Khoa KTMT Vũ Đức Lung 1 Chương 2: ĐẠI SỐ BOOLE  Các tiên đề (Axioms)  Các định lý cơ bản (Basic Theorems)  Hàm Boole (Boolean Function)  Dạng chính tắc và dạng chuẩn của hàm Boole  Rút gọn hàm Boole – Phương pháp đại số – Phương pháp bìa KARNAUGH – Phương pháp phức hợp khối – Phương pháp Mc.Cluskey Khoa KTMT Vũ Đức Lung 2 Các tiên đề (Axioms)  Phần tử đồng nhất (Identity Element): - Với phép toán OR, phần tử đồng nhất là 0: x + 0 = 0 + x = x - Với phép toán AND, phần tử đồng nhất là 1: x . 1 = 1 . x = x  Tính giao hoán (Commutative Property): x + y = y + x x . y = y . x  Tính phân bố (Distributive Property): x + ( y . z ) = ( x + y ) . ( x + z ) x . ( y + z ) = x . y + x . z  Phần tử bù (Complement Element): x’ hoặc x x + x = 1 x . x = 0 Khoa KTMT Vũ Đức Lung 3 Các định lý cơ bản (Basic Theorems)  x = x  x + x = x  x . x = x  x + 1 = 1  x . 0 = 0  x + x . y = x  x . (x + y) = x  x + (y + z) = (x + y) + z  x . (y . z) = (x . y) . z Khoa KTMT Vũ Đức Lung 4 Các định lý cơ bản (Basic Theorems) (tt)  Định lý De Morgan – x + y = x . y – Mở rộng: x1 + x2 + + xn = x1 . x2 xn – x . y = x + y – x1 . x2 xn = x1 + x2 + + xn  Tính đối ngẫu (Duality): Hai biểu thức được gọi là đối ngẫu của nhau khi ta thay phép toán AND bằng OR, phép toán OR bằng AND, 0 thành 1 và 1 thành 0.  Thứ tự phép toán: – theo thứ tự dấu ngoặc (), NOT, AND, OR Khoa KTMT Vũ Đức Lung 5 Hàm Boole (Boolean Function)  Bù của 1 hàm: Có 2 cách xác định – Sử dụng định lý De Morgan: Vd: F = x . y + x’ . y’ . z F’ = ( x . y + x’ . y’ . z )’ = ( x . y )’ . ( x’ . y’ . z )’ = ( x’ + y’ ) . ( x + y + z’ ) – Lấy biểu thức đối ngẫu và lấy bù các biến: Vd: F = x . y + x’ . y’ . z Lấy đối ngẫu: ( x + y ) . ( x’ + y’ + z ) Bù các biến: F’ = ( x’ + y’ ) . ( x + y + z’ ) Khoa KTMT Vũ Đức Lung 6 Dạng chính tắc và dạng chuẩn của hàm Boole  Tích chuẩn (minterm): mi (0 ≤ i < 2n-1) là các số hạng tích (AND) của n biến mà hàm Boole phụ thuộc với quy ước biến đó có bù nếu nó là 0 và không bù nếu là 1.  Tổng chuẩn (Maxterm): Mi (0 ≤ i < 2n-1) là các số hạng tổng (OR) của n biến mà hàm Boole phụ thuộc với quy ước biến đó có bù nếu nó là 1 và không bù nếu là 0 Khoa KTMT Vũ Đức Lung 7 Dạng chính tắc (Canonical Form)  Dạng chính tắc 1: là dạng tổng của các tích chuẩn_1 (minterm- _1 là minterm mà tại tổ hợp đó hàm Boole có giá trị 1). F (x, y, z) = x’ y’ z + x’ y z + x y’ z’ = m1 + m3 + m4 = Σ (1 , 3 , 4) Khoa KTMT Vũ Đức Lung 8 Dạng chính tắc (Canonical Form) (tt)  Dạng chính tắc 2: là dạng tích của các tổng chuẩn_0 (Maxterm-_0 là Maxterm mà tại tổ hợp đó hàm Boole có giá trị 0). F (x, y, z) = (x + y + z)(x + y’+ z)(x’+ y + z’)(x’+ y’+ z)(x’+ y’+ z’) = M0 . M2 . M5 . M6 . M7 = Π (0 , 2 , 5 , 6 , 7)  Trường hợp tùy định (don’t care) Hàm Boole theo dạng chính tắc: F (A, B, C) = Σ (2, 3, 5) + d(0, 7) = Π (1, 4, 6) . D(0, 7) A B C F 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 X 0 1 1 0 1 0 X Khoa KTMT Vũ Đức Lung 9 Dạng chuẩn (Standard Form)  Dạng chuẩn 1: là dạng tổng các tích (S.O.P – Sum of Product) Vd: F (x, y, z) = x y + z Ta có thể chuyển về dạng chính tắc 1 bằng cách thêm vào các cặp không phụ thuộc dạng (x+x) hoặc dạng chính tắc 2 bằng x.x  Dạng chuẩn 2: là dạng tích các tổng (P.O.S –Product of Sum) Vd: F (x, y, z) = (x + z ) y Ta có thể chuyển về dạng chính tắc 1 hoặc dạng chính tắc 2 Khoa KTMT Vũ Đức Lung 10 Rút gọn hàm Boole  Mục đích cần đạt: – Biểu thức có chứa ít nhất các thừa số và mỗi thừa số chứa ít nhất các biến. – Mạch logic thực hiện có chứa ít nhất các vi mạch số.  Phương pháp đại số Vd: F (A, B, C) = Σ (2, 3, 5, 6, 7) = B + A C ?  Phương pháp bìa KARNAUGH  Phương pháp phức hợp khối  Phương pháp Mc.Cluskey [...]... implicant) 1 2 3 1 1 3 - Implicant cơ bản phụ thuộc - Phủ tối thiểu (minimal cover)  Vd1: F (A, B) = Σ (0, 2) + d (3) = Π (1) D (3)  Vd2: F (A, B, C) = Σ (2, 4, 7) + d(0,1) = Π (3, 5, 6) D(0, 1)  Vd3: F (A, B, C, D) = Σ (1, 3, 9, 11, 12, 13, 14, 15) + d(0, 4, 8) Khoa KTMT Vũ Đức Lung 11 Phương pháp bìa KARNAUGH (tt)  Bìa K năm biến và 6 biến F A DE 0 1 00 01 11 10 10 11 01 00 00 0 1 3 2 18 19 17... KARNAUGH (tt)  Bìa K năm biến và 6 biến F A DE 0 1 00 01 11 10 10 11 01 00 00 0 1 3 2 18 19 17 16 01 4 5 7 6 22 23 21 20 11 12 13 15 14 30 31 29 28 10 8 9 11 10 26 27 25 24 BC  VD: F(A,B,C,D,E)= Σ (0,5,6,8,9,10,11,16,20,24,25,26,27,29 ,31 )  VD: F(A,B,C,D,E,F)= Σ (0,5,7,8,9,12, 13, 23, 24,25,28,29 ,37 ,40,42,44,46,55,56,57,60,61) Khoa KTMT Vũ Đức Lung 12 Phương pháp bìa KARNAUGH (tt)  Rút gọn hàm cho dưới... implicant cơ bản dựa vào định lý liền kề – Tìm phủ tối thiểu các implicant cơ bản: implicant cơ bản chủ yếu và implicant cơ bản phụ thuộc  Vd1:f(A,B,C,D)= Σ (10,11, 13, 15)  VD2: f(x5,x4,x3,x2,x1) = Σ (0,1,2,4,7,10,15,16,17,18, 23, 31) + d (3, 9,19,20,25,26) Khoa KTMT Vũ Đức Lung 15 Phương pháp Mc.Cluskey (tt)  Dùng ký hiệu ô – VD: f(A,B,C,D)= Σ (0,1,4,5,7,12,14,15)  Các bước thực hiện: – Xây dựng bảng... nhiên, ta có thể đưa thẳng lên bìa K – Vd: F(A, B, C, D) = A B D + B C + B C D + A B C D – Vd: Khoa KTMT Vũ Đức Lung 13 Phương pháp phức hợp khối  F(x3,x2,x1)= Σ (2,5,6,7)+d (0,1,4)  Phức hợp khối của hàm F K=L∩N L - Phức hợp khối của hàm có trị =1 N - Phức hợp khối của hàm không xác định x3 100 110 101 111 x2 000 001 010 011 x1 Khoa KTMT Vũ Đức Lung 14 Phương pháp Mc.Cluskey  Tương tự như với bìa Karnaugh... C, D) = Π (0, 4, 8, 9, 12, 13, 15)  F(A, B, C, D) = Π (0, 2, 3, 4, 6, 10, 14) D (7, 8, 9, 11, 12)  Đơn giản hàm Logic 4 biến – a) f ( A, B, C , D) = ABC D + A BCD + A B C + AC + AB C + B – b) f ( A, B, C , D) = ( A + B + C + D ).( A + C + D ).( A + B + C + D ).( B + C ) ( B + C ).( A + B ).( B + D )  Đơn giản hàm Logic 4 biến dùng bìa K và Mc.Cluskey – F(A,B,C,D)= Σ (1 ,3, 4,5,6,8,9,10,14)  Đơn giản... B ).( B + D )  Đơn giản hàm Logic 4 biến dùng bìa K và Mc.Cluskey – F(A,B,C,D)= Σ (1 ,3, 4,5,6,8,9,10,14)  Đơn giản hàm Logic 6 biến dùng bìa K và Mc.Cluskey – F(A,B,C,D,E,F)= Σ (0,5,7,8,9,12, 13, 23, 24,25,28,29 ,37 ,40,42,44,46,55,56,57,60,61) Khoa KTMT Vũ Đức Lung 17 . (0, 2) + d (3) = Π (1) . D (3)  Vd2: F (A, B, C) = Σ (2, 4, 7) + d(0,1) = Π (3, 5, 6) . D(0, 1)  Vd3: F (A, B, C, D) = Σ (1, 3, 9, 11, 12, 13, 14, 15). (0,5,6,8,9,10,11,16,20,24,25,26,27,29 ,31 )  VD: F(A,B,C,D,E,F)= Σ (0,5,7,8,9,12, 13, 23, 24,25,28,29 ,37 ,40,42,44,46,55,56,57,60,61) DE BC F 00 01 1 5 0 00 4 01 11 10 2 6 3 7 13 9 12 11