CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG THƯỜNG GẶP I/Các kiến thức bản: Trước tiên học sinh phải nắm thật kĩ kiến thức sau: + Sự liên hệ cặp vectơ phương tuyến (VTPT): r r (VTCP) vectơ pháp r r r r mặt phẳng (P) có cặp vectơ phương a; b vectơ pháp tuyến n n =[ a; b] + Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M0(x0; y0; z0 ) có vectơ r pháp tuyến n = (A; B;C) phương trinh mặt phẳng (P ): A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = + Phương trình mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = (A +B2+C2 ≠ 0) Để viết phương trình mặt ta sử dụng hai cáchr sau: + Biết điểm M0(x0; y0; z0) vả vectơ pháp tuyến n = (A; B;C) ta sử dụng công thức: (α): A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = + Phương trình mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = (A 2+B2 +C2 ≠ 0) dựa vào giả thiết toán xác định hệ số A; B; C; D II/ Các dạng viết phương trình mặt phẳng thường gặp: Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M0(x0; y0; z0 ) r vectơ pháp tuyến n = (A; B;C ) +Cách 1: (P): A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = + Cách 2: (P): Ax + By + Cz + D = 0; M ∈ (P) ⇒ D trả lời phương trình mp (P) Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M0(−2;3;1) vng góc với đường thẳng qua hai điểm A(3;1; −2): B(4; −3;1) Giải: r uuur - VTPT n = AB = (1; −4;3) - Cách 1: (P): 1(x + 2) − 4(y − 3) + 3(z − 1) = ⇔ (P ): x − 4y + 3z + 11= - Cách 2: (P): x − 4y + 3z + D = ; M0 (−2;3;1) ∈ (P ) ⇒ D = 11 ⇒ (P): x − 4y + 3z + 11= Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M0(x0; y0; z0 ) song song với mặt phẳng (Q): Ax + By + Cz + D = uuur r +Cách 1: (P)//(Q) ⇒ VTPTn(P ) = VTPTn(Q) = (A; B;C ) (P): A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = + Cách 2: (P) // (Q) ⇒ (P): Ax + By + Cz + D' = 0(D' ≠ D) ; M0 ∈ (α) ⇒ D ' ⇒ phương trình mp (P) Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M0(−2;3;1) song song với mặt phẳng (Q): 4x − 2y + 3z − = Giải: uuur r (P) (Q) ⇒ VTPTn = VTPTn (Q) = (4; −2;3) + Cách 1: // (P ) (P): 4(x + 2) − 2(y − 3) + 3(z − 1) = ⇔ (P): 4x − 2y + 3z + 11= + Cách 2: (P ) // (Q) ⇒ (P ): 4x-2y + 3z + D = 0(D ≠ −5) M0 (−2;3;1) ∈ (P ) ⇒ D = 11 ⇒ (P ): 4x-2y + 3z + 11= Daïng 3: Viết phương trình mặt phẳng (P)đi qua điểm M0(x0; y0; z0 ) vng góc với đường thẳng(d) uuur uuur + (P) ⊥ (d) ⇒ VTPTn(P ) = VTCPu(d) Áp dụng hai cách viết phương trình mp (P) Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm x+ y− z+ M0(−2;3;1) vng góc với đường thẳng (d): = = −2 Giải: uuur uuur ⊥ ( d ) ⇒ VTPTn = VTCPu = (−2;1;3) (P) (P ) ( d) (P ): −2(x + 2) + (y − 3) + 3(z − 1) = ⇔ (P ): −2z + y + 3z − 10 = Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M0(x0; y0; z0 ) vng góc với hai mặt phẳng (P)&(Q) uuur uuur uuur uuur uuur (P) ⊥ (Q) ⇒ VTPTn(P) ⊥ VTPTn(Q)  ⇒ VTPTn =  n(Q) ,n(R)  u u u r u u u r +  (P)   (P) ⊥ (R) ⇒ VTPTn(P) ⊥ VTPTn(R)  Áp dụng hai cách viết phương trình mp(P) Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M0(−2;3;1) vng góc với hai mặt phẳng (Q): x-3y+2z-1=0; (R): 2x+y-z-1=0 Giải: uuur uuur uuur uuur uuur (P) ⊥ (Q) ⇒ VTPTn(P) ⊥ VTPTn(Q) = (1; −3;2) uuur uuur  ⇒ VTPTn(P) =  n(Q) ,n(R)  = (1;5;7) (P) ⊥ (Q) ⇒ VTPTn(P) ⊥ VTPTn(R) = (2;1; −1)  (P):(x + 2) + 5(y − 3) + 7(z − 1) = ⇔ (P): z + 5y + 7z − 20 = Daïng 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(xA ; yA; zA ); B(xB ; yB ; zB );C(xC ; yC ; zC ) không thẳng hàng: uuur uuur uuur uuur  AB  ⇒ VTPTn = AB, AC  u u u r + Cặp VTCP mặt phẳng (P)  (P )   AC  Áp dụng hai cách viết phương trình mp (P) Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(2;0; −1); B(1; −2;3);C(0;1;2) Giải: uuur uuur uuur uuur  AB = (−1; −2;4)  ⇒ VTPTn = AB, AC  = (−10; −5; −5) u u u r Cặp VTCP mặt phẳng (P)  (P )    AC = (−2;1;3) (P ): −10(x − 2) − 5(y − 0) − 5(z + 1) = ⇔ (P ): 2x + y + z − = Daïng 6: Viết ptmp (P) qua A(xA ; yA; zA ); B(xB ; yB ; zB ) ⊥ (Q) uuur  AB uuur uuur uuur  uuur ( α ) ⇒ VTPTn =  AB, n(Q)  + Cặp VTCP mặt phẳng  (P )   n  (Q) Áp dụng hai cách viết phương trình mp(P) Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(2;0; −1); B(1; −2;3) vng góc với mặt phẳng (Q): x − y + z + 1= Giải: uuur  AB = (−1; −2;4) uuur uuur uuur u u u r ⇒ VTPTn =  AB, n(Q)  = (2;5;3) Cặp VTCP mặt phẳng (P)  (P )   n(Q) = (1; −1;1) (P ): 2(x − 2) + 5(y − 0) + 3(z + 1) = ⇔ (P ):2x + 5y + 3z − 1= Daïng 7: Viết ptmp (P) qua A(xA; yA; zA ) ; ⊥ (Q) // với đt (d) uuur n uuur uuur uuur  (Q) + Cặp VTCP mặt phẳng (P)  uuur ⇒ VTPTn(P ) =  n(Q) ,u(d)  u(d) Áp dụng hai cách viết phương trình mp(P) Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(1; −2;3) vng góc với mặt phẳng (Q): x + 2y − z + = song song với đường thẳng (d): Giải: x+ y− z+ = = −2 uuur n = (1;2; −1) uuur uuur uuur  (Q)  ⇒ VTPTn = n ,u(d)  = (7;1;5) Cặp VTCP mặt phẳng (P)  uuur (P ) (Q)   u(d) = (−2;1;3) (P ): 7(x − 1) + (y + 2) + 5(z − 3) = ⇔ (P ):7x + y + 5z − 20 = Daïng 8: Viết ptmp (P) chứa hai đường thẳng(d)và (d’) cắt uuur u uuur uuur uuur  ( d) + Cặp VTCP mặt phẳng (P)  uuur ⇒ VTPTn(P ) = u(d) ,u(d')  u(d') + Lấy điểm M0∈ (d) M0 ∈ (d’) Áp dụng hai cách viết phương trình mp (P) Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P)chứa hai đường  x = 1− t  x − y + z − 12 = = thẳng cắt (d): (d’):  y = + 2t −1 −3 z =  Giải: uuuu r uuur d ∋ M (1; −1;12)VTCP u(d) = (1; −1; −3) ; d ' ∋ M '(1;2;3)VTCP u(d') = (−1;2;0) uuuuur uuur uuur MM ' = (0;3; −9); u(d) ,u(d')  = (6;3;1)   (d)& (d ') cắt uuur uuur uuuuur u ,u  MM ' =  (d) (d')  uuur u uuur uuur uuur  ( d) Cặp VTCP mặt phẳng (P)  uuur ⇒ VTPTn(P ) =  u(d) ,u(d')  = (6;3;1) u(d') (P ): 6(x − 1) + 3(y − 2) + (z − 3) = ⇔ (P ):6x + 3y + z − 15 = Daïng 9: Viết ptmp (P)chứa hai đường thẳng(d)và (d’) song song + M1 ∈ (d) , VTCP r r M ∈ (d') ; , VTCP ud u d’ uuuuuur  M M uuur uuuuuur uuur  uuur ⇒ VTPTn(P ) = M1M2 ,u(d)  + Cặp VTCP mặt phẳng (α)  uuur   ë u(d') ) u(d) (hoac Áp dụng hai cách viết phương trình mp (P) Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường  x = 1+ t  x − y + z − 12 = = thẳng song song với (d): (d’):  y = − t −1 −3 z = 3− 3t  Giải: uuuu r d ∋ M (1; −1;12)VTCP u(d) = (1; −1; −3) uuur d ' ∋ M '(1;2;3)VTCP u(d') = (1; −1; −3) uuuuur uuuuur uuur r   MM ' = (0;3; −9); MM ',u(d) = (−18; −9; −3) ≠   ⇒ (d) P(d ') Cặp VTCP mặt phẳng (P) uuuuuur  M M = (0;3; −9) uuur uuuuuur uuur  u u u r ⇒ VTPTn = M1M2,u(d)  = (−18; −9; −3)  (P )   u(d) = (1; −1; −3) (P ): −18(x − 1) − 9(y − 2) − 3(z − 3) = ⇔ (P ): 6x + 3y + z − 15 = Daïng 10:uuurViết ptmp (P) trung trực AB uuur + VTPTn(P ) = AB + Tìm tọa độ trung điểm M0 đoạn AB Áp dụng hai cách viết phương trình mp (P) Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) đoạn AB biết A(1;1; −1); B(5;2;1) Giải: uuur uuur VTPTn(P ) = AB = (4;1;2) Trung điểm M0 đoạn AB: M0(3; ;0) 27 (P): 4(x − 3) + (y − ) + 2(z − 0) = ⇔ (P): 4x + y + 2z − =0 2 Daïng 11: Viết pt mp(P) chứa (d) qua A r + (d) ∋ M , VTCP u d uuuuu r M A uuur uuuuu r uuur  + Cặp VTCP mặt phẳng (P)  uuur ⇒ VTPTn(P ) =  M0A,u(d)  u(d) Áp dụng hai cách viết phương trình mp (P) Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường x − y + z − 12 thẳng (d): = = qua điểm A(1;1; −1) −1 −3 Giải: uuuu r uuuuu r d ∋ M0(1; −1;12)VTCP u(d) = (1; −1; −3) ; M0A = (0;2; −13) Cặp VTCP mặt phẳng (P) uuuuu r  M A = (0;2; −13) uuur uuuuu r uuur  u u u r ⇒ VTPTn = M A ,u  = (−19; −13; −2)  (P )  (d)  u = (1 ; − ; − 3)  (d) (P ): −19(x − 1) − 13(y − 1) − 2(z + 1) = ⇔ (P ):19x + 13y + 2z − 30 = Daïng 12: Viết pt mp (P) chứa (d) // ( ∆ ) + Tìm điểm M0∈ (d) uuur u uuur uuur uuur  ( d) u u u r ⇒ VTPTn = u(d) ,u(∆ )  + Cặp VTCP mặt phẳng (P)  (P )   u(∆ ) Áp dụng hai cách viết phương trình mp (P) Ví dụ: Trong khơng gian oxyz cho hai đường thẳng (d): x y z = = ; (∆) 1 x + y z −1 = = Viết phương trình mp (P) chứa (d) song song với (∆) −2 1 Giải: uuur u = (1;1;2) uuur uuur uuur  (d) ⇒ VTPTn = u(d) ,u(∆ )  = (−1; −5;3) u u u r Cặp VTCP mặt phẳng (P)  (P )   u(∆ ) = (−2;1;1) uuur (d) ∋ M = (0;0;0) Mặt phẳng (P) qua M0 có VTPT n(P ) = (−1; −5;3) ⇒ (P): −1(x − 0) − 5(y − 0) + 3(z − 0) = ⇔ (P) : x + y − 3z = Daïng 13: Viết Pt mp(P) chứa (d) ⊥ (Q) + Tìm điểm M0∈ (d) uuur u uuur uuur uuur  ( d)  u u u r ⇒ VTPTn = u , n(Q)  + Cặp VTCP mặt phẳng (P)  (P ) (d )   n(Q) Áp dụng hai cách viết phương trình mp (P) Ví dụ: Trong khơng gian oxyz cho đường thẳng (d): x −1 y z + = = mặt −3 phẳng (Q): 2x + y + z − 1= Viết phương trình mp (P) chứa (d) vng góc với mp (Q) Giải: uuur (d) ∋ M(1;0; −2) VTCP u(d) = (2;1; −3) uuur u = (2;1; −3) uuur uuur uuur  ( d)  ⇒ VTPTn = u , n(Q)  = (4; −8;0) u u u r Cặp VTCP mặt phẳng (P)  (P ) ( d)    n(Q) = (2;1;1) (P): 4(x − 1) − 8(y − 0) + 0(z + 2) = ⇔ (P): 2x − 4y − = Daïng 14: Viết PT mp (P) // với (Q): Ax + By +Cz + D=0 d(A;(P))=h A(xA ;yA ;zA ) cho trước + Vì (P) // (Q) nên pt mp (P) có dạng Ax + By +Cz + D’=0 (trong D’ ≠ D) + Vì d(A,(P))= h nên thay vào ta tìm D’ Kết luận pt mặt phẳng (P) Ví dụ: Trong không gian oxyz cho mặt phẳng: (Q): x - 2y + 2z - = điểm A(3; 1; 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) //mp (Q) d(A;(P))=2 Giải: Vì (P) // (Q) nên pt mp (P): x - 2y + 2z + D = ( D ≠ - 3) d(A;(P))=2 ⇔ 3+ D  D = −9(n) = ⇔ 3+ D = ⇔   D = 3(n) Vậy (P1): x − 2y + 2z − = 0;(P2): x − 2y + 2z + = Daïng 15: Viết PT mp (P) chứa (d) d(A,( P))=h; A(xA ; yA ; zA ) r + Gọi VTPT mp (P) n ( P ) = (A; B; C) với đk A2 + B2 + C2 ≠ r + (d) ∋ M0(x0; y0; z0), VTCP u d uuur uuur + Vì (d) nằm (P) ⇒ n(P) ⊥ u(d) ⇔ r u d r n ( P ) = (1) + PT mp (P) qua M0: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = + d(A,( P)) = h (2) + Giải (1); (2) ta tìm A,B theo C từ chọn A,B,C tỉ lệ, ta viết pt mp(P) Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng (d): x −1 y z + = = điểm −3 A(3;1;1) Viết pt mp (P) chứa (d) d (A,( P))= Giải: r Gọi VTPT mp (P) n ( P ) = (A; B; C) với đk A2 + B2 + C2 ≠ uuur (d) ∋ M 0(1;0; −2) VTCP u(d) = (2;1; −3) uuur uuur Vì d ⊂ (P)d ⇒ n(P) ⊥ u(d) ⇔ 2A + B − 3C = ⇒ B = 3C − 2A ( ) () (P): A(x − 1) + B(y − 0) + C(z + 2) = ⇔ Ax + By + Cz − A + 2C = d(A,( P))= 2A + B + 3C ⇔ A + B2 + C2 = ⇔ 2A + B + 3C = A + B2 + C2 (2) (1)Λ(2) ⇒ C = 5A − 12AC + 10C2 A = C 2 ⇔ 5A − 12AC + 7C = ⇔  A = C  *A = C choïn A=C=1⇒ B=1⇒ (P):x+y+z+1=0 *A = C choïn C=5;A=7 ⇒ B = 1⇒ (P):x+y+z+3=0 Daïng 16: Viết Pt mp (P) chứa (d) hợp với mp (Q) góc α ≠ 900 r + Gọi VTPT mp (P) n ( P ) = (A;B;C) với đk A2 + B2 + C2 ≠ r + (d) ∋ M0(x0;y0;z0), VTCP u d r r + Vì d ⊂ (P) ⇒ u d n ( P ) = (1) + cos ((P),(Q))= cos α (2) + Giải (1) ; (2) ta tìm A,B theo C từ chọn A,B,C tỉ lệ , ta viết pt mp(P) Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng (Q): x + 2y +z -3 = x+1 y− z+ = = Viết phương trình mp (P) chứa (d) hợp với −1 −1 mp (Q) góc α thỏa cos α = đường thẳng (d): Giải: r Gọi VTPT mp (P) n ( P ) = (A; B; C) với đk A2 + B2 + C2 ≠ uuur (d) ∋ M 0(−1;2; −3),VTCP u(d) = (1; −1; −1) r r Vì d ⊂ (P) ⇒ u d n ( P ) = ⇔ A − B − C = ⇒ A = B + C (1) cos ( uuur uuur P , Q = cos  α ⇔ cos(n ,n(Q) ) = ⇔ ( )( ) (P) ) A + 2B + C A + B2 + C2 = ⇔ A + 2B + C = A + B2 + C2 (2)  B = −C (1)Λ(2) ⇒ 4C − 3B = A + B2 + C2 ⇔ 8B2 + 11B + 3C2 = ⇔   B = −3 C  *B = −C choïn B=1;C=-1⇒ A=0 ⇒ (P):(y-2)-(z+3)=0 ⇔ (P):y-z-5=0 −3 C choïn B=3;C=-8 ⇒ A=-5 ⇒ (P):-5(x+1)+3(y-2)-8(z+3)=0 ⇔ -5x+3y-8z-35=0 α ≠ 900 Daïng 17: Viết Pt mp (P) chứa r (d) hợp với đth( ∆ )một góc + Gọi VTPT mp ( α ) n ( P ) = (A;B;C) với đk A2 + B2 + C2 ≠ *B = r + (d) ∋ M0(x0;y0;z0), VTCP u d r r + Vì d ⊂ (P) ⇒ u d n ( P ) = (1) + sin ((P),( ∆ )) = sin α (2) +Giải (1) (2) tìm A,B theo C từ chọn A,B,C tỉ lệ , ta viết pt mp(P) Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz cho hai đường thẳng (d) (∆) có y−2 x−2 z+5 (∆) : = z = y −3= Viết phương trình −1 −1 mặt phẳng (P) chứa (d) hợp với (∆) góc 300 phương trình: (d): x = Giải: r Gọi VTPT mp (P) n ( P ) = (A; B; C) với đk A2 + B2 + C2 ≠ uuur uuur d) ∋ M1(0;2;0) VTCP u(d) = (1; −1;1) ; (∆) ∋ M 2(2;3; −5) VTCP u(∆ ) = (2;1; − 1) r r Vì d ⊂ (P) ⇒ u d n ( P ) = ⇔ A − B + C = ⇒ B = A + C (1) uuur uuur sin ((P),(∆)) = sin300  ⇔ cos(n(p);u(∆ ) ) = sin300 ⇔ 2A + B − C A + B2 + C2 = ⇔ 2A + B − C =   A + B2 + C2   (2)      A = C (1)Λ(2) ⇒ 3A = A + (A + C) + C ⇔ 2A − AC − C = ⇔   A = −1C  2 2 2 *A = C choïn A=C=1⇒ B=2 ⇒ (P):(x-0)+2(y-2)+(z-0)=0 ⇔ (P):x + 2y + z − = −1 C choïn C=-2;A=1⇒ B=-1⇒ (P):(x-0)-(y-2)-2(z-0)=0(P):x − y − 2z + = Daïng 18: Cho A (xA; yA; zA) (d), viết PT mp (P) chứa (d) cho d (A, (P)) lớn + Gọi H hình chiếu ⊥ A lên (d) + Ta có: d (A,(P)) = AK ≤ AH (tính chất đường vng góc đường xiên) Do d(A(P)) max ⇔ AK = AH ⇔ K ≡ H uuur + Viết PT mp (P) qua H nhận AH làm VTPT  x = −1 − 2t  Ví dụ: Trong không gian oxyz cho đường thẳng (d):  y = t z = 1+ t  *A = điểm A(1;2;3).Viết phương trình mp (P) chứa (d) cho d (A, (P)) lớn Giải: Gọi H hình chiếu ⊥ A lên (d) Ta có: d (A, (P)) = AK ≤ AH (tính chất đường vng góc đường xiên) Do d(A, (P)) max ⇔ AKuu=ur AH ⇔ K ≡ H Mp (P) qua H nhận AH làm VTPT uuur H ∈ (d) ⇒ H(−1− 2t;t;1+ t) ⇒ AH = (−2 − 2t;t − 2;t − 2) uuur uuur Vì H=hc(d) (A) ⇒ AH ⊥ u(d) = (−2;1;1) ⇔ 6t = ⇔ t = uuur uuur ⇒ H(−1;0;1) ⇒ VTPT n(p) = AH = (2;2;2) ⇒ (P): 2(x + 1) + 2(y − 0) + 2(z − 1) = ⇔ (P): x + y + z = Daïng 19: Viết Pt mp (P) // với (Q): Ax + By + Cz + D = tiếp xúc với mặt cầu (S) + Xác định tâm I, bán kính R mặt cầu (S) + Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D' = (D’ ≠ D) + Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d (I, (P))= R ⇒ tìm D' + Từ ta có pt (P) cần tìm Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng: (Q): x - 2y + 2z - = mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 2x - 4y - 2z 19 = Viết pt mp (P) // với (Q): Ax + By + Cz + D = tiếp xúc với mặt cầu (S) Giải: (S): (x + 1)2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 = 25 ⇒ I(−1;2;1) BK R=5 Vì (P) // (Q) ⇒ (P): x - 2y + 2z + D = (D ≠ -3) D−3   (P)tiế p xú c vớ i mặ t caà u (S) ⇒ d I,( P ) = R ⇔ = ⇔ D − = 15  D = 18⇒ P1 : x − 2y + 2z − 12 = ⇔  D = −12 ⇒ P2 : x − 2y + 2z + 18 = ( ) ( ) ( ) Daïng 20: Viết PT mp(P) // (Q): Ax + By + Cz + D=0 cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn(C) có bán kính r ( diện tích, chu vi) cho trước + Xác định tâm I, bán kính R mặt cầu (S) +Adct : Chu vi đường tròn C = 2π r diện tích S = π r tính r + d(I,(P)) = R − r (1) + Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0 ( D' ≠ D) + Suy d (I,(P)) (2) ⇒ ( 1) Λ ( 2)  ⇒ D' ⇒ pt (P) Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz Cho mặt phẳng (Q): x + y - 2z + = mặt cầu (S): x + y + z − x + y + z − = Viết pt mp(P) // (Q cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn(C) có bán kính r = Giải: (S): (x-1)2+(y+2)2+(z+1)2=9 ⇒ Tâm I (1;-2;-1), bán kính R = Vì (P) // (Q) ⇒ (P): x+y-2z+D = (D ≠ 4)  D = −1+ 30 ⇒ ( P ) : x + y − 2z − 1+ 30 = d I,( P ) = R − r2  ⇔ 1+ D = 30 ⇔   D = −1− 30 ⇒ ( P ) : x + y − 2z − 1− 30 =  ( ) Daïng 21: Viết PT mp (P) chứa (d) tiếp xúc với mặt cầu (S) ((d)không cắt mặt cầu) +Xác định tâm I, bán kính R mặt cầu (S) r ∋ + (d) M0(x0; y0; z0), VTCP u d r n + Gọi VTPT mp (P) ( P ) = (A; B; C) với đk A2 + B2 + C2 ≠ =>pt mp (P) qua M0: A(x-x uuur0)u+ uurB(y-y0) + C(z-z0) = + (d) ⊂ (P) ⇒ u(d) n(P) = (1) + Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= R (2) + Giải hệ (1) (2) tìm A,B theo C ⇒ pt mp (P) Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x2+y2+z2 - 2x + 4y - 6z + = x−1 y z+ ( d) : Viết pt mp (P) chứa (d) tiếp xúc với mặt cầu (S) = = −1 Giải: (S): (x - 1)2 + (y + 2)2 + (zuu-ur3)2 = ⇒ tâm I (1;-2;3), bán kính R = (d) ∋ M 0(1;0; −2),VTCP u(d) = (−1;1;4) r Gọi VTPT mp (P) n ( P ) = (A; B; C) với đk A2 + B2 + C2 ≠ ⇒ mp(P) qua điểm M0: (P): A(x -1) +uu B(y –ur0) + C(z +2) = ⇔ Ax + By + Cz -A +2C = ur uu (d) ⊂ (P) ⇒ u(d) n(P) = ⇔ − A + B + 4C = ⇒ A = B + 4C (1) (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= R ⇔ 5C − 2B = A + B2 + C2 (2) (1)Λ(2) ⇒ 5C − 2B = 2B2 + 8BC + 17C2 ⇔ 14B2 + 92BC + 128C2 =  B = −2C ⇔  B = −32 C  *B = −2C choïn B=-2; C=1⇒ A=2 ⇒ (P):2x-2y+z=0 *B = −32 C choïn B=32;C=-7 ⇒ A=4 ⇔ (P): 4x+32y-7z-18=0 Daïng 22: Viết Pt mp (P) chứa (d) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn (C) có bán kính r ( diện tích , chu vi) cho trước + Xác định tâm I, bán kính R mặt cầu (S) + Adct : Chu vi đường trịn C = 2π r diện tích S = π r tính r r +(d) ∋ M0(x0;y0;z0), VTCP u d r + Gọi VTPT mp (P) n (P ) = (A; B; C) với đk A2 + B2 + C2 ≠ 0, =>pt mp (P) qua M0: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 10 uur r + Vì d ⊂ (P) ⇒ ud n ( P )=0 (1) + Vì (P) cắt (S) theo đường trịn bán kính r nên d(I,(P)= r (2) +Giải hệ (1) (2) tìm A,B theo C ⇒ pt mp (P) Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x− y z− x + y + z − x + y + z − = ( d) : Viết pt mp (P) chứa = = −1 (d) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn (C) có bán kính r = Giải: ⇒ (S): (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z uuu+1) r = tâm I(1;-2;-1), bán kính R = (d) ∋ M 0(3;0;4),VTCP u(d) = (3; −1;1) r n Gọi VTPT mp (P) ( P ) = (A; B; C) với đk A2 + B2 + C2 ≠ =>pt mp (P) qua M0 ⇔ (P): A(x - 3) +uuB(y ur uu-ur0) + C(z - 4) = Ax + By + Cz –3A – 4C = (d) ⊂ (P) ⇒ u(d) n(P) = ⇔ 3A – B + C = ⇒ B = 3A + C (1) Vì (P) cắt (S) theo đường trịn bán kính r nên d(I,(P)= r ⇔ 2A + 2B + 5C = A + B2 + C2 (2) (1)Λ(2) ⇒ 8A + 7C = 10A + 6AC + 2C2 ⇔ 4A + 76AC + 37C2 =  −1  A = C choïn A=1; C=-2 ⇒ B=1⇒ (P):x+y-2z+5=0 ⇔  B = −37 Cchoïn A=37;C=-2 ⇒ B=109 ⇔ (P): 37x+109y-2z-103=0  Daïng 23: Viết PT mp (P) chứa (d) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn (C) có bán kính nhỏ ((d) cắt mặt cầu) +Xác định tâm I, bán kính R mặt cầu (S) + Bán kính r = R − d (I,(P)) +Để r ⇒ d(I,(P)) max + Gọi H hình chiếu ⊥ I lên (d) ; K hình chiếu ⊥ I lên (P) +Ta có: d(I,(P))= IK ≤ IH ( tính chất đường vng góc đường xiên) +Do đó: d(I,(P)) max ⇔ AK u=urAH ⇔ K ≡ H + Mp(P) qua H nhận IH làm VTPT ⇒ pt mp(P) Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x−1 y+1 z x + y + z − x + y + z − = ( d) : = = Viết pt mp (P) chứa (d) −1 cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn (C) có bán kính r nhỏ Giải: (S): (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z +1)2 = ⇒ tâm I(1;-2;-1), bán kính R = 11 uuur uuuu r uuuu r uuur (d) ∋ M 0(1; −1;0),VTCP u(d) = (2; −1;1);IM = (0;1;1); IM 0,u(d)  = (2;2; −2)   uuuu r uuur  IM ,u   (d)  d(I,(d)) = = < R ⇒ (d) caé t mặ t cầ u uuur u(d) Bán kính r = R − d (I,(P)) = − d (I, (P)) Để r ⇒ d(I,(P)) max Gọi H hình chiếu ⊥ I lên (d) ; K hình chiếu ⊥ I lên (P) Ta có: d(I,(P))= IK ≤ IH ( tính chất đường vng góc đường xiên) Do đó: d(I,(P)) max ⇔ AKuu =r AH ⇔ K ≡ H Mp(P) qua H nhận IH làm VTPT Gọi (Q) làrmặt phẳng qua điểm I vng góc vơi (d) ⇒ VTPT n ( Q ) =(2;-1;1) ⇒ (Q) 2x –y +z – 3=0; H hình chiếu ⊥ I lên (d); tọa độ điểm H lả x =  x −1 y +1 z = =   ⇔  y = −1 ⇒ H(1; −1;0) −1 nghiệm hệ phương trình:  2x – y + z – = z =  r uur ⇒ VTPT n ( P ) = IH =(0;1;1) (P): (y + 1) + (z – 0) = ⇔ y + z + = C¸c toán Phơng trình đờng thẳng Dạng r1 : ViÕt PT ®ường thẳng (d) qua M(xo ;yo ;zo) coự vtcp u = (a; b; c) Phơng pháp: PT tham số đờng thẳng d là: x = xo + at  (d) : y = yo + bt ; t∈¡ z = z + ct o  tắc là: Chú ý: Nếu abc (d) cã PT chÝnh x − xo y − yo z- z0 = = a b c Chú ý: Đây toán Về nguyên tắc muốn viết PT đờng thẳng d cần biết toạ độ điểm thuộc d toạ độ véc tơ phơng d Dạng 2: ẹửụứnguuthaỳng (d) ủi qua điểm A, B ur Bíc 1: T×m AB uuur Bíc 2: ViÕt PT đờng thẳng d qua điểm A nhận AB làm véc tơ phơng Dạng 3: Viết PT đửụứng thaỳng (d) qua A vaứ song song với đờng thẳng ∆ r B1: Tìm VTCP u cđa ∆ r B2: Viết PT đờng thẳng d qua A nhận u làm VTCP Dạng 4: Viết PT đửụứng thaỳng (d) qua ®iĨm A vuông góc mp(α) r B1: Tìm VTPT (α) n r B2: ViÕt PT đờng thẳng d qua điểm A nhận n làm VTCP 12 Dạng 5: Viết PT đửụứng thaỳng (d) qua điểm A vaứ vuoõng goực với 2urđờng thẳng (d1),(d2) uu r B1: Tỡm VTCP u1 , u2 cña d1; d2 ur uu r r  B2: Đờng thẳng d coự VTCP là: u = u1 , u2 r B3: Viết PT đờng thẳng d qua điểm A nhận u làm VTCP Dạng 6: Viết PT đờng thẳng d giao tun cđa hai mp: (P): Ax+By+Cz+D=0 (Q): A’x+B’y+C’z+D’=0 C¸ch 1: B1: Gi¶i hƯ Ax + By + Cz + D =  A ' x + B ' y + C ' z + D ' = t×m mét nghiÖm (x ; y ; z ) ta đ- ợc điểm M (x ; y ; z ) ∈ d (Cho ẩn giá trị xác định giải hệ với ẩn lại tìm ẩn l¹i) r b c c a a b ; ; B2: Đờng thẳng d có VTCP là: u = ÷ b ' c' c' a' a' b'   B3: Viết PT đờng thẳng d qua điểm M (x ; y ; z ) vµ nhận r u làm VTCP Cách 2: B1: Tìm toạ ®é ®iĨm A, B ∈ d (T×m nghiệm hệ 2PT trên) B2: Viết PT đờng thẳng AB Cách 3: Đặt ẩn t (chẳng hạn x=t), giải hệ PT với ẩn lại theo t suy PT tham số d Dạng 7: Viết PT hình chiếu đờng thẳng d mp(P) B1: Viết PTmp(Q) chứa d vuông góc với mp(P) B2: Hình chiếu cần tìm d= (P) ∩ (Q) (Chó ý: NÕu d ⊥ (P) th× hình chiếu d điểm H= d (P) Dạng : ViÕt PT đường thẳng d ®i qua điểm A cắt hai đường thẳng d1 , d2 Cách 1: B1: Viết PT mt phng ( ) qua điểm A chứa đường thẳng d1 B2: Tìm giao điểm B= (α) ∩ d B3: §êng thẳng cần tìm đt qua điểm A, B C¸ch 2: B1: ViÕt PT mặt phẳng (α ) ®i qua điểm A chứa đường thẳng d1 B2: ViÕt PT mặt phẳng ( β ) ®i qua điểm A v cha ng thng d2 B3: Đờng thẳng cần tìm d = () () Dạng 9: Viết PT đờng thẳng d song song với d1 cắt hai đờng thẳng d2 d3 B1: Viết PT mp(P) song song víi d1 vµ chøa d2 B2: ViÕt PT mp(Q) song song với d1 chứa d3 B3: Đờng thẳng cần tìm d= (P) (Q) Dạng 10: Viết PT đường thẳng d ®i qua điểm A, vng góc đường thẳng d1 cắt đường thẳng d2 13 C¸ch 1: B1: ViÕt PT mặt phẳng ( α ) qua điểm A vng góc đường thẳng d1 B2: Tìm giao điểm B = (α) ∩ d B3 : Đờng thẳng cần tìm đờng thẳng qua điểm A, B Cách 2: B1: Viết PT mp ( ) qua điểm A vuông góc víi d1 B2: ViÕt PT mp (β) ®i qua ®iĨm A chứa d2 B3: Đờng thẳng cần tìm d = (α) ∩ (β) Dạng 11 : Lập đường thẳng d ®i qua điểm A , song song mặt phẳng ( α ) cắt đường thẳng d’ C¸ch 1: B1: Viết PT mp(P) qua điểm A song song víi mp( α ) B2: ViÕt PT mp(Q) ®i qua điểm A chứa đờng thẳng d B3: Đờng thẳng cần tìm d = (P) (Q) Cách 2: B1: ViÕt PT mặt phẳng (P) qua điểm A song song mặt phẳng ( α ) B2: Tìm giao điểm B = (P) ∩ d ' B3: Đường thẳng cần tìm d qua hai im A v B D¹ng 12: ViÕt PT đường thẳng d nằm mp( P ) cắt hai đường thẳng d1, d2 cho trước B1: Tìm giao điểm A = d1 ∩ (P) ; B = d ∩ (P) B2: d đường thẳng qua hai điểm A B D¹ng 13: ViÕt PT đường thẳng d nằm mp( P ) vng góc đường thẳng d’ cho trước giao điểm I d’ mp( P ) B1: Tìm giao điểm I = d’ ∩ ( P ) r r r r r   v = u, B2: Tìm VTCP u d VTPT n (P) n r B3: Viết PT đng thẳng d qua điểm I có VTCP v D¹ng 14: Viết PT đờng vuông góc chung d hai đờng thẳng chéo d1, d2 Cách 1: uu r uur B1: Tìm VTCP u1 , u d1 d2 Khi đờng thẳng d r uu r uur cã VTCP lµ u =  u1 , u  uu r r uu r B2: ViÕt PT mp(P) chøa d1 vµ cã VTPT n1 =  u, u1  uur r uur B3: ViÕt PT mp(Q) chøa d2 vµ cã VTPT n =  u, u B4: Đờng thẳng cần tìm d = (P) (Q) (Lúc ta cần tìm thêm điểm M thuộc d) Cách 2: B1: Gäi M(x0+at; y0+bt; z0+ct)∈ d1 ; N(x0’+a’t’; y0’+b’t’; z0’+c’t’) ∈ d chân đờng vuông góc chung d1 vµ d2 uuuu r uu r MN.u1 =  MN ⊥ d1 ⇒  uuuu ⇒ t, t ' r uur B2: Ta cã   MN ⊥ d  MN.u = B3: Thay t t tìm đợc vào toạ độ M, N tìm đợc M, N Đờng thẳng cần tìm d đờng thẳng qua điểm M, N 14 (Chú ý : Cách cho ta tìm đợc độ dài đoạn vuông góc chung hai đờng thẳng chéo nhau) Dạng 15: Viết PT đờng thẳng d vuông góc với mp(P) cắt hai đờng thẳng d1 d2 B1: Viết PT mp(P) chứa d1 vuông góc với (P) B2: Viết PT mp(Q) chứa d2 vuông góc với (P) B3: Đờng thẳng cần tìm d = (P) (Q) Dạng 16: Lp ng thng d qua im A , cắt vuụng gúc với ng thng d PP giải: Đây trờng hợp đặc biệt d¹ng 10 15