2 23 x x + 2 π 1 2 +x x 3 x Đề cương ôn tập môn toán lớp 12— THPT. 0977467739 ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN TOÁN LỚP 12 PHẦN I : GIẢI TÍCH I / Đạo hàm : Kiến thức : Qui tắc tính đạo hàm của các hàm số cơ bản (SGK), các bài toán liên quan : + Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm + Chứng minh đẳng thức + Giải pt, bất pt • Áp dụng : VD 1: Tính đạo hàm của y= cos 2 x – sin2x tại x = Có y’ = -2cosx.sinx - 2cos2x Nên y’( ) = -2cos . sin - 2cos2  y’( ) = -1 BT tự giải : Tính đạo hàm của hàm số tại điểm 1/ y = sin2x tại x = π b/ y = tgx – cotgx tại x = 2/ y = (2x 2 -5x +1) 2 tại x = -2 d/ y = tại x = 2 3/ y = cos 3 x.sin 2 x tại x = - f/ y = tại x = 4/ y =ln(x+ ) tại x = 1 h/ y = e 2x+1 .sinx tại x = 0 ☺  HD : Tính y’, rồi thay giá trò x đã cho vào biểu thức y’ để có kết quả. VD 2 : Cho y = x.e sinx cmr : y” –y’.cosx + y.sinx –cosx.e sinx = 0 Có : y’ = e sinx + x.cosx.e sinx y” =cosx.e sinx +cosx.e sinx -x.sinx.e sinx + x.cos 2 x.e sinx nên y” –y’.cosx + y.sinx –cosx.e sinx = 2cosx.e sinx -x.sinx.e sinx +x.cos 2 x.e sinx –(e sinx + x.cosx.e sinx ) cosx +x.sinx.e sinx -cosx.e sinx =0 (đpcm) BT Tự giải : 1/ Cho y = e x .cosx cmr : 2y - 2y’ + y ” = 0 2/ Cho y = ln 2 x cmr : x 2 y” +xy’ =2 3/ Cho y = . Cmr : x 3 y ’ = y 3 4/ Cho y = (x-x 2 ).e x giải pt y’ + e x = 0 5/ Cho y =x 2 .ln giải pt y’ – x = 0 6/ Cho y = x - . Giải bất phương trình y ’ > 0 ☺  HD : Tính các đạo hàm (y’, y”…) có mặt trong biểu thức (pt-bpt) cần cm (giải) rồi thay vào biểu thức (pt-bpt), thu gọn lại để có điều cần cm (pt-bpt đã biết cách giải). II/ HÀM SỐ : Kiến thức : Xét sự biến thiên, tính lồi, lõm-điểm uốn, tiệm cận của 4 hàm số và phương pháp giải các dạng toán cơ bản liên quan : 1 4 π 4 π 4 π 3 π 4 π 4 π 4 π 4 π 4 π 73 24 +− xx xx xx sincos2 2sincos + − 1 2 +x Đề cương ôn tập môn toán lớp 12— THPT. 0977467739 A. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ 1/ Điều kiện để h.số đơn điệu (đồng biến/nghòch biến) Hàm số y = f(x) liên tục trên miền D thì + Đồng biến trên D  y’ ≥ 0 ∀x∈ D + Nghòch biến trên D  y’ ≤ 0 ∀x∈ D • ÁP DỤNG : VD : Cho y = x 3 -3mx 2 –mx + 1. Tìm m để hàm số đồng biến trên TXĐ TXĐ : D=R y’ = 3x 2 -6mx –m y’ = 0 có ∆’ = 9m 2 +3m Hàm số đồng biến trên R  y’ ≥ 0 ∀x∈R  ∆’ = 9m 2 +3m ≤ 0 (∆’ là tam thức bậc 2 có hệ số a=9>0)  - 3 1 ≤ m ≤ 0 Kết luận : - 3 1 ≤ m ≤ 0 Bài tập tự giải: Tìm m để hàm số : a/ y = x 3 – 3mx 2 (m+2)x –m đồng biến trên TXĐ b/ y = mx 3 +x 2 + (2m-1)x + 3m nghòch biến trên TXĐ c/ y = nghòch biến trên từng khoảng xác đònh d/ y = đồng biến trên từng khoảng xác đònh e/ y = nghòch biến trên từng khoảng xác đònh ☺  HD : + Xét trường hợp đặc biệt nếu có (hệ số của x có mũ cao nhất bằng 0) + Giải điều kiện đồng biến, nghòch biến theo đặc điểm của hàm số đó. 2/ Cmr hàm số đơn điêïu (đồng biến, nghòch biến) : VD : Cmr ∀m hàm số y = -x 3 +2mx 2 -2m 2 x +1 nghòch biến trên R Giải : TXĐ : D= R Để cm hàm số nghòch biến trên R ta cm y’ ≤ 0 ∀x ∈ R Thật vậy : y’ = -3x 2 +4mx -2m 2 (y’ là tam thức bậc hai có hệ số a = -3 <0) y’ có ∆’ = -2m 2 ≤ 0 ∀m  y’ ≤ 0 ∀x (đpcm) Vậy hàm số đã cho nghòch biến trên R Bài tập tự giải : Cmr ∀m hàm số a/ y = x 3 + x 2 + (m 2 +1)x +m-1 đồng biến trên R b/ y = nghòch biến trên từng khoảng xác đònh c/ y = bb đồng biến trên từng khoảng xác đònh ☺  HD : CM y’ ≥ 0 ( ≤ 0) ∀ x trên TXĐ  đpcm B. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ - Hàm y = f(x) có TXĐ D có cực trò  y’ =0 có nghiệm x 0 và y’ đổi dấu khi qua x 0 đó Cụ thể y’ đổi dấu từ : “+” sang “-“ thì hàm số đạt CĐ tại x 0 2 mx mmx + +− 102 1 12 2 − −− x mxx 2 2 + ++ x mxmx mx mmx − ++ 12 2 12)2( 2 + −+++ x mxmx Đề cương ôn tập môn toán lớp 12— THPT. 0977467739 “-” sang “+“ thì hàm số đạt CT tại x 0 1/Ghi nhớ : Hàm y = ax 3 +bx 2 +cx +d có : + CĐ và CT  y’ =0 có 2 nghiệm phân biệt a = 0 và b≠0 + Cực trò  a≠0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt Hàm y= ax 4 +bx 2 +c có: + CĐ và CT  y’=0 có 3 nghiệm phân biệt(a.b<0) + Cực trò     ≠ ≠ 0 0 b a Hàm edx cbxax y + ++ = 2 (d≠0) có CĐ và CT y’=0 có 2 nghiệm phân biệt Hàm dcx bax y + + = không có cực trò 2/ ÁP DỤNG VD : Tìm m để hàm số y = 1 12 2 − −+− x mmxx có CĐ và CT Giải : TXĐ : D = R\{1} y’= 2 2 )1( 12 − +−− x mxx Hàm số có CĐ và CT  y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1  g(x)= x 2 –2x –m +1 =0 có    ≠−= >=∆ 0)1( 0' mg m  m >0 Kết luận : m>0 3/ Bài tập tự giải : Tìm m để hàm số : a/ y = (m+2)x 3 +3x 2 +mx -5 có cực đại và cực tiểu b/ y = x 4 + 2(m-2)x 2 +m +1 có cực đại và cực tiểu c/ y = có cực đại và cực tiểu d*/ y = -x 3 +3mx -2m có cực đại tại x = 1 f*/ y = có cực tiểu tại x = 2 Cmr ∀m, hàm số a/ y = x 3 +mx 2 -x +m-2 luôn có cực trò b/ y = luôn có cực trò ☺  HD : Cm y’ = 0 có 2 nghiệm phâm biệt thuộc TXĐ c*/ y = luôn có 2 điểm cực trò . Tìm m để khoảng cách giữa hai điểm cực trò là nhỏ nhất. C. ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐỒ THỊ H.SỐ CÓ ĐIỂM UỐN THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN 3 1 2 2 − +− x mmxx mx mxx − +− 22 2 1 1)1( 2 − ++− x xmx y 0 =f(x 0 ) y”(x 0 )=0 y” đổi dấu khi qua x = x 0 1 1)1( 2 − ++− x xmx Đề cương ôn tập môn toán lớp 12— THPT. 0977467739 - Hàm y=f(x) có điểm uốn tại (x 0 ;y 0 )  VD : Tìm m để đồ thò hàm số y = mx 3 + 6x+ 2m 2 -1 có điểm uốn U(0;1) Giải : TXĐ D=R y’ = 3mx 2 +6 ; y” = 6mx Điều kiện bài toán    Kết luận : m =±1 • Bài tập tự giải a. Tìm a và b để đồ thò hàm y = x 3 -ax 2 +bx -2 có điểm uốn U( 3 2 ; -3) b. Tìm m để đồ thò hàm y = x 4 - 2x 2 +4m+1 có 2 điểm uốn thuộc trục hoành c*. Cho đồ thò hàm y = ax 3 +bx 2 +x +1 có điểm uốn U(1;-2), hãy tính (a+b) 2 D/ GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN ĐOẠN [ a;b ] • Phương pháp chung: - Tìm các điểm tới hạn của hàm số - Tính giá trò hàm số tại các điểm tới hạn và ở hai đầu mút của đoạn a, b - So sánh các giá trò đã tính rồi kết luận về GTLN và GTNN • Áp dụng : VD : Tìm GTLN và GTNN của f(x) = -x 3 + 3x +5 trên [0;3] Giải : f’(x) = -3x 2 +3 f’(x) = 0     = ∉−= 1 ]3;0[1 x x Có f(1) = 7 ; f(0) = 5 ; f(3) = -17 Vậy trên [0;3] hàm số đạt : GTLN là f(1) = 7 và GTNN là f(3) = -13 • Bài tập tự giải : Tìm GTLN và GTNN của a/ f(x0) = x 3 -6x 2 +10 trên [-3;3] b/ f(x) = -x 4 +2x 2 -4 trên [-2;2] E/ VIẾT PT TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ (C) CỦA HÀM SỐ y = f(x) 1/ Dạng 1 : Tiếp tuyến của (C) tại điểm M(x 0 ;y o ) PP: PTTT của (C) tại M có dạng y = y’(x 0 )(x-x 0 ) +y 0 Cần tìm hệ số góc y’(x 0 ) rồi kết luận (nếu chỉ biết hoành độ x 0 của M thì tìm y 0 =f(x 0 )) VD : Viết PTTT của (C) : y = x 3 - 2x tại diểm có x = 2 Giải : Tại điểm x = 2 thì y = 4 PTTT của (C) tại (2;4) có dạng y = y’(2)(x-2) +4 Có y’ = 3x 2 -2 => y’(2) = 10 KL : PTTT cần tìm là y = 10x-16 2/ Dạng 2 : Tiếp tuyến của (C) biết hệ số góc tiếp tuyến là k 4 f(0) =1 y”(0)=0 y” đổi dấu khi qua x=0 2m 2 -1 =1 6m.0=0 y”= 6mx đổi dấu khi qua x=0 m =±1 ∀m  m = ±1 m ≠0 Đề cương ôn tập môn toán lớp 12— THPT. 0977467739 PP : - Gọi PTTT cần tìm : y = kx+b - Do điều kiện tiếp xúc nên hệ sau có nghiệm :    += = bkxxf kxf )( )(' - Giải hệ tìm b rồi kết luận VD : Viết PTTT của (C ): 1 − = x x y biết hệ số góc của tiếp tuyến là -1 Giải : Có 2 )1( ' − − = x x y Gọi PTTT cần tìm : y = -x +b Theo điều kiện tiếp xúc thì hệ sau có nghiệm :        +−= − −= − − bx x x x x 1 1 )1( 2 Giải (1) có nghiệm x = 0; x = 2 Thay vào (2) ta có b = 0 ; b = 4 KL : Có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài : y = -x và y = -x + 4 Ghi nhớ : - Hai đường thẳng song song thì có hệ số góc bằng nhau - Hai đường thẳng vuông góc có tích 2 hệ số góc bằng -1 3/ Dạng 3 : Tiếp tuyến của (C) đi qua(xuất phát từ) điểm M(x 1 ;y 1 ) PP : Gọi PTTT cần tìm : y =k(x-x 1 ) + y 1 - Do điều kiện tiếp xúc nê hệ sau có nghiệm :    +−= = 11 )()( )(' yxxkxf kxf - Giải hêï tìm k rồi kết luận VD : Viết PTTT của (C) :y = x 3 -6x 2 +3, biết tiếp tuyến đi qua điểm M (6;3) Giải : Gọi PTTT cần tìm : y = k(x-6) +3 - Do điều kiện tiếp xúc nê hệ sau có nghiệm :      +−=+− =− (2) 3)6(36 (1) 123 23 2 xkxx kxx Từ (1) và (2) ta có : x 3 -12x 2 +36x = 0  x= 0; x =6 Thay vào (1) ta có k = 0; k = 36 KL : có 2 tiếp tuyến thoả mãn dề bài : y = 3 và y = 36x -213 Bài tập tự giải : Viết pt tiếp tuyến của đồ thò hàm số a/ y = -2x 3 + 3x 2 -3x + 1 tại điểm có x = 1 b/ y = x 3 -3x +3 tại giao của đồ thò với trục tung c/ y = - x 4 + 6x 2 -6 tại các điểm cực trò d/ y = song song với với đt (d) : y = -3x+2 e/ y = -x 3 +6x 2 -3 vuông góc với đt (d) : y = - 9 1 (x-100) 5 (1) (2) 2 63 2 − +− x xx 1 22 2 + ++ x xx 1 12 + − x x Có dồ thò (C) (d) cùng phương với ox Có dồ thò (C) (d) cùng phương với ox Đề cương ôn tập môn toán lớp 12— THPT. 0977467739 f/ y = đi qua điểm (1; 2 5 ) g/ y = xuất phát từ gốc tọa độ G/ Biện luận số nghiệm của PT A(x) = 0 qua đồ thò (C) y = f(x) đã vè - Biến đổi pt đã cho về dạng f(x) = k - Sô nghiệm của pt đã cho là số giao điểm của 2 đường :    = = ky xfy )( - Dựa vào số giao điểm của (C) và (d) => KL số nghiệm của pt đã cho. VD : y = x 3 -3x 2 có đồ thò (C) đã vè Biện luận theo m số nghiệm của pt : x 3 -3x –m +1= 0 (1) Giải : Pt (1)  x 3 -3x 2 = m -1 Số nghiệm của (1) là số giao điểm của hai đường    −= −= 1 3 23 my xxy Dựa vào đồ thi ta có y -1 0 1 2 3 x -2 (d) (C) -4 6 +    −< > ⇔    −<− >− 3 1 41 01 m m m m (d) và (C) có 1 chung nên (1) có 1 nghiệm +    −= = ⇔    −=− =− 3 1 41 01 m m m m (d) và (C) có 2 điểm chung nên (1) có hai nghiệm + -4< m-1 < 0  -3<m< 1 Đề cương ôn tập môn toán lớp 12— THPT. 0977467739 Bài tập tự giải : a/ Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số y = -x 3 +3x 2 -1 (C) Dựa vào đồ thò (C), biện luận theo k số nghiệm pt : x 3 -3x 2 +k+1 =0 b/ Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số y = x 4 -2x 2 -1 (C) Dựa vào đồ thò (C), biện luận theo k số nghiệm pt : x 4 -2x 2 -k-1 =0 c/ Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số y = (C) 1 22 2 − +− x xx Dựa vào đồ thò (C), biện luận theo k số nghiệm pt : 0k 1 22 2 =+ − +− x xx d/ Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số y = (C) 1 12 − + x x Dựa vào đồ thò (C), biện luận theo k số nghiệm pt : 01kk)x-(2 =++ H/ CM ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = f(x) CÓ MỘT TÂM ĐỐI XỨNG, TRỤC ĐỐI XỨNG - Hàm trùng phương (f(-x) = f(x)) : có đồ thò đối xứng qua trục oy - Hàm bậc 3 : Có đồ thò đối xứng qua điểm uốn - Hàm hữu tỉ (2 hàm cơ bản) : có đồ thò đối xứng qua giao điểm của 2 tiệm cận. Để cm hàm số có tâm đối xứng cần thực hiện các bước : + Xác đònh tâm đối xứng I(x 0 ;y 0 cần chứng minh + Thực hiện phép đổi hệ trục 0xy sang IXY với phép tònh tiến theo >−− OI có :    += += I I yYy xXx (1) 7 Đề cương ôn tập môn toán lớp 12— THPT. 0977467739 + Thay (1) và hàm số của đồ thò (C) : Y = f(X) (C ’) + Cm hàm này là hàm lẻ  (C ‘) nhận gốc I làm tâm đối xứng => (C) nhận I làm tâm đối xứng VD : Cm đồ thò (C) của hàm y = x 3 -2x -2 có một tâm đối xứng Giải : TXĐ : D = R y’ = 3x 2 -2 y” = 6x; y” = 0  x = 0 => y = -2  (C) có điểm uốn U(0;-2 ) làm tâm đối xứng Ta Cm (C) nhận U(0;-2) làm tâm đối xứng Thực hiện phép đổi hệ trục 0xy sang UXY với phép tònh tiến theo >−− OU Có :    −= = 2Yy Xx (1) Thay (1) vào hàm số của (C) : Y = X 3 -2X (C ‘) Xét Y = X 3 -2X có TXĐ : D’ =R f(-X) = (-X) 3 -2(-X) = -X 3 +2X = - f(X)  Y=f(X) là hàm lẽ nên (C’) nhậïn gốc U(0;-2) làm tâm đối xứng  (C) nhận U làm tâm đối xứng (đpcm) Bài tập tự giải : Cm đồ thò (C) của các hàm số sau có một tâm đối xứng a/ y = -x 3 -3x 2 +4 b/ y = 2x 3 +3x -1 c/ 2 23 + − = x x y d/ 1 22 2 + +−− = x xx y I/ TÌM CÁC ĐIỂM CÓ TỌA ĐỘ NGUYÊN TRÊN ĐỒ THỊ (C) CỦA CÁC HÀM HỮU TỈ CƠ BẢN y = f(x) PP : - Thực hiện phép chia đa thức để để có hàm số dạng y = A(x) + )(xB k - Để y nguyên thì x nguyên và B(x) phải là ước số của k - Giải B(x) = m, với m là các ước số của k đề tìm x và y tương ứng rồi KL VD : Tìm các diểm có tọa độ nguyên trên đồ thò (C) của y = 2 43 2 − +− x xx Giải : có y = x – 1 + 2 2 − x Để y nguyên thì x nguyên và x-2 phải là ước số của 2  x -2 =±1 ; x -2 = ±2 x - 2 = 1  x = 3 , y = 4 x - 2 = -1  x = 1, y = -2 x – 2 = 2  x = 4 , y = 4 x – 2 = -2  x = 0, y =-2 KL : có 4 điểm trên (C) có tọa độ nguyên : (0;-2); (1;-2); (3;4); (4;4) 8 Đề cương ôn tập môn toán lớp 12— THPT. 0977467739 BÀI TẬP TỔNG HP 1/ Cho hàm y = x 3 -3x 2 +mx a/ Tìm m để hàm số đạt cực trò tại x = 2 b/ Đònh m để hàm số nhận điểm U(1;3) làm điểm uốn của đồ thò c/ Khảo sát và vẽ đồ thò (C ) khi m = 0 d/ Dựa vào đồ thò (C ), biện luận theo k số nghiệm của pt : x 3 -3x 2 –k = 0 e/ Tính dthf giới hạn bởi (C ) và trục hoành 2/ Cho hàm y = -x 3 -mx 2 +2mx -m -1 (C m ) a/ Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu b/ Khảo sát và vẽ đồ thò (C ) của hàm số khi m = 0 c/ Viết pt tiếp tuyến của đồ thò (C ) vuông góc với đt (d) : x - 3y - 5 = 0 d/ Tính thể tích khối tròn xoay sinh bời (C ) khi quay quanh 0x trên [-1;0] e*/ Cmr (C m ) luôn đi qua một điểm cố đònh và họ các đường cong (C m ) tiếp xúc nhau tại điểm ấy. 3/ Cho hàm y = x 4 -2mx 2 -2m a/ Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu và các giá trò CĐ và CT trái dấu b/ Khảo sát và vẽ đồ thò (C ) khi m = 3 c/ Viết PT tiếp tuyến của (C ) tại điểm trên (C ) có x = -1 4/ Cho hàm y = -x 4 + (3m+5)x 2 -(m+1) 2 (C m ) a/ Đònh m để đồ thò hàm số đạt cực trò tại điểm có x = 1 b/ Khảo sát và vẽ đồ thò (C ) khi m = -1 c/ Viết pt tiếp tuyến của (C ) đi qua điểm M(2; -8) 5/ Cho hàm y = a/ Tìm m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác đònh b/ Khảo sát và vẽ đồ thò (C ) khi m = 1 c/ Viết pt tiếp tuyến của (C ) đi qua điểm trên oy có tung độ là 4 d/Biện luận theo k số giao điểm của (C) và đường thẳng (d) : y = kx+1 e*/ Cmr đường thẳng (d) : y = -x +k luôn cắt (C ) tại hai điểm phâm biệt A và B. Tìm k để đoạn AB ngắn nhất. 6/ Cho hàm y = a/ Tìm m để hàm số nghòch biến trên các khoảng xác đònh. b/ Đònh m để tiệm cận đứng của hàm số đi qua điểm (3; 2006) c/ Khảo sát và vẽ (C ) khi m = 3 d/ Cmr (C) có một tâm đối xứng. e/ Tính thể tích khối tròn xoay sinh bởi (C ) khi quay quanh 0x trên [1;2] f/ Viết pt tiếp tuyến của (C) đi qua giao điểm của (C) với trục hoành. 7/ Cho y = a/ Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác đònh b/ Khảo sát và vẽ đồ thò (C ) khi m = 0 c/ Viết pt tiếp tuyến của (C ) đi qua điểm trên (C ) có x = -1 d/ Tìm k để đường thẳng (d): y = kx +1 cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A và B. Khi đó tìm q tích trung điểm M của đoạn AB 9 2 2 2 + + x mx mx mx − −− 12 1 1)1( 2 − −++ x xmx Đề cương ôn tập môn toán lớp 12— THPT. 0977467739 8/ Cho hàm y = a/ Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu và các giá trò CĐ và CT trái dấu b/ Khảo sát và vẽ đồ thi (C ) khi m = 3 c/ Tìm tất cả các điểm trên (C) mà tọa độ là các số nguyên d/ Dựa và đồ thò (C ), biện luận theo k số nghiệm pt : 2x 2 +(3-k)x -3-2k = 0 e/ Viết pt tiếp tuyến của (C ) song song với đường thẳng (d) : y = 4x + 2006 f/Tính dthf giới hạn bởi (C ), ox, x = 1, x = 2 g*/ Cmr tích tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên (C ) đến 2 tiệm cận luôn bằng một hằng số. PHẦN II : HÌNH HỌC : I/ TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG • KIẾN THỨC : - Các phép toán cơ bản trên vectơ (cộng, nhân, cùng phương, góc ,…) Các dạng toán liên quan - Phương trình của đường thẳng và các dạng toán liên quan - Các bài toán liên quan đến tam giác, tứ giác. - Các bài toán về đường tròn, các đường cônic • ÁP DỤNG : VD : Cho 3 điểm A(1; 2), B(-2; 6), C(4; 4) a/ Chứng minh A, B, C không thẳng hàng. Tính diện tích và chu vi ∆ABC b/ Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là một hình bình hành. Xác đònh tọa độ tâm và điện tích của hbh. c/ Tính số đo góc A của ∆ABC d/ Tìm tọa độ điểm M sao cho e/ Viết phương trình cạnh BC và đường cao AH của ∆ABC g/ Xác đònh điểm M đối xứng của A qua BC Giải : a/ Có (-3;4) ; (3;2) 014 2 4 3 3 ≠−= −  A, B, C không thẳng hàng (đpcm) Diện tích ∆ABC là S = (714 2 1 =− đvdt) Có AB = 543 22 =+ ; AC = 1323 22 =+ ; BC = 10226 22 =+ Nên chu vi ∆ABC là : 5+ 13 102 + 10 1 32 2 −+ −+ mx mxx OMCMBMA =++ 32 AB AC A B C D I [...]... của (d) với (d1) : 2x +12y – 9 = 0 12 Đề cương ôn tập môn toán lớp 12 THPT 0977467739 e*/ Viết pt đt (d2) qua P(1; 1) và tạo với (d) một góc bẳng 600 8/ Cho ∆ABC với AB : 2x+3y-5 = 0, BC : x-2y+1 = 0, AC : 3x-4y+1 = 0 a Viết pt đường cao AH của ∆ABC b Viết pt đt (d1) qua B và // AC c Viết pt đt (d2) qua C và vuông góc với AC ☺  HD : - : Sử dụng pt chùm đường thẳng 9/ Cho ∆ABC vuông cân ở A, có A(1;... hình chiếu vuông góc của OA trên (ABC) d/ Tìm điểm M’ đối xứng của M(-3; 3; 3) qua (ABC) 14 Đề cương ôn tập môn toán lớp 12 THPT 0977467739 y −3 x −2 z −1 = = 1 2 −1 3/ Cho mp (P) : 2x + 2y –z - 4 = 0 và đường thẳng (d) : a/ Tìm giao điểm M của (P) và (d) b/ Viết pt mp (Q) qua A(1; 4; 5) và song song với (P) c/ Viết pt mp (K) qua M và vuông góc với (d) d/ Viết pt mp (R) chứa (d) và vuông góc với (P)... pt mp (BCD) và pt tham số của đt AB d/ Viết pt hình chiếu của AB trên mp(BCD) A 13 Đề cương ôn tập môn toán lớp 12 THPT 0977467739 B C D Giải : a/ Có −−> > (d) -> AB(− 1;1;0); AC(− 1;0;1); AD (− 3;1;− 1) −> −> − −  AB, AC =1;1 1) ( ;    − − − − > − >  − > AB, AC  AD =− ≠0 3    Nên 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng, tức là A,B,C,D lập thành một tứ diện b/ Thể tích của tứ diện ABCD là V = 1...   y = 47  10   19  2.10 − 1  14  x=  x = 10  2 Có  ⇔  2 47 − 2  y = 37  10  10  y = 2 19 47  ;  10 10  vậy H   14 37  ;   10 10  vậy M  11 Đề cương ôn tập môn toán lớp 12 THPT 0977467739 Bài tập tự giải 1/ Cho A(-3; 6) , B(1; -2), C(6; 3) a/ Cm A,B,C lập thành ∆ Tính diện tích và chu vi ∆ABC b/ Xác đònh tọa độ trọng tâm G của ∆ABC c/ Xác đònh tọa độ trực tâm H của ∆ABC... xúc với 2 mp:(0xy) và(P): 3x-4y+1=0 e/ Tiếp xúc với mp (P) : x -2y -2z +3 = 0 tại điểm M(3;-1;1) và bán kính bằng 5 15 Đề cương ôn tập môn toán lớp 12 THPT 0977467739 ☺  HD : (ac) : Lập hệ pt; (d) : Sử dụng điều kiện tiếp xúc của mp với mặt cầu; (e): lập pt đt qua M và vuông góc với (P), I là tâm mặt cầu thì IM = 5 9/ Cho mặt cầu (S) : x2 +y2 +z2 -4x +6y +2z +5 = 0 a/ Xác đònh tâm và bán kính của...Đề cương ôn tập môn toán lớp 12 THPT 0977467739 b/ Gọi D(x;y) Tứ giác ABCD là hình bình hành nên ta có −− > −− > AD = BC  (x-1; y-2) = (6;-2)  x=7, y = 0 Vậy D(7;0) Tâm I của hình bình hành ABCD là trung điểm của đường... và có tâm năm trên 0x II/ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN • KIẾN THỨC : - Các phép toán cơ bản trên vectơ (cộng, nhân, cùng phương, góc ,…) Các dạng toán liên quan - Phương trình của đường thẳng, mp, mặt cầu và các dạng toán liên quan - Các bài toán liên quan đến tam giác, tứ diện., đường tròn • Áp dụng : VD : Cho 4 điểm : A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và D(-2; 1; -1) a/ Chứng minh 4 điểm A,... 1) b2/ Vuông góc với (P1) c/ Tìm m, n để mp (R) : mx+ ny- z + 2 = 0 thuộc chùm của (P1) và (P2) ☺  HD : - Sử dụng pt chùm mp  2x − y + z − 1 = 0  a/ Viết pt tham số và pt chính tắ− 2 = a (d) + c  x +2;y3)zvà củ 0 song với (d) b/ Viết pt đt (d1) qua A(1; song 5/ Cho đường thẳng (d) : c/ Viết pt đt (d2) qua gốc O, vuông góc và cắt (d) Tìm giao điểm của (d) và (d2) d/ Viết pt hình chiếu vuông góc của... tuyến của (T) vuông góc với đt y = -x 11/ Cho 3 điểm: A(1; 2), B(5; 3); C(-1; 0) Viết phương trình đường tròn (T) a/ Tâm A và qua B b/ Tâm B và tiếp xúc với AC c/ Đường kính BC d/Ngoại tiếp ∆ABC Tìm tâm và bán kính của (T) e/ Qua A, B và tiếp xúc với 0y g/ Qua A và tiếp xúc với 0x, 0y h/ Qua A, C và có tâm năm trên 0x II/ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN • KIẾN THỨC : - Các phép toán cơ bản trên... t  y= t z = 0  d/ Gọi (P) là mp chứa AB và vuông góc với mp(BCD) − > − − > − − − > − > − (P) có cặp vtcp là AB và n 2 nên có vtpt là n 2 =AB, n  pt của (P) là : 2x + 2y –z -2 = 0 Gọi (d) là hình chiếu của AB trên mp (BCD) , thì (d) = (P) ∩ (BCD) − > − 1  2 2  =( − ;− ;1)   2x + 2 y − z − 2 = 0 Nên (d) có pt là   x − 2 y − 2z + 2 = 0 Bài tập tự giải : 1/ Cho 4 điểm : A(5; 1; 3), B(1; 6;