Mặt cầu - ôn tập THPT Quốc gia 2020 Môn Toán - Sách Toán - Học toán

178 2 0
  • Loading ...
    Loading ...
    Loading ...

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 14/01/2021, 17:33

Đáy là tam giác thì luôn có đường tròn ngoại tiếp, do đó tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác là giao điểm của trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và mặt trung trực của một cạnh [r] (1)BÀI 2 MẶT CẨU A TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1 Mặt cầu Định nghĩa Tập hợp điểm M không gian cách điểm O cố định khoảng R gọi mặt cầu tâm O, bán kính R, kí hiệu S(O; R) Khi đó, S(O; R) = {M |OM = R} Với hai điểm C, D ∈ S(O; R) đoạn thẳng CD gọi dây cung mặt cầu Dây cung qua tâm gọi đường kính mặt cầu Khi đó, độ dài đường kính 2R R O M Định nghĩa Cho mặt cầu tâm O bán kính R A điểm khơng gian  Nếu OA = R ta nói điểm A nằm mặt cầu S(O; R)  Nếu OA < R ta nói điểm A nằm mặt cầu S(O; R)  Nếu OA > R ta nói điểm A nằm ngồi mặt cầu S(O; R) Tập hợp điểm thuộc mặt cầu S(O; R) với điểm nằm mặt cầu gọi khối cầu hình cầu tâm O bán kính R Tính chất Cho mặt cầu S(O; R) mặt phẳng (P ) Gọi d khoảng cách từ tâm O mặt cầu đến mặt phẳng (P ) Ta có:  Nếu h > R mặt phẳng (P ) không cắt mặt cầu S(O; R)  Nếu d = R mặt phẳng (P ) mặt cầu S(O; R) có điểm chung Khi đó, ta nói mặt phẳng (P ) tiếp xúc với mặt cầu S(O; R) Điểm tiếp xúc gọi tiếp điểm, (P ) gọi mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện mặt cầu  Nếu d < R mặt phẳng (P ) cắt mặt cầu S(O; R) theo đường trịn bán kính R0 =√R2− d2. Đặc biệt, d = tâm O thuộc mặt phẳng (P ), giao tuyến (P ) S(O; R) đường tròn tâm O bán kính R Đường trịn gọi đường trịn lớn 4! Điều kiện cần đủ để mặt phẳng (P ) tiếp xúc với mặt cầu S(O; R) (P ) vng góc với bán kính tại tiếp điểm Tính chất Cho mặt cầu S(O; R) đường thẳng ∆ Gọi d khoảng cách O đến đường thẳng ∆ Khi đó,  d > R ⇔ ∆ không cắt mặt cầu S(O; R)  d < R ⇔ ∆ cắt mặt cầu hai điểm phân biệt  d = R ⇔ ∆ mặt cầu S(O; R) tiếp xúc Do đó, điều kiện cần đủ để ∆ tiếp xúc với mặt cầu S(O; R) d = R Định lí Cho mặt cầu S(O; R) điểm A nằm ngồi mặt cầu Khi đó,  Qua A có vơ số tiếp tuyến với mặt cầu  Tập hợp tiếp tuyến tạo thành mặt nón đỉnh A  Độ dài đoạn thẳng nối A với tiếp điểm Định lí Cho mặt cầu S(O; R) điểm A nằm mặt cầu Khi đó,  Qua A có vơ số tiếp tuyến với mặt cầu (2)4! Người ta nói mặt cầu nội tiếp hình đa diện mặt cầu tiếp xúc với tất mặt hình đa diện, nói mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện tất đỉnh hình đa diện nằm mặt cầu Tính chất Cho mặt cầu bán kính R Khi đó,  Diện tích mặt cầu: S = 4πR2.  Thể tích khối cầu: V = 3πR 3. 4!  Diện tích S mặt cầu bán kính R lần diện tích hình trịn lớn mặt cầu  Thể tích V khối cầu bán kính R thể tích khối chóp có diện tích đáy diện tích mặt cầu có chiều cao bán kính khối cầu B CÁC DẠNG TỐN { DẠNG Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy (hình chóp đều) Phương pháp giải 1) Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy Xét hình chóp S.A1A2 An có cạnh bên SA1 vng góc với đáy (A1A2 An) đáy A1A2 An nội tiếp đường tròn tâm O Tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp xác định sau  Dựng trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy d (đường thẳng qua tâm đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy vng góc với mặt phẳng đáy)  Dựng mặt phẳng trung trực cạnh bện SA1 cắt d I ⇒ I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, bán kính R = IA1 = IA2 = = IAn= IS 2) Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Cho hình chóp S.A1A2 Ancó đáy đa giác nơi tiếp đường trịn tâm O Tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp xác định sau  Dựng trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy d  Trong mặt phẳng chứa d cạnh bên hình chóp, chẳng hạn SA1, dựng đường thẳng trung trực cạnh SA1 cắt SO I ⇒ I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.A1A2 An, bán kính R = IA1 = IA2 = = IAn = IS 4! Tập hợp điểm khơng gian nhìn hai điểm cho trước góc vng mặt cầu có đường kính đoạn thẳng nối hai điểm cho trước Ví dụ Cho tứ diện ABCD có đáy ABC tam giác vng B, DA ⊥ (ABC) Tìm tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Biết AB = 3a, BC = 4a, DA = 5a (3)Ta có DA ⊥ (ABC) ⇒ DA ⊥ AC ⇒ ’DAC = 90◦ (1) Lại có: ®BC ⊥ AB BC ⊥ DA ⇒ BC ⊥ (DAB) ⇒ BC ⊥ BD ⇒ ’DBC = 90◦ (2) Từ (1) (2) ⇒ Bốn điểm A, B, C, D nằm mặt cầu đường kính DC Gọi I trung điểm DC, R bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ⇒ R = IA = IB = IC = ID = DC 2 Mặt khác DC =√DA2 + AC2 =√DA2+ AB2+ AC2 = 5a√2. ⇒ R = DC 2 = 5a√2 2 B C A I D  Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, cạnh 2a Cạnh bên SA ⊥ (ABCD), góc SO mặt phẳng (ABCD) 45◦ Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD Lời giải Ta có SO ⊥ (ABCD) ⇒[SO, (ABCD)] = Ô SOA = 45 SA = AO = AC 2 = a √ 2 Qua O dựng đường thẳng song song với SA cắt mặt phẳng trung trực cạnh SA I ⇒ I trung điểm SC ⇒ IA = IS = IB = IC = ID ⇒ I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Dễ thấy IO = SA 2 = a√2 2 ⇒ R =√IO2+ AO2 = a 2√10 B C D O A S I  Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có SA = AB = a Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD (4)Gọi I giao điểm AC BD Trung điểm SA N Ta có AC =√2 ⇒ 4SAC vuông cân S ⇒ 4SIA vuông cân I ⇒ = IA = IB = IC = ID ⇒ I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD ⇒ Bán kính mặt cầu R = IA = a √ 2 A B C D S I N  Ví dụ Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a√3 cạnh bên 2a Gọi O trọng tâm tam giác ABC Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Tính thể tích khối cầu diện tích mặt cầu Lời giải Gọi M, N, K trung điểm BC, AB, SA Mặt phẳng trung trực cạnh SA cắt SO I ⇒ I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC 4SKI ∼ 4SOA ⇒ SI = SK · SA SO SO =√SA2− AO2 = a√3 ⇒ SI = a √ 3 ⇒ Thể tích khối cầu V = 4πa 3 9√3 Diện tích mặt cầu S = 4πa 2 3 B C M I O S A K N  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, cạnh a Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) SA = a√3 Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD (5)Ta có ’SAC = 90◦ (1) Lại có: ®CB ⊥ AB CB ⊥ SA ⇒ CB ⊥ (SAB) ⇒ CB ⊥ SB ⇒ ’SBC = 90◦ (2) Tương tự ta có ’SDC = 90◦ (3) Từ (1), (2) (3) ⇒ Năm điểm S, A, B, C, D nằm mặt cầu, đường kính SC Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD ⇒ R = SC 2 SC =√SA2+ AC2 = a√5 ⇒ R = a √ 5 ⇒ V = 3πR = 5a 3√5 B C D A I S  Bài Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đơi vng góc với nhau, SB = SC, trung tuyến SM tam giác SBC có độ dài a Góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 60◦ Xác định tâm tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Lời giải Gọi N trung điểm SA d đường thẳng qua M vng góc với (ABC) Mặt phẳng trung trực cạnh SA cắt đường thẳng d I I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC 4SAB = 4SAC ⇒ AB = AC ®SM ⊥ BC AM ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SAM ) [(SBC), (ABC)] = Ô SM A = 60 AM = 2a ⇒ SA = AM sin ’SM A = a√3 ⇒ IS =√IM2+ SM2 =… SA 4 + SM = a √ B C M I S A N d ⇒ Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC V = 3π · IA 3 = 7a 3√7 6  Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = 2a, AD = 4a, SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA = 3a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.AM D (6)Ta có:Tam giác AM D vng cân M Có:®DM ⊥ AM DM ⊥ SA ⇔ DM ⊥ SM Lại có: DA ⊥ SA Gọi I trung điểm SD Ta chứng minh được: IS = IA = ID = IM Hay I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.AM D Từ ta có R = SD 2 = √ 9a2+ 16a2 2 = 5a B C D A I M S  Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang cân ABCD với AB = 2a, BC = CD = DA = a và SA ⊥ (ABCD) Một mặt phẳng qua A vng góc với SB cắt SB, SC, SD M, N, P Tính bán kính khối cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCDM N P Lời giải Do ABCD hình thang cân AB = 2AD = 2BC = 2CD = 2a nên ’ACB = ’ADB = 90◦ SB ⊥ (AM N P ) ⇒ AM ⊥ SB ữAM B = 90 đBC AC BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ AN ®AN ⊥ BC AN ⊥ SB ⇒ AN ⊥ (SBC) ⇒ ’AN B = 90 ◦ ®BD ⊥ AD BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ (SAD) ⇒ BD ⊥ AP ®AP ⊥ BD AP ⊥ SB ⇒ AP ⊥ (SBD) ⇒ AP ⊥ BP ⇒ ’AP B = 90 ◦ ⇒ Các điểm C, D, M, N, P nhìn đoạn AB góc 90◦ B C D P S A M N ⇒ Thể tích khối cầu cần tim V = 3π Å AB ã3 = 4πa 3  { DẠNG Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có mặt bên vng góc với đáy (hình chóp khác) Phương pháp giải Phương pháp : - Xác định (∆1) trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy - Xác định (∆2) trục đường tròn ngoại tiếp đa giác thuộc mặt bên vng góc đáy - Tìm tâm mặt cầu O giao điểm (∆1) (∆2) (7)biết ABCD hình vng cạnh a Lời giải Gọi E tâm hình vuông ABCD Gọi H trung điểm cạnh AB Vì (SAB) ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ (ABCD) Gọi G trọng tâm 4SAB Gọi (α) mặt phẳng qua S, H, E Từ E kẻ (∆1) song song với SH ⇒ (∆1) ⊂ (α) Từ G kẻ (∆2) song song với HE ⇒ (∆2) ⊂ (α) Ta thấy (∆1) (∆2) thuộc (α) Gọi O giao điểm (∆1) (∆2) Vậy O tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD có bán kính R = OS Ta có OS =√GO2+ GS2. Ta có GO = a 2 Ta có GS = a √ 3 Vậy R = a √ 21 B C E H S D A G O  Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh 1, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Lời giải Gọi E trọng tâm 4ABC Gọi H trung điểm cạnh AB Vì (SAB) ⊥ (ABC) nên SH ⊥ (ABC) Gọi G trọng tâm 4SAB Gọi (α) mặt phẳng qua S, H, E Từ E kẻ (∆1) song song với SH ⇒ (∆1) ⊂ (α) Từ G kẻ (∆2) song song với HE ⇒ (∆2) ⊂ (α) Ta thấy (∆1) (∆2) thuộc (α) Gọi O giao điểm (∆1) (∆2) Vậy O tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABC có bán kính R = OS Ta có OS =√GO2+ GS2. Ta có GO = √ Ta có GS = √ 3 Ta R = √ 15 Vậy thể tích khối cầu V = 3πR 3 = √ 15π 54 G O E B H S C A (8)Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng có cạnh 6, mặt bên SAB tam giác cân S, nằm mặt phẳng vng góc với đáy ’ASB = 120◦ Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Lời giải Gọi H trung điểm cạnh AB Vì (SAB) ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ (ABCD) Gọi K điểm đối xứng S qua H suy K tâm đường trịn ngoại tiếp 4SAB Gọi J tâm hình vuông ABCD Gọi (α) mặt phẳng qua S, H, J Từ J kẻ (∆1) song song với SH ⇒ (∆1) ⊂ (α) Từ K kẻ (∆2) song song với HJ ⇒ (∆2) ⊂ (α) Ta thấy (∆1) (∆2) thuộc (α) Gọi O giao điểm (∆1) (∆2) Vậy O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Gọi r1, r2, R bán kính đường trịn ngoại tiếp 4SAB,ABCD bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD Ta có R = SO =√SK2+ KO2. B O J S D H A K C Ta có SKB tam giác có chiều cao suy bán kính r1 = KS = √ 3 Ta có r2 = BJ = √ 2 Ta R = … r2 1+ r22− AB2 4 = √ 14 Vậy Smc = 4πR2 = 14π  Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có 4SAB tam giác đều, nằm mặt phẳng vng góc với đáy có diện tích √3 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD Biết ABCD hình thang cân có AC = 3, AD =√13 Lời giải Ta có S4SAB =√3 ⇒ AB = Ta có      AB = AC = AD =√13 ⇒ 4ACD vuông C Gọi E, H trung điểm AD, AB Vì (SAB) ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ (ABCD) Gọi G trọng tâm 4SAB Gọi (α) mặt phẳng qua S, H, E Từ E kẻ (∆1) song song với SH Từ G kẻ (∆2) song song với HE Ta thấy (∆1) (∆2) thuộc (α) Gọi O giao điểm (∆1) (∆2) Vậy O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Gọi r1, r2 bán kính đường tròn ngoại tiếp 4SAB, ABCD E D S B G H A C O (9)Ta có R = … r2 1 + r22− AB2 4 Ta có        r1 = 2√3 3 r2 = √ 13 Vậy R = √ 129 6  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Lời giải Hướng dẫn: Tính r1 = a √ 3 r2 = √ 5 Bán kính mặt cầu R = … r12+ r22− AB 4 Đáp án: 2a √ 3  Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang cân với AB = BC = CD = DA = Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC Lời giải Hướng dẫn: Trục đường tròn ngoại tiếp nửa lục giác ABCD trùng với đường cao SH tam giác SAB suy bán kính mặt cầu bán kính đường trịn ngoại tiếp 4SAB Đáp án: √ 3 3  Bài Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vng góc với (ABC), AB = AC = 3, ’ABC = 75◦, SA = Gọi M trung điểm cạnh SA, (S) mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCM , SB ∩ (S) = {B, N }, SC ∩ (S) = {C, P } Tính thể tích khối tứ diện M N P S Lời giải Ta có SM.SA = SN.SB = SP.SC Từ lập tỉ số thể tích Đáp án: 96 625  Bài Cho bốn hình cầu (S1), (S2), (S3), (S4) tiếp xúc ngồi với đơi có bán kính r Hình cầu (S) chứa tiếp xúc với bốn hình cầu cho (như hình bên) Tính tỉ số R r, với R bán kính hình cầu (S) (10)Hướng dẫn: Tâm mặt cầu (S1), (S2), (S3), (S4) bốn đỉnh tứ diện I1I2I3I4 có cạnh 2r Tính rtứ diện bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện I1I2I3I4 Bán kính mặt cầu S R = r + rtứ diện Đáp án: + √ 2  { DẠNG Mặt cầu ngoại tiếp hình hộp, nội tiếp hình chóp Phương pháp giải Mặt cầu nội tiếp hình đa diện mặt cầu tiếp xúc với tất mặt hình đa diện, cịn mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện tất đỉnh hình đa diện nằm mặt cầu Khi mặt cầu nội tiếp (ngoại tiếp) hình đa diện, người ta nói hình đa diện ngoại tiếp (nội tiếp) mặt cầu Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 cạnh a Hãy xác định tâm bán kính mặt cầu trường hợp sau đây: a) Đi qua đỉnh hình lập phương; b) Tiếp xúc với 12 cạnh hình lập phương; c) Tiếp xúc với mặt bên hình lập phương Lời giải A A0 D H B0 D0 B C0 C I O Gọi O tâm hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 a) Ta có: O cách đỉnh hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 Vậy mặt cầu qua đỉnh hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 cạnh a mặt cầu có tâm O trung điểm đường chéo AC0 có bán kính r1 = AC 2 = a√3 2 b) Ta có: O cách 12 cạnh hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 Gọi H trung điểm cạnh AA0 Ta có OH = 2AC = a√2 2 Vậy mặt cầu tiếp xúc với 12 cạnh hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 cạnh a mặt cầu có tâm O trung điểm đường chéo AC0 có bán kính r2 = OH = a √ 2 c) Ta có: O cách mặt bên hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 (11)Vậy mặt cầu tiếp xúc với mặt bên hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 cạnh a mặt cầu có tâm O trung điểm đường chéo AC0 có bán kính r3 = OI = a 2  Ví dụ 10 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có AA0 = a, AB = b, AD = c a) Hãy xác định tâm bán kính mặt cầu qua đỉnh hình hộp; b) Tính bán kính đường tròn giao tuyến mặt phẳng (ABCD) với mặt cầu Lời giải A A0 D B0 D0 B C0 C I O a) Gọi O tâm hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 Ta có: O cách đỉnh hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 Vậy mặt cầu qua đỉnh hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 mặt cầu có tâm O trung điểm đường chéo AC0 có bán kính R = AC 2 = √ a2+ b2+ c2 2 b) Giao tuyến mặt phẳng (ABCD) với mặt cầu đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD Vậy đường tròn giao tuyến mặt phẳng (ABCD) với mặt cầu có tâm trung điểm I AC có bán kính r = AC 2 = √ b2+ c2 2  Ví dụ 11 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, mặt bên tạo với đáy góc α (0◦ < α < 90◦) Xác định tâm tính theo a α bán kính r mặt cầu nội tiếp hình chóp (12)S B H A C I M Gọi H tâm tam giác ABC, ta có SH ⊥ (ABC) Gọi M trung điểm BC, ta có      (SBC) ⊥ (ABC) SM ⊥ BC AM ⊥ BC ⇒ ’SM A góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) Do đó, ta có ’SM A = α Gọi I tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABC, đó, I ∈ SH Vì I tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABC nên M I đường phân giác góc ’SM A Khi đó, ta có IH bán kính r mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABC Tam giác IHM vng H có ’IM H = α 2 nên IH = M H × tan α = a√3 × tan α Vậy r = a √ × tan α 2  Ví dụ 12 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a góc ’ASB = α Xác định tâm tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp Lời giải A S O C I B M D Gọi O tâm hình vng ABCD, ta có SO ⊥ (ABCD) Gọi M trung điểm AB (13)Vì I tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD nên M I đường phân giác góc ’SM O Khi đó, ta có IO bán kính r mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD Tam giác SM A vng M có ’ASM = α 2 nên SA = AM sinα 2 = a 2 sinα Tam giác SOA vuông O nên SO2 = SA2− OA2 = a 4 sin2 α −a 2 = a2cos2α sin2 α 2 Suy SO = a √ cos α sin α 2 Áp dụng tính chất đường phân giác tam giác SOM , ta có: IO IS = M O M S ⇔ IO IS + IO = M O M S + M O ⇒ r SO = a a + cot α = 1 + cotα Vậy r = SO + cotα 2 = a √ cos α  sinα 2 + cos α 2   BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 có cạnh a Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ cho Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tính thể tích khối cầu tạo nên mặt cầu ngoại tiếp tam giác Lời giải A A0 C0 O B0 I0 C I B Gọi I I0 tâm tam giác ABC A0B0C0, ta có II0 ⊥ (ABC) II0 ⊥ (A0B0C0). Gọi O trung điểm II0, ta có O cách đỉnh hình lăng trụ ABC.A0B0C0 Suy O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A0B0C0 Tam giác OIA vuông I nên OA2 = AI2+ IO2 = a 2 3 + a2 4 = 7a2 12 Vậy bán kính r mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A0B0C0 r = OA = a √ 21  Diện tích mặt cầu S = 4πr2 = 4π Ç a√21 6 å2 = 7πa (14) Thể tích khối cầu V = 3πr 3 = 3π Ç a√21 6 å3 = 7πa 3√21 54  Bài 10 a) Chứng minh hình hộp nội tiếp nội tiếp mặt cầu hình hộp chữ nhật b) Trong hình hộp nội tiếp mặt cầu xác định hình hộp có diện tích tồn phần lớn Lời giải B0 D0 O A A0 C0 I B C D a) Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 nội tiếp mặt cầu S(O; R) Giả sử mặt phẳng (ABCD) cắt mặt cầu S(O; R) theo đường tròn tâm I hình vẽ Ta có hình bình hành ABCD nội tiếp đường trịn (I) nên phải hình chữ nhật Chứng minh tương tự ta có mặt khác hình hộp hình chữ nhật Vậy hình hộp ABCD.A0B0C0D0 hình hộp chữ nhật b) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có kích thước AA0 = a, BB0 = b, CC0 = c nội tiếp mặt cầu S(O; R) Ta có độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 d = 2R Khi đó, ta có: d2 = a2+ b2+ c2 = 4R2 Diện tích tồn phần hình hộp S = 2ab + 2bc + 2ca ≤ a2+ b2+ b2+ c2+ c2+ a2 = 8R2. Vậy S đạt giá trị lớn a = b = c = √2R 3, tức ABCD.A 0B0C0D0 là hình lập phương  Bài 11 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, đường cao a Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD (15)A S O C I M B D Gọi O tâm hình vng ABCD, ta có SO ⊥ (ABCD) SO = a Gọi M trung điểm CD Gọi I tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD, đó, I ∈ SO Vì I tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD nên M I đường phân giác góc ’SM O Khi đó, ta có IO bán kính r mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD Áp dụng tính chất đường phân giác tam giác SOM , ta có: IO IS = M O M S ⇔ IO IS + IO = M O M S + M O ⇔ IO SO = M O M S + M O ⇒ IO = SO × M O M S + M O = a × a a + a√5 = a 1 +√5 Vậy r = IO = a (16)C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 1 Mức độ nhận biết Câu Thể tích khối cầu có bán kính a A πa 3 2 B πa2 4 C πa3 6 D πa 2. Lời giải Phương pháp: Cơng thức tính thể tích khối cầu có bán kính r là: V = 3πr 3. Cách giải: Thể tích khối cầu có bán kính a 2 là: V = 3π a 3 = πa 3 6 Chọn đáp án C  Câu Một mặt cầu có đường kính a có diện tích S bao nhiêu? A S = 4πa 2 3 B S = πa2 3 C S = πa 2. D S = 4πa2. Lời giải Vì đường kính mặt cầu a nên bán kính mặt cầu r = a Diện tích mặt cầu S = 4π a 2 = πa2 Chọn đáp án C  Câu Thể tích khối cầu có bán kính R A πR3. B. 4πR 3 3 C 2πR 3. D. πR 3 3 Lời giải Thể tích khối cầu có bán kính R V = 4πR 3 Chọn đáp án B  Câu Một mặt cầu có diện tích xung quanh π có bán kính A √ 2 B √ 3 C 2 D Lời giải Phương pháp: Cơng thức tính diện tích mặt cầu bán kính R S = 4π · R2 Cách giải: Ta có: S = π = 4π · R2 ⇔ R2 = 4 ⇔ R = Chọn đáp án C  Câu Khối cầu có bán kính R = tích bao nhiêu? A 144π B 288π C 48π D 72π Lời giải Ta có cơng thức tính thể tích khối cầu V = 3πR 3. Từ suy thể tích khối cầu cho V = 3π6 3 = 288π. Chọn đáp án B  Câu Tính diện tích mặt cầu có bán kính r = A 32 3 π B 8π C 32π D 16π (17)Phương pháp Cơng thức tính diện tích mặt cầu bán kính R S = 4πR2. Cách giải Cơng thức tính diện tích mặt cầu bán kính r = S = 4πr2 = 16π Chọn đáp án D  Câu Thể tích khối cầu bán kính a A 4πa 3 3 B 4πa 3. C. πa 3 3 D 2πa 3. Lời giải Thể tích khối cầu bán kính a V = 3πa 3. Chọn đáp án A  Câu Một hình nón có góc đỉnh 600 Hãy tính tỷ số diện tích tồn phần chia cho diện tích xung quanh hình nón A 3 B 2 +√3 2 C 3 2 D Câu Tính diện tích xung quanh khối trụ có bán kính đáy r = độ dài đường sinh l = 2√5 A 8√5π B 2√5π C 2π D 4√5π Lời giải Sxq = 2π.r.l = 2π.2.2 √ 5 = 8√5π Chọn đáp án A  Câu 10 Khối cầu bán kính R = tích bao nhiêu? A 72π B 48π C 288π D 144π Lời giải Ta tích khối cầu tính theo cơng thức: V = 3πR 3 = 3π6 3 = 288π. Chọn đáp án C  Câu 11 Thể tích V khối cầu có bán kính R A V = 3πR 3. B V = 3πR 3. C V = 3πR 2. D V = 4πR3. Lời giải Thể tích V khối cầu có bán kính R V = 3πR 3 Chọn đáp án A  Câu 12 Cơng thức tính diện tích mặt cầu bán kính R A S = 4πR 3 3 B S = πR 2. C S = 3πR 2 4 D S = 4πR 2. Lời giải Theo cơng thức tính diện tích mặt cầu bán kính R Chọn đáp án D  Câu 13 Cho mặt cầu có diện tích 8πa 3 Tính bán kính r mặt cầu A r = a √ 3 B r = a√3 3 C r = a√6 2 D r = a√2 Lời giải Diện tích mặt cầu cho 4πr2 = 8πa 3 Suy r = a√6 (18)Chọn đáp án A  Câu 14 Trong hình đa diện sau đây, hình đa diện khơng nội tiếp mặt cầu? A Hình tứ diện B Hình hộp chữ nhật C Hình chóp ngũ giác D Hình chóp có đáy hình thang vng Lời giải Hình chóp nội tiếp mặt cầu đáy đa giác nội tiếp đường trịn.Mà hình thang vng khơng nội tiếp đường trịn nên hình chóp có đáy hình thang vng khơng nội tiếp mặt cầu Chọn đáp án D  Câu 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SA vng góc với đáy, I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Khẳng định sau đúng? A I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBD B I trung điểm SC C I giao điểm AC BD D I trung điểm SA Lời giải Ta có tam giác SBC, SCD vng Gọi I trung điểm SC, IC = IS = ID = IB = IA nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A B O C D I S Chọn đáp án B  Câu 16 Chọn mệnh đề mệnh đề sau? A Hình có đáy hình bình hành có mặt cầu ngoại tiếp B Hình có đáy hình tứ giác có mặt cầu ngoại tiếp C Hình chóp có đáy hình thang vng có mặt cầu ngoại tiếp D Hình chóp có đáy hình thang cân có mặt cầu ngoại tiếp Lời giải Vì hình cân có đường trịn ngoại tiếp nên hình chóp có đáy hình thang cân có mặt cầu ngoại tiếp Chọn đáp án D  Câu 17 Diện tích mặt cầu có bán kính R A 2πR2. B πR2. C 4πR2. D 2πR. Lời giải Diện tích mặt cầu có bán kính R 4πR2. Chọn đáp án C  Câu 18 Cho hình nón có bán kính đáy chiều cao Tính diện tích xung quanh hình nón A 12π B 9π C 30π D 15π (19)Độ dài đường sinh hình nón √32+ 42 = Diện tích xung quanh hình nón cho là S = π · · = 15π Chọn đáp án D  Câu 19 Tập hợp tâm mặt cầu qua hai điểm cố định A B cho trước A Một đường thẳng B Một mặt phẳng C Một điểm D Một đoạn thẳng Lời giải Gọi O tâm mặt cầu qua hai điểm A B, OA = OB Do tập hợp tâm mặt cầu qua hai điểm cố định A B mặt phẳng trung trực đoạn AB A I B O Chọn đáp án B  Câu 20 Nếu điểm M khơng gian ln nhìn đoạn thẳng AB cố định góc vng M thuộc A Một mặt cầu cố định B Một khối cầu cố định C Một đường tròn cố định D Một hình trịn cố định Lời giải Gọi O trung điểm đoạn thẳng AB Do tam giác AM B vuông M nên M O = 2AB = const Vậy tập hợp điểm M nhìn AB góc vng nằm mặt cầu đường kính AB, mặt cầu cố định Chọn đáp án A  Câu 21 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với độ dài đường chéo a√2, cạnh SA có độ dài 2a vng góc với mặt đáy Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD A √ 6a 2 B 2√6a 3 C √ 6a 12 D √ 6a Lời giải Ta có 4SBC, 4SDC, 4SAC tam giác vuông chung cạnh huyền SC Gọi I trung điểm SC ta có IS = IC = IB = ID = IA Vậy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Ta có Rcầu = SC = a√6 A B C D I S Chọn đáp án A  Câu 22 Cho điểm A nằm mặt cầu (S) Qua A kẻ tiếp tuyến với mặt cầu (S)? A B Vô số C D Lời giải Trong không gian, điểm cho trước nằm mặt cầu có vơ số tiếp tuyến mặt cầu (20)Câu 23 Cho khối cầu có bán kính R Thể tích khối cầu A V = 3πR 3. B V = 4πR3. C V = 3πR 3. D V = 3πR 2. Lời giải Theo lý thuyết giáo khoa, khối cầu có bán kính R  Diện tích mặt cầu S = 4πR2.  Thể tích khối cầu V = 3πR 3. Chọn đáp án A  Câu 24 Bán kính R khối cầu tích V = 36πa3 A R = 3a B R = 3a√3 C R = a√3 D R = a√3 9 Lời giải Thể tích khối cầu V = 3πR 3 = 36πa3 ⇔ R = 3a. Chọn đáp án A  Câu 25 Cho hình trụ bán kính đáy R = a, mặt phẳng qua trục cắt hình trụ theo thiết diện có diện tích 8a2 Diện tích xung quanh thể tích khối trụ A 8πa2, 4πa3. B 6πa2, 6πa3. C 16πa2, 16πa3. D 6πa2, 3πa3. Lời giải Chiều cao hình trụ h = 8a 2R = 4a Diện tích xung quanh khối trụ S = 2πRh = 8πa 2, thể tích khối trụ V = πR2h = 4πa3. Chọn đáp án A  Câu 26 Tính diện tích mặt cầu bán kính r = A S = π B S = 4π C S = 4π2 D S = 4π 3 Lời giải Áp dụng cơng thức tính diện tích mặt cầu bán kính r, ta có S = 4πr2 = 4π. Chọn đáp án B  Câu 27 Số tiếp tuyến kẻ từ điểm nằm mặt cầu đến mặt cầu A Vơ số B C D Lời giải Từ điểm nằm mặt cầu kẻ vơ số tiếp tuyến đến mặt cầu Chọn đáp án A  Câu 28 Tính bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất cạnh hình lập phương cạnh a A √ 2a 2 B a√3 2 C a 2 D a √ 2 Lời giải Gọi O giao điểm đường chéo hình lập phương, H trung điểm AA0 bán kính mặt cầu tiếp xúc tất cạnh hình lập phương R = OH = AC 2 = a √ 2 B C D0 C0 D A A0 B0 H O (21)Câu 29 Khối cầu tích 36π Diện tích mặt cầu A S = 9π B S = 18π C S = 36π D S = 27π Lời giải Ta có Vkhối cầu = 3πR 3 = 36π ⇔ R = 3. Do diện tích mặt cầu S = 4πR2 = 36π Chọn đáp án C  Câu 30 Khối cầu (S) có bán kính r thể tích V Mệnh đề đúng? A V = 3πr 3. B V = 3π 2r2. C V = 3π 2r3. D V = 3πr Lời giải Đây công thức khối cầu Chọn đáp án A  Câu 31 Diện tích mặt cầu có bán kính r = 5a A 40πa2 B 100πa2 C 25πa2 D 100πa 2 3 Lời giải Ta có: S = 4πr2 = 4π · (5a)2 = 100πa2. Chọn đáp án B  Câu 32 Tính thể tích V khối cầu có đường kính cm A V = 36π cm3. B V = 9π 8 cm 3. C V = 9π cm 3. D V = 9π cm3. Lời giải Bán kính khối cầu là: R = 2 Từ ta có: V = 3πR 3 = 9π cm 3. Chọn đáp án C  Câu 33 Tính diện tích S mặt cầu có đường kính 2a A S = 4πa2 B S = 2πa2 C S = πa2 D S = 16πa2 Lời giải Do mặt cầu có đường kính 2a nên bán kính R = a, S = 4πR2 = 4πa2. Chọn đáp án A  Câu 34 Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật A √ a2+ b2 + c2 3 B √ a2+ b2+ c2. C. √ a2+ b2+ c2 2 D √ a2+ b2 + c2. Lời giải Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật trung điểm đường chéo Đường chéo hình hộp chữ nhật có độ dài √a2+ b2+ c2 nên bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật √ a2+ b2+ c2 2 Chọn đáp án C  Câu 35 Thể tích khối cầu bán kính R A 3πR 3. B. 3πR 3. C πR3. D. 3πR 3. Lời giải Cơng thức tính thể tích khối cầu bán kính R V = 3πR 3. (22)Câu 36 Biết quay đường trịn có bán kính quay quanh đường kính ta mặt cầu Tính diện tích mặt cầu A V = 3π B V = 4π C V = π D V = 2π Lời giải Vì bán kính R = 1, nên áp dụng cơng thức tính diện tích mặt cầu ta có S = 4πR2 = 4π. Chọn đáp án B  Câu 37 Cho khối cầu tích 36π (cm3) Bán kính R khối cầu là A R =√6 cm B R = 3√2 cm C R = cm D R = cm Lời giải Ta tích khối cầu V = 3πR 3 = 36π ⇒ R = 3. Chọn đáp án C  Câu 38 Công thức tính diện tích mặt cầu A S = 3πR2. B S = 3πR 3. C S = πR2. D S = 4πR2. Lời giải Cơng thức tính diện tích mặt cầu có bán kính R S = 4πR2. Chọn đáp án D  Câu 39 Thể tích khối cầu có bán kính R A V = 3πR 3. B V = 4πR 3. C V = 4πR3. D V = 3πR 3. Lời giải V = 3πR 3 là cơng thức tính thể tích khối cầu bán kính R. Chọn đáp án A  Câu 40 Cho mặt cầu (S) có bán kính 2a Tính thể tích V mặt cầu (S) theo a A V = 16πa3 B V = 8πa3 C V = 32 3 πa 3. D V = 22 πa 3. Lời giải Gọi R bán kính mặt cầu (S) ta có V = 3πR 3 = 3π(2a) 3 = 32 πa 3. Chọn đáp án C  Câu 41 Một mặt cầu có diện tích 16π Tính bán kính R mặt cầu A R = 2π B R = C R = D R = 4π Lời giải Ta có S = 4πR2 nên 16π = 4πR2 suy R = 2. Chọn đáp án B  Câu 42 Một mặt cầu có bán kính R√3 có diện tích A 4πR2√3. B 8πR2. C 4πR2. D 12πR2. Lời giải Diện tích S = 4π(R√3)2 = 12πR2. Chọn đáp án D  Câu 43 Cho khối trụ tích πa3 và bán kính đáy 2a Độ dài đường cao khối trụ đó A 3a 2 B a 4 C a 2 D 3a Lời giải V = πr2h ⇒ h = V πr2 = πa3 π · (2a) = (23)Chọn đáp án C  Câu 44 Một hình cầu có bán kính 2(m) Hỏi diện tích mặt cầu bao nhiêu? A 4π(m2). B 16π(m2). C 8π(m2). D π(m2). Lời giải Diện tích mặt cầu S = 4πR2 = 16π(m2). Chọn đáp án B  Câu 45 Cho khối trụ có bán kính hình trịn đáy r chiều cao h Hỏi tăng chiều cao lên lần tăng bán kính đáy lên lần thể tích khối trụ tăng lên lần? A 18 lần B 12 lần C lần D 36 lần Lời giải Ta có Vtrụ = B · h = π · r2 · h Nếu tăng chiều cao lên lần tăng bán kính đáy lên lần thể tích khối trụ Vtrụ0 = B0· h0 = π · (3r)2· (2h) = 18 · B · h Vậy V trụ Vtrụ = 18 Chọn đáp án A  Câu 46 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, véc-tơ pháp tuyến #»n mặt phẳng (P ) : 4x − y − 3z + = A #»n = (4; −1; −3) B #»n = (−1; −3; 2) C #»n = (4; 0; −3) D #»n = (4; −3; 2) Lời giải Từ phương trình tổng quát mặt phẳng (P ) : 4x − y − 3z + = ta có #»n = (4; −1; −3) Chọn đáp án A  Câu 47 Cơng thức tính thể tích V khối cầu có bán kính R A V = 4πR2. B V = 3πR 2. C V = 3πR 3. D V = πR3. Lời giải Câu hỏi lý thuyết Chọn đáp án C  Câu 48 Mặt cầu có bán kính diện tích A 4π B 16π C 3π D 2π Lời giải Diện tích mặt cầu S = 4πr2 = 4π · 12 = 4π. Chọn đáp án A  Câu 49 Khối cầu bán kính R = 2a tích A 8πa 3 3 B 16πa 2. C. 32πa 3 3 D 6πa 3. Lời giải V = 3πR 3 = 3π(2a) 3 = 32πa 3 Chọn đáp án C  Câu 50 Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh 2a A R = a B R = 2a√3 C R = a √ 3 D R = a √ Lời giải Mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có tâm tâm khối lập phương đường kính đường chéo hình lập phương Ta có độ dài đường chéo hình lập phương d =√4a2+ 4a2 + 4a2 = 2a√3 ⇒ R = a√3. (24)Câu 51 Số mặt cầu chứa đường tròn cho trước A B C D vô số Lời giải Có vơ số mặt cầu có tâm trùng với tâm đường trịn cho trước, bán kính bán kính đường trịn cho trước Chọn đáp án D  Câu 52 Diện tích S mặt cầu có bán kính R A S = 4πR B S = 4πR2. C S = 4π2R2. D S = 4R2. Lời giải Theo cơng thức tính diện tích mặt cầu ta có: S = 4πR2 Chọn đáp án B  Câu 53 Khối cầu bán kính R = 2a tích A 32πa 3 3 B 6πa 3. C 16πa2. D. 8πa 3 3 Lời giải V = 3πR 3 = 3π(2a) 3 = 32 πa 3. Chọn đáp án A  Câu 54 Mệnh đề sau đúng? A Mọi hình lăng trụ ln có mặt cầu ngoại tiếp B Mọi hình chóp ln có mặt cầu ngoại tiếp C Mọi hình lăng trụ đứng ln có mặt cầu ngoại tiếp D Mọi hình tứ diện ln có mặt cầu ngoại tiếp Lời giải Điều kiện để lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp là: Lăng trụ đứng, có đáy đa giác nội tiếp đường trịn Điều kiện để hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là: Đáy hình chóp đa giác nội tiếp đường trịn Do đó, ta suy tứ diện ln có mặt cầu ngoại tiếp Chọn đáp án D  Câu 55 Cho mặt cầu có bán kính 2a Tính diện tích mặt cầu A 16πa2. B. 4πa 2. C 4πa2. D 8πa2. Lời giải S = 4πR2 = 16πa2. Chọn đáp án A  Câu 56 Với B diện tích đáy, h chiều cao R bán kính Mệnh đề sau sai? A Thể tích khối cầu V = 3πR 3. B Diện tích xung quanh hình trụ S = 2πRh C Diện tích mặt cầu S = 4πR2 D Thể tích khối trụ V = 3Bh Lời giải  Thể tích khối cầu có bán kính R V = 3πR 3.  Diện tích xung quanh hình trụ có bán kính R chiều cao h S = 2πRh  Diện tích mặt cầu có bán kính R S = 4πR2.  Thể tích khối trụ có bán kính R chiều cao h V = Bh (25)Câu 57 Cho khối cầu tích V = 4π · a3, (a > 0) Tính theo a bán kính khối cầu A R = a B R = a√3 3 C R = a√3 4 D R = a√3 2 Lời giải Ta có V = 3πR 3 = 4πa3 ⇒ R3 = 3a3 ⇒ R = a√3 3 Chọn đáp án B  Câu 58 Cho mặt cầu có diện tích S, thể tích khối cầu V Tính bán kính R mặt cầu A R = 3V S B R = S 3V C R = 4V S D R = V 3S Lời giải Diện tích mặt cầu thể tích khối cầu S = 4πR2; V = 3πR 3. ⇒ R = 3V S Chọn đáp án A  Câu 59 Cho khối cầu tích V = 4πa3(a > 0) Tính theo a bán kính R khối cầu. A R = a B R = a√3 3 C R = a√3 4 D R = a√3 2 Lời giải Ta có V = 4πa3 ⇔ 3πR 3 = 4πa3 ⇔ R3 = 3a3 ⇔ R = a√3 3 Chọn đáp án B  Câu 60 Thể tích khối cầu đường kính 2a A 4πa 3 3 B 4πa 3. C 2πa3. D. 3πa 3 4 Lời giải Khối cầu có bán kính R = 2a 2 = a Vậy thể tích khối cầu V = 4πa3 3 Chọn đáp án A  Câu 61 Cho hình lập phương tích 64a3 Thể tích khối cầu nội tiếp hình lập phương A V = 64πa 3 B V = 8πa3 3 C V = 32πa3 3 D V = 16πa3 Lời giải Gọi x độ dài cạnh hình lập phương Theo giả thiết, ta có Vlập phương= 64a3 ⇔ x3 = 64a3 ⇔ x = 4a. Suy bán kính khối cầu nội tiếp hình lập phương r = 4a = 2a Do đó, thể tích khối cầu V = 3· π · r 3 = 3· π · (2a) 3 = 32πa3 Chọn đáp án C  Câu 62 Tính diện tích S mặt cầu có bán kính 2a A S = 16πa2. B S = 4πa2. C S = 32 3 πa 3. D S = 16 πa 2. Lời giải Ta có S = 4πR2 = 4π · (2a)2 = 16πa2 (26)Câu 63 Cho khối cầu (T ) tâm O bán kính R Gọi S V diện tích mặt cầu thể tích khối cầu Mệnh đề sau đúng? A S = 2πR2 B V = 4πR3 C S = πR2 D V = 3πR 3. Lời giải Ta có diện tích mặt cầu S = 4πR2 và thể tích khối cầu V = 3πR 3. Chọn đáp án D  Câu 64 Diện tích mặt cầu bán kính 2a A 4πa2 B 16πa2 C 16a2 D 4πa 2 3 Lời giải Diện tích mặt cầu bán kính 2a S = 4πR2 = 16πa2. Chọn đáp án B  Câu 65 Mặt cầu bán kính a có diện tích A 3πa 2. B πa2. C 4πa2. D. 3πa 3. Lời giải Diện tích mặt cầu S = 4πr2 = 4πa2. Chọn đáp án C  Câu 66 Tập hợp điểm M không gian cách đường thẳng ∆ cố định khoảng R không đổi (R > 0) A hai đường thẳng song song B mặt cầu C mặt nón D mặt trụ Lời giải Tập hợp điểm M không gian cách đường thẳng ∆ cố định khoảng R không đổi (R > 0) mặt trụ Chọn đáp án D  Câu 67 Mặt cầu có bán kính a có diện tích xung quanh A 3πa 2. B 4πa2. C 2πa. D πa2. Lời giải Diện tích xung quanh mặt cầu Sxq = 4πR2 = 4πa2 Chọn đáp án B  Câu 68 Thể tích khối cầu bán kính R A 3πR 3. B 4πR3. C 2πR3. D. 4πR 3. Lời giải Thể tích khối cầu bán kính R 3πR 3. Chọn đáp án A  Câu 69 Tập hợp tâm mặt cầu qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng A mặt phẳng B đường thẳng C mặt trụ D mặt cầu Lời giải Gọi I tâm mặt cầu qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng A, B, C Suy IA = IB = IC, I nằm trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (27)Câu 70 Thể tích V khối cầu bán kính 6cm A V = 216π(cm3) B V = 288π(cm3) C V = 432π(cm3) D V = 864π(cm3) Lời giải Thể tích khối cầu bán kính 6cm V = 3π · 3 = 288π(cm3). Chọn đáp án B  Câu 71 Một mặt cầu đường kính cm Khi mặt cầu có diện tích A 36π cm2 B 144π cm2 C 9π cm2 D 12π cm2 Lời giải Bán kính mặt cầu cm Diện tích mặt cầu S = 4π · 32 = 36π (cm2). Chọn đáp án A  Câu 72 Tính diện tích mặt cầu có bán kính R = A 16π B 32π 3 C 8π D 32π Lời giải Diện tích mặt cầu: S = 4πR2 = 4π · 22 = 16π Chọn đáp án A  Câu 73 Khối cầu có bán kính R tích A 3πR 3. B. 3πR 2. C πR3. D 4πR2. Lời giải Khối cầu có bán kính R tích 3πR 3. Chọn đáp án A  Câu 74 Mặt cầu có bán kính a có diện tích A 3πa 2. B. 3πa 3. C 4πa2. D πa2. Lời giải Ta có diện tích mặt cầu S = 4πr2, với r = a Suy S = 4πa2. Chọn đáp án C  Câu 75 Thể tích khối cầu có bán kính A 256π 3 B 64π C 256π D 64π Lời giải V = 3πR 3 = 256π Chọn đáp án A  Câu 76 Tính diện tích S mặt cầu thể tích V khối cầu có bán kính cm A S = 36π (cm2) V = 36π (cm3) B S = 18π (cm2) V = 108π (cm3) C S = 36π (cm2) V = 108π (cm3) D S = 18π (cm2) V = 36π (cm3) Lời giải Ta có S = 4πr2 = 36π (cm2) V = 3πr 3 = 36π (cm3). Chọn đáp án A  Câu 77 Thế tích khối cầu có bán kính R A 4πR 3 3 B πR 3. C. πR 3 3 D 2πR 3. Lời giải Thể tích khối cầu V = 3 · π · R 3 = 4πR (28)Chọn đáp án A  Câu 78 Cơng thức tính diện tích mặt cầu bán kính R A S = 3πR 3. B S = πR2. C S = 4πR 2. D S = 4πR2. Lời giải Cơng thức tính diện tích mặt cầu bán kính R S = 4πR2. Chọn đáp án D  Câu 79 Một mặt cầu có bán kính có diện tích A 16π B 16π 3 C 64π D 64π Lời giải Diện tích mặt cầu S = 4πR2 = 16π. Chọn đáp án A  Câu 80 Diện tích mặt cầu có bán kính a A 4πa2. B πa2. C 2πa2. D. 3πa 2. Lời giải Ta có S = 4πR2 = 4πa2. Chọn đáp án A  Câu 81 Tính thể tích khối cầu có bán kính a A V = πa3. B V = 4πa 3 3 C V = 4πa 3. D V = 2πa3. Lời giải Theo lý thuyết, V = 3πR 3 = 4πa 3 Chọn đáp án B  Câu 82 Cho mặt cầu (S1) có bán kính R1, mặt cầu (S2) có bán kính R2 = 2R1 Tính tỉ số diện tích mặt cầu (S2) (S1) A 2 B C D Lời giải Gọi S1, S2 diện tích mặt cầu (S1), (S2) Ta có: S2 S1 = 4πR2 2 4πR2 = 4π(2R1) 4πR2 = · 4πR 4πR2 1 = Vậy S2 S1 = Chọn đáp án C  Câu 83 Hình đa diện khơng luôn nội tiếp mặt cầu A Hình chóp tứ giác B Hình hộp chữ nhật C Hình chóp tam giác D Hình chóp ngũ giác Lời giải Chọn đáp án A  Câu 84 Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau A Diện tích xung quanh hình trụ có chiều cao h, bán kính đáy r Sxq = πrh B Thể tích khối trụ có chiều cao h, bán kính đáy r V = πr2h C Thể tích khối cầu bán kính R V = 3πR 3. D Thể tích khối nón có chiều cao h, bán kính đáy r V = 3πr (29)Lời giải Ý đầu sai diện tích xung quanh hình trụ có chiều cao h, bán kính đáy r Sxq = 2πrh Chọn đáp án A  Câu 85 Hình cầu có đường kính thể tích A 32 3 π B 4 3π C 4π D 16π Lời giải Hình cầu có đường kính nên bán kính R = Thể tích khối cầu V = 3πR = 3· π · = 3π Chọn đáp án B  Câu 86 Biết diện tích mặt cầu có bán kính r tính theo cơng thức S = 4πr2 Tính diện tích mặt cầu có bán kính A 9π B 12π C 4π D 36π Lời giải Diện tích mặt cầu có bán kính S = 4π · 32 = 36π. Chọn đáp án D  Câu 87 Thể tích khối cầu bán kính 2a A 3πa 3. B 4πa3. C. 2πa 3. D. 8πa 3. Lời giải Thể tích khối cầu V = 3π · R 3 = 3π · Å 2a ã3 = 2πa 3. Chọn đáp án C  Câu 88 Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh A π√3 B 4π √ 3 C π√3 2 D √ 3π Lời giải Khối cầu ngoại tiếp hình lập phương có tâm O giao điểm đường chéo hình lập phương có bán kính R = 2· √ 3 Vậy thể tích cần tìm V = 3πR 3 = 3π · Ç √ 3 å3 = √ 3π B A C D A0 B0 C0 D0 O Chọn đáp án C  Câu 89 Tính diện tích S mặt cầu có bán kính a A S = 3πa 2. B S = πa2. C S = 4πa2. D S = πa 2 3 Lời giải Diện tích mặt cầu có bán kính a S = 4πa2 Chọn đáp án C  Câu 90 Bán kính r khối cầu tích V = 36π (cm3) là A r = (cm) B r = (cm) C r = (cm) D r = (cm) Lời giải Theo đề ta có 3πr 3 = 36π ⇔ r3 = 27 ⇔ r = 3. (30)Câu 91 Gọi R bán kính, S diện tích mặt cầu V thể tích khối cầu Công thức sau sai? A S = πR2. B V = 3πR 3. C S = 4πR2. D 3V = SR. Lời giải Ta có cơng thức S = 4πR2, V = 3πR 3 Suy 3V = SR. Công thức sai S = πR2 Chọn đáp án A  Câu 92 Khối cầu có bán kính R = tích bao nhiêu? A 144π B 288π C 48π D 72π Lời giải Thể tích khối cầu có bán kính R = V = 3πR 3 = 3π · 3 = 288π. Chọn đáp án B  Câu 93 Tính diện tích S mặt cầu có đường kính 2a A S = 2πa2 B S = 16πa2 C S = πa2 D S = 4πa2 Lời giải Mặt cầu có đường kính 2a nên có bán kính R = a Vậy diện tích mặt cầu S = 4πR2 = 4πa2 Chọn đáp án D  Câu 94 Diện tích mặt cầu bán kính R = A 36π B 18π C 12π D 6π Lời giải Diện tích mặt cầu cho S = 4πR2 = 4π · 32 = 36π. Chọn đáp án A  Câu 95 Tính diện tích S mặt cầu có bán kính 2a A S = 16πa2 B S = 4πa2 C S = 32 3πa 2. D S = 16 πa 2. Lời giải Diện tích mặt cầu bán kính R = 2a S = 4πR2 = 4π(2a)2 = 16πa2 Chọn đáp án A  Câu 96 Tính diện tích S mặt cầu có đường kính A S = 12π B S = 36π C S = 48π D S = 144π Lời giải  Bán kính mặt cầu R =  Diện tích mặt cầu S = 4πR2 = 4π · 32 = 36π. Chọn đáp án B  Câu 97 Một hộp đựng mỹ phẩm thiết kế (tham khảo hình vẽ) có thân hộp hình trụ có bán kính hình trịn đáy r = 5cm, chiều cao h = 6cm nắp hộp nửa hình cầu Người ta sơn mặt ngồi hộp (khơng sơn đáy) diện tích S cần sơn A S = 110π cm2 B S = 130π cm2 C S = 160π cm2 D S = 80π cm2 5cm 6cm Lời giải Diện tích nửa hình cầu (nắp hộp) S1 = 2πr2 = 50π cm2 Diện tích thân hộp S2 = 2πr · h = 2π · · = 60π cm2 Diện tích S cần sơn S = S1+ S2 = 110π cm2 (31)Câu 98 Mặt cầu bán kính R có diện tích A 3πR 2. B 2πR2. C 4πR2. D πR2. Lời giải Cơng thức tính diện tích mặt cầu bán kính R 3πR 2. Chọn đáp án A  Câu 99 Diện tích mặt cầu bán kính a A 4πa3. B. 4πa 2 3 C 4πa 2. D. 4πa 3 3 Lời giải Diện tích mặt cầu bán kính a S = 4πR2 = 4πa2. Chọn đáp án C  Câu 100 Một bóng chuyền có mặt ngồi mặt cầu có đường kính 20 cm Diện tích mặt ngồi bóng chuyền A 1600 cm2 B 1,6π m2 C 400π cm2 D 16 dm2 Lời giải Bán kính mặt ngồi bóng chuyền r = 20 2 = 10 cm Do diện tích mặt ngồi bóng chuyền S = 4πr2 = 4π · 102 = 400π cm2 (32)ĐÁP ÁN 1 C C B C B D A C A 10 C 11 A 12 D 13 A 14 D 15 B 16 D 17 C 18 D 19 B 20 A 21 A 22 B 23 A 24 A 25 A 26 B 27 A 28 D 29 C 30 A 31 B 32 C 33 A 34 C 35 D 36 B 37 C 38 D 39 A 40 C 41 B 42 D 43 C 44 B 45 A 46 A 47 C 48 A 49 C 50 D 51 D 52 B 53 A 54 D 55 A 56 D 57 B 58 A 59 B 60 A 61 C 62 A 63 D 64 B 65 C 66 D 67 B 68 A 69 B 70 B 71 A 72 A 73 A 74 C 75 A 76 A 77 A 78 D 79 A 80 A 81 B 82 C 83 A 84 A 85 B 86 D 87 C 88 C 89 C 90 A (33)2 Mức độ thông hiểu Câu Cho a, b, c số thực dương a, b 6= Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A logbc = logac logab B a logab = b. C logab > logac ⇔ b > c D logab = logac ⇔ b = c Lời giải Ta có 1 Nếu a > logab > logac ⇔ b > c 2 Nếu < a < logab > logac ⇔ b < c Chọn đáp án C  Câu Thể tích khối cầu bán kính a A 4πa 3 3 B 4πa 3. C. πa 3 3 D 2πa 3. Lời giải Thể tích khối cầu bán kính a V = 3πa 3 = 4πa 3 Chọn đáp án A  Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tâm mặt cầu (S) : x2+ y2+ z2− 2x − 4y − 6z − = điểm có tọa độ A (−2; −4; −6) B (1; 2; 3) C (−1; −2; −3) D (2; 4; 6) Lời giải Viết lại phương trình mặt cầu ta có: (S) : (x − 1)2+ (y − 2)2 + (z − 3)2 = 16, suy tâm mặt cầu có tọa độ I(1; 2, 3) Chọn đáp án B  Câu Tính diện tích mặt cầu (S) biết chu vi đường trịn lớn 4π A S = 32π B S = 16π C S = 64π D S = 8π Lời giải Đường trịn lớn có bán kính bán kính R mặt cầu Do đó, chu vi đường tròn lớn 2πR = 4π ⇔ R = Vậy diện tích mặt cầu (S) 4πR2 = 16π Chọn đáp án B  Câu Một đồ vật thiết kế nửa khối cầu khối nón úp vào cho đáy khối nón thiết diện nửa mặt cầu chồng khít lên hình vẽ bên Biết khối nón có đường cao gấp đơi bán kính đáy, thể tích tồn khối đồ vật 36π cm3 Diện tích bề mặt tồn đồ vật A π(√5 + 3) cm2. B 9π(√5 + 2) cm2. C 9π(√5 + 3) cm2. D π(√5 + 2) cm2. R h = 2 R Lời giải Ta tích tồn đồ vật V tổng thể tích khối nón V1 thể tích khối cầu V2 ⇒ V = V1+ V2 = 1 · πr 2h +1 · 4 3πr 3 = 3πr 3+ 3πr 3 = 3πr 3 = 36π ⇔ r = cm. ⇒ đường sinh khối nón l =√h2+ r2 =√5r2 = r√5. Diện tích bề mặt toàn đồ vật S tổng diện tích xung quanh khối nón S1 diện tích xung quanh khối cầu S2 ⇒ S = S1+ S2 = πrl + · 4πr (34)Chọn đáp án B  Câu Hình cầu có đường kính thể tích A 32 3 π B 4 3π C 4π D 16π Lời giải Thể tích hình cầu bán kính R tính theo công thức V = 3πR 3, với R = ta có V = 3π · 3 = 3π Chọn đáp án B  Câu Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh 2a Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp cho A R = a √ 3 2 B R = a√2 4 C R = a √ 2 D R = a √ 2 Lời giải Gọi O tâm hình vng ABCD E trung điểm SB Vì S.ABCD hình chóp nên SO ⊥ (ABCD) Trong mặt phẳng (SBO) kẻ đường trung trực SB cắt SO I, IA = IB = IC = ID = IS nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bán kính mặt cầu R = IS A I D B O C S E Ta có ABCD hình vng cạnh 2a ⇒ BD =√BC2+ CD2 = 2a√2 ⇒ BO = BD = a √ Ta có SA = SB = SC = SD = 2a (vì S.ABCD hình chóp đều) nên SE = EB = 2a 2 = a Xét tam giác SBO vng O, ta có SO =√SB2− OB2 =√4a2 − 2a2 = a√2. Ta có ∆SEI đồng dạng với tam giác SOB(g − g) ⇒ SI SB = SE SO ⇔ IS = SB.SE SO = 2a.a a√2 = √ 2a Vậy bán kính R = a√2 Chú ý: Cơng thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên SA = l chiều cao S0 = h R = SA 2 2SO = l2 2h Chọn đáp án C  Câu Diện tích mặt cầu có đường kính 2a A 16πa3 B πa2 C 4πa 3 3 D 4πa 2. Lời giải Đường kính d = 2a Suy bán kính mặt cầu R = d = 2a = a Vậy diện tích mặt cầu S = 4πR2 = 4πa2. Chọn đáp án D  Câu Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy √6 chiều cao h = Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A S = 9π B S = 27π C S = 6π D S = 5π (35)Gọi hình chóp tam giác S.ABC Gọi G tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, suy đường cao hình chóp tam giác S.ABC SG Ta có: AG =√2; SA =√SG2 + AG2 =√3. Tam giác ABC nên G tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy Gọi d trục đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC d SG Gọi M trung điểm SA, dựng mặt phẳng trung trực SA cắt d I, IA = IB = IC = IS Do I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC R = IS Ta có ∆SM I đồng dạng với ∆SGA, suy SI = SA 2SG = Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S = 4πR2 = 4πÅ ã2 = 9π A B C G I S M Chọn đáp án A  Câu 10 Cho hình lập phương tích 64a3 Thể tích khối cầu nội tiếp hình lập phương A V = 8πa 3 B V = 16πa3 3 C V = 64πa3 3 D V = 32πa3 Lời giải Khối lập phương tích 64a3 nên cạnh 4a Khối cầu nội tiếp khối lập phương có bán kính R = 4a 2 = 2a nên thể tích khối cầu V = 3πR = 3π(2a) 3 = 32πa 3 Chọn đáp án D  Câu 11 Cho tứ diện ABCD có ABC DBC hai tam giác cạnh chung BC = Gọi I trung điểm BC, ‘AID = 2α mà cos 2α = −1 3 Hãy xác định tâm O mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A O trung điểm AD B O trung điểm BD C O thuộc mặt phẳng (ADB) D O trung điểm AB Lời giải Ta có AI = DI =√3 cos AID = −1 nên AD2 = AI2+ DI2− · AI · DI · cos ‘AID = Sử dụng định lí Pytago đảo dễ dàng suy tam giác ACD tam giác ABD vng có chung cạnh huyền AD Vậy tâm cầu ngoại tiếp tứ diện trung điểm O AD D A C B I (36)Câu 12 Cắt mặt cầu (S) mặt phẳng cách tâm khoảng 4cm thiết diện hình trịn có diện tích 9πcm2 Tính thể tích khối cầu (S). A 250π cm 3. B. 2500π 3 cm 3. C. 25π cm 3. D. 500π 3 cm 3. Lời giải  Gọi I tâm mặt cầu (S), H tâm đường tròn giao tuyến, A điểm đường trịn, R bán kính (S)  Ta có d(I, (P )) =  S(C) = πAH2 = 9π ⇒ AH =  Ta có R =pAH2+ d(I, (P )) =√32+ 42 = 5.  Thể tích khối cầu (S) V(S) = 4 3πR 3 = 500π (P ) I H A Chọn đáp án D  Câu 13 Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 có cạnh a Diện tích S mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương A S = πa2 B S = 3πa 4 C S = 3πa 2. D S = 12πa2. Lời giải Hình lập phương ABCD.A0B0C0D0, cạnh a có bán kính mặt cầu ngoại tiếp R = AC 2 = a√3 2 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là: S = 4π · Ç a√3 2 å2 = 3πa2. Chọn đáp án C  Câu 14 Cho khối cầu tích 8πa 3√6 27 , bán kính R mặt cầu A R = a √ 3 B R = a√6 2 C R = a√3 3 D R = a√6 Lời giải Thể tích khối cầu V = 3πR 3 = 8πa 3√6 27 ⇒ R = a√6 3 Chọn đáp án D  Câu 15 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có AB = a, AD = AA0 = 2a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật cho A 3πa 4 B 3πa 2. C. 9πa 2 4 D 9πa 2. Lời giải Ta có AC0 =√AB2+ AD2+ AA02 =√a2+ 4a2+ 4a2 = 3a. Gọi O giao điểm AC0 A0C, O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp ABCD.A0B0C0D0 Suy R = OA = 3a 2 , diện tích mặt cầu ngoại tiếp ABCD.A0B0C0D0 S = 4piR2 = 4π ·9a 2 4 = 9πa 2. A A0 D0 B B0 C0 C D (37)Chọn đáp án D  Câu 16 Trong khơng gian, cho hình chóp S.ABC có SA, AB, BC đơi vng góc với SA = a, SB = b, SC = c Mặt cầu qua S, A, B, C có bán kính A 2(a + b + c) 3 B √ a2+ b2+ c2. C 2√a2+ b2+ c2. D. √ a2+ b2+ c2. Lời giải  Ta có SA, AB, BC đơi vng góc ⇒ SA ⊥ (ABC) 4ABC vuông B  Gọi I trung điểm tâm AC I tâm đường trịn ngoại tiếp 4ABC  Khi bán kính đường tròn tâm I ngoại tiếp 4ABC r = 2AC = √ b2 + a2.  Khi bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC R =   Å SA ã2 + r2 =… a 4 + b2+ c2 4 = 1 √ a2+ b2+ c2. S B A C Chọn đáp án D  Câu 17 Một hình nón có bán kính đáy 3cm, độ dài đường sinh 4cm Khối nón giới hạn hình nón bao nhiêu? A 3π√7cm2. B 12πcm2. C 15πcm2. D 2π√7cm2. Câu 18 Một hình nón (N) có đỉnh I, có O tâm mặt đáy (N) có độ dài đường sinh l = 10 góc đỉnh 600 Một mặt phẳng (P) qua trung điểm đoạn IO vng góc với IO, cắt khối nón (N) thành hai phần, có khối nón cụt Tính thể tích khối nón cụt A 875π √ 3 24 B 125π√3 2 C 875π 24 D 875π√3 Câu 19 Tính diện tích xung quanh hình trụ biết diện tích thiết diện qua trục hình trụ A 64 B 8π C 16π D 4π Câu 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với AB = 3a, BC = 4a, SA = 12a SA vng góc với đáy Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD A R = 5a 2 B R = 17a 2 C R = 13a 2 D R = 6a Lời giải Gọi I trung điểm SC, I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Vậy bán kính R = SC 2 = √ SA2+ AC2 2 = √ SA2+ AB2+ BC2 2 = 13a A B C D I S Chọn đáp án C  (38)A 16a3π cm3. B 32a3π cm3. C. 4a 3π cm 3. D. 16a 3π cm 3. Câu 22 Cho hình chóp S.ABC có SC = 2a, SC vng góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC cạnh 3a Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC A R = a B R = 2a C R = √ 3 a D R = a √ Lời giải Gọi M, N trung điểm AB, SC G trọng tâm tam giác ABC Trong (SCM ), dựng đường thẳng d qua G song song với SC ⇒ d trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Trong mặt phẳng (SCM ) kẻ đường trung trực d0 SC: d0 ∩ d = O ⇒ ®O ∈ d O ∈ d0 ⇒ ®OA = OB = OC OS = OC ⇒ O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC ⇒ R = OC =√CG2+ GO2 = 2a. C N O B M A G S 2a 3a Chọn đáp án B  Câu 23 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Hình chóp có đáy hình thang vng ln có mặt cầu ngoại tiếp B Hình chóp có đáy hình thoi ln có mặt cầu ngoại tiếp C Hình chóp có đáy tứ giác ln có mặt cầu ngoại tiếp D Hình chóp có đáy hình tam giác ln có mặt cầu ngoại tiếp Lời giải Đáy tam giác ln có đường trịn ngoại tiếp, tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác giao điểm trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy mặt trung trực cạnh bên Các phương án lựa chọn lại khơng tồn đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy Chọn đáp án D  Câu 24 Cho hình lăng trụ tam giác có chín cạnh a Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ A 7πa 3√21 54 B 7πa3√21 18 C 7πa3√3 54 D 7πa3√7 54 Lời giải Gọi hình lăng trụ cho ABC.A0B0C0 Gọi O ,O0 trọng tâm tam giác ABC, A0B0C0 Do tam giác ABC tam giác A0B0C0 nên OO0 trục đường tròn ngoại tiếp hai tam giác ABC A0B0C0 Gọi M trung điểm AA0 Qua M dựng đường thẳng trung trực AA0, giả sử đường thẳng cắt OO0 I I tâm cần tìm Bán kính R = IA A0 B0 C0 O0 A B C O I Ta có: AO = a√3 = a√3 3 , IO = · AA 0 = a Khi đó: R = IA =√AO2+ IO2 = s Ç a√3 å2 +a 2 2 = a √ (39)Vậy V = 3π · Ç a√21 6 å3 = 7πa 3√21 54 Chọn đáp án A  Câu 25 Khẳng định sau sai? A Tồn mặt cầu qua đỉnh hình lăng trụ có đáy tứ giác lồi B Tồn mặt cầu qua đỉnh hình chóp đa giác C Tồn mặt cầu qua đỉnh hình tứ diện D Tồn mặt cầu qua đỉnh hình hộp chữ nhật Lời giải Ta nhận thấy, tứ giác lồi nội tiếp đường tròn Chọn đáp án A  Câu 26 Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC.A0B0C0 có đáy ABC tam giác vuông A AB = a, AC = a√3, AA0 = 2a Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ A R = 2a√2 B R = a C R = a√2 D R = a √ 2 Lời giải Gọi M , M0 trung điểm BC B0C0 Vì ABC A0B0C0 tam giác vuông nên M , M0 tâm đường tròn ngoại tiếp chúng Gọi I trung điểm M M0 Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A0B0C0 bán kính mặt cầu R = IA Ta có: BC =√AB2+ AC2 = 2a; AM = BC = a IM = M M 0 2 = AA0 = a Vậy R = IA =√IM2+ AM2 = a√2. A A0 C B B0 M I C0 M0 Chọn đáp án C  Câu 27 Cho mặt cầu (S1) có bán kính R1, mặt cầu (S2) có bán kính R2 = 2R1 Tính tỉ số diện tích mặt cầu (S2) (S1) A B C 2 D Lời giải Tỉ số diện tích mặt cầu (S2) (S1) 4πR 2 4πR2 = Chọn đáp án A  Câu 28 Tính đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh a√3 A 6a B 3a 2 C a √ 3 D 3a Lời giải Đường chéo hình lập phương đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương Khi đó, đường kính √3 · a√3 = 3a Chọn đáp án D  (40)A S = 4πa2 B S = 16πa2 C S = 8πa2 D S = 24πa2 Lời giải Thiết diện qua trục hình vng nên ta có: r = 2a h = 4a Diện tích xung quanh hình trụ S = 2πrh = 2π · 2a · 4a = 16πa2 4a Chọn đáp án B  Câu 30 Trong không gian mặt cầu (S) tiếp xúc với sáu mặt hình lập phương cạnh a Tính thể tích V khối cầu tương ứng A V = πa 24 B V = πa3 3 C V = πa3 6 D V = 4πa3 Lời giải Dễ thấy bán kính mặt cầu nửa độ dài cạnh hình lập phương Vậy thể tích khối cầu V = 3π a3 8 = πa3 6 Chọn đáp án C  Câu 31 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có độ dài đường chéo 4a A 64πa2. B 16πa. C 16πa2. D 8πa2. Lời giải Bán kính mặt cầu R = 4a = 2a Diện tích mặt cầu S = 4πR2 = 16πa2. Chọn đáp án C  Câu 32 Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC tam giác vng cân B có AC = 2a√2, SA vng góc với đáy, góc SB với đáy 60◦ Tính diện tích mặt cầu tâm S tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) A 16πa2. B 24πa2. C 16πa2. D 48πa2. Lời giải Vì tam giác ABC vng cân B nên AB2 = BC2 = 2AC 2 = 4a2 ⇒ AB = 2a Theo gi thit Ô(SB; (ABC)) = 60 SBA = 60 ⇒ SA = AB tan 60◦ = 2a√3. Vì SA ⊥ (ABC) nên mặt cầu tâm S tiếp xúc với (ABC) có bán kính R = SA = 2a√3 Diện tích mặt cầu S = 4πR2 = 4.Ä2a√3ä2 = 48πa2. 60◦ A B C S Chọn đáp án D  Câu 33 Cho hình cầu đường kính 2a√3 Mặt phẳng (P ) cắt hình cầu theo thiết diện hình trịn có bán kính a√2 Tính khoảng cách từ tâm hình cầu đến mặt phẳng (P ) A a B a√10 C a 2 D a√10 Lời giải Ta có HI =√IA2− AH2 =√3a2− 2a2 = a. I (41)Chọn đáp án A  Câu 34 Hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên tạo với đáy góc 60◦ Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD A √ 6πa3 27 B 8√6πa3 27 C 2√6πa3 27 D 4√6πa3 27 Lời giải Kẻ trung trực SC cắt SO I I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Cạnh bên tạo với đáy góc 60◦ ⇒ ’SAO = 60◦ Suy SO = tan 60◦· AO =√3 ·a √ 2 = a√6 SA = AO cos 60◦ = a√2 ·1 = a√2 Ta có 4SM I v 4SOC ⇒ SI SC = SM SO ⇒ R = SI = SM · SC SO = a√2 · a√2 · a √ = a √ 6 Vậy thể tích khối cầu cần tìm là: V = 3πR 3 = 27πa 3√6. O A B D S C M I Chọn đáp án B  Câu 35 Hình trụ có bán kính đáy r Gọi O O0 tâm hai đường tròn đáy, với OO0 = 2r Một mặt cầu (S) tiếp xúc với hai đáy hình trụ O O0 Gọi S1 S2 diện tích mặt cầu diện tích tồn phần hình trụ Khi A S1 = 2S2 3 B S1 = S2 C S1 = 3S2 4 D S1 = S2 Lời giải Ta có: mặt cầu (S) có bán kính r Do đó: S1 = 4πr2 S2 = 2πrl + 2πr2 = 4πr2+ 2πr2 = 6πr2 Suy ra: S1 S2 = 3 hay S1 = 2S2 3 O O0 Chọn đáp án A  Câu 36 Cho mặt cầu có diện tích 72π cm2 Tính bán kính R khối cầu giới hạn mặt cầu A R =√6 cm B R = 3√2 cm C R = cm D R = cm Lời giải Ta có diện tích mặt cầu S = 4πR2 ⇒ 4πR2 = 72π ⇔ R = 3√2. Chọn đáp án B  (42)A 32π 7 B 8π 7 C 128π 21√14 D 16π √ 14 Lời giải S M B A I C D O Gọi S.ABCD hình chóp tứ giác đều, O giao điểm AC BD, M trung điểm SB Qua M kẻ đường thẳng vng góc với SB cắt SO I Suy ra, I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Xét 4M SI 4OSB hai tam giác đồng dạng, ta có M S OS = SI SB ⇒ R = SI = M S · SB OS Mặt khác OS =√SB2− OB2 = s 22− Ç √ 2 å2 = √ 14 2 Do R = · √ 14 = √ 14 Vậy diện tích mặt cầu ngồi tiếp S = 4πR2 = 32π 7 (đvdt) Chọn đáp án A  Câu 38 Cho hình chóp S.ABCD có tất cạnh a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A 4πa2. B πa2. C. √2πa2. D 2πa2. Lời giải Gọi M trung điểm SA, SO lấy điểm I cho M I ⊥ SA Khi IS = IA = IB = IC = ID I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Lại có 4SM I v 4SOA nên IS = SM · SA SO = a √ 2 Diện tích mặt cầu 4π · IS2 = 2πa2 S O C D M I A B Chọn đáp án D  Câu 39 Thể tích khối cầu có diện tích mặt 36π A 9π B 36π C π 9 D π Lời giải Gọi R bán kính mặt cầu, S = 4πR2 = 36π ⇔ R = 3. Vậy thể tích khối cầu V = 3πR (43)Chọn đáp án B  Câu 40 Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vng góc với đáy, AB = a√2, BC = a, SC = 2a ’ SCA = 30◦ Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC A R = a√3 B R = a √ 2 C R = a D R = a Lời giải Ta có AC = SC cos 30◦ = a√3 Do AB2+ BC2 =Äa√2ä2+ a2 = 3a2 = AC2 suy tam giác ABC vuông B Mà tam giác SAC vng A Khi tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC trung điểm cạnh SC, bán kính mặt cầu R = SC 2 = 2a 2 = a 30◦ S A C B Chọn đáp án C  Câu 41 Trong mặt phẳng cho góc xOy Một mặt phẳng (P ) thay đổi vng góc với đường phân giác góc xOy cắt Ox, Oy A, B Trong (P ) lấy điểm M cho ÷AM B = 90◦ Mệnh đề sau đúng? A M chạy mặt cầu B M chạy mặt nón C M chạy mặt trụ D M chạy đường tròn Lời giải Gọi H trung điểm AB Khi H hình chiếu O (P ) Vì ÷AM B = 90◦ nên M thuộc đường trịn đường kính AB Suy 4M OH = 4AOH, ÷ M OH = ’AOH = 2xOy‘ không đổi Vậy M chạy mặt nón sinh quay đường thẳng Ox quanh đường thẳng OH O A B H M x y Chọn đáp án B  Câu 42 Trong không gian cho hai điểm A, B cố định, phân biệt điểm M thay đổi cho diện tích tam giác M AB khơng thay đổi Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Tập hợp điểm M mặt phẳng B Tập hợp điểm M mặt trụ C Tập hợp điểm M mặt nón D Tập hợp điểm M mặt cầu Lời giải Theo giả thiết ta có khoảng cách từ M đến AB d(M, AB) = 2SABC AB khơng đổi Do tập hợp điểm M mặt trụ với trục đường thẳng AB, bán kính 2SABC AB (44)Câu 43 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy tam giác vuông cân A, AB = AC = a, AA0 =√2a Thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện AB0A0C A 4πa 3 B πa3 3 C 4πa 3. D πa3. Lời giải Gọi H trung điểm BC Ta có H tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Ta có BC = a√2 (Áp dụng định lý Py-ta-go) Dựng đường thẵng d song song với AA0 từ H Gọi H0 giao điểm d với B0C0 Gọi O trung điểm HH0 Ta có O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AB0A0C OA bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AB0A0C AH = 2BC = a√2 2 OA =√AH2+ OH2 = a. Vậy VAB0A0C = 4πa3 B0 A A0 O H0 B H C C0 Chọn đáp án A  Câu 44 Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác S.ABC, biết cạnh đáy có độ dài a, cạnh bên SA = a√3 A 3a √ 6 8 B 3a√3 2√2 C 2a√3 √ 2 D a√3 Lời giải Gọi O tâm tam giác ABC Suy SO ⊥ (ABC) Gọi M trung điểm SA Kẻ d ⊥ SA M Suy d trung trực cạnh AB Trong mặt phẳng (SAO), gọi I giao điểm SO d Suy ®IA = IB = IC IA = IS ⇒ I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bán kính mặt cầu R = IS = SA · SM SO = SA2 2SO A M C O I B S d Ta có  AO = 3· a√3 = a√3  SO =√SA2− AO2 = = 2a √  SI = SA 2 2SO = 3a√6 8 Vậy bán kính mặt cầu cần tìm 3a √ 6 Chọn đáp án A  Câu 45 Tính diện tích bề mặt khinh khí cầu, biết khinh khí cầu hình cầu có đường kính 11 m (lấy π ' 22 7 làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ hai) A 380,29 m2 B 697,19 m2 C 190,14 m2 D 95,07 m2 Lời giải Sxq = 4πr2 = 4π Å 11 2 ã2 (45)Chọn đáp án A  Câu 46 Một hình trụ có bán kính đáy R Gọi O, O0 tâm hai đáy với OO0 = 2R Mặt cầu S tiếp xúc với hai đáy hình trụ O, O0 Phát biểu SAI? A Diện tích mặt cầu diện tích xung quanh hình trụ B Diện tích mặt cầu 3 diện tích tồn phần hình trụ C Thể tích khối cầu 3 thể tích khối trụ D Thể tích khối cầu 4 thể tích khối trụ Lời giải R R Mặt cầu S tiếp xúc với hai đáy hình trụ O, O0 nên OO0 đường kính mặt cầu S suy bán kính mặt cầu S R Thể tích khối cầu VC = 3πR 3. Thể tích khối trụ VT = πR2· h = πR2· 2R = 2π · R3 VC VT = 4 3π · R 3 2πR3 = Chọn đáp án D  Câu 47 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với AB = 3a, BC = 4a, SA = 12a SA vng góc với đáy Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD A R = 13a 2 B R = 5a 2 C R = 17a 2 D R = 6a Lời giải S I A B C D (46)⇒ OI k SA mà SA⊥ (ABCD)⇒ OI⊥ (ABCD) ⇒OI trục đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD⇒ IA = IB = IC = ID Mà ∆SAC vuông A⇒ IA = IS = IC Vậy I tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD Xét ∆SAC vng A có: AC =√AB2+ BC2 =√9a2+ 16a2 = 5a. SC =√SA2+ AC2 =√144a2+ 25a2 = 13a. Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD R = AC = 13a Chọn đáp án A  Câu 48 Biết quay đường trịn có bán kính quanh đường kính ta mặt cầu Tính diện tích mặt cầu A 4π B 3π C 2π D π Lời giải Mặt cầu nhận quay đường tròn bán kính quanh đường kính mặt cầu có bán kính bán kính đường trịn, Diện tích mặt cầu 4πR2 = 4π Chọn đáp án A  Câu 49 Một xưởng sản xuất muốn tạo đồng hồ cát thủy tinh có dạng hình trụ Phần chứa cát hai nửa hình cầu Hình vẽ bên với kích thước cho thiết kế qua trục đồng hồ (phần tô màu làm thủy tinh) Khi đó, lượng thủy tinh làm đồng hồ cát gần với giá trị giá trị sau A 711,6 cm3. B 1070,8 cm3. C 602,2 cm3 D 6021,3 cm3 13,2 cm 13,2 cm 1,0 cm 1,0 cm Lời giải Thể tích khối trụ V1 = πr2h = π · 6,62 · 13,2 = 1806,39 cm3 Thể tích hình cầu chứa cát V2 = 4 3πR 3 = 3π Å 13,2 − 2 ã3 = 735,62 cm3. Vậy lượng thủy tinh cần phải sử dụng V = V1− V2 = 1070,77 cm3 Chọn đáp án B  Câu 50 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = 3, AD = Tam giác SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho A V = 20π 3 B V = 10π 3 C V = 32π 3 D V = 16π (47)Gọi H trung điểm AB, G trọng tâm tam giác SAB, O giao điểm AC BD Từ O dựng đường thẳng song song với SH cắt đường thẳng dựng từ G song song với HO I Ta có I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện OIHG hình chữ nhật Ta có GH = AB√3 2 = √ 2 = IO Bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp R =√IO2+ OC2 =… 4+ 13 4 = Thể tích khối cầu ngoại tiếp V = 3πR 3 = 32π H B S G A D I C O Chọn đáp án C  Câu 51 Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a√3, AD = a, SA vng góc với mặt phẳng đáy mặt phẳng (SBC) tạo với mặt đáy góc 60◦ Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD A V = 13 √ 13πa3 6 B V = 5√10πa3 3 C V = 13√13πa3 24 D V = 5√5πa3 Lời giải Gọi I trung điểm SC IS = IC Mặt khác ta có 4SAC vng A, 4SCD vng D 4SBC vuông B nên điểm S, A, B, C, D nhìn SC góc vng Do I tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD, bán kính R = IS = SC 2 Ta có AC =√AB2+ AD2 = 2a, SA = AB tan ’SBA =√3 · a√3 = 3a ⇒ SC =√SA2+ AC2 = a√13 ⇒ R = a √ 13 Vậy thể tích mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD V = 3πR 3 = 13 √ 13πa3 6 · A B C D I S Chọn đáp án A  Câu 52 Một hình cầu có bán kính m Diện tích mặt cầu bao nhiêu? A 4π m2. B 16π m2. C 8π m2. D π m2. Lời giải S = 4πR2 = 16π Chọn đáp án B  Câu 53 Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy chiều cao h =√3 (hình vẽ) Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A 100π 3 B 25π 3 C 100π 27 D 100π h (48)Lời giải Giả sử S.ABC hình chóp cho gọi H tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC, SH ⊥ (ABC) AH cắt BC trung điểm K BC Ta có AH = 3 · AK = 3· a√3 = a√3 Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, I ∈ SH IS = IA Gọi N trung điểm SA, IN ⊥ SA ⇒ ∆SN I v ∆SHA Từ suy SI SA = SN SH ⇒ R = SI = SA2 2SH = SH2+ AH2 2SH = 5 3√3 Vậy mặt cầu có diện tích S = 4πR2 = 100π 27 A N B H K C I S Chọn đáp án C  Câu 54 Cho hình lập phương cạnh a nội tiếp mặt cầu (S) Tính diện tích mặt cầu (S) A πa2 B 3πa 2 4 C 3πa 2. D. πa 2 3 Lời giải Đường chéo hình lập phương cạnh a a√3 Mặt cầu (S) ngoại tiếp hình lập phương nên có đường kính đường chéo hình lập phương Do diện tích (S) 4π Ç a√3 2 å2 = 3πa2. Chọn đáp án C  Câu 55 Khi quay tứ diện ABCD quanh trục AB có khối nón khác tạo thành? A B C D Câu 56 Mặt cầu (S) có diện tích 20π, thể tích khối cầu (S) A 20π √ 3 B 20π √ 5 C 20π 3 D 4π√5 Lời giải Diện tích mặt cầu (S): 4πR2 = 20π ⇒ R =√5. Thể tích khối cầu (S) V = 3πR = 3π Ä√ 5ä3 = 20π √ 5 Chọn đáp án A  Câu 57 Cho tứ diện ABCD có đáy BCD tam giác vng C, BC = CD = a√3, góc ’ABC = ’ ADC = 90◦, khoảng cách từ điểm B đến (ACD) a√2 Khi thể tích mặt cầu ngoại tiếp ABCD bao nhiêu? A 4πa3√3 B 12π3 C 12πa3√3 D 4πa 3√3 (49)Gọi S trung điểm AC Vì hai tam giác ABC, ACD vng có chung cạnh huyền AC nên SA = SB = SC = SD hay S tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Gọi I trung điểm BD, suy I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Khi SI trục đường trịn ngoại tiếp tam giác BCD hay SI ⊥ (BCD) Gọi N, M hình chiếu I lên CD, SN Suy SM ⊥ (SCN ) Khi IM = d (I; (SCN )) = d (I; (ACD)) = 2d (B; (ACD)) = a√2 2 N trung điểm CD nên IN = BC = a√3 2 Ta có IN2 + IS2 = IM2 ⇒ SI 2 = 3a 2 Ta có R = SC = √SI2+ CI2 = a√3 Thể tích mặt cầu cần tìm V = 3πR 3 = 4πa3√3. A B I N C D S M Chọn đáp án A  Câu 58 Khẳng định sau sai? A Gọi S, V diện tích mặt cầu thể tích khối cầu có bán kính R Nếu coi S, V hàm số biến R V nguyên hàm S khoảng (0; +∞) B Khối nón có chiều cao h, bán kính đáy R tích 3πR 2h. C Diện tích mặt cầu có bán kính R 4πR2. D Khối trụ có chiều cao h, đường kính đáy R tích πR2h. Lời giải Khối trụ có chiều cao h, đường kính đáy R tích π ·Å R ã2 · h = π · R 2· h 4 Chọn đáp án D  Câu 59 Một hình trụ có trục OO0 chứa tâm mặt cầu bán kính R, đường trịn đáy hình trụ thuộc mặt cầu trên, đường cao hình trụ R Tính thể tích V khối trụ A V = 3πR 4 B V = πR 3. C V = πR 3 4 D V = πR3 Lời giải Đường kính đáy khối trụ 2r =p(2R)2− R2 = R√3. ⇒ r = R √ Thể tích khối trụ V = πr2h = π Ç R√3 å2 R = 3πR 4 O’ O (50)Câu 60 Cho khối cầu (S) tích 36π (cm3) Diện tích mặt cầu bao nhiêu? A 64π (cm2). B 18π (cm2). C 36π (cm2). D 27π (cm2). Lời giải Thể tích khối cầu 36π ⇒ 3πr 3 = 36π ⇒ r3 = 27 ⇒ r = 3. Vậy diện tích mặt cầu (S) là: S = 4πr2 = 4π · 32 = 36π (cm2). Chọn đáp án C  Câu 61 Một người dùng ca hình bán cầu có bán kính cm để múc nước đổ vào thùng hình trụ chiều cao cm bán kính đáy 12 cm Hỏi người sau lần đổ nước đầy thùng? Biết lần đổ, nước ca đầy A 10 lần B 20 lần C 24 lần D 12 lần Lời giải Thể tích ca Vc= 2· 4 · π · 3 = 18π. Thể tích khối trụ Vt= π · · 122 = 432π Ta có Vt= 24Vc nên sau 24 lần đổ nước đầy thùng Chọn đáp án C  Câu 62 Chỉ khẳng định sai khẳng định sau: A Khối lăng trụ có đáy có diện tích B, đường cao lăng trụ h, thể tích khối lăng trụ V = Bh B Diện tích xung quanh mặt nón có bán kính đường trịn đáy r đường sinh l S = πrl C Mặt cầu có bán kính R thể tích khối cầu V = 4πR3. D Diện tích tồn phần hình trụ có bán kính đường trịn đáy r chiều cao trụ l Stp = 2πr(l + r) Lời giải Ta tích khối cầu bán kính R V = 3πR 3. Do khẳng định: Mặt cầu có bán kính R thể tích khối cầu V = 4πR3 là sai. Chọn đáp án C  Câu 63 Cho điểm A, B, C thuộc mặt cầu góc ’ACB = 90◦ Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? A AB đường kính đường trịn giao tuyến tạo mặt cầu mặt phẳng (ABC) B Mặt phẳng (ABC) cắt mặt cầu theo giao tuyến đường tròn lớn C 4ABC vuông cân C D AB đường kính mặt cầu cho Lời giải Gọi I tâm mặt cầu Mệnh đề “Mặt phẳng (ABC) cắt mặt cầu theo giao tuyến đường tròn lớn” mệnh đề “AB đường kính mặt cầu cho” mặt phẳng (ABC) qua tâm I Mệnh đề “4ABC vuông cân C” cần thêm điều kiện AC = BC Chọn đáp án A  Câu 64 Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c Gọi (S) mặt cầu qua đỉnh hình hộp chữ nhật Tính diện tích hình cầu (S) theo a, b, c A π 2(a 2+ b2 + c2). B 2π(a2+ b2+ c2). C π(a2+ b2+ c2). D 4π(a2+ b2 + c2). (51)Giả sử ABCD.EF GH hình hộp chữ nhật có AB = a, AD = b, AE = c Ta có: F D2 = F B2+ BD2 = F B2+ CD2+ BC2 = a2+ b2+ c2. Do hình hộp chữ nhật nội tiếp mặt cầu nên F D đường kính mặt cầu Suy bán kính mặt cầu r = F D = √ a2+ b2+ c2 2 Khi diện tích mặt cầu S = · π · r2 = · π Ç √ a2+ b2+ c2 å2 = π(a2+ b2+ c2). C G H D A B E F Chọn đáp án C  Câu 65 Cho hai điểm phân biệt A, B Tìm tập hợp tâm mặt cầu qua hai điểm A, B A Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB B Đường thẳng qua A vng góc với AB C Đường trịn đường kính AB D Chỉ có tâm trung điểm AB Lời giải Tập hợp tâm mặt cầu qua hai điểm A, B cách A B Vậy tập hợp tâm mặt cầu mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB Chọn đáp án A  Câu 66 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 có AB = a, AA0 = 2a Diện tích S mặt cầu qua đỉnh hình lăng trụ A S = 4πa2. B S = 16πa 3 C S = a 2. D S = 4πa 2 3 Lời giải Gọi I tâm mặt cầu qua đỉnh hình lăng trụ, gọi O, O0 hình chiếu I lên mặt phẳng (ABC) (A0B0C0) Do IA = IB = IC = IA0 = IB0 = IC0 nên O, O0 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A0B0C0 Do IO IO0 vuông góc với mặt đáy, suy I, O, O0 thẳng hàng Do hai tam giác vuông AOI A0O0I nên IO = IO0 B B0 C C0 I O O0 A A0 Ta có r = OA = a √ 3 3 bán kính đường trịn ngoại tiếp đáy Khi bán kính mặt cầu R = IA =   r2+Å AA 2 ã2 = 2a √ 3 Vậy S = 4πR2 = 16πa 2 3 Chọn đáp án B  (52)A S = 100π B S = 400π C S = 200π D S = 150π Lời giải Dựng hình hộp chữ nhật SABD.CA0B0D0 Khi bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp SABD.CA0B0D0 Gọi O giao điểm hai đường chéo SD0 CD hình hộp, suy O tâm mặt cầu cần tìm bán kính mặt cầu SO Áp dụng định lí Pitago ta có: CD = 2SO =√SC2+ SD2 =√SC2+ SA2+ SB2 ⇒ R = SO = √ SA2+ SB2 + SC2 2 = √ Vậy diện tích mặt cầu S = 4πR2 = 4πÄ5√2ä2 = 200π. A S A0 C B0 D0 B O D Chọn đáp án C  Câu 68 Quay miếng bìa hình trịn có diện tích 16πa2 quanh đường kính, ta khối trịn xoay tích là: A 64 πa 3. B. 128 3 πa 3. C. 256 3 πa 3. D. 32 3 πa 3. Lời giải Bán kính miếng bìa hình trịn R = 4a Khối trịn xoay nhận khối cầu có bán kính R = 4a tích là: V = 3πR 3 = 256 πa 3. Chọn đáp án C  Câu 69 Cho hình chóp S.ABC, AB = cm, AC = cm, BC = 10 cm Mặt bên SBC tam giác vng S Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC A 100π (cm2) B 20π (cm2) C 400π (cm2) D 500π (cm 2). Lời giải Ta có AB2+ AC2 = 62 + 82 = 100 = BC2 ⇒ 4ABC vuông A ⇒ ’BAC = 90◦ (1) Mặt khác tam giác SBC vuông S ⇒ ’BSC = 90◦ (2) Từ (1) (2) suy S, A, B, C thuộc mặt cầu đường kính BC Bán kính R = BC 2 = ⇒ S = 4πR 2 = 4π · 52 = 100π (cm2). A B C S Chọn đáp án A  Câu 70 Cho đường trịn (C ) ngoại tiếp tam giác ABC có cạnh a, chiều cao AH Quay đường tròn (C ) xung quanh trục AH ta mặt cầu Tính thể tích V khối cầu tương ứng A V = 4πa 3 B V = 4πa3√3 27 C V = 4πa3 9 D V = πa3√3 54 (53)Ta có AH = a √ 3 2 Tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trọng tâm tam giác ABC Suy ra, I tâm mặt cầu quay đường tròn (C ) xung quanh trục AH Vậy bán kính mặt cầu IA = 3AH = a√3 3 Vậy thể tích khối cầu V = 3π Ç a√3 3 å3 = 4πa 3√3 27 A H B C I Chọn đáp án B  Câu 71 Cho hình lập phương tích 64a3 Tính thể tích khối cầu nội tiếp hình lập phương A V = 16πa 3 B V = 64a3π 3 C V = 32a3π 3 D V = 8a3π Lời giải Thể tích khối lập phương 64a3 nên cạnh hình lập phương 4a Bán kình mặt cầu nội tiếp hình lập phương R = 4a = 2a Vậy thể tích khối cầu nội tiếp hình lập phương V = 3π(2a) = 32 3 πa 3. A B A0 B0 H C0 D0 C I O0 O D Chọn đáp án C  Câu 72 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 2√2, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = Mặt phẳng (α) qua A vng góc với SC cắt cạnh SB, SC, SD điểm M , N , P Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp tứ diện CM N P A V = 125π 6 B V = 32π 3 C V = 108π 3 D V = 64√2π Lời giải Vì mặt phẳng (α) qua A vng góc với SC cắt cạnh SB, SC, SD điểm M , N , P nen AM ⊥ SC, AN ⊥ SC, AP ⊥ SC Từ ®CB ⊥ AB CB ⊥ SA ⇒ CB ⊥ (SAB) ⇒ CB ⊥ AM , kết hợp với AM ⊥ SC ta AM ⊥ (SBC) ⇒ AM ⊥ CM Từ ®CD ⊥ AD CD ⊥ SA ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ AP , kết hợp với AP ⊥ SC ta AP ⊥ (SDC) ⇒ AP ⊥ CP Từ AN ⊥ SC, AM ⊥ CM , AP ⊥ CP suy M , N , P thuộc mặt cầu đường kính AC Hay mặt cầu ngoại tiếp Bán kính mặt cầu R = 2AC = · √ 2 ·√2 = Thể tích khối cầu cần tìm V = 3πR 3 = 32π D P C S N A M B O (54)Câu 73 Chọn khẳng định sai khẳng định sau A Cắt hình nón trịn xoay mặt phẳng qua trục thu thiết diện tam giác cân B Cắt hình trụ trịn xoay mặt phẳng vng góc với trục thu thiết diện hình trịn C Hình cầu có vơ số mặt phẳng đối xứng D Mặt cầu mặt tròn xoay sinh đường tròn quay quanh đường kính Lời giải Dựa vào định nghĩa tính chất hình trụ trịn xoay ta suy khẳng định sai là: Cắt hình trụ trịn xoay mặt phẳng vng góc với trục thu thiết diện hình trịn Chọn đáp án B  Câu 74 Cho hình trụ nội tiếp hình cầu S (O; R) Gọi x khoảng cách từ tâm hình cầu đến đáy hình trụ Tìm x theo R hình trụ có diện tích xung quanh lớn A x = R √ 2 2 B x = R 2 C x = R√3 2 D x = R√5 Lời giải Bán kính đáy khối trụ r =√R2− x2, h = 2x. Diện tích xung quanh khối trụ Sxq = 2πrh = 4πx √ R2− x2 mà x√R2− x2 6 x 2+ R2− x2 2 = R2 2 ⇒ Sxq 2πR 2. Dấu “=” xảy x = R √ 2 I O O0 A B A0 B0 Chọn đáp án A  Câu 75 Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC đơi vng góc, SA = SB = 2a, SC = 4a Thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC A 8√6πa3. B 32√6πa3. C 16√6πa3. D 24√6πa3. Lời giải •SABC tam diện vng Dựng hình hộp chữ nhật SBDC.AB0D0C0như hình vẽ Tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABC trung điểm I SD0 • R = 2SD 0 = √ SA2+ SB2+ SD2 = a√6. • Thể tích mặt cầu V = 3πR 3 = 8√6πa3. A C0 S I D0 C D B0 B Chọn đáp án A  Câu 76 Cho hình lập phương có cạnh Mặt cầu tiếp xúc với tất cạnh hình lập phương có bán kính A B 2√3 C 2√2 D 4√2 (55)Mặt cầu tiếp xúc với tất cạnh hình lập phương có tâm trùng với tâm hình lập phương bán kính khoảng cách từ tâm hình lập phương đến cạnh hình lập phương Gọi I tâm hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 Gọi H, K hình chiếu vng góc I mặt phẳng (ABCD) cạnh A0B0 Bán kính mặt cầu cần tìm IK =√IH2+ HK2 =√22+ 22 = 2√2. A0 I A B B0 C D C0 D0 H A K Chọn đáp án C  Câu 77 Khối cầu có bán kính cm tích A 9π cm3. B 12π cm3. C 36π cm3. D 27π cm3. Lời giải V = 3πr 3 = 3π3 3 = 36π. Chọn đáp án C  Câu 78 Tính thể tích V khối lập phương biết khối cầu ngoại tiếp khối lập phương tích 32 3 π A V = √ 3 B V = 8√3 9 C V = 64√3 9 D V = Lời giải Vkhối cầu = 3πR 3 = 32 3 π ⇔ R = Giả sử hình lập phương có cạnh a ⇒ độ dài đường chéo hình lập phương a√3 = 2R ⇔ a = √ 3 3 ⇒ Vhình lập phương = 64√3 9 Chọn đáp án C  Câu 79 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A, B Cạnh bên SA = 2a SA vng góc (ABCD) Biết AB = BC = a, AD = 2a Gọi E trung điểm AD Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.CDE theo a A R = 3a √ 2 2 B R = a√11 2 C R = a√2 2 D R = a√10 Lời giải D C B A E S D I C E S K (56)Xét khối chóp C.SED có cạnh CE = a, SE = a√5, SD = 2a√2 ED = a Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SED d đường thẳng qua O, vng góc (SED), d k CE Gọi (P ) mặt phẳng trung trực CE (vng góc với CE trung điểm K CE) I giao điểm (P ) d Lúc I tâm mặt cầu ngoại tiếp C.SED ⇒ IO = KE = CE 2 Vì tam giác SAD vng cân A nên ’SDE = 45◦, S = S∆SED = 2SD · DE · sin ’SDE = a 2. Ta có OE = SE · ED · SD 4S = a√10 2 Suy R = IE = √ IO2 + OE2 = a √ 11 Chọn đáp án B  Câu 80 Cho mặt cầu (S) có tâm O, bán kính r Mặt phẳng (α) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn (C) có bán kính R Kết luận sau sai? A R =pr2+ d2(O, (α)). B d(O, (α)) = r C Diện tích mặt cầu S = 4πr2 D Đường tròn lớn mặt cầu có bán kính bán kính mặt cầu Lời giải Dựa vào vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Chọn đáp án A  Câu 81 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 biết AB = 3, BB0 = 4, B0C0 = 12 A 19 B 13 2 C 19 2 D 13 Lời giải Gọi O trung điểm đoạn A0C Vì ABCD.A0B0C0D0 hình hộp chữ nhật nên AA0C0C BB0D0D hình chữ nhật Do O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 Ta có A0C = √AC2+ AA02. A0C =√AB2+ AD2+ AA02= 13 ⇒ R = 13 A0 B0 C0 D0 A B C D O Chọn đáp án B  Câu 82 Số mặt cầu chứa đường tròn cho trước qua điểm cho trước không nằm mặt phẳng chứa đường trịn mấy? A B C D Vô số Lời giải Gọi (C ) đường trịn cho trước có tâm H Gọi (α) mặt phẳng chứa đường trịn (C ) K điểm nằm ngồi (α) Gọi I tâm mặt cầu Khi I nằm đường thẳng d qua H vng góc với (α) thỏa mãn IK2− IH2 = r2 (với r bán kính (C )). IK2− IH2 = r2 ⇔ÄIK +# » IH# »ä ÄIK −# » IH# »ä= r2 ⇔ 2IM ·# » HK = r# » ⇔IM ·# » HK =# » r 2 2 (với M trung điểm HK) (57)Câu 83 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân A Cạnh bên SC vng góc với mặt phẳng (ABC) AB = AC = a√2; SC = 3a Tìm thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC A 11πa3. B 13πa3. C. 13πa 3√13 6 D 11πa3√11 6 Lời giải Ta có: R = OC OC =√OM2+ M C2 =   Å 3a ã2 + a2 =… 13a 4 V = 3π Ç… 13a2 å3 = 13πa 3√13 6 C B S O A K M Chọn đáp án C  Câu 84 Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 có cạnh a Tính diện tích S mặt cầu có tâm A tiếp xúc với đường thẳng DD0 A S = 3πa 2. B S = 8πa2. C S = 4πa2. D S = 3πa 2. Lời giải Mặt cầu (S) tâm A tiếp xúc với đường thẳng DD0 có bán kính R = AD = a Suy S = 4πR2 = 4πa2. D A B C A0 B0 C0 D0 Chọn đáp án C  Câu 85 Cho khối cầu tích 8πa 3√6 27 , đường kính mặt cầu A √ 2a 3 B a√6 3 C 2√6a 3 D a√3 Lời giải Áp dụng trực tiếp cơng thức tính thể tích khối cầu: V = 3πR ⇒ 3πR 3 = 8πa 3√6 27 ⇒ R = a√6 3 ⇒ 2R = 2√6a 3 Chọn đáp án C  (58)A Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trùng với đỉnh S B Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tâm mặt đáy ABCD C Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trung điểm đoạn thẳng nối S với tâm mặt đáy ABCD D Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trọng tâm tam giác SAC Lời giải Gọi cạnh hình chóp a Ta có: OA = OB = OC = OD = AC = a√2 · Trong tam giác SAO ta có SO =√SA2− AO2 = a √ 2 · ⇒ OA = OB = OC = OD = OS Vậy tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tâm mặt đáy ABCD A B C D S O a Chọn đáp án B  Câu 87 Xét hình đa diện (I) Hình lăng trụ đứng; (II) Hình hộp chữ nhật; (III) Hình lăng trụ xiên (cạnh bên khơng vng góc với đáy); (IV) Hình hộp thoi (6 mặt hình thoi) Hình nội tiếp mặt cầu? A (IV) B (I) C (III) D (II) Lời giải Điều kiện cần để hình đa diện nội tiếp mặt cầu mặt nội tiếp đường trịn Do đó, phương án (IV), (I), (III) loại Hình hộp chữ nhật nội tiếp mặt cầu có tâm tâm (giao điểm đường chéo) bán kính khoảng cách từ tâm đến đỉnh hình hộp chữ nhật Chọn đáp án D  Câu 88 Cho khối cầu tích 8πa 3√6 27 Khi bán kính mặt cầu A R = a √ 3 B R = a√6 2 C R = a√6 3 D R = a√2 Lời giải Thể tích khối cầu có bán kính R V = 3πR 3 Theo giả thiết ta có: 3πR 3 = 8πa 3√6 27 ⇔ R 3 = 3.8a 3√6 4.27 ⇔ R = ap3 2√6 3 √ 9 = ap√3 63 3 = a√6 Chọn đáp án C  Câu 89 Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước 2, 3, nội tiếp mặt cầu Tính diện tích mặt cầu A √29 B 29√29π C 29 2 π D 29π Lời giải Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật R = √ 22+ 32+ 42 = √ 29 2 Từ suy diện tích mặt cầu 4πR2 = 29π. Chọn đáp án D  Câu 90 Có mặt cầu chứa đường tròn cho trước? (59)Lời giải Ta xét đường tròn (I, R) nằm mặt phẳng (P ), (∆) đường thẳng qua I ∆ ⊥ (P ), mặt cầu có tâm nằm ∆ qua điểm đường trịn (I, R) chứa đường trịn Vậy có vơ số mặt cầu chứa (I, R) Chọn đáp án A  Câu 91 Chọn mệnh đề mệnh đề sau? A Hình có đáy hình bình hành có mặt cầu ngoại tiếp B Hình chóp có đáy hình thang vng có mặt cầu ngoại tiếp C Hình chóp có đáy hình thang cân có mặt cầu ngoại tiếp D Hình có đáy hình tứ giác có mặt cầu ngoại tiếp Lời giải Trong hình: hình bình hành, hình thang vng, hình thang cân, hình tứ giác có hình thang cân có đường trịn ngoại tiếp nên hình chóp có đáy hình thang cân có mặt cầu ngoại tiếp Chọn đáp án C  Câu 92 Gọi (S) khối cầu bán kính R, (N ) khối nón có bán kính đáy R chiều cao h Biết thể tích khối cầu (S) khối nón (N ) nhau, tính tỉ số h R A B 3 C 12 D Lời giải Do thể tích khối cầu (S) khối nón (N ) nên 3πR 3 = 3πhR 2 ⇔ h R = Chọn đáp án D  Câu 93 Một mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có kích thước AB = 4a, AD = 5a, AA0 = 3a Mặt cầu có bán kính bao nhiêu? A 2√3a B 6a C √ 2a 2 D 3√2a Lời giải Ta có AC0 đường kính mặt cầu AC0 =√AB2+ AD2+ AA02=√16a2+ 25a2+ 9a2 = 5√2a. Suy bán kính mặt cầu cần tìm AC 2 = 5√2a 2 Chọn đáp án C  Câu 94 Nếu tăng bán kính khối cầu lên lần thể tích khối cầu thay đổi nào? A Không đổi B Tăng lên lần C Tăng lên lần D Tăng lên lần Lời giải Giả sử bán kính khối cầu cho R Khi thể tích khối cầu với bán kính R V = 3πR 3. Bán kính khối cầu tăng lên lần R0 = 2R Khi thể tích khối cầu ứng với bán kính R0 V0 = 3πR 03= 3π(2R) 3 = · 3πR 3 = 8V Chọn đáp án B  Câu 95 Cho mặt cầu (S) có diện tích 36a2π (a > 0) Tính thể tích khối cầu (S). A 18πa3 B 72πa3 C 108πa3 D 36πa3 (60)Diện tích mặt cầu S = 4πr2 = 36a2π ⇒ r = 3a ⇒ V = 3πr = 3π(3a) 3 = 36πa3. Chọn đáp án D  Câu 96 Hình đa diện sau khơng có mặt cầu ngoại tiếp? A Hình chóp có đáy tam giác B Hình chóp tứ giác C Hình hộp D Hình lập phương Lời giải ◦ Hình chóp nội tiếp mặt cầu đáy chóp tồn đường trịn ngoại tiếp ◦ Hình lăng trụ nội tiếp mặt cầu lăng trụ đứng đáy có đường tròn ngoại tiếp Chọn đáp án C  Câu 97 Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A0B0C0D0 có cạnh đáy a đường chéo tạo với đáy góc 45◦ Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ A V = 4πa3. B V = 3πa 3. C V = 3a 3. D V = 3πa 3. Lời giải Góc đường chéo mặt đáy góc ÷AC0A0 = 45◦. Theo giả thiết ta có: A0C0 = a√2 ⇒ AC0 = 2a Gọi O trung điểm AC0 ⇒ O tâm mặt cầu ngoại tiếp Khi bán kính mặt cầu R = AC 0 2 = 2a 2 = a ⇒ Thể tích khối cầu ngoại tiếp V = 3πa 3. A0 B0 C0 D0 A B C D O 45◦ Chọn đáp án D  Câu 98 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA ⊥ (ABCD) SA = a Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp theo a A πa 2 B πa3√3 2 C πa33√3 2 D πa3√3 Lời giải Gọi I trung điểm SC Dễ thấy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp với bán kính r = SC 2 = √ a2+ 2a2 2 = a√3 Thể tích khối cầu cần tìm: V = 3πr 3 = 3π 3a3√3 8 = πa3√3 A B C D S I Chọn đáp án B  Câu 99 Cho hình nón sinh tam giác cạnh a quay quanh đường cao Một mặt cầu có diện tích diện tích tồn phần hình nón bán kính mặt cầu A a √ 2 4 B a√3 4 C a√3 2 D a√2 (61)C A B Xét tam giác cạnh a ⇒ đường cao h = a √ 3 Stp = π a 2 + π.a 2.a = 3πa2 4 ⇒ Scầu = 3πa2 4 = 4πR 2 ⇒ R = a √ 3 Chọn đáp án B  Câu 100 Cho hình cầu (S) Mặt phẳng (P ) cắt hình cầu theo hình trịn có chu vi 2, 4πa khoảng cách từ tâm mặt cầu đến (P ) 1, 6a Diện tích mặt cầu thể tích hình cầu A πa2√2 32 πa 3. B 16πa2 và 32 πa 3. C πa2√2 và 3πa 3. D. πa 2√2 32 πa 3. Lời giải Chu vi đường tròn giao tuyến 2πHA = 2, 4πa ⇒ HA = 1, 2a ⇒ IA =√HA2+ IH2 =p(1, 2a)2+ (1, 6a)2 = 2a. Diện tích mặt cầu 4π(2a)2 = 16πa2 Thể tích mặt cầu 3π(2a) 3 = 32 πa 3. I A H B (62)ĐÁP ÁN 1 C A B B B B C D A 10 D 11 A 12 D 13 C 14 D 15 D 16 D 17 A 18 A 19 B 20 C 21 C 22 B 23 D 24 A 25 A 26 C 27 A 28 D 29 B 30 C 31 C 32 D 33 A 34 B 35 A 36 B 37 A 38 D 39 B 40 C 41 B 42 B 43 A 44 A 45 A 46 D 47 A 48 A 49 B 50 C 51 A 52 B 53 C 54 C 55 B 56 A 57 A 58 D 59 A 60 C 61 C 62 C 63 A 64 C 65 A 66 B 67 C 68 C 69 A 70 B 71 C 72 B 73 B 74 A 75 A 76 C 77 C 78 C 79 B 80 A 81 B 82 A 83 C 84 C 85 C 86 B 87 D 88 C 89 D 90 A (63)3 Mức độ vận dụng thấp Câu Từ khối đất sét hình trụ có chiều cao 36(cm) đường trịn đáy có đường kính 24(cm) Bạn Tốn muốn chế tạo khối đất thành nhiều khối cầu chúng có bán kính 6(cm) Hỏi bạn Tốn làm tối đa khối cầu ? A 108 B 54 C 72 D 18 Lời giải Thể tích khối trụ đất sét là:VT = πR2Th = π · 122· 36 = 5184π Thể tích khối cầu VC = 3πR C = 4 3π · 3 = 288π. Số khối cầu chế tạo từ khối trụ VT VC = 5184π 288π = 18 Chọn đáp án D  Câu Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC tam giác vuông A, AB = a√3, BC = 2a, đường thẳng AC0 tạo với mặt phẳng (BCC0B0) góc 30◦ Diện tích S mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ cho A S = 6πa2. B S = 3πa2. C S = 4πa2. D S = 24πa2. Lời giải Trong mặt phẳng (ABC) kẻ AH ⊥ BC (H ∈ BC) Lại có AH ⊥ BB0 (do BB0 ⊥ (ABC) suy AH ⊥ (BCC0B0). Suy (AC0, (BCC0B0)) = ÷AC0H = 30◦. Ta có AC =√BC2− AB2 = a, AH = AB · AC BC = a√3 AC0 = AH sin ÷AC0H = a √ 3 ⇒ CC0 =√AC02− AC2 = a√2. Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ, R = … r2+h 4 với r = BC 2 = a bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác vng ABC h = CC0 = a√2 Do R = … a2 +a 2 = a√6 2 ⇒ S = 4πR 2 = 6πa2. B C H A A0 C0 B0 Chọn đáp án A  Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân A, biết AB = a, SA = SB = a mặt phẳng (SBC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Tính SC biết bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC a A SC = a√3 B SC = a√2 C SC = a D SC = a √ 2 Lời giải Gọi H trung điểm BC suy AH ⊥ BC (do 4ABC cân A) Lại có ® (SBC) ⊥ (ABC) (SBC) ∩ (ABC) = BC nên AH ⊥ (SBC) Từ đề ta có AS = AB = AC nên A thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC, lại có AH ⊥ (SBC) H nên H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC Suy HB = HS = HC nên tam giác SBC vuông S Gọi M trung điểm AB, kẻ đường trung trực AB cắt AH O Khi đó, ta có OA = OB = OC = OS hay O tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABC ⇒ OA = R = a B A C H O S (64)Ta có ∆OM A đồng dạng với ∆BHA (g − g) ⇒ OA AB = M A HA ⇔ a a = a HA ⇒ HA = a Xét tam giác vng AHC có HC =√AC2− AH2 = … a2− a 2 4 = a√3 2 ⇒ BC = 2HC = a √ 3 Xét tam giác SBC vng S có SC =√BC2− SB2 =√3a2− a2 = a√2. Chọn đáp án B  Câu Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác có tất cạnh a A 7πa 2 3 B πa3 8 C πa 2. D. 7πa 2 9 Lời giải Gọi O, O0 tâm đường tròn ngoại tiếp hai tam giác ABC A0B0C0 Trên OO0 lấy trung điểm I Khi đó, IA = IB = IC = IA0 = IB0 = IC0 nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ Bán kính mặt cầu R = IA =√OI2+ OA2 = à a 2 + Ç a√3 3 å2 = a √ 21 B0 O0 B O A A0 I C C0 M Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ S = 4π Ç a√21 å2 = 7πa 3 Chọn đáp án A  Câu Cho tứ diện ABCD có AB = BC = AC = BD = 2a, AD = a√3; hai mặt phẳng (ACD) (BCD) vng góc với Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A 64πa 27 B 4πa2 27 C 16πa2 9 D 64πa2 Lời giải Gọi I trung điểm CD Do BC = BD nên BI ⊥ CD Theo (ACD) ⊥ (BCD) nên BI ⊥ (ACD) Xét tam giác vng AIB DIB có: BI chung AB = BD = 2a nên hai tam giác nhau, suy AI = ID Do tam giác ACD vng A Suy tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD thuộc đường thẳng BI Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác BCD Áp dụng định lí Pitago ta có CD =√AC2+ AD2 = a√7. Diện tích tam giác BCD SBCD =pp(p − BC)(p − CD)(p − BD) = 3a√4 7 với p = BC + CD + DB 2 A B C D I Bán kính mặt cầu R = BC.CD.DB 4SBCD = 4a Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là: S = 4πR2 = 64πa 9 Chọn đáp án D  (65)Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = 2a Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC A a √ 2 5 B a √ 2 C a√5 D a √ Lời giải Dựng tam giác IAB (I C phía bờ AB) Ta có ‘IBC = 120◦ − 60◦ = 60◦ IB = BC nên 4IBC đều, IA = IB = IC = a Qua I dựng đường thẳng song song với SA, cắt đường trung trực SA O O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Gọi M trung điểm SA Ta có OM = IA = a; AM = SA 2 = a nên OA =√OM2+ M A2 =√2a, R =√2a. S O B A M C I Chọn đáp án B  Câu Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x − 1)2+ (y + 1)2+ (z + 2)2 = 16 điểm A(1; 2; 3). Ba mặt phẳng thay đổi qua A đôi vng góc với cắt mặt cầu theo ba đường trịn Gọi S tổng diện tích ba hình trịn Khi S A 32π B 36π C 38π D 16π Lời giải Phương pháp: Cách giải: (S) : (x − 1)2 + (y + 1)2+ (z − 2)2 = 16 có tâm I(1; −1; 2) bán kính R = Gọi M, N, P hình chiếu vng góc I lên mặt phẳng, r1, r2, r3 bán kính đường trịn giao tuyến tương ứng Khi A, I, P, N đỉnh hình hộp chữ nhật, ta có: A M N P I IM2+ IP2+ IN2 = IA2 = 02+ 32+ 12 = 10. ⇔ R2− r2 1 + R2− r22+ R2− r32 = 10 ⇔ · 16 − (r12+ r22+ r32) = 10 ⇔ r21+ r22+ r23 = 18 Tổng diện tích ba hình trịn S = π (r2 1 + r22+ r32) = 38π Chọn đáp án C  Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc ’ABC = 60◦, cạnh bên SA = a vng góc với mặt đáy Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ACD A R = a √ 5 2 B R = a C R = a … 12 D R = a (66)Ta có ’ADC = ’ABC = 60◦ , suy tam giác ADC tam giác vuông cạnh a Gọi N trung điểm cạnh DC, G trọng tâm tam giác ABC Ta có AN = a √ 2 ; AG = a√3 3 Trong mặt phẳng (SAM ), kẻ đường thẳng Gx k SA, suy Gx trục tam giác ADC Gọi M trùng điểm cạnh SA Trong mặt phẳng (SAN ) kẻ trung trực SA cắt Gx I IS = IA = ID = IC nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ACD Bán kính R mặt cầu độ dài đoạn IA Trong tam giác AIG vuông G, ta có IA =√IG2+ GA2 = à a 2 + Ç a√3 3 å2 = a… 12 S C D N A B O G I M x Chọn đáp án C  Câu Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng A, tam giác SAC vuông cân S Biết AB = a, AC = 2a, (SAC)⊥(ABC) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC A 2πa2. B 4πa2. C 5πa2. D 3πa2. Lời giải Gọi H, I trung điểm BC, AC 4SAC vuông cân S ⇒ SH ⊥ AC HA = HC = HS 4ABC vuông A ⇒ IA = IB = IC (1) Lại có®(ABC) ⊥ (SAC) AB ⊥ AC ⇒ AB ⊥ (SAC) Mà HI đường trung bình tam giác ABC ⇒ H k AB ⇒ HI ⊥ (SAC) ⇒ IA = IC = IS (2) Từ (1), (2) ⇒ LA = IB = IC = IS Do I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC R = BC = √ AB2+ AC2 2 = a√5 Vậy diện tích mặt cầu S = 4πR2 = 5πa2. S B I A H C Chọn đáp án C  Câu 10 Cho tứ diện ABCD có BC = a, CD = a√3, ’BCD = ’ABC = ’ADC = 90◦ Góc hai đường thẳng AD BC 60◦ Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A R = a √ 3 2 B a √ 3 C a D a √ (67)Xét hình hộp chữ nhật AB0C0D0· A0BCD. Ta có  BCD = ’’ ABC = ’ADC = 90◦  Vì BC k A0D ⇒ góc hai đường thẳng AD BC góc hai đường thẳng AD A0D góc ’ ADA0 ⇒ tan ’ADA0 = tan 60◦ = AA A0D = √ 3 ⇒ AA0 = a√3 Do mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật AB0C0D0.A0BCD ⇒ R = √ A0A2+ A0B2+ A0D2 2 = a√7 Vậy R = a √ B A0 C D A B0 C0 D0 Chọn đáp án D  Câu 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A B Biết SA⊥ (ABCD) , AB = BC = a, AD = 2a, SA = a√2 Gọi E trung điểm AD Tính bán kính mặt cầu qua điểm A, B, C, D, E A a √ 3 2 B a C a√6 3 D a√30 Lời giải Phương pháp: Khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy, sử dụng cơng thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp R = … h 2 4 + R d trong h chiều cao khối chóp, Rd bán kính đường trịn ngoại tiếp đáy Cách giải: Xét tứ giác ABCE có AE k BC, AE = BC = a ⇒ ABCE hình bình hành Lại có ’BAE = 90◦(gt), AC = BC ⇒ ABCE hình vng cạnh a ⇒ Bán kính đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCE Rd= a √ 2 Sử dụng công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCE là: R =… SA 4 + R d= … 2a2 + 2a2 = a S B A C D E Chọn đáp án B  Câu 12 Cho hình cầu (S) có tâm I, bán kính 13 cm Tam giác (T ) với độ dài ba cạnh 27 cm, 29 cm, 52 cm đặt không gian cho cạnh tam giác tiếp xúc với mặt cầu (S) Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng chứa tam giác (T ) A 12 cm B 3√2 cm C cm D 2√3 cm (68)Nửa chu vi tam giác p = 27 + 29 + 52 2 = 54 Diện tích tam giác S =p54 · (54 − 27) · (54 − 29) · (54 − 52) = 270 Suy bán kính đường trịn nội tiếp tam giác r = S p = 270 54 = (cm) Suy khoảng cách cần tìm d =√132− 52 = 12 (cm). A B C I T M K H Chọn đáp án A  Câu 13 Một hình trụ có bán kính mặt đáy 5cm Thiết diện qua trục hình trụ có diện tích 40cm2 Tính diện tích xung quanh hình trụ A Sxq = 30πcm2 B Sxq = 45πcm2 C Sxq = 40πcm2 D Sxq = 15πcm2 Lời giải Ta có: Diện tích qua trục hình nón hình chữ nhật Shcn = 2R.h = 40cm2 ⇒ h = 4cm Sxq = 2πR · h = 2π · · = 40πcm2 h r Chọn đáp án C  Câu 14 Cho tam giác ABC cạnh a Gọi (P ) mặt phẳng chứa BC vng góc với mặt phẳng (ABC) Trong (P ), xét đường tròn (C) đường kính BC Diện tích mặt cầu nội tiếp hình nón có đáy (C), đỉnh A A πa 2 B πa2 3 C πa 2. D 2πa2. Lời giải Mặt cầu nội tiếp hình nón đỉnh A, đáy đường trịn đường kính BC nên mặt cầu có tâm O tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC Do OI = 3AI = a√3 = a√3 Vậy diện tích mặt cầu là: S = 4πR2 = 4π. Ç a√3 å2 = πa 2 3 B C O I A Chọn đáp án B  Câu 15 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân C CA = CB = a Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có bán kính A a √ 6 4 B a √ 3 C a √ 2 D (69)Câu 16 Cho tứ diện ABCD có ABC DBC hai tam giác cạnh chung BC = Gọi I trung điểm BC, ‘AID = 2α mà cos 2α = −1 3 Hãy xác định tâm O mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A O trung điểm AD B O trung điểm BD C O thuộc mặt phẳng (ADB) D O trung điểm AB Lời giải Ta có AI = DI =√3 Áp dụng định lý cosin ta có: AD2 = AI2+ DI2− 2AI · DI · cos ‘AID = Suy cạnh tam giác ADC, ADB thỏa mãn định lý Pytagore Vậy tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện trung điểm O AD A D B I C Chọn đáp án A  Câu 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD A √ 21πa3 54 B 7√21πa3 18 C 4√3πa3 81 D 4√3πa3 27 Lời giải S O G H A I K D B C Gọi H trung điểm AB, ta có®(SAB) ⊥ (ABCD) theo giao tuyến AB SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ (ABCD) Gọi K trung điểm CD, ta có ®KH ⊥ AB KH ⊥ SH ⇒ KH ⊥ (SAB) Gọi O tâm hình vng ABCD G trọng tâm tam giác SAB Trong mặt phẳng (SHK), kẻ đường thẳng Ox k SH kẻ đường thẳng Gy k KH Gọi I = Ox ∩ Gy, ta có®IO ⊥ (ABCD) IG ⊥ (SAB) ⇒ IO trục hình vng ABCD IG trục tam giác SAB Do ta có IS = IA = IB = IC = ID hay I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Tứ giác OHGI hình chữ nhật nên IG = OH = a 2 Tam giác SAB nên SG = 3SH = 3· a√3 = a√3 Tam giác SGI vuông G nên SI2 = SG2+ GI2 = a 2 3 + a2 4 = 7a2 (70)Vậy R = SI = a √ 21 6 thể tích khối cầu ngoại tiếp S.ABCD V = 3πR 3 = √ 21πa3 54 Chọn đáp án A  Câu 18 Cho hình lập phương (H) nội tiếp mặt cầu (S) Biết rằng, khối cầu giới hạn mặt cầu (S) tích 4π 3 , tính thể tích khối lập phương giới hạn hình lập phương (H) A √ 9 B 8 3 C D √ Lời giải Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD.A0B0C0D0, bán kính mặt cầu r Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương 4πr 3 3 = 4π 3 ⇔ r = ⇒ AC 0 = 2r = 2 Ta có AC02= 3AA02⇒ AA0 = AC 0√3 3 = 2√3 3 ⇒ VABCD.A0B0C0D0 = AA 03 = Ç 2√3 3 å3 = √ 3 Chọn đáp án A  Câu 19 Cho hình lập phương có bán kính mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp mặt cầu tiếp xúc với tất cạnh hình lập phương R1, R2, R3 Mệnh đề sau đúng? A R1 > R3 > R2 B R1 > R2 > R3 C R3 > R1 > R2 D R2 > R1 > R3 Lời giải Gọi a độ dài cạnh hình lập phương ⇒®AC = a √ A0C = a√3 Có R1 bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương nên R1 = IC = A0C = a√3 Có R2 bán kính mặt cầu nội tiếp hình lập phương nên R2 = IO = AA 0 2 = a Có R3 bán kính mặt cầu tiếp xúc với cạnh hình lập phương nên R3 = IM = AC 2 = a√2 2 Vậy ta có R1 > R3 > R2 C D C0 M D0 A0 B0 A B O I Chọn đáp án A  Câu 20 Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R = Một đường thẳng d cắt (S) hai điểm M, N phân biệt không qua I Đặt M N = 2m Với giá trị m diện tích tam giác IM N lớn nhất? A m = √ 5 2 B m = ± 5√2 2 C m = 5√2 2 D m = √ 10 Câu 21 Cho đường trịn tâm O có đường kính AB = 2a nằm mặt phẳng (P ) Gọi I điểm đối xứng với O qua A Lấy điểm S cho SI ⊥ (P ) SI = 2a Tính bán kính R mặt cầu qua đường trịn cho điểm S A R = 7a 4 B R = a√65 16 C R = a√65 4 D R = a√65 (71)A B O I K S H d Dựng đường thẳng d⊥(P ) O Gọi H tâm mặt cầu qua điểm S đường trịn tâm O, K hình chiếu vng góc S đường thẳng d, ta có tứ giác SKOI hình vng Nếu K nằm O H gọi x = HK ⇒ OH = 2a + x,(0 < x) ∆SHK vuông K ∆OAHvng O có SH = AH = R ⇒ SK2+ HK2 = OA2 + OH2 ⇔ 4a2+ x2 = a2+ (2a + x)2 ⇔ a2+ 4ax = (vơ lí x > 0,a > 0) ⇒ H nằm O K ⇒ OH = 2a − x Ta có SK2+ HK2 = OA2+ OH2 ⇔ 4a2+ x2 = a2+ (2a − x)2 ⇔ a2 − 4ax = ⇔ x = a ⇒ R =√SK2+ HK2 = … 4a2+ a 16 = a√65 4 Chọn đáp án C  Câu 22 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc ’BAD = 1200 Cạnh bên SA vng góc với đáy (ABCD) SA = 2a Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.BCD A R = 5a 4 B R = a√5 4 C R = a√3 2 D R = 3a Lời giải Vì ABCD hình thoi cạnh a ’ABC = 60◦ ⇒ AB = AC = AD = a Suy A tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Gọi M trung điểm SC; đường thẳng d qua M vng góc SC cắt SA I ⇒ IS = IB = IC = ID ⇒ I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.BCD Đặt IS = IC = x ⇒ IA = 2a − x mà IA2+ AC2 = IC2, suy (2a − x)2+ a2 = x2 ⇔ 4ax = 5a2 ⇔ x = 5a 4 ⇒ R = 5a 4 B C D M S (72)Chọn đáp án A  Câu 23 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, BC = a Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi H, K hình chiếu vng góc A lên SB SC Tính thể tích khối cầu tạo mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.HKB A √2πa3. B. πa 3 6 C πa3 2 D √ 2πa3 3 Lời giải Từ giả thiết ta có BC ⊥ (SAB) Suy BC ⊥ AH Hơn nữa, AH ⊥ SB Nên AH ⊥ (SBC) Suy AH ⊥ HC Hay H thuộc mặt cầu đường kính AC Mặt khác, B, K thuộc mặt cầu đường kính AC Do đó, A.HKB nội tiếp mặt cầu đường kính AC Thể tích mặt cầu V = 3π Å AC 2 ã2 = √ 2πa3 A B C S K H Chọn đáp án D  Câu 24 Cho hình chóp S.ABCD có ’ABC = ’ADC = 90◦, cạnh bên SA vng góc với (ABCD), góc tạo SC đáy ABCD 60◦, CD = a tam giác ADC có diện tích a 2√3 2 Tính diện tích Smc mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD A Smc = 16πa2 B Smc = 4πa2 C Smc = 32πa2 D Smc = 8πa2 Lời giải Từ SADC = a 2√3 2 DC = a ta có AD = a √ 3 AC = 2a Vì SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AC, suy SC = 2a cos 60◦ = 4a Cũng từ SA ⊥ (ABCD), ta có SA ⊥ DC, mà DC ⊥ AD nên DC ⊥ (SAD), suy DC ⊥ DS Chứng minh tương tự ta có BC ⊥ BS Từ mặt cầu đường kính SC mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Vậy Smc = πSC2 = 16πa2 60◦ S A D C B Chọn đáp án A  Câu 25 Người ta bỏ ba bóng bàn kích thước vào hộp hình trụ có đáy hình trịn lớn bóng bàn chiều cao ba lần đường kính bóng bàn Gọi Sb tổng diện tích ba bóng bàn, St diện tích xung quanh hình trụ Tính tỉ số Sb St A 1,2 B C 1,5 D Lời giải Gọi R bán kính bóng bàn ⇒ Sb = · 4πR2 = 12πR2 Diện tích xung quanh hình trụ là: St= 2πR · 6R = 12πR2 Vậy tỉ số Sb (73)Chọn đáp án B  Câu 26 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, tam giác SAB SAD tam giác vuông A Mặt phẳng (P ) qua A vng góc với cạnh bên SC cắt SB, SC, SD điểm M, N, P Biết SC = 8a, ’ASC = 60◦ Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp đa diện ABCDM N P A V = 24πa3 B V = 32√3πa3 C V = 18√3πa3 D V = 6πa3 Lời giải A B M C N D P S O Mặt phẳng (AM N P ) ⊥ SC ⇒ ’AN C = 90◦ (1), SC ⊥ AM Do (SAB) ⊥ BC ⇒ BC ⊥ AM ⇒ AM ⊥ (SBC) ⇒ AM ⊥ M C ⇒ ÷AM C = 90◦ (2) Tương tự ta có ’AP C = 90◦ (3) Do ABCD hình vng nên từ (1), (2), (3) suy AC đường kính mặt cầu ngoại tiếp đa diện ABCDM N P Xét tam giác SAC có sin 60◦ = AC SC ⇒ AC = 4√3a ⇒ R = 2√3a ⇒ V = 3π Ä 2√3aä3 = 32√3πa3. Chọn đáp án B  Câu 27 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A, B Biết SA ⊥ (ABCD), AB = BC = a, AD = 2a, SA = a√2 Gọi E trung điểm AD Tính bán kính mặt cầu qua đỉnh S, A, B, C, E A a √ 30 6 B a√6 3 C a√3 2 D a Lời giải Ta có ABCE hình vng cạnh a ⇒ CE ⊥ AE Vì SA ⊥ (ABCD) nên ’ SAC = ’SBC = ’SEC = 90◦ ⇒ S, A, B, C, E nằm mặt cầu đường kính SC Mà SA = a√2, AC = a√2 ⇒ SC = 2a ⇒ bán kính mặt cầu qua S, A, B, C, E a S I D C E A B (74)Câu 28 Cho tứ diện ABCD có AB = 4a, CD = 6a, cạnh cịn lại có độ dài a√22 Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A R = a √ 79 3 B R = 5a 2 C R = a√85 3 D R = 3a Lời giải Gọi M, N trung điểm AB, CD Từ giả thiết ta dễ chứng minh AB ⊥ (M CD); CD ⊥ (ABN ) ⇒ (M CD), (ABN ) mặt phẳng trung trực AB CD Lại có (ABN ) ∩ (M CD) = M N ⇒ O ∈ M N tâm cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Gọi bán kính R Xét tam giác ACD có AN2 = AC 2+ AD2 2 − CD2 4 ⇒ AN2 = 13a2 = BN2. A B C D N M O Xét tam giác CAB có CM2 = AC 2 + BC2 2 − AB2 4 ⇒ CM 2 = 18a2 = M B2. Xét tam giác M CD có M N2 = M C 2+ M D2 2 − CD2 = 9a 2 ⇒ M N = 3a. Lại có OA 2+ OB2 2 − AB2 4 = OM 2 ⇒ R2 = OM2 +AB 4 ; tương tự R 2 = ON2+ CD 4 Đặt OM = x; ON = y, (x > 0, y > 0) ta có hệ ®x 2+ 4a2 = y2+ 9a2 x + y = 3a Giải hệ ta x = 3a, y = 2 3a ⇒ R = √ x2+ 4a2 = a √ 85 Chọn đáp án C  Câu 29 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật AB = 3, AD = Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho A V = 10π 3 B V = 16π 3 C V = 20π 3 D V = 32π Lời giải Gọi H, M trung điểm AB, CD G trọng tâm tam giác SAB Mặt bên (SAB) tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy nên SH ⊥ (ABCD) Tam giác SAB cạnh nên SH = √ 2 ⇒ GH = √ 3 2 = OI Xét tam giác ABC có: AC = √22+ 32 = √13 ⇒ AO = BO = CO = DO = √ 13 B A S G C D M O H I Xét tam giác BOI có: BI =√BO2+ OI2 =… 13 + 3 4 = ⇒ R = BI = Thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD V = 3πR 3 = 32π Chọn đáp án D  (75)ngoại tiếp nội tiếp hình nón cho Tính V1 V2 A B C D 16 Lời giải Thiết diện qua trục hình nón tam giác ABC có độ dài cạnh với A đỉnh hình nón BC đường kính đáy hình nón Mặt phẳng (ABC) cắt mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp hình nón thành hai đường trịn có đường trịn ngoại tiếp có bán kính R nội tiếp có bán kính r tam giác ABC Ta có AM = √ 2 B I C A M R = 3 · AM = √ 3 3 r = 3 · AM = √ 3 6 Khi V1 V2 = R r3 = Chọn đáp án A  Câu 31 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = a√3 AD = a Đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCD A 5πa 3√5 6 B 5πa3√5 24 C 3πa3√5 25 D 3πa3√5 Lời giải Vì ABCD hình chữ nhật nên đường trịn ngoại tiếp tam giác BCD đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD Do khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCD khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Dễ thấy O tâm đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD Mặt phẳng trung trực SC cắt trục đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD I Do I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Tứ giác AOIM hình chữ nhật nên OI = AM = SA 2 = a 2 AO = AC 2 = a A B M C D I S O Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD R = IA =√OI2+ OA2 =   Å SA ã2 + OA2 = … a 2 + a2 = a √ 5 Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCD V = 4πR 3 = 4π Ç a√5 2 å3 = 5a 3π√5 6 Chọn đáp án A  Câu 32 Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ BC; BC ⊥ CD; CD ⊥ AB, biết AB = 5, BC = 4, CD = Bán kính khối cầu qua điểm A, B, C, D A R = √ 41 2 B R = 5√2 2 C R = 5 2 D R = (76)Gọi I trung điểm AD ®AB ⊥ BC AB ⊥ CD ⇒ AB ⊥ (BCD) ⇒ AB ⊥ BD (vì BD ⊂ (BCD)) ®CD ⊥ BC CD ⊥ AB ⇒ CD ⊥ (ABC) ⇒ CD ⊥ AC (vì AC ⊂ (ABC)) Hai tam giác ABD, ACD vuông B C suy IB = IC = IA = ID = AD 2 Suy I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD 4BCD vng C, BD =√BC2+ CD2 =√42+ 32 = 5. 4ABD vuông B, AD =√AB2+ BD2 =√52+ 52 = 5√2. Vậy bán kính mặt cầu R = AD 2 = 5√2 2 A I B C D Chọn đáp án B  Câu 33 (Thi thử L2, Quảng Xương 1, Thanh Hoá, 2018) [Vinh Vo, dự án (12EX6)][2H2K2-2] Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật Biết SA = AB = a, AD = 2a, SA ⊥ (ABCD) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD A 2a √ 39 13 B a√3 2 C 3a√3 4 D a√6 Lời giải Ta có SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AC ⇒ ’SAC = 90◦ (1) Ta có ®BC ⊥ SA BC ⊥ BA ⇒ BC ⊥ SB ⇒ ’SBC = 90◦ (2) Ta có ®CD ⊥ SA CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ SD ⇒ ’SDC = 90◦ (3) B S O A D C Từ (1), (2), (3), ta thấy điểm A, B, D nhìn đoạn SC góc vng Do vậy, điểm S, A, B, C, D thuộc mặt cầu đường kính SC Ta có SC =√SA2+ AC2 =√SA2 + AB2+ BC2 = a√6. Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD R = SC = a√6 Chọn đáp án D  Câu 34 (Thi thử L2, Quảng Xương 1, Thanh Hoá, 2018) [Vinh Vo, dự án (12EX6)][2H2K2-6] Cho lục giác ABCDEF có cạnh Quay lục giác quanh đường thẳng AD Tính thể tích V khối trịn xoay sinh A V = 128π B V = 32π C V = 16π D V = 64π (77)Khối tròn xoay sinh gồm hai khối nón (N ) khối trụ (T ) có thiết diện qua trục 4ABF, 4DCE hình chữ nhật BCEF Vì 4ABF = 4DCE ⇒ hai khối nón tích Ta V = 2VN + VT Gọi I, O trung điểm F B AD Ta có VN = 1 3AI · πF I = 3· · π(2 √ 3)2 = 8π Ta có VT = EF · π(F I)2 = 48π Vậy V = 64π I O B C E F A D Chọn đáp án D  Câu 35 Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy √6 chiều cao h = Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A 9π B 6π C 5π D 27π Lời giải Gọi H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC M, N trung điểm SA, BC Trong (SAN ), kẻ đường trung trực đoạn thẳng SA cắt SH I Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Ta có SH = 1; AB =√6; AH = AB √ 3 3 = √ SA =√AH2 + SH2 =√3. Ta có SI · SH = SM · SA ⇒ r = SI = SA 2SH = Mặt cầu có bán kính r = 2 nên diện tích mặt cầu 9π A B C H S M I N Chọn đáp án A  Câu 36 Cho hình lăng trụ tam giác có cạnh a cạnh bên b Tính thể tích khối cầu qua đỉnh lăng trụ A 18√3 » (4a2 + 3b2)3. B. π 18√3 » (4a2+ 3b2)3. C π 18√3 » (4a2 + b2)3. D. 18√2 » (4a2+ 3b2)3. (78)Giả sử hình lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 có O, O0 tâm hai đáy Khi tâm mặt cầu (S) ngoại tiếp hình lăng trụ trung điểm I đoạn OO0 Ta có AO = a √ 3 3 , OI = 2OO 0 = b 2, suy r2 = b 2 4 + a2 3 = 4a2+ 3b2 12 ⇒ r = √ 4a2 + 3b2 2√3 Thể tích khối cầu (S) V = 3π · r 3 = π 18√3 » (4a2+ 3b2)3. A C B A0 B0 C0 I O0 O M a b r Chọn đáp án B  Câu 37 (Đề GHK2, Sở GDĐT, Vũng Tàu 2017-2018) [Nhật Thiện - 12EX6][2H2K2-2] Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC tam giác vuông A Biết AB = AA0 = a, AC = 2a Gọi M trung điểm AC Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện M.A0B0C0 A 4πa2. B 2πa2. C 5πa2. D 3πa2. Lời giải Gọi O0, O trung điểm B0C0 BC Do tam giác A0B0C0 vng A0 có O0 trung điểm cạnh B0C0 nên O0 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác hay O0A = O0C0 = O0B0 Ta có M A0 = M C0 =√AM2+ AA02 = a√2 mà M A02+ M C02= A0C02 suy tam giác M A0C0 vuông cân M Gọi E trung điểm A0C0 suy E tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác M A0C0 Ta có EO0 k A0B0 ⇒ EO0 ⊥ A0C0 ⇒ EO0 ⊥ (M A0C0) Do EM = EA0 = EC0 ⇒ O0A0 = O0C0 = O0M0 suy O0 là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện M A0B0C0 A A0 E B C C0 O0 B0 M Tam giác A0B0C0 vuông A0 suy B0C0 =√A0C02+ A0B02 =p(2a)2+ a2 = a√5. Ta có bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện M.A0B0C0 R = O0C0 = a √ Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện M.A0B0C0 S = 4πR2 = 5πa2 Chọn đáp án C  Câu 38 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Gọi B1, C1 hình chiếu A SB, SC Tính theo a bán kính R mặt cầu qua điểm A, B, C, B1, C1 A R = a √ 3 6 B R = a√3 2 C R = a√3 4 D R = a√3 (79)Gọi B0, C0 trung điểm CA, AB I tâm tam giác ABC, BB0 ⊥ CA, CC0 ⊥ AB I giao điểm đường thẳng BB0, CC0 Tam giác AB1B vng B1 có C0 trung điểm AB nên C0A = C0B = C0B1 Dễ thấy CC0 ⊥ (SAB) I ∈ CC0 nên IA = IB = IB 1 (1) Tương tự ta có IA = IC = IC1 (2) Từ (1) (2) suy I tâm mặt cầu qua điểm A, B, C, B1, C1 Vậy R = IA = a √ 3 A C0 C C1 B1 I B S Chọn đáp án D  Câu 39 Cho hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón A R = √ 3 3 B R = √ 3 C R = 2√3 9 D R = √ Lời giải Gọi thiết diện qua trục tam giác SAB, gọi I tâm đường tròn đáy H tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón HI = 3AI = 1 3· √ = √ BI = 2BC = Suy BH = s Ç √ 3 å2 +Å 2 ã2 = √ 3 3 I A H S B Chọn đáp án B  Câu 40 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân A, mặt phẳng (SBC) vng góc với mặt phẳng (ABC) SA = SB = AB = AC = a, SC = a√2 Diện tích xung quanh mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bao nhiêu? A 2πa2 B πa2 C 8πa2 D 4πa2 Lời giải Gọi H trung điểm BC ta có AH ⊥ BC Do (ABC) ⊥ (SBC) ⇒ AH ⊥ (SBC) Đặt AH = x ⇒ HC =√a2− x2 = HB = SH ⇒ ∆SBC vuông S (do đường trung tuyến nửa cạnh đối diện) Suy BC =√SB2+ SC2 = a√3. Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ⇒ O ∈ AH ⇒ OA = OB = OC = OS Ta có R = RABC = AC sin B, sin B = AH AB = √ AS2 − SH2 AB = 1 Do R = a ⇒ Sxq = 4πR2 = 4πa2 C S O A (80)Chọn đáp án D  Câu 41 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tâm O Góc mặt bên mặt đáy 60◦ Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD A R = a √ 5 2 B R = 5a 12 C R = a√3 12 D R = 5a√3 12 Lời giải Gọi K trung điểm đoạn CD, ((SCD), (ABCD)) = SKO’ = 60◦ Nếu H tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác SCD tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD giao điểm I SO trục hình trịn ngoại tiếp tam giác SCD Tính SH = SC · SD · CD 4S∆SCD = 8a SO = a√3 2 Mặt khác, xét tam giác vng SOK có R SK = SH SO ⇒ R = 5√3a 12 B C A D K O S I H 60◦ Chọn đáp án D  Câu 42 Cho địa cầu có độ dài đường kinh tuyến 30◦Đơng 40πcm Độ dài đường xích đạo A 40π√3 cm B 40π cm C 80π√ 3 cm D 80π cm Lời giải Gọi M N đường kính xích đạo Gọi đường kinh tuyến 30◦ Đơng đường trịn đường kính AB có tâm I Góc ÷AOM = 30◦ hay ’AOE = 60◦ (với M, N, A, B, E đồng phẳng) suy tam giác AOE nên AI = R √ 2 (với R bán kính địa cầu) Theo giả thiết chu vi đường trịn đường kính AB 40π cm nên AI = 20 cm Suy R = 2AI√ = 40 √ 3 cm Khi độ dài đường xích đạo 2π · R = 80π√ 3 cm I A O E E B N M Chọn đáp án C  Câu 43 Cho tứ diện SABC có cạnh 2a Tính bán kính r mặt cầu tiếp xúc với tất mặt tứ diện A r = √ 6a 12 B r = √ 6a 8 C r = √ 6a 6 D r = √ 6a (81)Gọi G trọng tâm tam giác ABC Khi SG ⊥ (ABC) Ta có SG =√SA2− AG2 = s SA2− Ç 3 · AB · √ 3 å2 = √ 3a Ta có VS.ABC = VI.ABC+ VI.SAB+ VI.SBC+ VI.SAC ⇔VS.ABC = 4VI.ABC ⇔1 3· SG · S4ABC = · 3 · r · S4ABC ⇔r = SG 4 Vậy r = √ 6a A B C G I S Chọn đáp án C  Câu 44 Cho (S) mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện cạnh 2a Tính bán kính R mặt cầu (S) A R = a √ 6 4 B R = a√3 4 C R = a√6 2 D R = a Lời giải Gọi G trọng tâm tam giác ABC; I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC Khi đó, R = SI = SM.SA SG = SA2 2√SA2− AG2 = a√6 2 A B C G I S M Chọn đáp án C  Câu 45 Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có AB = AC = a, BC = a√3 Cạnh bên AA0 = 2a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AB0C0C A a B a√5 C a√3 D a√2 (82)Dễ thấy tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AB0C0C tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ cho Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Đường thẳng qua O vng góc với (ABC) cắt mặt phẳng trung trực AA0 I Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp Xét tam giác ABC, ta có cos A = AB 2+ AC2− BC2 2AB · AC = − 1 2 ⇒ bA = 120 ◦ ⇒ OA = a. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ R = IA =√OI2+ OA2 = a√2. A C I B A0 K B0 C0 O Chọn đáp án D  Câu 46 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh 1, mặt bên SAB tam giác cân S nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho biết ’ASB = 120◦ A V = √ 15π 54 B V = 4√3π 27 C V = 5π 3 D V = 13√78π 27 Lời giải A J H C M O B S I Gọi H trung điểm AB, (SAB) ⊥ (ABC), tam giác ABC tam giác SAB cân S nên SH ⊥ (ABC) CH ⊥ (SAB) Gọi I J tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tam giác SAB Dựng đường thẳng Ix k SH J y k CH Ix ⊥ (ABC) J y ⊥ (SAB) nên Ix trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC J y trục đường trịn ngoại tiếp tam giác SAB Khi Ix ∩ J y = O O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Ta có OJ = IH = √ 3 6 ; R(SAB)= SJ = SA · SB · AB ·1 2 · SA · SB · sin 120 ◦ = AB√ = √ 3 Vậy R = SO =… 3+ 1 12 = √ 15 6 nên V = 3πR 3 = 3π Ç √ 15 å3 = 5π (83)Chọn đáp án A  Câu 47 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 2a, tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD A R = a √ 21 3 B R = a√7 4 C R = a√7 2 D R = a√21 Lời giải Gọi H trung điểm AB Vì 4SAB vng góc với đáy nên SH đường cao hình chóp Ta có O = AC ∩ BD tâm mặt đáy, trọng tâm G tam giác SAB tâm mặt SAB, OH ⊥ (SAB) Gọi d trục mặt đáy, d0 trục mặt SAB Ta có d qua O, d k SH; d0 qua G, d0 k OH Trong (SHO), d ∩ d0 = I ⇒ ®IA = IB = IC = ID IA = IB = IS Suy I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD B G C D I S O H A d d0 Ta có IGHO hình chữ nhật nên OI = HG Khi R = IB =√OI2+ OB2 = … HG2+BD 4 = … HS2 + BD2 = … a2 + 2a 2 = a √ 21 Chọn đáp án A  Câu 48 Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD vng C, AB vng góc với mặt phẳng (BCD), AB = 5a, BC = 3a CD = 4a Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A R = 5a √ 2 3 B R = 5a√3 2 C R = 5a√2 2 D R = 5a√3 Lời giải Ta có CD ⊥ (ABC) ⇒ ’ACD = 90◦ = ’ABD Suy tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD trung điểm AD Mà BD =√BC2 + CD2 = 5a ⇒ AD =√AB2+ BD2 = 5√2a ⇒ R = AD = 5√2a A B C D I Chọn đáp án C  Câu 49 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có SA = a√2, AB = a Tính bán kính mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp S.ABCD A R = a √ 6 2 B R = a√2 2 C R = a √ 2 D R = a √ (84)Gọi O tâm đáy, S.ABCD hình chóp tứ giác nên SO ⊥ (ABCD), suy SO trục đường tròn ngoại tiếp ABCD Gọi M trung điểm SA, dựng trung trực M t SA (SAO) Gọi I giao điểm M t SO (SAO), ta chứng minh I tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD Do AC = AB√2 = a√2 = SA = SC nên tam giác SAC Vậy R = SI = 3SO = 3· SA√3 2 = a√6 O B C S A D I M Chọn đáp án D  Câu 50 Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đơi vng góc, SA = a, SB = a√2, SC = a√6 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC A S = 9πa 2 B S = 4πa 2. C S = 9πa2. D S = 9πa 4 Lời giải Do S.ABC có SA, SB, SC đơi vng góc nên bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC R = √ SA2+ SB2+ SC2 2 = 3a Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp S = 4πR2 = 9πa2. Chọn đáp án C  Câu 51 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B BA = BC = a Cạnh bên SA = 2a vng góc với mặt phẳng (ABC) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC A 3a B a √ 2 C a √ 6 D a √ Lời giải Gọi I trung điểm SC Vì 4SAC vng A nên IS = IA = IC Ta có: BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB ⇒ 4SBC vuông B ⇒ IC = IB = IS Suy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bán kính R = IB = 2BC = √ SA2+ AC2 = √ SA2+ AB2+ AC2 ⇒ R = 2 √ 4a2+ a2+ a2 = a √ 6 2 A B C S I Chọn đáp án D  Câu 52 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, cạnh bên hợp với đáy góc 60◦ Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD A V = √ 6πa3 27 B V = 4√6πa3 9 C V = 4√3πa3 27 D V = 8√6πa3 (85)Từ giả thiết suy tam giác SBD tam giác cạnh BD = a√2 Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD trọng tâm tam giác SBD Suy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD R = 3 · a √ 2 · √ 3 = a√6 Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD V = 3πR = √ 6πa3 27 A B C O D S 60◦ Chọn đáp án A  Câu 53 Một hộp bóng bàn hình trụ có bán kính R, chứa bóng cho bóng tiếp xúc với thành hộp theo đường tròn tiếp xúc với Quả tiếp xúc với hai nắp hộp Tính phần thể tích khối trụ mà thể tích bóng bàn khơng chiếm chỗ A 5πR3. B. 3πR 3 4 C D 10πR3 Lời giải Thể tích khối trụ Vtrụ = πR2h = πR2· 10R = 10πR3 Thể tích khối cầu có bán kính R Vcầu = · 3πR 3 = 20R 3 Thể tích bóng khơng chiếm chỗ V = Vtrụ − Vcầu = 10πR3 − 20πR3 3 = 10πR3 Chọn đáp án D  Câu 54 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác có cạnh a A 7πa 2 3 B 3πa2 7 C 7πa2 5 D 7πa2 Gọi I, I0 tâm đường tròn ngoại tiếp 4ABC 4A0B0C0 Tâm O mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ trung điểm II0 Ta có IO = a 2, AI = a√3 3 Suy R2 = AO2 = IO2+ IA2 = 7a 12 Vậy, diện tích mặt cầu S = 4πR2 = 7πa 2 3 A A0 C0 O B0 I0 C I (86)Câu 55 Cho khối chóp tam giác S.ABC có SA = 3, SB = 4, SC = SA, SB, SC đôi vng góc Khối cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC tích A 125 √ 2π3 3 B 125√2π 3 C 1000√2π 3 D 1000√2π3 3 Lời giải Gọi O trung điểm BC, dựng đường thẳng d qua O vng góc với mặt phẳng (SBC) Ta có d trục đáy Trung trực SA cắt d I, I tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABC Ta có BC =√SB2+ SC2 =√41. Ta có R2 = IS2 = SO2 + SE2 = 25 2 ⇒ R = √ 2 Suy V = 3πR 3 = 125 √ 2π A S E B I C O Chọn đáp án B  Câu 56 Một cốc nước có dạng hình trụ có chiều cao 12 cm, đường kính đáy cm Lượng nước cốc cao cm Thả vào cốc nước viên bi có đường kính cm Hỏi nước dâng cao cách mép cốc cen-ti-mét? (làm tròn sau dấu phẩy chữ số thập phân, bỏ qua độ dày cốc) A 2,67 cm B 2,75 cm C 2,25 cm D 2,33 cm Lời giải Thể tích viên bi Vbi = 4π 3 cm 3. Suy bi tích 16π 3 cm 3. Thể tích viên bi thả vào cốc nước thể tích nước cốc tăng lên Do đó, chiều cao nước tăng thêm 4Vbi 4π = 4 cm Vậy nước dâng cao cách mép cốc 12 − −4 3 ≈ 2,67 cm Chọn đáp án A  Câu 57 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi có cạnh 1, ’BAD = 60◦, (SCD) (SAD) vng góc với mặt phẳng (ABCD), góc SC mặt đáy (ABCD) 45◦ Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD A 7π 4 B 7π 2 C 7π 6 D 7π (87)Do ABCD hình thoi có ’BAD = 60◦ nên tam giác BDC Gọi M trung điểm BC, DM cắt OC H Dựng đường thẳng d vng góc với (BDC) H, mặt phẳng trung trực SD cắt d I Khi đó, I tâm mặt cầu ngoại tiếp SBCD Ta có DH = 3DM = 3· √ = √ 3 Tam giác SDC vuông cân D nên SD = suy IH = 2SD = 2 Tam giác IDH vuông H nên ID2 = IH2+ DH2 = 3 + = 7 12 Suy diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD S = 4πID2 = 7π 3 D A B C I M S O H 45◦ 60◦ Chọn đáp án D  Câu 58 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang cân, AB = 2AD = 2DC = 2BC = 2a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Gọi (α) mặt phẳng qua A vng góc với SB Mặt phẳng (α) cắt SB, SC, SD P , Q, R Tính thể tích V khối cầu qua điểm A, B, C, P , Q, R A V = 32πa 3 B V = 8πa3 3 C V = 4πa3 3 D V = 16πa3 Lời giải Dựa vào hình thang cân ABCD với kích thước cho tính AC = BD = a√3 suy tam giác ABC vuông C tam giác ABD vuông D hay C D nhìn AB góc 90◦ Có AP ⊥ SB suy P nhìn AB góc 90◦ Có BC ⊥ AC, BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ (SAC) ⇒ BC ⊥ AQ Mà AQ ⊥ SB ⇒ AQ ⊥ (SBC) ⇒ AQ ⊥ QB hay Q nhìn AB góc 90◦ Chứng minh tương tự BD ⊥ AD, BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ (SAD) ⇒ BD ⊥ AR Mà AR ⊥ SB ⇒ AR ⊥ (SBD) ⇒ AR ⊥ RB hay R nhìn AB góc 90◦ Vậy điểm C, P , Q, R nhìn AB góc vng hay A, B, C, P , Q, R thuộc mặt cầu đường kính AB suy R = AB 2 = a V = 4πa 3 3 S Q A D C R B P Chọn đáp án C  Câu 59 Một cốc nước hình trụ có chiều cao cm, đường kính cm Mặt đáy phẳng dày cm, thành cốc dày 0,2 cm Đổ vào cốc nước 120 ml nước sau thả vào cốc viên bi có đường kính cm Mặt nước cách mép cốc gần với giá trị A 3,67 cm B 3,08 cm C 2,28 cm D 2,62 cm (88)Thể tích viên bi V1 = · 4π 3 ≈ 20,944 Thể tích nước viên bi V ≈ 120 + 20,944 = 140,944 Chiều cao mực nước sau bỏ viên bi vào: h = V π · R2 = 140,944 π · 2,82 ≈ 5,722 Mặt nước cách mép cốc khoảng − 5,722 ≈ 2,28 cm Chọn đáp án C  Câu 60 Thể tích khối cầu giới hạn mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh A 16π√3 B 4π√3 C 16 3 π √ 3 D 3π √ 3 Lời giải Bán kính mặt cầu R = √ 3 = √ 3 Thể tích khối cầu V = 3πR 3 = 4π√3. Chọn đáp án B  Câu 61 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 30◦ Hãy tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC A 32 √ 3a3π 27 B 32a3π 27 C 8a3π 81 D 32a3π 81 Lời giải Gọi N trung điểm BC AN = a √ 3 2 ; AH = a√3 3 ; SH = AH · tan 30◦ = a 3 Dựng mặt phẳng trung trực SA cắt SA M , cắt SH J bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SJ Ta có R = SJ = SA 2SH = SH2+ AH2 2SH = 2a Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp V = 3π Å 2a 3 ã3 = 32a 3π 81 B H N C J M A S (89)Câu 62 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có AB = a, AD = 2a, AA0 = 3a Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ACB0D0 A R = a √ 14 2 B R = a√3 2 C R = a√3 4 D R = a√6 Lời giải Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ACB0D0 mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 Ta có BD0 =√AB2+ AD2 + AA02=√14a2 = a√14. Suy R = a √ 14 A B C A0 B0 C0 D0 D Chọn đáp án A  Câu 63 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp A √ 2 2 B √ 2(1 +√3) C √ 2(1 +√3) D √ 4(1 +√3) Lời giải Gọi M trung điểm cạnh BC, suy SM = √ 3 2 Gọi I tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD, suy I nằm đường thẳng SH với SH = √1 2 d(I; (ABCD)) = d(I; (SBC)) Gọi K hình chiếu vng góc I SM , suy IK ⊥ (SBC) Do đó, đặt IH = IK = x ≥ Ta có IK HM = SI SM ⇔ x = √ 2√− x ⇔ x = √ 2 2(√3 + 1) A D C B M S H K I Chọn đáp án B  Câu 64 Cho hình chóp S.ABC có AB = Hình chiếu S lên mặt phẳng (ABC) điểm H thuộc miền tam giác ABC cho ’AHB = 120◦ Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.HAB, biết SH = 4√3 A R =√5 B R = 3√5 C R =√15 D R = 2√3 (90)Gọi I trung điểm SH O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC OH Theo định lí sin ta có: AB sin ’AHB = 2OH ⇒ OH = 2 sin 120◦ = √ 3 Trong mặt phẳng (O0OH) dựng hình chữ nhật OHIO0 suy O0I đường trung trực cạnh SI tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABH O0 Xét tam giác SO0I vuông I có O0I = OH = √3, SI = SH 2 = √ 3 nên O0S =√O0I2+ SI2 =√15. Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.HAB R =√15 A O B C I H S O0 Chọn đáp án C  Câu 65 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 có cạnh a Tính diện tích mặt cầu qua sáu đỉnh hình lăng trụ A 7πa 3 B 49πa2 3 C 49πa2 144 D 7πa2 Lời giải Gọi G, G0 trọng tâm tam giác ABC A0B0C0, O trung điểm GG0 Vì ABC A0B0C0 tam giác nên G, G0 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác tương ứng Do ABC.A0B0C0 lăng trụ nên GG0 vng góc với đáy lăng trụ ⇒ GG0 trục đường tròn ngoại tiếp đáy ABC A0B0C0 ⇒ O cách đỉnh hình lăng trụ Ta có GC = 3· a√3 = a √ 3 Mà GG0 = a ⇒ GO = a 2 ⇒ OA = … a2 3 + a2 4 = a√7 2√3 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A0B0C0 S = 4π ·7a 2 12 = 7πa2 3 A0 C0 A G0 B0 B C G O Chọn đáp án A  Câu 66 Cho đường tròn (C ) điểm A nằm mặt phẳng chứa (C ) Có tất mặt cầu chứa đường trịn (C ) qua A? A Vô số B C D (91)Gọi O, r tâm bán kính đường tròn (C ) Xét đường thẳng d qua O vng góc với mặt phẳng chứa đường trịn (C ) Khi tâm I mặt cầu thuộc đường thẳng d thỏa mãn IA2 = IO2+r2. Ta tìm điểm I Vậy có mặt cầu chứa đường trịn (C ) điểm A nằm mặt phẳng chứa (C ) I O M A Chọn đáp án D  Câu 67 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2+ y2+ z2 − 2x + 4y − 4z − 16 = mặt phẳng (P ) : x + 2y − 2z − = Mặt phẳng (P ) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn có bán kính A r =√6 B r = 2√2 C r = D r = 2√3 Lời giải Ta có phương trình mặt cầu (S) x2+ y2+ z2− 2x + 4y − 4z − 16 = ⇔ (x − 1)2+ (y + 2)2+ (z − 2)2 = 25 Gọi I, R tâm bán kính mặt cầu ta có I (1; −2; 2) R = Hạ IH ⊥ (P ) HI = |1 · + · (−2) − · − 2| p12+ 22+ (−2)2 = Gọi r bán kính đường trịn r =√R2− IH2 =√52− 32 = 4. Chọn đáp án C  Câu 68 Cho tứ diện ABCD có đường cao AA1 Gọi I trung điểm AA1 Mặt phẳng (BCI) chia tứ diện ABCD thành hai tứ diện Tính tỉ số hai bán kính hai mặt cầu ngoại tiếp hai tứ diện A … 43 51 B 1 2 C 1 4 D … 48 153 Lời giải Gọi cạnh tứ diện a Gọi K trung điểm CD E = IK ∩ AB Qua A1 kẻ đường thẳng song song với IK cắt AB J Ta có BJ BE = BA1 BK = AE EJ = AI IA1 = Nên suy AE = 4AB = a 4 BE = 3a 4 Gọi M trung điểm BE, mặt phẳng (ABK) dựng đường trung trực BE cắt AA1 O Ta dễ dàng chứng minh O tâm mặt cầu ngoại tiếp EBCD Ta có BA1 = a√3 3 , AA1 = a√6 3 B I M J D K O C A1 A E Đặt BE = x, tam giác ABA1 đồng dạng với tam giác AOM nên suy AM AA1 = OM BH ⇒ OM = AM.BH AA1 =  a − x  · √1 (92)Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp EBCD ta suy R = OB =√OM2+ M B2 =   x2 + 1  a − x 2 2 Với x = 3a ta có R =   9a2 64 + 1 Å a − 3a ã2 = a… 43 128 Tương tự với x = a 4 ta có bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp EACD R0 =   a2 64+ 1  a − a 4 2 = a… 51 128 Do R R0 = … 43 51 Chọn đáp án A  Câu 69 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, mặt bên SAB tam giác cân nằm mặt phẳng vng góc với đáy, ’ASB = 120◦ Tính thể tích mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp A √ 21 a 3. B 28√21a3. C. 28 √ 21a3 27 D 4√21 a 3. Lời giải C D S I O B A H K • Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, O giao điểm đường chéo Ta có IO ⊥ (ABCD) • Gọi H trung điểm AB, K hình chiếu I SH Khi đó, IK ⊥ (SAB) nên K tâm đường trịn ngoại tiếp 4SAB • OH = 2AD = a SK = AB sin 120◦ = 2a √ 3 Ta có IS2 = IK2+ SK2 = OH2+ SK2 = a2+4a 2 3 = 7a2 3 ⇒ IS = a√7 √ • Ta có R = IS = a √ 3 nên Vcầu = 3πR 3 = 28 √ 21a3 27 Chọn đáp án C  Câu 70 Cho hình chóp S.ABCD có AB = SA = 3√2 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp cho A √ 33 4 B 7 4 C D (93)Lời giải Gọi O giao điểm AC BD Khi AO = AC 2 = AB√2 2 = √ Suy SO =√SA2− OA2 = 4. Gọi K trung điểm SA, lấy điểm I thuộc đoạn SO cho IK ⊥ SA, I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Ta có 4SKI v 4SOA ⇒ SI SA = SK SO ⇒ SI = SK · SA SO = 3√2 · √ 4 = 9 A K S B C O D I Chọn đáp án D  Câu 71 Cho nửa đường trịn đường kính AB = 6, điểm I nằm cung AB tam giác ABC vng cân C tạo thành hình phẳng (H) (như hình vẽ bên) Tính thể tích V vật thể trịn xoay quanh hình (H) quanh trục CI A 18π B 9π C 8π D 27π B A C I Lời giải Gọi V1, V2 thể tích nửa khối cầu đường kính AB = khối nón trịn xoay CAB với bán kính đáy R = AB 2 = 3, chiều cao h = CI 2 = Thể tích V vật thể trịn xoay quanh hình (H) quanh trục CI tổng thể tích V1, V2 Do V = V1+ V2 = 3πR 3+ 3πr 2h = 18π + 9π = 27π. Chọn đáp án D  Câu 72 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên hợp với đáy góc 60◦ Kí hiệu V1, V2 thể tích khối cầu ngoại tiếp, thể tích khối nón ngoại tiếp hình chóp cho Tính tỉ số V1 V2 A V1 V2 = 32 9 B V1 V2 = 32 27 C V1 V2 = 2 D V1 V2 = (94)Gọi O giao điểm AC BD, ta có SO ⊥ (ABCD) O tâm đường trịn ngoại tiếp đáy Ta có góc cạnh bên đáy 60◦ suy ’ SDO = 60◦ Ta có SO = OD tan ’ODS = a √ 2 2 · tan 60 ◦ = a √ SD = OD cos ’ODS = a√2 cos 60◦ = a √ 2 Gọi M trung điểm cạnh SD Ta có mặt phẳng trung trực (α) SD cắt SO I Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp bán kính R = IS = ID = IA = IB = IC A B I O C D M S Ta có 4SIM v 4SDO ⇒ SI SD = SM SO ⇒ SI = SD2 2SO = a√6 Khi thể tích khối cầu ngoại tiếp V1 = 4 3πR 3 = 3π · Ç a√6 3 å = 8a 3√6 27 π Thể tích khối nón ngoại tiếp V2 = 1 3πOD 2· SO = 3π · Ç a√2 2 å2 ·a √ 6 = a3√6 12 π Ta có V1 V2 = 8a3√6π 27 a3√6π 12 = 32 Chọn đáp án A  Câu 73 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cạnh a = cm, SA ⊥ (ABC) SA = 2a Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC A 8a 3π 3√3 cm 3. B. 4πa 3 3 cm 3. C 32π√3 cm3. D 16π√3 cm3. Lời giải Gọi E, M trung điểm SA, BC H trọng tâm tam giác ABC Kẻ IH k SA EI k AH ⇒ I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Có AH = 3.AM = √ 3 IH = AE = SA 2 = a = ⇒ R = IA =√AH2+ IH2 = 2√3 Thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC V = 4πR3 = 32π√3 cm3 C I A S E B M H Chọn đáp án C  (95)A 8R 3√3 3 B 8R3√3 9 C 16R3√3 3 D 4R3√3 Lời giải Gọi x, y, z > ba kích thước hình hộp chữ nhật Do hình hộp chữ nhật nội tiếp mặt cầu bán kính R nên x2+ y2 + z2 = 4R2 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có, 3px3 2 y2z2 ≤ 4R2 ⇔ 3 px2y2z2 ≤ 4R 3 ⇔ x 2y2z2 ≤ 64R 27 ⇔ xyz ≤ 8√3 9 R 3. Dấu ” = ” khi x = y = z = 2R√ 3 Vậy thể tích khối lập phương V =Å 2R√ 3 ã3 = 8R 3√3 Chọn đáp án B  Câu 75 Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD vng B, AC vng góc với mặt phẳng (BCD), AC = 5a, BC = 3a BD = 4a Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A 5a √ 3 2 B 5a√2 3 C 5a√3 3 D 5a√2 Lời giải Trong 4CBD vuông B gọi H trung điểm CD ⇒ HB = HC = HD 4ACD vuông C gọi I trung điểm AD ⇒ IA = IC = ID IH ⊥ (BCD) Từ IH trục đường tròn ngoại tiếp 4BCD hay IA = IB = IC = ID Suy I tâm mặt cầu ngoại tiếp ABCD bán kính IA 4BCD có CD =√BC2+ BD2 =p(3a)2+ (4a)2 = 5a. ⇒ 4ACD vuông cân C ⇒ AD = 5a√2 ⇒ IA = 5a √ 2 C M D I B H A Chọn đáp án D  Câu 76 Cho hình lăng trụ tam giác có cạnh đáy a, cạnh bên b Tính thể tích khối cầu giới hạn mặt cầu qua đỉnh hình lăng trụ A 18√3 » (4a2 + 3b2)3. B. π 18√3 » (4a2+ 3b2)3. C π 18√3 » (4a2 + b2)3. D. π 18√2 » (4a2+ 3b2)3. (96)Xét lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 Gọi I trung điểm CC0 Gọi E trọng tâm tam giác ABC Dựng hình chữ nhật ECIO Suy O tâm mặt cầu ngoại tiếp ABC.A0B0C0 Ta có EC = a √ 3 Ta có AI = OE = b 2 Ta bán kính mặt cầu R = OC =√OE2+ EC2 = √ 4a2+ 3b2 2√3 Thể tích khối cầu V = 3πR 3 = π 18√3·p(4a 2+ 3b2)3. A0 B0 C0 A B C E O Chọn đáp án B  Câu 77 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a.Mặt bên SAB tam giác vuông cân S vng góc với mặt phẳng (ABCD) Tìm diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD A 8πa2 B 9πa2 C 4πa2 D 2πa2 Lời giải Bán kính đường trịn ngoại tiếp mặt đáy rd= a √ 2 Bán kính đường trịn ngoại tiếp mặt bên vng góc với đáy rb = a Độ dài giao tuyến mặt bên đáy GT = AB = 2a R = … a2+ 2a2−4a 4 = a √ 2 S = 4πR2 = 4π · 2a2 = 8πa2. D E C S A B H ϕ Chọn đáp án A  Câu 78 Cho hình chóp S.ABC có mặt đáy ABC tam giác vuông B AB = a, BC = a√3; cạnh bên SA vng góc với mặt đáy, SA = 2a Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC A 16πa2. B 12πa2. C 32πa2. D 8πa2. Lời giải Gọi H trung điểm AC, 4ABC vng B nên HA = HB = HC Trong mặt phẳng (SAC) dựng HI k SA (I ∈ SC) Nên IH ⊥ (ABC) dẫn đến IA = IB = IC Mặt khác IH đường trung bình tam giác SAC nên IS = IC Vậy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Ta có R = SC 2 = √ SA2+ AC2 2 = √ SA2+ AB2+ BC2 2 = a √ Từ đó, diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC S = 4πR2 = 8πa2. C S I A K B H (97)Câu 79 Một kiện hàng hình lập phương cạnh a chứa bóng hình cầu có đường kính a 4 Hỏi kiện hàng chứa tối đa bóng? A 16 B 122 C 32 D 64 Lời giải Xếp bóng vào đáy thùng: cạnh hình lập phương có độ dài gấp lần đường kính bóng nên xếp · = 16 bóng Chiều cao lần đường kính, suy xếp tất cả: 16 · = 64 bóng Chọn đáp án D  Câu 80 Cho khối tứ diện cạnh a Thể tích V khối cầu ngoại tiếp khối tứ diện A V = πa 3√6 4 B V = πa3√6 8 C V = πa3√3 4 D V = πa3√3 Lời giải A C O B H D I K Gọi O tâm tam giác BCD, ta có AO ⊥ (BCD) Suy AO trục tam giác BCD Trong mặt phẳng (ABO), kẻ đường trung trực AB cắt AO I, ta có I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Gọi H trung điểm AB, ta có 4AHI v 4AOB. Suy IA AB = AH AO hay IA = AB · AH BO = AB2 2AO Gọi K trung điểm BC, ta có BK = a √ 2 OA = 3BK = 3· a√3 = a√3 Tam giác AOB vuông O nên AO2 = AB2− OB2 = a2− a 2 3 = 2a2 3 ⇒ AO = a√6 3 Suy IA = a 2 2 ·a √ 6 = a √ 6 Vậy thể tích khối cầu V = 3πIA 3 = πa 3√6 Chọn đáp án B  Câu 81 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B BC = a Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABC) Gọi H, K hình chiếu vng góc A lên cạnh bên SB SC Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp A.HKCB A √ 2πa3 3 B πa3 6 C √ 2πa3. D. πa 3 2 (98)Ta có AH ⊥ SB (giả thiết) (1), BC ⊥ AB (giả thiết) (2), BC ⊥ SA (do SA ⊥ (ABC)) (3) Từ (2) (3) suy BC ⊥ (SAB) ⇒ AH ⊥ BC (4) Từ (1) (4) suy AH ⊥ (SBC) ⇒ AH ⊥ HC ⇒ ∆AHC vuông H Gọi I trung điểm AC Do AHC, AKC, ABC tam giác vng có chung cạnh huyền AC nên IA = IB = IC = IH = IK = R (R bán kính khối cầu ngoại tiếp hình chóp A.HKCB) A C B S H I K a Do tam giác ABC vng cân B có BC = a nên R = 2AC = 1 √ a2+ a2 = a √ 2 Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp A.HKCB V = 3πR = 3π Ç a√2 å3 = √ 2πa3 3 Chọn đáp án A  Câu 82 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác có cạnh đáy a cạnh bên 2a A R = 3a √ 2 2 B R = a√3 2 C R = 2a√2 3 D R = 2a√3 Lời giải Gọi M, M0 trung điểm BC, B0C0 G, G0 trọng tâm ∆ABC, ∆A0B0C0 Lấy I trung điểm GG0 ⇒ IA = IB = IC = IA0 = IB0 = IC0 Suy I tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A0B0C0 Ta có AM = a √ 2 ⇒ AG = 3AM = a√3 3 IG = 2AA = a. Suy bán kính mặt cầu R = IA =√AG2+ IG2 = 2a √ 3 A C B A0 C0 B0 M M0 G G0 I Chọn đáp án D  Câu 83 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông B, AB = 2a, BC = a√2, cạnh bên SA vng góc với mặt đáy SA = a√5 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC A 11πa2. B 22πa2. C 16πa2. D. 11 3 πa 2. (99)Gọi I trung điểm SC ta có I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Tính SI = 2SC = √ 11a 2 bán kính mặt cầu ngoại tiếp Từ ta có diện tích mặt cầu ngoại tiếp 11πa2. A C I B S Chọn đáp án A  Câu 84 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A Biết SA ⊥ (ABC) SA = 1, AB = 2, AC = Tính bán kính r mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC A r =√14 B r = 2√14 C r = D r = √ 14 Lời giải Đây tứ diện vuông nên bán kính mặt cầu ngoại tiếp r = √ 12+ 22+ 32 = √ 14 Chọn đáp án D  Câu 85 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = a√3, AD = a Đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCD A 5πa 3√5 6 B 5πa3√5 24 C 3πa3√5 25 D 3πa3√5 Lời giải Gọi O giao điểm AC BD Từ O dựng đường thẳng song song với SA cắt SC trung điểm I SC Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCD Mặt khác: OI = SA = a 2, OC = AC 2 = a Khi R = IC =√OC2+ OI2 = a √ Vậy thể tích khối cầu V = 3π Ç a√5 å3 = 5πa 3√5 S B C A D O I Chọn đáp án A  Câu 86 Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD cạnh a√2 A R = a√3 B R = a √ 2 C R = 3a 2 D V = 3a√2 (100)Gọi M, N trung điểm CD AB Gọi O trọng tâm 4BCD Trong 4ABO dựng N I ⊥ AO (I ∈ AO), suy R = AI Ta có AN = a √ 2 , BM = a√6 2 , BO = 2BM 3 = a√6 , AO =√AB2− BO2 = 2a √ 3 Vì 4AN I ∼ 4AOB nên AI AB = AN AO Do AI = AB · AN AO = a√3 2 Vậy R = a√3 2 B N I D M C O A Chọn đáp án B  Câu 87 Cho mặt cầu tâm O, bán kính R = Mặt phẳng (P ) nằm cách tâm O khoảng cắt mặt cầu theo đường trịn có chu vi A 4√2π B 6√2π C 3√2π D 8√2π Lời giải  Mặt phẳng (P ) cắt mặt cầu tâm O theo đường tròn tâm H bán kính r = HA  Ta có OH = d(O, (P )) = 1; OA = R =  Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vng HOA ta có r = HA =√OA2− OH2 =√9 − = 2√2 O R = H A Vậy chu vi đường tròn thiết diện là: 2πr = 4√2π Chọn đáp án A  Câu 88 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC cạnh 3a, cạnh bên SC = 2a SC vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC A 32πa 9√3 B 36πa 3. C. 13πa 3√13 6 D 32πa3 Lời giải Tam giác ABC nên CG = 3· 3a√3 = a √ Bán kính R = CO =   Å SC ã2 + CG2 = 2a. Thể tích khối cầu V = 3πR 3 = 32πa 3 S C A O B G Chọn đáp án D  Câu 89 Cho hình lập phương có cạnh a Tính diện tích S mặt cầu nội tiếp hình lập phương theo a A S = 4πa2. B S = πa2. C S = 2πa2. D S = 3πa (101)Lời giải Theo tính chất hình lập phương, mặt cầu nội tiếp có bán kính r = a Vậy S = 4πr2 = πa2 A0 B0 C0 D0 A B C D Chọn đáp án B  Câu 90 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, SA vuông góc với mặt phẳng đáy Khi tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp điểm nào? A Trung điểm SC B Trung điểm AC C Điểm A D Đỉnh S Lời giải Gọi M trung điểm AC Suy M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi ∆ đường thẳng qua M vuông góc với mặt phẳng (ABC) Khi ∆ k SA Trong mặt phẳng (SA, ∆) ≡ (SAC) kẻ đường trung trực d đoạn thẳng SA cắt ∆ I Suy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Khi I trung điểm SC Thật vậy, Vì ∆ qua trung điểm M AC song song với SA nên ∆ qua trung điểm SC Lại có d ⊥ SA, AC ⊥ AC nên d k AC Mà d qua qua trung điểm SA nên d qua trung điểm AC A J S B C I M Chọn đáp án A  Câu 91 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy cạnh bên a, tâm đáy hình chóp O Gọi (S) mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Mệnh đề sau sai? A Tâm (S) O B (S) có bán kính R = a √ 3 C Diện tích (S) 2πa2 D Thể tích khối cầu V = πa 3√2 (102)Vì O tâm hình vng ABCD cạnh a nên OA = OB = OC = OD = a √ 2 Xét tam giác SAO vuông O, ta có SO = √SA2− OA2 = à a2− Ç a√2 å2 = a √ 2 Vậy O cách điểm S, A, B, C, D hay O tâm mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp S.ABCD a a B C S O A D Bán kính mặt cầu (S) R = a √ 2 Thể tích khối cầu (S) V = 3π · Ç a√2 å3 = πa 3√2 Chọn đáp án B  Câu 92 (Đề HK1, Sở Hà Nam 2018,12EX-5) [Nhật Thiện, ID6][2H2K2-2] Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Biết SA vng góc với mặt phẳng (ABC) SA = a Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện theo S.ABC theo a A R = a √ 7 4 B R = a … 12 C R = a√7 3 D R = a√7 12 Lời giải Gọi G trọng tâm tam giác ABC E, M trung điểm SA, BC Qua G kẻ đường thẳng d song song SA, qua E dựng mặt phẳng trung trực đoạn SA cắt d I Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Ta có bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC S A E B G I M C R = IA =√AE2+ AG2 =   Å SA ã2 +Å 3AM ã2 = s a 2 + Ç a√3 3 å2 = a… 12 Chọn đáp án B  Câu 93 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh 2a Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD A V = 64 √ 2πa3 3 B V = 8πa 2. C V = 32πa 3 D V = 8√2πa3 (103)Gọi O = AC ∩ BD Các tam giác BAC, DAC, SBC vuông nên OA = OB = OC = OD = OS Hay O tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD Suy bán kính R = OA = a√2 Thể tích V = 3πR 3 = √ 2πa3 D C S A B O Chọn đáp án D  Câu 94 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Mặt bên (SAB) tam giác vuông S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính diện tích S mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD A S = 2πa2 B S = 8πa2 C S = πa2 D S = 4πa2 Lời giải Gọi M trung điểm AB O = AC ∩ BD Khi OM ⊥ (SAB) ⇒ OM trục đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông SAB ⇒ OS = OA = OB Mặt khác ABCD hình vng nên OA = OB = OC = OD Hay O tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD Bán kính R = OA = a √ 2 ⇒ S = 4πR 2 = 2πa2. B C D O S M A Chọn đáp án A  Câu 95 Cho hình chóp S.ABCD có mặt bên SAB tam giác vuông cân S nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy, ABCD hình chữ nhật có AB = a, AD = a√3 Tính diện tích S mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD A S = 3πa 4 B S = πa 2. C S = 4πa2. D S = 3πa2. Lời giải Gọi M trung điểm AB, suy OM ⊥ AB Do (SAB) ⊥ (ABCD) ⇒ OM ⊥ (SAB) ⇒ OM trục đường tròn ngoại tiếp SAB Có ®OA = OB = OC = OD OA = OB = OS ⇒ OA = OB = OC = OD = OS nên O tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD bán kính R = OA = AC = a Vậy diện tích mặt cầu S = 4πa2 B C M A S D O (104)Câu 96 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B; SA vng góc với mặt phẳng (ABC) AB = Một mặt phẳng (α) qua A vng góc với SC cắt đoạn SC M cắt đoạn SB N Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ACM N A 108π B 36π C 27π D 72π Lời giải Ta có ®BC ⊥ AB BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AN Mặc khác SC ⊥ (α) nên SC ⊥ AN Do AN ⊥ (SBC), suy AN ⊥ SB Gọi H, K trung điểm AC, AB Do tam giác ABC vuông cân B nên BH ⊥ AC HK đường trung bình tam giác ABC nên HK k BC, suy HK ⊥ AB Hơn SC ⊥ (α) nên SC ⊥ AM A S B C M N H K Vậy đường thẳng BH trục tam giác M AC, đường thẳng HK trục tam giác ABN H = HK ∩ BH nên H tâm mặt cầu qua điểm A, B, C, M, N mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ACM N Độ dài bán kính mặt cầu độ dài BH R = BH = 2AC = 1 √ AB2+ AC2 = √ 2 · 62 = 3√2. S = 4πR2 = 4π(3√2)2 = 72π Chọn đáp án D  Câu 97 Cho tứ diện ABCD có cạnh 2a Tính bán kính r mặt cầu tiếp xúc với tất mặt tứ diện A r = √ 6a 8 B r = √ 6a 6 C r = √ 6a 12 D r = √ 6a (105)A B K D O C H I Gọi H, K hình chiếu A D xuống mặt (BCD) (ABC), AH ∩ DK = O Khi O tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện Ta có DH = 3p(2a) 2− a2 = √2a 3; IK = a √ 3; DK = 2a√6 3 Ta có 4DOH v 4DIK ⇒ OH DH = IK DK ⇒ OH = DH · IK DK ⇒ r = OH = a√6 6 Chọn đáp án B  Câu 98 Mặt cầu tâm I bán kính R = 11cm cắt mặt phẳng (P ) theo giao tuyến đường tròn qua ba điểm A, B, C Biết AB = 8cm, AC = 6cm, BC = 10cm Tính khoảng cách d từ điểm I đến mặt phẳng (P ) A d =√21cm B d =√146cm C d = 4√6cm D d = 4cm Lời giải Tam giác ABC vuông A nên rABC = BC 2 = 5cm suy d (I; (ABC)) = √ R2− r2 = 4√6. Chọn đáp án C  Câu 99 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 2a, mặt bên tạo với đáy góc 60◦ Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A S = 25πa 3 B S = 32πa2 3 C S = 8πa2 3 D S = a2 12 (106)A B C D H S O Kẻ OH ⊥ CD, ta có CD ⊥ SO ⇒ CD ⊥ (SHO) ⇒ ’SHO = 60◦ Ta có OH = AD 2 = a ⇒ SO = a tan 60 ◦ = a√3. Mặt khác SD =√SO2+ OD2 = a√5. Áp dụng công thức tính nhanh R = SD 2SO = 5a 2√3 ⇒ S = 4πR 2 = 25πa 3 Chọn đáp án A  Câu 100 Cho mặt cầu có bán kính a, ngoại tiếp hình nón Thiết diện qua trục hình nón tam giác Thể tích V hình nón A V = 8πa 3. B V = 4πa 3. C V = 8πa 3. D V = 4πa 3. Lời giải Gọi O tâm mặt cầu thiết diện qua trục hình nón tam giác SAB Khi O tâm tam giác SAB Gọi H trung điểm AB, ta có SH = 2SO = 3a 2 AH = SH tan 30◦ = a √ Vậy V = 3πAH 2 × SH = 3π · 3a2 · 3a = 3 8πa 3. I S C (107)ĐÁP ÁN 1 D A B A D B C C C 10 D 11 B 12 A 13 C 14 B 15 D 16 A 17 A 18 A 19 A 20 C 21 C 22 A 23 D 24 A 25 B 26 B 27 D 28 C 29 D 30 A 31 A 32 B 33 D 34 D 35 A 36 B 37 C 38 D 39 B 40 D 41 D 42 C 43 C 44 C 45 D 46 A 47 A 48 C 49 D 50 C 51 D 52 A 53 D 54 A 55 B 56 A 57 D 58 C 59 C 60 B 61 D 62 A 63 B 64 C 65 A 66 D 67 C 68 A 69 C 70 D 71 D 72 A 73 C 74 B 75 D 76 B 77 A 78 D 79 D 80 B 81 A 82 D 83 A 84 D 85 A 86 B 87 A 88 D 89 B 90 A (108)4 Mức độ vận dụng cao Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2√2, cạnh bên SA vng góc với mặt đáy Mặt phẳng (α) qua A vng góc với SC cắt cạnh SB, SC, SD điểm M, N, P Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp tứ diện CM N P A V = 108π 3 B V = 64√2π 3 C V = 125π 6 D V = 32π Lời giải Phương pháp: + Chứng minh: O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện CM N P (với O tâm hình vng ABCD) + Thể tích khối cầu có bán kính r là: V = 3πr 3. Cách giải: A D B C O S M N P I Gọi O tâm hình vng ABCD ⇒ O trung điểm AC Ta có:            CD ⊥ AD CD ⊥ SA ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ AP Mặt khác, ® SC ⊥ AP (do SC ⊥ (α)) CD ⊥ AP ⇒ AP ⊥ (SCD) ⇒ AP ⊥ CP Vậy ∆AP C vuông P ⇒ OA = OC = OP Tương tự, ta có: ∆AM C vng M ⇒ OA = OC = OM Lại có, SC ⊥ AN (do SC ⊥ (α)) ⇒ ∆AN C vuông taị N ⇒ OA = OC = ON ⇒ OA = OC = OP = OM = ON ⇒ O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện CM N P Bán kính: R = OA = AB√ 2 = 2√2 √ 2 = Thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện CM N P là: V = 3π.2 3 = 32π Chọn đáp án D  Câu Cho tứ diện ABCD có mặt ABC BCD tam giác cạnh 2, hai mặt phẳng (ABD) (ACD) vng góc với Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A 2√2 B √2 C √ 3 D √ Lời giải Phương pháp: (109)Dựa vào tính chất tam giác cân, hai tam giác nhau, tỉ số lượng giác để chứng minh đoạn thẳng từ tìm tâm mặt cầu Cách giải: A B D H C Các tam giác ABC BCD có cạnh ⇒ BD = DC = BC = AB = AC = Nên tam giác CAD cân C tam giác BAD cân B Lấy H trung điểm AD ⇒ CH⊥AD (do tam giác CAD cân C) Ta có      (CAD) ⊥(BAD) (CAD) ∩ (BAD) = AD CH⊥AD, BH ⊂ (CAD) ⇒ CH⊥(BAD) ⇒ CH⊥BH (1) Mặt khác, ta có ∆CAD = ∆BAD (c − c − c) nên BH = CH (2) Từ (1) (2) suy tam giác CHB vng cân H có cạnh huyền CB = Suy BC2 = BH2+ CH2 ⇔ 2BH2 = 22 ⇒ BH = CH =√2. Xét tam giác CAH vng H có cos ’ACH = CH AC = √ 2 ⇒ ’ACH = 45 ◦. Lại thấy CH phân giác góc ’ACD (vì ∆CAD cân C) nên ’ACH = ’HCD = 45◦ ⇒ ’ACD = 90◦ Hay tam giác CAD vuông cân C ⇒ CH = 2AD = HA = HD (3) Vì ∆CAD = ∆BAD (c − c − c) nên ∆ABD vuông cân B ⇒ BH = AD 2 = HD = HA (4) Từ (3) (4) suy HA = HB = HC = HD =√2 hay H tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bán kính mặt cầu √2 Chọn đáp án B  Câu Trong không gian Oxyz, lấy điểm C tia Oz cho OC = Trên hai tia Ox, Oy lấy hai điểm A, B thay đổi cho OA + OB = OC Tìm giá trị nhỏ bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O.ABC? A √ 6 4 B √ 6 C √ 3 D √ Lời giải Phương pháp  Dựng tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC  Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp (110)Giả sử A (a; 0; 0) , B (0; b; 0) ⇒ OA = |a| , OB = |b| Tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc Gọi M , N trung điểm AB OC Ta có ®OC⊥OA OC⊥OB ⇒ OC⊥ (OAB) Qua M dựng đường thẳng song song với OC, qua N dựng đường thẳng song song với OM Hai đường thẳng cắt I ∆OAB vuông O ⇒ M tâm đường tròn ngoại tiếp ∆OAB ⇒ IO = IA = IB I ∈ IN ⇒ IO = IC ⇒ IO = IA = IB = IC; C I B M O N A ⇒ I tâm mặt cầu ngoại tiếp O.ABC Ta có OM = 2AB = 1 √ a2+ b2. R = OI =√IM2+ OM2 =   c2 + a2+ b2 = √ a2+ b2+ c2 pa2+ (1 − a2) + 1 2 = √ 2a2− 2a + 2 = p2 (a 2− a + 1) 2 =   Å a2− 2.a.1 + + ã =   Å a − ã2 +3 2 ≥ √ Vậy Rmin = √ 6 4 ⇔ a = 2 ⇒ b = Chọn đáp án A  Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A, AB = cm, AC =√3 cm Tam giác SAB, SAC vuông B C Khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC tích 5√5 6 cm 3 Tính khoảng cách từ C tới (SAB). A √ 3 2 cm B √ 2 cm C √ 4 cm D √ cm Lời giải Gọi I trung điểm SA Tam giác SAB, SAC vuông B, C ⇒ IS = IA = IB = IC ⇒ I tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC Gọi H trung điểm BC Vì ∆ABC vng A; ⇒ H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ⇒ IH⊥ (ABC) Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC Theo ta có: 3πR 3 = √ 5π ⇔ R 3 = √ 5 = √ 125 8 ⇔ R = √ 5 ; ⇒ IS = IA = IB = IC = √ S H A B I C (111)Xét tam giác vng IAH có: IH =√IA2 − AH2 =… 4 − = S∆ABC = 2AB.AC = · · √ = √ ⇒ VI.ABC = 1 3IH · S∆ABC = 3· 1 2· √ Ta có: SI ∩ (ABC) = A ⇒ d (S, (ABC)) d (I, (ABC)) = SA IA = ⇒ VS.ABC VS.IBC = ⇒ VS.ABC = 2VI.ABC = · √ 3 12 = √ Xét tam giác vng SAB có IB = √ 5 ⇒ SA = 2IB = √5 ⇒ SB =√SA2− AB2 = ⇒ S ∆SAB = 2 · · = Ta có VS.ABC = 3d (C, (SAB)) S∆SAB ⇒ d (C, (SAB)) = 3VS.ABC S∆SAB = 3 · √ 3 1 = √ Chọn đáp án A  Câu Cho hình nón có đường cao bán kính đáy Trong tất khối trụ nằm hình nón có đáy thuộc mặt đáy hình nón đường trịn đáy cịn lại thuộc hình nón, thể tích khối trụ lớn A 4π√3 B 9π 2 C 27π D 4π Câu Có bìa hình chữ nhật ABCD với AB = 6, BC = Trên cạnh AB, CD lấy điểm I, N cho AI = CN = Gọi (l) đường cong bao gồm: cung tròn AM tâm I với ’AIM = 90◦ (như hình vẽ bên), đường gấp khúc M N B Thể tích khối tròn xoay quay (l) quanh cạnh AB A 28π 3 B 34 3 π C 10π D 20π A B 2 C D N M I 5 Lời giải Gọi H hình chiếu vng góc N AB, gọi K giao điểm CM AB Gọi V1 thể tích nửa khối cầu tạo cung trịn AM , V2 thể tích khối nón tạo tam giác BN H, V3 thể tích khối nón cụt tạo hình thang IM N H Ta có V1 = 3π.1 (112)V2 = 3π.2 2.1 = 3π Gọi V4 thể tích khối nón tạo tam giác KHN , gọi V5 thể tích khối nón tạo tam giác KIM Ta có V4 = 1 3π.2 2.8 = 32 π V5 = 1 3π.1 2.4 = 3π Suy V3 = V4− V5 = 28 π Thể tích khối cần tính V = V1+ V2 + V3 = 34 π Chọn đáp án B  Câu Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh bên SA, SB, SC đơi vng góc với Biết thể tích hình chóp S.ABC a 3 12, tính bán kính r mặt cầu nội tiếp hình chóp A r = 2a 3 +√3 B r = 2a C r = 2a 3Ä3 + 2√3ä D r = a 3Ä3 + 2√3ä Lời giải A C S H I B G O K Vì hình chóp S.ABC hình chóp tam giác nên ta có SA = SB = SC mà cạnh bên SA, SB, SC vng góc với đơi nên ta có VS.ABC = 6.SA.SB.SC = 6.SA 3 Do đó: a 6 = SA3 6 ⇒ SA = a Gọi r bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp thì: VS.ABC = 1 3r (SSAB + SSBC+ SSCA+ SABC) Với SSAB = SSBC = SSCA = a2 2, M ABC đều, AB = BC = CA = √ a2+ a2 = a√2 Do đó: SABC =Äa√2ä2 · √ = a2√3 Gọi G, H, I, K hình chiếu vng góc O lên (ABC) , (SAB) , (SBC) , (SCA) Ta có OG = OH = OI = OK = r Lại có: VS.ABC = VO.ABC + VO.SAB+ VO.SBC + VO.SCA = r 3(3S∆SAB+ S∆ABC) Suy ra: r = 3 ·a 6 · a 2 2 + a2√3 2 = a 3 +√3 (113)Câu Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm SB SD Biết AM vng góc với CN Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD A √2a 10 B 3a √ 10 C a √ 10 D 4a √ 10 Lời giải Gọi O trung điểm AC, E trung điểm CM , F trung điểm AN Khi OE đường trung bình 4ACM nên OE k AM Tương tự OF k CN nên suy OE ⊥ OF Gọi J giao điểm SE BC, kẻ M P k SJ Khi ta có P trung điểm BJ J trung điểm P C, hay BP = P J = J C = a 3 Tương tự, gọi K giao điểm SF AD, AK = a Từ suy KJ qua O EF cắt SO L S B D O A J P C M E N K F L Ta có EJ M P = M P SJ = ⇒ EJ SJ = Tương tự KF SK = 4 nên EF k KJ Suy EF KJ = SE SJ = 3 4 ⇒ EF = 4KJ Mà KJ =√KP2+ P J2 = a √ 10 3 ⇒ EF = a√10 4 Ta có L trung điểm EF nên OL = 2EF = a√10 8 Lại có OL SO = EJ SJ = 1 4 ⇒ SO = a√10 2 S d B C O A D H N M I Gọi H trung điểm SA Trong mặt phẳng (SAC) dựng đường trung trực d SA I giao điểm d SO Khi mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD có tâm I, bán kính R = SI Ta có SA =√SO2+ OA2 =… 5a 2 2 + a2 2 = a √ 3 ⇒ SH = a √ 3 Vì 4SHI v 4SOA ⇒ SI SA = SH SO ⇒ SI = SA · SH SO = a√3 · a √ 3 a√5 √ = √3a 10 Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD R = √3a 10 Chọn đáp án B  Câu Cho ba hình cầu tiếp xúc ngồi đơi tiếp xúc với mặt phẳng Các tiếp điểm hình cầu mặt phẳng lập thành tam giác có cạnh 4, Tích bán kính ba hình cầu A 12 B C D (114)Gọi I, J, K tâm ba hình cầu A, B, C hình chiếu I, J, K mặt phẳng cho Đặt IA = R1, J B = R2, KC = R3 bán kính ba hình cầu (khơng tính tổng qt giả sử R1 > R2 > R3) Trong hình thang vng IABJ kẻ J H ⊥ IA ta có J H = AB IH = R1− R2 Trong tam giác IJ H vng ta có IJ2 = J H2+ IH2 ⇔ (R1+ R2)2 = AB2+ (R1− R2)2 ⇔ R1R2 = AB2 A B C I J K H Tương tự ta có R2R3 = BC 4 , R1R3 = AC2 4 ⇒ R1R2R3 = AB · BC · CA 8 = Chọn đáp án B  Câu 10 Cho tứ diện ABCD có AB = 2, CD = cạnh lại Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A 1156π 31 B 1156π 93 C 1280π 31 D 1280π 93 Câu 11 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho A V = 5π 3 B V = 20√15π 27 C V = 4√3π 27 D V = 5√15π 54 Lời giải Gọi O, G, I tâm mặt cầu ngoại tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trung điểm AB Mặt phẳng (SAB) vng góc với (ABC) SI ⊥ (ABC), O tâm mặt cầu ngoại tiếp suy OG ⊥ (ABC), O thuộc (SCI), mặt khác tam giác SCI cân I O hai điểm S, C suy O trọng tam tam giác SCI C K S A H I G B O Gọi K trung điểm IC SO = 3SK = 2 √ SI2 + IK2 = √ 15 3 Vậy thể tích khối cầu V = 3π · SO 3 = 3π · Ç √ 15 å3 = 20 √ 15π 27 Chọn đáp án B  (115)O A d = + √ 6 3 B d = 7 2 C d = 3 + 2√6 3 D d = 4√6 Lời giải Gọi A, B, C tâm ba viên bi tiếp xúc với bàn, D tâm viên vi thứ tư Khi ABCD tứ diện cạnh cm Do AI = AB √ 3 = 2√3 3 cm Suy ta có DI = √AD2− AI2 = √ 3 cm Khoảng cách từ O đến mặt bàn tổng cách khoảng cách từ O đến D, khoảng cách từ D đên I khoảng cách từ I đến bàn Từ ta có d = DI + 2r = + √ D B C I A Chọn đáp án A  Câu 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD với AB = a, AD = a√2 Hình chiếu S lên (ABCD) trung điểm H BC, SH = a √ 2 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BHD A a √ 2 2 B a√5 2 C a√17 4 D a√11 Lời giải B S M C H D I A E Gọi M trung điểm SH, E tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BHD I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BHD Ta có HD = … a2+a 2 = a√3 √ 2 , BD = √ (116)S∆BHD = a2√2 2 − a2√2 4 = a2√2 4 ⇒ HE = BH · HD · BD 4S∆BHD = a√2 2 · a√3 √ · a √ 4 · a 2√2 4 = 3a 2√2 Vì HM IE hình chữ nhật nên M I = HE = 3a 2√2 ⇒ SI = … a2 8 + 9a2 8 = a√5 2 Chọn đáp án B  Câu 14 Cho tứ diện ABCD có độ dài cạnh a, (S) mặt cầu tiếp xúc với sáu cạnh tứ diện ABCD, M điểm thay đổi (S) Tính tổng T = M A2+ M B2 + M C2+ M D2. A 2a2. B. 3a 2 8 C a 2. D 4a2. Lời giải Mặt cầu (S) tiếp xúc với cạnh tứ diện ABCD, nên đường kính (S) độ dài đường vng góc chung cặp cạnh bên EF với E, F trung điểm AB, CD Khi DE = a √ 2 suy EF = √ DE2− DF2 = a √ 2 Do bán kính mặt cầu (S) R = a √ Gọi H tâm tam giác ABC, G giao điểm EF DH Khi G trọng tâm tứ diện ABCD cóGA+# » GB+# » GC+# » GD =# » #»0 DG = 4DH = a√6 4 DH = √ AD2− AH2 = a √ F C G A B E D H T =ÄM G +# » GA# »ä2 +ÄM G +# » GB# »ä2+ÄM G +# » GC# »ä2+ÄM G +# » GD# »ä2 = 4M G2+ 4GA2 = 2a2 Chọn đáp án A  Câu 15 Cho khối chóp S.ABCD có đáy hình vng, tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD có diện tích 84π cm2 Khoảng cách hai đường thẳng SA BD A √ 21 7 cm B 3√21 7 cm C √ 21 7 cm D 6√21 cm Lời giải Đặt AB = x Gọi H trung điểm AB, O = AC ∩ BD K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB Dựng d đường thẳng qua O d ⊥ (ABCD), suy d song song SH Trong mặt phẳng (SH, d), gọi d0 đường thẳng qua K vng góc SH; I = d ∩ d0 Dễ chứng minh I tâm mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp SABCD có bán kính r = IA Khi đó: B T A E C D I K S H O (117)Kẻ Ay k BD, HE ⊥ Ay (H ∈ Ay) HT ⊥ SE (T ∈ SE) Dễ dàng chứng minh được: d (SA, BD) = d (BD, (SAy)) = d (B, (SAy)) = 2d (H, (SAy)) = 2HT Tam giác EAH tam giác vuông cân E nên: EH = AH√ = 3 √ 2 Tính SH = √ 2 AB = √ 3 Vậy d (SA, BD) = 2HT = 2√SH · HE SH2 + HE2 = 6√21 Chọn đáp án D  Câu 16 Tính thể tích lớn khối chóp tứ giác nội tiếp mặt cầu bán kính A 49 3 B 12π C 32π 3 D 64 Lời giải A M C I D B H S Giả sử hình chóp S.ABCD nội tiếp mặt cầu (S) có tâm I bán kính R = 3, đường cao hình chóp SK Gọi H hình chiếu I lên mp(ABCD) tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD Dễ thấy đường cao hình chóp lớn K trùng H I nằm đoạn SH Tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn tâm H có diện tích lớn ABCD hình vng Vậy để khối chóp S.ABCD tích lớn cần có S.ABCD khối chóp Qua trung điểm M SA kẻ đường thẳng vng góc với SA cắt SH I, I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Đặt AB = x SH = h Xét hai tam giác đồng dạng 4SM I 4SHA có SM SH = SI SA ⇒ R = SI = SM · SA SH = SA2 2SH ⇒ SA 2 = 6SH. Xét tam giác vuông SHA có SA2 = SH2 + AH2 = SH2+AB 2 = h 2+ x 2 2 Ta có VABCD = 1 3· SH · SABCD = 3hx 2 = −2 3h 3+ 4h2. Xét hàm số V = −2 3h (118)h V0 V −∞ +∞ − + − 0 64 64 3 Vậy, thể tích lớn khối chóp tứ giác 64 Chọn đáp án D  Câu 17 Hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = 2a Mặt bên (SAB), (SAC) tam giác vng B, C Biết thể tích khối chóp S.ABC 3a 3 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC A R = a√2 B R = a C R = 3a 2 D R = √ 3a Lời giải Gọi M, H trung điểm AS BC Do 4ABS, 4ACS vuông B C nên M B = M C = M A = M S hay M tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABC Lại có 4ABC vng A nên H tâm đường trịn ngoại tiếp 4ABC, M H ⊥ (ABC) Ta có SABC = a2 ⇒ d(S, (ABC)) = 3VS.ABC SABC = 2a Mà SM ∩ (ABC) = A nên d(S, (ABC)) d(M, (ABC)) = SA M A = ⇒ M H = d(M, (ABC)) = 2d(S, (ABC)) = a Vậy bán kính R = M A =√AH2+ M H2 = 3a 2 M A C S B H Chọn đáp án C  Câu 18 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, AB = BC = a√3, góc ’ SAB = ’SCB = 90◦ khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) a√2 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC A 2πa2 B 16πa2 C 8πa2 D 12πa2 (119)Gọi O trung điểm SB Ta có ®OA = OS = OB OC = OS = OB ⇒ OS = OA = OB = OC Suy O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC, bán kính R = 2SB Gọi I trung điểm AC ⇒ d(A; (SBC)) = 2d(I; (SBC)) Ta có 4SAB = 4SCB ⇒ SA = SC ⇒ SI ⊥ AC (1) Mặt khác, BI ⊥ AC (2) A B C S I K H O Từ (1) (2) suy CI ⊥ (SIB) (3) Gọi K điểm thuộc SB cho CK ⊥ SB, H điểm thuộc CK cho IH ⊥ CK (4) Ta có ®BS ⊥ CK BS ⊥ CI( (3)) ⇒ BS ⊥ IH(5) Từ (4) (5) suy IH ⊥ (SBC) ⇒ d(I; (SBC)) = IH = a √ 2 Ta có: IC = IB = AB √ 2 = a√6 2 , CH = √ IC2− IH2 = s Ç a√6 2 å2 + Ç a√2 å2 = a; 4CHI ∼ 4CIK ⇒ CK CI = CI CH ⇒ CK = CI2 CH = 6a2 4a = 3 2a Suy BK =√BC2− CK2 =   (a√3)2−Å 2a ã2 = a √ Ta có 4BKC ∼ 4BCS ⇒ BK BC = BC BS ⇒ BS = BC2 BK = 3a2 a√3 2 = 2√3a ⇒ R = 2BS = a √ 3 Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Smc = 4πR2 = 4π(a √ 3)2 = 12πa2 Chọn đáp án D  Câu 19 Cho mặt cầu (S) có bán kính R khơng đổi, hình nón (H) nội tiếp mặt cầu (S) Thể tích khối nón (H) V1 thể tích phần cịn lại khối cầu V2 Giá trị lớn V1 V2 bằng A 81 32 B 76 32 C 32 81 D 32 76 (120)Gọi I, S tâm mặt cầu đỉnh hình nón Gọi H tâm đường trịn đáy hình nón AB đường kính đáy Ta có V1 V2 + = V V − V1 Do để V1 V2 đạt GTLN V1 đạt GTLN TH 1: Xét trường hợp SI ≤ R Khi thể tích hình nón đạt GTLN SI = R Lúc V1 = πR3 3 TH 2: SI > RI, I nằm tam giác SAB hình vẽ Đặt IH = x(x > 0) Ta có V1 = 3πHA 2·SH = 3π(R 2−x2)(R+x) = π 6(2R−2x)(R+x)(R+x) ≤ π 6 Å 4R 3 ã3 = 32π 81 R 3. Dấu xảy x = R Khi V1 V2 = V V − V1 − = 4 3πR 3 4 3πR 3− 32 81πR 3 − = 19 I H S B A Chọn đáp án D  Câu 20 Cho hình lăng trụ đứng có chiều cao h khơng đổi, đáy tứ giác ABCD với A, B, C, D di động Gọi I giao điểm hai đường chéo AC BD tứ giác Cho biết IA·IC = IB ·ID = h2 Tính giá trị nhỏ bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ cho A 2h B h √ 2 C h D h√3 Lời giải Bổ đề Cho đường tròn (O; r), dây cung AB Nếu I nằm dây cung AB IA · IB = r2− OI2. Thật vậy, kẻ đường kính AC Khi # » IA ·IB =# » IA ·# » IC =# » ÄIO +# » OA# »ä ÄIO +# » OC# »ä =ÄIO +# » IA# »ä ÄIO −# » IA# »ä= OI2− r2. Do IA · IB = r2− OI2. O A C B I Quay trở lại toán, theo giả thiết IA · IC = IB · ID nên tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; r) Gọi O0 tâm đường tròn nội tiếp đáy lại, tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ trung điểm S OO0 Suy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ R =√SO2+ OA2 =… h 2 4 + r 2. Áp dụng bổ đề ta có R =   h2 4 + IA · IC + OI =   5h2 4 + OI ≥ h √ Đẳng thức xảy I ≡ O hay tứ giác ABCD hình chữ nhật Vậy giá trị nhỏ bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ cho h √ Chọn đáp án B  (121)Một khối đa diện H tạo thành cách từ khối lập phương cạnh 3, ta bỏ khối lập phương cạnh “góc” hình vẽ Gọi S khối cầu tích lớn chứa H tiếp xúc với mặt phẳng (A0B0C0D0), (BCC0B0), (DCC0D0) Tìm bán kính S A + √ 3 3 B − √ 3 C √ 3 3 D √ D0 A0 C0 B 0 B C D Lời giải D0 A01 A0 C0 B10 B0 B C C1 B1 D D01 D1 I C10 A I Y X A0 C10 C0 Gọi hình lập phương cắt AB1C1D1.A01B 1C 0 1D 0 1 Dễ thấy C 1 nằm đoạn AC và C0C10 = 3AC 0 = 2√3. Gọi I, r tâm bán kính mặt cầu S Vì mặt cầu S tiếp xúc với mặt phẳng (A0B0C0D0), (BCC0B0), (DCC0D0) nên I cách mặt phẳng Suy I nằm đoạn C0C10 Khi mặt cầu S cắt tia IC10 điểm X Để mặt cầu S nằm H IX ≤ IC10 Ta lại có IC0 = r√3 nên suy r√3 + r = IC0+ IX ≤ IC0+ IC10 = C0C10 = 2√3 Suy r ≤ −√3 Vậy bán kính lớn S −√3, đạt I cách C0 khoảng 3Ä√3 − 1ä Chọn đáp án B  Câu 22 Cho cốc có dạng hình nón cụt viên bi có đường kính chiều cao cốc Đổ đầy nước vào cốc thả viên bi vào, ta thấy lượng nước tràn nửa lượng nước đổ vào cốc lúc ban đầu Biết viên bi tiếp xúc với đáy cốc thành cốc Tìm tỉ số bán kính miệng cốc đáy cốc (bỏ qua độ dày cốc) A √3 B C + √ 2 D 1 +√5 Lời giải Gọi R, r bán kính miệng cốc bán kính đáy cốc, h chiều cao cốc, V1 V2 thể tích viên bi thể tích cốc, ta có R ≥ r V1 = 3· π · Å h ã3 , V2 = π 3 · h · R (122)Theo giả thiết ta có V2 = 2V1, ta có π 3 · h · (R 2+ r2+ Rr) = 3· π · Å h ã3 ⇔ R2+ r2+ R · r = h2. Mặt khác h2 = (R + r)2− (R − r)2 nên suy R2− 3Rr + r2 = 0. Khi đóÅ R r ã2 − 3Å R r ã + = ⇒     R r = 3 +√5 R r = 3 −√5 ⇒ R r = 3 +√5 2 (do R ≥ r) Chọn đáp án C  Câu 23 Trong tất khối chóp tứ giác nội tiếp mặt cầu có bán kính Tính thể tích V khối chóp tích lớn A V = 144 B V = 576√2 C V = 576 D V = 144√6 Lời giải C O M H A D B S Giả sử hình chóp S.ABCD hình chóp tứ giác nội tiếp mặt cầu tâm O bán kính 9, có đường cao SH = x (0 < x < 18) Gọi SM đường kính mặt cầu Khi tam giác SAM vuông A ⇒ AH2 = SH · M H = x(18 − x). Do tam giác ABH vuông cân H nên AB2 = 2AH2 = 2x(18 − x). Vì ABCD hình vng nên SABCD = AB2 = 2x(18 − x) Vậy thể tích khối chóp S.ABCD V = 3 · x · 2x(18 − x) = − 3x 3+ 12x2. Xét hàm số y = −2 3x 3+ 12x2 trên khoảng (0; 18). Ta có y0 = −2x2+ 24x ⇒ y0 = ⇔ x = 12. Dễ thấy hàm số đồng biến khoảng (0; 12) nghịch biến (12; 18) Vậy max x∈(0;18)y = y(12) = 576 nên khối chóp tích lớn V = 576 Chọn đáp án C  Câu 24 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B Biết AB = BC = a√3, ’ SAB = ’SCB = 90◦ khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) a√2 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC A 16πa2 B 12πa2 C 8πa2 D 2πa2 (123)Kẻ AL ⊥ SB ⇒ CL ⊥ SB Suy SB ⊥ (ALC) Kẻ AH ⊥ LC ⇒ AH ⊥ (SBC) Suy AH = d(A, (SBC)) = a√2 AC = a√6, HC =√AC2 − AH2 = 2a. Và BH =√AB2− AH2 = a. Đặt LM = x, ta có: S4LAC = 1 2 · LM · AC = 2· AH · LC Suy ra: LC = x√3 Ta có: BL2 = BM2− LM2 =… 3a 2 − x và LH2 = BH2 − BL2 = x2− a 2 A C S H L B M Ta có: LH = HC − LC ⇔ … x2− a 2 = 2a − x √ 3 ⇔        0 < x < √2a x2− a 2 2 = 4a 2− 4√3ax + 3x2 Hay                0 < x < √2a     x = √ 3a x = √ 3a ⇔ x = √ 3a 2 Suy ra: AL = 3a 2 ⇒ SA = 3a ⇒ SB = √ 3a Gọi I trung điểm SB, 4SAB, 4SBC vng nên ta có IS = IB = IA = IC, suy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Suy R = SB = a √ 3 Từ ta có Smặt cầu = 4πR2 = 12πa2 Chọn đáp án B  Câu 25 Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính mặt phẳng (P ) Khoảng cách từ O đến (P ) Từ điểm M thay đổi (P ) kẻ tiếp tuyến M A, M B, M C tới (S) với A, B, C tiếp điểm Biết mặt phẳng (ABC) qua điểm I cố định Tính độ dài OI A √3 B √ 2 C 1 2 D (124)Đặc biệt hóa, ta giả sử M trùng với hình chiếu S O lên mặt phẳng (P ) Khi tiếp tuyến di động qua M M A, M B, M C, mặt phẳng (ABC) mặt phẳng cố định cắt đường thẳng SO điểm I cố định Do điểm I điểm cố định mà toán nêu Thật với kì M mặt phẳng (P ) ta kẽ tiếp M A, M B, M C tới (S) với A, B, C tiếp điểm Gọi I giao điểm mặt phẳng (ABC) với đường thẳng OS H giao điểm OM với mặt phẳng (ABC) C B H M O A S I Khi ta có OM ⊥ (ABC) nên OM ⊥ IH Mặt khác OS ⊥ (P ) nên OS ⊥ SM Do tứ giác SM IH nội tiếp có hai cạnh bên cắt O nên ta có OI · OS = OH · OM Hơn tam giác OM A vng A có đường cao AH nên OA2 = OH · OM = Khi OI = không đổi mà I nằm đường thẳng OS cố định nên I điểm cần tìm OI có độ dài Chọn đáp án D  Câu 26 Cho mặt cầu (S) bán kính R Hình nón (N ) thay đổi có đỉnh đường trịn đáy thuộc mặt cầu (S) Thể tích lớn khối nón (N ) A 32πR 81 B 32R3 81 C 32πR3 27 D 32R3 27 Lời giải Giả sử mặt cầu (S) có tâm O bán kính R hình vẽ, hình nón có đỉnh F đường trịn đáy tâm I bán kính IA Xét mặt phẳng qua tâm mặt cầu cắt hình nón theo giao tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AF B đường kính EF hình vẽ Đặt F I = x suy EI = 2R − x bán kính đường trịn đáy hình nón r = AI =√F I · EI =px(2R − x) I A O E F B Khi thể tích khối nón (N ) là: V = 3π · AI 2· F I = 3πx 2(2R − x) = 6πx 2(4R − 2x) ≤ 6π Å x + x + 4R − 2x ã3 = 32πR 81 Vậy thể tích lớn khối nón 32πR 3 81 Chọn đáp án A  Câu 27 Cho hình cầu (S) tâm I, bán kính R khơng đổi Một hình trụ có chiều cao h bán kính đáy r thay đổi nội tiếp hình cầu Tính chiều cao h theo R cho diện tích xung quanh hình trụ lớn A h = R√2 B h = R C h = R 2 D h = R√2 (125)Ta có R = IA bán kính mặt cầu, r = OA bán kính hình trụ, h = OO0 = 2IO chiều cao hình trụ Xét 4IOA ta có R2 = r2+h 4 ⇒ r =   R2− h 4 Mà diện tích xung quanh hình trụ S = 2πrh = 2πh   R2−h 4 Xét hàm số f (h) = h √ 4R2 − h2 = » h2(4R2− h2) R2, dấu xảy h =√2R I O O0 A B A0 B0 Chọn đáp án A  Câu 28 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC đều, đường cao SH với H nằm 4ABC 2SH = BC, (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC) góc 60◦ Biết có điểm O nằm đường cao SH cho d(O; AB) = d(O; AC) = d(O; (SBC)) = Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho A 256π 81 B 125π 162 C 500π 81 D 343π 48 Lời giải Kẻ HM ⊥ BC M, HN ⊥ AB N, HP ⊥ AC P, OK ⊥ SM K Khi AB ⊥ (SHN ) ⇒ AB ⊥ ON ⇒ d(O; AB) = ON AC ⊥ (SHP ) ⇒ AC ⊥ OP ⇒ d(O; AC) = OP BC ⊥ (SHM ) ⇒ BC ⊥ OK ⇒ d(O; (SBC)) = OK Theo giả thiết ⇒ ON = OP = OK = ÷SM H = 60◦ Vì ON = OP ⇒ HN = HP ⇒ H thuộc đường phân giác góc A tam giác ABC Mặt khác HM ⊥ BC ⇒ A, H, M thẳng hàng M trung điểm BC Gọi BC = x ⇒ SH = BC 2 = x Ta có: 4SKOv 4SHM ⇒ SO SM = OK HM ⇒ SO = SM · OK HM = SM · SM · cos 60◦ = ⇒ OH = x − 60◦ A B C S M H N P O E I K Xét 4SHM ⇒ HM = SH · cot 60◦ = x 2√3 = x√3 ⇒ HM = 3AM ⇒ H trọng tâm 4ABC ⇒ S.ABC hình chóp ⇒ N H = HM = x √ 6 ⇒ OH 2+ N H2 = ON2 ⇔x − 2 +x 2 12 = ⇒ 4x2 − 24x + 36 = ⇔ (2x − 6)2 = ⇔ x = 3. Ta có: SH = 2, AH = x√3 3 = √ 3 ⇒ SA2 = SH2+ AH2 = 4+ = 21 (126)Ta có: 4SEI v 4SHA ⇒ SE SH = SI SA ⇒ SI = SA2 2SH = 21 4.3 = 7 4 ⇒ R = Thể tích khối cầu ngoại tiếp S.ABC V = 3πR = 3π · Å 4 ã3 = 343π 48 Chọn đáp án D  Câu 29 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = 2a tam giác ABC có góc A 120◦ BC = 2a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo a A a √ 3 2 B 2a√3 3 C a√6 6 D a√6 Lời giải Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta có R = b2 2√b2− r2, b cạnh bên r bán kính đường trịn ngoại tiếp đáy Ta có r = BC sin ’BAC = 2a 2 sin 120◦ = 2a √ 3 Vậy R = (2a) 2 2   (2a)2−Å 2a√ ã2 = a√6 2 S R B A C I O r Chọn đáp án D  Câu 30 Bạn Hồn có bìa hình trịn hình vẽ, Hồn muốn biến hình trịn thành hình phễu hình nón Khi Hồn phải cắt bỏ hình quạt trịn AOB dán hai bán kính OA OB lại với (diện tích chỗ dán nhỏ khơng đáng kể) Gọi x góc tâm hình quạt trịn dùng làm phễu Tìm x để thể tích phễu lớn A √ 6 3 π B π 2 C π 4 D π h r A O x B R R A, B (127)Gọi R bán kính hình trịn Khi phễu hình nón có độ dài đường sinh R, bán kính đáy r = xR 2π, chiều cao h =√R2− r2. Thể tích phễu: V = 3πr 2√R2− r2 = 3√2π » r2.r2.(2R2− 2r2) ≤ 9√3R 3 V lớn r2 = 2R2− 2r2 Khi x = √ 6 π h r A O x B R R A, B Chọn đáp án A  Câu 31 Cho tứ diện ABCD có AD⊥(ABC), đáy thỏa mãn điều kiện cot A + cot B + cot C 2 = BC AB · AC + CA BC · BA + AB CA · CB· Gọi H, K hình chiếu vng góc A lên DB, DC Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp A.BCHK A 4π B 8π C 10π D 16π Lời giải Đặt BC = a, AC = b, AB = c, R bán kính đường trịn ngoại tiếp 4ABC Ta có cot A + cot B + cot C 2 = 1 Å cos A sin A + cos B sin B + cos C sin C ã = R Å b2+ c2− a2 abc + a2+ c2− b2 abc + a2+ b2− c2 abc ã = R Å a2 + b2+ c2 abc ã Theo giả thiết suy R Å a2+ b2+ c2 abc ã = a c · b + b a · c + c b · a = a2+ b2 + c2 abc ⇒ R = Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, A0 điểm đối xứng A qua O nên AA0 đường kính đường trịn (O, R) Suy ’ ABA0 = ’ACA0 = 90◦. (1) Ta lại có ®A 0 C⊥AC A0C⊥DA ( DA⊥(ABC)) ⇒ A0C⊥(DAC) ⇒ A0C⊥AK Mà AK⊥DC nên AK⊥(DCA0) ⇒ AK⊥KA0 hay ÷AKA0 = 90◦. (2) Chứng minh tương tự ta có ÷AHA0 = 90◦. (3) A C A0 K H (128)Từ (1), (2) (3) suy điểm A, B, C, H, K thuộc mặt cầu tâm O, bán kính R = Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp A.BCHK S = 4πR2 = 16π. Chọn đáp án D  Câu 32 Cho mặt cầu tâm O, bán kính 2a Mặt phẳng (α) cố định, cách O khoảng a, (α) cắt mặt cầu theo đường tròn (T ) Trên (T ) lấy điểm A cố định Một đường thẳng qua A, vng góc với (α) cắt mặt cầu điểm B 6= A Trong mặt phẳng (α), góc vng xAy quay quanh điểm A cắt đường trịn (T ) hai điểm C D không trùng với A Khẳng định sau đúng? A Diện tích tam giác BCD đạt giá trị nhỏ √21a2. B Diện tích tam giác BCD đạt giá trị lớn √21a2. C Diện tích tam giác BCD đạt giá trị lớn 2√21a2 D Do mặt phẳng (α) không qua O nên không tồn giá trị lớn giá trị nhỏ diện tích tam giác BCD Lời giải Đường trịn (T ) có bán kính r = p4a2− d2(O; (α)) = √4a2− a2 = a√3 Gọi I tâm đường trịn (T ), ta có OIAM hình chữ nhật (M trung điểm AB) nên AB = 2AM = 2OI = 2a Kẻ BH ⊥ CD = H, ta có AH ⊥ CD Vì CAD = 90◦ nên I trung điểm CD CD = 2a√3 Ta có SBCD = 1 2BH · CD = a √ 3 ·√AB2+ AH2 ≤ a√3 ·√4a2+ AI2 =√21a2 Dấu xảy khi H ≡ I ⇔ CD ⊥ IA = I Vậy diện tích tam giác BCD đạt giá trị lớn bằng√21a2. Chọn đáp án B  Câu 33 Trong mặt phẳng (P ) cho tam giác OAB cân O, OA = OB = 2a, ’AOB = 120◦ Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng (P ) O, lấy hai điểm C D nằm hai phía mặt phẳng (P ) cho tam giác ABC vuông cân C tam giác ABD Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A 3a √ 2 2 B a√2 3 C 5a√2 3 D 5a√2 Lời giải Gọi H trung điểm AB ⇒ OH = a AB = 2√3a Xét tam giác CAB vng cân C có CH = a√3 CA = a√6 Xét tam giác COH có CO =√CH2− OH2 = a√2. Xét tam giác DAB có DA = AB = 2a√3 DH = … DA2−AB 4 = 3a Xét tam giác DOH có DO =√DH2− OH2 = 2√2a ⇒ CD = CO + OD = 3a√2 Vì      CD ⊥ AB OH ⊥ AB H trung điểm AB ⇒ (CDH) mặt phẳng trung trực AB ⇒ 4ACD = 4BCD Xét 4ACD có AD2+ AC2 = 18a2 = CD2 ⇒ ’CAD = ’CBD = 90◦ ⇒ CD đường kính mặt cầu ngoại tiếp ABCD ⇒ bán kính mặt cầu ngoại tiếp ABCD √ 2a D B C A H O Chọn đáp án A  Câu 34 Cho khối cầu tâm O bán kính cm Mặt phẳng (P ) cách O khoảng x cm cắt khối cầu theo đường trịn (C) Một khối nón có đỉnh thuộc mặt cầu, đáy hình trịn (C) Biết khối nón tích lớn nhất, giá trị x bao nhiêu? A cm B cm C cm D cm (129)M O0 O 6 cm r x P S Gọi đỉnh khối nón S, tâm hình trịn O0 Ta có S, O, O0 thẳng hàng, đặt OO0 = x (0 ≤ x ≤ 6) Để khối nón tích lớn O nằm S O0, h = SO0 = SO + OO0 = x + Bán kính hình trịn (C) r =√62− x2 =√36 − x2. Diện tích hình tròn (C) S = πR2 = π(36 − x2). Thể tích khối nón V = 3Sh = 3π(36 − x 2)(x + 6) = 3π(x + 6) 2(6 − x). Xét hàm số f (x) = (x + 6)2(6 − x) Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có f (x) = (x + 6)2(6 − x) = · x + · x + 2 · (6 − x) ≤ · Öx + 6 2 + x + 2 + − x è3 ⇔ f (x) ≤ ·Å 12 ã3 = 44 Dấu “ = ” xảy x + 2 = − x ⇔ x = Vậy khối nón tích lớn x = Chọn đáp án A  Câu 35 Cho hình trụ (T ) có đáy đường trịn tâm O O0, bán kính 1, chiều cao hình trụ Các điểm A, B nằm hai đường tròn (O) (O0) cho góc (OA, O0B) = 60◦ Tính diện tích tồn phần tứ diện OAO0B A S = + √ 19 2 B S = 4 +√19 4 C S = 3 + 2√19 2 D S = 1 + 2√19 2 (130)Ta có: SAOO0 = AO · OO0 2 = 1, SBOO0 = BO0· OO0 = Kẻ đường sinh AA0, ta có AA0 = OO0 = Mà (O0A0, O0B) = (OA, O0B) = 60◦ nên A0B = O0B = Suy ra: AB =√A0A2+ A0B2 =√5, OB =√O0O2+ O0B2 =√5. Lấy M trung điểm OA, BM ⊥ AO Ta có OM = 2 ⇒ BM = √ BO2 − OM2 = √ 19 2 , suy SAOB = AO · BM 2 = √ 19 Lại có O0A =√A0A2+ A0O02=√5 nên ta có S ABO0 = √ 19 Từ dẫn tới diện tích tồn phần tứ diện OAO0B + √ 19 A0 O A B O0 Chọn đáp án A  Câu 36 Hình nón gọi nội tiếp mặt cầu đỉnh đường trịn đáy hình nón nằm mặt cầu Tìm chiều cao h khối nón tích lớn nội tiếp mặt cầu bán kính R cho trước A h = 3R 2 B h = 5R 3 C h = 5R 4 D h = 4R Lời giải Xét mặt cầu (O; R) hình nón có đáy hình trịn tâm A nội tiếp mặt cầu hình vẽ Đặt h = CA, x = AB Khi đó: OC = |h − R| Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác OAB ta có: (h − R)2+ x2 = R2 ⇔ x2 = 2hR − h2. Thể tích khối nón là: V = 3πhx = 3πh 2hR − h 2 = 4π · h · h 2 · (2R − h) ≤ 4π Öh + h 2 + 2R − h è3 = 32πR 81 Dấu xảy h 2 = 2R − h ⇔ h = 4R 3 h x R A B O C Chọn đáp án D  Câu 37 Cho mặt cầu (S) bán kính R = cm Mặt phẳng (P ) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn (C) có chu vi 8π cm Bốn điểm A, B, C, D thay đổi cho A, B, C thuộc đường tròn (C), điểm D thuộc (S) ( D không thuộc đường trịn (C)) tam giác ABC Tính thể tích lớn tứ diện ABCD A 32√3 cm3. B 60√3 cm3. C 20√3 cm3. D 96√3 cm3. (131)Gọi H hình chiếu vng góc điểm D mặt phẳng (P ) Ta có VABCD = VD.ABC = 3DH · SABC Tam giác ABC có bán kính đường trịn ngoại tiếp r = 8π 2π = cm, nên có cạnh a = √ 3 cm ⇒ SABC = Ä 4√3ä2√3 4 = 12 √ 3 cm2 không đổi. Do thể tích tứ diện ABCD lớn DH lớn Khi DH = DO + OH = DO +√OA2− AH2 = +√25 − 16 = (VD.ABC)max = 3 · · 12 √ 3 = 32√3 cm3. A B C D O H Chọn đáp án A  Câu 38 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, AB = BC = a√3, ’ SAB = ’SCB = 90◦ khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) a√2 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a A S = 4πa2 B S = 8πa2 C S = 12πa2 D S = 16πa2 Lời giải Từ tam giác vuông cân B, AB = BC = a√3 suy AC = a√6 Gọi O trung điểm SB Vì ’SAB = ’SCB = 90◦ nên suy OA = OC = OB = OS, hay O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Gọi H, K trung điểm AC, BC Từ OA = OB = OC HA = HB = HC suy OH ⊥ (ABC) Ta có HK ⊥ BC HK = a √ Vì ABC tam giác vng cân B nên HB = AC 2 = a√6 2 Đặt OH = x Kẻ HI ⊥ (OK), suy HI ⊥ (SBC), nên HI = d(H; (SBC)) Mặt khác H trung điểm AC nên HI = d(H; (SBC)) = 2d(A; (SBC) = a√2 2 Ta có HI2 = OH2 + 1 HK2 ⇔ 1 Ç a√2 å2 = x2 + 1 Ç a√6 å2 ⇔ x = a√3 2 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC R = OB =√OH2 + HB2 = s Ç a√3 å2 + Ç a√6 2 å2 = 3a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC S = 4πR2 = 4πÅ 3a ã2 (132)C I S O B A H K Chọn đáp án C  Câu 39 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, ’ASB = 90◦, ’BSC = 60◦, ’CSA = 120◦ Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A 4πa2. B 2πa2. C πa2. D. 3πa 2. Lời giải B C E A I D H O S Gọi E trung điểm SC Dựng hình thoi ASCD, H giao điểm AC DE Dễ thấy BH ⊥ SA BH ⊥ SC BH ⊥ (ASCD) Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có tâm I thuộc đường thẳng qua D song song với BH Gọi r bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có R2 = r2 + d2(I, (ABC)), dễ thấy tam giác ABC vuông B nên r = OA = a √ 2 ; d(I, (ABC)) = d(D, (ABC)) = OD = a 2 Suy R = a2 diện tích mặt cầu S = 4πR2 = 4πa2. Chọn đáp án A  Câu 40 Cho tứ diện ABCD có AB = BC = CD = 6, AC = BD = 3, AD = 3√3 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện cho A √ 39 2 B C √ 7 D 2√3 (133)Theo định lý Pitago ta chứng minh AD ⊥ AC, AD ⊥ DB Dựng lăng trụ đứng ACE.DF B có đáy tam giác cạnh 3, cạnh bên 3√3 Do mặt cầu ngoại tiếp tứ diện mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đều, có tâm trung điểm OO0 (với O, O0 tâm hai đáy) Suy bán kính mặt cầu R = Ã Ç 3√3 3 å2 + Ç 3√3 å2 = √ 39 D O R B C A F E O0 I Chọn đáp án A  Câu 41 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có cạnh đáy a tích V = a 3√3 6 Gọi J điểm cách tất mặt hình chóp Tính khoảng cách d từ J đến mặt phẳng (ABCD) A d = a √ 3 3 B d = a√3 2 C d = a√3 6 D d = a√3 Lời giải Với hình chóp có mặt cầu nội tiếp ta có cơng thức sau: V = 3Stp· r, trong Stp diện tích tồn phần r bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp Ta thấy J tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD d bán kính mặt cầu S B C D O A J Gọi O tâm hình vng ABCD, M trung điểm BC ta có V = 3SO · a 2 = a3 √ 3 6 ⇒ SO = a√3 2 Từ SM =√SO2+ OM2 = a ⇒ S4SBC = 2SM · BC = a2 2 nên diện tích tồn phần hình chóp S.ABCD Stp = 4S4SBC+ a2 = 3a2 Lại có V = 3Stp· d nên d = 3V Stp = a √ (134)Câu 42 Cho (S) mặt cầu cố định có bán kính R Một hình trụ (H) thay đổi ln có hai đường trịn đáy nằm (S) Gọi V1 thể tích khối cầu (S) V2 thể tích lớn khối trụ (H) Tính tỉ số V1 V2 A V1 V2 =√6 B V1 V2 = C V1 V2 =√3 D V1 V2 =√2 Lời giải Đặt IA = R, OO0 = h suy OI = h 2 Ta có: V1 = 3πR 3. V2 = h · π Å R2−h 4 ã = 4πh(4R 2− h2). Đặt f (h) = h(4R2− h2) = 4R2h − h3. f0(h) = 4R2− 3h2 = ⇔ h = ±2R√ 3 Dựa vào bảng xét dấu h > nên ta có V2max h = √2R 3 Khi đó: V2max = 2R √ 3· π · Å R2− R 3 ã = 4πR 3√3 Suy V1 V2max =√3 I O O0 A B A0 B0 Chọn đáp án C  Câu 43 Cho khối chóp SABCD có đáy hình vng, tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp SABCD có diện tích 84π cm2 Khoảng cách hai đường thẳng SA BD bao nhiêu? A √ 21 7 cm B 2√21 7 cm C √ 21 7 cm D 6√21 cm Lời giải A B H I O0 C D O S Gọi O tâm đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD Dựng đường thẳng d qua O vng góc với (ABCD) ⇒ d trục đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD Gọi O0 tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác SAB dựng đường thẳng d0 qua O0 vng góc (SAB) cắt d I suy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD Bán kính mặt cầu R =√OB2+ OI2(∗) Gọi độ dài AB = x ⇒ OB = x √ 2 Vì tam giác SAB nên O0 trọng tâm tam giác SAB nên: OI = O0H = 3· x√3 = (135)A B F K C D H S Trong mặt phẳng (ABCD) dựng đường thẳng Ax song song BD Gọi F hình chiếu vng góc H lên Ax ⇒ BD k AF ⇒ BD k (SAF ) ⇒ d(BD, SA) = d(BD, (SAF ) = d(B, (SAF )) = 2d(H, (SAF )) Gọi K hình chiếu vng góc H lên SF nên d(H, (SAF )) = HK Ta có AH = 2AB = Tam giác AHF vuông F ’F AH = ’DBA = 45◦(so le trong)⇒ HF = AH sin 45◦ = √ 2 ⇒ HK = √ SH.HF SH2+ HF2 = 3√21 7 ⇒ d(BD, SA) = 6√21 7 Chọn đáp án D  Câu 44 Một công ty mỹ phẩm chuẩn bị mẫu sản phẩm dưỡng da mang tên Ngọc Trai với thiết kế khối cầu viên ngọc trai, bên khối trụ nằm nửa khối cầu để đựng kem (như hình vẽ minh họa) Theo dự kiến, nhà sản xuất có dự định để khối cầu có bán kính R = 2√3cm Tìm thể tích lớn khối trụ đựng kem để thể tích thực ghi bìa hộp lớn (với mục đích thu hút khách hàng) A 16π cm3 B 54π cm3 C 32π cm3 D 8√2π cm3 Lời giải Ta có: h2 4 + r 2 = R2 = 12 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được: 12 = h 2 4 + r2 2 + r2 2 ≥ 3 … r4h2 16 ⇒ r4h2 ≤ 1024 ⇒ r2h ≤ 32 Vậy V ≤ 32π Chọn đáp án C  (136)tại S nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.AHC A √ 2a 8 B √ 62a 16 C √ 62a 8 D √ 31a 32 Lời giải Từ H dựng HI vng góc với AC Ta có ((SAC) ; (ABCD)) = ‘SIH = 60◦ 4IAH v 4BAC ⇒ IH BC = AH AC ⇒ IH = AH · BC AC = a · a √ q a2 +Äa√2ä2 = a √ 6 · ⇒ SH = IH · tan ‘SIH = a √ 6 · √ = √ 2 a Ta có SH ⊥ (AHC) ⇒ R =… SH 2 4 + R 4AHC AH = a 2, HC = √ BH2 + BC2 = … a 2 +Äa√2ä2 = 2a AC =√AB2+ BC2 = q a2+Äa√2ä2 = a√3. S4AHC = 2S4ABC = · 1 · a · a √ = √ a 2. Mà S4AHC = AH · AC · HC 4R4AHC ⇒ R4AHC = AH · AC · HC 4SAHC = a · 3a · √ 3a · √ 2a2 = √ a ⇒ Rmc = Œ Ç √ 2a å2 + Ç 3√6 8 å2 = √ 62 a I S A B C D H 60◦ Chọn đáp án C  Câu 46 Cho hình nón đỉnh S, đáy đường tròn (O; r) Một mặt phẳng qua đỉnh hình nón cắt đường trịn đáy hai điểm A B cho SA = AB = 8r 5 Tính theo r khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB)? A √ 2r 5 B 3√13r 20 C 3√2r 20 D √ 13r 20 (137)Ta có 4SAB cạnh 8r 5 ⇒ SI = √ 3 · 8 5r = 4√3 r Gọi I trung điểm AB ⇒®AB ⊥ OI AB ⊥ SI ⇒ AB ⊥ (SIO) ⇒ (SIO) ⊥ (SAB) Từ O dựng OH ⊥ SI ⇒ OH ⊥ (SAB) ⇒ d (O; (SAB)) = OH IO =√AO2 − AI2 =   r2−Å 4r ã2 = 5r ⇒ OH = OI · SO SI = 3r · √ SI2− OI2 4√3r 5 = 3r 5 · s Ç 4√3r 5 å2 −Å ã2 4√3r = √ 13 20 r H B A I S O Chọn đáp án B  Câu 47 Cho tứ diện ABCD có hai mặt phẳng (ACD) (BCD) vng góc với Biết AD = a BA = BC = BD = CA = b Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A 4πa 3a2− b2 B 4πb4 3b2− a2 C 4a4 3a2− b2 D 4b4 3b2− a2 Lời giải B C A H I D O Gọi O trung điểm CD, ta có: BO ⊥ CD Mà (ACD) ⊥ (BCD) theo giao tuyến CD nên BO ⊥ (ACD) Ta lại có: BA = BC = BD nên OA = OB = OC Suy tam giác ACD vuông A BO trục tam giác ACD Trong mặt phẳng (ABO), kẻ đường trung trực AB cắt BO I, ta có I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Gọi H trung điểm AB, ta có 4BHI v 4BOA. Suy IB AB = BH BO hay IB = AB · BH BO = AB2 2BO Tam giác ACD vuông A nên OA = CD 2 = √ a2+ b2 (138)Tam giác ABO vuông O nên BO2 = AB2− OA2 = b2− a 2+ b2 4 = 3b2− a2 ⇒ BO = √ 3b2− a2 2 Suy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD IB = b √ 3b2− a2 Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD S = 4π · IB2 = 4πb 4 3b2− a2 Chọn đáp án B  Câu 48 Cho khối tứ diện Tỉ số thể tích khối cầu nội tiếp ngoại tiếp khối tứ diện A 27 B 1 9 C 1 3 D 1 81 Lời giải A C O B H O0 D I M K Giả sứ khối tứ diện ABCD cạnh a Gọi O, O0 tâm tam giác BCD, ABC Khi đó, ta có: AO ⊥ (BCD) DO0 ⊥ (ABC) Suy AO, DO0 trục tam giác BCD, ABC AO, DO0 đồng phẳng Gọi K = AO ∩ DO0, ta có K tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD Gọi M trung điểm BC, ta có 4KODv 4MO0D Suy KO M O0 = OD O0D hay KO = OD.M O0 O0D = a√3 · a√3 a√6 3 = a √ 6 12 Trong mặt phẳng (ABO), kẻ đường trung trực AB cắt AO I, ta có: I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Gọi H trung điểm AB, ta có 4AHI v 4AOB. Suy IA AB = AH AO hay IA = AB · AH AO = AB2 2AO = a2 · a √ = a √ 6 Gọi V1, V2 thể tích khối cầu nội tiếp, ngoại tiếp tứ diện ABCD, ta có: V1 V2 = Ç a√6 12 å3 Ç a√6 4 å3 = Å 3 ã3 = 27 (139)Câu 49 Cho (S) mặt cầu có đường kính AB = 10 Vẽ tiếp tuyến Ax, By với mặt cầu (S) cho Ax ⊥ By Gọi M điểm di động Ax, N điểm di động By cho M N tiếp xúc với mặt cầu (S) Tính giá trị tích AM · BN A AM · BN = 20 B AM · BN = 50 C AM · BN = 100 D AM · BN = 10 Lời giải Gọi I tâm mặt cầu đường kính AB M N tiếp xúc với mặt cầu H Khi rõ ràng AM ⊥ AB, BN ⊥ AB IH ⊥ M N IH bán kính mặt cầu Xét tam giác AM I vuông A tam giác IM H vuông H, ta có: AM = M H = √M I2− R2 với R bán kính mặt cầu (S) Tương tự , ta có BN = HN B A M N B H I x y Ngoài ta có AM ⊥ AB AM ⊥ BN nên AM ⊥ (ABN ) suy AM ⊥ AN Xét tam giác AM N vuông A AM + BN = M H + HN = M N =√AM2+ AN2 =√AM2+ AB2+ BN2. Suy AM · BN = 2AB 2 = 50. Chọn đáp án B  Câu 50 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng cạnh 2a, tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với (ABCD) Tính bán kính r mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD A r = a √ 7 2 B r = a√7 4 C r = a√21 6 D r = a√21 Lời giải S O G H A I K D B C Gọi H trung điểm AB, ta có®(SAB) ⊥ (ABCD) theo giao tuyến AB SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ (ABCD) Gọi K trung điểm CD, ta có ®KH ⊥ AB KH ⊥ SH ⇒ KH ⊥ (SAB) Gọi O tâm hình vng ABCD G trọng tâm tam giác SAB (140)Gọi I = Ox ∩ Gy, ta có®IO ⊥ (ABCD) IG ⊥ (SAB) ⇒ IO trục hình vng ABCD IG trục tam giác SAB Do ta có IS = IA = IB = IC = ID hay I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Tứ giác OHGI hình chữ nhật nên IG = OH = a Tam giác SAB nên SG = 3SH = 2 · 2a√3 2 = 2a√3 Tam giác SGI vuông G nên SI2 = SG2+ GI2 = a2+ 4a 2 3 = 7a2 3 Vậy r = SI = a √ 21 Chọn đáp án D  Câu 51 Trong mặt phẳng (P ) cho tam giác OAB cân O, OA = OB = 2a, ’AOB = 120◦ Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng (P ) O, lấy hai điểm C D nằm hai phía mặt phẳng (P ) cho tam giác ABC vng cân C tam giác ABD Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A 3a √ 2 2 B a√2 3 C 5a√2 3 D 5a√2 Lời giải Gọi H trung điểm AB ⇒ OH = a AB = 2√3a Xét tam giác CAB vuông cân C có CH = a√3 CA = a√6 Xét tam giác COH có CO =√CH2− OH2 = a√2. Xét tam giác DAB có DA = AB = 2a√3 DH = … DA2−AB 4 = 3a Xét tam giác DOH có DO =√DH2− OH2 = 2√2a ⇒ CD = CO + OD = 3a√2 Vì      CD ⊥ AB OH ⊥ AB H trung điểm AB D B C A H O ⇒ (CDH) mặt phẳng trung trực AB ⇒ 4ACD = 4BCD Xét 4ACD có AD2+ AC2 = 18a2 = CD2 ⇒ ’CAD = ’CBD = 90◦ ⇒ CD đường kính mặt cầu ngoại tiếp ABCD ⇒ bán kính mặt cầu ngoại tiếp ABCD √ 2a Chọn đáp án A  Câu 52 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, BC = 2a Mặt bên (SAB) vng góc với mặt đáy, biết ’ASB = 60◦, SB = a Gọi (S) mặt cầu tâm B tiếp xúc với mặt phẳng (SAC) Tính bán kính r mặt cầu (S) A r = 2a ·… 19 B r = a · … 19 C r = 2a D r = 2a √ (141)Ta có      (SAB) ⊥ (ABC) (SAB) ∩ (ABC) = AB BC ⊥ AB Suy BC ⊥ (SAB) Kẻ BM ⊥ SA M , BH ⊥ CM H Ta có SA ⊥ (BCM ) ⇒ BH ⊥ (SAC) ⇒ r = BH Ta có BM = SB · sin 60◦ ⇒ BM = a √ Xét 4CBM , ta có BH2 = BC2 + 1 BM2 ⇒ BH = 2a ·… 19 Vậy r = 2a ·… 19 B S M A C H Chọn đáp án A  Câu 53 Cho tứ diện ABCD với AB = a, CD = b cạnh lại có độ dài Gọi M, N trung điểm AB CD M N = m Biết tồn mặt cầu tiếp xúc với cạnh tứ diện cho Tìm hệ thức biểu diễn mối liên hệ a, b m A ab = m2. B ab = 2m2. C 2ab = m2. D 3ab = 2m2. Lời giải Ta có AB ⊥ (M CD), CD ⊥ (N AB) nên M N đoạn vng góc chung AB CD Gọi I tâm mặt cầu tiếp xúc với cạnh ABCD, suy I trung điểm M N Kẻ IE ⊥ BC 4IEC = 4IN C nên EC = N C = b Tương tự BM = BE = a 2 Do BC = a + b 2 Lại có M N2 = BN2 − BM2 = BC2− CN2− BM2 = ab Vậy m2 = ab 2 A B C D M N I E Chọn đáp án B  Câu 54 Trong khơng gian Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình x2+ y2+ z2− 4x + 2y − 2z − = 0 điểm A(5; 3; −2) Một đường thẳng d thay đổi qua A cắt mặt cầu hai điểm phân biệt M, N Tính giá trị nhỏ biểu thức S = AM + 4AN A Smin = 30 B Smin = 20 C Smin =√34 − D Smin = 5√34 − (142)J A I M N P Mặt cầu (S) có tâm I(2; −1; 1), bán kính R = Kẻ tiếp tuyến AJ , P = AI ∩ (S) Giá trị nhỏ AM + 4AN xảy trường hợp AM > AN Ta có AP ≤ AN < AJ Lại có AI =√34, AJ = √AI2− R2 = 5. Do đó√34 − ≤ x < 5, với x = AN Mà AM · AN = AJ2 ⇒ AM = 25 x ⇒ S = 4x + 25 x Xét f (x) = 4x +25 x ỵ√ 34 − 3; 5ä Có f0(x) = −25 x2 > 0, ∀x ∈ ỵ√ 34 − 3; 5ä Suy Smin = f Ä√ 34 − 3ä = 5√34 − Chọn đáp án D  Câu 55 Trong khơng gian cho hình cầu (S) tâm O có bán kính R điểm S cho trước cho SO = 2R Từ S kẻ tiếp tuyến với mặt cầu với tiếp điểm thuộc đường tron (C1) Trên mặt phẳng (P ) chứa đường tròn (C1) ta lấy điểm E thay đổi nằm mặt cầu (S) Gọi N hình nón có đỉnh E đáy đường tròn (C2) gồm tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ E đến mặt cầu (S) Biết hai đường trịn (C1) (C2) ln có bán kính Tính theo R bán kính R0 đường trịn cố định mà E di động A R0 = R √ 15 4 B R 0 = R √ 15 2 C R 0 = 3R 2 D R 0 = R √ 17 Lời giải D S O C R r1 Gọi bán kính (C1), (C2) r1, r2 Gọi C tâm (C1) D điểm (C1) Ta có 4OSD vng D nên CD · OS = DO · DS Do r1 = CD = R√OS2− R2 OS = R … 1 − R OS2 Tương tự ta có r2 = R … 1 − R OE2 Mà r1 = r2 nên OE = OS = 2R Suy E di động đường tròn giao tuyến mặt cầu tâm O bán kính 2R với mặt phẳng (P ) Lại có OC = OD 2 OS = R 2 ⇒ R 0 =√OE2− OC2 = … 4R2− R 4 = (143)Chọn đáp án B  Câu 56 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD A 7πa 4 B 7πa2 12 C 7πa2 9 D 7πa2 Lời giải Gọi H trung điểm AB Suy SH ⊥ (ABCD) Gọi O G tâm đáy ABCD mặt bên SAB Xét mặt phẳng (SHO) Gọi I điểm cho OI k SH, GI k HO Ta có OH ⊥ (SAB) vầ SH ⊥ (ABCD) Suy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Ta có AO = 2AC = √ 2 , HG = 3SH = √ 3a Suy R2 = IA2 = AO2+ OI2 = 12a 2. Diện tích mặt cầu S = 4πR2 = 7πa 2 3 S A O I G B C D H Chọn đáp án D  Câu 57 Cho ba mặt cầu có bán kính R1, R2, R3 đơi tiếp xúc ngồi với Một mặt phẳng tiếp xúc với ba mặt cầu A, B, C Biết tam giác ABC có số đo ba cạnh 2, 3, Tìm tích R1· R2· R3 A B C 2√6 D 24 Lời giải Giả sử R1 > R2 > R3 Gọi A1, B1, C1 tâm ba mặt cầu có bán kính R1, R2, R3 Gọi I hình chiếu B1 lên AA1 Gọi J hình chiếu C1 lên BB1 Gọi K hình chiếu C1 lên CC1 Ta có A1B1 = R1+ R2 Ta có ®AB = A1B1 A1I = R1− R2 Do AB2 = A1B12− A1I2 ⇔ AB2 = (R1+ R2)2− (R1− R2)2 ⇔ AB2 = · R 1· R2 K I B C A1 B1 C1 A J Tương tự trên, ta AB2· AC2· BC2 = 43· (R 1· R2 · R3)2 ⇔ R1· R2· R3 = Chọn đáp án B  Câu 58 Trong tất hình chóp tứ giác nội tiếp mặt cầu có bán kính Tính thể tích V khối chóp tích lớn A 64 3 B 16√6 3 C 64√2 3 D 16 (144)Xét hình chóp tứ giác S.ABCD Gọi H giao điểm AC BD Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD, ta có IS = IB = Đặt AB = x, ta có BH = x √ 2 Xét 4BIH ta có HI =√IB2− BH2 = … 9 − x 2 Suy SH = + … − x 2 2 Mà VS.ABCD = 3 · SH · SABCD ⇒ VS.ABCD = x2+ 1 · x 2· … 9 −x 2 A J B H C D I S Đặt x2 = t, điều kiện t ∈ (0; 18) Xét hàm số f (t) = t + 3· t · … − t 2 với t ∈ (0; 18) Ta có f0(t) = 12 … − t 2 + 36 − 3t … − t 2 ⇒ f0(t) = ⇔ 12 … 36 − t 2 = 3t − 36 ⇔ t = 16 Bảng biến thiên x y0 y 0 16 18 + − 64 64 3 Vậy max VABCD = 64 3 , xảy cạnh đáy hình chóp Chọn đáp án A  Câu 59 Trong tất khối chóp tứ giác ngoại tiếp mặt cầu có bán kính a, tính thể tích V khối chóp tích lớn A V = 8a 3 B V = 10a3 3 C V = 2a 3. D V = 32a 3 3 Lời giải Với hình chóp tứ giác S.ABCD ngoại tiếp mặt cầu (S) tâm I bán kính a I ∈ SO với O tâm hình vng ABCD Gọi M trung điểm BC H hình chiếu I (SBC) Theo cách dựng IH ⊥ (SBC) nên IH = IO = a B H I C M S A D O Đặt SO = h, AB = 2x ta có a h − a = sin ’OSM = x √ x2+ h2 ⇒ h = (145)Suy VS.ABCD = 3· 4x 2· 2x 2a x2− a2 = 8a · x4 x2− a2 Xét f (x) = x 4 x2− a2 (a; +∞) có f 0(x) = 2x 3(x2− 2a2) (x2− a2)2 Nên f0(x) = ⇔ x = a√2 Ta có bảng biến thiên x y0 y a a√2 +∞ − + +∞ +∞ 4a2 4a2 +∞ +∞ Từ bảng biến thiên ta có f (x) ≥ f (a√2) = 4a2. Suy VS.ABCD ≥ 8a 3 · 4a 2 = 32a 3 Chọn đáp án D  Câu 60 Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC tam giác cân với ’BAC = 120◦, AB = AC = a Hình chiếu D mặt phẳng (ABC) trung điểm BC Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD biết thể tích tứ diện ABCD V = a 3 16 A R = a √ 91 8 B R = a√13 4 C R = 13a 2 D R = 6a Lời giải Gọi H trung điểm BC, O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có H trung điểm AO Ta có DH = 3VABCD SABC = a √ Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ta có IO ⊥ (ABC) Do IA = R, OA = a nên IO =√R2− a2. Do HO ⊥ IO, HO ⊥ HD nên ta có Ç a√3 ± √ R2− a2 å2 +a 2 = R2 Giải phương trình ta R = a √ 91 B H I C A D O (146)Câu 61 Cho bốn hình cầu S(O1; R), S(O2; R), S(O3; R0), S(O4; R0), R > R0 Biết hình cầu chúng tiếp xúc với ba hình cầu cịn lại tất chúng tiếp xúc với mặt phẳng Tính tỉ số R R0 A R R0 = B R R0 = + √ 3 C R R0 = D R R0 = − √ 3 Lời giải O1 O2 O3 O4 A B C D H P Gọi A, B, C, D tiếp điểm S(O1; R), S(O2; R), S(O3; R0), S(O4; R0) với mặt phẳng, H giao điểm AC BD Qua O4 dựng đường thẳng song song với AB cắt AO1 P Ta có: HB = 2DB = 1 2O3O4 = R 0; AH = 2AC = 1 2O1O2 = R.; AB = P O4 =pO1O42− O1P2 =p(R + R0)2− (R − R0)2 = 4RR0 Tứ giác ABCD có AB = BC = CA = AD = R + R0 nên hình thoi, suy AC⊥BD Xét tam giác AHB vuông H nên: AH2+ HB2 = AB2 ⇒ R2+ R02 = 4RR0 ⇔Å R R0 ã2 − 4R R0 + = ⇔ R R0 = + √ 3 Chọn đáp án B  Câu 62 Cho hình trụ (T ) có trục OO0 = 2a, bán kính đường trịn đáy a Gọi (S) mặt cầu tiếp xúc với hai mặt đáy hình trụ tiếp xúc với đường sinh hình trụ Gọi (N ) hình nón đỉnh O0 đáy hình trịn (O) hình trụ Gọi V1, V2, V3 thể tích khối trụ (T ), khối cầu (S) khối nón (N ) Khẳng định sau đúng? A V2 = √ V3· V1 B V3 = V1 + V2 C V1 = V2+ V3 D V3 = √ V1· V2 (147)Ta có V1 = πR2h ⇒ V1 = πR2· OO0 = 2πa3. V2 = 4 3πR 3 ⇒ V = 4πa3 3 V3 = 3πR 2h ⇒ V3 = 1 3πR 2· OO0 = 2πa3 Suy V2+ V3 = 4πa3 + 2πa3 3 = 2πa 3. Vậy V1 = V2+ V3 C A B D I O O0 Chọn đáp án C  Câu 63 Tính thể tích V khối chóp tứ giác có chiều cao h bán kính mặt cầu nội tiếp r (h > 2r > 0) A V = 4h 2r2 3 (h + 2r) B V = 4h2r2 h − 2r C V = 4h2r2 3 (h − 2r) D V = 4h2r2 (h − 2r) Lời giải B C D N A H S M O h a r H N M S O Gọi SH đường cao chóp tứ giác S.ABCD, SH = h điểm thuộc SH cách mặt bên hình chóp Vậy tâm mặt cầu nội tiếp O hình chóp thuộc SH Gọi M , N trung điểm cạnh AB CD Xét tam giác SM N , SM = SN , SH ⊥ M N trung điểm H Trong tam giác SM N kẻ phân giác góc ÷SM N cắt SH O Vậy O tâm mặt cầu nội tiếp chóp S.ABCD, đồng thời tâm đường tròn nội tiếp tam giác SM N (148)S = p · r = 2a · h ⇔  SM + a  r = ah 2 ⇒ SM = ah − ar 2r = a(h − r) 2r (1) Mặt khác, tam giác SM H có SM =√M H2+ SH2 =… a 2 4 + h = 2 √ a2+ 4h2 (2). Từ (1) (2), suy a(h − r) 2r = √ a2 + 4h2 ⇒ a2 = 4h 2r2 (h − r)2− r2 = 4r2h h − 2r Thể tích khối chóp S.ABCD V = 3h · a 2 = 4h 2r2 3(h − 2r) Chọn đáp án C  Câu 64 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, ’ASB = 90◦, ’BSC = 60◦, ’CSA = 120◦ Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABC A 1 +√2 +√3 B 1 √ 2Ä1 +√2 +√3ä C 1 +√2 +√3 D √ +√2 +√3 Lời giải Ta có tam giác SAB vng cân S nên AB = a√2 Tam giác SBC nên BC = a CA2 = SA2+ SC2− 2SA · SC · cos 120◦ = 3a2 ⇒ AC = a√3 Do tam giác ABC vng B Gọi I tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABC có bán kính r Vì SA = SB = SC = a nên hình chóp S.ABC có đường cao SH H trung điểm AC Và BH = 2AC = a√3 2 ⇒ SH = … a2−3a 4 = a A C H B D I r Ta có: VS.ABC = VI.ABC+ VI.SAB + VI.SAC+ VI.SBC ⇔ SH · S4ABC = r (S4ABC + S4SAB+ S4SBC+ S4SBC) ⇒ r = SH · BA · BC BA · BC + SA · SB + SB · SC · sin 60◦+ SA · SC · sin 120◦ = a · a √ · a a√2 · a + a · a + a · a · √ 3 2 + a · a · √ 3 ⇒ r = √ 2Ä1 +√2 +√3ä Chọn đáp án B  Câu 65 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SAD tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N trung điểm BC CD Tính bán kính R khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.CM N A R = a √ 29 8 B R = a√93 12 C R = a√37 6 D R = 5a√3 12 (149)Gọi: - H trung điểm AD ⇒ SH ⊥ (ABCD) - I trung điểm M N ⇒ I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CM N - d đường thẳng qua I vng góc với mặt đáy - E hình chiếu I lên AD - O tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.CM N - K hình chiếu O lên SH Đặt OI = x A B C M I O S N H K D E Ta có: CI = 2M N = a√2 4 ; OC = √ IC2+ IO2 =… a 8 + x 2; KO = HI =√IE2+ EH2 =   Å 3a ã2 +a 4 2 = a √ 10 ; SO =√SK2+ KO2 = s Ç a√3 − x å2 + Ç a√10 4 å2 = … x2−√3ax +22a 16 Vì O tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.CM N nên SO = OC Suy ra: … a 8 + x = … x2−√3ax +22a 16 ⇔ √ 3ax = 4a 2 ⇔ x = √ 3a 12 Vậy R = OC =… a 2 + 25a2 48 = √ 93 12 a Chọn đáp án B  Câu 66 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a cạnh bên a√2 Khi bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC A a √ 15 5 B 3a 5 C a√3 5 D a√6 Lời giải Gọi H trọng tâm tam giác ABC, SH ⊥ (ABC) SH trục đường tròn ngoại tiếp mặt đáy Gọi N trung điểm SA, mặt phẳng trung trực cạnh SA cắt SH I Khi IS = IA = IB = IC nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bán kính mặt cầu R = SI = SN · SA SH = 1 2SA 2 √ SA2− AH2 ⇒ R = 2 Ä a√2ä2 s Ä a√2ä2− Ç 2 a√3 å2 = a√15 5 A C M N B H I S Chọn đáp án A  Câu 67 Hình nón gọi nội tiếp mặt cầu đỉnh đường trịn đáy hình nón nằm mặt cầu Tìm chiều cao h hình nón tích lớn nội tiếp mặt cầu có bán kính R cho trước A h = 3R 2 B h = 5R 2 C h = 5R 4 D 4R (150)Gọi chiều cao hình nón x, (0 < x < 2R) Gọi bán kính đáy hình nón T ta có r2 = OM2− OH2 = R2 − (x − R)2 = 2Rx − x2 = x(2R − x). Thể tích hình nón V = 3πr 2x = 3πx 2(2R − x). Mặt khác ta lại có x · x 2 · (2R − x) ≤ Ñx 2 + x 2 + 2R − x é3 ⇔ x 4 (2R − x) ≤ 8R3 27 ⇒ V = 3πx 2(2R − x) ≤ 32πR 27 Vậy max V = 32πR 3 27 Dấu = xảy x 2 = 2R − x ⇔ x = 4R 3 M H 0 S Chọn đáp án D  Câu 68 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x2+ y2+ z2 = và điểm M = (1; −1; 1).Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua M cắt (S) theo giao tuyến đường trịn có chu vi nhỏ A x − y + z − = B x − y + z − = C 2x − y − 3z = D x + y + z − = Lời giải Mặt cầu (S) có tâm O(0; 0; 0) 12+ (−1)2+ 12 < ⇒ M nằm mặt cầu. Do mặt phẳng (P ) qua M cắt (S) theo giao tuyến đường trịn có chu vi nhỏ OM ⊥ (P ) = M OM = (1; −1; 1) ⇒ 1(x − 1) − 1(y − 1) + 1(z − 1) = ⇔ x − y + z − = 0.# » Chọn đáp án B  Câu 69 Một hình cầu (S) tích 4π dm 3 Người ta muốn đặt hình cầu nội tiếp hình nón Tính thể tích nhỏ V hình nón A V = 2π dm3 B V = 4π dm3 C V = 10π dm 3. D V = 8π dm 3. Lời giải S I A B P M (151)Theo ta tích hình cầu V(S) = 4πr3 3 = 4π 3 ⇒ r = Dễ dàng chứng minh tam giác SM I SP B đồng dạng suy SI SB = M I P B ⇒ h − r √ h2+ R2 = r R ⇒ h = 2R2 R2− 1 Khi thể tích hình nón V nón = 2π · R4 R2− 1 Xét hàm số f (t) = t 2 t − với t > có f 0(t) = t − 2t (t − 1)2 = ⇔ ñt = t = Từ ta suy giá trị nhỏ hàm số fmin = f (2) = Chọn đáp án D  Câu 70 Cho hàm số y = x3 − 3x + có đồ thị (C) Hỏi có điểm đường thẳng d : y = 9x − 14 cho từ kẻ hai tiếp tuyến đến (C)? A điểm B điểm C điểm D điểm Lời giải Gọi M (x0; y0) điểm thuộc đồ thị (C) Khi tiếp tuyến (C) M có phương trình ∆ : y = (3x20− 3)(x − x0) + (x30− 3x0+ 2) Lấy điểm A(a; 9a − 14) ∈ (d) Để có hai đường tiếp tuyến ∆ qua A phương trình ẩn x0 sau có hai nghiệm phân biệt 9a − 14 = (3x20− 3)(a − x0) + (x30− 3x0+ 2) (1) Ta có (1) ⇔ 9a − 14 = 3ax20− 3a − 3x3 0+ 3x0+ x30− 3x0+ ⇔ 2x3 0− 16 = 3ax 0− 12a ⇔ 9a − 14 = 3ax2 0− 3a − 3x 0+ 3x0+ x30− 3x0+ ⇔ 2x3 0− 16 = 3ax 0− 12a ⇔ 2(x0− 2)(x20+ 2x0+ 4) = 3a(x0− 2)(x0+ 2) ⇔ (x0− 2)(2x20+ 4x0− 3ax0+ − 6a) = (2) ⇔ñx0 = 2x20+ 4x0− 3ax0+ − 6a = (3) Để (2) có hai nghiệm (3) có nghiệm khác hai nghiệm phân biệt với nghiệm Trường hợp (3) có nghiệm ta có + − 6a + − 6a = ⇔ a = Để (3) có nghiệm ∆3 = ⇔   a = −4 a = 3 Vậy có giá trị a Nghĩa có ba điểm thỏa mãn u cầu tốn Chọn đáp án C  Câu 71 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S1) có tâm I(2; 1; 1) bán kính mặt cầu (S2) có tâm J (2; 1; 5) bán kính (P ) mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu (S1), (S2) Đặt M, m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ khoảng cách từ điểm O đến (P ) Giá trị M + m A 8√3 B C D √15 Lời giải (152)EF mặt phẳng (Oxy), (P ) cắt mặt phẳng (Oxy) theo giao tuyến ∆ Khi (P ) thay đổi, điểm M tạo nên đường tròn (C) tâm K(2; 1; 0), bán kính R = tan 30◦ = 3√3 ∆ tiếp tuyến (C) Gọi N hình chiếu vng góc O ∆ Ta có d(O, (P )) = ON R · d(K, (P )) = ON√3 Suy d(O, (P )) lớn nhất, nhỏ ON lớn nhất, nhỏ tương ứng M N A D B K O Dễ thấy ON lớn OD, ON nhỏ OB Vậy M + m = 2R √ 3 = Chọn đáp án B  Câu 72 Cho khối cầu (S) tâm I, bán kính R khơng đổi Một khối trụ thay đổi có chiều cao h bán kính đáy r nội tiếp khối cầu Tính chiều cao h theo R cho thể tích khối trụ lớn O0 I O A h = R√2 B h = R √ 2 2 C h = R√3 2 D h = 2R√3 Lời giải Thể tích V khối trụ V = πhr2 = πh Å R2 −h 4 ã Ta có bảng biến thiên hàm số f (h) = −h 3 4 + hR 2 (0 < h < 2R). h f0(h) f (h) 0 2R √ 3 2R + − 0 4R3 3√3 4R3 3√3 (153)Hàm số đạt giá trị lớn h = 2R √ 3 Chọn đáp án D  Câu 73 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B BC = a Cạnh bên SA ⊥ (ABC) Gọi H, K hình chiếu vng góc A lên cạnh bên SB, SC Thể tích khối cầu tạo mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.HKB A πa 2 B √ 2πa3 3 C √ 2πa3 D πa 3 6 Lời giải Ta có 4ACB, 4ACH, 4ACK tam giác vng chung cạnh huyền AC Nên A, C, B, H, K nằm mặt cầu đường kính AC Do mặt cầu ngoại tiếp A.HKB có bán kính AC 2 = √ 2a ⇒ V = √ 2πa3 3 S A C K H B Chọn đáp án B  Câu 74 Cho hình chóp S.ABC Tam giác ABC vuông A, AB = cm, AC = √3 cm Tam giác SAB, SAC vng góc B C Khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC tích 5√5π cm 3 Tính khoảng cách từ C tới mặt phẳng (SAB). A √ 5 2 cm B √ 4 cm C √ 2 cm D cm Lời giải Gọi O trung điểm SA Ta có tam giác SAB, SAC vng góc B C nên OS = OA = OB = OC = SA 2 Suy O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bán kính mặt cầu tương ứng R = SA 2 Theo giả thiết, ta có 3πR = √ 5π 6 ⇒ R = √ 5 2 ⇒ SA = √ 5 Gọi I trung điểm BC H điểm đối xứng A qua I, ta có ABHC hình chữ nhật Ta có ®AB ⊥ SB AB ⊥ BH ⇒ AB ⊥ (SBH) ⇒ AB ⊥ SH (1) C O K H I B S A Lại có ®AC ⊥ SC AC ⊥ CH ⇒ AC ⊥ (SCH) ⇒ AC ⊥ SH (2) Từ (1) & (2) suy SH ⊥ (ABHC) Ta có AB k HC ⇒ d (C, (SAB)) = d (H, (SAB)) Lại có AB ⊥ (SBH) ⇒ (SAB) ⊥ (SBH) theo giao tuyến SB Trong mặt phẳng (SBH), kẻ HK ⊥ SB K, ta có HK ⊥ (SAB) ⇒ HK = d (H, (SAB)) Tam giác ABC vuông A nên BC =√AB2+ AC2 = ⇒ AH = BC = 2. (154)Tam giác SHB vng H có HK đường cao nên ta có: HK2 = SH2 + 1 HB2 = + = 4 3 ⇒ HK = √ 3 cm Chọn đáp án C  Câu 75 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu (S1) : x2+y2+z2+4x+2y +z = 0, (S2) : x2 + y2+ z2− 2x − y − z = cắt theo giao tuyến đường tròn (C) ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 3) Hỏi có tất mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa đường trịn (C) tiếp xúc với ba đường thẳng AB, AC, BC A Một mặt cầu B Hai mặt cầu C Bốn mặt cầu D Vô số mặt cầu Lời giải Gọi I tâm mặt cầu, H hình chiếu I lên (ABC), F , G, H hình chiếu I lên AC, CB, BA Khi đó, DF ⊥ AC, DG ⊥ BC, DH ⊥ AB DF = DG = DH Vậy D tâm đường tròn nội tiếp bàng tiếp ∆ABC Có tất bốn vị trí D A B C D I F G H Ngược lại, với vị trí D, ta có vị trí phân biệt I giao đường thẳng qua D, vng góc với (ABC) mặt phẳng chứa đường trịn (C) Vậy có tất bốn mặt cầu tương ứng với bốn vị trí I xác định Chọn đáp án C  Câu 76 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang, AD = DC = CB = a; AB = 2a Chân đường cao trung điểm OA, đường thẳng AC cắt BD O, góc đường thẳng SC (ABCD) 60◦ Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD A V = 61π √ 61 162 a 3. B V = 31π √ 61 81 a 3. C V = 31π √ 51 162 a 3. D V = 17π √ 59 54 a 3. Lời giải Gọi H trung điểm OA, ta có SH ⊥ (ABCD) ⇒ (SAC) ⊥ (ABCD) Gọi K trung điểm AB, ta có K tâm đường trịn ngoại tiếp hình thang ABCD Gọi T trung điểm AC; E tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAC; I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD, ta có IET K hình chữ nhật Tam giác ABC vuông C nên AC2 = AB2 − BC2 = 3a2 ⇒ AC = a√3 ABCD hình thang có hai đáy AB, CD thỏa AB = 2CD nên OA = 2OC S I H T O A E B C K D ⇒ CH = 3AC = 2a√3 3 AH = 3AC = a√3 Ta có SH ⊥ (ABCD) ⇒ HC hình chiếu SC mặt phẳng (ABCD) ⇒ ’SCH = 60◦ ⇒ SH = HC · tan 60◦ = 2a. ⇒ SA2 = SH2+ AH2 = 4a2 +3a 9 = 39a2 9 ⇒ SA = a√39 3 Áp dụng định lí sin tam giác SAC, ta có AE = SA 2 sin 60◦ = a√13 (155)Tam giác AT E vuông T nên ET2 = AE2− AT2 = 13a 9 − 3a2 4 = 25a2 36 Tam giác IAK vuông K nên IA2 = AK2+ IK2 = a2+25a 2 36 = 61a2 36 ⇒ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD R = IA = a √ 61 Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD V = 3πR 3 = 4π · Ç a√61 6 å3 = 61π √ 61 162 a 3. Chọn đáp án A  Câu 77 Người ta chế tạo đồ chơi cho trẻ em theo công đoạn sau: Trước tiên, chế tạo hình nón trịn xoay có góc đỉnh 2α = 60◦ thủy tinh suốt Sau đặt hai cầu nhỏ thủy tinh có bán kính lớn, nhỏ khác cho hai mặt cầu tiếp xúc với tiếp xúc với mặt nón, cầu lớn tiếp xúc với mặt đáy hình nón (hình vẽ) Biết chiều cao hình nón Bỏ qua bề dày lớp vỏ thủy tinh, tổng thể tích hai khối cầu A 112π cm 3. B. 40π 3 cm 3. C. 38π 3 cm 3. D. 100π 3 cm 3. Lời giải Gọi AB đường kính mặt nón, O đỉnh, M , N giao điểm tiếp tuyến chung hai mặt cầu OA, OB (hình vẽ) Ta có tam giác OAB nên bán kính đường trịn nội tiếp r = 3h = Tương tự, tam giác OM N đều, có chiều cao h = − 2r = nên có bán kính đường trịn nội tiếp r0 = 3· = Thế tích hai khối cầu V = 3π · r 3+4 3π · r 03 = 112π B O A N M Chọn đáp án A  Câu 78 Cho hình chóp O.ABC có OA = OB = OC = a, ’AOB = 60◦, ’BOC = 90◦, ’COA = 120◦ Gọi S trung điểm OB Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC A a √ 7 4 B a√7 2 C a 4 D a (156)Ta có AB = a, BC = a√2, CA = a√3 nên tam giác ABC vuông B Gọi H trung điểm AC HA = HB = HC, mà OA = OB = OC nên OH ⊥ (ABC) Ta có OH =√OA2− AH2 = a Trong mặt phẳng (OHB), gọi K trung điểm SB trung trực SB cắt đường thẳng OH I Khi ta có I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC Vì 4OIK v 4OBH ⇒ OI = OK · OB OH = 3a 2 ⇒ IH = a Suy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC IA = √ AH2+ HI2 = a √ 7 O S K B I C A H Chọn đáp án B  Câu 79 Cho hình vng ABCD cạnh a Điểm M thay đổi khơng gian cho ÷ AM B = ÷AM D = 90◦ Biết tồn đường trịn cố định qua M Bán kính đường trịn A a √ 2 2 B a√2 4 C a D a Lời giải Gọi E, F, I trung điểm AB, AD, EF Vì 4AM B, 4AM D vng M nên M E = M F = a 2 Mà EF = BD 2 = a√2 2 nên M I = 2(M E 2+ M F2)−1 4EF 2 = a2 8 ⇒ M I = a√2 4 Mà M I ⊥ EF nên M nằm giao tuyến mặt cầu tâm I, bán kính a √ 4 mặt phẳng qua I vuông góc với EF , giao tuyến đường trịn cố định với tâm I, bán kính a √ M C D F A I B E Chọn đáp án B  Câu 80 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x + 1)2 + (y − 4)2 + z2 = điểm A(3; 0; 0), B(4; 2; 1) Gọi M điểm thuộc mặt cầu (S) Giá trị nhỏ M A + 2M B A 2√2 B 6√2 C 2√3 D 6√3 Lời giải Mặt cầu (S) có tâm I(−1; 4; 0) có bán kính R = 2√2 Ta có IA = 4√2 = 2R Gọi E giao điểm IA với (S) ta có E trung điểm IA, E(1; 2; 0) Gọi F trung điểm IE, F (0; 3; 0) Với M ∈ (S), 4IF M 4IM A có ’AIM chung có IF IM = = IM IA nên 4AIM v 4M IF A I F M E (157)là giao điểm F B (S) F nằm (S) cịn B nằm ngồi (S).) Vậy M A + 2M B có giá trị nhỏ 6√2 Chọn đáp án B  Câu 81 Một ly đựng nước giải khát có hình dạng (khơng kể chân ly) hình nón hình vẽ (hình vẽ mang tính chất minh họa) Biết bán kính miệng ly cm, thiết diện qua trục tam giác Ban đầu ly chứa đầy nước, sau người ta bỏ vào ly viên đá hình cầu có đường kính 4√3 cm Gọi V cm3 lượng nước tràn Chọn khẳng định A 50 < V < 75 B 75 < V < 100 C 100 < V < 150 D V > 150 Lời giải Xét thiết diện qua trục hình vẽ Vì đường trịn (O) có bán kính lớn bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC (RABC = 5√3 < √ 3) nên sau bỏ viên đá vào ly, nước ly khơng ngập hết viên đá Ta tính tam giác ADE ngoại tiếp đường trịn (O) có cạnh 12 nên phần ngập nước có kích thước hình vẽ Lượng nước tràn ngồi thể tích phần viên đá ngập nước A H B E I C D O Ta có IH = AH − AI = 12 √ 3 2 − 10√3 2 = √ Thể tích phần mặt cầu nằm ngồi ly (cơng thức tính thể tích chỏm cầu) π · IH2· Å R viên đá− IH 3 ã = 5π√3 Vậy thể tích nước tràn ngồi V viên đá− Vchỏm cầu = 3π · Ä 2√3ä3− 5π√3 = 32π√3 − 5π√3 = 27π√3 ≈ 146,91774 ∈ (100; 150) Chọn đáp án C  Câu 82 Cho tứ diện ABCD có AB = AD = BC = 8, AC = BD = CD = Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A … 187 10 B C … 177 10 D … 287 30 (158)Gọi M , N trung điểm cạnh AB, CD Xét hai tam giác ACD BCD có BC = AD = 8, BD = AC = 6, CD chung ⇒ 4ACD = 4BCD Suy ra, AN = BN nên tam giác AN B cân N Vậy M N đường trung trực đoạn AB Xét hai tam giác ABC ABD có AB = AD = 8, BD = AC = 6, AB chung ⇒ 4ABC = 4ABD B C D A M N I Suy ra, CM = DM nên tam giác M CD cân M Vậy M N đường trung trực đoạn CD Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, suy I ∈ M N Đặt IM = x với x > Xét tam giác ACD có AD = 8, CD = AC = AN trung tuyến nên AN2 = 2AC 2+ 2AD2− CD2 4 = 2 · 62+ · 82− 42 4 = 46 ⇒ AN = BN = √ 46 Xét tam giác AN B có M N2 = 2AN 2+ 2BN2− AB2 4 = 4 · 46 − 82 4 = 120 4 = 30 ⇒ M N = √ 30 Vì I tâm mặt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nên IB2 = IC2 ⇒ IM2+ BM2 = IN2+ N C2 ⇒ x2+ 42 =Ä√30 − xä2+ 22 ⇔ x = √9 30 Khi đó, suy IB2 = x2+ 42 = 30 + 16 = 561 30 ⇒ IB = … 187 10 Chọn đáp án A  Câu 83 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A0B0C0D0 có độ dài chiều cao h không đổi Gọi I giao điểm AC BD Biết A, B, C, D di động IA · IC = IB · ID = h2 Tính giá trị nhỏ bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ A 2h B h √ 2 C h D h√3 Lời giải • IA · IC = IB · ID nên ABCD nội tiếp đường trịn tâm K bán kính r Ta có IA · IC = IB · ID = r2− IK2 nên r2 = IK2+ h2. • Giả sử (O; R) mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ Suy OK ⊥ (ABCD) OK = 2h • Ta có R2 = r2+ OK2 = h2+ IK2+ 4h 2 ≥ 4h 2 ⇒ R ≥ h √ 5 Đẳng thức xảy I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD A0 D0 A B C I B0 C0 D Chọn đáp án B  Câu 84 Cho lăng trụ đứng có chiều cao h khơng đổi, đáy tứ giác ABCD với A, B, C, D di động Gọi I giao điểm hai đường chéo AC BD tứ giác Cho biết IA.IC = IB.ID = h2. Tính giá trị nhỏ bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ cho A 2h B h √ 2 C h D h√3 (159)A0 B0 C0 D0 A B C D K I O Do lăng trụ nội tiếp mặt cầu nên gọi (K; r) đường tròn ngoại tiếp ABCD Khi IA·IC = IB ·ID = r2− IK2 Suy r2− IK2 = h2 ⇒ r2 = h2+ IK2. Gọi (O; R) mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ta có R2 = OA2 + OK2 = r2+ h 4 = 4h 2+ IK2 ≥ 4h 2 ⇒ R ≥ h √ 5 2 Vậy Rmin = h√5 2 I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCD Chọn đáp án B  Câu 85 Cho lăng trụ đứng có chiều cao h không đổi, đáy tứ giác ABCD với A, B, C, D di động Gọi I giao điểm hai đường chéo AC BD tứ giác Cho biết IA.IC = IB.ID = h2 Tính giá trị nhỏ bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ cho A 2h B h √ 2 C h D h√3 Lời giải Do lăng trụ nội tiếp mặt cầu nên gọi (K; r) đường trịn ngoại tiếp ABCD Khi IA·IC = IB ·ID = r2− IK2 Suy r2− IK2 = h2 ⇒ r2 = h2+ IK2. Gọi (O; R) mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ta có R2 = OA2 + OK2 = r2+ h 4 = 4h 2+ IK2 ≥ 4h 2 ⇒ R ≥ h √ 5 2 Vậy Rmin = h√5 2 I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCD Chọn đáp án B  Câu 86 Cho hình chóp O.ABC có OA = OB = OC = a, ’AOB = 60◦, ’BOC = 90◦, ’COA = 120◦ Gọi S trung điểm OB Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC A a 4 B a√7 4 C a√7 2 D a Lời giải Vì 4OBC vng O nên BC = a√2 Vì 4OAB cân có ’AOB = 60◦ nên tam giác Do AB = a Trong 4OAC, ta có: AC =√OA2+ OC2− · OA · OC · cos 120◦ = a√3. Xét 4ABC có AB2+ BC2 = a2+Äa√2ä2 = 3a2 = BC2 O B I A M S H C (160)Mặt khác hình chóp O.ABC có OA = OB = OC = a nên OH ⊥ (ABC) hay OH trục đường tròn ngoại tiếp 4ABC Trong mặt phẳng (OBH), dựng đường trung trực SB cắt OH I, ta suy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có tâm I bán kính R = IS Gọi M trung điểm SB, ta có OM = 3a 4 OH = a 2 nên ’HOB = 60 ◦. Suy M I = OM · tan 60◦ = 3a √ 3 4 Khi R2 = IS2 = IM2+ M S2 = 27a 16 + a2 16 = 7a2 4 ⇒ R = √ 7 a H I B S M O Chọn đáp án C  Câu 87 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vng C, CH vng góc với AB H, I trung điểm HC Biết SI vng góc với mặt phẳng đáy, ’ASB = 90◦ Gọi O trung điểm đoạn AB, O0 tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABSI, α góc đường thẳng OO0 mặt phẳng (ABC) Tính cos α A √ 3 4 B √ 2 C 2 3 D 1 Lời giải Có ®BA ⊥ SI BA ⊥ CH ⇒ BA ⊥ (SHC) Trong (SCH) kẻ CK ⊥ SH K, suy CK ⊥ (SAB) Vì 4SBA vng nên O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB Suy OO0 ⊥ (SAB) ⇒ OO0 k CK. Suy góc α góc đường thẳng CK (ABC) góc ÷KCH Có SO = OC = AB 2 ⇒ 4SOH = 4COH ⇒ SH = CH Suy 4SCH suy α = 30◦ ⇒ cos α = √ 3 S C B A K H O I Chọn đáp án B  Câu 88 Cho hình cầu tâm O bán kính R = 5, tiếp xúc với mặt phẳng (P ) Một hình nón trịn xoay có đáy nằm (P ), có chiều cao h = 15, có bán kính đáy R Hình cầu hình nón nằm phía mặt phẳng (P ) Người ta cắt hai hình mặt phẳng (Q) song song với (P ) thu hai thiết diện có tổng diện tích S Gọi x khoảng cách (P ) (Q) (0 < x ≤ 5) Biết S đạt giá trị lớn x = a b  phân số a b tối giản  (161)S O P R 3R A T = 17 B T = 19 C T = 18 D T = 23 Lời giải Vì d ((P ), (Q)) = x ∈ (0; 5] ⇒ d (O, (Q)) = R − x = − x nên mặt cầu (S) cắt (Q) theo giao tuyến đường trịn (C1) có bán kính R(C1) = » R2− d2(O, (Q)) =»25 − (5 − x)2. Diện tích hình trịn thiết diện S(C1)= πR 2 (C1) = π [25 − (5 − x) 2]. Giả sử hình nón (N ) có tâm đường tròn đáy H mặt phẳng (Q) cắt (N ) theo giao tuyến đường tròn (C2) có tâm I Theo định lí Thales ta có SI SH = R(C2) R(N ) ⇔ h − x h = R(C2) 5 ⇔ R(C2) = 15 − x S H I Diện tích hình trịn thiết diện S(C2)= πR 2 (C2) = π Å 15 − x ã2 Tổng diện tích thiết diện S = S(C1)+ S(C2)= π25 − (5 − x) 2 + πÅ 15 − x ã2 = π ñ −8 9 Å x − 15 ã2 + 75 2 ô ≤ 75π Đẳng thức xảy x = 15 Chọn đáp án B  Câu 89 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB = BC = 3a√2, ’ SAB = ’SCB = 90◦ Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) 2a√3 Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC A 72√18πa3 B 18√18πa3 C 6√18πa3 D 24√18πa3 (162)Ta có ’SAB = ’SCB = 90◦ nên mặt cầu đường kính SB ngoại tiếp hình chóp S.ABC Gọi O trung điểm AC D điểm đối xứng với B qua O, ta có ABCD hình vng Ta có ®AB ⊥ SA AB ⊥ AD ⇒ AB ⊥ SD ®BC ⊥ SC BC ⊥ CD ⇒ BC ⊥ SD Suy SD ⊥ (ABCD) Gọi H hình chiếu vng góc D SC, ta có DH ⊥ (SBC) ⇒ DH = d (D, (SBC)) = d (A, (SBC)) = 2a√3 S O D C H A B Tam giác SCD vng D có đường cao DH nên SD2 = DH2 − 1 DC2 = 1 12a2 − 1 18a2 = 1 36a2 ⇒ SD = 6a Tam giác ABC vuông cân B nên AC = AB√2 = 6a ⇒ DB = 6a Suy tam giác SDB vuông cân D nên SB = DB√2 = 6a√2 Do bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC R = 3a√2 Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hìn chóp S.ABC V = 3πR 3 = 24√18πa3 Chọn đáp án D  Câu 90 Trong không gian, cho bốn mặt cầu có bán kính 2, 3, 3, (đơn vị độ dài) đơi tiếp xúc ngồi với Mặt cầu nhỏ tiếp xúc với bốn mặt cầu cho có bán kính A 15 B 3 7 C 6 11 D 5 Lời giải Gọi A, B tâm cầu bán kính 2; C, D tâm cầu bán kính Gọi I, r tâm bán kính mặt cầu cần tìm Mặt cầu (I) tiếp xúc với mặt cầu (A), (B), (C), (D) nên IA = IB = r + IC = ID = r + Vì IA = IB nên I thuộc mặt phẳng (P )-trung trực AB Tương tự I thuộc mặt phẳng (Q)-trung trực CD Suy I thuộc giao tuyến (P ) (Q) A D N B M C I Tứ diện ABCD có CA = CB = DA = DB = nên ta chứng minh đường thẳng qua trung điểm M AB trung điểm N CD đường vng góc chung AB CD Suy M N = (P ) ∩ (Q) Từ đó, ta có I ∈ M N Trong tam giác vuông AM I, IM =√IA2− AM2 =p(r + 2)2− 4. Trong tam giác vuông CN I, IN =√IC2− CN2 =p(r + 3)2− 9. Trong tam giác cân ADC, sử dụng cơng thức đường trung tuyến ta tính AN = Suy BN = AN = M N =√12 Vậy ta có phương trình » (163)Bình phương hai vế rút gọn ta p12(r2 + 6r) = r + ⇒   r = 11 r = −6 (loại) Thử lại, ta thấy r = 11 nghiệm phương trình ban đầu Kết luận: r = 11 Chọn đáp án C  Câu 91 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC tam giác vng A, AB = a√3, BC = 2a, đường thẳng AC0 tạo với mặt phẳng (BCC0B0) góc 30◦ Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ cho A 3πa2. B 24πa2. C 6πa2. D 4πa2. Lời giải Gọi O, O0 tâm đường trịn ngoại tiếp hai đáy hình lăng trụ ⇒ O, O0 là trung điểm BC, B0C0. Dễ thấy OO0 trục hai đường tròn ngoại tiếp 4ABC ∆A0B0C0 Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A0B0C0⇒I trung điểm OO0 B0 O0 H O B A0 A C0 C I Trong (ABC) kẻ AH ⊥ BC⇒ AH2 = 1 AB2 + 1 AC2 = 1 3a2 + 1 a2 = 4 3a2 ⇔ AH = a√3 2 Ta có:      (ABC) ⊥ (BCC0B0) (ABC) ∩ (BCC0B0) = BC AH ⊥ BC ⇒ AH ⊥ (BCC0B0). Do đó: (AC, (BCC0B0)) = (AC0, HC0) = ÷AC0H = 30◦. Xét 4AHC0 vng Hcó: sin ÷AC0H = AH AC0 ⇔ AC 0 = AH sin ÷AC0H ⇔ AC = a√3 sin 30◦ = a √ 3 Xét 4ACC0 vng C có: CC0 =√AC02− AC2 =√3a2− a2 = a√2. ⇒ O O0 = CC0 = a√2 ⇒ OI = O0I = OO 2 = a√2 2 Ta lại có: BC = 2a ⇒ OB = OC = BC 2 = a Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A0B0C0 Xét 4IBO vng O có: R = IB =√OI2+ OB2 = s Ç a√2 å2 + a2 = a √ 6 Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A0B0C0 là: S = 4π · Ç a√6 2 å2 = 6πa2. Chọn đáp án C  Câu 92 Cho hình chóp S.ABC có mặt đáy tam giác cạnh 2, hình chiếu vng góc S lên mặt đáy điểm H nằm tam giác ABC cho ’AHB = 150◦; ’BHC = 120◦; ’CHA = 90◦ Biết tổng diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.HAB; S.HBC; S.HCA 124π 3 Tính chiều cao SH hình chóp A SH = 3 B SH = 2√3 3 C SH = 4√3 3 D SH = 2 (164)Gọi R1, R2, R3 bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.HAB; S.HBC; S.HCA Gọi r1, r2, r3tương ứng bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác AHB; BHC; CHA h = SH Ta có R2i = r2i + h 4 i = 1, 2, Theo giả thiết ta có 4π 3 P i=1 R2 i = 124π 3 ⇔ 3 P i=1 R2 i = 31 Vậy 3 P i=1 r2 i + 3h2 = 31 (∗) Áp dụng định lý hàm số sin cho tam giác AHB; BHC; CHA ta có: r1 = AB sin ’AHB = 2, tương tự r2 = √ 3; r3 = Vậy (∗) ⇔ 19 3 + 3h2 4 = 31 3 ⇔ h = 4√3 3 150◦ 120◦ S A B C H h 2 2 Chọn đáp án C  Câu 93 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = a, BC = a √ 6 3 mặt phẳng (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Tính diện tích xung quanh mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC A 12πa 7 B 4πa2 7 C 3πa2 7 D 15πa2 Lời giải Đặt AC = 2x Gọi I trung điểm AC, tam giác SAC cân S suy SI vng góc với AC Do SI ⊥ (ABC) ⇒ SI ⊥ BI Áp dụng định lý Py-ta-go tam giác SAI ta SI2 = a2 − x2. Áp dụng định lý Py-ta-go tam giác SBI ta BI = x Do tam giác ABC vng B Suy AC = √ 15 3 ⇒ SI = a√21 6 S4ABC = 2SI · AC = a√35 12 A C B I S Do 4ABC vuông B (ABC) ⊥ (SAC) suy tâm mặt cầu ngoại tiếp nằm mặt phẳng (SAC) Do bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAC Mà ta có S4SAC = SA · SC · AC 4R ⇒ R = SA · SC · AC 4S4SAC = a√21 Vậy diện tích xung quanh mặt cầu ngoại tiếp S.ABC 4πR2 = 12πa 7 Chọn đáp án A  (165)A 3√2 B 2√3 C √3 D √ 3 Lời giải Ta có AB = (1; 1; 0), phương trình tham số AB là# »      x = + t y = + t z = Giao điểm AB (P ) M (−1; −1; 1) Ta tính M A = 2√2 M B = 3√2 Xét phương tích điểm M với mặt cầu (S) ta có M H2 = M A · M B = 12. Suy M H =√12 = 2√3 Vậy H thuộc đường trịn có bán kính R = M H = 2√3 Chọn đáp án B  Câu 95 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng C, CH vng góc AB H, I trung điểm đoạn thẳng HC Biết SI vng góc với mặt phẳng đáy, ’ASB = 90◦ Gọi O trung điểm AB, O0 tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABI Góc tạo OO0 (ABC) A 45◦ B 90◦ C 30◦ D 60◦ Lời giải Gọi K hình chiếu vng góc I SH Ta có IK ⊥ SH (1) Mặt khác, ta có ®AB ⊥ CH AB ⊥ SI ⇒ AB ⊥ (SHI) ⇒ AB ⊥ IH (2) Từ (1) (2) suy IK ⊥ (SAB) 4SAB vuông S nên O tâm đường tròn ngoại tiếp 4SAB Gọi ∆ đường thẳng qua O ∆ k IK ⇒ ∆ ⊥ (SAB) O S A I H O B K C Suy ∆ trục đường tròn ngoại tiếp 4SAB Theo giả thiết O0 tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABI, suy O0 ∈ ∆ Do ϕ = (OO0, (ABC)) = (∆, (ABC)) = (IK, (ABC)) = ’KIH Trong tam giác vuông SIH, ta có ’KIH = ‘HSI 4SHC có SI vừa đường cao vừa đường trung tuyến nên 4SHC cân S Từ giả thiết, ta suy  Tam giác CAB vuông C với CH đường cao nên CH2 = HA · HB.  Tam giác SAB vuông S với SH đường cao nên SH2 = HA · HB. Từ suy SH = CH = SC nên 4SHC Vậy ϕ = ‘HSI = 30◦ Chọn đáp án C  Câu 96 Một mơ hình gồm khối cầu xếp chồng lên tạo thành cột thẳng đứng Biết khối cầu có bán kính gấp đơi khối cầu nằm bán kính khối cầu 50 cm Hỏi mệnh đề sau đúng? A Chiều cao mô hình mét B Mơ hình đạt chiều cao tùy ý C Chiều cao mơ hình khơng q 1, mét D Chiều cao mơ hình tối đa mét (166)Gọi bán kính khối cầu R1 = 50 cm Gọi R2, R3, , Rn bán kính khối cầu nằm nằm khối cầu R1 Ta có R2 = R1 , R3 = R2 = R1 4 , , Rn = Rn−1 2 = R1 2n−1 Gọi hn chiều cao mơ hình gồm có n khối cầu chồng lên Ta có hn = R1+ R2+ R3+ · · · + Rn = R1+ 1 2R1+ 1 4R1+ · · · + 2n−1R1 = R1 Å + 2 + 4 + · · · + 2n−1 ã Suy chiều cao mơ hình là: h = lim n→+∞hn= limn→+∞ ï R1 Å 1 + + 1 4 + · · · + 2n−1 ãò Xét dãy số 1; 2; 4; ; 1 2n−1; 1 2n; cấp số nhân có u1 = cơng bội q = 2 nên dãy cấp số nhân lùi vơ hạn Do lim n→+∞ Å + 2 + 4 + · · · + 2n−1 ã = lim n→+∞ Ö − 2n − 2 è = Vậy chiều cao mơ hình h = · R1· = 200 cm Chọn đáp án A  Câu 97 Cho tứ diện ABCD có BC = a, CD = a√3, ’BCD = ’ABC = ’ADC = 90◦ Góc hai đường thẳng AD BC 60◦ Tìm bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A a √ 7 2 B a √ 3 C a √ 2 D a Lời giải Gọi K điểm thuộc mặt phẳng BCD cho tứ giác BCDK hình chữ nhật O tâm hình chữ nhật I trung điểm AC Ta có 4ABC vng B 4ACD vng D có BI DI đường trung tuyến, suy IA = IB = IC = ID nên mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm I bán kính R = AC 2 Từ ®OB = OC = OD IB = IC = ID ta suy IO ⊥ (BCD) B C I O K A D Lại có AK k IO (do OI đường trung bình tam giác ACK) nên AK ⊥ (BCD) Ta có BC k KD nên (BC; AD) = (KD; AD) = ’ADK = 60◦ Suy AK = DK tan 60◦ = a√3 Xét 4ACK vuông K, ta có AC =√AK2+ CK2 =√AK2+ BC2+ CD2 = a√7. Vậy R = AC 2 = a√7 2 Chọn đáp án A  Câu 98 Cho hai mặt cầu (S1) (S2) đồng tâm I, có bán kính R1 = R2 =√10 Xét tứ diện ABCD có hai đỉnh A, B nằm (S1) hai đỉnh C, D nằm (S2) Thể tích lớn khối tứ diện ABCD bao nhiêu? A 3√2 B 7√2 C 4√2 D 6√2 (167)H I C C0 D D0 K B B0 A A0 A C B D M N I Dựng mặt phẳng (P ) chứa AB song song CD, cắt mặt cầu (I, R1) theo giao tuyến đường tròn tâm H Dựng mặt phẳng (Q) chứa CD song song AB, cắt mặt cầu (I, R2) theo giao tuyến đường tròn tâm K Lần lượt dựng hai đường kính A0B0 (H), C0D0 (K) vng góc Khi đó, HK = d(AB, CD) = d(A0B0, C0D0) Ta có VABCD = 6AB · CD · d(AB, CD) · sin(AB, CD) ≤ 6A 0 B0· C0D0· HK = VA0B0C0D0 Do cần xét tứ diện dạng A0B0C0D0 Vậy điều kiện để VABCD lớn AB ⊥ CD Gọi M , N trung điểm AB CD Đặt CN = x, AM = y với x ∈Ä0;√10ó, y ∈ (0; 2] Khi IN =√10 − x2, IM = p4 − y2, d(AB, CD) = M N = IN + IM =√10 − x2+p4 − y2. Do VABCD = 6AB · CD · d(AB, CD) = 6 · 2x · 2y Ä√ 10 − x2+p4 − y2ä= 3xy Ä√ 10 − x2 +p4 − y2ä. Ta có VABCD = 3xy √   10 − x2 2 + √ 1p4 − y2 ! ≤ 3xy   (2 + 1)Å 10 − x 2 + − y ã ⇒ VABCD ≤ 3xy … 2[18 − (x 2+ 2y2)] ≤ 3xy … Ä 18 − 2√2xyä= 3xy q 3Ä9 −√2xyä ⇒ V2 ABCD ≤ 9(xy) 2· 3Ä 9 −√2xyä= 3· xy √ · xy √ Ä 9 −√2xyä ⇒ VABCD2 ≤ Ö xy √ + xy √ 2 + − √ 2xy è3 = · Å ã3 = 72 ⇒ VABCD ≤ √ 2 Đẳng thức xảy            … 10 − x2 √ 2 = p4 − y2 xy √ 2 = − √ 2xy ⇒®x = √ (168)Vậy thể tích lớn khối tứ diện ABCD 6√2 Chọn đáp án D  Câu 99 Cho hình chóp tam giác S.ABC có mặt đáy tam giác cạnh a Gọi M, N trung điểm AB, BC P điểm thuộc tia đối SC cho SC = 3SP Biết mặt cầu qua A, M, N mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AM N P có bán kính nhỏ Tính chiều cao hình chóp S.ABC A √ 3a 3 B √ 12 C √ 6a 4 D √ 6a 12 Lời giải Gọi O trung điểm AC, ta có OM = ON = OA = OC ⇒ O tâm đường tròn ngoại tiếp AM N C Đặt SA = x Do mặt cầu ngoại tiếp P.AM N mặt cầu có bán kính nhỏ qua A, M, N ⇒ (AM N ) mặt phẳng kính ⇒ O tâm mặt cầu ⇒ OP = a 2 Ta có OP2 = OC2+ CP2− 2P C · OC · cos ’OCP (1) Ta có (1) ⇔ a 2 = a2 + 16 x 2− 2a 2 · 4x 3 · a 2x ⇔ x 2 = 8 ⇔ x = √ 6 a Chiều cao hình chóp S.ABC SG =√SC2− GC2 =… 8a 2 −1 3a 2 = √ 6a 12 Vậy chiều cao hình chóp √ 6a 12 O G A B C S M N P Chọn đáp án D  Câu 100 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm I, cạnh AB = 3a, BC = 4a Hình chiếu S mặt phẳng (ABCD) trung điểm ID Biết SB tạo với mặt phẳng (ABCD) góc 45◦ Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD A 25πa 2 B 125πa2 4 C 125πa2 2 D 4πa 2. Lời giải Gọi H trung điểm ID J tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Ta có SH ⊥ (ABCD) Do ABCD hình chữ nhật tâm I nên BD = 5a, HB = 15a , HD = 5a 4 Vì (SB, (ABCD)) = 45◦ ⇒ ’SBH = 45◦ ⇒ SH = 15a SD =√SH2+ HD2 =   Å 15a 4 ã2 +Å 5a ã2 = 5a √ 10 S B C I H J M A D 45◦ Ta có IJ ⊥ (ABCD) ⇒ IJ k SH ⇒ J ∈ (SBD) nên bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác SBD Áp dụng định lý sin ta có 2R = SD sin 45◦ = 5a√5 2 ⇒ R = 5a√5 4 Vậy diện tích mặt cầu S = 4πR2 = 125πa 2 4 (169)ĐÁP ÁN 1 D B A A D B A B B 10 C 11 B 12 A 13 B 14 A 15 D 16 D 17 C 18 D 19 D 20 B 21 B 22 C 23 C 24 B 25 D 26 A 27 A 28 D 29 D 30 A 31 D 32 B 33 A 34 A 35 A 36 D 37 A 38 C 39 A 40 A 41 C 42 C 43 D 44 C 45 C 46 B 47 B 48 A 49 B 50 D 51 A 52 A 53 B 54 D 55 B 56 D 57 B 58 A 59 D 60 A 61 B 62 C 63 C 64 B 65 B 66 A 67 D 68 B 69 D 70 C 71 B 72 D 73 B 74 C 75 C 76 A 77 A 78 B 79 B 80 B 81 C 82 A 83 B 84 B 85 B 86 C 87 B 88 B 89 D 90 C (170)5 Bài toán thực tế Câu Cần xây hồ cá có dạng hình hộp chữ nhật với đáy có cạnh 40 cm 30 cm Để trang trí người ta đặt vào cầu thủy tinh có bán kính cm Sau đổ đầy hồ 30 lít nước Hỏi chiều cao hồ cá cm? (Lấy xác đến chữ số thập phân thứ 2) A 25,66 B 24,55 C 24,56 D 25,44 Lời giải Thể tích hồ cá V = 30 000 +4 3π5 3 ≈ 30 523,6 cm3. Chiều cao hồ cá h = V 40 · 30 ≈ 30 523,6 1200 ≈ 25,44 cm 5 cm 30 cm 40cm Chọn đáp án D  Câu Trong hộp hình trụ người ta bỏ vào ba bóng tennis Biết đáy hình trụ hình trịn lớn bóng chiều cao hình trụ lần đường kính bóng Gọi S1 tổng diện tích ba bóng S2 diện tích xung quanh hình trụ Tính tỉ số k = S1 S2 A k = B k = C k = D k = 2 Lời giải Gọi r1 bán kính bóng Gọi h, r2 tương ứng chiều cao bán kính đáy hình trụ Theo đề ta có: h = · (2r1) = 6r1 r1 = r2 Diện tích xung quanh hình trụ là: S2 = 2πr2h = 2πr1· 6r1 = 12πr21 Tổng diện tích ba bóng là: S1 = · 4πr12 = 12πr12 Khi S1 S2 = 12πr2 12πr2 = Chọn đáp án A  Câu Một bình đựng nước dạng hình nón (khơng có đáy), đựng đầy nước Người ta thả vào khối cầu có đường kính chiều cao bình nước đo thể tích nước tràn 18π Biết khối cầu tiếp xúc với tất đường sinh hình nón nửa khối cầu chìm nước Tính thể tích nước cịn lại bình A 24π B 18π C 6π D 36π (171)Thể tích nước tràn ngồi thể tích khối cầu chìm bình đựng nước Gọi R bán kính khối cầu, ta có 1 · 4 3πR 3 = 18π ⇔ R3 = 27 ⇔ R = 3. Suy chiều cao bình đựng nước h = 2R = Do khối cầu tiếp xúc với tất đường sinh hình nón nên xét mặt cắt điểm hình bên ta có B S H A O 1 OH2 = 1 OS2 + 1 OB2 ⇒ 1 OB2 = 1 OH2 − 1 OS2 = 1 12 ⇒ OB = √ 3 Vậy thể tích hình nón 3π · OB 2· h = 3π · Ä 2√3ä2· = 24π Suy phần nước cịn lại tích 24π − 18π = 6π Chọn đáp án C  Câu Tòa nhà Ericsson Globe (Thụy Điển) tòa bán cầu lớn giới, có hình dạng bóng màu trắng lớn, với đường kính khoảng 110 mét Tòa nhà lắp đặt thang máy với tên gọi Skyview, hệ thống thang máy hình cầu xây dựng bên ngồi tịa nhà Giả sử nhà thiết kế thuê nhân công công ty A để lắp đặt đường ray cho thang máy sơn bên ngồi tịa nhà Biết chi phí cơng lắp đặt đường ray cho thang máy 10 đôla mét dài (trên hình hệ thống đường ray kép, có hai làn, tính tiền cơng tính chiều dài chiều dài làn), công sơn mét vng bên ngồi tịa nhà 10 đơla Coi tịa nhà hình bán cầu độ dài đường ray tính nửa độ dài đường trịn có bán kính bán kính hình cầu Khi số tiền th nhân cơng trả cho công ty A xấp xỉ bao nhiêu? A 3486277 đô la B 383588 đô la C 191794 đô la D 475165 đô la Lời giải Độ dài đường ray nửa chu vi đường tròn có đường kính 110 mét ta πR = 55π Diện tích quét sơn nửa diện tích xung quanh hình cầu đường kính 110 mét Ta có 2 · · πR 2 = · 552· π. Chi phí thực tồn cơng trình 10 · 55π + 10 · · 552π ≈ 191794 đô la A B O Chọn đáp án C  Câu Người ta bỏ ba bóng bàn kích thước vào hộp hình trụ có đáy hình trịn lớn bóng bàn chiều cao ba lần đường kính bóng bàn Gọi S1 tổng diện tích ba bóng bàn, S2 diện tích xung quanh hình trụ Tỉ số S1 S2 bằng A B 1,2 C D 1,5 (172)Gọi R bán kính bóng bàn Khi bán kính đáy hộp hình trụ R Tổng diện tích ba bóng bàn S1 = · 4πR2 = 12πR2 Diện tích xung quanh hình trụ S2 = 2πR · 6R = 12πR2 Do S1 S2 = Chọn đáp án A  Câu Có hình nón có tính chất sau: Có bốn cầu bán kính r, có ba cầu tiếp xúc với nhau, tiếp xúc với mặt đáy đồng thời tiếp xúc với mặt xung quanh hình nón Quả cầu thứ tư tiếp xúc với ba cầu tiếp xúc với mặt xung quanh hình nón Tìm chiều cao hình nón theo r? A r Ä 3√3 + + 2√6ä B r Ä√ 3 + +√6ä C r 3 Ä 3√3 − + 2√6ä D r Ä 3√3 + +√6ä Lời giải A C M B H I Q K P A O I H L N Giả sử r =  Gọi I, A, B, C tâm bốn cầu Khi đó, IABC tứ diện cạnh Suy IA = 2, AH = √ 3 , IH = 2√6 3 với H chân đường cao tứ diện ABCD hạ từ đỉnh I  Gọi O đỉnh hình nón, P Q đường kính đường trịn đáy hình nón, K trung điểm (173) Xét tam giác OLI tam giác IHA có ILO = ’‘ AHI = 90◦ ‘IOL = ’AIH nên hai tam giác đồng dạng Suy OI IA = LI HA ⇒ OI = IA · LI HA = · 1 2√3 3 =√3 Vậy h =√3 + √ 6 3 + = 3√3 + + 2√6 6 Chọn đáp án A  Câu Một bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu có đường kính 1,8 m hình trụ có chiều cao 3,6 m (như hình vẽ minh hoạ) Thể tích bồn chứa gần với kết sau đây? A 12,21 m3. B 3,05 m3. C 24,43 m3. D 9,16 m3. 3,6 m 1,8 m Lời giải Thể tích bồn chứa thể tích khối cầu có bán kính R = 0,9 m khối trụ có R = 0,9 m, chiều cao h = 3, m Hay V = 3· π · R 3 + π · R2· h = 3· π · (0,9) + π · (0,9)2· 3, ≈ 12,21 m3. Chọn đáp án A  Câu Có khối cầu gỗ bán kính R = 10 cm Sau cưa hai chỏm cầu có bán kính đáy R 2 đối xứng qua tâm khối cầu Một người thợ mộc đục xuyên tâm khối cầu gỗ Người thợ mộc đục bỏ phần hình hộp chữ nhật có trục trùng với trục hình cầu có hai mặt nằm hai mặt phẳng chứa hai đáy hai chỏm cầu; hai mặt hai hình vng có đường chéo R (tham khảo hình vẽ bên) Tính thể tích V phần cịn lại khối cầu (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba) A V = 3215,023 cm3 B V = 3322,765 cm3 C V = 3268,894 cm3 D V = 3161,152 cm3 Lời giải Gọi O tâm khối cầu ban đầu, I tâm mặt đáy khối hộp Ta có chiều cao khối hộp h = 2OI = 2√OA2 − IA2 = 10√3 cm. Thể tích khối hộp chữ nhật Vhộp = h · Sđáy = 10√3 ·10 · 10 2 = 500 √ 3 cm3 Thể tích khối cầu ban đầu Vcầu= 3πR = 3π · 10 3 = 4000π cm 3. A I O (174)π 10 Z 5√3 100 − y2 dy ≈ 53,871 cm3 Vậy thể tích cần tìm V = V cầu− Vhộp− 2Vchỏm cầu ≈ 3215,023 cm3 Chọn đáp án A  Câu Trên bàn có cốc nước hình trụ chứa đầy nước, có chiều cao lần đường kính đáy; viên bi khối nón thủy tinh Biết viên bi khối cầu có đường kính đường kính cốc nước Người ta từ từ thả vào cốc nước viên bi khối nón (như hình vẽ) thấy nước cốc tràn ngồi Tính tỉ số thể tích lượng nước cịn lại cốc lượng nước ban đầu (bỏ qua bề dày lớp vỏ thủy tinh) A 2 B 2 3 C 4 9 D 5 Lời giải Gọi bán kính hình trụ R, suy chiều cao hình trụ h = 3R Do chiều cao khối nón h1 = h − 2R = R Thể tích khối cầu V1 = 3πR 3. Thể tích khối nón V2 = 1 3πh1R 2 = 3πR 3. Thể tích khối trụ V3 = πR2h = 3πR3. Thể tích nước tràn V0 = V1+ V2 = 3πR 3. Thể tích nước cịn lại V00= V3− V0 = 4 3πR 3. Tỉ số cần tìm V 00 V0 = Chọn đáp án C  Câu 10 Một bình đựng đầy nước có dạng hình nón (khơng có đáy) Người ta thả vào khối cầu có đường kính chiều cao bình nước đo thể tích nước tràn 18π dm3 Biết khối cầu tiếp xúc với tất đường sinh hình nón nửa khối cầu chìm nước Tính thể tích nước cịn lại bình A 24π dm3. B 12π dm3 C 6π dm3. D 4π dm3. O A B S (175)Đặt OS = 2x, (x > 0), chiều cao hình nón h = 2x, bán kính khối cầu R = x Thể tích phần nước tràn 2· 4πR3 3 = 18π ⇔ x 3 = 27 ⇔ x = dm. Gọi I hình chiếu vng góc O lên SB ⇒ R = OI, ta có 1 OI2 = 1 OB2 + 1 OS2 ⇔ 1 OB2 = 1 R2 − 1 4R2 = 1 12 Suy ta có OB = 2√3 dm Thể tích cốc V = 3πOB 2· h = 3π · 12 · = 24π dm 3. Do vậy, thể tích nước cịn lại 24π − 18π = 6π dm3 I O A B S Chọn đáp án C  Câu 11 Cho bình hình trụ chứa cam dạng hình cầu, có cam nhỏ bán kính cam to có bán kính R Biết cam nhỏ đơi tiếp xúc nhau, cam tiếp xúc với đáy bình tiếp xúc với đường sinh bình; cam to cịn lại đồng thời tiếp xúc với cam nhỏ, tiếp xúc với đường sinh bình tiếp xúc với mặt nắp bình (bỏ qua bề dày ly, hình mơ tả hình vẽ ) Chiều cao h bình A h = RÄp2√3 − + 1ä2 B h = RÄp2√3 − − 1ä2 C h = RÄp2√3 + + 1ä2 D h = RÄp2√3 + − 1ä2 h Lời giải A B C O S B C O A Gọi S, A, B, C tâm hình cầu lớn hình cầu nhỏ Ta có          SA = R + r AO = 3 · √ 3 · 2r R = AO + r ⇒        (176)Ta có SO2 = SA2− AO2 = R2hÄ−2 + 2√3ä2−Ä4 − 2√3ä2i = R2(−12 + 8√3) Chiều cao bình h = R h» (−12 + 8√3) + (−3 + 2√3) + i = RÄp2√3 − + 1ä2 Chọn đáp án A  Câu 12 Quả bóng đá dùng thi đấu giải bóng đá Việt Nam tổ chức có chu vi thiết diện qua tâm 68,5 (cm) Quả bóng ghép nối miếng da hình lục giác màu trắng đen, miếng có diện tích 49,83 (cm2) Hỏi cần miếng da để làm bóng trên? A 40 B 20 C 35 D 30 Lời giải Thiết diện qua tâm đường trịn có chu vi 68,5 (cm) nên bán kính bóng R = 68,5 2π ≈ 10,902 (cm) Diện tích bề mặt bóng 4πR2 = 1493,59 (cm2). Số miếng da cần 1493,59 49,83 ≈ 29,974 Vậy số miếng da cần để làm bóng 30 miếng Chọn đáp án B  Câu 13 Người ta sản xuất vật lưu niệm (N ) thủy tinh suốt có dạng khối trịn xoay mà thiết diện qua trục hình thang cân (xem hình vẽ) Bên (N ) có hai khối cầu ngũ sắc với bán kính R = cm, r = cm tiếp xúc với tiếp xúc với mặt xung quanh (N ) đồng thời hai khối cầu tiếp xúc với hai mặt đáy (N ) Tính thể tích vật lưu niệm A 485π cm 3. B 81π cm3. C 72π cm3. D. 728π cm 3. (177)Gọi tâm hai đường tròn (N ) I D Ta có OB tiếp tuyến chung hai đường trịn R S Khi đó®DR ⊥ OB IS ⊥ OB Kẻ DJ k OB (J ∈ AB) DP SR hình chữ nhật nên P S = DR = cm, ta có IP = cm Ta có ∆DP I đồng dạng với ∆ORD nên DR IP = OD DI ⇒ OD = DR · DI IP = 1 · 2 = cm Từ suy OF = cm Ta lại có ∆DP I đồng dạng với ∆OF B nên OB DI = OF DP ⇒ OB = OF · DI DP = OF · DI √ DI2− IP2 = √ 3 cm Từ suy BF =√OB2 − OF2 = 3√3 cm. Ta có ∆OEK đồng dạng với ∆OF B nên B O A M H N K R S I D F J P E EK F B = OE OF ⇒ EK = OE · F B OF = 1 · 3√3 9 = √ 3 cm Vì (N ) khối nón cụt nên tích VN = π EH 2+ F A2+ EH · F A EF = 728π cm 3. Cách khác Xét phép vị tự tâm O, tỉ số k = 3 khối cầu (I) biến thành khối cầu (D) Khi # » OD = # » OI ⇒ 3(OE + 1) = OE + hay x = Trong tam giác vng ODR R có OD = = 2OR suy ’DOR = 30◦ Do ÷HOK = 60◦ Khi HK = 2OE√ 3 = 2√3 3 Vì V(O,1 3)(M N ) = HK V(O, 3)(AB) = M N nên AB = 3M N = 9HK = √ Vì (N ) khối nón cụt nên tích VN = π EH 2+ F A2+ EH · F A EF = π "Ç √ 3 å2 +Ä3√3ä2+ Ç √ 3 å Ä 3√3ä # 8 = 728π cm 3. (178)ĐÁP ÁN 1 D A C C A A A A C 10 C Geogebrapro ... C(0; 0; 3) Hỏi có tất mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa đường tròn (C) tiếp xúc với ba đường thẳng AB, AC, BC A Một mặt cầu B Hai mặt cầu C Bốn mặt cầu D Vô số mặt cầu Lời giải... thỏa mãn yêu cầu toán Chọn đáp án C  Câu 71 Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu (S1) có tâm I(2; 1; 1) bán kính mặt cầu (S2) có tâm J (2; 1; 5) bán kính (P ) mặt phẳng... án D  Câu 90 Trong không gian, cho bốn mặt cầu có bán kính 2, 3, 3, (đơn vị độ dài) đôi tiếp xúc với Mặt cầu nhỏ tiếp xúc với bốn mặt cầu cho có bán kính A 15
- Xem thêm -

Xem thêm: Mặt cầu - ôn tập THPT Quốc gia 2020 Môn Toán - Sách Toán - Học toán, Mặt cầu - ôn tập THPT Quốc gia 2020 Môn Toán - Sách Toán - Học toán