Thể tích của khối đa diện - ôn tập THPT Quốc gia 2020 Môn Toán - Sách Toán - Học toán

233 2 0
  • Loading ...
    Loading ...
    Loading ...

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 14/01/2021, 17:34

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a mặt bên SAB là tam giác đều, mặt bên SCD là tam giác vuông cân tại S, gọi M là điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM vuông góc với SA[r] (1)§3 KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN A TĨM TẮT LÍ THUYẾT 1 KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Định nghĩa Người ta chứng minh rằng: đặt tương ứng cho khối đa diện (H) số dương V(H) thỏa mãn tính chất sau: a) Nếu (H) khối lập phương có cạnh V(H) = b) Nếu hai khối đa diện (H1) (H2) V(H1) = V(H2) c) Nếu khối đa diện (H) phân chia thành hai khối đa diện (H1) (H2) thì: V(H) = V(H1)+ V(H2) Số dương V(H) nói gọi thể tích khối đa diện (H) Số gọi thể tích hình đa diện giới hạn khối đa diện (H) Khối lập phương có cạnh gọi khối lập phương đơn vị Định lí Thể tích khối hộp chữ nhật tích ba kích thước 2 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ Định lí Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B chiều cao h V = B · h 3 THỂ TÍCH KHỐI CHĨP Định lí Thể tích khối chóp có diện tích đáy B chiều cao h V = 3· B · h 4 TỶ SỐ THỂ TÍCH Tính chất Cho hình chóp S.ABC Trên đoạn thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A0, B0, C0 khác S Khi VS.A0B0C0 VS.ABC = SA0 SA · SB0 SB · SC0 SC MỘT VÀI CƠNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH ĐA GIÁC THƯỜNG GẶP Trong trường hợp đơn giản, diện tích đáy lăng trụ chóp (B) diện tích (2)DIỆN TÍCH TAM GIÁC Đối với tam giác thường ta sử dụng cơng thức tính diện tích sau đây: S∆ABC = 2a · = 2a · b · sin C = abc 4R = pr = » p(p − a)(p − b)(p − c) Với R bán kính đường trịn ngoại tiếp; r bán kính đường trịn nội tiếp; p = a + b + c 2 nửa chu vi tam giác ABC Tuy nhiên, trường hợp đơn giản ta lại thường gặp tam giác đặc biệt sau a) Tam giác ABC vuông A: S∆ABC = 2AB · AC b) Tam giác ABC cạnh t: S∆ABC = t2√3 4 DIỆN TÍCH TỨ GIÁC Các tứ giác đặc biệt mà ta thường gặp tốn: a) Hình vuông ABCD cạnh t: SABCD = t2 = 2AC · BD b) Hình chữ nhật ABCD: SABCD = AB · AD c) Hình thoi: SABCD = 2AC · BD = AB · AD · sin A d) Hình bình hành ABCD: SABCD = AB · AD · sin A e) Hình thang ABCD: SABCD = (a + b) · h 2 B CÁC DẠNG TỐN | Dạng Thể tích khối chóp tam giác Cơng thức tính thể tích khối chóp: V = 3 · B · h ccc BÀI TẬP DẠNG ccc Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy SA = 2√3 Tính thể tích khối chóp S.ABC Lời giải Thể tích khối chóp S.ABC VS.ABC = 3· SABC· SA Mà SABC = √ Vậy VS.ABC = 3 · SABC · SA = · 9√3 · √ = 2 B C S (3) Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a cạnh bên 2a Tính thể tích khối chóp Lời giải Gọi O tâm tam giác ABC Thể tích khối chóp S.ABC VS.ABC = 3· SABC· SO Mà SABC = a 2√3 4 Xét tam giác ABC có AI = a√3 2 ⇒ AO = 3AI = a√3 Xét tam giác SOA vng O có SA2 = AO2+ SO2 ⇒ SO = √SA2− AO2 = a √ 33 Vậy VS.ABC = 3· SABC· SO = · a2√3 · a√33 = a3√11 12 B C O S A I  Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A AB = a, AC = a√3 Mặt bên SAB tam giác cân nằm mặt phẳng vng góc với đáy Cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy góc 60◦ Tính theo a thể tích V khối chóp Lời giải Dựng SI ⊥ BC ⇒ SI ⊥ (ABC) Thể tích khối chóp S.ABC V = 3· SABC · SI Ta có SABC = 1 2 · AB · AC = a2√3 2 Vì SI ⊥ (ABC) nên I hình chiếu S (ABC) Vậy (SC, (ABC)) = (SC, IC) = ‘SCI = 60◦ Ta có CI =√AC2+ AI2 = a √ 13 ⇒ SI = CI · tan 60◦ = a √ 39 Vậy thể tích khối chóp V = 3· a2√3 · a√39 = a3√13 4 B A S C I  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Mặt bên SAC tam giác cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc 30◦ Tính thể tích khối chóp S.ABC (4)Thể tích khối chóp S.ABC VS.ABC = 3· SABC· SI Mà ta có SABC = a 2√3 4 BI = a√3 2 Xét tam giác SIB có tan 30◦ = SI BI ⇒ SI = a Đáp số: V = a 3√3 24 C A S B I  Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân A Hai mặt bên (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng đáy Biết góc tạo mặt bên (SBC) (ABC) 60◦ BC = a√2 Tính thể tích khối chóp S.ABC Lời giải Thể tích khối chóp S.ABC VS.ABC = 3· SABC· SA Mà SABC = 4· BC 2 = a 2 Lấy I trung điểm BC      BC ⊥ SI, BC ⊥ AI AI = BC = a√2 Vậy ((SBC), (ABC)) = (SI, AI) = ‘SIA = 60◦ Xét tam giác SAI vuông A: tan 60◦ = SA AI SA = a √ 6 Đáp số: V = a 3√6 12 C A S B I  Bài Cho hình chóp S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy góc 60◦ Tính thể tích khối chóp (5)Dựng SO ⊥ (ABC) từ O dựng OM ⊥ AB, ON ⊥ AC, OP ⊥ BC Từ định lý ba đường vng góc suy SM ⊥ AB, SN ⊥ AC, SP ⊥ BC ’SM O = ’SN O = ’SP O = 60◦ Vậy ∆SOM = ∆SON = ∆SOP ⇒ OM = ON = OP Vậy O tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Diện tích tam giác ABC SABC =pp(p − a)(p − b)(p − c) = 6a2 √ 6 Với p = a + b + c 2 = 9a nửa chu vi tam giác Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác OM = r = SABC p = 2a√6 Vậy đường cao hình chóp SO = r · tan 60◦ = 2a√2 Thể tích khối chóp S.ABC VS.ABC = 3· 2a √ 2 · 6a2√6 = 8a3√3 C B A I S P N M  | Dạng Thể tích khối chóp tứ giác Sử dụng cơng thức tính thể tích khối chóp V = 3· B · h ccc BÀI TẬP DẠNG ccc Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh 2√2, ’BAD = 60◦ Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SC = 4√3 Tính thể tích khối chóp S.ABCD Lời giải Thể tích khối chóp S.ABCD VS.ABCD = 3 · SABCD · SA Mà SABCD = AB × AD × sin A = √ 3 Xét tam giác SAC có AC = · AO = √6 (Với O tâm hình thoi AO đường trung tuyến tam giác ABD) SA =√SC2− AC2 =√42. Vậy thể tích khối chóp S.ABCD VS.ABCD = 3 · SABCD· SA = √ 14 A S B C D  Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, BC = a√3 Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy cạnh SC tạo với mặt đáy góc 30◦ Tính thể tích khối chóp S.ABCD (6)Thể tích khối chóp S.ABCD VS.ABCD = 3 · SABCD · SA Mà SABCD = AB × BC = a2√3. Xét tam giác SAC có AC =√AB2+ BC2 = 2a tan 30◦ = SA AC ⇒ SA = AC · tan 30◦ = 2a √ 3 Vậy VS.ABCD = 3 · SABCD· SA = 2a3 3 A S B C D  Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, ’ABC = 60◦ Hình chiếu S lên mặt phẳng (ABCD) O, góc tạo SC mp(SBD) 45◦ Tính thể tích khối chóp S.ABCD Lời giải Thể tích khối chóp S.ABCD VS.ABCD = 3 · SABCD · SO Mà SABCD = BA × BC × sin B = a2√3 2 Vì AC ⊥ (SBD) nên O hình chiếu C mp(SBD) Vậy (SC, (SBD)) = (SC, BD) = ’OSC = 45◦ Xét tam giác SOC vng cân O có OC = AC = a 2 = SO Vậy VS.ABCD = 3 · SABCD· SO = 3· a2√3 · a = a3√3 12 S B C D O A  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho khối chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD), AB = 3a, AD = 2a, SB = 5a Tính thể tích V khối chóp S.ABCD theo a Lời giải Thể tích khối chóp S.ABCD VS.ABCD = 3 · SABCD· SA Mà SABCD = 6a2 Xét tam giác SAB vuông A có SA =√SB2− AB2 = 4a. Đáp số: 8a3 A S B C D  Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy, mặt bên (SCD) tạo với đáy góc ϕ = 60◦ Tính thể tích khối chóp S.ABCD (7)Thể tích khối chóp S.ABCD VS.ABCD = 3 · SABCD· SA Mà SABCD = a2 Và ((ABCD), (SCD)) = (SD, AD) = ’SDA = 60◦ Xét tam giác SAD vng A có tan 60◦ = SA AD ⇒ SA = a√3 Đáp số: a 3√3 3 S B C D A  Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O có AB = a, AC = 2a ’ BAC = 60◦ Hình chiếu vng góc S mặt phẳng đáy trung điểm I AO Biết góc tạo cạnh bên SB đáy 60◦ Tính thể tích khối chóp S.ABCD Lời giải Ta có VS.ABCD = · VS.ABC = 3· SABC· SI Mà SABC = 1 2 × AB × AC × sin A = a2√3 2 Xét tam giác ABI có AB = a, AI = 4 · AC = a ⇒ BI =√AB2+ AI2− · AB · AI · cos A = a √ 3 ⇒ SI = 3a 2 Đáp số: a 3√3 2 S B C D O I A  | Dạng Thể tích khối lăng trụ đứng Cơng thức thể tích khối lăng trụ: V = B · h ccc BÀI TẬP DẠNG ccc Ví dụ Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0 có đường cao AA0 = a√3, tam giác ABC vuông B có AB = a, A0C tạo với (ABA0) góc 45◦ Thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 tính theo a (8)( BC ⊥ AB BC ⊥ AA0 ⇒ BC ⊥ (AA0B0B). Hình chiếu vng góc A0C lên (AA0B0B) A0B Suy ra: (A0ÔC, (AA0B0B)) = BA0C = 45 A0B =AA02+ AB2 = 2a, BC = A0B = 2a. Diện tích ∆ABC: SABC = a2 Thể tích khối lăng trụ V = a3√3 A B C a√3 a A0 B0 C0 45◦  Ví dụ Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC tam giác vng B, BC = a, mp(A0BC) tạo với đáy góc 30◦ ∆A0BC có diện tích a2√3 Tính thể tích khối lăng trụ Lời giải Do ( BC ⊥ AB BC ⊥ AA0 ⇒ BC ⊥ A0B Và        BC ⊥ AB ⊂ (ABC) BC ⊥ AB (A0BC) BC = (ABC) (A0BC) (AÔ0BC), (ABC)  = ’ABA0 Ta có: S∆A0BC = 1 2A 0B · BC ⇒ A0B = 2S∆A0BC BC = 2a2√3 a = 2a √ AB = A0B · cos ’ABA0 = 2a√3 · cos 30◦ = 3a AA0 = A0B · sin ’ABA0 = 2a√3 · sin 30◦ = a√3 A B C A0 C0 B0 30◦ Vậy: VABC.A0B0C0 = B · h = SABC· AA0 = 1 2AB · BC · AA = 2 · 3a · a · a √ 3 = 3a 3√3 2  Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có ABCD hình vng, AC0 = 2a tạo với mặt phẳng (BCD) góc 60◦ Tính thể tích khối hộp ABCD.A0B0C0D0 theo a (9)Hình chiếu vng góc AC0 lên mặt phẳng (ABCD) l AC Do ú: (ACÔ0, (ABCD)) = C0AC = 60 Suy ra: CC = AC0· sin 60◦ = a√3, AC = AC0· cos 60◦ = a và AB = AC√ 2 = a√2 2 Diện tích đáy: S = a 2 Thể tích khối hộp: V = a 3√3 2 A B D C 2a A0 B0 C0 D0  | Dạng Thể tích khối lăng trụ xiên Cơng thức thể tích khối lăng trụ: V = B · h ccc BÀI TẬP DẠNG ccc Ví dụ Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 có đáy tam giác cạnh cm , cạnh bên 2√3 cm tạo với mặt phẳng đáy góc 30◦ Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 Lời giải Gọi H hình chiếu vng góc A0 lên mặt phẳng đáy (ABC) Ta có: AB = 3, AA0 = 2√3 nên A0H = AA0· sin 30◦ =√3. Thể tích khối lăng trụ V = 2√3 4 · √ 3 = 27 cm 3 B A C H A0 B0 C0  Ví dụ Cho lăng trụ ABCD.A0B0C0D0 có ABCD hình chữ nhật AB = a, AD = a√3, A0A = A0B = A0D = 2a Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A0B0C0D0 (10)Gọi O giao điểm AC BD ABCD hình chữ nhật ⇒ OA = OB = OD Mà A0A = A0B = A0D nên A0O ⊥ (ABD) ∆ABD vuông A nên BD =√AB2+ AD2 = 2a ⇒ OA = OB = OD = a. ∆AA0O vuông O ⇒ A0O =√AA02− AO2 = a√3. SABCD = AB · AD = a2 √ VABCDA.0B0C0D0 = SABCD· A0O = 3a3 A D B C A0 B0 C0 D0 O  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A0B0C0 có đáy A0B0C0 tam giác vuông cân A, biết BC = a√2, AB0 = 3a Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 theo a Lời giải Ta có ∆ABC vuông cân A nên AB = AC = a ABC.A0B0C0 lăng trụ đứng ⇒ BB0 ⊥ AB ∆ABB0 ⇒ BB02 = AB02− AB2 = 8a2 ⇒ AA0 = 2a√2. Vậy thể tích khối lăng trụ: V = SA0B0C0 · AA0 = a3 √ A B C A0 B0 C0  Bài Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A0B0C0 có đáy tam giác cạnh a, biết diện tích tam giác A0BC a2 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 theo a. (11)Gọi I trung điểm BC ∆ABC nên AI = a √ 3 2 , AI ⊥ BC ⇒ A 0I ⊥ BC. Ta có: SA0BC = 1 2BC · A 0I ⇒ A0I = 2SA0BC BC = 2a ∆A0AI vuông A nên AA0 =√A0I2− AI2 = a √ 13 VABC.A0B0C0 = a3√39 8 (đvtt) A C B a A0 B0 C0 I  Bài Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy tam giác cân với AB = AC = a, ’ABC = 30◦ Mặt phẳng (A0BC) tạo với đáy (ABC) góc 30◦ Thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 tính theo a Lời giải Gọi M trung điểm đoạn BC Tam giác ABC cân A nên AM ⊥ BC và AM = AB · sin 30◦ = a 2; BC = 2BM = 2AB · cos 30 ◦ = a√3. Góc tạo (A0BC) (ABC) ÷A0M A = 30◦. Khi đó: AA0 = AM · tan 30◦ = a √ 3 Thể tích khối lăng trụ V = SABC· AA0 = 2BC · AM · AA = a 3 8 A C B A0 B0 M C0 30◦  Bài Cho hình hộp đứng ABCD.A0B0C0D0 có đáy ABCD hình thoi cạnh a có góc nhọn ’ BAD = 60◦ Đường chéo lớn đáy đường chéo nhỏ lăng trụ Tính thể tích khối hộp theo a (12)Ta có tam giác ABD nên BD = a SABCD = 2SABD = a2√3 2 BD0 = AC = 2a √ 3 = a √ DD0 =√BD02− BD2 = a√2. V = SABCD· DD0 = a 3√6 2 (đvtt) B A C D A0 B0 C0 D0 60◦  Bài Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A0B0C0D0 có cạnh đáy a mặt phẳng (BDC0) hợp với đáy (ABCD) góc 60◦ Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A0B0C0D0 theo a Lời giải Gọi O tâm ABCD Ta có ( C0C ⊥ DB BD ⊥ OC ⇒ BD ⊥ C0O. Suy gúc ((CÔ0BD), (ABC)) = COC0 = 60 CC0 = OC · tan 60◦ = a √ Diện tích ABCD: SABCD = a2 Do đó: VABCD.A0B0C0D0 = SABCD· CC0 = a3√6 A B D C O A0 B0 C0 D0  Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có AA0 = 2a; mặt phẳng (A0BC) hợp với đáy (ABCD) góc 60◦ A0C hợp với đáy (ABCD) góc 30◦ Tính thể tích khối hộp chữ nhật theo a Lời giải Ta có AA0 ⊥ (ABCD) ⇒ AC hình chiếu A0C (ABCD) Suy gúc ( ÔA0C, (ABCD)) = A0CA = 30 BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ A0B Suy gúc ((A0BC), (ABCD)) = Ô A0BA = 60 AC = AA0· cot 30◦ = 2a√3. AB = AA0· cot 60◦ = 2a √ 3 BC =√AC2− AB2 = 4a √ 6 Vậy V = AB · BC · AA0 = 16a 3√2 A B D C A0 B0 C0 D0 60◦ 30◦ (13)Bài Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 có đáy hình chữ nhật với AB =√3 cm , AD = √7 cm Hai mặt bên (ABB0A0) (ADD0A0) tạo với đáy góc 45◦ 60◦ Tính thể tích khối hộp biết cạnh bên cm Lời giải Gọi H hình chiếu vng góc A0 lên (ABCD), kẻ HM ⊥ AB HN ⊥ AD Suy ra: ÷A0M H = 45◦ và ÷A0N H = 60◦. Đặt A0H = x với x > Khi ta có: A0N = A 0H sin 60◦ = 2x √ 3 AN =√AA02− A0N2 =… − 4x M H = A0H = x Mà AN HM hình chữ nhật nên AN = M H đó:   3 − 4x2 3 = x ⇔ x = … 7 Thể tích khối hộp: V = AD · AB · x = cm3 D A C B H A0 B0 C0 D0 N M  | Dạng Tỉ số thể tích • Để tính thể tích khối chóp tam giác tính tỉ số thể tích khối chóp tam giác ta sử dụng kết sau: Nếu A0, B0, C0 điểm (khác điểm S) nằm đường thẳng SA, SB, SC hình chóp S.ABC VS.A0B0C0 VS.ABC = SA SA · SB0 SB · SC0 SC • Nếu ta cần tính thể tích V khối đa diện K mà khối chóp hay khối lăng trụ ta thường coi V tổng hiệu của thể tích hai khối đa diện khác mà cả hai khối khối chóp khối lăng trụ ccc BÀI TẬP DẠNG ccc Ví dụ Cho hình chóp A.BCD có đáy BCD tam giác vuông C với BC = a, CD = a√3 Hai mặt phẳng (ABD) (ABC) vng góc với mặt phẳng (BCD) Biết AB = a M, N lần lượt thuộc cạnh AC, AD cho AM = 2M C, AN = N D Tính thể tích khối chóp A.BM N (14)Ta có VA.BM N VA.BCD = AB AB · AM AC · AN AD = 1 Mặt khác VABCD = 1 2BC · CD · AB = a3√3 6 Từ suy VA.BM N = 3VA.BCD = a3√3 18 A B C D M N  Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có ’ASB = ’ASB = ’ASB = 60◦ SA = a, SB = b, SC = c Tính thể tích hình chóp S.ABC theo a, b, c Lời giải Trên tia SB, SC lấy điểm B0, C0 cho SB0 = SC0 = a Khi ta có: VS.AB0C0 VS.ABC = SA SA · SB0 SB · SC0 SC = a b · a c ⇒ VS.ABC = bc a2VS.AB0C0 Dễ thấy S.AB0C0 tứ diện cạnh a nên VS.AB0C0 = a3√2 12 Từ đó suy VS.ABC = abc √ 2 12 S A C C0 B0 B  Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, ’BAD = 60◦, SA ⊥ (ABCD), SA = a Gọi C0 trung điểm SC Mặt phẳng (P ) qua AC0 song song với BD, cắt cạnh SB, SD hình chóp B0, D0 Tính thể tích khối chóp S.AB0C0D (15)Gọi O giao điểm AC BD, I giao điểm AC0 SO Vì (P ) song song với BD nên giao tuyến B0D0 (P ) với mặt phẳng (SBD) đường thẳng qua I song song với BD Dễ thấy I trọng tâm tam giác SAC, từ đó: SB0 SB = SD0 SD = SI SO = 2 Do VS.AB0C0 VS.ABC = SA SA· SB0 SB · SC0 SC = 2 3· 1 = 1 3 ⇒ VS.AB0C0 = 3VS.ABC = 6VS.ABCD Tương tự ta có VS.AD0C0 = 1 3VS.ADC = 6VS.ABCD Mặt khác SABCD = AB · AD · sin ’BAD = a2√3 ⇒ VS.ABCD = 3 · SA · SABCD = a3√3 6 Ta có VS.AB0C0D0 = VS.AB0C0 + VS.AD0C0 = 1 6VS.ABCD ⇒ VS.AB0C0D0 = a3√3 18 O A S I B C B0 C0 D D0  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy 2a Mặt bên hình chóp tạo với đáy góc 60◦ Mặt phẳng (P ) chứa AB qua trọng tâm G tam giác SAC cắt SC, SD M , N Tính theo a thể tích V khối chóp S.ABM N Lời giải Từ giả thiết ta suy M , N trung điểm SC, SD Gọi I tâm hình vng ABCD, J trung điểm AD Khi đó, ‘IJ S = 60◦, Suy SI = a√3 VS.ABC = VS.ACD = 1 2VS.ABCD = 2a3√3 VS.ABM VS.ABC = SM SC = 1 2 Suy VS.ABM = a3√3 3 VS.AM N VS.ACD = SM SC SN SD = 1 4 Suy VS.ABM = a3√3 6 Vậy VS.ABM N = VS.ABM + VS.AM N = a3√3 2 O A S B M G C N D  Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) SA = a Điểm M thuộc cạnh SA cho SM SA = k Xác định k cho mặt phẳng (BM C) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần tích (16)Mặt phẳng (BM C) cắt (SAD) theo giao tuyến M N song song với AD, N ∈ SD Ta có VS.M BC VS.ABC = SM SA = k, VS.M N C VS.ADC = SM SA SN SD = k 2. Mà VS.ABC = VS.ADC = 1 2VS.ABCD, VS.M BC VS.ABC +VS.M N C VS.ADC = 2VS.M N CB VS.ABCD = Từ suy k2+ k = ⇔ k = −1 + √ 5 2 (vì k > 0) S D N A M B C  Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Giả sử M, N điểm thuộc cạnh SC, SD cho SM = 2M C, SN = 3N D Gọi V1 thể tích khối đa diện S.ABM N V2 thể tích khối chóp S.ABCD, tính V1 V Lời giải Ta có VS.ABM N = VS.ABM + VS.AN M Do SM = 2M C nên SM SC = 3, từ suy VS.ABM VS.ABC = SA SA· SB SB · SM SC = 2 Vậy VS.ABM = 3VS.ABC = 3VS.ABCD = 3V2 (1) Do SN = 3N D nên SN = 4SD, từ suy VS.AN M VS.ADC = SA SA · SN SD · SM SC = 1 4· 2 = 1 Vậy VS.AN M = 6VS.ADC = 12VS.ABCD = 12V2 (2) Từ (1) (2) suy V1 = 1 3V2+ 1 12V2 = 5 12V2 ⇒ V1 V = 12 A S D N C M B  Bài Cho khối tứ diện ABCD có cạnh 3a, gọi G1, G2, G3, G4 trọng tâm mặt tứ diện ABCD Tính thể tích V khối tứ diện G1G2G3G4 (17)Chiều cao hình chóp G1G2G3G4 3 chiều cao hình chóp DABC, diện tích tam giác G2G3G4 4 9 diện tích tam giác KEF , diện tích tam giác G2G3G4 1 9 diện tích tam giác ABC, VG1G2G3G4 VDABC = 9× = 1 27 VDABC = × a √ ×9a 2√3 4 = 9a3√2 A E G4 G2 G3 C F G1 B K D  | Dạng Ứng dụng thể tích để tính khoảng cách Sử dụng cơng thức thể tích V = 3 · B · h ccc BÀI TẬP DẠNG ccc Ví dụ Cho hình tứ diện ABCD có AD vng góc với mặt phẳng (ABC), AC = AD = cm, AB = cm, BC = cm Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) Lời giải Nhận thấy AC = cm, AB = cm, BC = cm nên tam giác ABC tam giác vuông A Ta tích khối chóp VD.ABC = 3DA · S∆ABC = 3DA · 1 · AB · AC = cm3. Ta có BD =√DA2+ AB2 = cm, DC =√AD2 + AC2 = 4√2 cm Diện tích tam giác BCD S∆BCD = √ 34 cm2. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) d(A, (BCD)) = 3VD.ABC S∆BCD = 6√34 7 cm A B C D  Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông A, ’ABC = 30◦, SBC tam giác cạnh a mặt bên SBC vng góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ C đến (SAB) (18)Gọi M trung điểm AB suy SM ⊥ AB Ta có AC = AB tan 30◦ = a √ 3 Khi thể tính khối chóp S.ABC V = 3·SM ·S∆ABC = 3 · a√3 3 · a2√3 4 = a3 12 Ta có V = 3 · d(C, (SAB)) · S∆SAB ⇒ d(C, (SAB)) = 3V S∆SAB = a3 4 a2√3 4 = a √ 3 A C B S M  Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SD = 3a 2 , hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm cạnh AB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) Lời giải Ta có M D =√AD2+ AM2 = … a2+a 2 = a √ Suy SM =√SD2− M D2 = s Å 3a ã2 − Ç a√5 2 å2 = a Khi thể tích khối chóp V = 3· SM · SABCD = 3a 3. Ta có SB =√SM2+ BM2 = … a2+a 2 = a √ Thể tích khối chóp VS.ABD = 2VS.ABCD Mà VS.ABD = 3·d(A, (SBD))·S∆SBD ⇒ d(A, (SBD)) = 3VS.ABD S∆SBD với S∆SBD = 1 4p(SB + BD + SD)(SB + BD − SD)(SB − BD + SD)(BD + SD − SB) = Suy d(A, (SBD)) = 2VS.ABD S∆SBD = a S A B M C D  Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Biết SD = 2a√3 góc tạo đường (19)Lời giải Ta có ∆SM C = ∆SM D ⇒ SC = SD = 2a√3 Ta có SM = SC · sin 30◦ = a√3 suy SA = SB = AB = 2a Do M D =√SD2− SM2 = 3a. Mà AD =√M D2− AM2 =p(3a)2− (a)2 = 2a√2. Khi thể tích khối chóp VS.ABCD = 3 · SM · SABCD = 3 · a √ 3 · (2a)2√2 = 4a 3√6 3 Ta có AC = √AB2+ BC2 =»(2a)2+ (2a√2)2 = 2a√3. S A B M C D  Thể tích VS.ABC = 1 2VS.ABCD = 2a3√6 Suy d(B, (SAC)) = 3VS.ABC S∆ABC = 3VS.ABC 2AB · BC = 2a 3√6 22a · 2a √ 2 = a√3 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I cạnh a, ’DAB = 120◦, hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với đáy Góc (SBC) mặt đáy 60◦.Tính thể tích S.ABCD khoảng cách A đến (SBC) Lời giải Gọi O giao điểm AC BD Ta có (SAC) (SBD) vng góc với đáy suy ra SO ⊥ (ABCD) Do ’DAB = 120◦ suy ’ABC = 60◦ suy tam giác ABC Kẻ OM ⊥ BC mà SO ⊥ BC BC SM (SBC), (ABCD) = Ô (SM O) = 60◦ S A D C B M O  Ta có OM =   OC2· OB2 OC2 + OB2 = — a 2 2 · Ç a√3 å2 a 2 2 + Ç a√3 å2 = a√3 4 SO = OM · tan 60◦ = 3a Thể tích khối chóp V = 3SO · SABCD = · 3a · 1 · a 2sin 120◦ = a3 √ (20)Khoảng cách từ A đến (SBC) d(A, (SBC)) = 3VS.ABC S∆SBC = 2VS.ABCD 2 · SM · BC = 3a √ với SM = OM · cot 60◦ = a BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang, ’ABC = ’BAD = 90◦, BA = BC = a, AD = 2a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA = a√2 Gọi H hình chiếu vng góc A SB Chứng minh tam giác SCD vng tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) Lời giải Gọi M trung điểm AD Ta có ( AM = BC AM ∥ BC ⇒ tứ giác ABCM hình vng Suy CM = a mà AM = M D = AD 2 = a nên tam giác ACD tam giác vng C Ta có ( AC ⊥ CD SA ⊥ CD ⇒ CD ⊥ SC Suy tam giác SCD vuông C S B H C D A M Ta có SA2 = SH · SB ⇒ SH = SA SB ⇒ SH SB = SA2 SB2 = SA2 SA2 + AB2 = 2 SC = √SA2+ AC2 =»(a√2)2+ (a√2)2 = 2a suy S ∆SCD = 2SC · CD = a 2. Ta có VS.BCD = 3SA · S∆BCD = 3SA · 1 2AB · BC = 3a √ · 2 · a = a 3√2 Ta có d(H, (SCD)) d(B, (SCD)) = SH SB = 2 Suy d(H, (SCD)) = 3d(B, (SCD)) = · 3VS.BCD S∆SCD = a3 √ 2 a2 = a√2 6  Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi có ’BAC = 60◦, tam giác SAB vuông S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Biết SA = a, SB = a√3 Gọi M trung điểm SC (21)Ta có AB = √SA2+ SB2 = »a2+ (a√3)2 = 2a. Tam giác ABC có góc ’BAC = 60◦ ⇒ tam giác ABC tam giác Suy SABCD = a2√3 2 Trong tam giác SAB kẻ đường cao SE suy SE =   SA2· SB2 SA2+ SB2 = a√3 S A B M E C D Thể tích khối chóp VS.ABCD = 3 · SE · SABCD = · a√3 · a2√3 = a3 Ta có VM.SAB = 2VS.ABC = 4VS.ABCD = a3 16 Khoảng cách tứ M đền mặt phẳng (SAB) d(M, (SAB)) = 3VM.SAB S∆SAB = a3 16 · a · a √ = a √ 3 24  Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a H thuộc cạnh AB cho AH = 2HB hai mặt (SHC), (SHD) vuông góc với đáy, SA hợp với đáy góc 60◦ Tính thể tích khối chóp S.BM C khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBM ) với M trung điểm AD Lời giải Ta có AH = 3AB = 2a suy SH = AH tan 60◦ = 2a √ 3 Thể tích chóp S.BM C VS.BM C = 1 3 · SH · S∆BM C = 3 · 2a√3 3 · 2a 2 = a 3√3 9 S A B H C D M Ta có SM =√SH2+ HM2 =√SH2+ AH2+ AM2 = s Ç 2a√3 3 å2 +Å 2a ã2 +a 2 2 = a √ 73 SB =√SH2− HB2 = s Ç 2a√3 3 å2 +Å 3a ã2 = a √ 13 BM =√AB2+ AM2 = a √ 5 Đặt p = SB + BM + SM 2 , S∆SBM =pp(p − SB)(p − BM)(p − SM) = a2√61 12 Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBM ) d(C, (SBM )) = 3VS.BM C S∆SBM = a3√3 a2√61 12 = √ 183 (22)| Dạng Thể tích khối đa diện liên quan đến giá trị lớn giá trị nhỏ nhất ccc BÀI TẬP DẠNG ccc Ví dụ Cho nhơm hình vng cạnh 24 cm Người ta cắt bốn góc nhơm bốn hình vng nhau, hình vng có cạnh x (cm), gập nhơm lại hình vẽ bên để hộp khơng nắp Tìm x để hộp nhận tích lớn 24cm x Lời giải Gọi x cm cạnh hình vng bị cắt (0 < x < 12) Thể tích hộp khơng nắp V (x) = x(24 − 2x)2. V0(x) = (24 − 2x)(24 − 6x) Trên (0; 12) ta có V0(x) = ⇔ x = Ta có bảng biến thiên: x V0(x) V (x) 0 12 + − 0 1024 1024 0 Từ bảng biến thiên suy V (x) đạt giá trị lớn x =  Ví dụ Cho nhơm hình chữ nhật ABCD có AD = 30 cm Ta gập nhôm theo hai cạnh M N P Q vào phía đến AB DC trùng nhau, với AN = P D (như hình vẽ bên dưới) để hình lăng trụ Tìm độ dài đoạn AN để thể tích khối lăng trụ lớn A B C D N P Q M M Q N P A ≡ D B ≡ C (23)Lời giải Gọi x cm (0 < x < 15) độ dài cạnh AN H trung điểm cạnh N P Ta tích lăng trụ V = SN AP.AB Do chiều cao AB cố định nên thể tích lăng trụ lớn diện tích tam giác N AP lớn nhất Mặt khác S = SN AP = 2N P.AH = 2(30 − 2x)p15(2x − 15) = (15 − x)p15(2x − 15) ⇒ S2 = 15(15 − x)2(2x − 15). Trên Å 15 ; 15 ã xét f (x) = (15 − x)2(2x − 15). Ta có f0(x) = 2(15 − x)(30 − 3x) = ⇒ x = 10 Ta có bảng biến thiên sau: x f0(x) f (x) 15 2 10 15 + − 0 125 125 0 Suy f (x) đạt giá trị lớn x = 10 Do S2 lớn x = 10 cm. Vậy độ dài đoạn AN = 10 cm thể tích khối lăng trụ lớn  Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy SA = b > Trên cạnh AB lấy điểm M cho AM = x với < x < a biết x2+ b2 = a2 Tìm giá trị lớn thể tích khối chóp S.ADCM Lời giải Ta có: b = √a2− x2 ⇒ VS.ADCM = 3SA · SADCM = 3b · (x + a) a = √ a2− x2(x + a)a 6 Xét hàm số f (x) =√a2 − x2(x + a) với < x < a. ⇒ f0(x) = −2x√2− ax + a2 a2 − x2 ⇒ f0(x) = ⇔   x = −a ( loại) x = a A B C D M S (24)x f0(x) f (x) 0 a 2 a + − a2 a2 3√3a2 3√3a2 4 0 Suy max f (x) = √ 3a2 4 ⇒ max V = a3√3 8 x = a 2  Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD tâm O, biết khoảng cách từ tâm O đến (SBC) a Đặt AB = x Tìm giá trị x để thể tích khối chóp S.ABCD đạt giá trị nhỏ Lời giải Gọi M trung điểm DC, H hình chiếu O lên SM Ta có: ( DC ⊥ OM DC ⊥ SO ⇒ DC ⊥ OH Do ( OH ⊥ SM OH ⊥ DC ⇒ OH ⊥ (SDC) Nên d(O, (DSC)) = OH Xét tam giác SOM có OM = x 2, OH = a, 1 SO2+ 1 OM2 = 1 OH2 ⇔ 1 SO2+ 1 x 2 2 = 1 a2 ⇒ SO = ax √ x2− 4a2 A B C D M H S O Suy thể tích khối chóp S.ABCD V = 3· SO · SABCD = · x 2· √ ax x2− 4a2 = a · x3 √ x2− 4a2 Vậy để thể tích nhỏ x √ x2− 4a2 nhỏ Xét hàm số f (x) = x3 √ x2− 4a2 khoảng (2a, +∞) Ta có f0(x) = 3x 2(x2− 4a2) − x4 p(x2− 4a2)3 ⇒ f 0 (x) = ⇔     x = x = a√6 x = −a√6 (25)x f0(x) f (x) 2a a√6 +∞ − + +∞ +∞ fÄa√6ä fÄa√6ä +∞ +∞ Vậy giá trị x cần tìm a√6  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho chóp S.ABCD cạnh SA = x, (0 < x < a√3), cạnh cịn lại có độ dài a Xác định x cho thể tích khối chóp S.ABCD tích lớn Lời giải Gọi O tâm đáy H chân đường cao hạ từ S xuống đáy Khi SH⊥OD có OD⊥OA, nên DO⊥(SAC) Ta có SO2 + OD2 = a2 trong đó        SO2 = x + a2 2 − AC2 OD2 = a2− AC Suy x 2+ a2 2 − AC2 = a 2 ⇔ x2+ a2 = AC2 ⇒ 4SAC vuông S Mặt khác ta có VS.ABCD = 2VSACD = 3OD · SSAC Do VS.ABCD = √ 3a2x2− x4 6 Xét f (x) = 3a2x2− x4 với < x < a√3 có f0(x) = 6a2x − 4x3 = ⇒        x = x = −a √ 6 x = a √ 6 A B C D S H O Ta có bảng biến thiên: x f0(x) f (x) 0 a √ 2 a √ + − 0 f Ç a√6 å f Ç a√6 2 å (26)Để thể tích VS.ABCD lớn f (x) đạt giá trị lớn Ä 0; a√3ä Vậy x = a √ 6 2  Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) 2a Gọi α góc mặt bên mặt đáy hình chóp Tìm cos α để thể tích khối chóp S.ABCD là nhỏ Lời giải Gọi O tâm hình vng ABCD Và M, N trung điểm cạnh CD, AB Góc mặt bên (SCD) (ABCD) α = ’SM O Ta có d (A, (SCD)) = d (N, (SCD)) = 2d (O, (SCD)) = 2OH (với OH⊥SN ) Suy OH = a Ta có VS.ABCD = 3SABCD· SO đó: • SO = OM tan α = a cos α • SABCD = Å 2a sin α ã2 Nên VS.ABCD = 4a3 sin2α · cos α Để VS.ABCD nhỏ sin2α · cos α lớn A B N C D M H S O α  Mặt khác ta có sin2α · cos α = cos α − cos3α. Xét hàm số f (x) = x − x3 với < x < có f0(x) = − 3x2 = ⇒     x = − √ 3 x = √ 3 Ta có bảng biến thiên: x f0(x) f (x) 0 √ 3 + − 0 2√3 2√3 9 0 Từ bảng biến thiên suy f (x) đạt giá trị lớn x = √ 3 Do thể tích VS.ABCD nhỏ cos α = √ 3 (27)khối tứ diện ABCD lớn Lời giải Ta có        (DBC) ∩ (ABC) = BC AC⊥BC DC⊥BC ⇒ ((DBC), (ABC)) = ’DCA = α Ta có AD = a sin α, AC = a cos α ⇒ VABCD = 3SABCDA = a3 6 cos α sin α Do thể tích tứ diện ABCD lớn cos2α sin α lớn hay − sin2α sin α lớn (với 0◦ < α < 90◦) A C B D α  Đặt x = sin α ⇒ x ∈ (0; 1) Ta f (x) = x − x3 có f0(x) = − 3x2 = ⇒ x = ± √ 3 Ta có bảng biến thiên sau: x f0(x) f (x) 0 √ 3 + − 0 2√3 2√3 9 0 Vậy để thể tích tứ diện lớn sin α = √ 3 Bài Trong mp(P ) cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R điểm C thuộc nửa đường tròn Kẻ CH⊥AB (với H ∈ AB) Gọi I trung điểm CH, đường thẳng vng góc với mp(P ) I (28)Ta có VSABC = 3SABC· SI = 3SI · CH · R = √ SH2− IH2· CH · R. Ta có ( CH⊥AB SI⊥AB ⇒ AB⊥(SHC) ⇒ SH⊥AB Do 4SAB vuông S nên SH2 = AH · HB ⇒ VSABC = 1 √ AH · HB − HI2· CH · R = 3 … AH · HB − HC 4 · CH · R ⇒ VSABC ≤   (AH + HB)2 4 − CH2 4 · CH · R ⇒ VSABC ≤ R 3 … R2· CH2 −CH 4 C A B I H S  Đặt CH = x với < x ≤ R Xét hàm số f (x) = R 3 … R2x2− x 4 có f0(x) = R · 2xR2− x3 … R2x2− x 4 = ⇒ " x = x = ±√2R Ta có bảng biến thiên: x f0(x) f (x) 0 R + 0 R3√3 R3√3 6 Do f (x) ≤ f (R) Vậy VSABC ≤ √ (29)BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a, ’ABC = 30◦, SA vng góc với mặt phẳng (ABC), góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 60◦ Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ trọng tâm G tam giác ABC đến mặt phẳng (SBC) theo a Lời giải SA ⊥ (ABC) ⇒(SBC), (ABC) = Ô SCA = 60 SA = AC tan 60 = a√3. Ta có S∆GBC = 3S∆ABC = 3· 1 2AB · AC = 3a 2. Thể tích khối chóp S.GBC VS.GBC = 1 3 · SA · S∆GBC = 3 · a √ 3 ·a = a3√3 Với SC = AC cos 60◦ = 2a, SB = √ SA2+ AB2 = » (a√3)2+ a2 = 2a, AB = a√2. S A C B M G Đặt p = SC + CB + SB 2 , ta có SSBC =pp(p − SC)(p − CB)(p − SB) = a2√7 2 Khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SBC) d(G, (SBC)) = 3VS.GBC S∆GBC = a3√3 9 a2√7 2 = √ 21 63  Bài Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A0B0C0 có đáy ABC tam giác vng A với AC = a, ’ ACB = 60◦ Đường thẳng BC0 hợp với mặt phẳng (AA0C0C) góc 30◦ Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 theo a Lời giải AB = AC tan 60◦ = a√3 Ta có: AB ⊥ AC; AB ⊥ AA0 ⇒ AB ⊥ (AA0C0C) nên AC0 hình chiếu ca BC0 trờn (AA0C0C) Suy gúc ( ÔBC0, (ACC0A0)) = ’BC0A = 30◦. AC0 = AB tan 30◦ = 3a AA0 =√AC02− A0C02 = 2a√2. SABC = a2√3 V = SABC· AA0 = a3 √ 6(đvtt) A B C A0 B0 C0  (30)vng góc (ABCD) Gọi G trọng tâm tam giác SAC Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCG) Lời giải Ta có BC =√AC2− AB2 =p(2a)2− a2 = a√3. Thể tích khối chóp S.ABCD VS.ABCD = 3· a · a 2√3 = a3√3 3 Gọi M trung điểm SA Ta có VG.ABC = 3VM.ABC = 3VS.ABC = 6VS.ABCD = a3√3 18 S A B C D G M Đặt p = BM + M C + BC 2 , ta có S∆M BC =pp(p − BM)(p − CM)(p − BC) với BM =√AM2+ AB2 = a √ 2 ; CM = √ AM2+ AC2 = a √ 17 2 ; BC = a √ 3 mà S∆GBC = 3S∆M BC ⇒ S∆GBC = 3· a2√15 4 = a2√15 Do đó, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCG) d(A, (BCG)) = 3VG.ABC S∆GBC = a√5 5  Bài Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0 có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A0 xuống mp(ABC) trung điểm AB Mặt bên (AA0C0C) tạo với đáy góc 45◦ Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 Lời giải Gọi H, M, I trung điểm đoạn thẳng AB, AC, AM VABC.A0B0C0 = B · h = S∆ABC · A0H (1) Do ∆ABC nên: S∆ABC = a 2√3 4 (2) Do IH đường trung bình ∆AM B, đồng thời BM trung tuyến nên đường cao Do đó: ( IH ∥ MB M B ⊥ AC ⇒ IH ⊥ AC ( AC ⊥ A0H AC ⊥ IH ⇒ AC ⊥ (A 0HI) ⇒ AC ⊥ A0I A C B A0 B0 C0 H M I Mà:        (ABC) ∩ (ACC0A0) = AC AC ⊥ IH ⊂ (ABC) AC A0I (ACC0A0) (ACCÔ0A0); (ABC)  = ’A0IH = 60◦ Trong ∆A0HI vuông H, ta có: tan 45◦ = A 0H HI ⇒ A 0H = IH · tan 45◦ = IH = 2M B = a√3 (31)Thay (2), (3) vào (1) ⇒ VABC.A0B0C0 = a2√3 · a√3 = 3a3 16  Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi K trung điểm SC Mặt phẳng qua AK cắt cạnh SB, SD M N Gọi V1, V thể tích khối chóp S.AM KN khối chóp S.ABCD Tìm giá trị nhỏ tỉ số V1 V Lời giải Đặt x = SM SB, y = SN SD (0 < x, y ≤ 1) Gọi O, I ta tâm hình bình hành ABCD trọng tâm tam giác SAC Ta có V1 V = 1 · VS.AM K VS.ABC +1 · VS.AN K VS.ADC = 2 · SK SC · SM SB + · SK SC SN SD = 1 4(x + y) Ta có 3SI =# » SB +# » SD =# » x # » SM +1 y # » SN mà I, M , N thẳng hàng nên = x + 1 y ≥ 4 x + y hay x + y ≥ 3 Suy V1 V ≥ 3 Dấu xảy x = y = Vậy minV1 V = O A S I B C M K D N  Bài 10 Cho khối tứ diện ABCD có AB = a, CD = b tất cạnh lại Khối tứ diện tích lớn bao nhiêu? Lời giải Gọi M, N trung điểm AB, CD Khi ta có tam giác ACM, ADM cân C, D nên AB⊥(CM D), M N ⊥CD Ta M D =   1 − a 4 , M N = √ M D2− N D2 nên M D =   1 −a 2+ b2 4 , SM CD = 2b   1 − a 2+ b2 4 , AM = a B M D N C A  Khi VABCD = 2VA.M CD = 6ab ·   1 − a 2+ b2 4 ≤ 1 6ab · … − ab 2 ( a2+ b2 ≥ 2ab ⇒ a 2+ b2 4 ≥ ab ) Đặt t = … 1 − ab (32)Ta f (t) = 3(t − t 3) ⇒ f0(t) = 3(1 − t 2) = ⇒     t = − √ 3 t = √ 3 Ta có bảng biến thiên sau: x f0(x) f (x) 0 √ 3 + − 0 2√3 27 2√3 27 0 Thể tích tứ diện ABCD lớn f (x) đạt giá trị lớn (0; 1) Vậy VABCD lớn (33)C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 1 MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT Câu Cho khối chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a, SA = a√3, cạnh bên SA vng góc với đáy Thể tích khối chóp S.ABC A a 3√3 2 B a3 2 C a3√3 4 D a3 4 Lời giải Ta có V = 3SA · SABC = 3a √ 3a 2√3 = a3 4 S B A C Chọn đáp án D  Câu Cho khối chóp S.ABCD cạnh bên SA vng góc với đáy, đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a, SA = 3a Thể tích khối chóp S.ABCD A 6a3. B a 3 3 C 2a 3. D a3. Lời giải Theo giả thiết ABCD hình chữ nhật nên thể tích khối chóp S.ABCD V = 3SA · AB · AD = 3· 3a · a · 2a = 2a 3. S A B C D Chọn đáp án C  Câu Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a, đường cao SO Biết SO = a √ 2 , thể tích khối chóp S.ABCD A a 3√2 6 B a3√2 3 C a3√2 2 D (34)Ta có SABCD = a2 Vậy VS.ABCD = 1 3 · SO · SABCD = 3· a√2 · a 2 = a 3√2 6 S A C O B D Chọn đáp án A  Câu Thể tích khối lăng trụ đứng tam giác có tất cạnh a A a 3√2 3 B a3 3 C a3√3 4 D a3√3 Lời giải Ta có SABC = a2√3 4 ⇒ V = h · SABC = a · a2√3 4 = a3√3 4 a a B0 B A0 A C0 C Chọn đáp án C  Câu Cho khối lăng trụ ABC.A0B0C0 tích V Tính thể tích khối đa diện ABCB0C0 theo V A 3V 4 B 2V 3 C V 2 D V Lời giải Ta có VA.A0B0C0 = 1 3V ⇒ VABCB0C0 = V − 3V = 2V B0 B A0 A C0 C Chọn đáp án B  Câu Hình chóp S.ABC có chiều cao h = a, diện tích tam giác ABC 3a2 Tính thể tích hình chóp S.ABC A a 3 B a 3. C 2a (35)Lời giải VS.ABC = 3h.S4ABC = 3.a.3a 2 = a3. Chọn đáp án B  Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA ⊥ (ABCD) SB = a√3 Thể tích khối chóp S.ABCD là: A a 3√2 2 B a3√2 6 C a 3√2. D a 3√2 3 Lời giải Ta có: SABCD = a2, SA2 = SB2− AB2 = 3a2− a2 = 2a2 ⇒ SA = a √ 2 Do VS.ABCD = 3SABCD· SA = 3a 2a√2 = √ 2 a 3. S A B C D a a√3 Chọn đáp án D  Câu Gọi S diện tích đáy, h chiều cao khối lăng trụ Thể tích khối lăng trụ là: A V = 3Sh B V = 1 6Sh C V = Sh D V = 2Sh Lời giải Theo cơng thức sách giáo khoa ta có V = Sh Chọn đáp án C  Câu Thể tích khối lăng trụ tam giác có tất cạnh a là: A a 3 3 B √ 3a3 4 C √ 3a3 3 D √ 3a3 12 Lời giải Theo giả thiết mặt đáy lăng trụ tam giác cạnh a nên đáy có diện tích B = a 2√3 4 Lăng trụ đứng chiều cao h = a, thể tích khối lăng trụ cho V = B · h = a 2√3 4 · a = a3√3 4 B0 B A0 A C0 C a a a a Chọn đáp án B  Câu 10 Cho tứ diện S.ABC Gọi A0; B0; C0 trung điểm cạnh SA; SB; SC Tỉ số thể tích VS.A0B0C0 VS.ABC bằng A 3 B 1 4 C 1 6 D 1 (36)Ta có: VS.A0B0C0 VS.ABC = SA SA SB0 SB SC0 SC = 1 1 1 = 1 A A0 C C0 B B0 S Chọn đáp án D  Câu 11 Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0 có đáy ABC tam giác cạnh a, AA0 = 3a 2 Biết hình chiếu vng góc A0 lên (ABC) trung điểm BC Tính thể tích V khối lăng trụ A V = a3 B V = 2a 3 C V = 3a3 4√2 D V = a 3… Lời giải Gọi H trung điểm BC Theo giả thiết, A0H đường cao hình lăng trụ A0H =√AA02− AH2 = a √ 6 Vậy, thể tích khối lăng trụ V = S∆ABC.A0H = a 2√3 4 a√6 2 = 3a3√2 Chọn đáp án C  Câu 12 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân A,cạnh bên SA vng góc với đáy (ABC) Biết AB = 2a SB = 2√2a Tính thể tích V khối chóp S.ABC? A V = 8a 3 B V = 4a3 3 C V = 4a 3. D V = 8a3. Lời giải ∆SAB vuông A có SA2 = SB2− AB2 = 4a2 nên SA = 2a. Có SABC = 1 2AB · AC = 2a 2. Có V = 3SA · S∆ABC = 32a · 2a 3 = 3a 3. S B A C Chọn đáp án B  Câu 13 Viết cơng thức tính thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B (đvdt) chiều cao có độ dài h A V = B2h. B V = Bh. C V = 3Bh D V = 3Bh Lời giải (37)Câu 14 Cho lăng trụ lục giác có cạnh đáy a khoảng cách hai đáy lăng trụ 4a Tính thể tích V lăng trụ cho? A V = 9√3a3. B V = 6√3a3. C V = 2√3a3. D V = 3√3a3. Lời giải Diện tích đáy: S = · S∆AOB = · a 2√3 4 = 3√3a2 Khi thể tích khối lăng trụ là: V = S · h = √ 3a2 2 · 4a = √ 3a3 Chọn đáp án B  Câu 15 Thể tích khối lập phương cạnh 2a A 8a3 B 2a3 C a3 D 6a3 Lời giải Thể tích khối lập phương cạnh 2a V = (2a)3 = 8a3. Chọn đáp án A  Câu 16 Cho khối chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) SA = 2, tam giác ABC vuông cân A AB = Thể tích khối chóp S.ABC A 6 B 1 3 C D 2 Lời giải Ta có SABC = 2AB · AC = 2 ⇒ VS.ABC = 3SA · SABC = A S B C Chọn đáp án B  Câu 17 Hình lăng trụ có chiều cao h diện tích đáy S thể tích A 6Sh B 1 3Sh C 1 2Sh D Sh Lời giải Thể tích khối lăng trụ V = Sh Chọn đáp án D  Câu 18 Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 có cạnh a Tính thể tích V khối chóp D0.ABCD A V = a 4 B V = a3 6 C V = a3 3 D V = a 3. Lời giải Diện tích đáy ABCD SABCD = a2, chiều cao D0D = a Do VD0.ABCD= 1 3SABCD· D 0D = 3a 2· a = a 3 (38)Câu 19 Cho lăng trụ tam giác đều, có độ dài tất cạnh Tính thể tích V khối lăng trụ A V = 2√3 B V = √ 3 3 C V = 9√3 2 D V = 27√3 Lời giải Diện tích đáy tam giác cạnh S = 2√3 4 = √ 3 Thể tích khối lăng trụ V = S · h =√3 · = 2√3 Chọn đáp án A  Câu 20 Cho lăng trụ tứ giác có đáy hình vng cạnh a, chiều cao 2a Tính thể tích khối lăng trụ A 2a 3 B 4a3 3 C a 3. D 2a3. Lời giải Đáy lăng trụ tứ giác hình vng cạnh a nên diện tích đáy S = a2 Khi thể tích lăng trụ là: V = S.h = a2.2a = 2a3 Chọn đáp án D  Câu 21 Tính thể tích khối hộp chữ nhật có độ dài cạnh xuất phát từ đỉnh 2a, 3a, 4a A a3 B 9a3 C 24a D 24a3 Lời giải Gọi x, y, z cạnh hình hộp chữ nhật Ta có: V = x.y.z = 2a.3a.4a = 24a3. Chọn đáp án D  Câu 22 Diện tích đáy khối chóp có chiều cao h thể tích V A B = 6V h B B = 3V h C B = 2V h D B = V h Lời giải Ta có: V = 3Bh ⇒ B = 3V h Chọn đáp án B  Câu 23 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = 3a SA vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD A 3a3 B 9a3 C a3 D a 3 Lời giải Ta tích khối chóp S.ABCD VS.ABCD = 3SA · SABCD = 3 · 3a · a 2 = a3. D A C S B (39)Câu 24 Cho khối chóp tam giác có đường cao 100 cm cạnh đáy 20 cm, 21 cm, 29 cm Tính thể tích khối chóp A 000√2 cm3. B 000 cm3. C 213 cm3. D 000 cm3. Lời giải Diện tích đáy S =   20 + 21 + 29 Å 20 + 21 + 29 − 20 ã Å 20 + 21 + 29 − 21 ã Å 20 + 21 + 29 − 29 ã = 210 cm2 Thể tích khối chóp V = 3· S · h = 3· 210 · 100 = 000 cm 3. Chọn đáp án D  Câu 25 Cho hình 20 mặt có cạnh Gọi S tổng diện tích tất mặt đa diện Mệnh đề đúng? A S = 20√3 B S = 20 C S = 10√3 D S = 10 Lời giải Tổng diện tích tất mặt đa diện S = 20 · 2√3 4 = 20 √ 3 Chọn đáp án A  Câu 26 Hình lập phương có đường chéo mặt bên cm Tính thể tích khối lập phương A 8√2 cm3. B 16√2 cm3. C cm3. D 2√2 cm3. Lời giải Độ dài cạnh hình lập phương √4 = √ cm Thể tích khối lập phương V = (2√2)3 = 16√2 cm3. Chọn đáp án B  Câu 27 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có AB = cm; AD = cm; AA0 = cm Tính thể tích khối chóp A.A0B0D0 A cm3. B 10 cm3. C 20 cm3. D 15 cm3. Lời giải Ta có VA.A0B0D0 = 1 3· AA 0 ·1 · A 0B0 · A0D0 = cm3. D C B0 A0 C0 D0 A (40)Chọn đáp án A  Câu 28 Cho (H) khối lăng trụ đứng tam giác có tất cạnh a Tính thể tích (H) A a 2 B a3√3 2 C a3√3 4 D a3√2 Lời giải Thể tích khối lăng trụ đứng, tam giác có tất cạnh a V = S4ABC· AA0 = a 2√3 4 · a = a3√3 4 A A0 C C0 B0 B Chọn đáp án C  Câu 29 Cho khối chóp tích V = 36 cm3 diện tích mặt đáy B = cm2 Tính chiều cao khối chóp A h = 18 cm B h = 2 cm C h = cm D h = 72 cm Lời giải Từ công thức thể tích khối chóp, ta suy h = 3V S = 3 · 36 6 = 18 cm Chọn đáp án A  Câu 30 Cho tứ diện O.ABC có OA, OB, OC đơi vng góc OA = a, OB = b, OC = c Tính thể tích khối tứ diện O.ABC A abc 3 B abc 4 C abc 6 D abc Lời giải O B A C a b c Ta có: VO.ABC = 3· S∆BOC · OA = · 1 2bca = 1 6abc (41)Câu 31 Cho khối lăng trụ đứng có diện tích đáy 2a2 cạnh bên 3a Thể tích khối lăng trụ cho A 2a3. B 3a3. C 18a3. D 6a3. Lời giải V = Sđáyh = 2a2· 3a = 6a3. Chọn đáp án D  Câu 32 Cho khối lăng trụ đứng có diện tích đáy 2a2 cạnh bên 3a Thể tích khối lăng trụ cho A 2a3 B 3a3 C 18a3 D 6a3 Lời giải Thể tích khối lăng trụ đứng V = 2a2 · 3a = 6a3. Chọn đáp án D  Câu 33 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có AA0 = 2a, tam giác ABC vng B có AB = a, BC = 2a Thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 A 2a3. B 2a 3 3 C 4a3 3 D 4a 3. Lời giải Ta có SABC = 2 · AB · BC = a 2. Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 VABC.A0B0C0 = AA0· SABC = 2a3 B0 B A0 A C0 C Chọn đáp án A  Câu 34 Cho khối lăng trụ đứng ABC.A0B0C0có đáy tam giác vuông A với AB = a, AC = 2a√3, cạnh bên AA0 = 2a Thể tích khối lăng trụ bao nhiêu? A a3. B a3√3. C 2a 3√3 3 D 2a 3√3. Lời giải Ta có V = AA0· SABC = 2a · a · 2a√3 = 2a 3√3. Chọn đáp án D  Câu 35 Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có AB = a, AD = b, AA0 = c Thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 bao nhiêu? A 3abc B 3abc C abc D 1 2abc Lời giải Thể tích khối hộp chữ nhật tích ba kích thước Vậy VABCD.A0B0C0D0 = AB · AD · AA0 = abc Nhận xét: Bài đề gốc cho AC = c nên khơng có phương án Tôi sửa đề thành AA0 = c (42)Câu 36 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 có AB = 2a, A0A = a√3 Tính thể tích V khối lăng trụ ABC.A0B0C0 theo a A V = 3a 4 B V = a 3. C V = 3a3. D V = a 3 Lời giải Diện tích tam giác ABC S4ABC = AB 2√3 = a 2√3. Thể tích V khối lăng trụ ABC.A0B0C0 VABC.A0B0C0 = AA0 · S4ABC = 3a3 Chọn đáp án C  Câu 37 Thể tích khối chóp có diện tích mặt đáy B, chiều cao h tính công thức A V = 3Bh B V = Bh C V = 1 2Bh D V = 3Bh Lời giải Công thức tính thể tích chóp Chọn đáp án A  Câu 38 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA ⊥ (ABCD) SA = a√3 Khi đó, thể tích khối chóp A a 3√3 3 B a3√3 4 C a 3√3. D a 3√3 Lời giải S A B C D VS.ABCD = 3 × SA × SABCD = × a √ 3 × a2 = a 3√3 3 Chọn đáp án A  Câu 39 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông A, AB = 2a, AC = 3a, SA vng góc với đáy SA = a Thể tích khối chóp S.ABC A 2a3 B 6a3 C 3a3 D a3 (43)Ta có SABC = 2AB · AC = 22a · 3a = 3a 2. ⇒ V = 3SABC· SA = 3· 3a 2· a = a3. A S B C Chọn đáp án D  Câu 40 Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B chiều cao h A V = 3Bh B V = 1 6Bh C V = 1 2Bh D V = Bh Lời giải Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B chiều cao h V = Bh Chọn đáp án D  Câu 41 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 có AB = 2a, AA0 = a√3 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 A 3a3. B a3. C a 3 4 D 3a3 Lời giải Ta có S4ABC = √ 3 AB 2 = √ 3 · (2a) 2 =√3a2 Do VABC.A0B0C0 = S4ABCAA0 = √ 3a2· a√3 = a3 B0 B A0 A C0 C Chọn đáp án B  Câu 42 Nếu cạnh hình lập phương tăng lên gấp lần thể tích hình lập phương tăng lên lần? A 27 B C D Lời giải V0 = (3a)3 = 33· a3 = 27V Chọn đáp án A  Câu 43 Cho khối chóp S.ABC Trên đoạn SA, SB, SC lấy ba điểm A0, B0, C0 cho SA0 = 2SA, SB = 3SB; SC = 4SC Khi tỉ số thể tích hai khối chóp S.A 0B0C0 và S.ABC A 2 B 1 12 C 1 24 D 1 Lời giải Ta có V SA0BC VSABC = SA0 SA · SB0 SB · SC0 SC = · 1 3· 1 = (44)Chọn đáp án C  Câu 44 Cho tứ diện SABC có cạnh SA, SB, SC đơi vng góc với Biết SA = 3a, SB = 4a, SC = 5a Tính theo a thể tích V khối tứ diện SABC A V = 20a3 B V = 10a3 C V = 5a 2 D V = 5a 3. Lời giải Ta có ( SA ⊥ SC SA ⊥ SB ⇒ SA ⊥ (SBC) Nên VS.ABC = 3 · SA · S∆SBC = 3· SA · 1 2· SB · SC = 10a 3. B C A S Chọn đáp án B  Câu 45 Cho hình chóp S.ABC có A0, B0 trung điểm SA, SB Gọi V1, V2 thể tích khối chóp S.A0B0C0 S.ABC Tính tỷ số V1 V2 A 8 B 1 4 C 1 2 D 1 Lời giải Ta có V1 V2 = SA SA · SB0 SB = 1 · 1 = 1 B C S A B0 A0 Chọn đáp án B  Câu 46 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt đáy (ABCD), SA = 2a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC A a 3 3 B a3 6 C a3 4 D (45)Ta có VS.ABC = 3· SABC· SA = 3· a2 2 · 2a = a3 3 D S A B C Chọn đáp án A  Câu 47 Thể tích V khối lăng trụ có chiều cao h diện tích B A V = Bh B V = 6Bh C V = 1 3Bh D V = 1 2Bh Lời giải Ta có V = hB Chọn đáp án A  Câu 48 Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c Thể tích V khối hộp chữ nhật A V = (a + b)c B V = 3abc C V = abc D V = (a + c)b Lời giải Thể tích khối hộp chữ nhật cho là: V = abc Chọn đáp án C  Câu 49 Cho khối tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đơi vng góc với OA = 2OB = 3OC = 3a Thể tích khối tứ diện cho A 6a3 B 4a 3 3 C 9a 3. D 3a 3 4 Lời giải Ta có OA = 3a, OB = 3a 2 , OC = a ⇒ V = 3S∆ABC · OC = 3· 1 2OA · OB · OC = 3a3 4 Chọn đáp án D  Câu 50 Cho khối lăng trụ ABC.A0B0C0, tam giác A0BC có diện tích khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A0BC) Thể tích khối lăng trụ cho A B C D (46)Ta có VA0.ABC = 1 3· SA0BC · d(A, (A 0BC)) = 3· · = Vậy VABC.A0B0C0 = 3VA0.ABC = B0 B A0 A C0 C Chọn đáp án C  Câu 51 Thể tích khối lăng trụ có đường cao 3a diện tích mặt đáy 4a2 là A 12a3. B 4a3. C 4a2. D 12a2. Lời giải Phương pháp: Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy S chiều cao h V = S · h Cách giải: Thể tích khối lăng trụ là: V = S · h = 4a2· 3a = 12a3. Chọn đáp án A  Câu 52 Tính thể tích khối lập phương ABCD.A0B0C0D0 cạnh a A a 3 3 B a3 2 C a 3. D a 3 Lời giải Thể tích khối lập phương ABCD.A0B0C0D0 cạnh a là: a3. Chọn đáp án C  Câu 53 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = 3a, BC = a, cạnh bên SD = 2a SD vng góc với đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD A a3 B 2a3 C 6a3 D 3a3 Lời giải Ta tích khối chóp S.ABCD V = 3 · SD · AB · BC = 3· 2a · 3a · a = 3a 3. Chọn đáp án D  Câu 54 Trong không gian, cho khối hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có AB = m, AA0 = m BC = m Tính thể tích V khối hộp chữ nhật A V =√5 m3 B V = m3 C V = m3 D V = 3√5 m3 Lời giải Thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 V = AB · AD · AA0 = AB · BC · AA0 = · · = m3 A0 B0 C0 C D A D0 B (47)Câu 55 Thể tích khối lập phương cạnh 2a A 8a3. B 2a3. C a3. D 6a3. Lời giải Thể tích khối lập phương cạnh 2a (2a)3 = 8a3. Chọn đáp án A  Câu 56 Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đơi vng góc với SA = √3; SB = 2; SC = Tính thể tích khối chóp S.ABC A √ 3 2 B √ 3 C √3 D 3√3 Câu 57 Cho chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh 4, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng (ABC) SA = Tính thể tích V khối chóp S.ABC A 24√3 B 8√3 C 6√3 D 4√3 Lời giải Ta có V = 3.SA.SABC = 3.6 42√3 = √ Chọn đáp án B  Câu 58 Một khối lăng trụ khối chóp có diện tích đáy chiều cao thể tích khối lăng trụ gấp lần thể tích khối chóp? A B C D Câu 59 Cho khối lăng trụ có B > diện tích mặt đáy, a > khoảng cách từ đỉnh tới mặt đáy Thể tích khối lăng trụ cho cơng thức đây? A V = B · a B V = 3B · a C V = 2B · a D V = 6B · a Câu 60 Cho hình chóp S.ABC có diện tích đáy 5, chiều cao có số đo gấp lần diện tích đáy Thể tích khối chóp A 125 3 B 125 C 25 3 D 25 Câu 61 Tính thể tích V khối lăng trụ có diện tích đáy B chiều cao h A V = Bh B V = 4Bh C V = 1 3Bh D V = 1 2Bh Câu 62 Thể tích khối lập phương có cạnh a A a 3 3 B a3 3 C 2a 3. D a3. Câu 63 Thể tích khối chóp có diện tích đáy B chiều cao h A V = 2Bh B V = 1 3Bh C V = 1 3B 2h. D V = Bh. Câu 64 Thể tích V khối chóp có diện tích đáy B chiều cao h A V = 3Bh B V = Bh C V = 3Bh D V = Bh 2. Câu 65 Cho khối lăng trụ ABC.A0B0C0 Gọi B diện tích đáy lăng trụ, V thể tích lăng trụ Tính chiều cao h lăng trụ A h = 3V B B h = B V C h = V B D h = (48)Ta có: V = B.h ⇒ h = V B B C B0 C0 A A0 Chọn đáp án C  Câu 66 Cho hình chóp S.ABC, đáy tam giác ABC có diện tích 12 cm2 Cạnh bên SA = 2 cm SA⊥ (ABC) Tính thể tích khối chóp S.ABC A 24 cm3. B cm3. C 12 cm3. D cm3. Câu 67 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA⊥ (ABC) SA = a√6 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a A a 3√2 4 B a 3√2. C a 3√3 12 D a3√2 12 Câu 68 Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0, có đáy ABC tam giác vuông A, AB = 3a, AC = 4a, cạnh bên AA0 = 2a Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 A 12a3 B 4a3 C 3a3 D 6a3 Lời giải Ta có: SABC = 6a2; h = AA0 = 2a Vậy V = 12a3. B C B0 C0 A A0 3a 4a 2a Chọn đáp án A  Câu 69 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a Biết SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = 3a Thể tích hình chóp S.ABCD là: A 6a3 B 2a2 C 2a3 D a 3 Lời giải Thể tích hình chóp S.ABCD V = 3.SA.SABCD = 3.3a.a.2a = 2a 3. Chọn đáp án C  (49)A B C √6 D Lời giải Chọn đáp án D  Câu 71 Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A0B0C0D0 Biết AC = 2a cạnh bên AA0 = a√2 Thể tích lăng trụ là: A √ 2a3 3 B 2√2a3 3 C √ 2a3 D 2√2a3 Lời giải Ta có: AC = 2a ⇒ AB =√2a ⇒ SABCD = 2a2 Ta có: VABCD.A0B0C0D0 = AA0.SABCD = a √ 2.2a2 = 2√2a3 Chọn đáp án D  Câu 72 Tính độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c A √a2+ b2− c2. B √2a2+ 2b2− c2. C √a2+ b2− 2c2. D √a2+ b2+ c2. Lời giải Giả sử hình hộp chữ nhật ABCD.HGF E có AB = a, AD = b, AH = c Mặt chéo BCEH hình chữ nhật có đường chéo CH = √BC2+ BH2 = √BC2+ AB2+ AH2 = √ a2 + b2+ c2. A B C D E F G H Chọn đáp án D  Câu 73 Một khối lăng trụ có chiều cao 2a diện tích đáy 2a2 Tính thể tích khối lăng trụ A V = 4a 3 B V = 2a3 3 C V = 4a 3. D V = 4a 2 Lời giải V = B · h = 2a2· 2a = 4a3. Chọn đáp án C  Câu 74 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A, AB = a Đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng (ABC) SA = a√3 Tính thể tích V khối chóp S.ABC A V = √ 2a3 6 B V = √ 2a3 2 C V = √ 3a3 2 D V = √ 3a3 Lời giải Có S∆ABC = a2 2 Vậy V = 3SA.S∆ABC = √ 3a3 A B (50)Chọn đáp án D  Câu 75 Cho khối lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AC = a√5 Mặt bên BCC0B0 hình vng Tính thể tích V khối lăng trụ cho A V =√2a3. B V = 3√2a3. C V = 4a3. D V = 2a3. Lời giải Ta có: BC =√AC2− AB2 = 2a Vì BCC0B0 hình vng nên BB0 = BC = 2a Vậy thể tích khối lăng trụ là: V = B.h = 2BA.BC.BB = 2.a.2a.2a = 2a 3. A0 B0 C0 A B C Chọn đáp án D  Câu 76 Tính thể tích khối lập phương có cạnh a√3 A V = 9a3. B V = 3√3a3. C V = 27a3. D V =√3a3. Câu 77 Gọi B, h diện tích đáy chiều cao khối chóp Thể tích V khối chóp tính theo cơng thức sau đây? A V = 3Bh B V = 1 2Bh C V = Bh D V = 1 6Bh Câu 78 Cho khối chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC vng A Biết SA = 3a 2 , AB = a, AC = 4a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC A 2a3. B a3. C a 3 3 D a3 Câu 79 Một lăng trụ có chiều cao 6dm; diện tích mặt đáy 120cm2 Tính thể tích V của khối lăng trụ A V = 7200cm3 B V = 72000cm3 C V = 720cm3 D V = 240cm3 Câu 80 Hình chóp tứ giác S.ABCD có mặt? A B C D Câu 81 Cho hình chóp SABC có đáy 4ABC vng cân C SA vng góc với mặt phẳng đáy, AB = 4a, SB = 6a, thể tích khối chóp SABC A √ 5a3 3 B √ 5a3 2 C 16√5a3 3 D 4√5a3 Câu 82 Cho hình khối chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA = 3a vng góc với đáy Khi thể tích khối chóp A a3 B a 3 C 3a 3. D 6a3. (51)Diện tích đáy B = a2 Thể tích V = 3Bh = 3· a 2· 3a = a3. S B A C D Chọn đáp án A  Câu 83 Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC tam giác cạnh a, AA0 = 4a Thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 A a3 B 2√3a3 C √3a3 D √ 3a3 Lời giải Do lăng trụ ABC.A0B0C0 lăng trụ đứng ⇒ AA0 ⊥ (ABC), suy AA0 = 4a chiều cao lăng trụ cho Do 4ABC đều, suy diện tích đáy S4ABC = a 2√3 4 Thể tích khối lăng trụ V = AA0· S4ABC = 4a · a 2√3 4 = a 3√3. B0 B A0 A C0 C Chọn đáp án C  Câu 84 Khối lăng trụ có diện tích đáy S chiều cao h thể tích khối lăng trụ A 3· S · h B 2S · h C S · h D 1 6S · h Lời giải Theo cơng thức tính thể tích khối lăng trụ V = S · h Chọn đáp án C  Câu 85 Thể tích khối hộp chữ nhật có chiều dài ba kích thước cm, cm, cm A 24 cm3 B cm3 C 18 cm3 D 30 cm3 Lời giải Thể tích khối hộp chữ nhật V = · · = 24 cm3 A B C D0 C0 A0 D B0 (52)Câu 86 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC tam giác vng C, biết AB = a√3, AC = a√2, SA ⊥ (ABC) SA = a Thể tích khối chóp S.ABC A a 3√3 6 B a3√2 12 C a3√2 6 D a3√2 Lời giải A C B S Tam giác ABC vuông C nên BC =√AB2− AC2 = a. VS.ABC = 1 3 · SA · SABC = · a · 1 · a · a √ = a 3√2 Chọn đáp án C  Câu 87 Tính thể tích V khối lập phương ABCD.A0B0C0D0 biết AC0 = 2a√3 A V = 8a3 B V = a3 C V = √ 6a3 4 D V = √ 3a3 Lời giải Gọi x > độ dài cạnh hình lập phương Ta có đường chéo hình lập phương AC0 = x√3 = 2a√3 ⇔ x = 2a Vậy thể tích hình lập phương V = x3 = 8a3 A B D0 C0 A0 D C B0 Chọn đáp án A  Câu 88 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 có AB = 2a, AA0 = a√3 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 A 3a 4 B a3 4 C 3a 3. D a3. Lời giải Ta có V = AA0.SABC = a √ 3.4a 2√3 4 = 3a 3. Chọn đáp án C  Câu 89 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = 3a SA vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD A a 3 B 9a 3. C a3. D 3a3. (53)VS.ABCD = 3SA.SABCD = 3.3a.a 2 = a3 Chọn đáp án C  Câu 90 Viết công thức tính thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B chiều cao có độ dài h A V = B2h. B V = Bh. C V = 3Bh D V = 3Bh Lời giải Chọn đáp án B  Câu 91 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có AA0 = 2a, tam giác ABC vng B có AB = a, BC = 2a Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 A 2a3. B 2a 3 3 C 4a3 3 D 4a 3. Lời giải Do giả thiết AA0 ⊥ (ABC) gọi V thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 ta có V = AA0 · S4ABC = · AA 0· AB · BC = 2 · 2a · a · 2a = 2a 3. A A0 B0 B C C0 Chọn đáp án A  Câu 92 Tính thể tích V khối lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 có tất cạnh 2a A V = 2a 3√3 3 B V = a3√3 6 C 2a 3√3. D V = a 3√3 Lời giải Ta có V = S · h = 2a · 4a 2√3 4 = 2a 3√3. Chọn đáp án C  Câu 93 Cho (H) khối chóp tứ giác có tất cạnh a Tính thể tích khối chóp (H) A 3a 3. B √ a 3. C √ a 3. D √ a (54)A B C D O S Xét hình vng ABCD, có OC nửa đường chéo ⇒ OC = AB √ 2 2 = a√2 Lại có ∆SOC vuông O ⇒ SO =√AC2− OC2 = a √ 2 Vậy thể tích khối chóp: V = 3× SO × AB = √ a 3. Chọn đáp án B  Câu 94 Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 có O giao điểm AC BD Khi tỉ số thể tích khối chóp O.A0B0C0D0 khối hộp ABCD.A0B0C0D0 bao nhiêu? A 3 B 1 2 C 1 4 D 1 Lời giải A0 B0 C0 D0 O0 A B C D O VO.A0B0C0D0 = 1 3 × OO 0× S A0B0C0D0· VABCD.A0B0C0D0 = AB × SA0B0C0D0 = OO0 × SA0B0C0D0· ⇒ VO.A0B0C0D0 VABCD.A0B0C0D0 = 3· Chọn đáp án A  Câu 95 Khối đa diện sau có cơng thức tính thể tích V = 3 · B · h (B diện tích đáy, h chiều cao)? (55)Vì khối lập phương và khối hộp chữ nhật khối lăng trụ nên ta có cơng thức tính thể tích chung V = Bh Chỉ có khối chóp có cơng thức tính thể tích V = 3 · B · h Chọn đáp án B  Câu 96 Trong cách mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Hai khối lăng trụ có diện tích đáy chiều cao tương ứng tích B Hai khối chóp có chiều cao diện tích đáy tương ứng tích C Hai khối hộp lập phương có diện tích tồn phần tích D Hai khối hộp chữ nhật có diện tích tồn phần tích Lời giải Xét hai hình hộp chữ nhât có kích thước 3, 3, 2 2, 2, Dễ thấy hai khối hộp có diện tích tồn phần 24 thể tích 2 Chọn đáp án D  Câu 97 Khi tăng độ dài tất cạnh khối hộp chữ nhật lên gấp đơi thể tích khối hộp tương ứng thay đổi nào? A Tăng lần B Tăng lần C Tăng lần D Tăng lần Lời giải Giả sử kích thước khối hộp a, b, c V thể tích khối hộp Thể tích khối hộp sau tăng gấp đôi độ dài cạnh (2a)(2b)(2c) = 8abc = 8V Thể tích khối hộp tăng lên lần Chọn đáp án A  Câu 98 Hình chóp S.ABC có chiều cao h = a, diện tích tam giác ABC 3a2 Tính thể tích hình chóp S.ABC A a 3 B a 3. C 3a 3 2 D 3a 3. Lời giải Thể tích khối chóp VS.ABC = 3 · h · S4ABC = 3· a · 3a 2 = a3. Chọn đáp án B  Câu 99 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Hai khối chóp có hai đáy tam giác thể tích B Hai khối đa diện tích C Hai khối đa diện tích D Hai khối lăng trụ có chiều cao thể tích Câu 100 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác Nếu tăng độ dài cạnh đáy lên lần độ dài đường cao khơng đổi thể tích S.ABC tăng lên lần? A B C (56)Lời giải Nếu tăng độ dài cạnh đáy lên lần diện tích đáy tăng lên lần, mà chiều cao có độ dài khơng đổi nên thể tích S.ABC tăng lên lần (57)ĐÁP ÁN (58)2 MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU Câu Cho khối chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, góc cạnh bên đáy 30◦ Thể tích khối chóp S.ABC A a 3√2 18 B a3√2 36 C a3√3 18 D a3√3 36 Lời giải Gọi H hình chiếu S lên (ABC) Khối chóp S.ABC nên H trọng tâm tam giác ABC Xét tam giác ABI ta có AI =√AB2− BI2 = … a2−a 2 = a √ Vì H trọng tâm tam giác ABC nên AH = 3AI = 2 a√3 = a√3 S B H I A C Lại có AH hình chiếu vng góc SA lờn (ABC) Suy Ô(SA, (ABC)) = (SA, AH) = 30◦ Xét tam giác SAH ta có SH = tan 30◦· AH = √ 3 a√3 = a Diện tích tam giác ABC SABC = 2AB · BC = a√3 a = a2√3 Vậy VS.ABC = 3SABCSH = a2√3 a = a3√3 36 Chọn đáp án D  Câu Cho hình chóp tam giác có cạnh a, góc cạnh bên mặt phẳng đáy 60◦ Thể tích khối chóp A a 3√3 12 B a3√3 36 C a3 12 D a3 36 Lời giải Góc cạnh bên mặt phẳng đáy ’SAH = 60◦ AH = 3AM = 3· a√3 = a√3 SH = AH · tan 60◦ = a √ 3 · √ = a Do SABC = a 2√3 4 ⇒ V = 3· a · a2√3 = a3√3 12 A D B H C (59)Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân C, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, biết AB = 4a, SB = 6a Thể tích khối chóp S.ABC V Tỉ số 4a 3 3V có giá trị A √ 5 10 B 3√5 8 C √ 8 D √ 160 Lời giải Ta có SA =√SB2− AB2 =√36a2− 16a2 = 2a√5 ⇒ AC = AB√ 2 = 4a √ 2 = 2a √ 2 Do SABC = 2AC 2 = 2(2a √ 2)2 = 4a2 Vậy V = 3SA · SASC = · 2a √ 5 · 4a2 = √ 5 a 3 ⇒ 4a 3V = √ 10 S B A C Chọn đáp án A  Câu Cho hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC), tam giác ABC cạnh 2a, tam giác SAB vng cân S Tính thể tích hình chóp S.ABC A a 3√3 3 B a3√3 6 C 2a3√3 3 D a3√3 12 Lời giải S H A C B 2a Kẻ SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ (ABC) Vì (ABC) ∩ (ABC) = AB (ABC) ⊥ (ABC) Ta có: SH = AB 2 = a (Do SAB tam giác vuông cân S cạnh huyền AB = 2a) Diện tích tam giác ABC S4ABC = (2a)2 √ 3 = √ 3a2. Vậy thể tích khối chóp SABC là: VSABC = 1 3.SH.S4ABC = 3.a √ 3a2 = a 3√3 3 Chọn đáp án A  Câu Cho hình chop S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) ABCD hình chữ nhật với AB = a, AC = a√5, SC = 3a Tính thể tích hình chóp S.ABCD A 4a3 B 4a 3 3 C 2a3 3 D (60)S O A B C D Tam giác ABC vuông B nên BC = √AC2− AB2 = 2a. Tam giác SAC vuông A nên SA =√SC2− AC2 = 2a. Thể tích hình chóp SABCD V = 3.2a.2a = 3a 3. Chọn đáp án B  Câu Cho hình lăng trụ ABCDA0B0C0D0 có hình chiếu A0 lên mp(ABCD) trung điểm AB, ABCD hình thoi cạnh 2a, góc ABC = 60_ ◦, BB0 tạo với đáy góc 30◦ Tính thể tích hình lăng trụ ABCDA0B0C0D0 A a3√3 B 2a 3 3 C 2a 3. D a3. Lời giải Gọi H hình chiếu A’ mp(ABCD) Dễ thấy góc](BB0; mp(ABCD)) = ](AA0; mp(ABCD)) = ]A0AH = 30o AH = a ⇒ A0H = a √ 3 3 Dễ dàng tính diện tích đáy: SABCD = 2.(2a) 2. √ = 2a 2√3. Suy ra: VABCD.A0B0C0D0 = 2a3 Chọn đáp án C  Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD), SA = a√3 Thể tích khối chóp S.ABC A a 3√3 3 B a 3√3. C 2a 3√3 3 D 2a 3√3. Lời giải S B C A D a (61)Ta có: VS.ABC = 3· SA · 1 2AB · BC = a3√3 3 Chọn đáp án A  Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên SA ⊥ (ABC) SA = a√3 Tính thể tích khối chóp S.ABC A 2a 3 B 1 4 C a3 4 D 3a3 Lời giải Ta có: S4ABC = a 2√3 4 SA ⊥ (ABC) ⇒ Thể tích khối chóp V = 3.S4ABC.SA = 3 a2√3 4 a √ 3 = a S B A C Chọn đáp án C  Câu Một hồ bơi có dạng hình hộp chữ nhật có chiều dài 50 m, chiều rộng 19 m Biết hồ bơi có 1900000 lít nước Độ sâu hồ bơi lúc A 1,8 m B 1,4 m C 1,6 m D m Lời giải Vậy, độ sâu hồ bơi lúc m Phương pháp: Công thứ tính thể tích khối hộp chữ nhật là: V = abh Cách giải: Đổi 1900000 lít = 1900 m3 Theo đề ta có: 1900 = 50.19.h ⇔ h = m a b h Chọn đáp án D  Câu 10 Nếu hình chóp có chiều cao cạnh đáy tăng lên lần thể tích tăng lên A 18 lần B 54 lần C lần D 27 lần Lời giải Phương pháp: Cơng thức tính thể tích khối chóp: V = 3Sh Cách giải: Giả sử hình chóp có chiều cao h cạnh đáy a Thể tích khối chóp là: V = 3.a (62)Khi chiều cao cạnh đáy tăng lên lần thể tích khối chóp là: V0 = 3(3a) 2.3h = 27.1 3.a 2.h = 27V. Vậy thể tích tăng 27 lần Chọn đáp án D  Câu 11 Cho hình chóp S.ABCD Gọi A0, B0, C0, D0 theo thứ tự trung điểm SA, SB, SC, SD Tính tỉ số thể tích hai khối chóp A.A0B0C0D0 S.ABCD A 16 B 1 4 C 1 8 D 1 Lời giải Ta có VS.A0B0D0 VS.ABCD = SA0 SA SB0 SB SD0 SD = 1 ⇒ VS.A0B0D0 VS.ABCD = 16 Và VS.B0D0C0 VS.ABCD + VS.B0D0C0 VS.ABCD = 16+ 1 16 = 1 ⇒ VS.A0B0C0D0 VS.ABCD = 8 Chọn đáp án C  Câu 12 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a√6, góc cạnh bên mặt đáy 60◦ Tính thể tích V khối chóp S.ABC? A V = 9a3 B V = 2a3 C V = 3a3 D V = 6a3 Lời giải Ta có hình chóp tứ giác có cạnh đáy a√6 ⇒ AB = BC = CD = AD = a√6 Ta có BD =√DC2+ CB2 = 2√a ⇒ OB = BD = a √ Diện tích ∆ABC S∆ABC = 2AB · BC = 3a 2. Vì góc cạnh bên mặt đáy 60◦ ⇒ ’SBO = 60◦ Ta có SO = OB · tan ’SBO = 3a Vậy thể tích khối chóp S.ABC VS.ABC = 3SO · S∆ABC = 3· 3a · 3a 2 = 3a3. S A D B C O Chọn đáp án C  Câu 13 Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 với O0 tâm hình vng A0B0C0D0 Biết tứ diện O0BCD tích 6a3 Tính thể tích V khối lập phương ABCD.A0B0C0D0 A V = 18a3 B V = 54a3 C V = 12a3 D V = 36a3 (63)Ta có: V = AA0· SABCD = d[(O0;(ABCD))]· 2SBCD = 6VO0BCD = 36a3 Do đó, chọn D A0 B0 O0 D C A D0 C0 B Chọn đáp án D  Câu 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a√3, AD = a, cạnh SA có độ dài 2a vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối chóp S.BCD A 2a 3 B a3√3 3 C 2a3√3 3 D a3 Lời giải Diện tích tam giác BCD SBCD = 2SABCD = 2a 2√3. Đường cao khối chóp SA = 2a Thể tích khối chóp S.BCD VS.BCD = 3· SBCD · SA = 3a 3√3. S A B C D Chọn đáp án B  Câu 15 Lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 tích V Khi đó, thể tích khối chóp A.BCC0B0 A V 2 B 3V 4 C 2V 3 D V Lời giải Ta có VA.A0B0C0 = 1 3V Suy VA.BCC0B0 = V − VA.A0B0C0 = 2 3V A C A0 C0 B0 B Chọn đáp án C  Câu 16 Cho khối chóp tứ giác có tất cạnh 2a Thể tích khối chóp cho A √ 2a3 3 B 8a3 3 C 8√2a3 3 D (64)Lời giải Diện tích đáy SABCD = (2a)2 = 4a2. Đường chéo đáy AC = 2√2a nên AO = a√2, do chiều cao SO =√SA2− AO2 =√4a2− 2a2 = a√2. Vậy thể tích V = 3SABCD· SO = 34a 2a√2 = √ 2a3 Chọn đáp án A  Câu 17 Cho khối lăng trụ ABC.A0B0C0 có tất cạnh a, mặt bên hợp với mặt đáy góc 60◦ Thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 A a 3√3 24 B 3a3 8 C a3√3 8 D a3 Lời giải Kẻ A0H ⊥ (ABC) ⇒ (A0A, (ABC)) = ÷A0AH = 60◦. Xet 4AHA0 : sin 60◦ = A 0H AA0 ⇔ A 0H = AA0sin 60◦ = a √ 3 Thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 V = S4ABC · A0H = a 2√3 4 · a√3 2 = 3a3 8 B0 B A0 A C0 C H 60◦ Chọn đáp án B  Câu 18 Cho khối chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O cạnh a, tam giác ABD đều, SO vng góc với mặt phẳng (ABCD) SO = 2a Thể tích khối chóp S.ABCD A a 3√3 6 B a3√3 3 C a3√3 12 D a 3√3. Lời giải Ta có h = SO = 2a, S = SABCD = 2SABD = 2· a2√3 4 = a2√3 2 Vậy VS.ABCD = 3Sh = 1 3·SABCD·SO = 3· a2√3 ·2a = a3√3 S A B C O D Chọn đáp án B  Câu 19 Cho hình bát diện cạnh Gọi S tổng diện tích tất mặt hình bát diện Khi đó, S A S = 32 B S = 8√3 C S = 4√3 D S = 16√3 Lời giải (65)Do S = · 22· √ 3 = √ Chọn đáp án B  Câu 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a√2 Biết SA vng góc với đáy SC = a√5 Tính thể tích V khối chóp cho A V = 2a 3 3 B V = 2a 3. C V = a 3 3 D V = a3√3 Lời giải Vì ABCD hình vng cạnh a√2 nên AC = √AB2+ BC2 = 2a. Tam giác SAC vuông A có SA =√SC2− AC2 = a. Thể tích khối chóp VS.ABCD = 3SA · SABCD = 3a · Ä a√2ä2 = 2a 3 A D B C S Chọn đáp án A  Câu 21 Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC A V = a 3 8 B V = a3√3 3 C V = a3√3 4 D V = a3 Lời giải Gọi H trung điểm AB, suy SH⊥(ABCD) Ta có VS.ABC = 3× SH × S∆ABC = × a√3 × a2√3 = a3 Chọn đáp án A  Câu 22 Hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a mặt bên tạo với đáy góc 45◦ Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC A a 8 B a3 24 C a3 12 D a3 Lời giải Phương pháp: Tính diện tích đáy chiều cao áp dụng cơng thức V = (66)A C B M H S Gọi H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC suy SH đường cao Góc mặt bên đáy góc SM AM vơí M trung điểm BC Tam giác ABC cạnh a nên AM = a √ 3 2 ⇒ M H = 3AM = a√3 6 Tam giác vng SHM có M H = a √ 3 6 , SM H = 45 ◦ nên SH = HM = a √ 3 Vậy thể tích VS.ABC = 3SABC· SH = · a2√3 · a√3 = a3 24 Chọn đáp án B  Câu 23 Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với đáy, SA = a√3, AB = a, BC = 2a, AC = a√5 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a A 2a3√3. B 2a 3√3 3 C a3 √ 3 D a 3√3. Lời giải Phương pháp: Tính diện tích đáy chiều cao áp dụng công thức V = 3Sh tính thể tích Cách giải: A B C S a√3 a√5 a (67)Xét tam giác ABC có AB2+ BC2 = a2+ 4a2 = 5a2 = AC2 Nên tam giác ABC vng B (Định lí Pytago đảo) Thể tích V = 3· SABC· SA = 3· 1 2· BA · BC · SA = 6 · a · 2a · a √ 3 = a √ 3 Chọn đáp án C  Câu 24 Cho hình chóp S.ABCD, gọi M , N , P , Q trung điểm cạnh SA, SB, SC, SD Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết thể tích khối chóp S.M N P Q A 16 B C D Lời giải Phương pháp: Sử dụng công thức tính tỉ số thể tích khối chóp tam giác: VS.M N P VS.ABC = SM SA· SN SB· SP SC với M , N , P thuộc SA, SB, SC Cách giải: A B D C S M N P Q Ta có VS.M P Q VS.ADC = SM SA · SP SC · SQ SD = 1 2· 1 2· 1 = 1 VS.M P N VS.ACB = SM SA · SP SC · SN SB = 1 · 1 · 1 = 1 Suy = VS.M N P VS.ADC = VS.M P N VS.ACB = VS.M P N + VS.M P N VS.ADC+ VS.ACB = VS.M N P Q VS.ABCD ⇒ VS.ABCD = 8VS.M N P Q = Chú ý: Công thức tỉ số thể tích áp dụng chóp tam giác Chọn đáp án B  Câu 25 Hình lập phương có độ dài đường chéo tích A 2√2 B 54√2 C 24√3 D Lời giải Phương pháp: (68)Cách giải: Gọi độ dài cạnh hình lập phương a, (a > 0) độ dài đường chéo hình lập phương a√3 = ⇔ a = 2√3 Thể tích hình lập phương V =Ä2√3ä3 = 24√3 Chọn đáp án C  Câu 26 Một khối lăng trụ tứ giác tích Nếu gấp đôi cạnh đáy đồng thời giảm chiều cao khối lăng trụ hai lần khối lăng trụ tích là: A B C 16 D Lời giải Phương pháp: Nhận xét thay đổi thể tích khối lăng trụ theo cạnh đáy chiều cao kết luận Cách giải: Gọi cạnh đáy chiều cao khối lăng trụ a; h thể tích V = a2h. Nếu gấp đơi cạnh đáy đồng thời giảm chiều cao khối lăng trụ hai lần V0 = (2a2) · h = 2a2h = 2V Vậy thể tích khối lăng trụ tăng lên lần · = Chọn đáp án A  Câu 27 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy, góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy bằng 45◦ Thể tích khối chóp S.ABCD A a 3√3 12 B a3√3 9 C a3√5 24 D a3√5 6 Lời giải Gọi H trung điểm AB (SAB) ⊥ (ABCD), (SAB) ∩ (ABCD) = AB, mà SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ (ABCD) Do (SC, (ABCD)) = ’SCH = 45◦ Xét tam giác vuông BHC có HC =√BC2+ BH2 = a √ 5 Xét tam giác vng SHC có SH = HC = a √ 5 Suy VS.ABCD = 3SH · SABCD = a3√5 6 45◦ S A B H D C Chọn đáp án D  Câu 28 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy tam giác vng cân B, AB = a, A0B = a√3 Thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 A a 3√3 2 B a3 6 C a3 2 D a3√2 (69)Do tam giác A0AB vuông A nên theo Py-ta-go ta có A0B2 = AA02+ AB2 ⇔ AA0 =√A0B2− AB2 = … Ä a√3ä2− a2 = a√2. Lại có tam giác ABC vng cân B nên SABC = 2AB 2 = 2a 2. Thể tích khối lăng trụ cho VABC.A0B0C0 = AA0· SABC = a √ ·1 2a = a3 √ 2 B0 B A0 A C0 C a √ 3 a Chọn đáp án D  Câu 29 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a, cạnh bên SC vng góc với mặt phẳng (ABC), SC = a Thể tích khối chóp S.ABC A a 3√3 3 B a3√2 12 C a3√3 9 D a3√3 12 Lời giải Đáy ABC tam giác cạnh a nên diện tích a 2√3 4 Đường cao hình chóp SC = a Thể tích khối chóp S.ABC 3SC · SABC = 3a · a2√3 = a3√3 12 (đvdt) S A C B Chọn đáp án D  Câu 30 [2H1B3-1] Cho hình chóp S.ABCD có tất cạnh diện tích tồn phần + 9√3 Độ dài cạnh hình chóp A B C D (Kiều Văn Công) Lời giải Gọi độ dài cạnh hình chóp x(x > 0) Vì S.ABCD hình chóp nên đáy ABCD hình vng Hình chóp có tất cạnh x nên mặt bên tam giác cạnh x Diện tích tồn phần hình chóp + 9√3 nên SABCD+ 4SSAB = + √ 3 ⇔ x2+ · x 2√3 4 = + √ 3 ⇔ x2(1 +√3) = 9(1 +√3) ⇔ x = 3. Vậy độ dài cạnh hình chóp (70)Câu 31 [2H1B3-2] Tính thể tích khối chóp tam giác S.ABC có tất cạnh 2a A 2a3√3. B 2a3√2. C 2a 3√3 3 D 2a3√2 (Kiều Văn Công) Lời giải Gọi M trung điểm BC, G trọng tậm tam giác ABC SG ⊥ (ABC), AM = a√3, AG = 3AM = 2a√3 3 SG = pSA2− AG2 = 2a √ 6 Ta có SABC = (2a) 2√3 = a 2√3. VS.ABCD = · a 2√3 · 2a √ 6 = 2a3√2 S B G M A C Chọn đáp án D  Câu 32 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 có AB = 2a, AA0 = a√3 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 A 3a3 B a3 C 3a 4 D a3 Lời giải Vì tam giác ABC tam giác cạnh 2a nên diện tích đáy S4ABC = (2a) 2√3 = a 2√3. Lăng trụ ABC.A0B0C0 lăng trụ tam giác nên đường cao AA0 Thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 V = AA0· S4ABC = a√3 · a2√3 = 3a3 Chọn đáp án A  Câu 33 Cho hình chóp S.ABC cạnh a, cạnh bên 2a Gọi M trung điểm SB, N điểm đoạn SC cho N S = 2N C Thể tích V khối chóp A.BCN M A V = a 3√11 16 B V = a3√11 24 C V = a3√11 18 D V = (71)Ta có VA.BCN M = VS.ABC − VS.AM N Áp dụng cơng thức tỉ số thể tích, ta có VS.AM N VS.ABC = SA SA · SM SB · SN SC = 1 Suy VA.BCN M = 3VS.ABC Gọi H hình chiếu S lên (ABC), theo tính chất hình chóp H trọng tâm tam giác ABC Tam giác ABC cạnh a nên AD = a √ 3 2 ⇒ AH = 3AD = a √ và S4ABC = a 2√3 4 A C D B H S M N Tam giác SHA vuông H nên SH =√SA2 − AH2 = … 4a2− a = a√33 Thể tích khối chóp S.ABC VS.ABC = 3· a2√3 · a√33 = a3√11 12 Vậy VA.BCN M = a3√11 18 Chọn đáp án C  Câu 34 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vng cân B, SA = 3a SA vng góc với mặt phẳng đáy, SB tạo với mặt phẳng đáy góc 60◦ Tính thể tích khối chóp S.ABC A 3a3. B 27a3. C 9a3. D 3a 3 2 Lời giải Góc SB (ABC) ’SBA, ’SBA = 60◦ Xét tam giác SAB vng A có AB = SA tan 60◦ = a √ 3 Tam giác ABC vuông cân B nên S4ABC = 2· BA · BC = 3a2 2 Thể tích khối chóp VS.ABC = 3 · S4ABC · SA = 3a3 2 S A C B Chọn đáp án D  Câu 35 Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên a √ 21 6 Tính theo a thể tích V hình chóp cho A V = a 3√3 8 B V = a3√3 6 C V = a3√3 12 D V = (72)Gọi N trung điểm AC H trọng tâm 4ABC, ta có BH = 3BN = 2 3· a√3 = a√3 Tam giác SHB vuông H nên SH =√SB2− BH2 =   21a2 36 − a2 = a Tam giác ABC cạnh a nên S4ABC = a 2√3 4 Thể tích khối chóp S.ABCD VS.ABCD = 3· a · a2√3 = a3√3 24 A C H B N M S  Câu 36 Tính thể tích V khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy a tổng diện tích mặt bên 3a2 A V = a 3√3 12 B V = a3√3 6 C V = a3√3 4 D a3√2 Lời giải Ta có S4ABC = a2√3 4 Theo đề bài, ta có 3SABB0A0 = 3a2 ⇒ AB · AA0 = a2 ⇔ AA0 = a Thể tích khối lăng trụ VABC.A0B0C0 = S4ABC· AA0 = a2√3 · a = a3√3 A A0 C C0 B0 B Chọn đáp án C  Câu 37 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B BA = BC = a Cạnh bên SA = 2a vng góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tích V khối chóp S.ABC A V = a 3√3 2 B V = a3 3 C V = a3√3 4 D V = (73)Tam giác ABC vuông B nên S4ABC = 2BA · BC = a2 2 Thể tích khối chóp S.ABC VS.ABC = 3· S4ABC· SA = a3 3 S A B C a 2a a Chọn đáp án B  Câu 38 Kim tự tháp Kheops (Kê-ốp) Ai cập xây dựng vào khoảng 2500 năm trước công nguyên Kim tự tháp khối chóp tứ giác có chiều cao 147 m cạnh đáy dài 230 m Tính thể tích A 2592100 m3. B 3888150 m3. C 7776300 m3. D 2952100 m3. Lời giải Diện tích đáy kim tự tháp S = 2302 = 54 900 m2 Thể tích kim tự tháp V = 3· S · h = 3· 52 900 · 147 = 592 100 m 3.  Câu 39 Khối chóp tứ giác có tất cạnh 2a tích V A V = 4a 3√2 3 B V = a3√2 12 C V = a3√3 6 D V = a3√2 Lời giải Ta có SABCD = 4a2 Gọi O giao điểm AC BD, SO ⊥ (ABCD) Ta có AO = AC = a √ 2 ⇒ SO =√SA2− AO2 = a√2. Do VS.ABCD = 1 3 · SO · SABCD = 4a3√2 C B O S A D Chọn đáp án A  Câu 40 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, đường chéo AC = 2√2a Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD A a3. B √ 3a3 3 C √ 3a3 6 D 4√3a3 3 (74)Hạ đường cao SH tam giác SAB Vì (SAB) ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ (ABCD) Xét hình vng ABCD có AC = 2√2a ⇒ AB = AC√ = 2a, suy SABCD = 4a2 Trong tam giác SAB có SH = √ 3 2 · AB = a √ 3 Do VS.ABCD = 3· a √ 3 · 4a2 = √ 3a3 3 B C H S A D Chọn đáp án D  Câu 41 Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có BB0 = a, đáy ABC tam giác vuông cân B AC = 2a Tính thể tích V khối lăng trụ cho A V = 3a 3. B V = 6a3. C V = a3. D V = 3a 3. Lời giải Tam giác ABC tam giác vuông cân B AC = 2a ⇒ BA = BC = AC √ = a √ Diện tích tam giác ABC: S4ABC = 2AB · BC = a 2. Thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 V = BB0· S4ABC = a · a2 = a3 A B C A0 B0 C0 Chọn đáp án C  Câu 42 Tính chiều cao khối lăng trụ tam giác biết thể tích a 3√3 2 , cạnh đáy a A 3a B 2a C a D 6a Lời giải Khối lăng trụ tam giác có đáy tam giác Theo ta có đáy tam giác cạnh a Diện tích đáy S = a 2√3 4 Gọi h chiều cao khối lăng trụ Ta có: V = S.h ⇒ h = V S = a3√3 : a2√3 = 2a Chọn đáp án B  Câu 43 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, AC = a, cạnh SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) SA = a Tính thể tích V khối chóp S.ABCD A a 3√3 2 B a3√3 12 C a3√3 4 D a3√3 (75)Ta có ∆ABC tam giác cạnh a ⇒ SABCD = AB.BC sin 60◦ = a2√3 2 Vậy V = 3SABCD· SA = 3· a2√3 · a = a3√3 S A D B C Chọn đáp án D  Câu 44 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có đáy ABCD hình vng cạnh a AA0 = 2a Tính thể tích khối tứ diện BDB0C0 A a 6 B a3 4 C a3 2 D a3 Lời giải Ta có VBDB0C0 = VABCD.A0B0C0D0 − VABD.A0B0D0 − VD.B0C0D0 − VC0.BCD Có VABCD.A0B0C0D0 = 2a · a2 = 2a3 , VABD.A0B0D0 = 1 2VABCD.A0B0C0D0 = a 3. Hai khối chóp D.B0C0D0 C0.BCD có chung chiều cao đáy có diện tích nửa hình hộp chữ nhật ⇒ VD.B0C0D0 = VC0.BCD = 1 6VABCD.A0B0C0D0 = a3 3 Vậy VBDB0C0 = 2a3− a3− a3 − a3 = a3 A B C D0 C0 A0 D B0 Chọn đáp án D  Câu 45 Cho khối lăng trụ ABC.A0B0C0 có cạnh đáy a, góc tạo A0B đáy 60◦ Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 A 3a 3 4 B a3√3 4 C a 3√3. D 3a3. Lời giải Ta có: BB0 ⊥ (A0B0C0) nên  Ô A0B, (A0B0C0)= ữBA0B0 = 60 Xét tam giác BB0A0 vng B0 có tan 60◦ = BB B0A0 ⇒ BB 0 = a√3. Và S∆A0B0C0 = a2√3 Vậy VABC.A0B0C0 = BB0· S∆A0B0C0 = a √ · a 2√3 = 3a3 B0 B A0 A C0 C Chọn đáp án A  Câu 46 Cho khối chóp S.ABCD tích đáy ABCD hình bình hành Trên cạnh SC lấy điểm E cho SE = 2EC Tính thể tích V khối tứ diện S.EBD A V = 6 B V = 1 3 C V = 1 12 D V = (76)Ta có: VS.EBD VS.BCD = SE SC = 2 ⇒ VS.EBD = 3VS.BCD= 3· 1 2 · VS.ABCD = S B C D E A Chọn đáp án B  Câu 47 Cho khối chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 2a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, mặt bên (SBC) tạo với đáy góc 30◦ Thể tích khối chóp cho A a 3√3 3 B 8a3√3 9 C a3√3 9 D 8a3√3 Lời giải Ta có          (SBC) ∩ (ABCD) = BC AB ⊥ BC SB ⊥ BC ⇒ Góc (SBC) đáy ’SBA = 30◦ Lại có SA = AB · tan 30◦ = 2a √ 3 Vậy VS.ABCD = 3SA · SABCD = · 2a√3 · 4a 2 = 8a3√3 9 S A B C D Chọn đáp án B  Câu 48 Thể tích khối chóp tứ giác có tất cạnh a A a 3√2 3 B a3√3 3 C a3√2 6 D a3√2 2 Lời giải Gọi khối chóp tứ giác S.ABCD Gọi O tâm đáy ABCD Do S.ABCD khối chóp tứ giác nên SO ⊥ (ABCD) Vậy SO chiều cao khối chóp S.ABCD Xét ∆SOB vng O, ta có SO = √SB2− OB2 = s a2− Ç a√2 å2 = a √ 2 Thể tích khối chóp S.ABCD V = 3· SABCD· SO = · a 2· a √ 2 = a3√2 O A B S C D Chọn đáp án D  (77)A 4a3. B 8a 3 C 8a 3. D 4a 3 Lời giải Ta có SABCD = 2a2 A0C0 =√A0B02+ B0C02 =√a2+ 4a2 = a√5. CC0 =√A0C2− A0C02 =√21a2− 5a2 = 4a. Vậy VABCD.A0B0C0D0 = SABCD· CC0 = 2a2· 4a = 8a3 B C A0 D0 B0 A D C0 Chọn đáp án C  Câu 50 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm AD, M trung điểm CB, cạnh bên SB hợp với đáy góc 60◦ Thể tích khối chóp S.ABM A a 3√15 6 B a3√15 12 C a3√15 3 D a3√15 Lời giải Kẻ M I ⊥ AB ⇒ M I = a S∆ABM = 2 · M I · AB = a2 2 Ta có ’SBH = 60◦ Xét ∆SHB vng H có tan SBH = tan 60◦ = SH HB ⇒ SH = √ 3HB =√3 … a2+a = a√15 Vậy VS.ABM = 3 · SH · S∆ABM = · a√15 · a2 = a3√15 12 S I D M C H A B Chọn đáp án B  Câu 51 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, mặt bên SAD tam giác cạnh 2a nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (ABCD) Góc mặt phẳng (SBC) mặt phẳng (ABCD) 30◦ Thể tích khối chóp S.ABCD : A 2a 3√3 3 B a3√3 3 C 4a3√3 3 D 2a 3√3. (78)Trong tam giác SAD gọi I trung điểm AD ⇒ SI ⊥ AD ⇒ SI ⊥ (ABCD).(Vì (SAD) ⊥ (ABCD)) Gọi M trung điểm BC ⇒ BC ⊥ IM (1) Mặt khác SI ⊥ (ABCD) ⇒ BC ⊥ SI (2) Từ (1), (2) suy BC ⊥ SM Vậy, góc mặt phẳng (SBC) mặt phẳng (ABCD) ’ SM I = 30◦ Xét tam giác vng SIM có IM = SI tan 30◦ = 3a (vì tam giác SAD tam giác cạnh 2a nên SI = a√3) Vậy, thể tích khối chóp S.ABCD V = 3SABCD· SI = 3AD · BC · SI = 2a 3√3. S A D C I B M 30◦ Chọn đáp án D  Câu 52 Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Hai mặt (SAB) (SAC) vng góc với đáy Tính thể tích khối chóp biết SC = a√3 A 2a 3√6 9 B a3√6 12 C a3√3 4 D a3√3 Lời giải Từ đề ta có    (SAB) ⊥ (ABC) (SAC) ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ (ABC) Vì tam giác ABC cạnh a ⇒ SABC = a2√3 4 AB = AC = BC = a Tam giác SAC vuông A (do SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ AC) nên theo định lí Pytago ta có SA = √SC2− AC2 =√3a2− a2 = a√2. Thể tích khối chóp VS.ABC = 3SABC· SA = 3· a2√3 · a √ = a 3√6 12 (đvtt) S A B C Chọn đáp án B  Câu 53 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC tam giác vng B, BC = a, mặt phẳng (A0BC) tạo với đáy góc 30◦ tam giác A0BC có diện tích a2√3 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 A 3a 3√3 2 B 3a3√3 8 C a3√3 8 D (79)Ta có V = Bh = SABC· AA0 Do    BC ⊥ AB BC ⊥ AA0 ⇒ BC ⊥ A0B. Và          BC ⊥ AB ⊂ (ABC) BC ⊥ A0B ⊂ (A0BC) BC = (ABC) ∩ (A0BC) ⇒ ((ABC), (A0BC)) = (AB, A0B) = ’ABA0. Ta có S4ABC = 2A 0B · BC ⇒ A0B = 2S4ABC BC = 2a2√3 a = 2a √ AB = A0B · cos ’ABA0 = 2a√3 cos 30◦ = 3a. AA0 = A0B · sin ’ABA0 = 2a√3 sin 30◦ = a√3. VABC.A0B0C0 = 1 2· AB · BC · AA = 2· 3a · a · a √ 3 = 3a 3√3 2 A A0 B C0 C B0 30◦ a Chọn đáp án A  Câu 54 Cho khối lăng trụ ABC.A0B0C0 tích V Tính thể tích khối tứ diện ABCB0C0 A V 4 B V 2 C 3V 4 D 2V Lời giải Ta có VA.A0B0C0 = 1 3d(A, (A 0B0C0)S4A 0B0C0 = 1 3V Do VABCB0C0 = VABC.A0B0C0 − VA.A0B0C0 = V − 1 3V = 2 3V A B A0 B0 C C0 Chọn đáp án D  Câu 55 Cho S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Biết SA ⊥ (ABCD) SA = a Tính thể tích khối chóp S.ABCD A V = a 3 3 B V = 3a3 2 C V = a3 6 D V = a 3. Lời giải Phương pháp Cơng thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy Svà chiều cao h là: V = 3Sh Cách giải: Ta có: VS.ABCD = 3SA.SABCD = 3a.a 2 = a 3 Chọn đáp án A  Câu 56 Thể tích V khối trụ có bán kính chiều cao A V = 9π B V = 12π C V = 3π D V = 27π (80)Phương pháp Thể tích khối trụ có bán kính đáy r chiều cao h là: V = πr2h Cách giải: Ta có: V = πr2h = π.32.3 = 27π Chọn đáp án D  Câu 57 Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 có đường chéo a√3 Tính thể tích khối chóp A0.ABCD A 2√2a3 B a 3 3 C a 3. D √ 2a3 Lời giải Áp dụng định lí Pitago, ta có AC02 = AA2+ AC2 = AA2+ AB2+ AD2 = 3AB2 ⇒ 3a2 = 3AB2 ⇒ AB = a. Vậy VA0.ABCD = 1 3AA 0S ABCD = 3· a · a 2 = a 3 D A0 A D0 B C C0 B0 a√3 Chọn đáp án B  Câu 58 Tính thể tích khối chóp S.ABC có AB = a, AC = 2a, ’ BAC = 120◦, SA ⊥ (ABC), góc (SBC) (ABC) 60◦ A √ 7a3 14 B 3√21a3 14 C √ 21a3 14 D √ 7a3 7 A C B S H Lời giải Gọi H hình chiếu A lên BC Khi ( BC ⊥ SA (SA ⊥ (ABC)) BC ⊥ AH ⇒ BC ⊥ SH Có ( BC ⊥ AH BC ⊥ SH ⇒  Ô (SBC) ; (ABC)  = SHA = 600 ⇒ BC2 = AB2+ AC2− · AB · AC · cos ’BAC = 7a2 ⇒ BC = a√7. Lại có      SABC = 2AB · AC sin ’BAC SABC = 2AH · BC ⇒ AH = AB · AC · sin ’BAC BC = a · 2a · sin d120 a√7 = a√21 Có 4SAH vng A có SA = 2AH · √ 3 = 3√7 7 , có SABC = √ 3 a 2. Nên V = 3SA · SABC = √ (81)Chọn đáp án C  Câu 59 Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC.A0B0C0 có đáy tam giác vuông cân A, AC = AB = 2a, góc AC0 mặt phẳng (ABC) 30◦ Thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 A 4a √ 3 3 B 2a3√3 3 C 4a3√3 3 D 4a2 Lời giải Vì C0C ⊥ (ABC) nên góc AC0 (ABC) ’CAC0. Ta có : tan ’CAC0 = CC 0 AC ⇒ CC 0 = AC · tan 30◦ = 2a √ 3 Diện tích đáy : S4ABC = AB · AC 2 = 2a · 2a = 2a 2. Vậy : VABC.A0B0C0 = Bh = 2a2· 2a√3 = 4a3√3 B A A0 C C0 B0 Chọn đáp án C  Câu 60 Lăng trụ tam giác có độ dài tất cạnh Thể tích khối lăng trụ cho A 27 √ 3 2 B 27√3 4 C 9√3 4 D 9√3 Lời giải Diện tích đáy B = 2√3 4 = 9√3 4 Độ dài đường cao khối lăng trụ h = Vậy thể tích khối lăng trụ cho V = Bh = √ 3 · = 27√3 4 B0 B A0 A C0 C Chọn đáp án B  Câu 61 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đá 2a cạnh bên 3a Tính thể tích V khối chóp cho? A V = √ 7a3 9 B V = √ 7a3 C V = √ 7a3 3 D V = (82)Ta có BO = BD = 2a√2 = a √ Mặt khác SO = √SB2− BO2 =√9a2 − 2a2 = a√7. Diện tích đáy SABCD = (2a)2 = 4a2 Vậy : V = 3Bh = 1 · 4a 2· a√7 = √ 7a3 S A C O B D Chọn đáp án C  Câu 62 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, ’ACB = 45◦, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, cạnh SB tạo với đáy góc 60◦ Tính thể tích V khối chóp S.ABC A V = a 3√3 9 B V = a3√3 6 C V = a3 4√3 D V = a3√3 18 Lời giải Ta có 4SAB vng A có ∠SBA = 60◦ nên SA = √3a Mà 4ABC vuông cân B nên S4ABC = 2AB · AC = 2a 2. Do VS.ABC = 3SA · S4ABC = √ 3a · 2a = √ a 3. S B A C Chọn đáp án B  Câu 63 Cho hình hộp đứng ABCD.A0B0C0D0 có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, đường thẳng DB0 tạo với mặt phẳng (BCC0B0) góc 30◦ Tính thể tích khối hộp ABCD.A0B0C0D0 A a3√3 B a 3√2 3 C 8a 3√2. D a3. Lời giải Hình chiếu vng góc D xuống mặt phẳng (BCC0B0) điểm C Theo đề bài, ta có ∠DB0C = 30◦; B0C = DC · cot 30◦ = 2a√3 = 2√3a ⇒ BB0 =√B0C2− BC2 =√12a2− 4a2 = 2√2a. Do VABCD.A0B0C0D0 = SABCD· BB0 = √ 2a · 4a2 = 8√2a3. A B D0 C0 D B0 A0 C (83)Câu 64 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, SA vng góc với mặt đáy (ABCD), AB = a, AD = 2a Góc cạnh bên SB mặt phẳng (ABCD) 45◦ Thể tích hình chóp S.ABCD A 2a 3 3 B a3 3 C √ 6a3 18 D 2√2a3 Lời giải Ta có SABCD = a · 2a = 2a2 Ô (SB, (ABCD)) = SBA = 450 Do tam giác SAB vuông cân A nên SA = AB = a Vậy thể tích khối chóp V = 3SABCD· SA = 32a 2· a = 2a3 S B A D C Chọn đáp án A  Câu 65 Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0 Biết mặt phẳng (A0BC) tạo với mặt phẳng (ABC) góc 30◦ tam giác có ABC diện tích 8a2 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 bằng A 8a3√3. B 8a3. C 8a 3√3 3 D 8a3 Lời giải • Gọi trung M điểm BC Ta chứng minh BC ⊥ (AA0M ) nên góc hai mặt phẳng (A0BC) mặt phẳng (ABC) góc ÷ A0M A = 30◦. • Đặt AB = x, Tam giác ABC hình chiếu tam giác A0BC lên mặt phẳng (ABC) nên SABC = SA0B0C0 · cos 300 = 4a2 √ 3 ⇒ x = 4a ⇒ AM = 2a√3 • AA AM = tan 30 ◦ ⇒ AA0 = 2a. • Vậy VABCA0B0C0 = AA0 · SABC = 8a3 √ B0 B A0 A C0 C M Chọn đáp án A  Câu 66 Cho khối lập phương có cạnh a Tính theo a thể tích khối bát diện có đỉnh tâm mặt khối lập phương A a 4 B a3 6 C a3 12 D (84)A0 D0 O0 A B C P O B0 S C0 D Q R • Giả sử hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 có cạnh a tâm mặt P , Q, R, S, O, O0 hình vẽ • Ta có P Q đường trung bình tam giác B0CD0 cạnh a√2 nên P Q = a √ 2 2 Do SP QRS = P Q2 = 1 2a 2 và OO0 = a. • Vậy thể tích bát diện cần tìm V = 3SP QRS · OO = 6a 3. Chọn đáp án B  Câu 67 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 2a, cạnh bên 3a Tính thể tích V khối chóp cho A V = √ 7a3 3 B V = √ 7a3. C V = √ 7a3 9 D V = 4a3 Lời giải Gọi O giao điểm AC BD Khi SO ⊥ (ABCD) suy ra SO ⊥ OB Xét 4SOB ta có SO2 = SB2− OB2. Mà OB = BD 2 = 2√2a 2 = √ 2a nên SO2 = (3a)2−Ä√ 2aä2 = 7a2 suy SO = a√7. Khi V = 3 · SO · SABCD = 3· a √ 7 · 4a2 = √ 7a3 A B O C D S Chọn đáp án A  Câu 68 Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, AB = a AC = a√3 Biết SA ⊥ (ABC) SB = a√5 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC A a 3√6 6 B a3√15 6 C a3√2 3 D (85)• Xét 4SAB vuông A nên SA =√SB2− AB2 = 2a • Xét 4ABC vng B nên BC =√AC2− AB2 = a√2. • Ta có VS.ABC = 1 3×SA×S4ABC = 3×2a× 2×a×a √ 2 = a 3√2 3 S A B C Chọn đáp án C  Câu 69 Tính thể tích V khối chóp có đáy hình vng cạnh 2a chiều cao 3a A V = 4a3 B V = 2a3 C V = 12a3 D V = 3πa 3. Lời giải Thể tích khối chóp cho V = 3 · 3a · (2a) 2 = 4a3. Chọn đáp án A  Câu 70 Cho lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 Biết thể tích lăng trụ V , tính thể tích khối chóp C.ABB0A0 A 2V 3 B V 3 C 3V 4 D V Lời giải Ta có VCA0B0C0 = 1 3d(C, (A 0B0C0)) · S A0B0C0 = 1 3VABC.A0B0C0 = V 3 Suy VC.ABB0A0 = VABC.A0B0C0 − VCA0B0C0 = V − V = 2V B A0 C0 A C B0 Chọn đáp án A  Câu 71 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy, biết VS.ABCD = a3 3√3 Tính góc SA mặt phẳng (SCD) (86)Ta có VS.ABCD = 3SA · SABCD ⇒ SA = 3VS.ABCD SABCD = √a Do ( CD ⊥ SA CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ (SAD) ⊥ (SCD) Mặt khác SD = (SAD) ∩ (SCD) suy SD hình chiếu vng góc SA mặt phẳng (SCD) Khi (SA, (SCD)) = ’ASD Ta có tam giác SAD vuông A nên tan ’ASD = AD AS = a a √ =√3 ⇒ ’ASD = 60◦ S A B C D Chọn đáp án A  Câu 72 Tính thể tích khối bát diện có tất cạnh 2a A √ 2a3 6 B 4√2a3 3 C 8√2a3 3 D √ 2a3 Lời giải Thể tích V khối bát diện gấp lần thể tích khối chóp S.ABCD Suy V = 3SO · SABCD = 3a √ 2 · (2a)2 = √ 2a3 S S0 A B D C O Chọn đáp án C  Câu 73 Thể tích khối chóp tứ giác có tất cạnh a A a 3√2 6 B a3√2 3 C a 3. D a 3√2 Lời giải Ta có V = 3a 2a √ 2 = a3√2 Chọn đáp án A  Câu 74 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy SA = a√3 Gọi α góc SD mặt phẳng (SAC) Giá trị sin α A √ 2 4 B √ 2 C √ 2 D (87)Gọi O giao điểm AC BD Dễ dàng xác định góc SD mặt phẳng (SAC) góc OSD Ta tính SD = 2a; OD = a √ 2 2 ⇒ sin α = OD SD = a√2 2 : 2a = √ 2 Chọn đáp án A  Câu 75 Cho khối lập phương tích V1 khối hình hộp có tất cạnh tích V2 Biết cạnh khối lập phương cạnh khối hình hộp Mệnh đề đúng? A V1 = V2 B V1 ≥ V2 C V1 > V2 D V1 ≤ V2 Lời giải Gọi cạnh hình lập phương a V1 = a3 (đvtt). Hình hộp ABCD.A0B0C0D0 có cạnh a Dựng A0H vng góc với (ABCD) H Đặt góc ÷A0AH = α ⇒ A0H = A0A · sin α. Gọi góc ’BAC = β ⇒ SABCD = a2sin β ⇒ V2 = VABCD.A0B0C0D0 = a3sin α sin β ≤ a3 Dấu = xảy α = β = 90◦ Vậy V2 ≤ V1 A0 B0 D0 C0 A D C B H Chọn đáp án B  Câu 76 Cho hình chóp tứ giác ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt bên (SAB) tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD A a 6 B a3√3 2 C a3√3 6 D a3 Lời giải Phương pháp: Cơng thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy S chiều cao h là: V = 3S.h Cách giải: Gọi H trung điểm AB ⇒ SH ⊥ (ABCD) ⇒ SH = AB √ 3 2 = a√3 ⇒ VS.ABCD = 3SH.SABCD = a√3 a 2 = a 3√3 6 A D C S H B  Câu 77 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, BC = a√3 Cạnh bên SA vng góc với đáy đường thẳng SD tạo với mặt phẳng (ABCD) góc 30◦ Thể tích khối chóp S.ABCD A √ 3a3 3 B 2a3 3 C √ 3a3. D (88)Phương pháp: Gọi a0là hình chiếu vng góc a mặt phẳng (P ) Góc đường thẳng a mặt phẳng (P ) góc đường thẳng a a0 Thể tích khối chóp có diện tích đáy S chiều cao h V = 3Sh Cách giải: Ta có: SA ⊥ (ABCD) ⇒ (SD; (ABCD)) = ’SDA = 30◦ ∆SAD vuông A ⇒ SA = AD · tan ’SDA = a√3 · tan 30◦ = a Diện tích hình chữ nhật ABCD SABCD = a · a √ 3 = a2√3. Thể tích khối chóp S.ABCD V = 3SABCD· SA = 3a 2√3 · a = √ 3 a 3. A B C D S Chọn đáp án A  Câu 78 Khối hộp có mặt hình thoi cạnh a, góc nhọn mặt 60◦ tích A a 3√2 3 B a3√3 6 C a3√3 3 D a3√2 (2H1B3-2) Lời giải Giả sử góc đỉnh A0 60◦, tứ diện AA0B0D0 tứ diện đều, có cạnh a Gọi I trung điểm A0D0, G trọng tâm tam giác A0B0D0 ⇒ B0I = a √ , B 0G = 3B 0I = a √ 3 3 , SA0B0D0 = a2√3 4 AG =√AB02− B0G2 = … a2− a = a … VA.A0B0D0 = 1 3AG · SA0B0D0 = … 3· a · a2√3 = a2√2 12 VABCD.A0B0C0D0 = 2VABD.A0B0D0 = 6VA.A0B0D0 = · a3√2 12 = a3√2 A0 D0 A B C B0 C0 D I G Chọn đáp án D  Câu 79 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy 60◦ Tính theo a thể tích V khối chóp S.ABC A V = a 3√3 24 B V = a3√3 12 C V = a3 12 D V = (89)Gọi H trọng tâm tam giác ABC, SH ⊥ (ABC), CH = a √ 3 Góc cạnh bên mặt đáy góc ’SCH = 60◦ ⇒ SH = HC · tan 60◦ = a S4ABC = a 2√3 4 ⇒ VS.ABC = · a2√3 · a = a3√3 12 A B C I H S Chọn đáp án B  Câu 80 Tính thể tích V khối lập phương ABCD.A0B0C0D0 biết đường chéo AC0 = a√3 A a 3 3 B √ 3a3. C √ 6a3 4 D a 3. Lời giải Gọi cạnh hình lập phương x Ta có AC02= 3x2 = 3a2 ⇒ x = a ⇒ V = a3. Chọn đáp án D  Câu 81 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 có AB = a, góc đường thẳng A0C0 mặt đáy 45◦ Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 A a 3√3 4 B a3√3 2 C a3√3 12 D a3√3 Lời giải Theo tính chất lăng trụ tam giác lăng trụ cho lăng trụ đứng, có đáy tam giác ABC đều, cạnh AB = a Do S4ABC = a2√3 4 Góc A0C mặt phẳng (ABC) góc A0CA = 45◦ AA0 = AC · tan 45◦ = AB · tan 45◦ = a Thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 VABC.A0B0C0 = AA0· S4ABC = a · a 2√3 4 = a3√3 4 45◦ a A0 B0 C0 A B C Chọn đáp án A  Câu 82 Cho khối hộp ABCD.A0B0C0D0 tích Thể tích khối tứ diện AB0C0D0 A 3 B 1 6 C 1 2 D (90)Gọi h chiều cao hình hộp, ta có VA.B0C0D0 = 1 3S∆B0C0D0· h = 6SA0B0C0D0· h = 6VABCD.A0B0C0D0 Từ suy VA.B0C0D0 = 1 A B D0 C0 D B0 A0 C Chọn đáp án B  Câu 83 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = √ 2a 2 , tam giác SAC vuông S nằm mặt phẳng vng góc với (ABCD) Tính theo a thể tích V khối chóp S.ABCD A V = √ 6a3 12 B V = √ 6a3 3 C V = √ 6a3 4 D V = √ 2a3 Lời giải Vẽ SH ⊥ AC H Khi ta có              (SAC) ⊥ (ABCD) (SAC) ∩ (ABCD) = AC SH ⊂ (SAC) SH ⊥ AC ⇒ SH ⊥ (ABCD) ⇒ V = 3SH · SABCD S H A D B C Theo đề ∆SAC vuông S nên ta có SC = √AC2− SA2 = √ 6a 2 SH = SA · SC AC = √ 2a · √ 6a √ 2a = √ 6a Vậy V = 3SH · SABCD = √ 6a3 12 Chọn đáp án A  Câu 84 Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0 có mặt bên hình vng √2a Tính theo a thể tích V khối lăng trụ ABC.A0B0C0 A V = √ 6a3 2 B V = √ 3a3 12 C V = √ 3a2 4 D V = (91)Hình lăng trụ ABC.A0B0C0 có mặt bên hình vng nên tam giác ABC tam giác ( AA0 ⊥ AC AA0 ⊥ AB ⇒ AA 0 ⊥ (ABC) Khi V = AA0 · S4ABC = AA0· √ 3 · AB 2 = √ 3 · Ä√ 2aä3 = √ 6a3 A A0 B0 B C C0 Chọn đáp án A  Câu 85 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA =√2a vng góc với (ABCD) Tính theo a thể tích V khối chóp S.ABC A V = √ 2a3 6 B V = 2√2a3 3 C V = √ 2a3 D V = √ 2a3 Lời giải Ta có V = 2VS.ABCD = · 1 3· SA · SABCD = · 1 3· √ 2a · a2 = √ 2a3 S A B C D Chọn đáp án A  Câu 86 Khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 3a, SA = a, SA⊥ (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD A 3a3. B a 3 3 C 9a 3. D 6a3. Lời giải Ta có V = 3SA · SABCD = 3a · (3a) = 3a · 9a 2 = 3a3. a 3a S A B C D (92)Câu 87 Cho hình chóp S.ABC tích Trên cạnh BC lấy điểm E cho BE = 2EC Tính thể tích V khối tứ diện S.AEB? A V = 6 B V = 1 3 C V = 2 3 D V = 4 Lời giải Ta có S4AEB = 2 · BE · d(A, BC) = · 2 3BC · d(A, BC) = 3 · S4ABC Suy VS.ABE = 3· d(S, (ABC)) · S4ABE = 3· d(S, (ABC)) · 3S4ABC = 3· VS.ABC = 3· = S C B E A Chọn đáp án C  Câu 88 Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AC = 2a, SA⊥(ABC) SA = a Thể tích khối chóp cho A √ 3a3 3 B √ 3a3 6 C a3 3 D 2a3 Lời giải Tam giác ABC vuông B ⇒ BC =√AC2− AB2 =»(2a)2− a2 = a√3. Diện tích tam giác ABC : SABC = 1 2 · AB · BC = 2· a · a √ = √ · a 2. Thể tích khối chóp S.ABC : VS.ABC = 3SABC· SA = 3· √ a 2· a = √ 3 a 3.  Câu 89 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, ’BSA = 60◦ Tính thể tích V khối chóp S.ABCD A V = a 3√6 6 B V = a 3√2. C V = a 3√2 2 D V = a3√2 6 Lời giải • Cơng thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy S chiều cao h V = 3Sh • Gọi AC ∩ BD = {O} ⇒ SO ⊥ (ABCD) • Ta có hình chóp S.ABCD tứ giác ⇒ SA = SB ⇒ ∆SAB cân S S A B C O D (93)• Ta có AC =√AB2 + BC2 = a√2 ⇒ SO =√SA2− AO2 = … a2− a 2 = a√2 • Vậy VSABCD = 3SO.SABCD = 3· a√2 · a 2 = a 3√2 6 Chọn đáp án D  Câu 90 Cho khối lăng trụ ABC.A0B0C0 tích V Tính thể tích khối đa diện ABCB0C0 A V 2 B 45π C 180π D 15π Lời giải Ta có: VABCA0B0 = VABC.A0B0C0 − VA.A0B0C0 = VABC.A0B0C0 − 1 3VABC.A0B0C0 = 3VABC.A0B0C0 = 3V B0 B A0 A C0 C Chọn đáp án D  Câu 91 Cho khối chóp S.ABCD tích đáy ABCD hình bình hành Trên cạnh SC lấy điểm E cho SE = 2EC Tính thể tích V khối tứ diện SEBD A V = 3 B V = 1 6 C V = 1 12 D V = 1 Lời giải • Vì SE = 2EC nên SE SC = 2 Tứ giác ABCD hình bình hành nên ta có SABCD = 2S4ABD = 2S4BDC Suy VS.ABCD = 2VS.BCD = ⇔ VS.BCD = • Ta có VS.BED VS.BCD = SB SB · SE SC · SD SD = SE SC = 2 Suy raVS.BED = 3· VS.BCD= 3· 1 = 1 S B C D E A Chọn đáp án D  Câu 92 Cho hình chóp S.ABC, G trọng tâm tam giác ABC Các điểm A0, B0, C0 ảnh A, B, C qua phép vị tự tâm G tỉ số k = −1 2 Tính VS.A0B0C0 VS.ABC A 4 B 1 8 C 1 2 D 2 Lời giải Ta có S4A0B0C0 S4ABC = |k| 2 = 4, suy VS.A0B0C0 VS.ABC = SH · S4A0B0C0 SH · S4ABC = 1 (94)Câu 93 Cho khối chóp tứ giác có tất cạnh 2a Thể tích khối chóp cho A √ 2a3 3 B 8a3 3 C 8√2a3 3 D 2√2a3 Lời giải Gọi O giao điểm hai đường chéo Do chóp tứ giác đều nên SO ⊥ (ABCD) Ta có AC = BD = 2a√2 Suy SO = √ SD2− OD2 =√4a2− 2a2 =√2a. Thể tích khối chóp V = 34a 2· a√2 = √ 2a3 A B C D S O Chọn đáp án A  Câu 94 Cho lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0, cạnh đáy 2a√3, cạnh bên 2a Thể tích khối lăng trụ A 4a3√3. B 5a3√3. C 6a3√3. D 7a3√3. Lời giải Diện tích đáy: S4ABC = (2a √ 3)2√3 = 3a 2√3. Thể tích khối chóp VABC.A0B0C0 = S4ABC.AA0 = 3a2 √ 3.2a = 6a3√3 Chọn đáp án C  Câu 95 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân, cạnh góc vng 2a thể tích khối chóp a3 Tính chiều cao kẻ từ đỉnh S hình chóp cho. A h =√3a B h = 6a C h = √ 3a 3 D h = 3a Lời giải Diện tích đáy: S4ABC = · (2a) 2 = 2a2. Chiều cao h = 3V S = · a3 2a2 = 2a Chọn đáp án D  Câu 96 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt đáy SA = a√2 Tính thể tích V khối chóp S.ABCD A V =√2a3 B V = a 3√2 3 C V = a3√2 4 D V = a3√2 Câu 97 Tính thể tích V khối lăng trụ tam giác có tất cạnh a A a 3 6 B a3√3 4 C a3√3 12 D a3√3 Lời giải (95)Câu 98 Cho lăng trụ tam giác có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Thể tích V khối lăng là: A V = 3a3√3. B V = a 3√3 2 C V = a 3√3. D V = a 3√3 6 Câu 99 Một lăng trụ đứng tam giác có cạnh đáy 37, 13, 30 diện tích xung quanh 480 Tính thể tích khối lăng trụ A 2010 B 1080 C 2040 D 1010 Lời giải Gọi h chiều cao lăng trụ Khi diện tích xung quanh lăng trụ Sxq = 37h + 13h + 30h = 80h = 480 ⇔ h = Diện tích đáy lăng trụ S = p40 (40 − 37) (40 − 13) (40 − 30) = 180 Vậy thể tích lăng trụ là: V = S · h = 180 · = 1080 Chọn đáp án B  Câu 100 Tổng diện tích mặt khối lập phương 96 Tìm thể tích khối lập phương A 48 B 84 C 64 D 91 Lời giải Khối lập phương có mặt theo đề tổng diện tích mặt khối lập phương 96 nên diện tích mặt khối lập phương 96 ÷ = 16 Suy cạnh hình lập phương √16 = Do đó, thể tích khối lập phương 42 = 16 (96)ĐÁP ÁN (97)3 MỨC ĐỘ VẬN DỤNG THẤP Câu Cho khối chóp S.ABC có AB = cm, BC = cm, CA = cm Các mặt bên tạo với mặt phẳng đáy (ABC) góc 30◦ Thể tích khối chóp S.ABC A √ 2 cm 3. B √ 3 cm 3. C √ cm 3. D √ cm 3. Lời giải Gọi H chân đường cao khối chóp S.ABC Lần lượt gọi hình chiếu H lên cạnh AB, BC, CA D, E, F Khi ta có góc mặt phẳng (SAB), (SBC), (SCA) với mặt đáy (ABC) ’SDH, ’SHE, ’SF H ⇒ ’SDH = ’SDH = ’SEH = ’SF H = 30◦ Từ suy DH = HE = HF Suy H tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Ta có p = AB + BC + CA 2 = (cm) S B H A C E F D ⇒ SABC =pp(p − 5)(p − 4)(p − 7) = √ 6 Mà SABC = pr ⇒ r = √ 6 (cm) Do SH = √ 6 2 · tan 30 ◦ = √ 2 (cm) Vậy VS.ABC = √ 2 √ = √ 3 (cm 3). Chọn đáp án B  Câu Có khối gỗ dạng hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đơi vng góc với nhau, OA = cm, OB = cm, OC = 12 cm Trên mặt (ABC) người ta đánh dấu điểm M sau người ta cắt gọt khối gỗ để thu hình hộp chữ nhật có OM đường chéo đồng thời hình hộp có mặt nằm mặt tứ diện (xem hình vẽ) Thể tích lớn khối gỗ hình hộp chữ nhật A M B O C (98)Gọi khoảng cách từ điểm M đến mặt bên (OAB), (OBC), (OCA) a, b, c Khi VO.ABC = VM.OAB+ VM.OBC+ VM.OAC Hay 6 · · · 12 = 3· a · 1 2 · · + 3· b · 1 2· · 12 + 3· c · 1 2· · 12 ⇒ 12 = a + 4b + 2c Thể tích khối gỗ hình hộp chữ nhật theo đề V = abc Ta có abc = 8a · 4b · 2c ≤ Å a + 4b + 2c ã3 = 8 · 123 27 = (Theo bất đẳng thức Cô-si) Vậy V = abc đạt giá trị lớn cm3. Khi a = 4b = 2c ⇔ a = cm, b = cm, c = cm A M B O C Chọn đáp án A  Câu Cho khối chóp tam giác S.ABC có cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng (ABC), đáy tam giác ABC cân A, độ dài trung tuyến AD a, cạnh bên SB tạo với đáy góc 30◦ tạo với mặt phẳng (SAD) góc 30◦ Thể tích khối chóp S.ABC A a 3 B a3√3 3 C a3√3 6 D a3 6 Lời giải Đặt SA = x > Ta có BD ⊥ (SAD) ⇒ ’BSD = 30◦, ’SBA = 30◦ AB = SA · tan 30◦ = x√3 SB =√SA2+ AB2 = 2x. BD =√AB2− AD2 =√3x2− a2. Xét tam giác vng SBD, ta có sin BSD = BD SB = 1 ⇔ √ 3x2− a2 = 2x ⇔ x = a √ 2 Khi SA = a √ 2 2 , BC = 2BD = … 3 ·a 2 − a 2 = a√2. Vậy V = 3· SA · SABC = · a√2 2 · 12 · a · a √ 2 = a S B A C D Chọn đáp án D  Câu Cho lăng trụ ABC.A0B0C0 Biết góc (A0BC) (ABC) 30◦ tam giác A0BC có diện tích Thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 A 2√6 B √ 2 C D √ (99)Gọi độ dài cạnh AA0 = x, x > Xét ∆A0AM vuông A ta có sin 30◦ = A 0A A0M ⇒ A 0M = A 0A sin 30◦ = 2x tan 30◦ = A 0A AM ⇒ AM = A0A tan 30◦ = x √ 3 = x√3 Xét tam giác ABC có đường cao AM , suy 2AM√ = 2x√3 √ 3 = 2x Ta có SABC = · A 0M · BC = ⇔ 2A 0M · BC = 2 ⇔ 2 · 2x · 2x = ⇔ x = Vậy AA0 = 1, AB = Do V = Bh = SABC· A0A = 22· √ 3 · = √ B0 B M A0 A C0 C Chọn đáp án D  Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Điểm M, N theo thứ trung điểm SA, SB Tỉ số thể tích VS.CDM N VS.CDAB A 8 B 3 8 C 1 4 D 1 Lời giải Ta có VS.CDM N = VS.CDM + VS.CM N Mặt khác VS,CDM VS.CDA = SM SA = 1 ⇒ VS.CDM = 2VS.CDA = 4VS.ABCD VS.CN M VS.CBA = SN SB · SM SA = 1 · 1 = 1 ⇒ VS.CN M = 4VS.CBA = 8VS.ABCD VS.CDM N = VS.CDM + VS.CM N = 4VS.ABCD+ 8VS.ABCD = 8VS.ABCD Vậy VS.CDM N VS.CDAB = 8 S D B M N A C Chọn đáp án B  Câu Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có AB = a, BC = 2a AC0 = a Điểm N thuộc cạnh BB0 cho BN = 2N B0, điểm M thuộc cạnh DD0 cho D0M = 2M D (A0M N ) chia hình hộp chữ nhật làm hai phần, tính thể tích phần chứa điểm C0 A 4a3. B a3. C 2a3. D 3a3. (100)C0 A0 D0 A B O C B0 N D M Ta có AC =√CB2+ AB2 = a√5, CC0 =√C0A2− CA2 = 2a. Khi thể tích khối hộp VABCD.A0B0C0D0 = 2a.a.2a = 4a3 Ta có giao tuyến M p(A0M N ) (C0D0DC) C0M Ta có giao tuyến M p(A0M N ) (B0C0CB) CN Suy AM C0N hình bình hành Gọi O tâm hình hộp Ta có phép đối xứng tâm O biến hình đa diện C0CDM BAN thành hình đa diện AA0B0N D0C0M Nên VC0CDM BAN = VAA0B0N D0C0M = 1 2VABCD.A0B0C0D0 = 2a 3. Chọn đáp án C  Câu Cho hình chóp S.ABC có AB = 2a, khoảng cách từ A đến (SBC) 3a 2 Tính thể tích hình chóp S.ABC A a3√3. B a 3√3 2 C a3√3 6 D a3√3 3 Lời giải S B G M A C H 2a Đáp án D Gọi M trung điểm BC G tâm đường tròn ngoại tiếp 4ABC Do S.ABC hình chóp nên SG ⊥ (ABC) G trọng tâm 4ABC Ta có: ( AM ⊥ BC SG ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SAM ) hay (SBC) ⊥ (SAM ) theo giao tuyến SM Trong (SAM ), kẻ AH ⊥ SM, H ∈ SM ⇒ AH ⊥ (SBC) Vậy d(A, (SBC)) = AH = 3a Vì 4ABC tam giác cạnh 2a nên AM = 2a √ 3 = a √ 3 S4ABC = (2a) 2.√3 = a (101)Đặt SG = x Ta có: GM = 3AM = 3.a √ = a √ 3 Xét 4SGM vng G ta có: SM = √SG2+ GM2 = s x2+ Ç a√3 å2 Xét 4SAM ta có: S4SAM = 2SG.AM = 2AH.SM ⇒ x.a √ 3 = 3a … x2+a 2 ⇔ 4x2 = 3 Å x2+ a ã ⇔ x = a Do đó: SG = a Thể tích khối chóp S.ABC là: VS.ABC = 3SG.S4ABC = 3a.a 2√3 = a 3√3 3 Chọn đáp án D  Câu Cho khối lập phương ABCD.A0B0C0D0 cạnh a Các điểm E, F trung điểm C0B0 C0D0 Mặt phẳng (AEF ) cắt khối lập phương cho thành hai phần, gọi V1 thể tích khối chứa điểm A0 V2 thể tích khối cịn lại Khi V1 V2 là: A 25 47 B C 8 17 D 17 25 Lời giải Dựng P Q qua A song song với BD (vì P ∈ BC, Q ∈ CD) P E cắt cạnh BB0, CC0 M I Thiết diện AM EF N Dựa vào đường trung bình BD định lí Ta-lét cho các tam giác IAC, DN Q, D0N F ta tính được: IC0 = a 3, N D = 2a 3 Tương tự ta tính được: M B = 2a 3 Và ta có: QD = P B = a Ta có: VIEF C0 = 1 · a 3· 1 · a 2· a = a3 72 B D0 D Q B0 P A0 A O M C0 C F N E I Dùng tỉ lệ thể tích ta có: VIP QC = 43· VIEF C0 = 64 · a3 72 = 8a3 VN ADQ= · 2a · 1 2 · a · a = a3 9 = VM P AB ⇒ V2 = 8a3 9 − a3 72 − · a3 = 47a3 72 Thể tích khối lập phương ABCD.A0B0C0D0 a3 nên V 1 = a3− 47a3 72 = 25a3 72 ⇒ V1 V2 = 25 47 Chọn đáp án A  Câu Người ta muốn xây bể chứa nước dạng hình hộp chữ nhật khơng nắp tích 200m3 Đáy bể hình chữ nhật có chiều dài gấp đơi chiều rộng Giá th nhân cơng xây bể 300.000 đồng/m2 Chi phí thuê công nhân thấp là: (102)Gọi chiều rộng, chiều dài đáy x 2x, chiều cao y Diện tích mặt bên mặt đáy S = 6xy + 2x2 Thể tích V = 2x2y = 200 ⇒ xy = 100 x S = 600 x + 2x 2 = 300 x + 300 x + 2x 2 ≥ 3… 3003 x · 300 x · 2x 2 = 30√3 180 Vậy chi phí thấp T = 30√3180 · 300000 ≈ 51 triệu Chọn đáp án A  Câu 10 Cho hình chóp S.ABC có A0, B0, C0 trung điểm SA, SB, SC Tỷ số VS.A0B0C0 VS.ABC bao nhiêu? A 4 B 1 6 C 1 8 D Lời giải S B A C A0 B0 C0 VS.A0B0C0 VS.ABC = SA SA0 · SB SB0 · SC SC0 = 1 2· 1 · 1 = 1 Chọn đáp án C  Câu 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy (ABCD) Biết góc tạo hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 60◦ Thể tích V khối chóp S.ABCD A a3√3 B a 3√3 3 C a3√3 12 D a3√3 24 Lời giải Góc tạo hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) ’SBA = 60◦ Ta có: Diện tích đáy: SABCD = a2 Tam giác SAB vuông A ⇒ SA = AB · tanÄ’SBA ä = a · tan 60◦ = a√3 Thể tích khối chóp S.ABCD là: V = 3SABCD· SA = 3a 2 · a√3 = a 3√3 3 S A B C D (103)Câu 12 Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, AC AD đơi vng góc với nhau, AB = 6a, AC = 5a, AD = 4a Gọi M, N, P tương ứng trung điểm cạnh BC, CD, DB Thể tích V tứ diện AM N P A V = 5a 3 B V = 20a3 3 C V = 5a 3. D V = 10a3. Lời giải Phương pháp: Thể tích khối tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc có độ dài cạnh bằng a, b, c là: V = 6abc Cách giải: D A B C M N P Thể tích khối tứ diện ABCD VABCD = 6AB.AC · AD = 6.6a.5a.4a = 20a Ta có: VA.M N P VABCD = 3 · S∆M N P · d(A, (BCD)) 3 · S∆BCD· d(A, (BCD)) = S∆M CP S∆BCD = (do S∆DN P = S∆BP M = S∆BP M = 4S∆BCD) Chọn đáp án C  Câu 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, AB = a, ’BAD = 60◦, SO ⊥ (ABCD) mặt phẳng (SCD) tạo với đáy góc 60◦ Tính tích khối chóp S.ABCD A √ 3a3 12 B √ 3a3 8 C √ 3a3 48 D √ 3a3 24 Lời giải Phương pháp - Xác định góc hai mặt phẳng (α) (β) - Tìm giao tuyến ∆ (α) (β) - Xác định mặt phẳng (γ) ⊥ ∆ - Tìm giao tuyến a = (α) ∩ (γ); b = (β) ∩ (γ) - Góc hai mặt phẳng (α) (β) là: Ÿ((α), (β)) = ’(a, b) (β) a b (104)A D K B C O S H Kẻ OH ⊥ CD, (H ∈ CD) Ta có:    CD ⊥ OH CD ⊥ SO ⇒ CD ⊥ (SOH) ((SCD); (ABCD)) = Ô SHO = 60 ABCD l hình thoi tâm O, ’BAD = 60◦ ⇒ ∆BCD nên OH = 2d(B, CD) = a√3 = a√3 ∆SOH vuông O ⇒ SO = OH tan ’SHO = a √ 3 4 tan 60 ◦ = 3a 4 Diện tích hình thoi ABCD SABCD = 2SABC = a2√3 4 = a2√3 2 Thể tích khối chóp S.ABCD VS.ABCD = 3 · SO · SABCD = 3a a√3 = a3√3 Chọn đáp án B  Câu 14 Thể tích V khối lập phương có đỉnh trọng tâm mặt khối bát diện cạnh A 27 B 16√2 27 C 8 27 D 2√2 27 Lời giải Phương pháp: Thể tích khối lập phương cạnh a là: V = a3 Cách giải: Khối lập phương có đỉnh trọng tâm mặt khối bát diện cạnh a = có độ dài cạnh x = · 1 ·√2 = √ Thể tích cần tìm : V = x3 = Ç √ 2 å3 = 27 Chọn đáp án C  Câu 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng, mặt bên (SAB) tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy (ABCD) có diện tích 27 √ (105)hai phần, tính thể tích V phần chứa điểm S? A V = 24 B V = C V = 12 D V = 36 Lời giải Gọi H trung điểm AB, tam giác SAB nên SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ (ABCD) S∆SAB = x 2√3 4 = 27√3 4 ⇔ x 2 = 27 ⇔ x = 3√3. Vậy SH = x √ 3 = 3p3 ·√3 2 = 9 Suy SS.ABCD = 1 3SH · SABCD = 3· 9 Ä 3√3ä2 = 81 Dễ thấy mặt phẳng qua G song song với mặt đáy cắt hình chóp theo thiết diện hình vng M N P Q hình vẽ Ta có M Q AB = SG SH = 2 3 ⇒ M Q = 3√3 · = √ và SG = 3SH = 2 · = Vậy V = 3SG · SM N P Q= 3· · Ä 2√3ä2 = 12 S C H A B Q D P G M N Chọn đáp án C  Câu 16 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0có AB = x, AD = Biết góc đường thẳng A0C mặt phẳng ABB0A0 30◦ Tìm giá trị lớn Vmaxcủa thể tích khối hộp ABCD.A0B0C0D0 A Vmax= √ 3 4 B Vmax= 2 C Vmax= 3 2 D Vmax= 3√3 Lời giải Ta có V = AA0 · SABCD Hình chiếu A0C mặt (ABB0A0) A0B, góc A0C (ABB0A0) góc ’BA0C = 30◦. Xét tam giác vng ∆A0BC có tan 30◦ = BC A0B ⇒ A 0B =√3BC =√3. Ta có AA0 =√A0B2− AB2 =√3 − x2 Vậy V = x√3 − x2. Xét f (x) = x√3 − x2. Ta có f0(x) = − 2x √ 3 − x2 = ⇔ x = ± … 2 với < x < √ 3 B B0 A A0 C0 C D D0 Bảng biến thiên x f0 f 0 »32 √3 + − 3 Vậy Vmax = (106)Câu 17 Cho hinh chóp S.ABC có SA vng góc với đáy Tam giác ABC vng cân B, biết SA = AC = 2a Thể tích V khối chóp S.ABC A V = 2a 3 3 B V = a3 3 C V = 2a 3. D V = 4a 3 Lời giải Do tam giác ABC vuông cân B nên AB = AC = AC√ = a √ VS.ABC = 3SA · 1 2BA · BC = · 2a · 1 2a √ 2 · a√2 = 2a 3 A C B S Chọn đáp án A  Câu 18 Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0 tích V Gọi M trung điểm cạnh BB0 điểm N thuộc cạnh CC0 cho CN = 2C0N Tính thể tích V0của khối chóp A.BCN M theo V A V0 = 7V 12 B V 0 = 7V 18 C V 0 = V 3 D V 0 = V Lời giải Gọi h = d(B0, CC0) Khi ta có SBCC0B0 = h · CC0 SBM N C = (BM + CN ) · h 2 = 1 2h · Å 2CC 0+ 3CC 0 ã = 12h · CC 0. Ta có V VABCC0B0 = SBM N C SBCC0B0 = 12 Măt khác ta có VABCC0B0 = 2 3V Vậy V0 = 12· 3V = 7V 18 C A0 B0 C0 ; A B M N Chọn đáp án B  Câu 19 Cho hình chóp S.ABCD có cạnh AB = a, góc đường thẳng SA mặt phẳng (ABC) 45◦ Thể tích V khối chóp S.ABCD A V = a 3 B V = a3√2 6 C V = a3 6 D V = (107)Gọi O = AC ∩ BD Ta có SO ⊥ (ABCD) ⇒ (SA, (ABC)) = (SA, (ABCD)) = ’SAO ⇒ SO = OA = a √ 2 ⇒ VS.ABCD = 3SO · SABCD = 3· a√2 · a 2 = a 3√2 6 A B C D S O Chọn đáp án B  Câu 20 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A, SA vng góc với mặt phẳng (ABC) AB = 2, AC = 4, SA =√3 Mặt cầu qua đỉnh hình chóp S.ABC có bán kính R là A R = 2 B R = C R = 10 3 D R = 25 Lời giải Ta có BC =√AB2+ AC2 =√22+ 42 = 2√5. Tam giác ABC vuông A nên nội tiếp đường trịn đường kính BC Gọi r bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC ⇒ r = BC = √ Sử dụng cơng thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), suy R =… SA + r 2 =… 4+ = 5 A C B S Chọn đáp án A  Câu 21 Một khối đồ chơi gồm hai khối trụ (H1), (H2) xếp chồng lên nhau, có bán kính đáy chiều cao tương ứng r1, h1, r2, h2 thỏa mãn r2 = 1 2r1, h2 = 2h1 (tham khảo hình vẽ) Biết thể tích tồn khối đồ chơi 30cm3, thể tích khối trụ (H1) A 24cm3. . B 15cm3. C 20cm3. D 10cm3. Lời giải Ta có V2 = h2πr22 = 2h1π 4r 2 = 1 2h1πr 2 = 1 2V1 Mà V1+ 1 2V1 = 30 nên V1 = 20 Chọn đáp án C  (108)A B 3 C 1 2 D 2 Lời giải Gọi I trung điểm CC0, h chiều cao lăng trụ ABC.A0B0C0 Ta có VC.C0P Q = 1 3 · h · S∆C0P Q = 3 · h · 4S∆C0A0B0 = 3VABC.A0B0C0 = VM N I.A0B0C0 = 1 2VABC.A0B0C0 = VC.M N I = 1 3· h 2 · SM N I = 6VABC.A0B0C0 = Suy VA0M P B0N Q = VC.C0P Q− (VM N I.A0B0C0 + VC.M N I) = 2 Chọn đáp án D  Câu 23 Cho tứ diện ABCD cạnh a, tính khoảng cách hai đường thẳng AB CD A a √ 2 2 B a√3 2 C a√3 3 D a Lời giải Gọi M, N trung điểm hai đoạn thẳng AB CD Khi đó, khoảng cách cần tìm độ dài đoạn thẳng M N Ta có M N =√AN2− AM2 = s Ç a√3 2 å2 −a 2 = a √ 2 Chọn đáp án A  Câu 24 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân C, mặt phẳng (SAB) vng góc mặt phẳng (ABC), SA = SB, I trung điểm AB Góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABC) là A Góc ’SCA B Góc ‘SCI C Góc ‘ISC D Góc ’SCB Lời giải Ta có (SI) ⊥ (AB) SA = SB (CI) ⊥ (AB) tam giác ABC cân C Suy ‘SIC góc giữa mặt phẳng (SAB) (ABC) Do (CI) hình chiếu (SC) lên mặt phẳng (ABC) Góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABC) ‘SCI Chọn đáp án B  Câu 25 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a góc đường thẳng SA với mặt phẳng (ABC) 60◦ Gọi G trọng tâm tam giác ABC, khoảng cách hai đường thẳng GC SA A a √ 5 10 B a√5 5 C a√2 5 D (109)Ta có: ( SA = SB = SC GA = GB = GC nên SG trục đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Do SG⊥ (ABC) Ta có: (SA; (ABC)) = ’SAG = 60◦ Gọi I trung điểm AB Trong (ABCD), kẻ AJ sao cho ACIJ hình bình hành Suy CI//AJ , CI// (SAJ ) Suy d (GC; SA) = d (CI; (SAJ )) = d (G; (SAJ )) (do G ∈ CI) A B C G K H I J S Trong (ABCD): Kẻ GH⊥AJ H Mà SG⊥AJ (do (1)) Nên AJ ⊥ (SGH) Suy (SAJ ) ⊥ (SGH) Từ (SAJ ) ∩ (SGH) = SH Trong (SGH) kẻ (GK)⊥(SH) K, ta (GK)⊥ (SAJ ) Do d (G; (SAJ )) = GK Ta có: AG = a √ 3 3 nên SG = AG tan 60 ◦ = a √ 3 tan 60 ◦ = a. Mặt khác: GH = AI = a 2 Do GK2 = 1 SG2 + 1 GH2 = 1 a2 + 1 a 2 2 = 5 a2 Suy GK = a √ 5 Vậy d (GC; SA) = a √ 5 Chọn đáp án B  Câu 26 Cho lăng trụ ABC.A0B0C0 có đáy ABC tam giác vng B, AB = 1, AC = 2, cạnh AA0 =√2 Hình chiếu vng góc A0 mặt đáy (ABC) trùng với chân đường cao hạ từ B tam giác ABC Thể tích V khối lăng trụ cho A V = √ 21 12 B V = √ 4 C V = √ 21 4 D V = 3√21 Lời giải Gọi H chân đường cao hạ từ B tam giác ABC Theo đề A0H đường cao lăng trụ Xét ∆ABC AB2 = AH · AC ⇒ AH = AB AC = 1 BC =√AC2− AB2 =√3. Xét ∆AA0H ta có A0H =√AA02− AH2 = √ 7 Thể tích cần tìm A A0 B C B0 C0 H V = S∆ABC · AH =Å 2· AB · BC ã AH = 2· · √ · √ = 21 (110)Câu 27 Gọi V thể tích hình lập phương ABCD.A0B0C0D0, V1 thể tích tứ diện A0ABD Hệ thức sau đúng? A V = 3V1 B V = 4V1 C V = 6V1 D V = 2V1 Lời giải Gọi a cạnh hình lập phương Khi đó, ta có V = a3 V1 = 3 · S∆ABC · AA = 3 · 2a 2· a = a Vậy V = 6V1 A B C D C0 D0 A0 B0 Chọn đáp án C  Câu 28 Cho hình chóp S.ABC có chiều cao 9, diện tích đáy Gọi M trung điểm cạnh SB N thuộc cạnh SC cho N S = 2N C Thể tích V khối chóp A.BM N C A V = 10 B V = 30 C V = D V = 15 Lời giải Ta có: VS.AM N VS.ABC = SA SA · SM SB · SN SC = 1 2· 2 = 1 3 ⇒ VS.AM N = 3VS.ABC Suy ra: VA.BM N C = 2 3VS.ABC = · 1 3· · = 10 A C S B M N Chọn đáp án A  Câu 29 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A có AB = a, BC = a√3, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (ABC) Thể tích V khối chóp S.ABC A V = 2a 3√6 12 B V = a3√6 6 C V = a3√6 12 D V = (111)Gọi K trung điểm đoạn AB Ta có ∆SAB ⇒ SK ⊥ AB Mà (SAB) ⊥ (ABC) theo giao tuyến AB ⇒ SK ⊥ (ABC) ⇒ VS.ABC = 3SK · S∆ABC Ta có ∆ABC vng A có AB = a, BC = a√3 ⇒ AC =√BC2− AB2 =√3a2− a2 = a√2 ⇒ S∆ABC = 1 2AB · AC = 2a · a √ = a 2√2 ∆SAB cạnh AB = a ⇒ đường cao SK = a √ 3 VS.ABC = · a√3 · a2√2 = a3√6 12 A K B S C Chọn đáp án C  Câu 30 Một công ty cần xây dựng kho chứa hàng dạng hình hộp chữ nhật (có nắp) vật liệu gạch xi măng tích 2000 m3, đáy hình chữ nhật có chiều dài hai lần chiều rộng Người ta cần tính tốn cho chi phí xây dựng thấp nhất, biết giá xây dựng 500.000 đồng/m2 Khi chi phí thấp gần với số đây? A 495969987 B 495279087 C 495288088 D 495289087 Lời giải Gọi kích thước đáy kho cần xây dựng x(m) 2x (m), chiều cao kho y (m), (với x, y > 0) Ta có V = 2x2y = 2000 ⇒ y = 1000 x2 (m) Diện tích tồn phần hình hộp chữ nhật stp= (x · 2x + x · y + 2x · y) = 4x2+ 6xy = 4x2+ 6000 x = 4x2+3000 x + 3000 x ≥ 3 … 4x2· 3000 x · 3000 x = 300 3 √ 36 (m2) 2x y x Dấu xảy ⇔ 4x2 = 3000 x ⇔ 4x 3− 3000 = ⇔ x =… 30003 4 Chi phí xây dựng thấp sấp sỉ 300 ·√3 36 · 500000 ≈ 495289087 đồng Chọn đáp án D  Câu 31 Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 cạnh Gọi M , N trung điểm A0B0 BC Mặt phẳng (DM N ) chia hình lập phương thành phần Gọi V1 thể tích phần chứa đỉnh A V2 thể tích phần cịn lại Tỉ số V1 V2 bằng A 2 B 55 89 C 2 3 D 37 48 Lời giải Gọi K = DN ∩ AB, Q = M K ∩ BB0, I = M K ∩ AA0, P = DI ∩ A0D0 Vậy thiết diện hình lập phương cắt mp (DM N ) M P DN Q Do N trung điểm BC ⇒ B trung điểm AK ⇒ BK = AB = Vì A0I = B0Q B 0Q BQ = B0M BK = 1 ⇒ B 0Q = A0I = (112)Tương tự A 0P AD = A0I AI = 1 ⇒ A 0P = Ta có VIA0M P = 1 · A 0I · S 4A0M P = 1 · 3· 16 = 144; VKBN Q= 1 3· BK · S4BN Q = · · 1 = 1 18; VI.ADK = 1 3 · AI · S4ADK = · 4 3· = 4 Do V1 = VI.ADK − VIA0M P − VKBN Q = 4 − 144 − 18 = 55 144 ⇒ V2 = − V1 = 89 144 Vậy V1 V2 = 55 89 A B N C D0 C0 M D P B K I Q A0 Chọn đáp án B  Câu 32 Cho lăng trụ ABC.A0B0C0 có đáy tam giác vng A, AB = a, AC = a√2 Biết góc mặt phẳng (A0BC) mặt phẳng (ABC) 60◦ hình chiếu vng góc A0 (ABC) trung điểm H AB Tính thể tích V khối lăng trụ A V = a 6 B V = a3 2 C V = a3√6 2 D V = a3√2 Lời giải Gọi D, E hình chiếu H, A lên BC Ta có ( HD ⊥ BC A0H ⊥ BC ⇒ (A 0HD) ⊥ BC ⇒ A0D ⊥ BC. Khi (A0BC) (ABC) góc hai đường thẳng A0D HD hay ÷A0DH = 60◦. Xét tam giác vuông ABC, BC =√AB2+ AC2 = a√3. Nên AE = AB · AC BC = a√6 3 suy HD = 2AE = a√6 Từ A0H = HD · tan 60◦ = a √ 6 · √ = a √ 2 C D E B A H A0 B0 C0 Vậy VABC.A0B0C0 = SABC· A0H = 1 2AB · AC · A 0H = 2a · a √ · a √ 2 = a3 Chọn đáp án B  Câu 33 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, ABC = 60◦, SA = SB = SC = a√2 Tính thể tích V khối chóp cho A V = a 3√5 6 B V = a3√5 2 C V = a3√2 3 D V = a3√5 Lời giải Vì ABCD hình thoi nên AB = BC mà ’ABC = 60◦ nên ABC tam giác cạnh a Gọi H trọng tâm tam giác ABC, O giao điểm hai đường chéo hình thoi Vì SA = SB = SC nên S thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hay chân đường cao hạ từ S xuống (ABC) trùng với tâm đường (113)Vì ABC cạnh a tâm H nên AC = a, BO = a √ 3 2 , BH = 3BO = 2 3· a√3 = a√3 Xét tam giác BHD vuông H có SH =√SB2− BH2 = s Ä a√2ä2− Ç a√3 å2 = a √ 5 √ 3 Diện tích hình thoi ABCD 2AC · BD = 2AC · 2BO = 2a · · a√3 = a2√3 Thể tích VS.ABCD = 2SH · SABCD = 3· a√5 √ 3 · a2√3 2 = a3√5 6 Chọn đáp án A  Câu 34 Một hình hộp chữ nhật có chiều cao 90cm, đáy hộp hinh chữ nhật có chiều rơng 50cm chiều dài 80cm khối hộp có chứa nước , mục nước so với đáy hộp có chiều cao 40cm Hỏi khi đặt vào khối hộp khối trụ có chiều cao chiều cao khối hộp bán kính đáy 20cm theo phuong thẳng đứng chiều cao mực nước so với đáy bao nhiêu? A 68,32cm B 78,32cm C 58,32cm D 48,32cm Lời giải Trước đặt khối trụ vào hộp thể tích nước hộp Vn= 40 · 80 · 50 = 160000 (cm3) Gọi h (cm) chiều cao mặt nước so với đáy Sau đặt khối trụ vào hình hộp thể tích lượng nước làVn = h · (4000 − 400π) (cm3) Do lượng nước khơng đổi nên ta có h · (4000 − 400π) = 160000 ⇔ h = 160000 4000 − 400π ≈ 58,32(cm) Chọn đáp án C  Câu 35 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng tâm O cạnh 2a Thể tích khối chóp S.ABCD 4a3 Tính khoảng cách từ điểm O tới mặt bên hình chóp. A a √ 2 2 B 3a 4 C 3a√10 10 D a√10 10 Lời giải Phương pháp: Sử dụng quan hệ vng góc đường thẳng mặt phẳng để xác định khoảng cách d (O; (P )) = OH với OH⊥(P ) H (Để chứng minh OH⊥(P ) ta chứng minh OH vuông góc với hai đường thẳng cắt nằm (P )) Ta tính SO dựa vào cơng thức thể tích hình chóp, tính OH dựa vào hệ thức lượng tam giác vuông (114)A B C D O S M H Vì S.ABCD chóp tứ giác có O tâm đáy nên SO⊥(ABCD) Gọi M trung điểm BC, tam giác SOM kẻ OH⊥SM H Vì ABCD hình vng tâm O nên OB = OC = OA = OD = BD Suy OM ⊥BC (vì ∆OBC vng cân có OM trung tuyến đường cao) Ta có SO⊥(ABCD) ⇒ SO⊥BC, lại có OM ⊥BC nên BC⊥(SOM ) suy BC⊥OH Từ    OH⊥SM OH⊥BC ⇒ OH⊥(SBC) H ⇒ d (O; (SBC)) = OH Xét tam giác OBC vng cân O có trung tuyến OM = 2BC = 1 2· 2a = a Diện tích đáy SABCD = (2a)2 = 4a2 Ta có VS.ABCD = 3· SO · SABCD ⇔ 4a = 3SO · 4a 2 ⇒ SO = 3a. Xét tam giác SOM vng M có OH đường cao nên theo hệ thức lượng tam giác vuông ta có OH2 = 1 SO2 + 1 OM2 = 1 (3a)2 + a2 ⇔ OH 2 = 10 9a2 ⇒ OH = 3a√10 10 Vậy d (O; (SBC)) = 3a √ 10 10 Chọn đáp án C  Câu 36 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thang vng A D, AB = AD = a, CD = 2a Hình chiếu S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm BD Biết thể tích tứ diện SBCD bằng a √ 6 Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) A a √ 3 2 B a√2 6 C a√3 6 D a√6 (115)Cách 1: Gọi H trung điểm BD M trung điểm CD ⇒ ABM D hình vng cạnh a BM = 2DC, tam giác BCD vuông cân B Ta có BC ⊥ SB (vì BC ⊥ BD, BC ⊥ SH ) SH = 3VSBCD S∆BCD = a √ 6 ⇒ d(A, (SBC)) = 3VSABC S∆SBC = ·1 3SH · (SABCD− S∆ADC) 2SB · BC = a √ 6 S A B C K D M H Cách 2: Gọi M trung điểm CD, H trung điểm BD Ta có ∆BCD có BM = 2DC ⇒ ∆BCD vuông B BD = BC = a√2 ⇒ S∆BCD = 2BD · BC = a 2. VSBCD = 3SH · S∆BCD ⇒ SH = 3VSBCD S∆BCD = 3a √ 6a2 = √ 6a Ta có AH ∥ (SBC) ⇒ d(A, (SBC)) = d(H, (SBC)) Kẻ HK ⊥ SB ta ( BC ⊥ SH BC ⊥ BD ⇒ BC ⊥ (SHB) ⇒ BC ⊥ HK Do HK ⊥ (SBC) ⇒ d(H, (SBC)) = HK ∆SHB có 1 HK2 = 1 SH2 + 1 HB2 = 4 6a2 + 4 2a2 = 16 2a2 ⇒ HK = a√6 4 = d(A, (SBC)) Chọn đáp án D  Câu 37 Một khối lập phương có cạnh a cm Khi tăng kích thước cạnh thêm cm thể tích tăng thêm 98 cm3 Giá trị a A cm B cm C cm D cm Lời giải Gọi V1, V2 thể tích khối lập phương ban đầu thể tích khối lập phương tăng kích thước cạnh thêm cm Ta có V1 = a3 cm3; V2 = (a + 2) cm3. Theo đề suy (a + 2)3− a3 = 98 ⇔ 6a2+ 12a − 90 = ⇔ " a = (N) a = −5 (L) Vậy a = cm Chọn đáp án D  Câu 38 Cho hình chóp S.ABCDE có đáy hình ngũ giác tích V Nếu tăng chiều cao hình chóp lên lần đồng thời giảm độ dài cạnh lần ta khối chóp S0.A0B0C0D0E0 tích V0 Tỷ số thể tích V (116)A B 5 C D 1 Lời giải Ta có cơng thức tính thể tích khối chóp V = 3Sh Hai đa giác đồng dạng với nên SS0.A0B0C0D0E0 = 1 9SS.ABCDE Chiều cao hình chóp S0.A0B0C0D0E0 tăng lên lần nên ta có V0 = · 1 9SS.ABCDE3h = 3V Do tỉ số thể tích V V = 1 Chọn đáp án D  Câu 39 Cho hình lăng trụ ABCD.A0B0C0D0 có đáy ABCD hình thoi cạnh a, ’ABC = 60◦ Chân đường cao hạ từ B0 trùng với tâm O đáy ABCD; góc mặt phẳng (BB0C0C) với đáy 60◦ Thể tích lăng trụ A 3a 3√3 8 B 2a3√3 9 C 3a3√2 8 D 3a3 Lời giải Từ giả thiết suy tam giác ABC nên SABCD = 2SABC = a2√3 2 Gọi M hình chiếu O BC BC vng góc với mặt phẳng (B0OM ) Suy góc mặt phẳng (BB0C0C) mặt phẳng đáy góc ÷ B0M O = 60◦. Ta lại có tam giác BOC vng O, có đường cao OM nên 1 OM2 = 1 OB2 + 1 OC2 = 1 a 2 2 + 1 Ç a√3 å2 = 16 3a2 ⇒ OM = a √ 3 Tam giác B0OM vuông O nên B0O = OM · tan 60◦ = 3a A0 D0 C0 B M C A B0 D O ⇒ VABCD.A0B0C0D0 = B0O · SABCD = 3a · a2√3 = 3a3√3 Chọn đáp án A  Câu 40 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD tích V , có O tâm đáy Lấy M trung điểm cạnh bên SC Thể tích khối tứ diện ABM O A V 4 B V 2 C V 16 D V (117)Ta có VABM O = 2VABM C; VABM C = 1 2VSABC = 4VSABCD = 4V ⇒ VABM O = · 1 4V = 1 8V S A D B C M O Chọn đáp án D  Câu 41 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật cạnh AB = 2AD = 2a Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy (ABCD) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) A a 2 B a√3 2 C a√3 4 D a Lời giải Gọi I trung điểm AB ⇒ SI ⊥ AB Ta có        SI ⊥ AB (SAB) ⊥ (ABCD) (SAB) ∩ (ABCD) = AB ⇒ SI ⊥ (ABCD) Xét ∆SAB cạnh 2a có SI = a√3 Kẻ AK ⊥ BD K Xét ∆BAD có AK = √AB · AD AB2 + AD2 = 2a√5 Kẻ J I ⊥ BD J ⇒ J I ∥ AK ⇒ JI = 2AK = a√5 Ta có BD ⊥ SI ⇒ BD ⊥ (SJ I) S K A B J C I D H Kẻ HI ⊥ SJ H ⇒ IH ⊥ (SBD) H ⇒ d(I, (SBD)) = IH Xét ∆SIJ có HI = √J I · SI J I2+ SI2 = a√3 Do I trung điểm AB nên d(A, (SBD)) = 2d(I, (SBD)) = a √ 3 Chọn đáp án B  Câu 42 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Gọi N trung điểm cạnh SB, M điểm đối xứng với B qua A Mặt phẳng (M N C) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần tích V1, V2 với V1 < V2 V thể tích khối chóp S.ABCD Tính tỷ số V1 V A 12 B 7 24 C 5 24 D 5 12 (118)M P Q D C A B N S Gọi P = M N ∩ SA, Q = M C ∩ AD Ta có thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (M N C) tứ giác CN P Q Dễ thấy P trọng tâm tam giác SBM Q trung điểm đoạn AD Gọi V0 thể tích phần chứa điểm S, S diện tích tứ giác ABCD h chiều cao hình chóp S.ABCD Ta có V0 = VS.N P Q+ VS.N QC+ VS.QDC Mà VS.N P Q = SP SA · SN SB · VS.BAQ= 3· 1 3 · SABQ· h = · 1 3· 1 4S · h = 12V VS.N QC = SN SB · VS.BQC = · 1 3.SBQC · h = · 1 · 1 2S · h = 4V VS.QDC = 1 3· SQDC· h = 3· 1 4S · h = 4V Suy V0 = 1 12V + 1 4V + 1 4V = 7 12V Dẫn đến V2 = 7 12V V1 = V − V2 = 12V Vậy V1 V = 12 Nhận xét: kết cho hình chóp có đáy hình bình hành Chọn đáp án D  Câu 43 Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tích V = 12 Gọi M, N trung điểm SA, SB, P điểm thuộc cạnh SC cho P S = 2P C Mặt phẳng (M N P ) cắt cạnh SD Q Thể tích khối chóp S.M N P Q A 18 B 7 3 C 4 3 D (119)Ta có P ∈ (M N P )∩(SCD) M N ∥ CD Do giao tuyến (M N P ) (SCD) song song với CD Qua P mặt phẳng (SCD) kẻ đường thẳng song song với CD cắt SD tại Q Khi (M N P ) ∩ (SCD) = P Q P Q ∥ CD ⇒ SP SC = SQ SD = 2 3 Ta có VSM N P VSABCD = 2 · · 2 = 1 ⇒ VSM N P V = 1 12 VSM QP VSABCD = 2 · · 2 = 2 ⇒ VSM QP V = 1 Vậy VSM N P Q= 36V = 7 A B N C D Q P M S Chọn đáp án B  Câu 44 Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 có tất cạnh 2a, đáy ABCD hình vng Hình chiếu đỉnh A0 mặt phẳng đáy trùng với tâm đáy Tính theo a thể tích V khối hộp cho A V = 4a 3√2 3 B V = 4a 3√2. C V = 8a3. D V = 8a 3 Lời giải Ta có A0O ⊥ (ABCD), AO = AC = a √ 2, A0O =√AA02− AO2 = a√2. Thể tích khối hộp VABCD.A0B0C0D0 = SABCD· A0O = 4a2 · a √ 2 = 4a3√2 D C B0 A0 C0 D0 A B Chọn đáp án B  Câu 45 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy hình vng cạnh a, cạnh bên tạo với góc 60◦ Gọi M trung điểm SC Mặt phẳng qua AM song song với BD, cắt SB, SD E và F chia khối chóp thành hai phần Tính thể tích V khối chóp khơng chứa đỉnh S A V = a 3√6 36 B V = a3√6 9 C V = a3√6 18 D V = (120)Gọi O = AC ∩ BD, G = AM ∩ SO, suy G trọng tâm tam giác SAC nên SG SO = 2 Ta có (SC, (ABCD)) = Ô SCO = 60, ú OC = 2AC = a√2 2 , SO = OC tan 60 ◦ = a √ 6 Thể tích khối chóp S.ABCD VS.ABCD = 3· SA · SABCD = a3√6 6 Gọi (α) mặt phẳng chứa AM song song với BD, suy (α) mặt phẳng qua G, song song với BD và cắt SB, SD E F A B E C D F M G S O Do đó, (α) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện tứ giác AEM F , suy (α) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần khối chóp S.AEM F khối đa diện EM F ABCD Ta có EF qua G song song BD nên SE SB = SF SD = SG SO = 2 Xét hai khối chóp S.AEF S.ABD, ta có VS.AEF VS.ABD = SE SB · SF SD = 4 9 ⇒ VS.ABD = 9VS.ABCD Xét hai khối chóp S.EF M S.BCD, ta có VS.EF M VS.BCD = SE SB · SF SD · SM SC = 2 9 ⇒ VS.EF M = 9VS.ABCD Ta có VS.AEM F = VS.AEF + VS.EF M = 1 3VS.ABCD Thể tích khối chóp khơng chứa đỉnh S V = VS.ABCD− VS.AEM F = 3VS.ABCD = a3√6 9 Chọn đáp án B  Câu 46 Một khúc gỗ dạng hình hộp chữ nhật có kích thước hình vẽ Người ta cắt phần khúc gỗ dạng hình lập phương cạnh cm Tính thể tích phần cịn lại A 262 cm3 B 54 cm3 C 145 cm3 D 206 cm3 4 cm 9 cm 6 cm cm Lời giải Thể tích khối gỗ lúc đầu chưa bị cắt V1 = · · = 270 cm3. Thể tích khối gỗ cắt bớt V2 = 43 = 64 cm3 Thể tích phần lại V = V1 − V2 = 206 cm3 Chọn đáp án D  Câu 47 Cho khối lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy tam giác ABC cân A với AB = AC = a, ’ (121)cho A0M = 3M C0 Tính thể tích V khối chóp CM BC0 A V = 3a 3 8 B V = a3 24 C V = a3 8 D V = a3 32 Lời giải Gọi I trung điểm B0C0 ⇒ A0I ⊥ B0C0 ⇒ ’IA0B0 = 60◦. Xét tam giác A0IB0 vng I có A0I = A0B0cos 60◦ = a 2 Ta có B0C0 ⊥ A0I B0C0 ⊥ AA0 nên góc (AB0C0) (ABC) là ’ AIA0 = 60◦. Xét tam giác A0IA vng A0 có AA0 = A0I · tan 60◦ = a √ 3 Mà S4M CC0 = 1 4S4A0CC0 nên VCM BC0 = 1 4VBA0CC0 = 4· 1 3VABC.A0B0C0 = 12· AA 0· S4ABC = 12· 2· a 2 · sin 120◦· a √ 3 = a3 32 A0 B0 B M A C C0 I Chọn đáp án D  Câu 48 Cho hình chóp S.ABC Gọi M , N điểm thuộc cạnh SA, SB cho M A = 2SM , SN = 2N B Mặt phẳng (α) qua M N song song với SC Kí hiệu (H1) (H2) khối đa diện có chia khối chóp S.ABC mặt phẳng (α), (H1) chứa điểm S (H2) chứa điểm A Gọi V1, V2 thể tích (H1), (H2) Tính tỉ số V1 V2 A 3 B 5 4 C 3 4 D 4 Lời giải Mặt phẳng (α) qua M N song song với SC, cắt BC AC P , Q Gọi E giao điểm M N AB ⇒ P Q qua E Ta có N P ∥ SC nên BP BC = BN BS = 1 3 Áp dụng Mê-nê-la-uýt cho tam giác SAB ta có M S M A· EA EB· N B N S = ⇒ 2· EA EB· 1 2 = ⇒ EA EB = Áp dụng Mê-nê-la-uýt cho tam giác ABC ta có QC QA· EA EB· P B P C = ⇒ QC QA·4· 1 2 = ⇒ QC QA = 1 3 B C E P S Q A M (122)Khi VM.QAE VS.ABC = AM SA · S4QAE S4ABC = 3· AQ CA · EA AB = · · = 16 27 ⇒ VM.QAE = 16 27VS.ABC; VN.P BE VS.ABC = BN BS · S4P BE S4ABC = 3· BE BA · BP BC = · · = 27 ⇒ VN.P BE = 27VS.ABC; VH2 = VM.AEQ− VN.BEP = Å 16 27 − 1 27 ã VS.ABC = 15 27VS.ABC; VH1 = VS.ABC − VH2 = 12 27VS.ABC Vậy VH1 VH2 = 12 15 = 4 Chọn đáp án D  Câu 49 Cho khối tứ diện tích V Gọi V0 thể tích khối đa diện có đỉnh trung điểm cạnh tứ diện cho Tính tỉ số V 0 V A V V = 4 B V0 V = 5 8 C V0 V = 3 8 D V0 V = 1 Lời giải Giả sử khối đa diện ABCD Gọi E, F , G, H, I, J trung điểm của AB, AC, AD, BC, CD, BD Ta có VAEF G V = AE AB · AF AC · AG AD = 8 ⇒ VAEF G = 8V Tương tự, VBEHJ = 1 8V ; VCHIF = 8V ; VDGIJ = 8V Do V0 = V − VAEF G− VBEHJ − VCHIF − VDGIJ = 1 2V Vậy V V = B D C A E F G H I J Chọn đáp án D  Câu 50 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân B, AC = a√2, biết SA vng góc với mặt đáy SA = a Gọi G trọng tâm tam giác SBC, (α) mặt phẳng qua AG song song với BC cắt SB, SC M N Tính thể tích V khối đa diện AM N BC A V = 9a 3. B V = 27a 3. C V = 27a 3. D V = 54a 3. (123)Do (α) qua G ∈ (SBC), song song với BC nên (α) cắt mặt phẳng (SBC) theo giao tuyến M N qua G song song với BC Suy SM SB = SN SC = 2 3 VS.AM N VS.ABC = SM SB · SN SC = 4 Từ suy VAM N CB VS.ABC = 9 Do tam giác ABC vng cân B có AC = a√2 nên S4ABC = 2· a · a = a2 2 Do SA ⊥ (ABC) nên VS.ABC = 3S4ABC· SA = 3· a2 · a = a3 Suy VAM N CB = 9VS.ABC = 9· a3 = 5 54a 3. A B C D S G M N Chọn đáp án D  Câu 51 Cho hình hộp chữ nhật có diện tích ba mặt 60 cm2, 72 cm2, 81 cm2 Khi đó, thể tích V khối hộp chữ nhật gần với giá trị sau đây? A 595 cm3 B 592 cm3 C 593 cm3 D 594 cm3 Lời giải Giả sử khối hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c Khi thể tích khối hộp chữ nhật V = abc Từ giả thiết ta có        ab = 60 bc = 72 ac = 81 ⇒ (abc)2 = 60 · 72 · 81 = 349920 Suy V = abc =√349920 ≈ 591,54 Vậy thể tích V khối hình hộp chữ nhật gần với giá trị 592 cm3. Chọn đáp án B  Câu 52 Cho tứ diện ABCD, cạnh BC,BD,AC lấy điểm M ,N ,P cho BC = 3BM , BD = 2BN, AC = 2AP Mặt phẳng (M N P ) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện tích V1, V2, khối đa diện chứa cạnh CD tích V2 Tính tỉ số V1 V2 A V1 V2 = 26 19 B V1 V2 = 26 13 C V1 V2 = 15 19 D V1 V2 (124)Áp dụng định lí Me-ne-la-uyt ta có: M B M C · N D N B · GC GD = ⇒ GC GD = GC GD · F D F A · P A P C = ⇒ F D F A = 1 • VDCP M N F = VCP M F + VCM N F + VCN F D • VCP M F VABCD = 3d (F, (CP M )) · SCP M 3d (D, (ABC)) · SABC = 5· · 2 = 4 15 A M D G N B F C P • VCN M F VABCD = 3d (F, (CN M )) · SCN M 3d (A, (CBD)) · SCBD = 5· · 2 = 4 45 • VCN DF VABCD = 3d (C, (F N D)) · SF N D 3d (C, (ABD)) · SABD = 5 = 4 15 ⇒ V2 VABCD = 15+ 4 45 + 1 15 = 19 45 ⇒ V1 V2 = 45 − 19 19 = 26 19 Chọn đáp án A  Câu 53 Cho khối chóp S.ABC, mặt bên (SBC) tam giác vuông cân S có BC = 2a, cạnh SA = a√2 tạo với mặt phẳng (SBC) góc 30◦ Tính thể tích khối chóp S.ABC A a 3√2 2 B a3√3 3 C a3√3 6 D a3√2 6 Lời giải Ta có 4SBC vng cân S nên BC = SC√2 ⇒ SC = BC√ = a √ 2, S4SBC = a2. Gọi H hình chiếu vng góc A lên (SBC) suy ’ASH = 30◦ Ta có sin 30◦ = AH SA ⇒ AH = SA · sin 30 ◦ = a √ 2 Từ ta có V = 3AH · S4SBC = 3· a√2 · a 2 = a 3√2 6 A C B H S Chọn đáp án D  Câu 54 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân A, Mặt bên (SAB) tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Thể tích V khối chóp S.ABC A V = a3 B V = 2a3 C V = a 3 8 D V = (125)Gọi H trung điểm AB ⇒ SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ (ABC) Ta có: SH = a √ 3 và S∆ABC = 2AB · AC · sin 120 = a2 √ Vậy: VS.ABC = 3SH · S∆ABC = 3· a√3 · a2√3 = a3 S B C H A 120◦ Chọn đáp án C  Câu 55 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy tam giác vuông cân B, AC = a√2, biết góc (A0BC) đáy 60◦ Tính thể tích V khối lăng trụ A V = a 3√3 2 B V = a3√6 6 C V = a3√3 3 D V = a3√3 Lời giải Do đáy tam giác vuông cân B, AC = a√2 nên AB = a Lại có: (A0BC) ∩ (ABC) = BC mà BC ⊥ (A0B0BA) nên góc tạo (A0BC) đáy ’A0BA. Theo ra: ’A0BA = 60◦. AA0 = AB · tan ’A0BA = a · tan 60◦ = a√3. Thể tích V khối lăng trụ: V = A0A · SABC = a √ 3 · 2a 2 = a 3√3 2 B0 B A0 A C0 C Chọn đáp án A  Câu 56 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, ’ABC = 60◦, SB = a√2 Hai mặt bên SAD SAB vng góc với mặt đáy ABCD Mệnh đề đúng? A SABCD = a2√3 4 B SC = a √ 3 C (SAC) ⊥ (SBD) D VS.ABCD = a3√3 (126)Ta có ABCD hình thoi cạnh a ’ABC = 60◦ nên suy 4ABC tam giác ⇒ SABCD = · SABC = · a2√3 4 Loại phương án A Vì hai mặt bên (SAB) (SAD) vng góc với mặt đáy ABCD nên suy SA ⊥ (ABCD) Xét tam giác SAB vuông A Khi đó: ⇒ SA =√SB2− AB2 = qÄ a√2ä2− a2 = a. Xét tam giác SAC vuông A Khi đó: ⇒ SC = √SA2+ AC2 = √a2+ a2 = a√2 Do đó loại phương án B Thể tích khối chóp VS·ABCD = 3 · SA · SABCD = 3 · a · · a2√3 4 = a3√3 6 Do loại phương án D Ta có ( SA ⊥ BD AC ⊥ BD ⇒ BD ⊥ (SAC) Mà BD ⊂ (SBD) suy (SAC) ⊥ (SBD) Do chọn phương án C B C D S A O Chọn đáp án C  Câu 57 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy 2a , cạnh bên tạo với đáy góc 60◦ Thể tích khối chóp S.ABC A 2a 3√3 3 B a3√3 3 C a3√3 4 D a 3√3. Lời giải • Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp 4ABC ⇒ SO ⊥ (ABC) nên ’SAO = 60◦ • Ta có AO = 3· 2a · √ = 2a√3 3 SH = AO · tan 60 ◦ = 2a. • Diện tích đáy : S4ABC = (2a)2·√3 = a 2√3. • Thể tích : VS.ABC = 3Bh = · a 2√3 · 2a = 2a 2√3 3 S B O M A C Chọn đáp án A  Câu 58 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, cạnh AB = 2AD = 2a Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy (ABCD) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) A a √ 3 4 B a√3 2 C a 2 D a (127)Gọi H trung điểm AB Do ∆SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy ABCD nên SH ⊥ (ABCD) Kẻ HI ⊥ BD I, kẻ HK ⊥ SI K Suy d[A, (SBD)] = 2d[H, (SBD)] = 2HK Xét ∆SAB có SH = · a √ 3 = a √ Ta có ∆HIB đồng dạng ∆DAB nên HI DA = HB DB ⇒ HI = HB · DA DB = a √ 5 Xét ∆SHI vuông H có HK = √HI · SH HI2+ SH2 = a√3 Vậy d[A, (SBD)] = 2HK = a √ 3 S A D C H I B K Chọn đáp án B  Câu 59 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD, SA⊥(ABCD) Mặt phẳng qua AB cắt SC SD M N cho SM SC = x Tìm x biết VS.ABM N VS.ABCD = 11 200 A 0, B 0, C 0, D 0, 25 Lời giải Lấy M ∈ SC, qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt SD tại N ta mặt phẳng (ABM N ) thỏa mãn điều kiện Vì M N song song CD nên theo định lý Ta-lét ta có SM SC = SN SD = x Vì ABCD hình bình hành nên VS.ACB = VS.ACD = 2VS.ABCD = 2V S A B C D M N Ta có VS.AM N VS.ACD = SA SA · SM SC · SN SD = x 2; VS.AM B VS.ACB = SA SA · SM SC · SB SB = x Do VS.AM N VS.ACD = VS.AM N VS.ABCD = x2 ⇒ VS.AM N VS.ABCD = x 2 VS.AM N VS.ACB = VS.AM B VS.ABCD = x ⇒ VS.AM B VS.ABCD = x Mà VS.AM N + VS.AM B = VS.ABM N nên VS.AM N VS.ABCD + VS.AM B VS.ABCD = VS.ABM N VS.ABCD = x 2+ x (128)Theo giả thiết ta có VS.ABM N VS.ABCD = 11 200 ⇒ x 2+ x 2 = 11 200 ⇔ ( 0 < x < 100x2+ 100x − 11 = 0 ⇔ x = 0, Chọn đáp án A  Câu 60 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a SA = 2a SA⊥(ABC) Gọi M N hình chiếu vng góc A đường thẳng SB SC Tính 50V √ a3 , với V thể tích khối chóp A.BCM N A 10 B 12 C D 11 Lời giải Xét tam giác SAB SAC tam giác vuông A có hai cạnh góc vng a 2a nên SB = SC =pa2+ (2a)2 = a√5. Tam giác SAB vng A có đường cao AM Khi SA2 = SM · SB ⇒ SA SB2 = SM SB ⇒ SM SB = 4 Tương tự ta có SN SC = Lại có VS.ABC = 3SA · SABC = · 2a · a2√3 = a2√3 Mặt khác VS.AM N VS.ABC = SA SA · SM SB · SN SC = 16 25 Do đó, V = VA.BCN M = 25VS.ABC = 3a3√3 50 , suy 50V√3 a3 = A M C S N B Chọn đáp án C  Câu 61 Cho khối lăng trụ đứng ABC.AB0C0 có đáy ABC tam giác cân với AB = AC = a, ’BAC = 120◦, mặt phẳng (A0BC0) tạo với đáy góc 60◦ Thể tích khối lăng trụ cho A √ 3a3 8 B 9a3 8 C a3√3 8 D 3a3 Lời giải Ta có: B0H = sin 30◦.B0C0 = a √ 3 ÷ BHB0 = 60◦ ⇒ BB0 = B0H tan 60◦ = 3a ⇒ VABC.A0B0C0 = SABC.BB0 = a2√3 · 3a = 3a3√3 B A0 A H B0 C0 C 30◦ Chọn đáp án A  Câu 62 Cho lăng trụ đứng tam giác ABCD.A0B0C0D0 Gọi M , N , P , Q điểm thuộc cạnh AA0, BB0, CC0, B0C0 thỏa mãn AM AA0 = 2, BN BB0 = 1 3, CP CC0 = 1 4, CQ C0B0 = 1 (129)lượt thể tích khối tứ diện M N P Q khối lăng trụ ABC.A0B0C0 Tính tỉ số V1 V2 A V1 V2 = 22 45 B V1 V2 = 11 45 C V1 V2 = 19 45 D V1 V2 = 11 30 Lời giải VA0ABC = 1 3V2 ⇒ VABCCB0 = VM.BCCB0 = 3V2 Mà SB0N Q = 4 15SBCC0B0, SC0P Q = 40SBCC0B0, SBCP N = 24SBCC0B0 Suy SN P Q = SBCCB0− SB0N Q− SC0P Q− SBCP N = 11 30SBCCB Do V1 = VM N P Q= 11 30VM BCCB = 11 45V2 tức V1 V2 = 11 45 A0 A B C B0 C0 M N P Q Chọn đáp án B  Câu 63 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi canh a, ’BAD = 60◦ SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Góc hai mặt phẳng (SBD) (ABCD) 45◦ Gọi M điểm đối xứng C qua B N trung điểm SC Mặt phẳng (M N D) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện, khối đa diện chứa đỉnh S tích V1, khối đa diện cịn lại tích V2 (tham khảo hình vẽ sau) Tính tỉ số V1 V2 S B C A D I M K N A V1 V2 = 5 B V1 V2 = 3 C V1 V2 = 12 7 D V1 V2 = Lời giải Gọi I = DM ∩ AB K = M N ∩ SB Ta có: B, N lần lượt trung điểm M C, SC nên K trọng tâm tam giác SM C Và BI đường trung bình tam giác M CD Khi VM BKI VM CN D = M B M C · M K M N · M I M D = 1 2· · = ⇒ VM BKI = 6VM CN D ⇒ VBKICN D = 5VM BKI +) Tính thể tích khối SABCD ABCD hình thoi cạnh a, góc ’BAD = 60◦ ⇒ 4BAD đều, ⇒ SABCD = 2SABD = a2√3 4 = a2√3 2 S B C A D I M K N O Mặt khác [(SBD), (ABCD)] = ’SOA = 45◦ ⇒ SA = OA = a √ 3 ⇒ VSBCD = 3· SA · SABCD = 3· a√3 · a2√3 = (130)VKM BB = 3·d(K, (M IB))·SM BB = 3· 1 3d(S, (M IB))·SM B = 9·SA· 1 2·SABD = 18· a√3 · a2√3 = a3 48 Do V2 = 5a3 48 V1 = a3 4 − 5a3 48 = 7a3 48 ⇒ V1 V2 = Chọn đáp án D  Câu 64 Cho hình chóp S.ABC có đáy cạnh a, góc đường thẳng SA mặt phẳng (ABC) 60◦ Gọi A0, B0, C0 tương ứng điểm đối xứng A, B, C qua S Thể tích V khối bát diện có mặt ABC, A0B0C0, A0BC, B0CA, C0AB, AB0C0, BA0C0, CA0B0 A V = √ 3a3 3 B V = √ 3a3 C V = √ 3a3 2 D V = 4√3a3 Lời giải Ta tính thể tích khối chóp S.ABC: Gọi H tâm tam giác ABC cạnh a ⇒ CH = a √ 3 Góc đường thẳng SA mặt phẳng (ABC) 60◦ ⇒ ’SCH = 60◦ ⇒ SH = a ⇒ VS.ABC = 1 3.SH.SABC = 3a a2√3 = a3√3 12 V = 2VB.ACA0C0 = 2.4VB.ACS = 8VS.ABC = 2a3√3 A0 A B C B0 C0 M S H Chọn đáp án A  Câu 65 Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình chữ nhật, AB = SA = a, AD = a√2, SA vng góc với đáy Gọi M , N trung điểm AD SC, gọi I giao điểm BM AC Tỷ số VAM N I VS.ABCD là A 7 B 1 12 C 1 6 D 1 24 Lời giải Coi hình chóp AM N I với điểm N làm đỉnh AM I làm đáy • Từ N trung điểm SC nên đường cao hAM N I = 2hS.ABCD • Lấy O tâm hình chữ nhật ta có BM ; AO trung tuyến nên I trọng tâm tam giác ABD nên SAIM SABD = hI · AM hB· AD = ⇒ SAIM SABCD = 12 • Suy VAM N I VS.ABCD = hAM N I hS.ABCD · SAIM SABCD = 2· 1 12 = 1 24 A B D S C M N I O Chọn đáp án D  (131)A 105 √ 3 (cm 3). B 24√3 (cm3). C 8√3 (cm3). D 35 √ 3 (cm 3). Lời giải Gọi I hình chiếu vng góc S mp(ABC) Gọi M , N , P hình chiếu I AB, BC, AC Vì mặt bên tạo với đáy góc 60◦, ’ SM I = ‘SN I = ‘SP I = 60◦ ⇒ 4ISM = 4ISN = 4ISP ⇒ IM = IN = IP Suy I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC A C B S M P N I Ta có p = a + b + c 2 = ⇒ SABC =pp (p − a) (p − b) (p − c) = √ 6 Do IM = r = SABC p = 2√6 (cm) ⇒ SI = IM · tan ’SM I = √ 2 = √ (cm) ⇒ VS.ABC = 3SI · SABC = √ 3 (cm3) Chọn đáp án B  Câu 67 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a, tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Tính thể tích khối chóp S.ABC A V = a3 B V = 3a3 C V = 3a 2 D V = a3 Lời giải Gọi H trung điểm AB ⇒ SH ⊥ AB Ta có        (SAB) ⊥ (ABC) (SAB) ∩ (ABC) = AB SH ⊥ AB, SH ⊂ (SAB) ⇒ SH ⊥ (ABC) Mặt khác : S4ABC = (2a)2√3 = a 2√3 SH = 2a √ 3 = a √ Thể tích khối chóp : V = 3Bh = 1 3a 2√3 · a√3 = a3. C A H S B Chọn đáp án A  Câu 68 Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đơi vng góc SA = SB = SC = a Gọi B0, C0 hình chiếu vng góc S AB, AC Tính thể tích khối chóp S.AB0C0 A V = a 3 24 B V = a3 12 C V = a3 6 D V = (132)Do tam giác SAB, SAC vuông cân S nên B0, C0 trung điểm AB, AC Ta có VS.AB0C0 VS.ABC = VA.SB0C0 VA.SBC = AB AB · AC0 AC = 1 2· 1 = 1 Mặt khác VS.ABC = 6SA · SB · SC = 6a 3. Vậy : VS.AB0C0 = 1 4VS.ABC = a3 24 B C A S B0 C0 Chọn đáp án A  Câu 69 Cho hình hộp đứng ABCD.A0B0C0D0 có đáy ABCD hình vng cạnh a Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A0BCD0) a √ 2 Tính thể tích hình hộp theo a A V = a 3√3 3 B V = a 3√3. C V = a 3√21 7 D V = a 3. Lời giải A0 C C0 D D0 H B B0 A Kẻ AH ⊥ A0B (1) Ta có        A0D0 ⊥ A0B0 A0D0 ⊥ AA0 AA0∩ A0B0 = A0 ⇒ A0D0 ⊥ (ABB0A0) ⇒ A0D0 ⊥ AH. (2) A0B ∩ A0D0 = A0 (3) Từ (1), (2), (3) ⇒ AH ⊥ (A0BCD0) AH khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A0BCD0) Xét tam giác A0AB vng A ta có 1 AH2 = 1 AB2 + 1 AA02 ⇒ 1 AA02 = AB2− AH2 AB2· AH2 = a2− 3a a2· 3a = 3a2 ⇒ AA = a√3 Vậy VABCD.A0B0C0D0 = AA0· SABCD = a2· a √ 3 = a3√3 (133)Câu 70 Cho khối hộp ABCD.A0B0C0D0 tích 2018 Gọi M trung điểm cạnh AB Mặt phẳng (M B0D0) chia khối hộp ABCD.A0B0C0D0 thành hai khối đa diện Tính thể tích phần khối đa diện chứa đỉnh A A 5045 6 B 7063 6 C 10090 17 D 7063 12 Lời giải Trong mặt phẳng (ABB0A0), gọi E = B0M ∩ AA0 Trong mặt phẳng (ADD0A0), gọi N = ED0 ∩ AD Vì M trung điểm AB nên M trung điểm EB0 Tương tự, N trung điểm ED0 Ta có VE.AM N VE.A0B0D0 = EA EA0 · EM EB0 · EN ED0 = 1 8 (1) Từ (1) suy B C A D0 N A0 B0 C0 E D M VAM N A0B0D0 = 7 8VE.A0B0D0 = 8 · 2VA.A0B0D0 = 8 · · 6VABCD.A0B0C0D0 = 24 · 2018 = 7063 12 Chọn đáp án D  Câu 71 Một thùng đựng nước có hình khối lập phương chứa đầy nước Đặt vào thùng khối có dạng nón cho đỉnh trùng với tâm mặt lập phương, đáy khối nón tiếp xúc với cạnh mặt đối diện Tính tỉ số thể tích lượng nước trào ngồi lượng nước cịn lại thùng A π 12 − π B 1 11 C π 12 D 11 12 Lời giải • Coi khối lập phương có cạnh Thể tích khối lập phường V = • Từ giả thiết ta suy khối nón có chiều cao h = 1, bán kính đáy r = 2 • Thể tích lượng nước trào ngồi thể tích V1 khối nón Ta có V1 = 1 3πr 2h = 3π · = π 12 • Thể tích lượng nước cịn lại thùng V2 = V − V1 = − π 12 = 12 − π 12 • Do V1 V2 = π 12 − π Chọn đáp án A  Câu 72 Cho khối chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh √a (134)A V = a 3√3 24 B V = a3√3 12 C V = a3√6 24 D V = a3√2 24 Lời giải Phương pháp: Cơng thức tính thể tích khối chóp có chiều cao h diện tích đáy S là: V = 3hS Cách giải: Gọi H hình chiếu S AC Ta có ( (SAC) ∩ (ABCD) = AC (SAC) ⊃ SH ⊥ AC ⇒ SH ⊥ (ABCD) Khi  ¤ SA, (ABCD)  =  ÿ SA, AH  =ÄSA, AC◊ ä = ’SAC Ta có: AC = AB√2 = a √ 2 √ = a Xét ∆SAC vuông S ta có:      SA = AC · cos 60◦ = a SC = AC · sin 60◦ = a √ 3 Áp dụng hệ thức lượng cho ∆SAC vng S có đường cao SH ta có: SH = SA.SC AC = a a√3 a = a√3 ⇒ VS.ABCD = 3SA.SABCD = a√3 a2 = a3√3 24 Chọn đáp án A  Câu 73 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = 2a vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm cạnh SD Tính tang góc tạo hai mặt phẳng (AM C) (SBC) A √ 3 2 B 2√3 3 C √ 5 D 2√5 B A C D S M Lời giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, cho A ≡ O(0; 0; 0), D(a; 0; 0) ∈ Ox, B(0; a; 0) ∈ Oy, S(0; 0; 2a) ∈ Oz Suy C ∈ (Oxy) C(a; a; 0), M a 2; 0; a  Ta có AM =# » a 2; 0; a  ; AC = (a; a; 0) ⇒ #»# » n(AM C) = ỵ# » AM ,AC# »ó = Å −a2; a2;a 2 ã Hay #»n(AM C)=  −a; a;a  # » SB = (0; a; −2a), SC = (a; a; −2a)# » ⇒ #»n(SBC) = [ # » SB,SC] = (0; −2a; −a).# » B A O C D S M x y z (135)Khi cos((AM C), (SBC)) = cos α = #»n(M AC)· #»n(SBC) #»n(M AC) · ... Cho khối chóp tứ giác S.ABCD Gọi M trung điểm SC, mặt phẳng (P ) chứa AM song song với BD chia khối chóp thành khối đa diện Đặt V1 thể tích khối đa diện có chứa đỉnh S V2 thể tích khối đa. .. 29 Một khối lăng trụ tam giác phân chia thành n khối tứ diện tích Khẳng định sau đúng? A B C D Lời giải Vì thể tích khối lăng trụ V1 = Bh thể tích khối chóp (tứ diện) V2...  Câu 60 Cho tứ diện có chiều cao h Ở ba góc tứ diện, người ta cắt tứ diện có chiều cao x để khối đa diện cịn lại tích thể tích khối tứ diện ban đầu (hình bên)
- Xem thêm -

Xem thêm: Thể tích của khối đa diện - ôn tập THPT Quốc gia 2020 Môn Toán - Sách Toán - Học toán, Thể tích của khối đa diện - ôn tập THPT Quốc gia 2020 Môn Toán - Sách Toán - Học toán