SỞ GD& ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG ĐỀ KHẢO SÁT CHUYÊN ĐỀ NĂM HỌC 2010 − 2011 MÔN: TOÁN 12 KHỐI A Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 (2.0 điểm). Cho hàm số 2 1 1 x y x + = − 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Với điểm M bất kỳ thuộc đồ thị (C) tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B. Gọi I là giao điểm hai tiệm cận . Tìm vị trí của M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 2 (2.0 điểm ). 1. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 cos . cos 1 2 1 sin . sin cos x x x x x − = + + . 2. Giải hệ phương trình: 2 ( 3)( ) 0 2 6 x x y y xy x  − − + =   + =   Câu 3 (2.0 điểm). 1. Tìm các số tự nhiên m, n thoả mãn: 2 2 1 3 1 9 19 C C A 2 2 P 720 m m n m n − + −  + + <    =  2. Giải phương trình: 2 2 2 1 2 2 2 9.2 2 0 x x x x+ + + − + = Câu 4 (2.0 điểm). 1. Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Biết đường thẳng MN tạo với mặt đáy góc 30 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 2. Cho các số x, y, z > 0 thoả mãn: x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 3 3 x y z P x yz y zx z xy = + + + + + Câu 5 (2.0 điểm). 1. Cho phương trình: 3 2 1 2 2 log ( 6 ) 2log ( 14 29 2) 0mx x x x− + − + − = Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt. 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A. Biết đỉnh B(1; 1) và đường tròn đường kính AB là (C): 2 2 4 2 4 0x y x y+ − − + = cắt cạnh BC tại H sao cho BC = 4BH. Tìm tọa độ đỉnh A và C. −−−−−−−−−−−−−HẾT−−−−−−−−−−−−− Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh: .SBD: . HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM MÔN TOÁN 12 KHỐI A C©u Néi dung §iÓm C©u1 1. TXĐ: R\{1} + Sự biến thiên: Giới hạn và tiệm cận: 1 2 1 lim lim 2; lim 1 x x x x y y x ± →±∞ →±∞ → + = = = ±∞ − ⇒ Đồ thị hàm số có TCĐ là x = 1; TCN: y = 2 2 3 ' 0 ( 1) y x = − < − ⇒ Hàm số nghịch biến trên TXĐ 0.5 BBT x −∞ 1 +∞ y" − − y 1 +∞ −∞ 1 0.25 §å thÞ: 0.25 2. Gọi 0 0 3 ;2 1 M x x   +  ÷ −   ∈(C). Tiếp tuyến d tại M có dạng: 0 2 0 0 3 3 ( ) 2 1 ( 1) y x x x x − = − + + − − 0.25 Các giao điểm của d với 2 tiệm cận: A 0 6 1;2 1 A x   +  ÷ −   , B(2x 0 –1; 2). 0.25 S ∆ IAB = 6 (không đổi) ⇒ chu vi ∆IAB đạt giá trị nhỏ nhất khi IA= IB ⇔ 0 0 0 0 1 3 6 2 1 1 1 3 x x x x  = + = − ⇒  − = −   ⇒ ( ) 1 1 3;2 3M + + , M 2 ( 1 3;2 3− − ) 0.5 C©u 2 ĐK: sin cos 0x x+ ≠ Khi đó phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 sin cos 1 2 1 sin sin cosx x x x x⇔ − − = + + ( ) ( ) 1 sin 1 cos sin sin .cos 0x x x x x⇔ + + + + = 0.5 ( ) ( ) ( ) 1 sin 1 cos 1 sin 0x x x⇔ + + + = sin 1 2 2 cos 1 2 x x k x x m π  = − = − + π   ⇔ ⇔   = −  = π+ π  0.25 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: 2 2 x k π = − + π và 2x m = π+ π ( ) ,k m∈ Z 0.25 2/. Hệ tương đương với: 2 2 ( 3)( ) 0 2 ( ) (1) 2(3 ) 2(3 ) (2) x x y y y x y xy xy x xy x   − − + = = −   ⇔   = − = −     0.25 Giải (1) ta có: y = 0 ⇒ x = 3 Nếu y ≠ 0, (1) ⇔ 2y = (x − y)x = x 2 + 2x − 6 (theo (2)) 0.25 Thế vào (2) ta có: x(x 2 + 2x − 6) = 4(3 − x) ⇔ x 3 + 2x 2 − 2x − 12 = 0 ⇔ x = 2 ⇒ y = 1 0.25 Vậy hệ đã cho có 2 hệ nghiệm: (x, y) = (3; 0), (2; 1) 0.25 C©u 3 1/. Điều kiện: n, m∈N, m ≥ 1. Từ P n − 1 = 720 ⇒ n = 7 0.25 Ta có: 2 2 1 3 9 19 ! ( 3)! 9 19 ! C C A . 2 2 2( 2)! 2( 1)! 2 2 ( 1)! m m n m m n m m n m − + + + + < ⇔ + + < − + − 2 ( 1) ( 2)( 3) 9 19 20 99 0 9 11m m n n m m m m− + + + + < ⇔ − + < ⇔ < < ⇔ m = 10 0.5 KL: Hệ có nghiệm m = 10, n = 9 0.25 2/. Chia cả 2 vế phương trình cho 2 2 2 0 x+ ≠ ta được: 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 9 2 9.2 1 0 .2 .2 1 0 2 4 x x x x x x x x− − − − − − − + = ⇔ − + = 2 2 2 2 2.2 9.2 4 0 x x x x− − ⇔ − + = 0.5 Đặt 2 2 x x t − = điều kiện t>0 Khi đó phương trình tương đương với: 2 2 2 2 1 4 2 2 2 9 4 0 1 2 2 2 x x x x t t t t − − − =   =   − + = ⇔ ⇔  =  =   0.25 2 2 2 1 2 1 x x x x x x  − = = −  ⇔ ⇔   = − = −    Vậy phương trình có 2 nghiệm x=-1, x=2. 0.25 C©u 4 Câu 4 Gọi O là tâm hình vuông và I là trung điểm AO. Ta có: MI // SO ⇒ MI ⊥ (ABCD) ⇒ · 0 30INM = 0.5 Trong ∆CIN có 2 2 2 2 0 5 2 . .cos 45 8 a IN IC NC IC NC= + − = 0 30 2 2 .tan30 6 a SO MI NI⇒ = = = . Thể tích khối chóp SABCD là 3 30 18 a V = 0.5 2. Ta có: 3 2 2 2 2 2 2 2 x yz x x yz x yz x x x x yz x yz xyz = − ≥ − = − + + Tương tự: 3 3 2 2 ; 2 2 z xy y y zx z y z y zx z xy ≥ − ≥ − + + 0.5 Vậy 2 2 2 1 ( ) ( ) 2 P x y z x y z xyz≥ + + − + + Mà: 3 2 2 2 2 2 1 ( ) 3; 1 3 3 x y z x y z x y z xyz + +   + + ≥ + + = ≤ =  ÷   . Nên 3 2 P ≥ . Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z = 1. 0.5 Câu V Ta có phương trình đã cho tương đương với : 2 3 2 2 2 3 2 14 29 2 0 log ( 6 ) log ( 14 29 2) 6 14 29 2 x x mx x x x mx x x x  − + − >  − = − + − ⇔  − = − + −   0.25 3 2 1 2 14 6 14 29 2 (1) x x x x m x  < <   ⇔  − + −  =   0.25 Xét hàm số 3 2 6 14 29 2 ( ) x x x f x x − + − = trên 1 ;2 14    ÷   Lập Bảng biến thiên 0.25 Căn cứ vào BBT ta có giá trị m cần tìm: 39 19 2 m< < 0.25 2/. Đường tròn (C) có tâm I(2; 1), bán kính R = 1 0.25 Vì I là trung điểm AB nên A(3; 1) 0.25 Phương trình cạnh AC là: x = 3 Gọi J là trung điểm BC. Vì BC = 4BH nên IH là đường trung bình của ∆BJA ⇒ AJ = 2IH = 2 ⇒ ∆ABJ đều ⇒ BH = 1; BC = 4 0.25 Gọi C(3; c) ⇒ 2 2 4 ( 1) 16 1 2 3BC c c= + − = ⇔ = ± Vậy có hai điểm C cần tìm là ( ) ( ) 3; 1 2 3 , 3; 1 2 3C C+ − 0.25 . PHÚC TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG ĐỀ KHẢO SÁT CHUYÊN ĐỀ NĂM HỌC 2010 − 2011 MÔN: TOÁN 12 KHỐI A Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 (2.0. sao cho BC = 4BH. Tìm tọa độ đỉnh A và C. −−−−−−−−−−−−−HẾT−−−−−−−−−−−−− Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh: .SBD: .