UBND HUYỆN TAM DƯƠNG PHÒNG GD&ĐT KÌ THI KHẢO SÁT HSG LỚP 9 VÒNG 1 Năm học: 2010-2011 Môn: Toán Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề Câu 1.(2,0 điểm) a) Cho hàm số y=ax+b. Biết f(1) ≤ f(2); f(5) ≥ f(6) và f(999)=1000. Tính f(2010). b) Ru ́ t go ̣ n biê ̉ u thư ́ c: 2 2 2 2 2 2 2( )( )A x y x x y y x y= + − + − + + . vơ ́ i mo ̣ i , 0.x y > Câu 2.(2,0 điểm) a) Chứng minh rằng 2 1a a+ − không chia hết cho 25 với mọi số nguyên a . b) Tìm các số nguyên dương ,x y khác nhau sao cho: y x x y= . Câu 3.(2,0 điểm) a) Giải phương trình 2 3 2 1 4x x x− = − − . b) Giải phương trình nghiệm nguyên 4 5 7.x y+ = Câu 4.(1,5 điểm) Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn 1a b c + + = . Chứng minh rằng 1a bc b ca c ab ab bc ca+ + + + + ≥ + + + . Câu 5.(2,5 điểm) Cho nửa đường (O, R) đường kính AB, bán kính OC vuông góc với AB. M là điểm di chuyển trên nửa đường tròn (O) ( M khác A và B). Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại M cắt OC, cắt tiếp tuyến tại A và cắt tiếp tuyến tại B của nửa đường tròn (O) lần lượt tại D, E và H. Gọi F là giao điểm của AE và BD. a) Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn (O) để diện tích tứ giác ABHE là nhỏ nhất. b) Chứng minh EA. EF= 2 4 AB . ====HẾT==== Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh SBD: . 1 ĐỀ CHÍNH THỨC H ƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2010-2011 MÔN: TOÁN 9 ( Đáp án có 3 trang) Câu Nội dung chính Điểm 1 a) Vì f(1) ≤ f(2) nên a ≥ 0 (1) f(5) ≥ f(6) nên a ≤ 0 (2) Từ (1) và (2) suy ra a=0 Do đó f(2010)=f(999)=1000 0,5 0,5 b) 2 2 2 2 2 2 2( )( )A x y x x y y x y= + − + − + + = 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 .( ) 2x y x y x y xy x y= + − + + + + + 2 2 2 2 2 ( )x y x y x y   = + − + + +   2 2 2 2 ( )x y x y x y x y= + − + + + = + (vì 2 2 x y x y+ > + ) 0,25 0,5 0,25 2 a) 2 1N a a= + − = ( 2)( 3) 5a a− + + Vì ( 2) ( 3) 5a a− − + = − chia hết cho 5 nên 2; 3a a− + hoặc cùng chia hết cho 5 hoặc cùng không chia hết cho 5 *Nếu 2; 3a a− + cùng chia hết cho 5 thì ( 2)( 3)a a− + chia hết cho 25 mà 5 không chia hết cho 25 suy ra N không chia hết cho 25. *Nếu 2; 3a a− + cùng không chia hết cho 5 thì ( 2)( 3)a a− + không chia hết cho 5 ( do 5 là số nguyên tố) suy ra N không chia hết cho 5, do đó N không chia hết cho 25. Vậy N không chia hết cho 25 với mọi số nguyên a . 0,25 0,25 0,25 0,25 1 b) Giả sử 1 x y≤ < . Chia cả hai vế của PT cho x x ta được: x y x x y x x − = Vì x x y xM mà x là số nguyên dương nên y xM . Đặt y kx= (k , 2N k∈ ≥ ) Theo bài ra ta có 1 ( ) ( ) ( ) kx x k x x k k x kx x kx x kx x k − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = (1) Ta thấy 2x ≥ (vì nếu 1x = thì 1k = ). Do đó 1 1 2 k k x − − ≥ (2) Từ (1) và (2) suy ra 1 2 k k − ≥ nên 2 2 k k ≥ (3) Dễ thấy 3k ≥ thì bất đẳng thức (3) không xảy ra. Do đó 2.k = Thay 2k = vào (1) ta được 2x = 2.2 4y⇒ = = . Thử lại 2; 4x y= = thỏa mãn đề bài. Vì vai trò của x, y như nhau vậy ( ,x y ) ( ) ( ) { } 2;4 , 4;2∈ . 0,25 0,25 0,25 0,25 3 a) ĐKXĐ: 1.x ≥ 2 2 3 2 1 4 ( 4 4) ( 1 2 1 1) 0x x x x x x x− = − − ⇔ − + + − − − + = 2 2 ( 2) ( 1 1) 0x x⇔ − + − − = 2 0 2( / ) 1 1 0 x x T m x − =   ⇔ ⇔ =  − − =   Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 2x = . 0,5 0,5 b) 7 4 5 5 2 2 4 5 7 1 5 5 5 x x x x x y y x − − + + + + = ⇔ = = = − + Đặt 2 . 5 x t t Z + = ⇒ ∈ Do đó 5 2 3 4x t y t= − ⇒ = − . Vậy nghiệm của phương trình là 5 2 ( ) 3 4 x t t Z y t = −  ∈  = −  0,5 0,5 4 Vì 1a b c + + = , nên áp dụng BĐT Cauchy ta có: 2 +b+c 2 1 2b c bc a a bc a bc+ ≥ ⇔ ≥ + ⇔ ≥ + 2 2 2 2a a a bc a bc a a bc bc⇔ ≥ + ⇔ + ≥ + + ( ) 2 a bc a bc a bc a bc⇔ + ≥ + ⇔ + ≥ + (1) Chứng minh tương tự ta có: b ca b ca+ ≥ + (2) c ab c ab+ ≥ + (3) Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được a bc b ca c ab a b c ab bc ca+ + + + + ≥ + + + + + 0,25 0,5 0,25 2 Hay 1a bc b ca c ab ab bc ca+ + + + + ≥ + + + . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 . 3 a b c= = = 0,5 5 a) Ta có AE//BH( cùng vuông góc với AB) nên tứ giác ABHE là hình thang vuông. Do đó ( ). . 2 2 ABHE AE BH AB EH AB S + = = (theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau). ABHE S nhỏ nhất EH⇔ nhỏ nhất EH BH ABHE⇔ ⊥ ⇔ là hình chữ nhật ⇔ M là điểm chính giữa của cung AB. Vậy Min 2 2 ABHE S R= ⇔ M C≡ . 0,5 0,5 b) Xét hình thang ABHE có OA=OB, OD//AE//BF DE DF ⇒ = F= ( ) F=BHDE DHB g c g E⇒ − − ⇒V V mà ;BH HM EA EM= = (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Suy ra . F=EM.MHAE E (1) Lại có OE là tia phân giác của · AOM ; OH là tia phân giác của · BOM mà · AOM và · BOM là hai góc kề bù nên · 0 90EOH = . Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác EOH vuông tại H ta có 2 2 . 4 AB EM MH OM= = (2) Từ (1) và (2) suy ra 2 . F 4 AB AE E = . 0,5 0,5 0,5 A F C O B E H M D 3 . HUYỆN TAM DƯƠNG PHÒNG GD&ĐT KÌ THI KHẢO SÁT HSG LỚP 9 VÒNG 1 Năm học: 2 010 -2 011 Môn: Toán Thời gian: 15 0 phút không kể thời gian giao đề Câu 1. (2,0. HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2 010 -2 011 MÔN: TOÁN 9 ( Đáp án có 3 trang) Câu Nội dung chính Điểm 1 a) Vì f (1) ≤ f(2) nên a ≥ 0 (1) f(5) ≥ f(6) nên a ≤ 0 (2) Từ (1)