3.Phương trình và Bất phương trình vô tỉ: a)Phương pháp 1:Sử dụng các phép biến đổi tương đương * 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 = ⇔ = ≥ n n f x g x f x g x * 2 ( ) ( )= ⇔ n f x g x ( ) 0 2 ( ) ( ) ≥ = g x n f x g x * 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) + + = ⇔ = n n f x g x f x g x * 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) + + > ⇔ > n n f x g x f x g x * 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) + + < ⇔ < n n f x g x f x g x * 2 ( ) ( ) < ⇔ n f x g x ( ) 0 ( ) 0 2 1 ( ) ( ) ≥ ≥ + < f x g x n f x g x * 2n f(x)>g(x) ⇔ ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 2 ( ) ( ) < ≥ ≥ > g x f x g x n f x g x Ví duï 1: Giaûi caùc pt sau: 1) 2 3 0− + =x x ; 2) 4 1 1 2+ − − = −x x x ; 3) 1 1− − − =x x x 4) 2 2 1 ( 1) 0− − − − + − =x x x x x x ; 5) 2 ( 1) ( 2) 2− + + =x x x x x ; 6) ( 2)(2 1) 3 6 4 ( 6)(2 1) 3 2+ − − + = − + − + +x x x x x x (CÑSP NA 1999) 7) 2 2 6 1 1+ + = +x x x ; 8) 2 3 2 1 3 2 − − = − − x x x x ;9) 3 x x+ x - x- x = 2 x+ x 10) 2 2 2 2 2(1 1 ) − = + + x x x ;11) 2 2 4 2 4− − + = +x y y x y (HSG ÑN 2004) 12) 36 4 28 4 2 1 2 1 + = − − − − − − x y x y ; 13) 4 4 2 2 ( 1)+ + + = +ax x x a x a a ; 14) 4 2 2 2 2 2 16 2 6 20 0− − + + − + =x x x x x x ;15) 2 7 7+ + =x x 16) 3(2 2) 2 6+ − = + +x x x ; 17) 2 2 9 24 6 59 149 5− + + − + = −x x x x x Ví duï 2:Giaûi caùc bpt sau: 1) 2 1+ − + ≤x x x ;2) ( 5)(3 4) 4( 1) + + > − x x x ;3) 7 13 3 9 5 27− − − ≤ −x x x ; 14) 4 3 10 3 2− − = −x x (HSG QG 2000); 4) 1 1+ − − ≥x x x ; 5) 3 4 3 4 9+ + − ≤ +x x x ;6) 2 2x -6x+1-x+2>0 ; 7) 2 2 ( 3) 4 9− + ≤ −x x x 8) 2 2 4 3 2 3 1 1− + − − + ≥ −x x x x x ; 9) 2 2 25 7 3− + + >x x x ; 10) 2 2 4 (1 1 ) > − + + x x x ;11) 2 2 2 8 15 2 15 4 18 18− + + + − > − +x x x x x x ; 12) 2 2 1 1 2 x+ + x- > x x x ;13) 2x < 2x+1-1 2x+9 ;14) 2 2 2 x -3x+2+ x -4x+3 2 x -5x+4≥ Ví dụ 3:Tìm m để các pt: 1) 2 1− − =x x m có n o duy nhất; 2) 2 2 2 4 0− − − =x mx x có n o ; 3) 2 x -m- 2x-4=0 có n o ; 4) mx- x-3 m+1≤ có n o ; 5) 4-x + x+5 ≥ m có n o b)Phương pháp 2:Đặt ẩn phụ đưa về pt-bpt:Ta thường đặt ẩn phụ cho Các biểu thức đồng dạng Ví dụ 1:Giải các pt sau 1) 2 (x+5)(-x)=3 x +3x ; 2) 3+x + 6-x =3+ (3+x)(6-x) ; 3) 2 2 1 1 3 x x x x+ − = + − 4) 2x+3+ x+1=3x+2 (2x+3)(x+1)-16 ; 5) 2 9 9 9x x x x+ − = − + + ;6) 2 2 11 31x x+ + = ; 7) 1 ( 3)( 1) 4( 3) 3 0 3 x x x x x + − + + − + = − ;8) 3 4 1 3 2 5 x x x + + − − = ; 9) 4 2 2 1 1 2x x x x− − + + − = 10) 2 3 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x− + − = − + − + ; 11) 3 2 5 1 2( 2)x x + = + 12) 2 2 2(1 ) 2 1 2 1x x x x x − + − = − − ; 12); 13) 2 2 5x +14x+9- x -x-20=5 x+1 ; 14) 2 2 ( 4) 4 ( 2) 2x x x x x− − + + − = ; 15) 3 3 3 3 35 ( 35 ) 30x x x x − + − = 16) 2 2 2 2 3x -1+ x -x -x x +1= x(x +2)(5x-1) ;17) 2 2 4 5 1 2 1 9 3x x x x x+ + − − + = − ; 18) 2 2 2 2 1 3 4 1x x x x x+ + − = + + ;19) 3 2 4 1 1 1 1x x x x x− + + + + = + − 19) 4 1 5 2x x x x x x + − = + − Ví dụ 2:Giải các bpt sau: 1) + + > − − 2 2 5 10 1 7 2x x x x ; 2) 2 2 2 5 6 10 15+ − − > +x x x x ; 3) 2 7 7 7 6 2 49 7 42 181 14+ + − + + − ≤ −x x x x x ; 4) 2 2 8 4 (4 )( 2) 0− + − − + ≥x x x x ;5) 3 24 12 6+ + − ≤x x ; 6) 2 2 1+ ≥ +x x x ; 7) 2 2 1 3 1 1 1 > − − − x x x 8) 2 2 2 2 2 1 5 1 ( ) 2 0 1 2 1 − + + + + > − − x x x x x x x ; 9) 5 1 5 2 4 2 2 + < + +x x x x ; 10) 12 2 82 (12 ) ( 2) 2 12 3 − − − + − < − − x x x x x x Ví dụ 3:Tìm m để các pt-bpt sau có n o 1) m+x =m- m-x ; 2) x- x-1>a (a>0); 3) 2 x -2mx+1=m-2 ; 4) 1 1 x+ x+ + x+ =m 2 4 4) 2 2 2 2 3 3 3 (x+a) +m (x-a) =(m+1) x -a ; 5) x-m- x-2m> x-3m ;6) 2 2 x -2m+2 x -1=x 7) 2 4 4 4 1+x 1-x 1-m + 1+m =2 1-m 1-x 1+x ; 8) 2 2 2 x +2x+m 5-2x-x = m ;9) x+1 (x-3)(x+1)+4(x-3) =m x-3 c)Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ pt Các dạng thường gặp * n n x +b=a ax-b đặt t= n ax-b * n m a-f(x)± b+f(x)=c đặt u= n a-f(x) ;v= m b+f(x) ta có: n m u±v=c u +v =a+b Ví dụ 1:Giải các pt sau 1) 3 3 1 2 2 1+ = −x x ;2) 4 4 17 3+ − =x x ; 3) 3 2 1 3− + + =x x ; 4) 4 4 4 1 1= + − −x x x ; 5) 8 8 3 4 17 2 1 1− − − =x x 6) 2 2 3 3 3 (2-x) + (x+7) - (2-x)(x+7)=3 ; 7) 2 3 2 4 2 + + = x x x ; 8) 2 2 15 8 8 5 16 + + − = x x x 9) 2 4 2 8 6 2 + + + = x x x ; 10) 2 2 2 1-x =( - x ) 3 ; 11) 2 2 3 3 3 7x+1+ x -8x-1- x -x-8=2 12) 3 2 3 2 2− = −x x ;13) 2 1000 1 8000 1000− − + =x x x ;14) 3 3 1 2 1 2 2− + + =x x ; 15) 2 2 4 6 1 1 1 1− + + − + − =x x x x ; Ví dụ 2:Tìm m để các pt sau có n o 1) 3 2 2 x +(3-m )m=3 3x+(m -3)m ;2) 3 3 1 2 1 2− + + =x x m ;3) 2 2 2+ + = + +x m x x m 4) 3 6 (3 )(6 )+ + − − + − =x x x x m d)Một số phương pháp khác: Nếu ( ) ; ( )≥ ≤f x k g x k thì pt: f(x)=g(x) ⇔ ( ) ( ) = = f x m g x m Ví dụ 1:Giải các pt sau: 1) 2 2 4 6 11− + − = − +x x x x ; 2) 2 4 1 4 1 1− + − =x x ;3) 2 2 2 1 1 2+ − + − + = − +x x x x x x 4) 2 2 2 2 3 7 3 2 3 5 1 3 4− + − − = − − − − +x x x x x x x Vấn đề 3:Hệ phương trình . 3.Phương trình và Bất phương trình vô tỉ: a)Phương pháp 1:Sử dụng các phép biến đổi tương đương * 2 2 ( ) ( ) (