Chuyên đề: Hệ thức lượng tam giác vuông Phương pháp giải Lộc Trung Hiếu MỞ ĐẦU I: LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1-Cơ sở lý luận: Trong qu¸ trình phát triển, xà hội đề yêu cầu cho nghiệp đào tạo ngời Chính mà dạy toán không ngừng đợc bổ xung đổi để đáp ứng với đời đòi hỏi xà hội Vì ngời giáo viên nói chung phải luôn tìm tòi, sáng tạo, đổi phơng pháp dạy học để đáp ứng với chủ trơng đổi Đảng Nhà nớc đặt Trong chơng trình môn toán lớp THCS kiến thức hình học nói chung yếu tố tam giác vuông nói riêng so quan trọng Đó tiền đề để học sinh tiếp tục học lên THPT Khi giải toán hệ thức lợng tam giác vuông học sinh nắm vững kiến thức số hệ thức cạnh đờng cao, tỷ số lợng giác, giải tam giác vuông Học sinh biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo kiến thức, kỹ từ đơn giản đến phức tạp Hệ thức lợng tam giác vuông Phơng pháp giải giúp học sinh phát triển t duy, phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo giải toán Đồng thời giáo dục t tởng, ý thức, thái độ, lòng say mê học toán cho học sinh 2.Cơ sở thực tiễn: Hệ thức lợng tam giác vuông loại toán mà học sinh THCS coi loại toán khó, nhiều học sinh giải toán hình học nh nào? có phơng pháp nào? Các toán Hệ thức lợng dạng toán hay, có nhiều đề thi học sinh giỏi cấp, thi vào lớp THPT Tuy nhiên, tài liệu viết vấn đề hạn chế cha hệ thống thành phơng pháp định gây nhiều khó khăn việc học tập học sinh, nh công tác tự bồi dỡng giáo viên Vì việc nghiên cứu phơng pháp giải toán Hệ thức lợng tam giác vuông thiết thực, giúp giáo viên nắm vững nội dung xác định đợc phơng pháp giảng dạy phần đạt hiệu quả, góp phần nâng cao chất lợng dạy học, đặc biệt chất lợng học sinh thi vào THPT II-Mục đích nghiên cứu: Nghiên cứu Phơng pháp giải toán Hệ thức lợng tam giác vuông Giúp giáo viên nâng cao lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổng hợp tri thức đà học, mở rộng, đào sâu hoàn thiện hiểu biết Từ có phơng pháp giảng dạy phần có hiệu Nghiên cứu vấn đề để nắm đợc thuận lợi, khó khăn dạy học phần hệ thức lợng tam giác vuông, từ định hớng nâng cao chất lợng dạy học môn toán Nghiên cứu vấn đề giúp giáo viên có t liệu tham khảo dạy thành công giải toán hệ thức lợng tam giác vuông III- Nhiệm vụ nghiên cứu: Nghiên cứu tình hình dạy học vấn đề lớp Trờng THCS Nh Thụy Hệ thông hoá số phơng pháp giải toán Hệ thức lợng tam giác vuông Tìm hiểu mức độ kết đạt đợc triển khai chuyên đề Trang Chuyên đề: Hệ thức lượng tam giác vuông vaứ Phửụng phaựp giaỷi Phân tích rút học kinh nghiệm IV- đối tợng, Phạm vi nghiên cứu: Đối tợng nghiên cứu: a Các tài liệu (SGK, STK, SBT To¸n 9) b Häc sinh trêng THCS Nh Thụy Phạm vi nghiên cứu: Các phơng pháp để giải toán "Hệ thức lợng tam giác vuông" V- Phơng pháp nghiên cứu: Phơng pháp nghiên cứu tài liệu Phơng pháp điều tra, khảo sát Phơng pháp thử nghiệm Phơng pháp tổng kết kinh nghiƯm Trang Lộc Trung Hiếu Chuyên đề: Hệ thức lượng tam giác vuông Phương pháp giải Lộc Trung Hieỏu Nội dung chuyên đề H THC LNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI I MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG A KIẾN THỨC CƠ BẢN A b2=ab'; c2=ac' (1) h2=b'c' (2) c b bc=ah (3) h 1 b' c' = + B C b2 c2 (4) h a Hình B CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI: * Dạng 1: Biết cạnh huyền cạnh góc vng (hoặc hai cạnh góc vng), tính hình chiếu hai cạnh góc vng cạnh huyền ngược lại * Phương pháp giải: Vận dụng hệ thức (1) b2=ab'; c2=ac' * Ví dụ minh hoạ: x y VD1: Tìm x y hình Hướng dẫn giải: Hình Áp dụng hệ thức (1) c2=ac' x2=5.1 => x= y2=5.4 => x= 20 VD2: Trong tam giác vng với cạnh góc vng có độ dài 4, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền Hãy tính đường cao độ dài đoạn thẳng mà định cạnh huyền Hướng dẫn giải: A Áp dụng định lí Pitago ta tính cạnh huyền BC= 32 + 42 = ? Áp dụng hệ thức: b2=ab' => b'=b2:a ? ? => HC=3,2 B C => HB=1,8 Hình Áp dụng hệ thức: h2=b' c' Tính AH= 1,8.3, = 2, * Dạng 2: toán liên quan đến độ dài đường cao ứng với cạnh huyền *Phương pháp giải Vận dụng hệ thức (2) h2=b'c' (3) bc=ah *Ví dụ minh hoạ: VD 3: Tìm x y hình: x Hướng dẫn giải: Trước hết tính cạnh huyền y = 74 y Hình Trang Chuyên đề: Hệ thức lượng tam giác vuông Phương pháp giải Sau áp dụng hệ thức (3) x.y=5.7 => x = Lộc Trung Hiếu 35 74 VD 4: Tìm x y hình Hướng dẫn giải: y Áp dụng hệ thức (2) 2 = 1.x => x=4 x Áp dụng hệ thức (1) Hình y2 = 5.4 => y= 20 *Dạng 3: Các toán liên quan đến tổng nghịch đảo bình phương hai đoạn thảng * Phương Pháp giải: Vận dụng hệ thức: 1 = + b2 c2 h * Ví dụ minh hoạ: VD5: Cho hình vng ABCD Gọi I điểm nằm A B Tia DI tia CB cắt K Kẻ đường thẳng qua D, vng góc với DI Đường thẳng cắt đường thẳng BC L Chứng minh rằng: a, Tam giác DIL tam giác cân b, Tổng 1 + không đổi I thay đổi cạnh AB DI DK *Hướng dẫn giải: a, ∆ADI = ∆CDL ( g.c.g ) => DI = DL => ∆DIL cân 1 b, Áp dụng hệ thức: = + vào tam giác vuông DLK ta được: h b c 1 1 1 1 = + = + hay DC không đổi nên + không đổi DC2 DL2 DK DC2 DI2 DK DI DK C BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: (Dạng 1) Tìm x y hình sau: y x 10 Hình 6a y 30 x 32 Hình 6b Bài 2: (Dạng 1) Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD CE, cắt H · · Trên HB HC lấy điểm M N cho AMC = ANB = 900 Chứng minh AM=AN Bài 3: (Dạng 2) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AH=420 Tính chu vi tam giác ABC Trang AB 20 = AC 21 Chuyên đề: Hệ thức lượng tam giác vuông Phương pháp giải Lộc Trung Hiếu Bài 4: (Dạng 2) Cho hình thang ABCD vng góc A D Hai đường chéo vng góc với O Biết AB= 13 ; OA = Tính diện tích hình thang Bài 5: (Dạng 3) Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo cắt O Cho biết khoảng cách từ O tới cạnh hình thoi h; AC =m; BD = n Chứng minh rằng: 1 m2 + = n 4h II TỶ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN A KIẾN THỨC CƠ BẢN: Định nghĩa: Cho gúc nhn cnh huyn cạnh đối cạnh kề ; Co sin = cạnh huyền cạnh huyền cạnh đối cạnh kề tan g = ; cot ang = cạnh kề cạnh đối Sin = cạnh đối cạnh huyền Hình Tỷ số lượng giác hai góc phụ Nếu hai góc phụ sin góc cơsin góc kia, tang góc cotang góc (Hình trên) SinB = cosC ; cosB = sinC tan B = cot C ; cot B = tan C Tỷ số lượng giác góc dặc biệt Tỷ số lượng giác Sin α Cosin α tan α cot α α 300 450 600 2 2 2 3 3 3 B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Dạng 1: Viết tỉ số lượng giác góc α cho trước * Phương pháp giải: Dựng tam giác vng có góc α, sau viết tỉ số lượng giác theo định nghĩa * Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Vẽ tam giác vng có góc nhọn 340 viết tỉ số lượng giác góc 340 Trang Chuyên đề: Hệ thức lượng tam giác vuông Phương pháp giải Hướng dẫn giải: µ Vẽ tam giác ABC vng góc A, B = 34 Theo định nghĩa ta có: AC AB ; cos340=cosB= BC BC AC AB tan 340=tgB= ; cotang340=cotangB= AB AC Loäc Trung Hiếu C Hình sin 340=sinB= 340 A B Dạng 2: Tính tỉ số lượng giác góc nhọn tam giác vng biết độ dài hai cạnh * Phương pháp giải: Tính cạnh cịn lại theo định lí Pitago, sau tính tỉ số lượng giác góc nhọn theo định nghĩa Tính tỉ số lượng giác góc cịn lại theo định lí tỉ số lượng giác hai góc phụ * Ví dụ minh hoạ Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vng C, AC =0,9 m, BC =1,2 m Tính tỉ số lượng giác góc B, từ suy tỷ số lượng giác góc A Hướng dẫn giải: Áp dụng định lí Pitago ta tính được: AB=1,5m Ta thấy A B hai góc phụ nên: AC 0, sin B=CosA= AB = 1,5 = 0, 60 ; BC A 0,9 1, cosB=sinA= AB = 1,5 = 0,80 AC 0, tan B=cotanA= BC = 1, = 0, 75 ; BC 1, cotanB=tanA= AC = 0, = 1,3 C 1,2 B Hình Dạng 3: Biến đổi tỉ số lượng giác góc nhọn thành tỉ số lượng giác góc nhỏ (hoặc lớn hơn) 450 * Phương pháp giải: Dùng định lí tỉ số lượng giác hai góc phụ *Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 3: Hãy viết tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác góc nhỏ 450: sin 600; cos 750 ; sin 52030' ; cotag 820 ; tan 800 Hướng dẫn giải: sin 600 = cos(900-600)= cos300 Tương tự, cos750=sin150 ; sin 52030'=cos37030' cot 820=tan 80 ; tan 800= cot 100 Trang Chuyên đề: Hệ thức lượng tam giác vuông Phương pháp giải Dạng 4: Dựng góc α biết tỉ số lượng giác Lộc Trung Hiếu m n *Phương pháp giải: Dựng tam giác vng có hai cạnh m n (m n hai cạnh góc vng cạnh góc vng cạnh huyền ) vận dụng định nghĩa tỉ số lượng giác để nhận góc α * Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 4: Dựng góc nhọn α, biết rằng: a, sin α = 3 ; b, cos α = 0,5 ; tan α= ; cot α = Hướng dẫn giải: a, Hình bên - Dựng góc vuông xOy - Trên tia Ox đặt OA = - Dựng (A ; 3) cắt tia Oy B · Lúc ABO = α b, HS làm tương tự c, HS làm tương tự d, HS làm tương tự y B α O x A Hình 10 Dạng 5: Chứng minh số hệ thức lượng giác: *Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác cần dùng thêm mối quan hệ cạnh tam giác vng *Ví dụ minh hoạ Ví dụ 5: Sử dụng định nghĩa tỷ số lượng giác góc nhọn để chứng minh rằng: Với góc nhọn α tuỳ ý, ta có: sin µ cos µ C a, tan α= cos µ ; cot α = sin µ ; tan α cot α =1 b, sin2α + cos2 =1 Gợi ý: Sử dụng định lí Pitago AC AC BC AC AB sin µ a, tan α = AB = BC AB = BC : BC = cos µ ý cịn lại làm tương tự b, sin2α + cos2 = α A Hướng dẫn giải: B Hình 11 AC AB BC + = =1 BC BC BC Dạng 6: Tính độ dài cạnh tam giác vng biết góc cạnh * Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác, chẳng hn cạnh đối sin = cạnh huyền => cnh i = cạnh huyền X sinα Trang Chuyên đề: Hệ thức lượng tam giác vuông Phương pháp giải Lộc Trung Hiếu * Ví dụ minh hoạ Ví dụ 6: Cho tam giác vng có góc 600 cạnh huyền có độ dài Hãy tìm độ dài cạnh đối diện với góc 600 C Hướng dẫn giải: SinB= AC Þ AC = BC.sin B = =4 BC ? A Hình 12 600 B Dạng 7: Biết sin cosin góc, tìm tỉ số lượng giác khác góc * Phương pháp giải: Vận dụng hệ thức lượng giác để giải * Ví dụ minh hoạ Ví dụ 7: Cho tam giác ABC vng A Biết cos B =0,8, tính tỉ số lượng giác góc C Hướng dẫn giải: µ µ B + C = 90 Þ sin C = cos B = 0,8 Ta cã :sin C + cos2 C = Þ cos2 C = - (0,8)2 = 0,36 Þ cos C = 0, sin C 0,8 tan C = = = cos C 0, cot C = : = Dạng 8: Một số hệ thức lượng giác khác *Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác hệ thức bản: sin2 α + cos2 α =1 * Ví dụ minh hoạ Ví dụ Chứng minh hệ thức: 1 a, + tan2 µ = ; b, + cot µ = cos2 µ sin2 µ Hướng dẫn giải: sin µ cos2 µ + sin2 µ a, + tan2 µ = + ( ) = = cos µ cos2 µ cos2 µ 2 µ = + ( cos µ )2 = sin µ + cos µ = b, + cot sin µ sin2 µ sin2 µ Dạng 9: Biết tang cơtang góc, tìm tỉ số lượng giác khác góc * Phương pháp giải: 1 hc + cot µ = Vận dụng hệ thức + tan µ = để tìm cos α sin α cos2 µ sin2 µ Trang Chuyên đề: Hệ thức lượng tam giác vuông Phương pháp giải Lộc Trung Hiếu * Ví dụ minh hoạ Ví dụ 9: biết tan α= tìm sin α cos α 12 Hướng dẫn giải: 1 25 169 + tan2 = ị = 1+ = cos2 µ 144 144 cos 144 12 cos2 µ = Þ cos µ = 169 13 144 25 sin2 µ =1- cos2 µ = 1= Þµsin = 169 169 13 C BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: (Dạng 3) Khơng dùng máy tính bảng số, tính nhanh giá trị biểu thức sau: a, M=cos2150 + cos2250 +cos2350+cos2450+cos2550+cos2650+cos 750 b, N= sin2100-sin2200+sin2300-sin2400-sin2500-sin2700+sin2800 Bài 2: (Dạng 5) Cho góc nhọn α biết sin α