Đang tải... (xem toàn văn)
Trong bài báo này, đầu tiên chúng tôi nghiên cứu một lớp bài toán bất đẳng thức tựa biến phân vectơ hỗn hợp phụ thuộc tham số loại Minty trong không gian vectơ tôpô Hausdorff lồi địa phương, bài toán này chứa rất nhiều bài toán như là các trường hợp đặc biệt, cụ thể là: bài toán điểm bất động, bài toán điểm trùng, bài toán bù, bài toán tối ưu, bài toán mạng giao thông, bài toán bất đẳng thức biến phân vô hướng và bài toán cân bằng kinh tế. Sau đó, chúng tôi thiết lập các điều kiện đủ cho tính chất ổn định như: tính nửa liên tục trên, tính đóng, tính liên tục ngoài và tính mở ngoài của ánh xạ nghiệm cho bài toán bất đẳng thức tựa biến phân vectơ hỗn hợp phụ thuộc tham số loại Minty.
Tạp chí Phát triển Khoa học Cơng nghệ – Kĩ thuật Công nghệ, 2(4):246-250 Bài nghiên cứu Open Access Full Text Article Tính nửa liên tục ánh xạ nghiệm cho toán bất đẳng thức tựa biến phân vectơ hỗn hợp phụ thuộc tham số loại Minty Phan Thanh Kiều1 , Lê Xuân Đại2,* , Nguyễn Văn Hưng1 TÓM TẮT Use your smartphone to scan this QR code and download this article Trong báo này, chúng tơi nghiên cứu lớp tốn bất đẳng thức tựa biến phân vectơ hỗn hợp phụ thuộc tham số loại Minty không gian vectơ tôpô Hausdorff lồi địa phương, toán chứa nhiều toán trường hợp đặc biệt, cụ thể là: toán điểm bất động, toán điểm trùng, toán bù, toán tối ưu, toán mạng giao thơng, tốn bất đẳng thức biến phân vơ hướng tốn cân kinh tế Sau đó, chúng tơi thiết lập điều kiện đủ cho tính chất ổn định như: tính nửa liên tục trên, tính đóng, tính liên tục ngồi tính mở ngồi ánh xạ nghiệm cho toán bất đẳng thức tựa biến phân vectơ hỗn hợp phụ thuộc tham số loại Minty Các kết tính nửa liên tục tính đóng ánh xạ nghiệm cho toán bất đẳng thức tựa biến phân vectơ hỗn hợp phụ thuộc tham số loại Minty mở rộng cải thiện số kết đưa Lalitha Bhatia Một ví dụ đưa để chứng tỏ kết đạt Các kết tính liên tục ngồi tính mở ngồi ánh xạ nghiệm cho tốn bất đẳng thức tựa biến phân vectơ hỗn hợp phụ thuộc tham số loại Minty báo Chúng tơi đưa số ví dụ để chứng tỏ mối quan hệ tính nửa liên tục trên, tính đóng, tính liên tục ngồi tính mở ngồi Từ khố: Bài tốn bất đẳng thức tựa biến phân véctơ hỗn hợp phụ thuộc tham số loại Minty, tính nửa liên tục trên, tính đóng, tính liên tục ngồi, tính mở ngồi GIỚI THIỆU BÀI TỐN Khoa Cơ Học viên Cơng nghệ Bưu Viễn thơng TPHCM Khoa Khoa học ứng dụng, trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG-HCM Liên hệ Lê Xuân Đại, Khoa Khoa học ứng dụng, trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG-HCM Email: ytkadai@hcmut.edu.vn Lịch sử • Ngày nhận: 19-01-2018 • Ngày chấp nhận: 22-12-2018 • Ngày đăng: 31-12-2019 DOI : 10.32508/stdjet.v2i4.678 Bản quyền © ĐHQG Tp.HCM Đây báo cơng bố mở phát hành theo điều khoản the Creative Commons Attribution 4.0 International license Bài toán bất đẳng thức tựa biến phân vectơ hỗn hợp phụ thuộc tham số loại Minty chứa nhiều toán trường hợp đặc biệt, cụ thể là: toán điểm bất động, toán bù, toán tối ưu, tốn mạng giao thơng, tốn bất đẳng thức biến phân, v.v Các tính chất nửa liên tục nghiệm chủ đề quan trọng lý thuyết tối ưu nói riêng cho ngành tốn học nói chung, đặc biệt tính nửa liên tục Trong năm gần có nhiều nhà tốn học giới nước nghiên cứu vấn đề cho toán tối ưu, xem tài liệu tham khảo 1–3 , toán bất đẳng thức biến phân, xem tài liệu tác giả B.T Kien toán cân bằng, xem tài liệu tham khảo 5,6 tài liệu liên quan Tuy nhiên, tính nửa liên tục cho số toán liên quan đến tối ưu nhiều nhà khoa học quan tâm Xuất phát từ công việc đề cập trên, báo này, chúng tơi nghiên cứu số tính chất nửa liên tục cho toán bất đẳng thức tựa biến phân vectơ hỗn hợp phụ thuộc tham số loại Minty không gian vectơ tôpô Hausdorff lồi địa phương Lấy Xvà Λ không gian vectơ tôpô Hausdorff lồi địa phương Cho L (X, Rn ) khơng gian tất tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Rn K : X × Λ → 2X , n T : X × Λ → 2L(X,R ) ánh xạ đa trị, f : X × X × n Λ → R hàm vectơ thỏa mãn f (y, y, γ ) = với y ∈ X, γ ∈ Λ Ký hiệu⟨z, x⟩ giá trị toán tử tuyến tính z ∈ L (X, Rn ) x ∈ X, ta giả sử ⟨., ⟩ liên tục Với γ ∈ Λ, xét toán bất đẳng thức tựa biến phân vectơ hỗn hợp phụ thuộc tham số loại Minty sau (kí hiệu MQVIP): (MQVIP) Tìm x¯ ∈ K(x, ¯ γ ) cho − ⟨z, y − x⟩ + f ( x, y, γ ) ̸∈ − int Rn+ , ∀y ∈ K(x, γ ), ∀z ∈ T (y, γ ) Trong ký hiệu số không âm phần số không âm Rn { } Rn+ = t = (t1 ,t2 , ,tn )T ∈ Rn |ti ≥ 0, i = 1, 2, , n int Rn+ ={t=(t1 ,t2 , ,tn )T ∈Rn |ti >0,i=1,2, ,n}, T ký hiệu chuyển vị Với γ ∈ Λ đặt E(γ ) := {x ∈ X|x ∈ K(x, γ )} Ψ : Λ → 2X ánh xạ đa trị, cho Ψ(γ ) tập nghiệm (MQVIP) Trong suốt viết giả sử Ψ(γ ) ̸= ∅ với γ lân cận γ0 ∈ Λ Trích dẫn báo này: Thanh Kiều P, Xuân Đại L, Văn Hưng N Tính nửa liên tục ánh xạ nghiệm cho toán bất đẳng thức tựa biến phân vectơ hỗn hợp phụ thuộc tham số loại Minty Sci Tech Dev J - Eng Tech.; 2(4):246-250 246 Tạp chí Phát triển Khoa học Cơng nghệ – Kĩ thuật Công nghệ, 2(4):246-250 NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN Tiếp theo mục này, gọi lại số định nghĩa tính chất chúng trình bày tài liệu tham khảo 7–10 Bây giờ, ta nhắc lại hai giới hạn tài liệu tham khảo 9,10 Lấy X Y hai không gian vectơ tôpô F : X → 2Y ánh xạ đa trị Khi đó, giới hạn giới hạn mở F định nghĩa sau: lim supx→x0 G(x):={y∈Y |∃xv →x0 ,∃yv ∈G(xv ):yv →y,∀v} lim supx→x0 oG(x) := {y ∈ Y | tồn lân cận mở Ucủa y lưới {xv } ⊆ X, xv = ̸ x0 hội tụ x0 cho U ⊆ G (xv ) , ∀v} Định nghĩa 1.1 (Xem tài liệu tham khảo 7,9 ) Giả sử X Y hai không gian tôpô Hausdorff, F : X → 2Y ánh xạ đa trị i) Ánh xạ đa trị F gọi liên tục x0 lim supx→x0 F(x) ⊆ F (x0 ) ii) Ánh xạ đa trị F gọi mở x0 lim supx→x0 oF(x) ⊆ F (x0 ) iii) Ánh xạ đa trị F gọi nửa liên tục (gọi tắt lsc) x0 với tập mở V ⊆ Y thỏa F (x0 ) ∩ V ̸= ∅ tồn lân cận U x0 cho x ∈ U, F(x) ∩ V ̸= ∅ iv) Ánh xạ đa trị F gọi nửa liên tục (gọi tắt usc) x0 với lân cận V F(x0 ) tồn lân cận U x0 cho F(U) ⊆ V v) Nếu (i) (tương ứng (ii)) thỏa với x0 ∈ dom F ta nói F lsc (tương ứng usc) vi) F gọi liên tục lsc usc Trong đó, dom F kí hiệu cho miền hiệu F xác định sau: dom F := {x ∈ X|F(x) ̸= ∅} vii)F gọi đóng x0 với lưới {(xα , zα )} ⊆ graph F := {(x, z)|z ∈ F(x)}, (xα , zα ) → (x0 , z0 ), z0 ∈ F (x0 ) Bổ đề 1.1 Cho X Y hai không gian vectơ tôpô Hausdorff , F : X → 2Y i) Nếu F usc x0 F(x0 ) đóng, F đóng x0 ii) Nếu F có giá trị compắc, F usc x0 khi, với lưới {xα } ⊆ X hội tụ x0 với lưới {yα } ⊆ F(xα ) tồn y ∈ F(x) lưới { } yβ {yα } cho yβ → y KẾT QUẢ CHÍNH Trong mục này, chúng tơi thiết lập tính nửa liên tục trên, tính đóng, tính liên tục ngồi tính mở ngồi ánh xạ nghiệm cho toán (MQVIP) Định lý 1.2 Giả sử cho toán (MQVIP) điều kiện sau thỏa mãn 247 i) E(.) nửa liên tục với giá trị compắc γ0 ii) K(., ) nửa liên tục X × {γ0 } iii)T (., ) nửa liên tục X × {γ0 } Khi ψ (.) nửa liên tục γ0 Ngoài ra, ψ (γ0 ) tập compắc ψ (.) đóng γ0 Chứng minh Đầu tiên, chứng minh Ψ(.) nửa liên tục γ0 Thật vậy, ta giả sử ngược lại Ψ(.) không nửa liên tục γ0 , nghĩa tồn tập mở V Ψ(γ0 ) cho với lưới {γα } hội tụ γ0 tồn xα ∈ Ψ (γα ) , xα ∈ /V với α Vì tính nửa liên tục E(.) γ0 tính compắc E(γ0 ) ta giả sử xα → x0 ∈ E (γ0 ) Bây cần chứng tỏ x0 ∈ Ψ (γ0 ) Nếu x0 ∈ / Ψ (γ0 ) tồn y0 ∈ K (x0 , γ0 ) z0 ∈ T (y0 , γ0 ) cho ⟨z0 , y0 − x0 ⟩ + f (x0 , y0 , γ0 ) ∈ − int Rn+ (1) Từ tính nửa liên tục K (.,.) (x0 , γ0 ) T (.,.) (y0 , γ0 ) tồn yα ∈ K(xα , γα ) cho yα → y0 zα ∈ T (yα , γα ) cho za → z0 Vì xα ∈ ψ (γα ), ta có ⟨zα , yα − xα ⟩ + f (xα , yα , γα ) ∈ / − int Rn+ Vì ⟨., ⟩ f (.,.) liên tục, nên ta có ⟨zα ,yα −xα ⟩+ f (xα ,yα ,γα )→⟨z0 ,y0 −x0 ⟩+ f (x0 ,y0 ,γ0 ) ⟨z0 , y0 − x0 ⟩ + f (x0 , y0 , γ0 ) ∈ / − int Rn+ (2) Điều mâu thuẫn (1) (2), nên ta cóx0 ∈ Ψ (γ0 ) ⊆ V , điều trái với thực tế xα ∈ /V với α Do đó, Ψ(.) nửa liên tục γ0 Bây ta chứng minh Ψ(γ0 ) compắc, ta chứng minh Ψ(γ0 ) tập đóng Thật vậy, ta giả sử Ψ(γ0 ) khơng đóng, tồn lưới {xa } ⊆ Ψ (γ0 ) cho xα → x0 nhưngx0 ∈ / Ψ (γ0 ) Lý luận tương tự trên, ta có Ψ(γ0 ) tập đóng Ngồi ra, Ψ (γ0 ) ⊂ E (γ0 ) với E (γ0 ) compắc, suy rằngΨ(γ0 ) compắc Khi đó, từ Bổ đề 1.1 (i) ta có Ψ(.) đóng γ0 Nhận xét 1.1 Nếu X = Rm , n = f (x, y, γ ) = toán (MQVIP) thu toán bất đẳng thức tựa biến phân vô hướng loại Minty sau (viết tắt, (MVI)): (MVI) Tìm x¯ ∈ cl K(x, ¯ γ ) cho ⟨¯z, y − x⟩ ¯ ≥ 0, ∀y ∈ K(x, ¯ γ ), z ∈ T (y, γ ) Bài toán nghiên cứu tài liệu Lalitha cs Khi đó, Định lí 1.2 cải thiện mở rộng Định lí 3.1 tài liệu Lalitha cs Tạp chí Phát triển Khoa học Cơng nghệ – Kĩ thuật Cơng nghệ, 2(4):246-250 Ví dụ sau chứng tỏ giả thiết compắc Định lí 3.1 Lalitha cs khơng thỏa mãn, Định lí 1.2 chúng tơi thỏa mãn Điều chứng tỏ Định lí 1.2 chúng tơi cải thiện Định lí 3.1 tài liệu Lalitha cs Ví dụ 1.1 Lấy X = [0, 3), n = 1, Λ = [0, 1], γ0 = K : X × Λ → 2X , T : X × Λ → 2L(X,Y ) f : X × X × Λ → Rn định nghĩa sau: [ ] K(x, γ ) = 21 , 31 , f (x, y, γ ) = {y − x}, T (y, γ ) = {1} Ta dễ thấy tất giả thiết Định lí 1.2 báo thỏa mãn Do đó, Ψ(.)là nửa liên tục đóng Định lí 3.1 không thỏa mãn X không compắc Thực tế { } tính tốn Ψ(γ ) = 12 với γ ∈ [0, 1] Định lý 1.3 Giả sử cho toán (MQVIP) điều kiện sau thỏa mãn i) E(.) liên tục γ0 ; ii) K (.,.) nửa liên tục X × {γ0 }; iii) T (.,.) nửa liên tục X × {γ0 } Khi Ψ(.) liên tục ngồi tạiγ0 Chứng minh Lấy x0 ∈ lim supy→γ0 Ψ(γ ) Khi đó, tồn lưới {γα } hội tụ γ0 {xα } hội tụ x0 với xα ∈ Ψ (γα ) Từ tính liên tục ngồi E(.) ta có x ∈ E (γ0 ) Bây chứng tỏ x0 ∈ Ψ (γ0 ) Thật vậy, tính liên tục K (.,.) X × {γ0 } với y0 ∈ K(x0 , γ0 ) tồn yα ∈ K(xα , γα ) cho yα → y0 Từ tính liên tục T (.,.) X × {γ0 } nên với z0 ∈ T (y0 , γ0 ) tồn zα ∈ T (yα , γα ) cho zα → z0 Vì xα ∈ Ψ (γα ) ta có ⟨zα , yα − xα ⟩ + f (xα , yα , γα ) ∈ / − int Rn+ Vì ⟨., ⟩ f(.,.) liên tục, nên ta có ⟨zα ,yα −xα ⟩+ f (xα ,yα ,γα )→⟨z0 ,y0 −x0 ⟩+ f (x0 ,y0 ,γ0 ) Vì ⟨z0 , y0 − x0 ⟩ + f (x0 , y0 , γ0 ) ∈ / − int Rn+ Do đó, x0 ∈ Ψ (γ0 ) Nghĩa là, Ψ(.) liên tục γ0 Định lý 1.4 Giả sử cho toán (MQVIP) điều kiện sau thỏa mãn i) E (.) mở tạiγ0 ii) với x0 ∈ E (γ0 ) , T (y0 , )là nửa liên tục tạiγ0 Khi Ψ(.) mở tạiγ0 Chứng minh Lấy x0 ∈ lim supγ →γ0 Ψ(γ ) Khi đó, tồn lân cận V x0 lưới {γα } ⊆ Λ, γα ̸= γ0 hội tụ γ0 cho V ⊆ Ψ (γα ) , ∀α Vì V ⊆ E (γα ) ta có x0 ∈ lim supγ →γ0 oE(γ ) Nó suy từ (i) x0 ∈ E (γ0 ) Bây ta chứng tỏ x0 ∈ Ψ (γ0 ) Thật vậy, từ tính nửa liên tục T (y0 ,.) γ0 z0 ∈ T (y0 , γ0 ) tồn zα ∈ T (yα , γα ) cho zα → z0 Vì x0 ∈ Ψ (γα ), ta có ⟨zα , y0 − x0 ⟩ + f (x0 , y0 , γα ) ∈ / − int Rn+ Vì ⟨., ⟩ f (x0 ,y0 ,.) liên tục, nên ta có ⟨zα ,y0 −x0 ⟩+ f (x0 ,y0 ,γα )→⟨z0 ,y0 −x0 ⟩+ f (x0 ,y0 ,γ0 ) Khi ta có ⟨z0 , y0 − x0 ⟩ + f (x0 , y0 , γ0 ) ∈ / − int Rn+ Do đó, x0 ∈ Ψ (γ0 )Vì vậy, Ψ(.) mở ngồi γ0 Ví dụ sau chứng tỏ tất giả thiết Định lí 1.4 thỏa mãn Nhưng tính liên tục ngồi Định lí 1.3 khơng thỏa mãn Vì Định lí 1.3 khơng thể áp dụng Ví dụ 1.2 Lấy X = R, n = 1, Λ = [0, 1], γ0 = 0, K : X × Λ → 2X , T : X × Λ → 2L(X,X) f : X × X × Λ → Rn định nghĩa sau: T (y, γ ) = {0}, K(x, γ ) = (−1, γ ) {[ 0, γ = [ ] f (x, y, γ ) = , , γ ∈ (0, 1] 2γ +1 Ta suy E(γ ) = (−1, γ ), với γ ∈ [0, 1] Dễ thấy tất điều kiện Định lí 1.4 thỏa mãn Do Ψ(.) mở ngồi (thực tế ta tính tốn Ψ(0) = (−1, 0) Ψ(γ ) = (−1, γ )với γ ∈ (0, 1]), E (.) khơng liên tục ngồi Vì Ψ(.) khơng liên tục ngồi Ví dụ sau chứng tỏ tất giả thiết Định lí 1.3 Định lí 1.4 thỏa mãn Nhưng tính liên tục Định lí 1.2 khơng thỏa mãn Vì Định lí 1.2 khơng thể áp dụng Ví dụ 1.3 Lấy X = R, n = 1, Λ = [0, 1], γ0 = 0, K : X × Λ → 2X , T : X × Λ → 2L(X,Y ) f : X × X × Λ → Rn định nghĩa sau: T (y, γ ) = {0}, K(x, γ ) = {(ξ , γξ ) : ξ ∈ R} { 0, γ = [ ] f (x, y, γ ) = , , γ ∈ (0, 1] cos γ +1 e Khi đó, ta có E(γ ) = {(ξ , γξ ) : ξ ∈ R} với γ ∈ [0, 1] Do đó, E mở liên tục Ta dễ dàng thấy tất điều kiện Định lí 1.4, Định lí 1.3 thỏa mãn Vì Ψ(.)là mở liên tục Thực tế ta tính Ψ(γ ) = {(ξ , γξ ) : ξ ∈ R} với γ ∈ [0, 1] Tuy nhiên, E(.) không nửa liên tục Vì thế, Ψ(.) khơng nửa liên tục Do đó, Định lí 1.2 khơng thể áp dụng Ví dụ sau chứng tỏ tất giả thiết Định lí 1.2, Định lí 1.3 Định lí 1.4 thỏa mãn 248 Tạp chí Phát triển Khoa học Cơng nghệ – Kĩ thuật Cơng nghệ, 2(4):246-250 Ví dụ 1.4 Lấy X = R, n = 1, Λ = [0, 1], γ0 = 0, K : X × Λ → 2X , T : X × Λ → 2L(X,Y ) f : X × X × Λ → Rn định nghĩa sau: T (y, γ ) = {0}, K(x, γ ) = [0, 1] { 0, γ = [1 ] f (x, y, γ ) = γ ∈ (0, 1] 2,1 , ĐÓNG GÓP CỦA TÁC GIẢ Ta dễ dàng thấy tất điều kiện Định lí 1.2, Định lí 1.3 Định lí 1.4 thỏa mãn Vì Ψ(.) liên tục trên, liên tục mở Phan Thanh Kiều tham gia vào việc xây dựng mơ hình tốn bất đẳng thức tựa biến phân vectơ hỗn hợp phụ thuộc tham số loại Minty, thiết lập điều kiện đủ cho tính nửa liên tục tính đóng (Định lí 1.2) Lê Xuân Đại tham gia vào việc thiết lập điều kiện đủ cho tính liên tục ngồi tính mở ngồi (Định lý 1.3 Định lý 1.4) Nguyễn Văn Hưng tham gia vào việc soạn thảo báo KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO Kết đạt báo chúng tơi sau: • Mơ hình tốn chúng tơi mở rộng mơ hình toán tài liệu tác giả Lalitha CS, Bhatia G • Định lí 1.2 chúng tơi cải thiện mở rộng Định lí 3.1 tài liệu tác giả Lalitha CS, Bhatia G (xem Nhận xét 1.1 Ví dụ 1.1) • Định lí 1.3 Định lý 1.4 chúng tơi cho toán (MQVIP) Hung NV On the stability of the solution mapping for parametric traffic network problems Indagationes Mathematicae 2018;29:885–894 Rockafellar RT, Wets RJB Variational Analysis Springer; 1998 Zhao J The lower semicontinuity of optimal solution sets Journal of Mathematical Analysis and Applications 1997;207:240–254 Kien BT On the lower semicontinuity of optimal solution sets Optimization 2005;54:123–130 Anh LQ, Hung NV Gap functions and Hausdorf continuity of solution mappings to parametric strong vector quasiequilibrium problems Journal of Industrial and Management Optimization 2018;14:65–79 Anh LQ, Hung NV Stability of solution mappings for parametric bilevel vector equilibrium problems Computational and Applied Mathematics 2018;37:1537–1549 Aubin JP, Ekeland I Applied Nonlinear Analysis New York: John Wiley and Sons; 1984 Lalitha CS, Bhatia G Stability of parametric quasivariational inequality of the Minty type J Optim Theory Appl 2011;148:281–300 Luc DT Theory of Vector Optimization Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems 1989; 10 Khanh PQ, Luc DT Stability of solutions in parametric variational relation problems Set-Valued Anal 2008;16:1015– 1035 DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT MVI: Bài tốn bất đẳng thức tựa biến phân vơ hướng hỗn hợp phụ thuộc tham số loại Minty MQVIP: Bài toán bất đẳng thức tựa biến phân vectơ hỗn hợp phụ thuộc tham số loại Minty XUNG ĐỘT LỢI ÍCH Nhóm tác giả xin cam đoan khơng có xung đột lợi ích cơng bố báo 249 Science & Technology Development Journal – Engineering and Technology, 2(4):246-250 Research Article Open Access Full Text Article On the upper semicontinuity of the solution mapping for parametric vector mixed quasivariational inequality problem of the Minty type Phan Thanh Kieu1 , Le Xuan Dai2,* , Nguyen Van Hung1 ABSTRACT Use your smartphone to scan this QR code and download this article In this paper, we first study a class of parametric generalized vector mixed quasivariational inequality problem of the Minty type in locally convex Hausdorff topological vector spaces, this problem contains many problems as special cases, such as optimization problems, traffic network problems, Nash equilibrium problems, fixed point problems, variational inequality problems and complementarity problems, economic equibrium problems Then, we establishe the conditions sufficient for stability properties such as: the upper semicontinuity, closedness, outer-continuity, outer-openness of the solution mapping for parametric generalized vector mixed quasivariational inequality problem of the Minty type The results of the upper semi-continuity and the closeness of the solution mapping for parametric generalized vector mixed quasivariational inequality problem of the Minty type are improve and extend some of the results given by Lalitha and Bhatia An example is given to demonstrate our results.The results of the outer continuity and the outer-openness of the solution mapping for the parametric generalized vector mixed quasivariational inequality problem of the Minty type are new We also give some examples to show the relationship between upper semi-continuity, closedness outer continuity and outer-openness Key words: Parametric vector mixed quasivariational inequality problem of the Minty type, upper semicontinuity, closedness, outer-continuity, outer-openness Department of Scientific Fundamentals, Posts and Telecommunications Institute of Technology, HCM City, Vietnam Department of Applied Mathematics, Ho Chi Minh City University of Technology, VNU-HCM, Vietnam Correspondence Le Xuan Dai, Department of Applied Mathematics, Ho Chi Minh City University of Technology, VNU-HCM, Vietnam Email: ytkadai@hcmut.edu.vn History • Received: 19-01-2018 • Accepted: 22-12-2018 • Published: 31-12-2019 DOI : 10.32508/stdjet.v2i4.678 Copyright © VNU-HCM Press This is an openaccess article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International license Cite this article : Kieu P T, Dai L X, Hung N V On the upper semicontinuity of the solution mapping for parametric vector mixed quasivariational inequality problem of the Minty type Sci Tech Dev J – Engineering and Technology; 2(4):246-250 250 ... VIẾT TẮT MVI: Bài tốn bất đẳng thức tựa biến phân vơ hướng hỗn hợp phụ thuộc tham số loại Minty MQVIP: Bài toán bất đẳng thức tựa biến phân vectơ hỗn hợp phụ thuộc tham số loại Minty XUNG ĐỘT... thức tựa biến phân vectơ hỗn hợp phụ thuộc tham số loại Minty, thiết lập điều kiện đủ cho tính nửa liên tục tính đóng (Định lí 1.2) Lê Xn Đại tham gia vào việc thiết lập điều kiện đủ cho tính liên. .. {yα } cho yβ → y KẾT QUẢ CHÍNH Trong mục này, chúng tơi thiết lập tính nửa liên tục trên, tính đóng, tính liên tục ngồi tính mở ngồi ánh xạ nghiệm cho toán (MQVIP) Định lý 1.2 Giả sử cho toán