Sắp chữ LATEX Trần Văn Toàn, Giáo viên trường THPT chuyên Lương Thế Vinh, Biên Hoà, Đồng Nai Phép dời hình phép đồng dạng mặt phẳng 1.1 Phép biến hình Định nghĩa 1.1 Trong mặt phẳng, cho điểm M Quy tắc đặt tương ứng với điểm M với điểm M gọi phép biến hình Điểm M gọi ảnh M qua phép biến hình Nếu F phép biến hình M ảnh M qua phép biến hình F , ta kí hiệu f (M ) = M Khi đó, ta cịn nói phép biến hình F biến điểm M thành điểm M Ví dụ 1.1 Cho điểm M vectơ #» v Quy tắc đặt tương ứng với điểm M điểm M cho # »0 #» M M = v phép biến hình Định nghĩa 1.2 Cho hình H , với điểm M ∈ H , gọi M ảnh M qua phép biến hình F Tập hợp điểm M tạo nên hình H Khi đó, H gọi ảnh H qua qua phép biến hình F Kí hiệu F (H ) = H 1.2 Phép dời hình Định nghĩa 1.3 Phép biến hình F gọi phép dời hình bảo tồn khoảng cách hai điểm Tức là, F (A) = A0 F (B) = B , A0 B = AB 1.3 Phép tịnh tiến Định nghĩa 1.4 Trong mặt phẳng cho vectơ #» v Quy tắc đặt tương ứng với điểm M với điểm # »0 #» M cho M M = v gọi phép tịnh tiến mặt phẳng theo vectơ #» v ký hiệu T #»v # » T #» (M ) = M ⇔ M M = #» v v Nhận xét a) M = T #»v (M ) ⇔ M = T− #»v (M ) # » # » b) M = T #»v (M ), N = T #»v (N ) ⇔ M N = M N c) Chỉ có phép tịnh tiến theo vectơ - khơng biến điểm A thành Định lí 1.1 Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M N thành hai điểm M N , M N = M N Nói cách khác, phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách hai điểm Định lí 1.2 Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo toàn thứ tự chúng Hệ 1.1 Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hay trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó, biến tam giác thành tam giác biến đường trịn thành đường trịn có bán kính, biến góc thành góc 1.4 Biểu thức toạ độ phép tịnh tiến Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho phép tịnh tiến theo vectơ #» v = (a; b) Giả sử M (x; y) biến thành 0 M (x ; y ) Khi đó, ta có  x0 = x + a, y = y + b #» 1.1 Qua phép tịnh tiến theo vectơ #» u 6= , đường thẳng d biến thành đường thẳng ∆ Trong trường hợp d trùng với ∆? d song song với ∆? d cắt ∆? 1.2 Cho hai đường thẳng song song a b Tìm tất phép tịnh tiến biến a thành b 1.3 Cho hai phép tịnh tiến T u#» T #»v Với điểm M bất kì, T u#» biến M thành M , T #»v biến M thành M 00 Chứng tỏ phép biến hình biến điểm M thành điểm M 00 phép tịnh tiến 1.4 Cho phép tịnh tiến theo vectơ #» u biến điểm A(3; 2) thành điểm A0 (2; 3) Tìm ảnh điểm B(2; 5) qua phép tịnh tiến theo vectơ #» u 1.5 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm M (−2; −5), đường thẳng ∆ : 2x + 3y − = 0, đường tròn (C ) : x2 + y − 2x + 6y + = Tìm ảnh M , ∆ (C ) qua phép tịnh tiến theo vectơ #» v = (2; −3) Đáp số M (0; −8); ∆0 : 2x + 3y + = (C ) : x2 + y − 6x + 12y + 36 = 1.6 Tìm ảnh parabol y = x2 qua phép tịnh tiến theo vectơ #» v = (2; −3) Đáp số y = x2 − 4x + 1.7 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; 1), B(4; 0) hai đường thẳng d1 : 3x + y + = 0, d2 : 2x + 5y − = Tìm đường thẳng d1 , d2 điểm C, D cho tứ giác ABCD hình bình hành Đáp số C(−1; 1) D(−3; 2) 1.8 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C ) qua gốc toạ độ có tâm I(1; −2) a) Viết phương trình đường trịn (C ) Tìm toạ độ điểm A giao điểm (khác gốc toạ độ O) (C ) trục tung b) Gọi M điểm di động đường trịn (C ) Tìm tập hợp trực tâm H tam giác OAM 1.9 Cho hai điểm B, C cố định đường trịn (C ), tâm O, bán kính R điểm A, thay đổi đường trịn Chứng minh trực tâm H tam giác ABC nằm đường tròn cố định 1.10 Cho đường tròn (O; R) hai điểm A, B đường tròn cho số đo cung AB nhỏ # » 180◦ Gọi (O0 ; R) ảnh (O; R) B ảnh B qua phép tịnh tiến theo 2OA Chứng minh \0 = 90◦ BAB # » # » # » # » 1.11 Cho tam giác ABC Với điểm M , ta dựng điểm N cho M N = M A + 2M B − M C Tìm tập hợp điểm N M thay đổi đường thẳng d 1.12 Cho trước điểm A, đường thẳng d không qua A Trên d ta đặt đoạn thẳng BC = a (a độ dài cho trước) Tìm vị trí đoạn BC để AB + AC nhỏ 1.13 Trong số tứ giác lồi có độ dài hai đường chéo m, n cho trước góc tạo hai đường chéo α cho trước, tứ giác có chu vi nhỏ nhất? Trả lời Hình bình hành 1.14 Where should we construct bridge M N though the river that separates villages A and B so that the path AM N B from A to B was the shortest one? (The blanks of the river are assumed to be parallel lines and the bridge perpendicular to the blanks.) 1.15 Consider triangle ABC Point M inside the triangle moves parallel to the side BC to its intersection with side CA, then parallel to AB to its intersection with BC, then parallel to AC to its intersection with AB, and so on Prove that after a number of steps the trajectory of the point M becomes a closed one Cho tam giác ABC điểm M nằm miền tam giác Cho điểm M di chuyển đường thẳng song song với cạnh BC đến giao điểm đường thẳng song song cạnh AC Sau đó, M di chuyển đường thẳng song song với cạnh AB đến giao điểm đường thẳng song song cạnh BC Lại cho M di chuyển đường thẳng song song với cạnh AC đến giao điểm đường thẳng song song cạnh AB Quá trình di chuyển điểm M tiếp tục Chứng minh rằng, sau số bước, đường quỹ đạo điểm M đường khép kín Các đề Tốn tiếng Anh tài liệu trích từ “Problems in plane and solid”, V.1, Plane Geometry, Viktor Prasolov Tôi tạm dịch Rất mong nhận góp ý người Chân thành cám ơn 1.16 Let K, L, M and N be the midpoints of sides AB, BC, CD and DA, respectively, of a convex quadrilateral ABCD a) Prove that KM (BC + AD) b) For given lengths of the sides of quadrilateral ABCD, find the maximal value of the lengths of the segments KM and LN Cho tứ giác lồi ABCD Gọi K, L, M N trung điểm cạnh AB, BC, CD DA a) Chứng minh KM (BC + AD) b) Cho biết độ dài cạnh tứ giác ABCD, tìm giá trị lớn đoạn thẳng KM LN 1.17 In trapezoid ABCD, sides BC and AD are parallel, M the intersection point of the b and B, b and N the intersection point of the bisectors of angles C b and D b bisectors of angles A Prove that 2M N = |AB + CD − BC − AD| Cho hình thang ABCD có cạnh BC AD song song Gọi M giao điểm b B, b N giao điểm đường phân giác góc đường phân giác góc A b D b Chứng minh C 2M N = |AB + CD − BC − AD| 1.18 From vertex B of parallelogram ABCD heights BK and BH are draw It is known that KH = a and BD = b (b > a) Find the distance from B to the intersection point of the heights of the triangle BHK Từ đỉnh B hình bình hành ABCD kẻ đường cao BK BH Biết KH = a BD = b (b > a) Tìm khoảng cách từ B đến trực tâm tam giác BHK 1.19 In the unit square a figure is placed such that the distance between any two of its points is not equal to 0.001 Prove that the area of this figure does exceed a) 0.34; b) 0.287 Cho hình H Lấy H hai điểm cho khoảng cách chúng khác 0.001 Chứng minh diện tích hình H khơng vượt q a) 0.34; b) 0.287 1.20 Consider two circles S1 , S2 and the line ` Draw `1 so that: a) the distance between the intersections points of `1 with circles S1 and S2 is a given value a; b) S1 and S2 intercept on `1 equal chords; c) S1 and S2 intercept on `1 the sum (or difference) of whose lengths is equal to a given value Cho hai đường tròn S1 , S2 đường thẳng ` Dựng đường thẳng `1 cho a) khoảng cách giao điểm `1 với đường tròn S1 S2 giá trị a cho trước; b) S1 S2 chắn `1 dây cung nhau; c) S1 S2 chắn `1 dây cung mà tổng độ dài chúng giá trị cho trước 1.21 Consider nointersecting chords AB and CD on a circle Contruct a point X on the circle so that chords AX and BX would intercept on chord CD a segment, EF, of a given length a Cho đường tròn (C ) dây cung không cắt AB CD (C ) Dựng điểm X (C ) cho dây cung AX BX cắt dây cung CD theo đoạn thẳng EF có độ dài a (a cho trước) 1.22 Given point A and two circles S1 , S2 Though A draw line ` so that S1 and S2 intercept on `1 equal chords Cho điểm A đường tròn S1 , S2 Qua A dựng đường thẳng ` cho S1 S2 chắn `1 dây cung Phép đối xứng tâm Định nghĩa 2.1 Cho điểm O Phép đối xứng tâm, kí hiệu ĐO phép biến hình biến điểm # » # » M thành điểm M cho OM = −OM # » # » ĐO (M ) = M ⇔ OM = −OM Điểm O gọi tâm đối xứng Nhận xét Phép đối xứng qua tâm O biến điểm O thành biến điểm M khác O thành điểm M cho O trung điểm đoạn thẳng M M # » # » Định lí 2.1 Cho ĐO (A) = A0 ĐO (B) = B Khi đó, AB = −A0 B Hệ 2.1 Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hay trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó, biến tam giác thành tam giác biến đường trịn thành đường trịn có bán kính, biến góc thành góc 2.1 Biểu thức toạ độ phép đối xứng tâm Trong hệ toạ độ Oxy cho điểm I(a; b) Nếu phép đối xứng tâm I biến điểm M (x; y) thành điểm M (x0 ; y )  x0 = 2a − x, y = 2b − y 2.2 Tâm đối xứng hình Định nghĩa 2.2 Điểm I gọi tâm đối xứng hình H phép đối xứng tâm I biến hình H thành 2.1 Tìm hình có vơ số tâm đối xứng 2.2 Tìm hình khơng có tâm đối xứng 2.3 Hình gồm hai đường thẳng cắt có tâm đối xứng? 2.4 Hình gồm hai đường thẳng song song có tâm đối xứng? 2.5 Cho hai đường thẳng d d0 cắt A điểm M không nằm hai đường thẳng Dựng đường thẳng qua M cắt d d0 điểm B, C cho M B = M C 2.6 Cho hai đường tròn (O) (O0 ) cắt A Hãy dựng đường thẳng d qua A cắt hai đường tròn thành hai dây cung có độ dài 2.7 Hãy dựng hình bình hành ABCD cho biết hai đỉnh A, C hai đỉnh đối diện B, D lại nằm đường trịn tâm O, bán kính R cho trước d điểm A thuộc miền góc Hãy dựng đường thẳng qua 2.8 Cho góc xOy A, cắt cạnh Ox B, cắt cạnh Oy C cho A trung điểm đoạn BC 2.9 Consider two concentric circles S1 and S2 Draw a line on which these circles intercept three equal segments Cho hai đường tròn đồng tâm S1 S2 Dựng đường thẳng cho đường thẳng cắt hai đường tròn S1 S2 thành ba đoạn thẳng 2.10 Prove that if in a triagle a median and a bisector coincide, then the triagle is an isosceles one Chứng minh tam giác có đường trung tuyến đường phân giác trùng nhau, tam giác tam giác cân 2.11 Cho đoạn thẳng AB hai tia Ax, By vng góc với AB nằm phía đường thẳng AB Xét hình thoi M N P Q có đỉnh M nằm đoạn AB, đỉnh P Ax, đỉnh Q By có góc nhọn đỉnh M 60◦ Tìm tập hợp đỉnh N 2.12 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm I(−1; 3), đường thẳng ∆ có phương trình 7x − 5y + = 0, đường trịn (C ) có phương trình x2 + y + 8x − 10y + = Tìm ảnh điểm M (4; 1), đường thẳng ∆ đường tròn (C ) qua phép đối xứng tâm I Đáp số M (−6; 5), ∆0 : 7x − 5y − 40 = 0; (C ) : (x + 4)2 + (y − 5)2 = 2.13 Two players lay out nickels on a rectangular table taking turns It is only allowed to place a coin onto an unoccupied place The loser is the one who can not make any move Prove that the first player can always win in finitely many moves 2.14 A circle intersects sides BC, CA, AB of a triangle ABC at points A1 and A2 , B1 and B2 , C1 and C2 , respecrively Prove that if the perpendiculars to the sides of the triangle drawn though A1 , B1 and C1 intersect at one point, then the perpendiculars to the sides of the triangle drawn though A1 , B1 and C1 also intersect at one point Một đường tròn cắt cạnh BC, CA, AB tam giác ABC theo thứ tự điểm A1 A2 , B1 B2 , C1 C2 Chứng minh đường cao tam giác kẻ từ điểm A1 , B1 C1 đồng quy, đường cao tam giác kẻ từ điểm A2 , B2 C2 đồng quy 2.15 Let P be the midpoint of side AB of convex quadrilateral ABCD Prove that if the area of a triangle P CD is equal to a half area of quadrilateral ABCD, then BC k AD Cho tứ giác lồi ABCD có P trung điểm cạnh AB Chứng minh diện tích tam giác P CD nửa diện tích tứ giác ABCD, BC k AD 2.16 Unit circles (C1 ) and (C2 ) are tangent at a point A; the center O of circle (C ) of radius belongs to (C1 ) Circle (C1 ) is tangent to circle (C ) at a point B Prove that the line AB passes through the intersection point of circle (C2 ) and (C ) Cho hai đường tròn đơn vị tiếp xúc với điểm A Gọi (C ) đường tròn tâm O, bán kính (O ∈ (C1 )) Đường tròn (C1 ) tiếp xúc với (C ) điểm B Chứng minh đường thẳng AB qua giao điểm (C2 ) (C ) [ = BCE \ = 30◦ , then 2.17 In triangle ABC medians AF and CE are drawn Prove that if BAF triangle ABC in an equilateral one [ = Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AF CE Chứng minh BAF \ = 30◦ , tam giác ABC tam giác BCE 2.18 Prove that the composition of two central symmetries is a parallel translation Chứng minh hợp thành hai phép đối xứng tâm phép tịnh tiến 2.19 Prove that the composition of a parallel translation with a central symmetry (in either order) is a central symmetry Chứng minh hợp thành phép tịnh tiến phép đối xứng tâm (hoặc phép đối xứng tâm phép tịnh tiến) phép đối xứng tâm 2.20 a) Prove that a bounded figure cannot have more than one center of symmetry b) Prove that no figure can have precisely two centers of symmetry c) Let M be a finite set of points on a plane Point O will be called an “almost center of symmetry” of the set M if we can delete a point so that O becomes the center of symmetry of the remaining set How many “almost center of symmetry” can a set have? a) Chứng minh hình bị chặn (hình kín) khơng thể có nhiều tâm đối xứng b) Chứng minh không tồn hình mà có hai tâm đối xứng c) Cho M tập hợp hữu hạn điểm mặt phẳng Điểm O gọi hầu tâm đối xứng tập hợp M ta xố điểm M O trở thành tâm đối xứng điểm lại M Hỏi có điểm hầu tâm đối xứng M ? 2.21 On segment AB, consider n pairs of points symmetric through the midpoint; n of these 2n points are painted blue and the remaining points are painted red Prove that the sum of distances from A to the blue points is equal to the sum of distances from B to the red points Trên đoạn thẳng AB, cho n (cặp) điểm đối xứng qua trung điểm đoạn thẳng AB; n điểm số 2n điểm sơn màu xanh Số điểm lại sơn màu đỏ Chứng minh tổng khoảng từ A đến điểm sơn màu xanh tổng khoảng từ B đến điểm sơn màu đỏ Phép đối xứng trục Định nghĩa 3.1 Phép đối xứng qua đường thẳng a, kí hiệu Đa , phép biến hình biến điểm M mặt phẳng thành điểm M cho • M 6∈ a, a đường trung trực đoạn thẳng M M • M ∈ a, M ≡ M Định lí 3.1 Phép đối xứng trục biến hai điểm M, N thành hai điểm M , N , M N = MN Định lí 3.2 Phép đối xứng trục biến ba điểm thành ba điểm thẳng hàng bảo toàn thứ tự chúng Hệ 3.1 Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó, biến tam giác thành tam giác biến đường trịn thành đường trịn có bán kính, biến góc thành góc 3.1 Phép đối xứng qua trục toạ độ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, • phép đối xứng qua trục Ox biến điểm M (x; y) thành điểm M (x; −y) • phép đối xứng qua trục Oy biến điểm M (x; y) thành điểm M (−x; y) Định nghĩa 3.2 Đường thẳng d gọi trục đối xứng hình H phép đối xứng qua trục d biến H thành b of triangle ABC point M distinct from C is taken 3.1 On the bisector of the exterior angle C Prove that M A + M B > CA + CB Trên đường phân giác ngồi góc C tam giác ABC lấy điểm M (M không trùng với C) Chứng minh M A + M B > CA + CB 3.2 The inscribed circle of a triangle ABC is tangent to sides AC and BC at points B1 and A1 , respectively Prove that if AC > BC, then AA1 > BB1 Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với với cạnh AC BC B1 A1 Chứng minh AC > BC, AA1 > BB1 3.3 Prove that the area of any convex quaddrilateral does not exceed a half sum of the products of opposite sides Chứng minh diện tích tứ giác lồi khơng vượt q nửa tổng tích cạnh đối diện 3.4 Given line ` and two points A and B on one side of it, find point X on line ` such that the length of segment AXB of the broken line was minimal Cho đường thẳng ` hai điểm A, B phía ` Tìm điểm X ` cho độ dài đường gấp khúc AXB nhỏ d điểm A thuộc miền góc Tìm cạnh Ox 3.5 Cho góc nhọn xOy điểm B cạnh Oy điểm C cho tam giác ABC có chu vi nhỏ 3.6 Inscribe a triangle of the least perimeter in a given acute triangle Dựng tam giác có chu vi nhỏ cho ba đỉnh tam giác nằm ba cạnh khác tam giác nhọn cho trước 3.7 Point M belongs to a diameter AB of a circle (C ) Chord CD pass through M and intesects AB at an angle of 45◦ Prove that the sum CM + DM does not depend on the choice of point M Cho đường tròn (C ), điểm M nằm đường kính AB (C ) Dây CD qua M hợp với AB góc 45◦ Chứng minh tổng CM + DM không phụ thuộc vào việc chọn điểm M 3.8 Through point M on base AB of an isosceles triangle ABC a line is drawn It intersects B1 B A1 A = sides CA and CB (or their extensions) at points A1 and B1 Prove that A1 M B1 M Cho tam giác cân ABC, cạnh đáy AB ta lấy điểm M , đường thẳng qua M cắt cạnh CA A1 A B1 B and CB (hoặc phần kéo dài cạnh) điểm A1 B1 Chứng minh = A1 M B1 M 3.9 Cho đường tròn (C ), đường thẳng ∆ hai điểm phân biệt A, B không thuộc chúng Xác định điểm C ∈ ∆, D ∈ (C ) cho tứ giác ABCD hình thang có hai đáy AB CD 3.10 Cho đường thẳng d hai điểm A, B nằm khác phía d Hãy dựng điểm C d [ nằm d cho tam giác ABC có đường phân giác góc ACB 3.11 Cho hai điểm A B cố định Với đường thẳng d qua B, ta dựng điểm A0 đối xứng với A qua d Tìm tập hợp điểm A0 d quay quanh B Phép quay Định nghĩa 4.1 Trong mặt phẳng cho điểm O góc lượng giác ϕ khơng đổi Phép biến hình biến điểm O thành điểm O biến điểm M khác O thành điểm M cho OM = OM (OM, OM ) = ϕ gọi phép quay tâm O góc quay ϕ, kí hiệu Q(O,ϕ) Ví dụ 4.1 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Tìm ảnh A qua phép quay tâm G, góc quay −120◦ Tìm ảnh B qua phép quay tâm G, góc quay 240◦ Định lí 4.1 Phép quay phép dời hình Định lí 4.2 Phép quay biến ba điểm thành ba điểm thẳng hàng bảo toàn thứ tự chúng Hệ 4.1 Phép quay trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó, biến tam giác thành tam giác biến đường trịn thành đường trịn có bán kính, biến góc thành góc 10 4.1 Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C (B nằm A C) Trên nửa mặt phẳng bờ AC vẽ tam giác ABE BCF Gọi M, N trung điểm đoạn thẳng AF CE Chứng minh BM N tam giác 4.2 Cho tam giác ABC Vẽ tam giác ABC1 , CAB1 , BCA1 nằm miền tam giác ABX Chứng minh đoạn thẳng AA1 , BB1 , CC1 có độ dài đồng quy điểm 4.3 Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, AC ta dựng phía ngồi hình vng ABM N ACP Q a) Chứng minh N C ⊥ BQ N C = BQ b) Gọi M trung điểm cạnh BC, chứng minh AM ⊥ QN AM = BQ 4.4 Chứng minh trung điểm cạnh đa giác đỉnh đa giác 4.5 Cho hai đường thẳng d d0 khơng vng góc với điểm A khơng nằm hai đường thẳng Hãy dựng tam giác vuông cân ABC (AB = AC) cho hai đỉnh B, C nằm hai đường thẳng cho 4.6 Cho hai đường thẳng song song a b điểm C không nằm hai đường thẳng Hãy tìm a b hai điểm A B cho ABC tam giác 4.1 Rotation by 90◦ 4.7 On sides BC and CD of square ABCD points M and K, respectively, are taken so that \ =M \ BAM AK Prove that BM + KD = AK Cho hình vuông ABCD, cạnh BC CD lấy điểm M K cho \ \ BAM = M AK Chứng minh BM + KD = AK 4.8 In triangle ABC median CM and height CH are drawn Through an arbitrary point P of the plane in which ABC lies the lines are drawn perpendicularly to CA, CM and CB They intersect CH at points A1 , M1 and B1 , respectively Prove that A1 M1 = B1 M1 Gọi CM trung tuyến CH đường cao tam giác ABC P điểm mặt phẳng chứa tam giác ABC Qua P kẻ đường vng góc với CA, CM CB, chúng cắt CH điểm A1 , M1 B1 Chứng minh A1 M1 = B1 M1 4.9 Two squares BCDA and BKM N have a common vetex B Prove that the median BE of a triangle ABK and height BF of a triangle CHB be long to a line (The vertices of each square are counted clockwise) 11 Cho hai hình vng BCDA BKM N có chung đỉnh B (và mặt phẳng) Chứng minh đường trung tuyến BE tam giác ABK đường cao BF tam giác CHB nằm đường thẳng (Các đỉnh hình vuông theo chiều kim đồng hồ) 4.10 Inside square A1 A2 A3 A4 point P is taken From vertex A1 , we drop the pependicular on A2 P ; from vertex A2 , we drop the pependicular on A3 P ; from A3 on A4 P and from A4 on A1 P Prove that all four perpendiculars (or their extentions) intersect at one point 4.11 On sides CB and CD of square ABCD points M and K are taken, respectively, so that the perimeter of triangle ABC is equal to the doubled length of the square’s side Find the value \ of angle M AK Trên cạnh CB CD hình vng ABCD lấy điểm M K cho chu \ vi tam giác ABC hai lần chiều dài cạnh hình vng Tìm giá trị góc M AK 4.12 On the plane three squares (with same orentation) are given: ABCD, AB1 C1 D1 and A2 B2 CD2 ; the first square has common vertices A and C with the two other squares Prove that median BM of triangle BB1 B2 is perpendicular to segment D1 D2 4.13 Triangle ABC is given On its sides AB, BC squares ABM N and BCP Q are constructed outwards Prove that the centers of these squares and the midpoints of segments M Q and AC form a square Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, BC, phía ngồi tam giác, dựng hình vuông ABM N BCP Q Chứng minh tâm hình vng trung điểm đoạn M Q AC đỉnh hình vuông 4.14 A parallelogram is circumscribed about a square Prove that the pependiculars dropped from the vertices of the parallelogram to the sides of the square form a square 4.2 Phép quay góc 60◦ (Rotation by 60◦ ) 4.15 On segment AE, on one side of it, equilateral triangles ABC and CDE are constructed; M and P are the midpoints of segments AD and BE, respectively Prove that triangle CP M is an equilateral one Trên đoạn thẳng AE ta dựng tam giác ABC CDE phía đoạn thẳng Gọi M P trung điểm đoạn thẳng AD BE Chứng minh tam giác CP M tam giác 4.16 Given three parallel lines Construct an equilateral triangle so that its vertices belong to the given lines Dựng tam giác có ba đỉnh nằm ba đường thẳng song song cho trước 12 4.17 Given a square, consider all possible equilateral triangles P KM with fixed vertex P and vetex K belong to the square Find the locus of vetices M 4.18 Find the locus of points M that lie inside equilateral triangle ABC and such that M A2 = M B2 + M C Tìm tập hợp điểm M nằm bên tam giác ABC cho M A2 = M B + M C 4.19 Hexagon ABCDEF is a regular one, K and M are midpoints of segments BD and EF , respectively Prove that triangle AM K is an equilateral one Cho lục giác ABCDEF Gọi K M trung điểm đoạn thẳng BD EF Chứng minh tam giác AM K tam giác 4.20 Let M and N be the midpoints of sides CD and DE, respectively, of regular hexagon ABCDEF , let P be the intersection point of segments AM and BN a) Find the value of the angle between lines AM and BN b) Prove that SABP = SM DN P Cho lục giác ABCDEF Gọi M N trung điểm cạnh CD DE, gọi P giao điểm đoạn thẳng AM BN a) Tìm giá trị góc đường thẳng AM BN b) Chứng minh SABP = SM DN P 4.21 On sides AB and BC of an equilateral triangle ABC points M and N are taken so that M N k AC; let E be the midpoint of segment AN and D the center of mass of triangle BM N Find the value of the angles of triangle CDE 4.22 On sides AB and AC of triangle ABC equilateral triangles ABC and AB C are contructed outwards Point M divides side BC in the ratio of M B : M C = : 1; points K, M are the midpoints of sides AC and B C, respectively Prove that the angles of triangle KLM are equal 30◦ , 60◦ and 90◦ Trên cạnh AB AC tam giác ABC, phía ngồi tam giác, dựng tam giác ABC AB C M điểm cạnh BC chia cạnh BC theo tỉ số M B : M C = : 1; điểm K, M trung điểm cạnh AC B C Chứng minh số đo góc tam giác KLM 30◦ , 60◦ 90◦ 4.23 Equilateral triangles ABC, CDE, EHK (vertices are circumvent counterclockwise) are # » # » place on the plane so that AD = DK Prove that triangle BHD is also an equilateral triangle 13 Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC, CDE, EHK (các đỉnh đánh nhãn theo # » # » chiều ngược chiều kim đồng hồ) cho AD = DK Chứng minh tam giác BHD tam giác 4.24 Inside an acute triangle find a point the sum of distances from which to the vertices is the least one Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Tìm điểm M bên tam giác cho tổng khoảng cách từ M đến đỉnh A, B, C nhỏ 4.25 Inside triangle ABC all the angles of which are smaller than 120◦ a point O is taken; it serves as vertex the angles of 120◦ that subtend the sides Prove that the sum of distances from O √ to the vertices is equal to (a2 + b2 + c2 ) + 3S Where, a, b, c are lengths of sides and S is area of triangle ABC Cho tam giác ABC có góc nhỏ 120◦ Gọi O điểm thuộc miền tam giác [ = BOC \ = AOC [ = 120◦ ) cho điểm O trương góc 120◦ với cạnh tam giác (AOB √ Chứng minh tổng khoảng cách từ O đến đỉnh A, B, C (a2 + b2 + c2 ) + 3S Ở đây, a, b, c độ dài cạnh S diện tích tam giác ABC 4.26 Hexagon ABCDEF is inscribed in a circle of radius R and AB = CD = EF = R Prove that the midpoints of sides BC, DE and F A determine an equilateral triangle Cho lục giác ABCDEF nội tiếp đường trịn bán kính R AB = CD = EF = R Chứng minh trung điểm cạnh BC, DE F A xác định tam giác 4.27 Về phía ngồi đa giác A1 A2 An xét vectơ e#»1 , e#»2 , , e#»n vng góc với cạnh A1 A2 , A2 A3 , , An A1 có độ dài cạnh tương ứng gốc (điểm đầu) thuộc cạnh #» tương ứng Chứng minh e#»1 + e#»2 + · · · + e#»n = # » # » # » #» 4.28 Cho đa giác A1 A2 An tâm O Chứng minh OA1 + OA2 + · · · + OAn = 4.3 Phép quay với góc (Rotations through arbirary angles) 4.29 A lion runs over the arena of a circus which is a dish of radius 10 m Moving along a broken line the lion covered 30 km Prove that the sum of all the angles of his turns is not less than 2998 radian Một sư tử chạy sân khấu xiếc có dạng hình trịn bán kính 10 m Sư tử chạy tất 30 km theo đường gấp khúc Chứng minh tổng tất góc quay khơng nhỏ 2998 radian Trích từ “Bài tập nâng cao số chuyên đề hình học 11”, Trần Văn Tấn, NXBGD, tr.21 14 Phép vị tự Định nghĩa 5.1 Trong mặt phẳng cho điểm O Phép đặt tương ứng với điểm M với điểm # » # » M cho OM = k · OM , với k số khác không cho trước, gọi phép vị tự tâm O, tỉ số k ký hiệu VOk Vậy # » # » VOk (M ) = M ⇔ OM = k · OM Nhận xét Nếu M ảnh M qua phép vị tự tâm O tỉ số k, M ảnh M qua phép vị tự tâm O tỉ số k Phép vị tự tâm O tỉ số k = −1 phép đối xứng tâm O Định lí 5.1 Nếu M , N ảnh M, N qua phép vị tự tâm O tỉ số k, # » # » M N = k M N , M N = |k|M N Từ Định lí ta suy hệ sau Phép vị tự a) biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo toàn thứ tự chúng, b) biến đường thẳng thành đường thẳng song song hay trùng với nó, c) biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng, d) biến góc thành góc nó, e) biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, f) biến đường trịn có bán kính R thành đường trịn có bán kính |k|R Định nghĩa 5.2 Hai hình H H gọi đồng dạng với có phép đồng dạng biến hình thành hình 5.1 Cho tam giác ABC Gọi A0 , B , C trung điểm cạnh BC, CA, AB Chứng minh tồn phép vị tự biến tam giác ABC thành tam giác A0 B C 5.2 Cho tứ giác ABCD Gọi A0 , B , C , D0 trọng tâm tam giác BCD, CDA, DAB, ABC Chứng minh tồn phép vị tự biến tứ giác ABCD thành tứ giác A0 B C D0 5.3 Gọi H, G, O trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; M, N, P trung điểm cạnh BC, CA, AB I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác M N P Chứng minh bốn điểm O, G, I, H thẳng hàng I trung điểm đoạn OH 15 5.4 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy viết phương trình ảnh đường thẳng ∆ : x + 2y − = ảnh đường tròn (C ) : x2 + y − 2x − 2y − = qua phép vị tự tâm I(2; −1), tỉ số k = −3 Đáp số ∆0 : x + 2y + = (C ) : (x − 5)2 + (y + 7)2 = 81 5.5 Cho đường tròn (O) tam giác ABC có đỉnh A cố định cạnh BC dây cung (O) Tìm tập hợp trọng tâm tam giác ABC 5.6 Cho đường tròn (O) điểm M cố định không nằm (O) Với điểm A thuộc (O) ta gọi I trung điểm đoạn M A Tìm tập hợp điểm I A thay đổi 5.7 Cho tam giác ABC đường tròn (O) Với điểm M thuộc (O) ta xác định điểm N # » # » # » # » cho M N = M A + 2M B + 3M C Tìm tập hợp điểm M , M thay đổi (O) 5.8 Cho hai đường thẳng cắt d1 d2 điểm M khơng thuộc hai đường thẳng Hãy dựng đường thẳng d3 qua M cắt d1 A, d2 B cho M chia đoạn AB theo tỉ số MA = MB 5.9 Cho đường tròn (O) điểm M nằm đường tròn Dựng đường thẳng d qua M cắt đường tròn hai điểm A, B cho M A = 3M B 5.10 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Hãy dựng hình vng có ba đỉnh nằm ba cạnh tam giác Khái niệm phép đồng dạng Định nghĩa 6.1 Phép biến hình f mặt phẳng gọi phép đồng dạng với hai điểm M, N ảnh M = f (M ), N = f (N ) chúng, ta ln có M N = k · M N , k số dương cho trước Số dương k gọi tỉ số đồng dạng phép đồng dạng f Tính chất 6.1 dạng Thực liên tiếp số hữu hạn phép đồng dạng phép đồng Phép đồng dạng tỉ số k (a) biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo toàn thứ tự chúng, (b) biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, (c) biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng, (d) biến góc thành góc nó, (e) biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, (f) biến đường trịn bán kính R thành đường trịn bán kính |k| · R 16 6.1 Chứng minh hai hình vng đồng dạng với 6.2 Cho đường thẳng d, đường tròn (O) điểm A không nằm d (O) Hãy dựng tam giác vng cân ABC có đỉnh góc vuông C nằm d, đỉnh B nằm (O) 6.3 Tìm ảnh đường thẳng ∆ : 2x + 3y − = 0, đường tròn (C ) : x2 + y − 2x − 4y + = thực liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ #» v = (1; −3) phép đối xứng tâm I(−4; 2) 17 Mục lục Phép dời hình phép đồng dạng mặt phẳng 1.1 Phép biến hình 1.2 Phép dời hình 1.3 Phép tịnh tiến 1.4 Biểu thức toạ độ phép tịnh tiến 1 1 2 Phép đối xứng tâm 2.1 Biểu thức toạ độ phép đối xứng tâm 2.2 Tâm đối xứng hình 6 Phép đối xứng trục 3.1 Phép đối xứng qua trục toạ độ Phép quay 4.1 Rotation by 90◦ 4.2 Phép quay góc 60◦ (Rotation by 60◦ ) 4.3 Phép quay với góc (Rotations through arbirary angles) 10 11 12 14 Phép vị tự 15 Khái niệm phép đồng dạng 16 18 ... liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ #» v = (1; −3) phép đối xứng tâm I(−4; 2) 17 Mục lục Phép dời hình phép đồng dạng mặt phẳng 1.1 Phép biến hình 1.2 Phép dời hình ... quanh B Phép quay Định nghĩa 4.1 Trong mặt phẳng cho điểm O góc lượng giác ϕ khơng đổi Phép biến hình biến điểm O thành điểm O biến điểm M khác O thành điểm M cho OM = OM (OM, OM ) = ϕ gọi phép. .. điểm M bất kì, T u#» biến M thành M , T #»v biến M thành M 00 Chứng tỏ phép biến hình biến điểm M thành điểm M 00 phép tịnh tiến 1.4 Cho phép tịnh tiến theo vectơ #» u biến điểm A(3; 2) thành