2; 4)
và đường thẳng
x y z :
1
1 Viết phương trình đường thẳng d qua trọng tâm G tam giác OAB vuông góc với mặt phẳng (OAB)
2 Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng cho MA2 + MB2 nhỏ
Giaûi
1 Tọa độ trọng tâm: G(0; 2; 4) Ta có: OA (1; 4; 2),OB ( 1; 2; 2)
Vectơ phương d là: u (12; 6; 6) 2; 1; 1
Phương trình đường thẳng d:
x y z
2 1
2/ Vì M M(1 t; 2 + t; 2t)
MA2 + MB2 = (t2+ (6 t)2 + (2 2t)2) + ((2 + t)2 + (4 t)2 + (4 2t)2)
= 12t2 48t + 76 = 12(t 2)2 + 28
(7)Bài 9: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2) hai đường thẳng:
1 x y z
d :
2 1 ;
x t
d : y 2t t
z t
Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song d1 d2
2 Tìm tọa độ điểm M thuộc d1, N thuộc d2 cho A, M, N thẳng hàng
Giaûi
1 Vectơ phương d1 d2 là: u1(2; 1; 1) u2(1; 2; 1) vectơ pháp tuyến (P) nu ,u1 2 ( 1; 3; 5)
Vì (P) qua A(0; 1; 2) (P) : x + 3y + 5z 13 =
Do B(0; 1; 1) d1, C(1; 1; 2) d2 B, C (P), nên d1, d2 // (P)
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm (P): x + 3y + 5z 13 = Vì M d1, N d2 neân M(2m; 1+ m; 1 m), N(1 + n; 12n; + n)
AM (2m; m; m); AN (1 n; 2n; n)
AM,AN ( mn 2m 6n 6; 3mn m 3n 3; 5mn 5m).
A,M,N thẳng hàng AM,AN
m = 0, n = 1 M(0; 1; 1), N(0; 1; 1)
Bài 10: ĐỀDỰ BỊ - ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz hai đường thẳng
1:
x t
y t t
z
2:
x y z
1
1 Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng 1 song song với đường
thaúng 2
2 Xác định điểm A 1, B 2 cho đoạn AB có độ dài nhỏ
Giải
1 1 qua M1(1; 1; 2) có vectơ phương a11; 1; 0 2 qua M2 (3; 1; 0) coù vectơ phương a2 1; 2; 1
mp (P) chứa 1 song song với 2 nên (p) có vectơ pháp tuyến:
(8)Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –
Phương trình: (P): (x – 1) – (y + 1) + (z – ) = (vì M1(1; 1; 2) (P))
x + y – z + =
2/ AB ngắn AB đoạn vng góc chung
Phương trình tham số 1 :
x t
A A t; t;
y t
z
Phương trình tham số 2:
x t
B B t ; 2t ; t
y 2t z t
AB2 t t;2 2t t;t
Do
1
AB
AB neân
AB.a 2t 3t
t t
3t 6t
AB.a
A(1; 1; 2); B(3; 1; 0)
Bài 11:
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(4; 2; 4) đường thẳng d
x 2t
y t
z 4t
Viết phương trình đường thẳng qua điểm A, cắt vng góc với d
Giaûi
Lấy M(3 + 2t; t; 1+ 4t) (d) AM = (1 + 2t; t; 5 + 4t) Ta có AM (d) AM a = với d a = (2; d 1; 4)
+ 4t + t 20 + 16t = 21t = 21 t =
Vậy đường thẳng cần tìm đường thẳng AM qua A có vevtơ phương là: AM = (3; 2; 1) nên phương trình ():
x y z
3
Vấn đề 2: HÌNH CHIẾU VÀ ĐỐI XỨNG
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH CHIẾU
Phương pháp
Cách 1: (d) cho phương trình tham số:
(9) H (d) suy dạng tọa độ điểm H phụ thuộc vào tham số t
Tìm tham số t nhờ điều kiện AH a d Cách 2:
(d) cho phương trình tắc Gọi H(x, y, z)
AH a (*) d
H (d): Biến đổi tỉ lệ thức để dùng điều kiện (*), từ tìm x, y, z
Cách 3:
(d) cho phương trình tổng quát:
Tìm phương trình mặt phẳng () qua A vng góc với đường thẳng (d)
Giao điểm (d) () hình chiếu H A (d)
Bài tốn 2: Tìm hình chiếu H điểm A mặt phẳng ()
Phương pháp
Cách 1: Gọi H(x; y; z)
H () (*)
AH phương n : Biến đổi tỉ lệ thức để dùng điều kiện (*), từ tìm x, y, z
Cách 2:
Tìm phương trình đường thẳng (d) qua A vng góc với mặt phẳng ()
Giao điểm (d) () hình chiếu H A mặt phẳng ()
Bài tốn 3: Tìm hình chiếu () đường thẳng d xuống mặt phẳng ()
Phương pháp
Tìm phương trình mặt phẳng () chứa đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ()
Hình chiếu () d xuống mặt phẳng
giao tuyến () ()
ĐỐI XỨNG
Bài tốn 1: Tìm điểm A' đối xứng với điểm A qua đường thẳng d
Phương pháp
Tìm hình chiếu H A d
H trung điểm AA'
H
A
(d)
(d) A H
(10)Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –
Bài toán 2: Tìm điểm A' đối xứng với điểm A qua mặt phẳng ()
Phương pháp
Tìm hình chiếu H A ()
H trung điểm AA'
Bài tốn 3: Tìm phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng (D) qua đường thẳng ()
Phương pháp
Trường hợp 1: () (D) cắt
Tìm giao điểm M (D) ()
Tìm điểm A (D) khác với điểm M
Tìm điểm A' đối xứng với A qua ()
d đường thẳng qua điểm A' M
Trường hợp 2: () (D) song song:
Tìm điểm A (D)
Tìm điểm A' đối xứng với A qua ()
d đường thẳng qua A' song song với ()
Bài tốn 4: Tìm phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng (D) qua mặt phẳng ()
Phương pháp
Trường hợp 1: (D) cắt ()
Tìm giao điểm M (D) ()
Tìm điểm A (D) khác với điểm M
Tìm điểm A' đối xứng với A qua mặt phẳng ()
d đường thẳng qua hai điểm A' M
Trường hợp 2: (D) song song với ()
Tìm điểm A (D)
Tìm điểm A' đối xứng với A qua mặt phẳng ()
d đường thẳng qua A' song song với (D)
(D) () A
A’
d M
(D) A
A’
() d
(D) A
M A’
d
(D) A
d
(11)B ĐỀ THI
Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – = hai điểm A(3; 0;1), B(1; 1; 3) Trong đường thẳng qua A song song với (P), viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng nhỏ
Giaûi
Gọi đường thẳng cần tìm; nằm mặt phẳng (Q) qua A song song với (P) Phương trình (Q): x – 2y + 2z + = K, H hình chiếu B , (Q)
Ta có BK BH nên AH đường thẳng cần tìm Tọa độ H = (x; y; z) thỏa mãn:
x y z
1 2
x 2y 2z
H 11 7; ;
9 9
26 11
AH ; ;
9 9
Vậy, phương trình :
x y z
26 11
Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) hai đường
thaúng:
1 x y z x y z
d : ; d :
2 1
1/ Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1.
2/ Viết phương trình đường thẳng qua A, vng góc với d1 cắt d2
Giải
1/ Mặt phẳng () qua A(1; 2; 3) vng góc với d1 có phương trình là:
2(x 1) (y 2) + (z 3) = 2x y + z = Tọa độ giao điểm H d1 () nghiệm hệ:
x x y z
y H(0; 1; 2)
2 1
2x y z z
Vì A' đối xứng với A qua d1 nên H trung điểm AA' A'(1; 4; 1)
2/ Viết phương trình đường thẳng :
Vì A' đối xứng với A qua d1 cắt d2, nên qua giao điểm B d2 ()
Tọa độ giao điểm B d2 () nghiệm hệ
B H K A
(12)Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –
x x y z
y B(2; 1; 2)
1
2x y z z
Vectơ phương laø: u AB (1; 3; 5)
Phương trình là:
x y z
1
Bài 3: ĐỀ DỰ BỊ - ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), C(0; 2; 0), A'(0; 0; 2)
1/ Chứng minh A'C vng góc với BC' Viết phương trình mặt phẳng (ABC')
2/ Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng B'C' mặt phẳng (ABC')
Giaûi
1/ A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), C(0; 2; 0), A'(0; 0; 2) C'(0; 2; 2) Ta coù: A C (0;2; 2), BC ( 2;2;2)
Suy A C.BC 4 0 A C BC
Ta coù:
A C BC
A C (ABC ) A C AB
Suy (ABC') qua A(0; 0; 0) có vectơ pháp tuyến A C (0; 2; 2) nên có phương trình là: (ABC') 0(x – 0) + 2(y – 0) – 2(z – 0) = y – z =
2/ Ta coù: B C BC ( 2; 2; 0)
Gọi () mặt phẳng chứa B'C' vng góc với (ABC')
vectơ pháp tuyến () là: nB C ,A C 4(1; 1; 1)
Phương trình (): 1(x – 0) + 1(y – 2) + 1(z – 2) = x + y + z – = Hình chiếu d B'C' lên (ABC') giao tuyến () với (ABC')
Phương trình d:
x y z y z
Bài 4: ĐỀ DỰ BỊ
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD A1B1C1D1
có A trùng với gốc tọa độ O, B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A1(0; 0; )
a/ Viết phương trình mp(P) qua điểm A1, B, C viết phương trình hình
chiếu vng góc đường thẳng B1D1 lên mặt phẳng (P)
b/ Gọi (Q) mặt phẳng qua A vng góc với A1C Tính diện tích thiết
(13)Giải
Ta coù: A(0; 0; 0); B1 (1; 0; ); C1 (1; 1; ); D1 (0; 1; )
a/ A B 1; 0;1 , A C 1 1; 1; 2 nP A B; A C1 1 2; 0;
(P) qua A1 nhận n làm vectơ pháp tuyến P
(P): x 0 0 y z 20
2.x z
Ta coù B D1 1 1; 1; 0
Mặt phẳng () qua B1 (1; 0; )
nhaän n n , B DP 1 1 1; 1; 2
làm vectơ pháp tuyến Nên () có phương trình: (): 1(x – 1) – 1(y – 0) + (z 2) = x + y 2z
D1B1 có hình chiếu lên (P) giao tuyến (P) ()
Phương trình hình chiếu là:
x y 2z
2x z
b/ Phương trình mặt phẳng (Q) qua A vng góc với A1C:
(Q): x + y z = (1)
Phương trình A1C :
x t
y t t
z 2t
Gọi M = A1C (Q) thay (2) (3) (4) vào (1) ta
+ t 2 2t 0 t
1 x
2 y
2 z
2
M 1; ; 2 2
Tương tự A1D (Q) = N 0; ;2
3
; A1B (Q) = L
2; 0;
3
B1
A1 D1
C1
A D
C B
x
(14)Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – AM11;1; ; AL 12; 0; 2
2
1
AM,AL 2; 2;
6
S AML AM; AL
2
NL21; 1; 0
3 vaø
1
NM 3; 1;
6
NL,NM 92 1; 1;
SNML1 NL,NM
2 (ñvdt)
Vậy diện tích thiết diện hình chóp A1ABCD với (Q) là:
S S AMLSNLM 2
6 18 (ñvdt)
Bài 5: ĐỀ DỰ BỊ
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(2; 0; 0), B(2; 2; 0), S(0; 0; m)
a/ Khi m = Tìm tọa độ điểm C đối xứng với gốc tọa độ O qua mặt phẳng (SAB)
b/ Gọi H hình chiếu vng góc O đường thẳng SA Chứng minh với m > diện tích tam giác OBH nhỏ
Giải
a/ Khi m = Ta có:
SA 2(1; 0; 1), SB 2(1; 1; 1), n SA,SB4(1; 0; 1)
Maët phẳng (SAB) qua A(0; 0; 2) có n 4(1;0;1) , (SAB): x + z – = (1)
d qua O d (SAB) ad (1; 0; 1)
Phương trình tham số d:
x t (2) y (3) t z t (4)
I = d (SAB) ta thay (2), (3), (4) vaøo (1) t = I(1; 0; 1)
Vì C, O đối xứng qua (SAB) nên I trung điểm OC
C I O
C I O
C I O
x 2x x
y 2y y
z 2z z
C(2; 0; 2)
(15) Phương trình tham soá SA:
x 2t (2)
y (3) t
z m mt (4)
Thay (2), (3), (4) vaøo (1): 4t – m2 + m2t = 2
m t
m
SA () = H 2m2 ; 0; 4m2
m m
OH 2m2 ; 0; 4m2 2m2 (m; 0; 2)
m m m
; OB (2; 2; 0) 2(1; 1; 0)
OH, OB 4m2 ( 2; 2; m)
m
4
2
OBH 2m2 4m 8m2
S OH,OB m 2
2 m m 8m 16 (đpcm)
Bài 6:
Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng:
1
x t x 2y z
vaø y t
x 2y 2z
z 2t
a/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng 1 song song đường
thaúng 2
b/ Cho điểm M(2; 1; 4) Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng 2 cho
đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ
Giải
a/ Ta có a1 2; 3; , a 2 1; 1; , qua M 0; 2; 0 1 Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến a ,a1 2 2;0;
Vaäy (P) qua M(0; 2; 0), vectơ pháp tuyến n = (2; 0; 1) Nên phương trình (P): 2(x 0) + (y + 2) (z 0) = 2x z =
b/ MHmin MH 2 H hình chiếu điểm M 2
Cách 1: Gọi (Q) mặt phẳng qua M vng góc với 2
Phương trình (Q): x + y + 2z 11 =
(16)Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –
Cách 2: MH t;1 t; 2t với H 2
Do MH a2 0 t Vaäy ñieåm H(2; 3; 3)
Bài 7: ĐỀ DỰ BỊ
Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vng góc Oxyz
Cho mặt phẳng (P): x y + z + = điểm A (1; 3; 2), B (5; 7; 12)
a/ Tìm tọa độ điểm A' điểm đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P)
b/ Giả sử M điểm chạy mặt phẳng (P) Tìm giá trị nhỏ biểu thức MA + MB
Giaûi
a/ (P): x – y + z + = (1) np (1; 1; 1) Gọi d qua A d P ad np(1; 1; 1)
d qua A(1; 3; 2) có vectơ phương ad (1; 1; 1) Phương trình d:
x t (2)
y t (3)
z t (4)
thay (2), (3), (4) vào (1) ta được: t = 1 Ta có AA' (P) = H(2; 2; 3)
Vì H trung điểm AA' (A' điểm đối xứng A qua (P)
Ta coù:
A H A A
A H A A
A H A A
x 2x x x
A ; 1;
y 2y y y
z 2z z z
b/ Goïi f(x; y; z) = x – y + z +
f( 1; 3; 2) = + + = >
f 5; 7; 12 12 3
A, B phía (P)
Do A, A' đối xứng qua (P) MA = MA' Ta có: MA + MB = MA' + MB A'B = 18
Vậy giá trị nhỏ MA + MB = 18 xảy A, B, M thẳng hàng M = A'B (P) M(4; 3; 4)
(17) Vấn đề 3: KHOẢNG CÁCH VAØ GÓC
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI KHOẢNG CÁCH
Bài tốn 1: Tính khoảng cách từ điểm M(x0, y0, z0) đến mặt phẳng ()
Ax + By + Cz + D = (A2 + B2 + C2 0)
Phương pháp
0 0
2 2
Ax By Cz D
d M,
A B C
Bài tốn 2: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ()
Phương pháp
Tìm hình chiếu H M treân ()
Khoảng cách từ M đến () độ dài đoạn MH
Bài tốn 3: Tính khoảng cách đường thẳng song song d1 d2
Phương pháp
Tìm điểm A d
Khoảng cách d1 d2 khoảng cách từ điểm A đến d2
Bài toán 4: Tính khoảng cách mặt phẳng song song (): Ax + By + Cz + D1 =
Vaø (): Ax + By + Cz + D2 =
Phương pháp
Khoảng cách () () cho công thức:
1
2 2
D D
d ,
A B C
Bài tốn 5: Tính khoảng cách đường thẳng chéo d1 d2
Phương pháp
Cách 1:
Tìm phương trình mặt phẳng () chứa d1 song song với d2 Tìm điểm A d2
Khi d(d1, d2) = d(A, ()) Cách 2:
(18)Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –
+ Ghi chuù:
Mặt phẳng () () mặt phẳng song song với chứa d1 d2
Cách 3:
Viết d2 dạng phương trình tham số theo t1 Viết d2 dạng phương trình tham số theo t2
Xem A d1 dạng tọa độ A theo t1 Xem B d2 dạng tọa độ B theo t2
Tìm vectơ phương a , 1 a d2 d2 AB đoạn vng góc chung d1 d2
1
AB a
AB a tìm t1 t2
Khi d(d1, d2) = AB Cách : d d ,d 1 2
1 2
1
a ,a M M a ,a
GOÙC
Cho đường thẳng d d' có phương trình: d: x x y y z z
a b c (a
2 + b2 + c2 0)
d’:
0
x x y y z z
a b c
2 2
a b c 0 Cho mặt phẳng có phương trình:
(): Ax + By + Cz + D = (A2 + B2 + C2 0)
(): A'x + B'y + C'z + D' = A2B2C20
1 Góc hai đường thẳng d d':
2 2 2
aa bb cc cos
a b c a b c
2 Góc hai mặt phẳng () ():
2 2 2
AA BB CC cos
A B C A B C
(19)
2 2 2
Aa Bb Cc sin
A B C a b c
B ĐỀ THI
Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 1), B(0;–2; 3) mặt phẳng (P): 2x – y – z + =
Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) cho MA = MB =
Giaûi
Giả sử M(x; y; z)
M (P) 2x – y – z + = (1)
MA = MB (x – 2)2 + y2 + (z – 1)2 = x2 + (y + 2)2 + (z – 3)2
x + y – z + = (2)
Từ (1) (2) ta có
2x y z
x y z
y z 2x (a) y z x (b)
Lấy (a) trừ (b) được: yx 2
2 Lấy (a) cộng (b) được:
3x z
2
MA = (x – 2)2 + y2 + (z – 1)2 =
2
2 x 3x
x
2
14x2 + 12x = x = x = 6
7
Với x = 0, suy y = z = Với x = 6
7, suy y =
7 vaø z = 12
7
Vaäy M(0; 1; 3) hay M 12; ; 7
Caùch :
MA = MB M nằm mặt phẳng trung trực (Q) đoạn AB
Mặt phẳng (Q) qua trung điểm I(1; –1; 2) đoạn AB có véctơ pháp tuyến IA1; 1; 1 nên có phương trình x + y – z + =
(20)Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –
Giao tuyến qua A(0; 1; 3) có véctơ phương a2; 1; 3 nên có
phương trình
x 2t
y t t R
z 3t
Vì M nên M(2t; + t; + 3t)
MA = (2 – 2t)2 + (–1 – t)2 + (–2 – 3t)2 = t = t = 3
7
Vaäy M(0; 1; 3) hay M 12; ; 7
Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : x y z
1
vaø
mặt phẳng (P): x + y + z – = Gọi I giao điểm (P) Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) cho MI vng góc với MI = 14
Giaûi
I giao điểm (P) nên tọa độ I nghiệm hệ phương trình:
x y z
1
x y z
x y
1
y z
2
x y z
x y z
Suy ra: I(1; 1; 1)
Giả sử M(x; y; z), thì: IMx 1; y 1; z 1
Véctơ phương đường thẳng là: a1; 2; 1 Theo giả thiết ta có:
+) M (P) x + y + z – = (1)
+) MI IM a IM.a 0 1(x – 1) – 2(y – 1) – 1(z – 1) = x – 2y – z + = (2) +) MI = 14 x 1 2 y 1 2 z 12224 (3) Lấy (1) cộng (2) ta được: 2x – y – = y = 2x –
Thế y = 2x – vào (1) ta được: x + (2x – 1) + z – = z = – 3x Thế y = 2x – z = – 3x vào (3) ta được:
x 1 2 2x 2 2 3 3x2224 x 1 2 16 x = x =–3 Với x = y = z = –11 Với x = –3 y = –7 z = 13
(21)Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :x y z
2 1
mặt
phẳng (P): x 2y + z = Gọi C giao điểm với (P), M điểm thuộc Tính khoảng cách từ M đến (P), biết MC =
Giải
Ta có: C nên C (1 + 2t; t; –2 – t) với t
C (P) neân (1 + 2t) – 2t – – t = t = –1 Do đoù C (–1; –1; –1) M neân M (1 + 2m; m; –2 – m) (m )
MC2 = (2m + 2)2 + (m + 1)2 + (–m – 1)2 = 6(m + 1)2 = m + = 1
m = hay m = –2 Vậy M1 (1; 0; –2) ; M2 (–3; –2; 0)
Do đoù: d (M1, (P)) = 2
6 6; d (M2, (P)) =
3
6
Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c), b, c dương mặt phẳng (P): y – z + = Xác định b c, biết mặt phẳng (ABC) vng góc với mặt phẳng (P) khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC)
3
Giải
Phương trình mặt phẳng (ABC): x y z 1
1 b c bc.x + cy + bz – bc = Vì d (O, ABC) =
3 nên 2 2
bc
3
b c b c 9b
2c2 = b2c2 + b2 + c2
b2 + c2 = 8b2c2 (1)
(P): y – z + = có vectơ pháp tuyến laø n P (0; 1; 1)
(ABC) có vectơ pháp tuyến n (bc; c; b)
Vì (P) vuông góc với (ABC) nên n n Pn.nP0 c – b = (2) Từ (1), (2) vaø b, c > suy ra: b = c =
2
Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : x y z
2 Xác định
(22)Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Tốn học –
Giải
Ta có M Ox M (m; 0; 0) (m ) suy OM = |m|
Đường thẳng qua N (0; 1; 0) có vectơ phương a = (2; 1; 2) NM (m; 1; 0) a , NM (2; 2m; m)
Ta coù: d (M, ) = OM a, NM OM
a
5m24m 8
m
4m2– 4m – = m = 1 hay m =
Vaäy M (1; 0; 0) hay M (2; 0; 0)
Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2010
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z = (Q): x y + z = Viết phương trình mặt phẳng (R) vng gócvới (P) (Q) cho khoảng cách từ O đến (R)
Giải
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n P (1; 1; 1)
Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến m Q (1; 1; 1)
Mặt phẳng (R) vng góc với (P) (Q) nên có vectơ pháp tuyến k(R) n , m(P) (Q)(2;0; 2) 2(1; 0; 1)
Do phương trình (R) có dạng : x z + D = Ta có: d (O; (R)) = D 2 D 2
2
Vậy phương trình (R): x z 2 hay x z 2
Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2010
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1:
x t y t z t
vaø 2: x y z
2
Xác định tọa độ điểm M thuộc 1 cho khoảng cách từ M đến 2
Giaûi
M 1 M(3 + t; t; t)
2 qua A(2; 1; 0) có vectơ phương a2(2; 1; 2)
(23)Giả thiết cho: d(M; 2) =
2
[a , AM] a
2
(2 t) (t 3)
1 4
2
2t 10t 17 2t 10t
t 1hayt
t 1 M(4; 1; 1);t 4 M(7; 4; 4)
Bài 6: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2010
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
x y z
2 1và
mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – =
1 Viết phương trình mặt phẳng chứa d vng góc với (P)
2 Tìm tọa độ điểm M thuộc d cho M cách gốc tọa độ O mặt phẳng (P)
Giaûi
1. d qua A (0; 1; 0) có vectơ phương ad = (–2; 1; 1)
(P) coù vectơ phương laø n(P) = (2; –1; 2)
() chứa d vuông góc với (P) nên:
() qua A (0; 1; 0) có vectơ phương:
n( ) a , n(d) (P)3(1; 2; 0)
Phương trình mặt phẳng (): (x – 0) + 2(y – 1) = x + 2y – =
2. M d M (–2t; + t; t)
M cách O (P) OM = d (M , (P))
2 2 2( 2t) (1 t) 2(t)
4t (1 t) t
4
6t22t t 1 t = M (0; 1; 0)
Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – = hai đường thẳng 1: x y z 9
1 ; 2:
x y z
2 Xác định tọa
độ điểm M thuộc đường thẳng 1 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 2
và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P)
Giaûi
2 qua A(1; 3; 1) có vectơ phương u2; 1; 2
M 1 M(1 + t; t; 9 + 6t)
(24)Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – MA,u 29t288t 68
Khoảng cách từ M đến 2:
2 MA,u 2
d M, 29t 88t 68
u Khoảng cách từ M đến (P):
2
2
1 t 2t 12t 18 11t 20
d M, P
3
1 2
Giả thiết suy ra: 29t288t 68 11t 20
3
35t2– 88t + 53 = t = t = 53
35 Ta coù t M 0; 1; ; t 53 M 18 53 3; ;
35 35 35 35
Bài 8: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có đỉnh A(1; 2; 1), B(2; 1; 3), C(2; 1; 1) D(0; 3; 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cho khoảng cách từ C đến (P) khoảng cách từ D đến (P)
Giaûi
Mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu toán hai trường hợp sau: Trường hợp 1: (P) qua A, B song song với CD
Vectơ pháp tuyến cuûa (P): n AB,CD
AB 3; 1; , CD 2; 4; 0 n 4; 2; 7 Phương trình (P): 4x + 2y + 7z – 15 =
Trường hợp 2: (P) qua A, B cắt CD Suy (P) cắt CD trung điểm I CD Ta có I(1; 1; 1) AI0; 1; 0 ; vectơ pháp tuyến (P):
nAB, AI2; 0; 3 Phương trình (P): 2x + 3z – =
Vậy (P): 4x + 2y + 7z – 15 = (P): 2x + 3z – =
Bài 9: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2008
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 5; 3) đường thẳng
d :x y z 2
2
(25)2/ Viết phương trình mặt phẳng () chứa d cho khoảng cách từ A đến () lớn
Giải
1/ Gọi H(1 + 2t; t; + 2t) d
AH (2t 1; t 5; 2t 1)
Vectơ phương d: a (2; 1; 2)
Yêu cầu toán: AH a 2(2t – 1) + (t – 5) + 2(2t – 1) = t = H(3; 1; 4) hình chiếu A lên d
2/ Phương trình tổng quát d:
x 2y 2y z
Cách 1: () chứa d nên: (): m(x – 2y – 1) + n(2y – z + 2) = (m2 + n2 0)
mx + (2n – 2m)y – nz – m + 2n =
2
9m 9n d M,( )
5m 5n 8mn
Vì () chứa d d(M, ()) lớn d(M, ()) = AH
2
9n 9m
1 16
5m 5n 8mn
9(n – m)2 = 2(5m2 + 5n2– 8mn) m2 + n2 + 2mn =
Choïn n = 1 m = Vaäy (): x – 4y + z – =
Cách 2: Mặt phẳng () chứa d d(A; ()) lớn () qua H vng góc AH
( ) : qua H(3; 1; 4)
có vectơ pháp tuyến: AH (1; 4; 1)
Phương trình (): 1(x – 3) – 4(y – 1) + 1(z – 4) = x – 4y + z – =
Bài 10: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A'(0; 0; 1) Gọi M N trung điểm AB CD
1/ Tính khoảng cách hai đường thẳng A'C MN
2/ Viết phương trình mặt phẳng chứa A'C tạo với mặt phẳng Oxy góc
(26)Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –
Giaûi
1/ Gọi (P) mặt phẳng chứa A'C song song với MN Khi đó: d(A'C, MN) = d(M, (P))
Ta coù: C(1; 1; 0), M ; 0;
, N ; 1; 02
, A'C (1; 1; 1), MN(0; 1; 0)
A C, MN 1; 1 1; 1; 0; 1
1 0 0
Mặt phẳng (P) qua điểm A'(0; 0; 1), có vectơ pháp tuyến n (1; 0; 1) có phương trình là: 1.(x 0) + 0.(y 0) + 1.(z 1) = x + z =
Vaäy d(A'C, MN) = d(M, (P)) =
2 2
1
1
2
1
Caùch khaùc: d(A'C,MN) =
A'C,MN A'M
A'C,MN
1 2
2/ Gọi mặt phẳng cần tìm (Q): ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c2 > 0)
Vì (Q) qua A'(0; 0; 1) C(1; 1; 0) nên
c d
c d a b
a b d
Do phương trình (Q) có dạng: ax + by + (a + b)z (a + b) = Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến n (a; b; a b)
Mặt phẳng Oxy có vectơ pháp tuyến k (0; 0; 1)
Vì góc (Q) (Oxy) mà cos = nên cos n,k
6
2 2
2 2
a b 6(a b) 2(a b ab)
6
a b (a b)
a = 2b b = 2a
Với a = 2b, chọn b = 1, mặt phẳng (Q1): 2x y + z =
Với b = 2a, chọn a = 1, mặt phẳng (Q2): x 2y z + =
Bài 11: ĐỀ DỰ BỊ 2- ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho A(1; 2; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 3)
1/ Viết phương trình đường thẳng qua O vng góc với mặt phẳng (ABC)
(27)Giải
1/ Ta có: a AB,AC = (6; 3; 4) Nên phương trình qua O vuông góc (ABC) : x y z
6
2/ (P): Ax + By + Cz + D = 0; (A2 + B2 + C2 0) O (P): D =
A (P) A + 2B = A = 2B
d(B; (P)) = d(C; (P)) 4B D 3C D 4B 3C
Choïn C = B = 3; A = 6 (P1): 6x + 3y + 4z = Choïn C = 4 B = 3; A = (P2): 6x + 3y – 4z =
Bài 12: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2005
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng
d:
x y z
1 vaø mặt phẳng (P): 2x + y 2z + =
a/ Tìm tọa độ điểm I thuộc d cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P)
b/ Tìm tọa độ giao điểm A đường thẳng d mặt phẳng (P) Viết phương trình tham số đường thẳng nằm mặt phẳng (P), biết qua A vng góc với d
Giải
a/ Phương trình tham số d:
x t
y 2t t
z t I d I(1 t; 3 + 2t; + t), d I,(P) 2t
3
t
d I,(P) t
t
Vậy có hai điểm I1(3; 5; 7), I2(3; 7; 1)
b/ Vì A d neân A(1 t; 3 + 2t; + t)
Ta coù A (P) 2(1 t) + (3 + 2t) 2(3 + t) + = t = Vaäy A(0; 1; 4)
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n (2; 1; 2).
Đường thẳng d có vectơ phương u ( 1; 2; 1).
(28)Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Tốn học –
Phương trình tham soá :
x t
y t
z t
Bài 13:
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, AC cắt BD gốc O Biết A(2; 0; 0); B(0; 1; 0); S(0; 0; 2 ) Gọi M trung điểm cạnh SC
a/ Tính góc khoảng cách hai đường thẳng SA, BM
b/ Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD điểm N Tính thể tích khối chóp S.ABMN
Giải Caùch 1:
Từ giả thiết suy SO (ABCD)
SA = SC =
a/ Ta coù OM // SA SA,MB laø OMB OB (SAC) OB OM OBM coù tan OMB = OB
OM
tan OMB =
3 OMB = 30
0
Vẽ OH SA OH OM OH OB OH (OMB)
Vì SA // OM SA // (OMB) d(SA, MB) = d(H, OMB) = OH =
b/ (ABM) SD = N N trung điểm SD
Ta có: SBMN
SBCD
V SM SN 1.
V SC SD 4 SMNB SBCD SABCD
1
V V V
4
Tương tự : VSABN 1VSABCD
Vaäy VSABMNVSMNBVSABN 3VSABCD3 1 AC.BD.SO
8
4.2.2 2
16 (ñvtt)
Cách : Giải hình giải tích.
M
A
B O
z
y
x
N C
D
(29)a/ O trung điểm BD D(0; 1; 0), O trung điểm AC C(2; 0; 0) M trung điểm SC M(1; 0; )
SA = (2; 0; 2 ) BM = (1; 1; ) Gọi góc nhọn tạo SA BM
cos =
2
2
4 1 = 30
0
Gọi () mặt phẳng chứa SA song song với BM pt (): 2x z 2 =
Ta coù d(SA, BM) = d(B, ()) =
b/ Phương trình mặt phẳng (ABM): 2x 2y 3z 2
Phương trình tham số đường thẳng SD
x
y t
z 2t
N giao điểm SD mp(ABM) N 0; 1; 2
BS0; 1; 2 BA 2; 1; 0
BN 0; 3; BM 1; 1; 2
2
BS, BN2 2; 0; 0BS, BN BA 2 vaø BS,BN BM 2
VSABMN VSABNVSBMN14 21.2 2
6 (đvtt)
Bài 14:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1,
biết A(a; 0; 0), B(a; 0; 0), C(0; 1; 0), B1(a; 0; b) a > 0, b >
a/ Tính khoảng cách hai đường thẳng B1C AC1 theo a, b
b/ Cho a, b thay đổi luôn thỏa mãn a + b =
Tìm a, b để khoảng cách hai đường thẳng B1C AC1 lớn
Giaûi
a/ C1(0; 1; b)
Gọi () mặt phẳng chứa B, C song song với AC1
1
B C a; 1; b ; C A a; 1; b B C,C A1 1 2b; 0; 2a
(30)Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –
Ta coù
1 2ab 2 2ab 2
d B C,AC d A,
a b a b
Caùch khaùc:
1
1 2 2
1
B C,AC AC ab
d B C,AC
B C,AC a b
b/ Ta coù
2
ab ab ab a b
d
2ab 2 2
a b
a = b
Maxd xaûy a + b = a b
a 0,b
Baøi 15:
Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Đêcác vng góc Oxyz Cho hai điểm A(2; 0; 0); B(0; 0; 8) điểm C cho AC = (0; 6; 0) Tính khoảng cách từ trung điểm I BC đến đường thẳng OA
Giaûi
AC = (0; 6; 0)
c c c
x
y
z
C(2; 6; 0) I trung điểm BC I (1; 3; 4)
Phương trình tham số OA
x = 2t y = z =
() qua I OA = (2, 0, 0) nên (): 2(x 1) = x = Tọa độ {H} = OA () thỏa:
x 2t
x = y
y = z
z = x
H(1; 0; 0)
d(I, OA) = IH = 1 1 2 3 2 4 2 = Caùch khaùc: d(I, OA) = OI,OA
OA =
Bài 16: ĐỀ DỰ BỊ
(31)thẳng AB CD Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng CD cho tam giác ABM có chu vi nhỏ
Giaûi
AB4; 4; , CD (2; 10; 8)
AB.CD 0 AB; CD900AB CD
Tìm M CD để chu vi ABM AB + AM + MB nhỏ
Vì AB khơng đổi nên chu vi ABM nhỏ AM + MB nhỏ
Gọi () chứa AB () CD, () CD = M, M điểm cần tìm
() qua A(2; 3; 2) có vectơ pháp tuyến n CD = (2; 10; 8) Phương trình (): 2(x – 2) + 10(y – 3) – 8(z – 2) =
x + 5y – 4z – = (4) Phương trình CD qua C(1; 4; 3) có vectơ phương a 1CD (1; 5; 4)
2
x t (1)
y 5t (2)
z 4t (3)
Thay (1), (2) (3) vào (4) ta t = M(0; 1; 1)
Bài 17: ĐỀ DỰ BỊ
Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxyz Cho hai điểm I(0; 0; 1); K(3; 0; 0) Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm I, K tạo với mặt phẳng (Oxy) góc 300.
Giải
Gọi () qua I, K () tạo (Oxy) góc 300
Phương trình ( ) : x y z 1 (b 0)
3 b ;
Suy
1
n ; ;
3 b
Mặt phẳng Oxy có vectơ pháp tuyến: k (0; 0; 1)
2 k
2
n k 1 3 9b 3
cos( , (Oxy))
2
1 10b
n k 1
9 b
A
B
C D M
z I
x
(32)Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –
1
2
3 x 2y z
b ( ) :
2 3
3 x 2y z
b ( ) :
2 3
Vấn đề 4:
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG
Cho hai mặt phẳng có phương trình:
(): A1x + B1y + C1z + D1 = A12B12C12 0
(): A2x + B2y + C2z + D2 = A22B22C220
Gọi n = (A1 1; B1; C1), n = (A2 2; B2; C2) vectơ pháp tuyến
mặt phẳng M điểm mặt phẳng ()
() cắt () n 1 n không phương 2
() song song ()
1
n n phương M
() truøng ()
1
n vaø n phương
M
Nếu A2, B2, C2, D2 ta có cách khác: () caét () A1 : B1 : C1 A2: B2 : C2 () song song ()
2 2
A B C D
A B C D
() truøng ()
2 2
A B C D
A B C D
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Cách 1: Xét hệ phương trình tọa độ giao điểm hai đường thẳng d1 d2 Hệ có nghiệm nhất: d1 cắt d2
Hệ có vô số nghiệm: d1 d2 trùng Hệ vô nghiệm:
(33)+ a d1 a không phương: dd2 d2 chéo Cách 2:
Tìm vectơ phương a , d1 a dd2 d2 Tìm điểm A d1 vaø B d2
+ a vaø d1 a phương d2
2 1 2
A d : d // d
d : d d1
+ a vaø d1 a không phương d2
a , ad1 d2.AB0: d cheùo d1
a , ad1 d2.AB 0: d caét d1
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VAØ MẶT PHẲNG Cách 1:
Xét hệ phương trình tọa độ giao điểm đường thẳng d mặt phẳng
Hệ vô nghiệm: d // ()
Hệ có nghiệm nhất: d cắt ()
Hệ vô số nghiệm: d ()
Cách 2:
Tìm vectơ phương u a, vectơ pháp tuyến n () tìm điểm A d
u.n u không vuông góc n : d cắt
u.n u n
A : d
A : d //
B ĐỀ THI
Bài : CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 3), B(1; 0; –5) mặt phẳng (P): 2x + y – 3z – =0 Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) cho ba điểm A, B, M thẳng hàng
Giaûi
Phương trình AB
x t
y t
z 4t
MABM( t;2 t;3 4t)
M(P)2(t 1) (2 t) 3(3 4t) 4 0 t Vaäy M(0; 1; –1)
(34)Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –
Trong không gian với hệ tọa Oxyz, cho điểm A(2; 1; 0), B(1; 2; 2), C(1; 1; 0) mặt phẳng (P): x + y + z – 20 = Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P)
Giaûi
x t
AB 1; 1; , phương trình AB: y t
z 2t
D thuộc đường thẳng AB D(2 – t; + t; 2t) CD 1 t; t; 2t Véctơ pháp tuyến mặt phẳng (P): n1; 1; 1
C (P) neân CD // (P) n.CD 1.(1 –t) + 1.t + 1.2t = t = 1
2 Vaäy D 1; ;
2
Bài 2 : ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2007
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng
1 x y z
d :
2 1 vaø
x 2t
d : y t z
1/ Chứng minh d1 d2 chéo
2/ Viết phương trình đường thẳng d vng góc với mặt phẳng
(P): 7x + y – 4z = cắt hai đường thẳng d1, d2
Giải
1/ + d1 qua M(0; 1; 2), có vectơ phương u (2; 1; 1)1
d2 qua N(1; 1; 3), có vectơ phương u (2; 1; 0)
+ u ,u1 2 ( 1; 2; 4)vaø MN ( 1; 0; 5)
+ u ,u 1 2 MN 21 0 d1 d2 chéo
2/ Giả sử d cắt d1 d2 A, B Vì A d1, B d2 nên
A(2s; s; 2 + s), B(1 + 2t; + t; 3) AB (2t 2s 1; t s; s 5)
(P) có vectơ pháp tuyến n (7; 1; 4). Lại AB (P) AB phương với n
5t 9s s
2t 2s t s s
4t 3s t
(35) A(2; 0; 1), B(5; 1; 3)
Phương trình d là:
x y z
7
Bài 3: ĐỀ DỰ BỊ ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz mặt phẳng (P): 4x – 3y + 11z – 26 = hai đường thẳng:
d1:
x y z
1 d2:
x y z
1
1/ Chứng minh d1 d2 chéo
2/ Viết phương trình đường thẳng nằm tên (P), đồng thời cắt d1 d2
Giải
1/ d1 qua M1(0; 3; 1) có vectơ phương a1 ( 1; 2; 3) d2 qua M2(4; 0; 3) có vectơ phương a2(1; 1; 2) a ,a1 2 (1; 5; 3), M M 1 2(4; 4; 4)
a ,a M M1 2 1 2 23 d cheùo d1
2/ ∆ (P) cắt d1, d2 ∆ qua giao điểm d1, d2 (P)
A d 1(P) : giải hệ
x y z
A ( 2; 7;5)
1
4x 3y 11z 26
B d 2(P) : giaûi heä
x y z
B (3; 1;1)
1
4x 3y 11z 26
AB (5; 8; 4)
Phương trình đường thẳng cần tìm
x y z AB:
5
Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng
1 x y z
d :
3 vaø
2 x y z
d :
x 3y 12
a/ Chứng minh d1 d2 song song với Viết phương trình mặt phẳng
(P) chứa hai đường thẳng d1 d2.
b/ Mặt phẳng tọa độ Oxz cắt hai đường thẳng d1 d2 điểm A, B
(36)Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Tốn học –
Giải
a/ d1 qua M1(1; 2; 1) có vectơ phương u1(3; 1; 2)
d2 có vectơ phương u21 13 0 1 3 ; 1 1 1; (3; 1; 2)
Vì u1u M2 1 d2 nên d1 // d2
Mặt phẳng (P) chứa d2 nên có phương trình dạng:
(x + y z 2) + (x + 3y 12) = (2 + 20)
Vì M1 (P) nên (1 + 2) + (1 12) = 2 + 17 =
Choïn = 17 = 2 Phương trình (P) là: 15x + 11y 17z 10 =
b/ Vì A, B (Oxz) neân yA = yB =
Vì A d1 nên
A A
A A
x z x z 5
2 A(5; 0; 5)
2 B B B
B B
x z x 12
B d B(12; 0; 10)
x 12 z 10
OA ( 5; 0; 5), OB (12; 0; 10) OA,OB(0; 10; 0).
SOAB1 OA,OB 1.10 5
2 (ñvdt)
Bài 5: ĐỀ DỰ BỊ ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2005
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng:
1
x 2t
x y z
d : vaø d : y t
1
z t
(t tham số)
a/ Xét vị trí tương đối d1 d2
b/ Tìm tọa độ điểm M thuộc d1 N thuộc d2 cho đường thẳng MN
song song với mặt phẳng (P): x y + z = độ dài đoạn MN =
Giaûi
a/ d1 qua O(0; 0; 0) có vectơ phương a1(1; 1; 2)
d2 qua B(1; 0; 1) có vectơ phương a2 ( 2; 1; 1)
2
a ,a (1; 5; 3)
, OB ( 1;0;1)
(37)b/ Phương trình tham số 1 1 1 x t
d : y t M t ; t ; 2t d
z 2t
2 2
M d M ( 2t; t; t) ; M M1 2 2t t 1;t t ;t 2t
Ta coù M M // P1 2 M M m1 2 p 0
2t t t t t 2t 0 t t
2 2
M M (t 1) 4t (1 3t )
2 t
14t 8t 2 4
t t' = M(0; 0; 0) (P) loại
t 4
7 ta coù
4
M ; ;
7 7
;
1
N ; ;
7 7
Bài 6: ĐỀ DỰ BỊ
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(4; 2; 2) B(0; 0; 7)
đường thẳng d:
x y z
2
Chứng minh hai đường thẳng d AB thuộc mặt phẳng Tìm điểm C thuộc đường thẳng d cho ABC cân đỉnh A
Giaûi
AB ( 4; 2;5)
d có: M(3; 6; 1) vectơ phương a ( 2; 2; 1) AB,a ( 12; 6; 12), AM ( 1; 4; 1)
AB,a AM 12 24 12 AB, d đồng phẳng
Phương trình tham số d:
x 2t
y 2t t
z t
C d C(3 – 2t; + 2t; + t)
AB 422 ( 5)2 45
AC (2t 1) 2(2t 4) 2 (t 1)2 9t218t 18
Vì tam giác ABC cân A nên AB2 = AC2 9t2 + 18t + 18 = 45
t2 + 2t – = 1
2
t C (1; 8; 2)
t C (9; 0; 2)
(38)Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Tốn học –
Bài 7:
Trong khơng gian với hệ tọa độ Đêcác vng góc Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD, A'B'C'D' có A trùng với gốc tọa độ B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A'(0; 0; b) (a > 0, b > 0) Gọi M trung điểm CC'
a/ Tính thể tích khối tứ diện BDA'M theo a b
b/ Xác định tỉ số a
b để hai mặt phẳng (A'BD) (MBD) vng góc với
Giaûi
A(0; 0; 0); B(a; 0; 0); C(a; a; 0); D(0; a; 0) A'(0; 0; b); C'(a; a; b); M(a; a; b
2)
a/ BD = (a; a; 0); BA = ( a; 0; b); BM = (0; a; b 2)
[ BD ,BA ] =a(b, b, a)
V = BD,BA BM
6
2
a ab ab a b
6 (đvtt)
b/ (A'BD) có vectơ pháp tuyến BD,BA' = a(b, b, a) hay choïn n = (b; b; a)
(MBD) có vectơ pháp tuyến
2
ab ab
BD,BM , , a
2 h
hay mb; b; 2a (choïn)
Ta coù (A'BD) (MBD) m.n =
b2 + b2 2a2 = a = b (a, b > 0) a
b =
Bài 8:
Trong khơng gian với hệ tọa độ Đêcác vng góc Oxyz cho đường thẳng:
dk
x 3ky z kx y z
Tìm k để đường thẳng dk vng góc với mặt phẳng (P): x y 2z + =
Giaûi
n1 = (1; 3k; 1); n2 = (k ; 1; 1)
Vectơ phương cuûa dk : a n ,n = (3k 2 1; k 1;13k2)
A B
C D
A’
B’ C’
D’
M
x z
(39)Vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P) n = (1; 1; 2) Ta có : d k (P) a phương với d np
2 k =
3k k 1 3k
1
1 k = k =
3
k =
Bài : ĐỀ DỰ BỊ
Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vng góc Oxyz cho hai đường thẳng:
1 x y z 3x z
d : vaø d
2x y
1
a/ Chứng minh d1, d2 chéo vng góc với
b/ Viết phương trình tổng quát đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1, d2
song song với đường thẳng :
x y z
1
Giaûi
a/ d1 qua A(0; 1; 0) có vectơ phương a = (1; 2; 1) d2 qua B(0; 1; 1) có vectơ phương b = (1; 2; 3) AB = (0; 2; 1), a,b = (8; 2; 4)
a,b AB = 4 – = 8 d1 chéo d2 Ta lại có: a.b = – + = d1 d2
Kết luận : d1 chéo d2 d1 vuông góc d2
b/ Đường thẳng có vectơ phương c = (1; 4; 2)
Gọi () mặt phẳng chứa d1 song song nên n a,c = ( 8; 3; 2)
() qua A vaø có vectơ pháp tuyến n = ( 8; 3; 2) (): 8(x – 0) + 3(y + 1) + 2(z – 0) =
8x – 3y – 2z – =
Gọi mặt phẳng chứa d1 song song nên có ptpt:
n b,c = ( 8; 5; 6)
() qua B coù vectơ pháp tyuến n = ( 8; 5; 6)
(): 8(x – 0) + 5(y – 1) + 6(z – 1) = 8x – 5y – 6z + 11 =
(40)Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –
8x 3y 2z 8x 5y 6z 11
Bài 10:
Trong khơng gian với hệ trục Đêcác Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x y + =
và đường thẳng: dm:
2m x m y m
mx 2m z 4m (m tham số)
Xác định m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P)
Giaûi
n1 = (2m + 1; – m; 0); n = (m; 0; 2m + 1)2 Một vectơ phương dm
a n ,n = (1 2 2m2 + m + 1; (2m + 1)2 ; m(1 m))
Vectô pháp tuyến (P) n = (2; 1; 0)
Đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P). a n =
4m2 + 2m + + (4m2 + 4m + 1) =
6m + = m = 1
2
Bài 11: ĐỀ DỰ BỊ
Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vng góc Oxyz cho hai đường thẳng:
1 x az a ax 3y
d vaø d
y z x 3z
a/ Tìm a để hai đường thẳng d1, d2 cắt
b/ Với a = 2, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d2 song song
với đường thẳng d1 Tính khoảng cách d1 d2 a =
Giải
a/ Đặt z = t Phương trình tham số d1:
x a at
y t
z t Đặt x = 3t' Phương trình tham số d2:
x 3t y at z t
(41) Heä
a at 3t t at t t
có nghiệm
2 2
3a
t (1)
a
6 a
t (2)
3 a
t t (3)
Thay (1), (2) vào (3) ta được:
2
2
6 a 2 3a
a a
– a2 = 2a2– 3a + 3a2– 3a = a = a =
Caùch 2: d1 d2 cắt
1 2
1
a ,a M M
a ,a
b/ Khi a = ta coù: d1:
x 2z y z d2:
2x 3y x 3z
d1 ñi qua M1(0; 2; 1) có vectơ phương a = (2; 1; 1)
d2 ñi qua M2(0; 1; 2) có vectơ phương a = 3(3; 2; 1)
Vì (P) chứa d2 song song d1 nên (P) có vectơ pháp tuyến
n a ,a1 2 = (1; 5; 7)
(P) qua M2(0; 1; 2) có vectơ pháp tuyến n = (1; 5; 7) nên có phương trình
(P): (x – 0) + 5(y – 1) – 7(z – 2) = x + 5y – 7z + =
Ta coù : d d ,d 1 2 d M ,(P) 1 5. 2 7 1 15 25 49
Caùch khaùc : d d ,d 1 2
1 2
1
a ,a M M
a ,a = 315
Vấn đề 5: MẶT CẦU
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1 Phương trình mặt cầu
(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 có tâm I(a; b; c) bán kính R x2 + y2 + z2– 2ax – 2by – 2cz + d = (với a2 + b2 + c2– d > 0)
(42)Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Tốn học –
2 Đường trịn giao tuyến mặt cầu mặt phẳng
Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R mặt phẳng () cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn (C)
Tìm tâm O (C)
Tìm phương trình đường thẳng d qua I vng góc với ()
O = d ()
Tìm bán kính r (C): r2 = R2 IO2 B ĐỀ THI
Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2– 4x – 4y – 4z =
và điểm A(4; 4; 0) Viết phương trình mặt phẳng (OAB) biết điểm B thuộc (S) tam giác OAB
Giaûi
Giả sử B(x; y; z)
Ta có: B(S) tam giác OAB
2 2
2
2
x y z 4x 4y 4z
OA OB OA AB
2 2
2 2
2 2
x y z 4(x y z)
32 x y z
32 (4 x) (4 y) z
2
2 2
x y z
x y z 32
x y z 8(x y)
2
x y z
x y z 32
x y
2
z
(x y) 2xy z 32
x y
x y z x y z Trường hợp 1: Với B(0; 4; 4)
Mặt phẳng (OAB) có vectơ pháp tuyến OA,OB (16; 16; 16) qua O (0; 0; 0) nên có phương trình x – y + z =
Trường hợp 2: Với B(4; 0; 4)
(S) (C)
O I
r R
(43)Mặt phẳng (OAB) có véctơ pháp tuyến OA,OB (16; 16; 16) qua O(0; 0; 0) nên có phương trình x – y – z =
Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : x y z
2
vaø
mặt phẳng (P): 2x – y + 2z = Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng , bán kính tiếp xúc với mặt phẳng (P)
Giaûi
Phương trình tham số đường thẳng :
x 2t y 4t z t
(t R) Gọi I tâm mặt cầu I I(1 + 2t; + 4t; t)
Mặt cầu tiếp xúc (P) có bán kính d(I, (P)) =
2t 3 4t 2t 4
2t 3 t = t = –1
t = I(5; 11; 2) Phương trình mặt cầu: (x – 5)2 + (y – 11)2 + (z – 2)2 = t = –1 I(–1;–1;–1) Phương trình mặt cầu: (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 =
Bài 3: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011
Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: x y z
4
Viết phương trình mặt cầu có tâm I (1; 2; –3) cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho AB = 26
Giaûi
d qua M (1; –1; 1), vectơ phương a = (4; –3; 1), IM (0; 3; 4) a,IM
=(–9; –16; –12)
d(I,d) = 37
2 Ta coù: R
2 = AB d (I,d)2 26 37 25
2
Suy ra: phương trình (S) : (x 1) 2(y 2) 2 (z 3)225
Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; 2) đường thẳng :x y z 3
2
(44)Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –
điểm B C cho BC =
Giaûi
qua M (2; 2; 3) có vectơ phương a (2; 3; 2) ; AM ( 2; 2; 1)
a, AM ( 7; 2; 10)
d(A, ) = a, AM 49 100 153
17
a
=
Vẽ AH vng góc với Ta có: BH = BC4
2 vaø AH = d(A, ) = Trong AHB ta coù: R2 = AB2 = BH2 + AH2 = 16 + = 25
Vaäy phương trình mặt cầu (S): x2y2 (z 2)225
Bài 5: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2010
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; –2; 3), B (–1; 0; 1) mặt phẳng (P): x + y + z + =
1/ Tìm tọa độ hình chiếu vng góc A tâm (P) 2/ Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính AB
6 , tâm thuộc đường thẳng AB (S) tiếp xúc với (P)
Giaûi
1/ Gọi đường thẳng qua A vng góc với (P) thì: : x y z 3
1 1
H hình chiếu A (P) H = () (P) nên tọa độ H thỏa:
x y z x y z
1 1
x
y
z
Vaäy H (–1; –4; 1) Ta có AB = (–2; 2; –2) AB = 4 4 12
Bán kính mặt cầu (S) R = AB
6
Phương trình (AB):
x y z
1 1
Vì tâm I (AB) nên I (t – 1; – t; t + 1)
(S) tieáp xúc (P) nên d (I; (P)) = R t t = –3 hay t = –5
I(–4; 3; –2) hay I(–6; 5; –4)
(45)(S1): (x + 4)2 + (y – 3)2 + (z + 2)2 =
3 (S2): (x + 6)2 + (y – 5)2 + (z + 4) =
3
Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x – 2y – z – = mặt cầu (S): x2 + y2 + z2– 2x – 4y – 6z – 11 = Chứng minh rằng: mặt phẳng
(P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác định tọa độ tâm tính bán kính đường trịn
Giải
(S) có tâm I(1; 2; 3), bán kính R =
Khoảng cách từ I đến (P): d(I, (P)) = 4 3 R
3 ;
Suy mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S)
Gọi H r tâm bán kính đường trịn giao tuyến, H hình chiếu vng góc I (P):
IH = d(I,(P)) = 3, r = R2IH2 4 Tọa độ H = (x; y; z) thỏa mãn:
x 2t y 2t z t
2x 2y z Giải hệ, ta H (3; 0; 2)
Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2008
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; 3; 0), B(3; 0; 3), C(0; 3; 3), D(3; 3; 3)
1/ Vieát phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D
2/ Tìm tọa độ tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
Giải
1/ Gọi phương trình mặt cầu (S):
x2 + y2 + z2– 2ax – 2by – 2cz + d = (với a2 + b2 + c2– d > 0)
(46)Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – a
A (S) 18 6a 6b d
3
B (S) 18 6a 6c d b
2
C (S) 18 6b 6c d 3
c
D (S) 27 6a 6b 6c d 2
d
nhaän
Vaäy (S): x2 + y2 + z2– 3x – 3y – 3z =
2/ (ABC) : qua A(3; 3; 0)
có vectơ pháp tuyến AB,AC 9(1; 1; 1)
Phương trình mặt phẳng (ABC): x + y + z – =
Đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC giao mặt phẳng (ABC) (S)
Phương trình đường trịn (C):
2 2
x y y 3x 3y 3z
x y z
Goïi d qua taâm 3 3I ; ; 2
(S) vng góc với mặt phẳng (ABC)
3 3
ñi qua I ; ;
2 d :
co ùvectơ phương a (1; 1; 1)
Phương trình tham soá
3
x t
2
d : y 2 t t
3 z t
H = d (ABC) ta giải hệ
x t x
y t y 2
2
3 z
z t
2
x y z Vậy tâm đường tròn (C) H(2; 2; 2)
Bài 8: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
(47)1/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox cắt (S) theo đường tròn có bán kính
2/ Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn
Giaûi
1/ (S): (x 1)2 + (y + 2)2 + (z + 1)2 = có tâm I(1; 2; 1) bán kính R =
Mặt phẳng (Q) có cặp véctơ phương là: OI (1; 2; 1), i (1; 0; 0) Vectơ pháp tuyến (Q) là: n (0; 1; 2)
Phương trình (Q) laø: 0.(x 0) 1.(y 0) + 2(z 0) = y 2z =
2/ Gọi d đường thẳng qua I vng góc với (P) Đường thẳng d cắt (S) hai điểm A, B
Nhận xét: Nếu d(A; (P)) d(B; (P)) d(M; (P)) lớn M A
Phương trình đường thằng d:
x y z
2
Tọa độ giao điểm d (S) nghiệm hệ:
2
2
(x 1) (y 2) z
x y z
2
Giải hệ ta tìm hai giao điểm A(1; 1; 3), B(3; 3; 1) Ta có: d(A; (P)) = d (B; (P)) =
Vậy khoảng cách từ M đến (P) lớn M(1; 1; 3)
Bài 9: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2005
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1
với A(0; 3; 0), B(4; 0; 0), C(0; 3; 0), B1(4; 0; 4)
a/ Tìm tọa độ đỉnh A1, C1 Viết phương trình mặt cầu có tâm A tiếp
xúc với mặt phẳng (BCC1 B1)
b/ Gọi M trung điểm A1B1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai
điểm A, M song song với BC1 Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A1C1 điểm
N Tính độ dài đoạn MN
Giaûi
a/ A1(0; 3; 4), C1(0; 3; 4); BC ( 4; 3; 0), BB 1(0; 0; 4)
Vectơ pháp tuyến mp(BCC1B1) nBC, BB1(12; 16; 0)
(48)Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –
Bán kính mặt cầu:
1 12 122 2 24
R d A, BCC B
5
3
Phương trình mặt cầu: x2(y 3) 2z2 576
25
b/ Ta coù M 2; 3; , AM 2; ; , BC3 1 ( 4; 3; 4)
2
Vectơ pháp tuyến (P) npAM,BC1 ( 6; 24;12)
Phương trình (P): 6x 24(y + 3) + 12z = x + 4y 2z + 12 = Ta thấy B(4; 0; 0) (P) Do (P) qua A, M song song với BC1
Ta coù A C1 1(0; 6; 0)
Phương trình tham số đường thẳng A1C1 là:
x
y 6t
z N A1C1 N(0; 3 + 6t; 4)
Vì N (P) neân + 4(3 + 6t) + 12 = t =
3 Vaäy N(0; 1; 4)
MN =
2
2 17
(2 0) (4 4)
2
Bài 10: ĐỀ DỰ BỊ ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2005
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1; 1; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2)
a/ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ O vng góc với BC Tìm tọa độ giao điểm AC với mặt phẳng (P)
b/ Chứng minh tam giác ABC tam giác vng Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC
Giaûi
a/ BC (0; 2; 2)
Mặt phẳng (P) qua O vuông góc BC (nhận BC làm vectơ pháp tuyến) Phương trình (P): 0(x – 0) – 2(y – 0) + 2(z – 0) = y – z = (*)
AC ( 1; 1;2) nên phương trình tham số AC:
x t (1)
y t (2) t
z 2t (3)
Thay (1), (2), (3) vào (*) ta được: – t – 2t = t1
(49)Thay vào (1), (2), (3) ta có M 2 2; ; 3
giao điểm AC (P)
b/ AB ( 1; 1; 0), AC ( 1; 1; 2)
AB.AC 1 AB AC ABC vuông A
Dễ thấy BOC vng O Do A, O nhìn đoạn BC góc vng Do A, O, B, C nằm mặt cầu tâm I trung điểm BC, bán kính RBC
2
I(0; 1; 1), R neân phương trình (S): (x – 0)2 + (y – 1)2 + (z – 1)2 =
Bài 11: ĐỀ DỰ BỊ ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho lăng trụ đứng OAB.O A B với 1 1 A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), O1(0; 0; 4)
a/ Tìm tọa độ điểm A1,B1 Viết phương trình mặt cầu qua điểm O, A B, O1
b/ Gọi M trung điểm AB Mặt phẳng (P) qua M vng góc với O1A
đồng thời cắt OA, OA1 N, K Tính độ dài đoạn KN
Giải
a/ Vì AA1 (Oxy) A1( 2; 0; 4), BB1 (Oxy) B1(0; 4; 4)
Phương trình mặt cầu (S):
x2 + y2 + z2– 2ax – 2by – 2cz + d = (với a2 + b2 + c2– d > 0)
Maët cầu qua điểm O, A B, O1 nên
O (S) A (S) B (S)
O (S)
d 4a 16 8b 16 8c
a b c d
(nhaän) Vaäy (S): x2 + y2 + z2– 2x – 4y – 4z =
b/ M trung ñieåm AB M(1; 2; 0)
(P) qua M(1; 2; 0), (P) O1A
Vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P): nP O A (2; 0; 4)1
Phương trình mp(P): 2(x – 1) + 0(y – 2) – 4(z – 0) = x 2z – =
Phương trình tham số OA:
x t y t z
x
y z
O
A B
B1
(50)Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –
N = (P) OA ta có hệ
x 2z x t y z x y z
N(1; 0; 0)
Phương trình tham số OA1:
x t
y t
z 2t
K = OA1 (P) ta có hệ
x 2z x t y z 2t x y z
K 1; 0;
3 2
1 2
KN (0 0)
3 3
Bài 12:
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) mặt phẳng (P): x + y + z = Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C có tâm thuộc mặt phẳng (P)
Giải
Gọi I(x; y; z) tâm mặt cầu Giả thiết cho
2 2
IA IB IC
I (P)
2 2 2
2 2 2
x y z x y z
x y z x y z
x y z
2x 2z x
2x 2y y I (1; 0; 1)
x y z z
Bán kính R = IB = Vậy phương trình mặt cầu là: x 1 2y2 z 12 1
Bài 13: ĐỀ DỰ BỊ
Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x + 2y + z m2 3m = (m tham số)
mặt cầu (S): (x 1)2 + (y + 1)2 + (z 1)2 =
(51)tọa độ tiếp điểm mặt phẳng (P) mặt cầu (S)
Giaûi
Mặt cầu (S) có tâm I(1; 1; 1), bán kính R =
Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S): d(I, (P)) = R
2
2
m 3m
2 m 3m 4
m 3m
2
m 3m 10 m
m
m 3m (VN)
(P): 2x + 2y + z 10 = (1)
Gọi đường thẳng qua I (P) qua I (1; 1; 1) anp (2; 2; 1) Phương trình tham số :
x 2t (2)
y 2t (3)
z t (4)