Bài tập bồi dưỡng MTBT MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ Bài 1: Cho dãy số a1 = 3; a n + 1 = 3 3 1 n n n a a a + + . a) Lập quy trình bấm phím tính a n + 1 b) Tính a n với n = 2, 3, 4, ., 10 Bài 2: Cho dãy số x 1 = 1 2 ; 3 1 1 3 n n x x + + = . a) Hãy lập quy trình bấm phím tính x n + 1 b) Tính x 30 ; x 31 ; x 32 Bài 3: Cho dãy số 1 4 1 n n n x x x + + = + (n ≥ 1) a) Lập quy trình bấm phím tính x n + 1 với x 1 = 1 và tính x 100 . b) Lập quy trình bấm phím tính x n + 1 với x 1 = -2 và tính x 100 . Bài 4: Cho dãy số 2 1 2 4 5 1 n n n x x x + + = + (n ≥ 1) a) Cho x 1 = 0,25. Viết quy trình ấn phím liên tục để tính các giá trị của x n + 1 b) Tính x 100 Bài 5: Cho dãy số ( ) ( ) 5 7 5 7 2 7 n n n U + − − = với n = 0; 1; 2; 3; . a) Tính 5 số hạng đầu tiên U 0 , U 1 , U 2 , U 3 , U 4 b) Chứng minh rằng U n + 2 = 10U n + 1 – 18U n . c) Lập quy trình bấm phím liên tục tính U n + 2 theo U n + 1 và U n . HD giải: a) Thay n = 0; 1; 2; 3; 4 vào công thức ta được U 0 = 0, U 1 = 1, U 2 = 10, U 3 = 82, U 4 = 640 b) Chứng minh: Giả sử U n + 2 = aU n + 1 + bU n + c. Thay n = 0; 1; 2 và công thức ta được hệ phương trình: 2 1 0 3 2 1 4 3 2 10 10 82 82 10 640 U aU bU c a c U aU bU c a b c a b c U aU bU c = + + + =     = + + ⇔ + + =     + + = = + +   Giải hệ này ta được a = 10, b = -18, c = 0 c) Quy trình bấm phím liên tục tính U n + 2 trên máy Casio 570MS , Casio 570ES Đưa U 1 vào A, tính U 2 rồi đưa U 2 vào B 1 SHIFT STO A x 10 – 18 x 0 SHIFT STO B, lặp lại dãy phím sau để tính liên tiếp U n + 2 với n = 2, 3, . x 10 – 18 ALPHA A SHFT STO A (được U 3 ) x 10 – 18 ALPHA B SHFT STO B (được U 4 ) Bài 6: Cho dãy số 3 5 3 5 2 2 2 n n n U     + − = + −  ÷  ÷  ÷  ÷     với n = 1; 2; 3; . a) Tính 5 số hạng đầu tiên U 1 , U 2 , U 3 , U 4 , U 5 b) Lập công thức truy hồi tính U n + 1 theo U n và U n – 1 . GV: Vũ Minh Sơn 1 Mobile: 0988720186 Bài tập bồi dưỡng MTBT c) Lập quy trình bấm phím liên tục tính U n + 1 trên máy Casio Bài 7: Cho dãy số với số hạng tổng quát được cho bởi công thức 32 )313()313( nn n U −−+ = với n = 1 , 2 , 3 , . . . k , . . . a) Tính 87654321 ,,,,,,, UUUUUUUU b) Lập công thức truy hồi tính 1 + n U theo n U và 1 − n U c) Lập quy trình ấn phím liên tục tính 1 + n U theo n U và 1 − n U Bài 8: Cho dãy số { } n U được tạo thành theo quy tắc sau: Mỗi số sau bằng tích của hai số trước cộng với 1, bắt đầu từ U 0 = U 1 = 1. a) Lập một quy trình tính u n . b) Tính các giá trị của U n với n = 1; 2; 3; .; 9 c) Có hay không số hạng của dãy chia hết cho 4? Nếu có cho ví dụ. Nếu không hãy chứng minh. Hướng dẫn giải: a) Dãy số có dạng: U 0 = U 1 = 1, U n + 2 = U n + 1 . U n + 1, (n =1; 2; .) Quy trình tính U n trên máy tính Casio 500MS trở lên: 1 SHIFT STO A x 1 + 1 SIHFT STO B. Lặp lại dãy phím x ALPHA A + 1 SHIFT STO A x ALPHA B + 1 SHIFT STO B b) Ta có các giá trị của U n với n = 1; 2; 3; .; 9 trong bảng sau: U 0 = 1 U 1 = 1 U 2 = 2 U 3 = 3 U 4 = 7 U 5 = 22 U 6 = 155 U 7 = 3411 U 8 = 528706 U 9 = 1803416167 Bài 9: Cho dãy số U 1 = 1, U 2 = 2, U n + 1 = 3U n + U n – 1 . (n ≥ 2) a) Hãy lập một quy trình tính U n + 1 bằng máy tính Casio b) Tính các giá trị của U n với n = 18, 19, 20 Bài 11: Cho dãy số U 1 = 1, U 2 = 1, U n + 1 = U n + U n – 1 . (n ≥ 2) c) Hãy lập một quy trình tính U n + 1 bằng máy tính Casio d) Tính các giá trị của U n với n = 12, 48, 49, 50 ĐS câu b) U 12 = 144, U 48 = 4807526976, U 49 = 7778742049 , U 49 = 12586269025 Bài 12: Cho dãy số sắp thứ tự với U 1 = 2, U 2 = 20 và từ U 3 trở đi được tính theo công thức U n + 1 = 2U n + U n + 1 (n ≥ 2). a) Tính giá trị của U 3 , U 4 , U 5 , U 6 , U 7 , U 8 b) Viết quy trình bấm phím liên tục tính U n c) Sử dụng quy trình trên tính giá trị của U n với n = 22; 23, 24, 25 Bài 1. Cho dãy số sắp thứ tự 1 2, 3 1 , , ., , , . n n u u u u u + biết: 1 2 3 1 2 3 1, 2, 3; 2 3 ( 4) n n n n u u u u u u u n − − − = = = = + + ≥ 1.1 Tính 4 5 6 7 , , , .u u u u 1.2 Viết qui trình bấm phím liên tục để tính giá trị của n u với 4n ≥ . GV: Vũ Minh Sơn 2 Mobile: 0988720186 Bài tập bồi dưỡng MTBT 1.3 Sử dụng qui trình trên, tính giá trị của 20 22 25 28 , , , .u u u u Bài 2. Cho dãy số sắp thứ tự 1 2, 3 1 , , ., , , . n n u u u u u + , biết 5 6 588 , 1084u u= = và 1 1 3 2 n n n u u u + − = − . Tính 1 2 25 , ,u u u . Bài 3: Cho 2 2 2 2 1 2 3 1 1 . . 2 3 4 n n u i n − = − + − + + ( 1i = nếu n lẻ, 1i = − nếu n chẵn, n là số nguyên 1n ≥ ). 3.1 Tính chính xác dưới dạng phân số các giá trị: 4 5 6 , ,u u u . 3.2 Tính giá trị gần đúng các giá trị: 20 25 30 , ,u u u . 3.3 Nêu qui trình bấm phím để tính giá trị của n u Bài 4: Cho dãy số n u xác định bởi: + + + +  = = =  +  1 1 2 2 1 2 3 1; 2; 3 2 n n n n n u u u u u u u 4.1 Qui trình bấm phím để tính u n và S n : 4.2 Tính giá trị của 10 15 21 , ,u u u 4.3 Gọi n S là tổng của n số hạng đầu tiên của dãy số ( ) n u . Tính 10 15 20 , ,S S S . Bài 5 : Cho dãy số { } n u với n n n n u       += cos 1 a) Hãy chứng tỏ rằng , với N = 1000 , có thể tìm cặp hai chỉ số 1 , m lớn hơn N sao cho 2 1 ≥− uu m b) Với N = 1 000 000 điều nói trên còn đúng không ? c) Với các kết quả tính toán như trên , Em có dự đoán gì về giới hạn của dãy số đã cho ( khi ∞→ n ) Bài 6. Cho dãy số 1 2, 3 1 , , ., , , . n n u u u u u + biết: 1 2 3 1 2 3 1, 2, 3; 2 3 ( 4) n n n n u u u u u u u n − − − = = = = + + ≥ 6.1 Tính 4 5 6 7 , , , .u u u u 6.2 Viết qui trình bấm phím liên tục để tính giá trị của n u với 4n ≥ . 6.3 Sử dụng qui trình trên, tính giá trị của 22 25 28 , , .u u u . Bài 7. Cho dãy số U 1 = 3 3 ; ( ) 3 3 1 − = nn UU , n là số tự nhiên và n 2 ≥ 7.1 Viết quy trình bấm phím để tính U n . 7.2 Tính 5 số hạng đầu tên của dãy số trên 2) Cho ( ) n n S 1 .4321 −+−+−= . Tính S 2004 + S 2005 + S 2006 + S 2007 Bài 8. Cho 1 dãy số 1110 10,10,2 −+ −=== nnn UUUUU , n = 1, 2, 3 . Hãy tính giá trị của số hạng 105 ,UU Bài 9. Cho ( ) ( ) 1 2 3 2 3 3 4 4 5 1 2 n n S n n = + + +×××+ × × × + + , n là số tự nhiên. a) Tính 10 S và cho kết quả chính xác là một phân số hoặc hỗn số. b) Tính giá trị gần đúng với 6 chữ số thập phân của 15 S Bài 10. Cho dãy số a n được xác định như sau: 1 2 2 1 1 1 1, 2, 3 2 n n n a a a a a + + = = = + với mọi , 3n n∈ ≥¥ GV: Vũ Minh Sơn 3 Mobile: 0988720186 u 1 = u 2 = u 25 = , nếu n lẻ , nếu n chẵn Bài tập bồi dưỡng MTBT Tính chính xác dưới dạng phân số tổng của 10 số hạng đầu tiên của dãy số đó. Bài 11. Cho dãy số u n được xác định như sau: 1 2 2 1 1, 2, 3 2 n n n u u u a a + + = = = + với mọi , 3n n∈ ≥¥ 11.1 Qui trình bấm phím để tính u n 11.2 Tính giá trị của 6 12 15 , ,u u u Bài 12. Cho dãy số u n được xác định như sau: 1 2 2 1 1 2, 3, 3 2 n n n u u u a a + + = = − = + với mọi , 3n n∈ ≥¥ 12.1 Qui trình bấm phím để tính u n, S n 12.2 Tính giá trị của 15 15 ,u S Bài 15. Cho 2 3 1 1 1 1 . 3 3 3 3 n n S = + + + + với * n∈ ¥ 15.1 Lập quy trình bấm phím để tính S n 15.2 Tính giá trị gần đúng với 6 chữ số thập phân của S 15 15.3 Tính giới hạn lim n n S →∞ Bài 16. Cho 2 0 1 2008, , ,0 1003 1 n n n a a n n a + = = ∈ ≤ ≤ + ¥ . Hãy tính gần đúng với 5 chữ số thập phân giá trị bé nhất của a n. Bài 17. Cho dãy số ( ) ( ) 3 2 3 2 2 2 n n n u + − − = với n = 1, 2, 3, … 17.1 Tính 5 số hạng đầu tiên của dãy số u 1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 . 17.2 Chứng minh rằng 2n u + = 6u n+1 – 7u n 17.3 Lập quy trình bấm phí liên tục để tính u n+2 . ------------------------------------------- GV: Vũ Minh Sơn 4 Mobile: 0988720186 a . Bài tập bồi dưỡng MTBT MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ Bài 1: Cho dãy số a1 = 3; a n + 1 = 3 3 1 n n n a a a + + lẻ , nếu n chẵn Bài tập bồi dưỡng MTBT Tính chính xác dưới dạng phân số tổng của 10 số hạng đầu tiên của dãy số đó. Bài 11. Cho dãy số u n được xác định