Đang tải... (xem toàn văn)
Từ điểm M trên cạnh BC vẽ các đường thẳng song song với AB, AC chúng cắt xy theo thứ tự tại D và E.. Từ D vẽ một đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại M.[r]
(1)TUYỂN CHỌN MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO LỚP 7 A PHẦN ĐẠI SỐ
Bài toán So sánh: 200920 2009200910 Bài toán Tính tỉ số AB , biết:
A=1
2+ 3+
1 4+ +
1 2007+ 2008+ 2009 B=2008 + 2007 + 2006
3 + .+ 2007+
1 2008 Bài toán Cho x, y, z, t N ❑❑ Chứng minh rằng: M = x + y +zx + y
x + y +t+ z y+ z+t+
t
x +z+t có giá trị số tự
nhiên
Bài tốn Tìm x; y Z biết: a 25 – y2 = 8( x – 2009) b x3 y = x y3 + 1997 c x + y + = xy –
Bài tốn Tìm x biết
a |5(2 x +3)|+|2(2 x+3)|+|2 x +3|=16 b |x2+|6 x − 2||=x2+4
Bài toán Chứng minh rằng: 12.22+
5 22.32+
7
32 42+ .+ 19
92 102 <
Bài toán Cho n số x1, x2, , xn số nhận giá trị -1 Chứng minh
x1.x2 + x2.x3 + + xn.x1 = n chia hết cho
Bài toán Chứng minh rằng: S =
22− 24+
1 26− .+
1 24 n −2−
1 24 n+ +
1 22002−
1
22004 < 0,2
Bài tốn Tính giá trị biểu thức A = xn +
xn giả sử x2+x +1=0
Bài tốn 10 Tìm max biểu thức: 3 − x
x2+1
(2)D = 2 x + y +zx + y 2 y +z +x+
z
2 z+x + y≤
Bài toán 12 Tìm tổng hệ số đa thức nhận sau bỏ dấu ngoặc biểu thức: A(x) = ( - 4x + x2 )2004 ( + 4x + x2 )2005
Bài toán 13 Tìm số a, b, c nguyên dương thỏa mãn: a3+3 a2+5=5b và a + = 5c
Bài tốn 14 Cho x = 2005 Tính giá trị biểu thức:
x2005− 2006 x2004
+2006 x2003−2006 x2002+ −2006 x2+2006 x −1
Bài toán 15 Rút gọn biểu thức: N = x|x − 2|
x2+8 x − 20+12 x −
Bài toán 16 Trong số x, y, z có số dương, số âm số Hỏi số thuộc loại biết: |x|=y3− y2z
Bài tốn 17 Tìm hai chữ số tận tổng sau: B = 3+32+33+34+ +32009
Bài tốn 18 Cho 3x – 4y = Tìm biểu thức: M = x2 +y2
Bài tốn 19 Tìm x, y, z biết: x2 +
y2
3 +
z2
4 =
x2+y2+z2
5
Bài toán 20 Tìm x, y biết rằng: x ❑2 + y ❑2 + x12+
y2 =
Bài toán 21 Cho a số gồm 2n chữ số 1, b số gồm n + chữ số 1, c số gồm n chữ số Chứng minh a + b + c + số phương
Bài tốn 22 Chứng minh với số tự nhiên a, tồn số tự nhiên b cho ab + 4 số phương
Bài toán 23 Chứng minh chữ số a, b, c thỏa mãn điều kiện ab :cd=a: c abbb : bbbc=a :c
Bài tốn 24 Tìm phân số mn khác số tự nhiên k, biết mn=m+k nk
Bài toán 25 Cho hai số tự nhiên a b (a < b) Tìm tổng phân số tối giản có mẫu 7, phân số lớn a nhỏ b
(3)Bài toán 28 Chứng minh rằng: B = 222n+1+3 hợp số với số nguyên dương n Bài tốn 29 Tìm số dư chia (n ❑3 - 1)111 (n ❑2 - 1)333 cho n
Bài tốn 30 Tìm số tự nhiên n để 1n + 2n + 3n + 4n chia hết cho 5.
Bài toán 31
a Chứng minh rằng: Nếu a khơng bội số a6 – chia hết cho 7.
b Cho f(x + 1)(x2 – 1) = f(x)(x2 +9) có nghiệm.
c Chứng minh rằng: a5 – a chia hết cho 10
Bài toán 32 Tính giá trị biểu thức: A = 5 y4+7 x − z5 (x2 – 1) + (y – z)2 = 16.
Bài toán 33 Chứng minh rằng:
a 0,5 ( 20072005 – 20032003 ) số nguyên.
b M = 1986 2004
− 1
10002004−1 số nguyên
c Khi viết dạng thập phân số hữu tỉ (119 − ,81)
2004
có 4000 chữ số đầu
tiên sau dấu phẩy
Bài toán 34 So sánh A B biết: A =
1012+ 1022+
1 1032+
1 1042+
1
1052 B =
1
22.3 52 Bài tốn 35 Tìm x biết:
a 7x+ 2+7x+1+7x
57 =
52 x+52 x+1+52 x+3 131
b (4x – 3)4 = (4x – 3)2
Bài tốn 36 Ba tơ khởi hành từ A phía B Vận tốc tơ thứ vận tốc ô tô thứ hai 3km/h Thời gian ô tô thứ nhất, thứ hai, thứ ba hết quảng đường
AB 40 phút, 58 giờ, 59 Tính vận tốc tơ
Bài tốn 37 Chứng minh √2 + a (a Z+) số vô tỉ.
Bài toán 38 Cho số thực a, b cho tập hợp { a2 + a ; b } { b2 + b ; b } Chứng minh rằng: a = b
(4)Chứng minh rằng: a = b = c = d = e Bài tốn 40 Tìm x, y biết:
a 5x – 17y = 2xy x – y = 5; 2x + 3y = xy.
b x + 2y – 3z = 5xyz (x – 2y)(y + 7) – x = 192 ( xyz > 0)
B Phần hình học
Bài tốn 41 Tính ^A tam giác ABC cân A biết đường thẳng d qua đỉnh A và chai tam giác ABC thành hai tam giác cân
Bài tốn 42 Cho Δ ABC vng cân A, trung tuyến AM Lấy E BC BH, CK AE (H, K AE) Chứng minh Δ MHK vuông cân
Bài tốn 43 Cho Δ ABC có góc ABC = 50 ❑0 ; góc BAC = 70 ❑0 Phân giác góc ACB cắt AB M Trên MC lấy điểm N cho góc MBN = 40 ❑0 Chứng minh rằng: BN = MC
Bài tốn 44 Cho Δ ABC Vẽ phía ngồi tam giác tam giác vng cân A ABE ACF Vẽ AH BC Đường thẳng AH cắt EF O Chứng minh O trung điểm EF
Bài toán 45 Cho Δ ABC Qua A vẽ đường thẳng xy // BC Từ điểm M cạnh BC vẽ đường thẳng song song với AB, AC chúng cắt xy theo thứ tự D E Chứng minh rằng:
a Δ ABC = Δ MDE
b Ba đường thẳng AM, BD, CE qua điểm
Bài tốn 46 Cho Δ ABC vng A Trên cạnh BC lấy hai điểm M N cho BM = BA; CN = CA Tính M A N
Bài toán 47 Cho Δ ABC có A = 90 ❑0 (AB < AC), phân giác AD Từ D vẽ đường thẳng vng góc với BC cắt AC M Tính M B D
Bài tốn 48 Δ ABC có B = 75 ❑o ; C = 60 ❑o Kéo dài BC đoạn thẳng
CD cho CD = 12 BC Tính A D B
(5)và BK cắt H Chứng minh Δ HIK cân
Bài toán 50 Cho Δ ABC cân A Gọi M điểm nằm cạnh BC cho MB < MC Lấy điểm O đoạn thẳng AM Chứng minh A ^O B> A O C
Bài toán 51 Cho xOy Trên hai cạnh Ox Oy lấy điểm A B cho OA + OB = 2a Xác định vị trí A B AB đạt
Bài toán 52 Cho đoạn thẳng MN = 4cm, điểm O nằm M N Trên nửa mặt phẳng bờ MN vẽ tam giác cân đỉnh O OMA OMB cho góc đỉnh O 45 ❑0 Tìm vị trí O để AB Tính độ dài nhỏ
Bài tốn 53 Cho Δ ABC cân A có A = 100 ❑0 , tia phân giác góc B cắt AC D Chứng minh BC = BD + AD
Bài tốn 54 Cho Δ ABC vng có AC = 3AB Trên AC lấy điểm D E cho AD = DE = EC Chứng minh AEB + ACB = 45 ❑0
Bài toán 55 Cho tam giác ABC cân A, Â = 30 ❑0 , BC = 2cm Trên cạnh AC lấy điểm D cho CBD = 60 ❑0 Tính độ dài AD
Bài tốn 56 Cho tam giác ABC cân A, B = 75 ❑0 Kẻ CH vng góc với AB
Chứng minh CH = AB2
Bài toán 57 Cho tam giác ABC vuông cân B tồn điểm M nằm tam giác cho MA : MB : MC = : : Tính A M B
Bài tốn 58 Nếu a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn điều kiện a2 + b2 >
5c2 c cạnh nhỏ nhất.
Bài toán 59 Cho tam giác ABC cân A Trên trung tuyến BD lấy E cho cho DAE = ABD Chứng minh rằng: D A E=E C B
Bài tốn 60 Cho Δ ABC có BAC = 40 ❑0 , ABC = 60 ❑0 Gọi D E điểm tương ứng AC AB cho CBD = 40 ❑0 ; BCE = 70 ❑0 Giả sử BD cắt CE F Chứng minh rằng: AF BC
(6)Bài toán 62 Cho Δ ABC Trung tuyến BM đường phân giác CD cắt I thỏa mãn IB = IC Từ A kẻ AH BC Chứng minh IM = IH
Bài toán 63 Cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M trung điểm BC, G điểm cạnh AB cho GB = 2GA Các đường thẳng GM CA cắt D Đường thẳng qua M vng góc với CG E cắt AC K Gọi P giao điểm DE GK Chứng minh rằng:
a DE = BC b PG = PE
Bài toán 64 Cho tam giác ABC vuông cân A Giả sử D điểm nằm bên tam giác cho tam giác ABD cân ADB = 150o Trên nửa mặt phẳng không chứa D có bờ
là đường thẳng AC lấy điểm E cho tam giác ACE Chứng minh điểm B, D, E thẳng hàng
Bài toán 65 Cho tam giác ABC, đường trung tuyến BM đường phân giác CD cắt nhau J thỏa mãn điều kiện JB = JC Từ A kẻ AH vng góc với cạnh BC Chứng minh JM = JH
Bài tốn 66 Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM, AB = 6cm, AC = 8cm, AM = √3 cm
a Tính số đo góc BAC b Tính BC
c Tính diện tích tam giác ABC
Bài tốn 67 Cho tam giác ABC có góc BAC 105o, đường phân giacstrong CD và
đường trung tuyến BM cắt K thỏa mãn KB = KC Gọi H chân đường cao hạ từ A tam giác ABC
a Chứng minh HA = HB b Tính góc ABC góc ACB’
Bài toán 68 Cho tam giác ABC cân Trên cạnh đáy BC lấy điểm D cho CD = 2BD.
So sánh số đo hai góc BAC 12 CAD.
(7)Đường thẳng qua A, vng góc với PE, cắt đường thẳng BE N Gọi K G trung điểm BM CN Gọi H giao điểm đường thẳng KF GE CMR: AH EF
Bài tốn 70 Cho Δ DEF vng D, có EK phân giác Kẻ KM EF, kéo dài KM cắt đường thẳng DE I Chứng minh:
a/ DK = KM ; DE = EM b/ EK IF
c/ Nếu cho M trung điểm EF Chứng minh: DKKF =1