- 1 - ÔN TẬP HỌC KỲ I TOÁN 8 (2009-2010)  ĐẠI SỐ Ba ̀ i 1 : Rút gọn biểu thức 1/ ( x + 2 ) ( x – 2 ) – ( x – 3 ) ( x + 1 ) 2/ (x-1)(x 3 +x 2 +x+1) 3/ (2x+1) 2 +2(4x 2 -1)+(2x-1) 2 4/ (x 2 +xy+y 2 )(x-y) + (x 2 -xy+y 2 )(x+y) 5/ ( 3x – 1) 2 + 2(3x – 1)(2x + 1) + (2x + 1) 2 6/ (x – 3)(x + 3) – (x – 3) 2 7/ ( x – 1 ) ( x + 1 ) – ( x – 1 ) 2 8/ ( 2x + 1 ) 2 + ( 3x – 1 ) 2 + 2( ( 2x + 1 ) ( 3x – 1 ) 9/ (x 2 –1)(x+2) – (x–2)(x 2 +2x+4) 10/(x 2 +1)(x–3) – (x–3)(x 2 +3x+9) Giải 1/ ( x + 2 ) ( x – 2 ) – ( x – 3 ) ( x + 1 ) = x 2 – 2 2 – (x 2 +x–3x–3) = x 2 – 4 – x 2 –x +3x +3 = 2x –1 2/ (x-1)(x 3 +x 2 +x+1) = x 4 +x 3 +x 2 +x– x 3 –x 2 –x–1 = x 4 –1 3/ (2x+1) 2 +2 (4x 2 -1)+(2x-1) 2 = (2x+1) 2 +2 (2x-1)(2x+1) +(2x-1) 2 = [(2x+1) + (2x –1)] 2 = (2x+1+2x –1) 2 = (4x) 2 = 16x 2 4/ (x 2 +xy+y 2 )(x-y) + (x 2 -xy+y 2 )(x+y) = x 3 –y 3 + x 3 +y 3 = 2x 3 5/ ( 3x – 1) 2 + 2(3x – 1)(2x + 1) + (2x + 1) 2 = [(3x – 1) + (2x + 1) ] 2 = (3x – 1 +2x +1) 2 = (5x) 2 = 25x 2 6/ (x – 3)(x + 3) – (x – 3) 2 = (x–3)[(x+3)–(x–3)] = (x–3)[x+3 –x+3] = 6(x–3) 7/( x – 1) ( x + 1 ) – ( x – 1 ) 2 = ( x – 1) [(x+1)– ( x – 1 )] = ( x – 1) [x+1–x+1] = (x – 1) . 2 = 2(x-1) 8/ (2x +1) 2 + (3x –1 ) 2 +2( (2x +1 ) (3x – 1 ) =[(2x +1)+(3x – 1 )] 2 = (2x+1+3x–1) 2 = (5x) 2 = 25x 2 9/ (x 2 -1)(x+2) – (x-2)(x 2 +2x+4) = x 3 +2x 2 –x–2 –(x 3 –2 3 ) =x 3 +2x 2 –x–2 –x 3 +8 =2x 2 –x+8 10/ (x 2 +1)(x–3) – (x–3)(x 2 +3x+9) = x 3 –3x 2 +x–3 – (x 3 –3 3 ) = x 3 –3x 2 +x –3 – x 3 +27 = – 3x 2 +x+24 Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 1/ x 2 -y 2 -5x+5y 2) 5x–5y+ax–ay 3) x 3 –2x 2 +x–xy 2 4/ y 2 (x – 1) – 7y 3 + 7xy 3 5/ x 3 – 3x 2 +3x - 1 6/ 3x 2 –3xy – 5x + 5y 7/ 2x – y 2 + x 2 + 1 8/ x 3 -2x 2 + x 9/ x 2 - y 2 + 8x - 8y 10/ 5x 2 + 5xy – x – y 11/ 3x 2 –6xy+3y 2 –12z 2 12/ 5x 2 ( x – 2y ) – 15x ( 2y – x ) 13/ x 3 – 2x 2 + x – xy 2 14/ 2x + 2y – x( x + y ) 15/ x 2 – 16 + y 2 + 2xy 16/ x 3 + 3x 2 + x +3 17/ x 2 – 49 + y 2 -2xy 18/ (x 3 +x 2 +x+1) 19/ x 2 +5x+6 20/3x 2 -8x +4 - 2 - 21/ x 2 – 3x + 2 22/ 3x 2 – 7x – 10 Giải 1/ x 2 -y 2 -5x+5y =(x 2 – y 2) – (5x – 5y) = (x – y)(x+y) – 5(x – y) = (x – y)(x+y – 5) 2) 5x–5y+ax–ay =(5x – 5y)+(ax – ay) =5(x – y)+a(x – y)= (x – y)(5+a) 3) x 3 –2x 2 +x–xy 2 =x[(x 2 – 2x+1)– y 2 ] =x[(x – 1) 2 – y 2 ] =x (x – 1 – y)(x – 1+y) 4/ y 2 (x – 1) – 7y 3 + 7xy 3 = y 2 (x – 1) – (7y 3 – 7xy 3 ) = y 2 (x – 1) – 7y 3 (1 – x) = y 2 (x – 1) + 7y 3 (x – 1) = (x – 1) (y 2 +7y 3 ) = y 2 (x – 1) (1+7y) 5/ x 3 – 3x 2 +3x – 1 = (x – 1) 3 6/ 3x 2 –3xy – 5x + 5y = (3x 2 –3xy) – (5x –5y) =3x(x –y) –5 =(x –y)(3x –5) 7/ 2x – y 2 + x 2 + 1= (x 2 +2x + 1) – y 2 =(x+1) 2 – y 2 = (x+1+y)(x+1–y) 8/ x 3 -2x 2 + x =x(x 2 –2x+1) =x(x–1) 2 9/ x 2 - y 2 + 8x - 8y = (x 2 - y 2 ) +( 8x - 8y) = (x+y) (x–y)+8(x–y)= (x–y)(x+y+8) 10/ 5x 2 + 5xy – x – y = (5x 2 + 5xy )–(x + y) = 5x(x + y )–(x + y) = (x+y)(5x–1) 11/3x 2 –6xy+3y 2 –12z 2 =3[(x 2 –2xy+y 2 )–4z 2 ] =3[(x–y) 2 –(2z) 2 ]=3(x–y–2z)(x–y+2z) 12/ 5x 2 ( x – 2y ) – 15x ( 2y – x ) =5x 2 ( x – 2y ) +15x ( x – 2y ) = ( x – 2y )(5x 2 +15x)= 5x ( x – 2y )(x+3) 13/ x 3 – 2x 2 + x – xy 2 =x[(x 2 – 2x +1)– y 2 ] =x[(x – 1) 2 – y 2 ]=x(x–1–y)(x–1+y) 14/ 2x + 2y – x( x + y) = (2x +2y) – x(x + y) =2(x +y) – x (x + y)=(x + y)(2–x) 15/ x 2 – 16 + y 2 + 2xy=(x 2 + y 2 + 2xy)– 16 =(x+y) 2 – 4 2 = (x+y– 4)(x+y+4) 16/ x 3 + 3x 2 + x +3 = (x 3 + 3x 2 )+( x +3) =x 2 (x+ 3)+( x +3)=( x +3)(x 2 +1) 17/ x 2 – 49 + y 2 -2xy =(x 2 -2xy+ y 2 )– 49 = (x–y 2 ) – 7 2 =(x–y–7)(x–y+7) 18/ (x 3 +x 2 +x+1) = (x 3 +x 2 )+(x+1) = x 2 (x+1)+(x+1) = (x+1)(x 2 +1) = (x+1)(x 2 +1) 19/ x 2 +5x+6 = (x 2 +2x)+(3x+6) =x(x+2)+3(x+2)=(x+2)(x+3) 20/ 3x 2 –8x +4 = 3x 2 –6x–2x+4 =(3x 2 –6x)–(2x–4)= 3x(x–2)–2(x–2) (x –2)(3x–2) 21/ x 2 – 3x + 2 = x 2 – x – 2x+ 2 = ( x 2 – x) – ( 2x –2) = x( x – 1) – 2( x –1) = ( x–1)(x–2) 22/ 3x 2 – 7x +10 = 3x 2 – 10x +3x – 10 = (3x 2 –10x) +(3x–10)=x(3x–10) +(3x –10) = (3x –10) (x+1) BÀI 3 : Rút gọn phân thức ,rồi tính giá trị 1/Cho phân thức M= 3 2 2 2 1 x x x x + + − Rút gọn rồi tính giá trị của phân thức M tại x = 3 2/Cho phân thức B = 5 2 14 (2 3 ) 21 (3 2 ) xy x y x y y x − − Rút gọn rồi tính giá trị của phân thức B tại x = 3 1 , y=2 - 3 - 3/ Cho phân thức Q = 2 2 2 2 x y x y xz yz − − + − Rút gọn rồi tính giá trị của phân thức Q tại x = 2; y=3; z=4 4/Cho phân thức A = 315 125 2 + − x x Rút gọn rồi tính giá trị của phân thức A tại x = 2 5/ Cho phân thức P = 363 1 2 23 ++ +++ xx xxx Rút gọn rồi tính giá trị của phân thức P tại x = 2 1 6/ Cho phân thức D = 1 133 2 23 +−− −+− xxyyx xxx Rút gọn rồi tính giá trị của phân thức D tại x= – 4 , y= 2 1 CÁCH RÚT GỌN: Trước tiên phân tích tử và mẫu thành nhân tử sau đó đơn giản nhân tử chung Giải 1/ M= 3 2 2 2 1 x x x x + + − = )1)(1( )12( 2 +− ++ xx xxx = )1)(1( )1( 2 +− + xx xx = 1 )1( − + x xx Khi x=3 thì M = 13 )13(3 − + = 2 12 =6 2/ B = 5 2 14 (2 3 ) 21 (3 2 ) xy x y x y y x − − = )23(.3.7 )23(2.7 4 xyxyx xyyxy − −− = x y 3 2 4 − Khi x = 3 1 , y=2 Thì B= 3 1.3 2.2 4 − = –32 3/Q = 2 2 2 2 x y x y xz yz − − + − = )())(( ))(( yxzyxyx yxyx −+−+ −+ = ))(( ))(( zyxyx yxyx −+− −+ = )( )( zyx yx −+ + Khi x = 2; y=3; z=4 Thì Q = 432 32 −+ + =5 4/ A = 315 125 2 + − x x = )15(3 )15)(15( + −+ x xx = 3 15 − x Tại x = 2 Thì A = 3 12.5 − = 3 9 =3 - 4 - / P = 363 1 2 23 ++ +++ xx xxx = )12(3 )1()( 2 23 ++ +++ xx xxx = 2 2 )1(3 )1()1( + +++ x xxx = 2 2 )1(3 )1)(1( + ++ x xx = )1(3 )1( 2 + + x x Khi x = 2 1 thì P= )1 2 1 (3 1 2 1 2 + +       = 3 2 3 1 4 1 + + = 2 2.3 2 3 4 4 4 1 + + = 2 9 4 5 = 9 2 . 4 5 = 36 10 = 18 5 6/ D = 1 133 2 23 +−− −+− xxyyx xxx = )1()( )1( 2 3 −−− − xxyyx x = )1()1( )1( 3 −−− − xxxy x = )1)(1( )1( 3 −− − xyx x = )1( )1( 2 − − xy x Khi x= – 4 , y= 2 1 thì D= )1 2 2 .4( )14( 2 −− −− = 12 )5( 2 −− − = 3 25 − = 3 25 − Bài 4: Thực hiện phép tính: 1/ 33 5 9 6 2 + + − + − x x x x x x 2/ 1 1 1 2 1 2 23 2 − − ++ + − + x xxx x 3) 22 4 4 22 xy xy yx x yx x − + + + − 4) 101055 − − + x x x x 5/ xx x x x 6 54 6 7 2 + − + − 6/ 9 )1(2 3 1 3 1 2 − − + + − − − + x xx x x x x Qui tắc : Muốn cộng (Trừ) các phân thức trước tiên phải qui đồng mẫu thức các phân thức , sau đó cộng các phân thức đã qui đồng ( Tử cộng tử ,giữ nguyên mẫu chung ) ,sau đó rút gọn kết quả (nếu được ) Giải 1/ 33 5 9 6 2 + + − + − x x x x x x = 33 5 )3)(3( 6 + + − + −− x x x x xx x = )3)(3( )3( )3)(3( )3(5 )3)(3( 6 −+ − + +− + + +− xx xx xx xx xx x = )3)(3( )3()3(56 +− −+++ xx xxxxx = )3)(3( 31556 22 +− −+++ xx xxxxx = )3)(3( 186 2 +− + xx xx = )3)(3( )3(6 +− + xx xx = 3 6 − x x 2/ 1 1 1 2 1 2 23 2 − − ++ + − + x xxx x = 1 1 1 2 )1)(1( 2 22 2 − − ++ + ++− + x xxxxx x = )1)(1( )1.(1 )1)(1( )1(2 )1)(1( 2 2 2 22 2 ++− ++ − −++ − + ++− + xxx xx xxx x xxx x = )1)(1( )1()1(2 2 22 ++− ++−−+ xxx xxxx = )1)(1( 122 2 22 ++− −−−−+ xxx xxxx = )1)(1( 3 2 ++− − xxx x = 1 3 3 − − x x 3/ 22 4 4 22 xy xy yx x yx x − + + + − = )2)(2( 4 22 yxyx xy yx x yx x +− − + + − - 5 - = )2)(2( 4 )2)(2( )2( )2)(2( )2( yxyx xy yxyx yxx yxyx yxx +− − −+ − + +− + = )2)(2( 4)2()2( yxyx xyyxxyxx +− −−++ = )2)(2( 422 22 yxyx xyxyxxyx +− −−++ = )2)(2( 42 2 yxyx xyx +− − = )2)(2( )2(2 yxyx yxx +− − = yx x 2 2 + 4) 101055 − − + x x x x = )1(10)1(5 − − + x x x x = )1)(1(10 )1( )1(2).1(5 )1(2. +− + − −+ − xx xx xx xx = )1)(1(10 )1()1(2 −+ +−− xx xxxx = )1)(1(10 22 22 −+ −−− xx xxxx = )1)(1(10 3 2 −+ − xx xx 5/ xx x x x 6 54 6 7 2 + − + − = )6( 54 6 7 + − + − xxx x x = )6( 54 ).6( . )6( )6(7 + − + − + + xxxx xx xx x = )6( 54)6(7 2 + −−+ xx xx = )6( 54427 2 + −−+ xx xx = )6( 127 2 + −− xx xx 6/ 9 )1(2 3 1 3 1 2 − − + + − − − + x xx x x x x = )3)(3( )1(2 3 1 3 1 +− − + + − − − + xx xx x x x x = )3)(3( )1(2 )3)(3( )3)(1( )3)(3( )3)(1( +− − + −+ −− − +− ++ xx xx xx xx xx xx = )3)(3( )1(2)3)(1()3)(1( +− −+−−−++ xx xxxxxx = )3)(3( 22)33(33 222 +− −++−−−+++ xx xxxxxxxx = )3)(3( 223333 222 +− −+−++−+++ xx xxxxxxxx = )3)(3( 62 +− + xx x = )3)(3( )3(2 +− + xx x = 3 2 − x Bài 5 :Tìm số x biết 1/ (x + 3) 2 + x 2 – 9 = 0 2/ x 2 – 49 =0 Cách giải : Phân tích vế trái thành nhân tử (Ta được tích các nhân tử bằng 0 ,Từ mỗi nhân tử bằng 0 ta tìm được một giá trị của x ) Giải 1/ (x + 3) 2 + x 2 – 9 = 0 ⇔ (x + 3) 2 + (x –3)(x+3) = 0 ⇔ (x+3)[(x+3)+(x+3)] =0 ⇔ (x+3)(x+3+x+3) =0 ⇔ (x+3)(2x+6) =0 ⇔2(x+3)(x+3) =0 ⇔2(x+3) 2 =0 Từ x+3=0 Suy ra x = –3 Vậy x = –3 2/ x 2 – 49 =0 ⇔ x 2 – 7 2 = 0 ⇔ (x–7)(x+7) =0 ⇔ (x–7) =0 suy ra x=7 Và (x+7) =0 suy ra x= – 7 Vậy: x=7và x= – 7 Bài 6 : 1/Cho biểu thức M= x 2 – 4x +11 Hãy chúng tỏ biểu thức M luôn lớn hơn 0 với mọi giá trị của x 2/ Cho biểu thức : N = x 2 – 2x +5 - 6 - Tìm giá trị nhỏ nhất của N Cách giải : Biến đổi biểu thức về dạng Giải 1/ M= x 2 – 4x +11 = (x 2 -4x+4)+7 : N = x 2 – 2x +5 Ta biết : (x-2) 2 ≥ 0 với mọi giá trị của x∈R Nên (x-2) 2 +7 ≥ 7 với mọi giá trị của x∈R Vậy : M= x 2 – 4x +11 luôn lớn hơn 0 với mọi giá trị của x 2/ N = x 2 – 2x +5 =(x 2 -2x+1)+3 = (x– 1) 2 +3 Ta biết : (x-2) 2 ≥ 0 với mọi giá trị của x∈R Nên (x-2) 2 +7 ≥ 7 với mọi giá trị của x∈R Vậy : M= x 2 – 4x +11 có giá trị nhỏ nhất bằng 7 ÔN TẬP TOÁN 8 HÌNH HỌC HỌC KỲ I (2009-2010) Bài 1: Cho ∆ ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AC, K là điểm đối xứng với điểm M qua điểm I. a/ Chứng minh tứ giác AMCK là hình chữ nhật b/ Chứng minh tứ giác AKMB là hình bình hành c/ Biết AC = 5cm, BC = 6cm. Tính S AMCK d/ Tìm điều kiện của ∆ ABC để tứ giác AMCK là hình vuông Giải a/ Chứng minh tứ giác AMCK là hình chữ nhật IA = IC và IM = IK nên AMCK là hình bình hành Mà AM vuông góc với BC ( do tam giác ABC cân tại A) Do đó hình bình hành AMCK có một góc vuông là hình chữ nhật b/Chứng minh tứ giác AKMB là hình bình hành MI là đường trung bình của tam giác ABC ,nên MI ∥AC ⇒ MK ∥AC Và MI= 2 AC ⇒ 2MI =AC ⇒ MK = AC Tứ giác AKMB có hai cạnh đối vừa song song , vừa bằng nhau nên là hình bình hành c/ Biết AC = 5cm, BC = 6cm. Tính S AMCK Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông MAC : AM 2 = AC 2 -MC 2 AM 2 = 5 2 -3 2 AM 2 = (5-3)(5+3)=16 AM = 4 (cm) S AMCK =AM.MC= 4cm .3 cm = 12 cm 2 d/Tìm điều kiện của ∆ ABC để tứ giác AMCK là hình vuông Để AMCK là hình vuông thì AM = MC hay AM = 2 BC Vì vậy Tam giác cân ABC phải vưông tại A ( Trung tuyến AM bằng nửa cạnh huyền ) Bài 2: Cho ∆ ABC vuông tại A, điểm D là trung điểm của BC. Gọi M là điểm đối xứng với D qua AB, E là giao điểm của DM với AB. N là điểm đối xứng với B qua AC; F là giao điểm của DN và AC. a) Tứ giác AEDF là hình gì ? Vì sao ? - 7 - b) Các tứ giác ADBM; ADCN là hình gì ? Vì sao ? c) Chứng minh rằng: M đối xứng N qua A. d) ∆ ABC có điều kiện gì thì tứ giác AEDF là hình vuông ? Giải a) Tứ giác AEDF là hình gì ? Vì sao ? Tứ giác AEDF là hình chũ nhật . vì có ba góc vuông b) Các tứ giác ADBM; ADCN là hình gì ? Vì sao ? Tứ giác ADBM là hình thoi Vì : EM=ED , EA=EB (Do DE là đường trung bình tam giác ABC)và AB ⊥ DM Tứ giác ADBM là hình thoi Vì : FN=FD , FA=FC (Do DF là đường trung bình tam giác ABC)và AC ⊥ DN c)Chứng minh rằng: M đối xứng N qua A. Do tứ giác ADBM; ADCN là hình thoi nên BD =MA và DC=AN mà BD=DC Suy ra : MA=AN (1) ^ DMN = ^ FAN (đồng vị ) ^ DNM = ^ BAM (đồng vị ) Mà ^ DMN + ^ DNM =90 0 (Tổng hai góc nhọn của tam giác vuông ) Suy ra ^ FAN + ^ BAM =90 0 Do đó ^ FAN + ^ BAM + ^ BAC =180 0 Hay ba điểm M,A,N thẳng hàng (2) Từ (1) và (2) Kết luận:M đối xứng N qua A. d) ∆ ABC có điều kiện gì thì tứ giác AEDF là hình vuông ? Để tứ giác AEDF là hình vuông thì EA=AF suy ra AB=AC Vậy tam giác vuông ABC phải cân tại A Bài 3 : Cho tam giác ABC cân tại A , trung tuyến AM . Gọi I là trung điểm của AC , N là điểm đối xứng với M qua I . a/ Chứng minh tứ giác AMCN là hình chữ nhật . b/ Tứ giác ABMN là hình gì ? Vì sao ? c/ Tìm điều kiện của tam giác ABC để AMCN là hình vuông ? Khi đó hãy tính chu vi và diện tích của hình vuông AMCN . Biết rằng BC = 20 Cm . Giải B M A N C I - 8 - a/ Chứng minh tứ giác AMCN là hình chữ nhật . Ta có : IA = IC và IM = IN nên AMCN là hình bình hành Mà AM vuông góc với BC ( do tam giác ABC cân tại A) Do đó hình bình hành AMCN có một góc vuông là hình chữ nhật b/Tứ giác ABMN là hình gì ? Vì sao ? Tứ giác ABMN là hình bình hành . Vì : MI là đường trung bình của tam giác ABC ,nên MI ∥AC ⇒ MN ∥AC Và MI= 2 AC ⇒ 2MI =AC ⇒ MN = AC (Tứ giác có hai cạnh đối vừa song song , vừa bằng nhau) c/ Tìm điều kiện của tam giác ABC để AMCN là hình vuông ? Để AMCN là hình vuông thì AM = MC hay AM = 2 BC Vì vậy Tam giác cân ABC phải vưông tại A ( Trung tuyến AM bằng nửa cạnh huyền ) Nếu BC = 20cm thì cạnh hình vuông MC = 10 cm Chu vi hình vuông AMCN bằng :10 cm .4= 40 cm Diện tích hình vuông AMCN bằng : 10 cm . 10 cm = 100 cm 2 . ) B i 2: Cho ∆ ABC vuông t i A, i m D là trung i m của BC. G i M là i m đ i xứng v i D qua AB, E là giao i m của DM v i AB. N là i m đ i xứng v i B. 0 v i m i giá trị của x∈R Nên (x-2) 2 +7 ≥ 7 v i m i giá trị của x∈R Vậy : M= x 2 – 4x +11 có giá trị nhỏ nhất bằng 7 ÔN TẬP TOÁN 8 HÌNH HỌC HỌC KỲ I (2009-2010)