Đang tải... (xem toàn văn)
Để giúp học sinh tự học, học thêm ở nhà tránh những sai sót và định hướng được một số cách giải khi gặp các dạng toán phải dùng đến việc phân tích đa thức thành nhân tử, do đó tôi chọn viết đề tài: “ Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” để dạy cho học sinh .
Trường THCS Đức Bác Giáo viên : Nguyễn Xuân Chính PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ A/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI VÀ THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ: 1/ Lý chọn đề tài: Trong chương trình Đại số lớp 8, phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử nội dung chương trình tốn, áp dụng nhiều vào giải tập Phương pháp cơng cụ hữu ích cho học sinh trình luyện tập : Rút gọn biểu thức, giải phương trình tích, chia đa thức… khơng vận dụng giải tốn chương trình lớp mà vận dụng giải tập lớp ,10 sau Bản thân tơi giáo viên giảng dạy mơn Tốn, qua số năm dạy thấy học sinh sau học cịn lúng túng phân tích đa thức thành nhân tử thường mắc phải sai sót làm tập Để giúp học sinh tự học, học thêm nhà tránh sai sót định hướng số cách giải gặp dạng toán phải dùng đến việc phân tích đa thức thành nhân tử, tơi chọn viết đề tài: “ Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” để dạy cho học sinh Đề tài gồm phần: Phần I Mở đầu, Phần II Nội dung Phần III Kết quả, học kinh nghiệm Trong phần nội dung đề tài chủ yếu phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, phương pháp có ví dụ cụ thể, tập tự luyện có hướng dẫn giải tập tự luyện Một số tập sử dụng Máy tính bỏ túi để phân tích đa thức thành nhân tử số ví dụ nhận định số sai sót làm tập hướng khắc phục cho học sinh 2/ Thực trạng vấn đề: Thực tế học sinh trường THCS Đức Bác tiếp thu chậm vận dụng kiến thức từ lý thuyết vào làm tập hạn chế Các em nhầm lẫn chưa thành thạo sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử, thời lượng làm tập cịn nên chưa giải dạng toán mở rộng, nâng cao Trong trình giải tập, đa số học sinh thường mắc lỗi : Đặt nhân tử chung Chưa vận dụng thành thạo đẳng thức đáng nhớ vào làm tập Sử dụng phương pháp nhóm chưa hợp lý Chưa biết cách tách hạng tử Khi gặp đa thức bậc cao, hệ số lớn khơng tìm cách giải Ngun nhân học sinh tồn khuyết điểm : + Do thời lượng luyện tập khóa cịn ít, học sinh chưa có thời gian để ôn tập, làm tập, giải tập nhiều + Học sinh nắm kiến thức chưa tốt, chưa sâu , số học máy móc,hiểu cách đơn giản chưa nắm vững kiến thức nên gặp nhiều khó khăn q trình làm tập Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Trường THCS Đức Bác Giáo viên : Nguyễn Xuân Chính B/ PHƯƠNG PHÁP THỰC HIỆN ĐỀ TÀI: 1/ Công tác chuẩn bị dạy: - Địa điểm: Trường THCS Đức Bác - Giáo trình: SGK, sách tập, số tài liệu tham khảo khác sách phát triển Toán 8, sách toán nâng cao chuyên đề Đại số 8, Sách ôn thi vào lớp 10 THPT chuyên … 2/ Đối tượng học: Học sinh lớp 8A học khóa, ơn tập cuối chương, ngồi dạy phụ đạo theo chuyên đề với HSG 3/ Lập kế hoạch tổ chức thực hiện: Ngoài thời gian dạy khóa trường tơi bố trí lịch học phụ đạo cho học sinh vào chiều thứ chiều thứ sau: Ngày Thứ Buổi Nội dung dạy học Số tiết Địa điểm Trường THCS Đức Bác Trường THCS Đức Bác Phương pháp đặt Chiều nhân tử chung luyện tập Phương pháp dùng Chiều đẳng thức luyện tập Chiều Phương pháp nhóm luyện tập Trường THCS Đức Bác Chiều Phương pháp tách luyện tập Trường THCS Đức Bác Phối hợp phương Chiều pháp luyện tập Phương pháp dùng hệ Chiều số bất định luyện tập Chiều Phương pháp đổi biến số luyện tập Trường THCS Đức Bác Trường THCS Đức Bác Trường THCS Đức Bác 4/Tổ chức thực hiện: - Giáo viên dạy theo lịch - Học sinh học tập, thực theo nội quy quy định Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Trường THCS Đức Bác Giáo viên : Nguyễn Xuân Chính PHẦN II NỘI DUNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐATHỨC THÀNH NHÂN TỬ Chú ý: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) biến đổi đa thức thành tích đa thức PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG Trong đa thức hạng tử có nhân tử giống ta đưa làm nhân tử chung theo cơng thức sau: A.B + A.C = A(B + C) a/ Các ví dụ: Ví dụ1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 2x – 4y Giải : Ta có : 2x – 4y = 2.x – 2.2y = 2( x – 2y) Nhận xét : Ở nhân tử chung ta đưa ngồi làm nhân tử chung theo cơng thức A.B + A.C = A(B + C) dạy, cần ý học sinh xác định nhân tử chung Sau ví dụ nhận xét, giáo viên cho học sinh tiếp tục thực ví dụ Ví dụ2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 3(a – b) – 5a(b – a) Giải : Ta có : 3(a – b) – 5a(b – a) = 3(a – b) + 5a (a – b) = (a – b)(3 + 5a) Nhận xét : Ở ví dụ đa thức cần phân tích có hai hạng tử 3(a – b) – 5a(b – a) nhìn qua ta chưa thấy nhân tử chung Ta đổi dấu – 5a(b – a) thành 5a (a – b) để xuất nhân tử chung đặt nhân tử chung Khi dạy học sinh thơng qua ví dụ, giáo viên đưa thêm ví dụ để rèn luyện cho học sinh thành thạo bước phân tích Ví dụ3 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 5x(x – 2y)2 – 10y(x – 2y) Giải : Ta có : 5x(x – 2y)2 – 10y(x – 2y) = 5(x – 2y) 2.x – 5(x – 2y).2y (Nhân tử chung 5(x – 2y)) = 5(x – 2y)[x (x – 2y) – 2y] = 5(x – 2y)( x2 – 2xy – 2y) Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Trường THCS Đức Bác Giáo viên : Nguyễn Xuân Chính Nhận xét: Đối với ví dụ sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung giáo viên cần ý cho học sinh cách tìm nhân tử chung với đa thức có hệ số nguyên sau: + Hệ số ƯCLN hệ số nguyên dương hạng tử + Các lũy thừa chữ có mặt hạng tử với số mũ lũy thừa số mũ nhỏ b/ Bài tập tự luyện: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a, 4x – 16y b, a2 + ab – a c, 6x(x – y ) – 8y (y – x ) d, 7x2 – 14xy2 + 21x2y2 Bài 2: Tìm x biết x3 +2x = Bài 3: Chứng minh n2(n + 1) + 2n(n + 1) chia hết cho với số nguyên n c/ Hướng dẫn giải tập tự luyện: Các bước giải kết sau: Bài 1: a, 4x – 16y = 4(x – 4y) b, a2 + ab – a =a(a + b -1) c, 6x(x – y) – 8y (y – x) = 2(x –y ).3x + 2(x – y).4y = 2(x –y )(3x + 4y) d, 7x2 – 14x y2 + 21x2y2 = 7x.x – 7x.2y2 + 7x.3xy2 = 7x(x – 2y2 + 3xy2) Bài 2: Ta có : x3 + 2x = ⇔ x(x2 + ) = ⇔ x = x2 + = + x=0 + x2 + = (vơ lý x2 ≥ với ∀ x) Vậy x = Ta có: n2(n + 1) + 2n(n + 1) = n n (n + 1) + 2n(n +1) = n( n + 1)(n + 2) ∈ Khi n Z n( n + 1)(n + 2) tích ba số nguyên liên tiếp nên M2; mà(2,3) =1 n( n + 1)(n + 2) M6 Bài 3: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Trường THCS Đức Bác Giáo viên : Nguyễn Xuân Chính PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC Các đẳng thức đáng nhớ : A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 A2 – B2 = (A + B) (A – B) A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 = (A+B)3 A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 = (A – B)3 A3 + B3 = (A + B) (A2 – AB + B2) A3 – B3 = (A – B) (A2 + AB + B2) Phương pháp chủ yếu vận dụng đẳng thức để phân tích, học sinh phải học thuộc đẳng thức a/ Các ví dụ: Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a2 – 6ab + 9b2 Giải : Ta có : a2 – 6ab + 9b2 = a2 – 2.a 3b + (3b)2 = ( a – 3b)2 Nhận xét: Ở ta viết hạng tử thứ thứ ba đa thức dạng lũy thừa để áp dụng đẳng thức bình phương hiệu Qua ví dụ học sinh ý đa thức có ba hạng tử, có hai hạng tử viết dạng lũy thừa ta nghĩ đến đẳng thức bình phương hiệu bình phương tổng Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 – Giải : Ta có : x2 – = x2 – 32 = (x – 3)(x + 3) Nhận xét: Để áp dụng đẳng thức hạng tử thứ hai đa thức phải viết dạng lũy thừa = 2.Khi đẳng thức sử dụng hiệu hai bình phương Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : (x – y)2 – (y – t)2 Giải: Ta có: (x – y)2 – (y – t)2 = [(x – y ) + (y – t )][(x – y ) – (y – t )] = (x – y + y – t )(x – y – y + t) = (x – t )(x – 2y + t) Nhận xét: Từ ví dụ ta ý áp dụng đẳng thức A – B2 =(A + B)(A – B) B đa thức viết A – B ta phải dùng thêm dấu ngoặc để không sai dấu b/ Bài tập tự luyện: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a, x2 – 4y2 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Trường THCS Đức Bác Giáo viên : Nguyễn Xuân Chính b, (3x – y)2 – (x + 2y)2 c, 8x3 +12x2y + 6xy2 + y3 Bài 2: Tính nhanh a, 1052 – 25 b, 452 + 402 – 152 + 80.45 Bài 3: Rút gọn biểu thức a, ( 3x – 1)2 + 2(3x –1)(2x + 1) + (2x + 1)2 b, (6x + )2 + (6x -1 )2 – 2(6x + )( 6x - ) c/ Hướng dẫn giải tập tự luyện: Một số bước giải kết quả: Bài : a, x2 – 4y2 = x2 – (2y)2 = (x + 2y)(x – 2y) b, (3x – y)2 – (x + 2y)2 = [(3x – y ) + (x + 2y)][(3x – y ) – (x + 2y)] = (3x – y + x + 2y )(3x – y – x – 2y) = (4x + y )(2x – 3y) 2 c, 8x +12x y + 6xy + y = (2x)3 + 3.(2x)2y + 3.2x.y2 + y3 = (2x + y)3 Bài 2: a, 1052 – 25 = 1052 – 52 = (105 + 5)(105 – 5) = 110.100 = 11000 b, 452 + 402 – 152 + 80.45 = (452 + 2.40.45 + 402) – 152 = (45 + 40)2 – 152 = 852 – 152 = (85 + 15) (85– 15) = 100.70 = 7000 Bài 3: a (3x – 1)2 + 2(3x –1)(2x + 1) + (2x + 1)2 = [(3x –1) + (2x + 1)]2 = (3x – + 2x + )2 = (5x)2 = 25x2 b (6x + )2 + (6x -1 )2 – 2(6x + )( 6x - ) = [(6x + ) – ( 6x - )]2 = (6x + – 6x + )2 = Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Trường THCS Đức Bác Giáo viên : Nguyễn Xn Chính PHƯƠNG PHÁP NHĨM CÁC HẠNG TỬ : a/ Các ví dụ: Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 5x(x – 2) – x + Giải : Ta có : 5x(x – 2) – x + = 5x(x – 2) – (x – ) = (x – 2) (5x – 1) Nhận xét : Với ba hạng tử đa thức ta nhóm hai hạng tử thứ hai thứ ba với ta nhân tử chung x – Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 – x – y2 – y Giải : Ta có : x2 – x – y2 – y = (x2 – y2) – (x + y ) = (x + y ) (x – y) – (x + y ) = (x + y )(x – y – 1) Nhận xét: Hạng tử thứ thứ ba dạng đẳng thức nên ta nhóm hai hạng tử với nhau,vậy hai hạng tử cịn lại nhóm thành nhóm Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 – y2 + 6x + Giải: Ta có: x2 – y2 + 6x + = (x2 + 6x + 9) – y2 = (x + 3)2 – y2 = (x + + y)(x + – y) Nhận xét : Nếu ta tiếp tục nhóm hai hạng tử thành nhóm khơng phân tích đa thức thành nhân tử Như ta nhóm ba hạng tử x , 6x , thành nhóm để đưa đẳng thức, tiếp tục sử dụng đẳng thức hiệu hai bình phương để ta phân tích Sau ví dụ, giáo viên cho học sinh làm số tập sau : b/ Bài tập tự luyện : Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x2 + 4x – y2 + b 3x2 – 3xy – 5x + 5y c x3 – 2x2 + x – xy2 d x2 – + (x – 2)2 Bài : Làm tính chia a (x2 – y2 + 6x + ) : (x + y + 3) b (x2 – 3x + xy – 3y ) : (x + y) Bài : Chứng minh x2 - 2xy + y2 + > với số thực x y Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Trường THCS Đức Bác Giáo viên : Nguyễn Xuân Chính c/ Hướng dẫn giải tập tự luyện: Các bước giải giáo viên mong đợi học sinh thực sau: Bài : a x2 + 4x – y2 + = (x2 + 4x + 4) – y2 = (x + 2)2 – y2 = (x + + y ) (x + – y) b 3x2 – 3xy – 5x + 5y = (3x2 – 3xy) – (5x – 5y) = 3x (x – y) – (x – y) = (x – y) (3x – 5) c x3 – 2x2 + x – xy2 = x(x2 - 2x + – y2) = x[(x2 - 2x + 1) – y2] = x[(x – 1)2 – y2] = x(x – + y )(x – – y) d x2 – + (x – 2)2 = (x – 2)(x + 2) + (x + 2) = (x + ) (x – + ) = (x + ) (x – 1) Bài 2: a (x2 – y2 + 6x + ) : (x + y + 3) Ta có : x2 – y2 + 6x + = (x2 + 6x + 9) – y2 = (x + 3)2 – y2 = (x + + y )(x + – y) Do (x + + y )(x + – y) : (x + + y ) = x + – y x2 – 3x + xy – 3y = (x2 – 3x) + (xy – 3y) = x (x – 3) + y(x – 3) = (x – 3) (x + y) Do (x – 3x + xy – 3y) : (x + y) = x – Bài : Ta có : x2 - 2xy + y2 + = (x2 - 2xy + y2) + = (x – y)2 + Vì (x – y)2 ≥ với ∀ x, y ∈ R nên (x – y)2 + > với ∀ x, y ∈ R b Ta có: Nhận xét : Phương pháp nhóm hạng tử phương pháp mà học sinh sai sót nhầm lẫn nhầm từ cách nhóm hạng tử khơng hợp lý dẫn đến q trình phân tích khơng thực nhóm hạng tử với mà có dấu trừ hay sai dấu, mà giáo viên cần ý rèn luyện kỹ vận dụng cách nhóm cho học sinh Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Trường THCS Đức Bác Giáo viên : Nguyễn Xuân Chính 4.PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ KHÁC Chú ý :Ở phương pháp có nhiều cách tách khác nhau, với tam thức bậc hai ax2 + bx + c (a ≠ 0) tách hạng tử có bậc cao tách hạng tử tự thông thường ta tách hạng tử bx thành b1x + b2x cho : b1 + b2 = b b1 b2 = a c Trong thực hành ta làm sau : Bước 1: Tìm tích a.c Bước 2: Phân tích a.c thành tích hai số nguyên cách Bước : Chọn thừa số có tích a.c nói mà có tổng b - Đối với đa thức bậc lớn ta dùng phương pháp nhẩm nghiệm a/ Các ví dụ: Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 -10x +16 Giải: Ta có x2 -10x +16 = x2 – 2x – 8x + 16 = (x2 – 2x) – (8x – 16) = x(x – ) – 8(x - 2) = (x – 2)(x – 8) Nhận xét: Ở ta tách -10x thành -2x -8x, sau dùng phương pháp nhóm đặt nhân tử chung Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 - x – Giải: Ta có x2 – x – = x2 – 3x + 2x – = (x2 – 3x )+ (2x – 6) = x(x – 3) + 2(x – 3) = (x – 3)(x + 2) Nhận xét : Ở ta tách -x thành -3x 2x, sau dùng phương pháp nhóm đặt nhân tử chung Ví dụ 3: Tìm x biết : x2 + 5x + = Để tìm x trước hết ta phân tích đa thức x2 + 5x + thành nhân tử Giải : Ta có x2 + 5x + = x2 + 2x + 3x + = (x2 + 2x )+ (3x + 6) = x(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x + 3) ⇔ Nên x + 5x + = (x + 2)(x + 3) = ⇔ x + = x + = + x + = ⇔ x = -2 + x + = ⇔ x = -3 Vậy x = -2; -3 Nhận xét: Đối với ví dụ trên, ta giải nhiều cách, nhiên ví dụ sử dụng phương pháp tách hạng tử bx dựa vào cách hướng dẫn Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Trường THCS Đức Bác Giáo viên : Nguyễn Xn Chính để thực hành giải tốn, nhằm giúp học sinh biết vận dụng phương pháp tách, rèn luyện kỹ sử dụng phương pháp nhóm đặt nhân tử chung ,đặc biệt phải ý đến bước sử dụng phương pháp nhóm phối hợp phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử Sau giáo viên dạy học sinh thơng qua ví dụ cụ thể phương pháp tách hạng tử, cho học sinh làm tập tự luyện sau: b/ Bài tập tự luyện : Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a 16x – 5x2– b x2 – 7x + 12 c 2x2 + 3x – d 4x2 – 3x – Bài 2: Chứng minh a x(x – 6) + 10 > b -x2 - x - < Bài 3: Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức A = x2 – 6x + 11 B = 2x2 + 10x – C = 5x – x2 c/ Hướng dẫn giải tập tự luyện: Các lời giải ngắn gọn yêu cầu học sinh thực được: Bài : a – 5x2 +16x – = -5x2 + 15x + x – = (-5x2 + 15x) + (x – 3) = -5x(x – 3) + (x – 3) = (x – 3) (-5x + 1) b x – 7x + 12 = x2 – 3x – 4x + 12 = (x2 – 3x) – (4x – 12) = x(x – 3) – 4(x – 3) = (x – )(x – ) c 2x + 3x – = 2x2 + 5x – 2x – = (2x2 + 5x )– (2x + 5) = x(2x + 5) – (2x + 5) = (2x + 5) (x – 1) d 4x2 – 3x – = 4x2 – 4x + x – = (4x2 – 4x)+( x – 1) = 4x(x – 1) + (x – 1) = (x – 1)(4x + 1) Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 10 Trường THCS Đức Bác Bài 2: a Ta có b Ta có Bài : a Vậy Amin b Giáo viên : Nguyễn Xuân Chính x(x – 6) + 10 = x2 – 6x + 10 = x2 – x + 32+ = (x – 3)2 + > ∀ x 1 +( )2 + ] 2 = – [(x + ) + ] < -x2 - x - = -[( x2 + 2.x Ta có : A = x2 – 6x + 11 = x2 – x + 32+ = (x – 3)2 + ≥ = x = 25 25 + – ) –1 4 25 = 2(x + )2 – –1 2 27 27 ∀ x =– + 2(x + )2 ≥ – 2 B = 2x2 + 10x – = 2(x2+ 5x ) – = 2(x2 + 2.x Vậy Bmin = – 27 x = - 2 c C = 5x – x2 = - [x2 – 2.x = Vậy Cmax = 5 25 + ( )2]+ 2 25 25 – (x – )2 ≤ 4 25 x = MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ THỂ GIẢI ĐƯỢC NHIỀU CÁCH HOẶC TRONG MỘT CÁCH CĨ PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 3x2 + 6xy + 3y2– 3z2 Giải : Ta có 3x2 + 6xy + 3y2– 3z2 = 3(x2 + 2xy + y2– z2) (Đặt nhhân tử chung ) = [( x2 + 2xy +y2) – z2] (Nhóm) = 3[(x + y)2– z2] ( Dùng đẳng thức ) = 3(x + y + z)(x + y– z) Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 -10x +16 Giải : Cách 1: Ta có x2 -10x +16 = x2 – 2x – 8x + 16 (Tách -10x thành -2x -8x) = (x – 2x) – (8x – 16) = x(x – ) – 8(x - 2) = (x – 2)(x – 8) Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 11 Trường THCS Đức Bác Giáo viên : Nguyễn Xuân Chính Ta có x2 -10x +16 = x2 – – 10x + 20 (Tách 16 thành -4 20 ) = (x – 4) – (10x – 20) = (x – 2) (x + 2) – 10 (x – 2) = (x – 2) (x + – 10) = (x – 2) (x – 8) Cách 3: Ta có x -10x +16 = x2 – 4x + – 6x + 12 (Tách -10x thành -4x -6x ;16 thành 12) = (x2 – 4x + 4) – (6x – 12) = (x – 2)2 – 6(x – 2) = (x – 2) (x – – 6) = (x – 2) (x – ) Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 4x2 – 3x – Giải : Cách1: 4x2 – 3x – = 3x2– 3x + x2 – (Tách 4x2 thành3x2 x2 ) = 3x(x – 1) + (x +1)(x– 1) = (x – 1)(3x + x +1) = (x – 1)(4x + 1) Cách 2: Cách : 4x2 – 3x – = 4x2 – 4x + x – (Tách -3x thành -4x x) = (4x – 4x) + ( x – 1) = 4x(x – 1) + (x – 1) = (x – 1)(4x + 1) Cách : 4x2 – 3x – = 4x2– – 3x + (Tách -1 thành -4 3) = 4(x – 1) – 3( x –1) = 4(x – 1)(x + 1) – (x – 1) = (x – 1)(4x + 1) Nhận xét : Một toán có nhiều lời giải khác cuối có chung kết Như tiết luyện tập, giáo viên cho học sinh giải số tập dạng khác nhau, sử dụng phương pháp khác nhau, sau nhận xét so sánh, lời giải hay ngắn gọn Giáo viên cho học sinh làm số tập sau : b/ Bài tập tự luyện : Bài : Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x3 – 2x2y + xy2 – 9x b 2x – 2y – x2 + 2xy – y2 c x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y Bài : Tìm x biết a 7x – 6x2 – = c 2x2 + 3x – = b 16x – 5x2 – = Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 12 Trường THCS Đức Bác Giáo viên : Nguyễn Xuân Chính PHƯƠNG PHÁP ĐẶT BIẾN SỐ PHỤ Phân tích đa thức thành nhân tử đơi ta phải dùng biến phụ việc phân tích đơn giản a/ Các ví du: Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) +128 Giải : Ta có A = x(x +10)(x + 4)(x + 6) +128 = (x2 + 10x )(x2 + 10x + 24) +128 Đặt x2 + 10x + 12 = y Khi đa thức cho trở thành : (y – 12)(y +12) +128 = y2 -144 +128 = y2 - 16 = (y - 4)(y + 4) = (x2 + 10x + 8)(x2 + 10x + 16) Nhận xét : Ở ta dùng biến phụ y = x2 + 10x + 12 Như dùng biến phụ để phân tích đa thức thành nhân tử sau phân tích xong ta phải đổi biến cũ * Ta có tốn tổng quát sau : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (x + a) (x + b )(x + c)(x + d) + m - Đối với toán thường dùng phương pháp đặt biến số phụ ý : + Khi a + b = c + d ta ghép [(x + a)(x + b)] ; [(x + c )(x + d)] đặt y = x2 + (a + b)x + ab + cd + Khi a + c = b + d ta ghép [(x + a)(x + c)] ; [(x + b)(x + d)] đặt y = x2 + (a + c)x + ac + bd + Khi a + d = b + c ta ghép [(x + a)(x + d)] ; [(x + b)(x + c)] Và đặt y = x2 + (a + d)x + ad + bc Áp dụng toán tổng quát giáo viên cho học sinh làm ví dụ sau : Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử x(x – 1)(x + 1)(x + 2) – 24 Giải : Ta có A = [x(x + 1)][(x – 1)(x + 2)] – 24 (Do + = -1+ 2) = (x2 + x )(x2 + x – 2) – 24 Đặt x2 + x – = y Đa thức cho có dạng : (y +1) (y – 1) – 24 = y2 – – 24 = y2– 25 = (y – 5)(y + 5) = (x2 + x + – 5)(x2 + x + + 5) = (x2 + x – 4)( x2 + x + 6) Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 13 Trường THCS Đức Bác Giáo viên : Nguyễn Xuân Chính b/ Bài tập tự luyện : Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a (x + 2) (x – 2)( x2 – 10) – 72 b (x – 7) (x – 5) (x – 4) (x – 2) – 72 c (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 Bài : Giải phương trình (6x + )2(3x + 4) ( x + 1) = Bài : Tìm giá trị nhỏ A = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) c/ Hướng dẫn giải tập tự luyện: Các bước giải kết cần hướng dẫn cho học sinh: Bài 1: a Ta có : (x + 2) (x – 2)( x2 – 10) – 72 = (x2 – 4)( x2 – 10) – 72 Đặt x2 – = y, đa thức trở thành : (y – 3)( y + 3) – 72 = y2 – – 72 = y2 – 81 = (y – )(y + 9) Vậy (x + 2) (x – 2)( x – 10) – 72 = (x2 – + 9) (x2 – – 9) = (x2 + ) (x2 – 16) = (x2 + 2) (x + 4) (x – 4) b (x – 7) (x – 5) (x – 4) (x – 2) – 72 = [(x – 7) (x – 2)][ (x – 5) (x – 4) ] - 72 = (x2 – 9x + 14)( x2 – 9x + 20) - 72 Đặt x2 – 9x + 17 = y Đa thức trở thành (y – 3)(y + 3) – 72 Làm tương tự câu a ta kết sau: (x – 7) (x – 5) (x – 4) (x – 2) – 72 = (x2 – 9x + 26)( x2 – 9x + 8) = (x2 – 9x + 26)(x – 8) (x – 1) c Đặt a – b = x ; b – c = y; c – a = z suy x + y + z = hay z = -(x + y) Từ đa thức có dạng : x3 + y3 + z3 = x3 + y3 – (x + y)3 = (x + y)(x2 – xy + y2) – (x + y)(x2 + 2xy + y2) = (x + y)[(x2 – xy + y2) – (x2 + 2xy + y2) = (x + y)(x2 –xy + y2 – x2 – 2xy – y2 ) = -3xy(x + y) = 3xyz Vậy B = 3(a – b)(b – c)(c – a) Qua ta suy : Nếu có X + Y + Z = ta ln có X3 + Y3 + Z3 = 3XYZ Bài : Giải phương trình (6x + )2(3x + 4) ( x + 1) = (6x + )2(3x + 4) ( x + 1) 12 = 12 (6x + )2(6x + 8) ( 6x + 6) = 72 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 14 Trường THCS Đức Bác Giáo viên : Nguyễn Xuân Chính Đặt 6x + = y, phương trình trở thành y2(y + 1)( y – 1) = 72 y4 – y2 – 72 = y4 – 9y2 + 8y – 72 = y2(y2 – 9) + 8(y2 – 9) = (y2 – 9)(y2 + 8) = y = -3 y = −5 −2 Với y = ⇒ x = Với y = -3 ⇒ x = Vậy phương trình có nghiệm Bài : −5 −2 3 Ta có : A = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) = [(x – 1)(x + 6)][( x + 2)(x + 3)] = (x2 + 5x – 6)( x2 + 5x + 6) Đặt x2 + 5x = y A = y2 – 36 ≥ -36 Amin = -36 ⇒ x2 + 5x = ⇔ x = , x = -5 PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH Mệnh đề : Nếu hai đa thức A B hạng tử bậc hai đa thức phải có hệ số a/ Các ví dụ: Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2x3 – 5x2 + 8x – Giải : Ta có 2x3 – 5x2 + 8x – = 2x3 – x2 – x2+ 2x + 6x – = (2x3 – x2) – (4 x2– 2x) + (6x – 3) = x2(2x – 1) – 2x(2x – 1) + 3(2x – 1) = (2x – 1) (x2– 2x+ 3) Nhận xét : Đa thức bậc ba ví dụ phân tích thành tích nhị thức bậc tam thức bậc hai, ta cịn có cách giải tổng qt sau : Với đa thức bậc : a1x3 + b1x2 + c1x + d1 (a1 ≠ 0) ta ln phân tích thành tích nhị thức bậc tam thức bậc hai sau : a1x3 + b1x2 + c1x + d1 = (ax + b ) (cx2 + dx + m) (*) a1x3 + b1x2 + c1x + d1 = cax3 + (ad + bc )x2 + (am + bd)x + bm Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 15 Trường THCS Đức Bác Giáo viên : Nguyễn Xuân Chính ac = a1 ad + bc = b Đồng hệ số với ta được: am + bd = c1 bm = d1 Giải ta tìm giá trị a, b, c, d, m, thay vào vế phải (*) ta có kết cần tìm.(Ta chọn giá trị cho thỏa mãn toán) Ap dụng : Bài tốn ví dụ ta có cách giải khác sau : Ta có 2x3 – 5x2 + 8x – = (ax + b ) (cx2 + dx + m) 2x3 – 5x2 + 8x – = cax3 + (ad + bc )x2 + (am + bd)x + bm Đồng thức ta có : ac = 2, ad + bc = -5, am + bd = 8, bm = -3 Giả thiết a > (nếu a < ta đổi dấu hai nhân tử ) a = a = Xét a = ⇒ c = 1, 2d +b = -5 , 2m + bd = , bm = -3 , b ± 1; ± Xét b = -1 m = , d = -2 thỏa mãn điều kiện Vậy a = 2, c = 1, b = -1, m = 3, d = -2 ta có : 2x3 – 5x2 + 8x – = (2x – 1)(x2 – 2x + 3) Ví dụ2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử x3+ 3x2 + 3x + Giải: Đặt x3 + 3x2 + 3x + = (ax + b ) (cx2 + dx + m) x3 + 3x2 + 3x + = cax3 + (ad + bc )x2 + (am + bd)x + bm ac = ad + bc = Đồng thức ta có: am + bd = bm = Giả thiết a > (nếu a < ta đổi dấu hai nhân tử ) a = Xét a = ⇒ c = 1, d + b = , m + bd = , bm = , b ± ; ± Xét b = m =1, d = thỏa mãn điều kiện Vậy a =1, c = 1, b = 2, m = 1, d = ta có : x3 + 3x2 + 3x + = (x + 2)(x2 + x + 1) Nhận xét: Khi sử dụng phương pháp hệ số bất định dựa vào mối quan hệ hệ số để ta đưa giá trị tương ứng a,c từ ta tìm giá trị hệ số lại b/ Bài tập tự luyện : Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử phương pháp dùng hệ số bất định a 2x3 – 12x2 + 17x – b 3x2 – 22xy – 4x + 8y + 7y2 + Bài : Tìm số nguyên a cho đa thức (x + a)(x – 5) + phân tích thành Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 16 Trường THCS Đức Bác Giáo viên : Nguyễn Xuân Chính (x + b)(x + c) với b, c số nguyên Bài 3: Tìm số nguyên m cho đa thức (x + m)(x + 5) + phân tích thành (x + a)(x + b) với a, b số nguyên c/ Hướng dẫn giải tập tự luyện: Các lời giải mong đợi học sinh trình bày được: Bài : a Đồng đa thức với đa thức cax3 + (ad + bc )x2 + (am + bd)x + bm ta : ac = 2, ad + bc = -12, am + bd = 17, bm = -2 Giả thiết a > (nếu a < ta đổi dấu hai nhân tử ) a = a = Xét a = ⇒ c = 2, d + 2b = -12 , m + bd = 17, bm = -2, b ± ; ± Xét b = -2 m = 1, d = -8, thỏa mãn điều kiện Vậy a = 1, b = -2,c = 2, d = -8, m = 2x3 – 12x2 + 17x – = (x – 2)(2x2 – 8x + 1) Đa thức 3x2 – 22xy– 4x + 8y + 7y2 + phân tích thành nhân tử có dạng (3x + ay + b)(x + cy + d) Phép nhân cho ta kết 3x2 + (3c + a)xy + (3d +b)x + (ad + cb)y + acy2 + bd Đồng đa thức với đa thức 3x2 –22xy– 4x + 8y + 7y2 + ta : 3c + a = -22; 3d + b = -4 ; ad + cb = 8; ac = 7; bd = Từ bd = 3d + b = -4 nên b = d = -1 ac = mà a + c = -8 nên c = -7, a = -1 Thỏa mãn 3c + a = -22 Vậy a = b = d = -1; c = -7 Nên 3x2 – 22xy – 4x + 8y + 7y2 + = (3x - y - 1)(x - 7y - 1) Bài : Với x ta có (x + a)(x – 5) + = (x + b)(x + c) (1) Khi x = = (5 + b)(5 + c) Vì b, c nguyên nên (5 + b)(5 + c) tích hai số nguyên Số viết dạng tích hai số nguyên hai cách 1.2 (-1).(-2) b Giả sử b ≤ c ta xét hai trường hợp : * 5 + b = b = −4 ⇒ 5 + c = c = −3 Thay vào (1) ta dược (x + a)(x – 5) + = (x – 3)(x – 4) với ∀x Với x = a = -2 Vậy đa thức phân tích thành (x – 2)(x – 5) + = (x – 4)(x – 3) * 5 + b = −2 b = −7 ⇒ 5 + c = −1 c = −6 Thay vào (1) ta (x + a)(x – 5) + = (x – 7)(x – 6) với ∀x Với x = a = -8 Vậy đa thức phân tích thành (x – 8)(x – 5) + = (x – 7)(x – 6) Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 17 Trường THCS Đức Bác Giáo viên : Nguyễn Xuân Chính Bài 3: Bài giáo viên yêu cầu học sinh tự giải Kết quả: (x + 9)(x + 5) + = (x + 8)(x + 6) với m = (x +1)(x + 5) + = (x + 2)(x + 4) với m = C/ MỘT SỐ SAI SÓT CỦA HỌC SINH VÀ HƯỚNG KHẮC PHỤC: Qua thực tế giảng dạy, nhận thấy số học sinh tiếp thu dễ dàng nội dung trên, nhờ cụ thể hóa phương pháp nên học sinh biết cách vận dụng vào giải tập Tuy nhiên, số học sinh sai xót, làm thiếu xác cần phải khắc phục, chẳng hạn như: chưa biết đặt nhân tử chung, nhóm số hạng với cịn hay sai dấu … Sau ví dụ minh họa: Bài giải học sinh Những sai sót cách khắc phục Bài giải Bài tốn 1: Phân tích đa thức 3x2 – 6x thành nhân tử Học sinh : Thiếu sót : 2 Ta có: 3x – 6x = 3(x – x ) Học sinh : Cả hai học sinh đặt nhân Ta có: 3x – 6x = x(3x – ) tử chung nhiên cịn thiếu Ta có: 3x2 – 6x = 3x(x - 2) Cụ thể :Ở học sinh 1thiếu nhân tử x Ở học sinh thiếu nhân tử Khắc phục : Nhắc lai cách tìm nhân tử chung Bài tốn 2: Phân tích đa thức x2 – y2 + 4x + thành nhân tử Giải: Học sinh : Sai sót : Ta có : x2 – y2 + 4x + = (x2 – y2) Cả học sinh sử dụng cách Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 18 Trường THCS Đức Bác + (4x + 4) = (x + y) (x – y ) + 4(x + 1) Học sinh : Ta có : x2 – y2 + 4x + = (x2 + 4x) + (4 – y2) = x (x + 4) + (2 – y) (2 + y) Bài tốn 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x2 – 9y2 a b (x – y )2 – (2y – z)2 Giải: Học sinh : Ta có : x2 – 9y2 = (x + 9y)( x – 9y) Học sinh : Ta có : (x – y )2 – (2y – z)2 = (x – y + 2y – z)(x – y – 2y – z ) = (x + y – z)(x – 3y – z ) Giáo viên : Nguyễn Xn Chính nhóm khơng hợp lý, nên bước khơng thể phân tích Khắc phục : Ta có : x2 – y2 + 4x + =(x2 + 4x + 4) – y2 = (x – 2)2 – y = (x – + y)(x – – y ) Gv cần lưu ý cho hs nhóm hạng tử thích hợp : + Mỗi nhóm phân tích + Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích phải tiếp tục Sai sót : Học sinh 1, có lời giải sai, học sinh định hướng đẳng thức áp dụng Ta có : x2 – 9y2 chưa = x2 – (3y)2 = (x + 3y )(x – 3y ) Khắc phục: Ta có : * Chú ý 9y chưa viết (x – y )2– (2y – z)2 dạng lũy thừa, 9y2 ≠ = [(x – y) +( 2y – z)][(x – (9y)2 y) – (2y –z)] * Khi hạng tử B = (x – y + 2y – z)(x – y – đẳng thức đa thức 2y + z ) viết =(x + y – z )(x - y + z) A – B ta phải dùng thêm dấu ngoặc * Trong trình giảng dạy, xuất trường hợp học sinh mắc phải sai lầm, tuỳ theo đối tượng mà giáo viên chấn chỉnh, uốn nắn có biện pháp, phương pháp phù hợp với mục đích em học sinh hiểu biết cách vận dụng giải tập Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 19 Trường THCS Đức Bác Giáo viên : Nguyễn Xuân Chính PHẦN III KẾT QUẢ VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM 1) Kết quả: Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (trên phương pháp mà học sinh hay sử dụng )là chủ đề toán hay, nghiên cứu sâu thấy thú vị, áp dụng giải tốn phương trình, vận dụng tìm giá trị lớn nhất, giá trị lớn nhỏ biểu thức đại số, nhiên việc sử dụng Máy tính bỏ túi Casio f(x)-570MS để phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng tìm nghiệm phương trình nội dung có nhiều điểm mới, hút đối vơi học sinh trung học sở Qua giảng dạy số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, học sinh nắm vững vận dụng cách giải góp phần nâng cao hiệu giảng dạy giáo viên rèn học sinh khả tư toán, độ linh hoạt, sáng tạo kỹ thực hành học sinh Sau đề tài đưa vào áp dụng dạy tiết luyện tập, ôn tập chương, ôn tập cuối năm học ơn luyện học sinh giỏi vịng trường tham gia thi vòng thị kết qua học sinh đạt sau: Năm học HSG giải toán máy HSG HSG giải tốn tính Casio (Số đạt giải/số tham dự) (Số đạt giải/số tham dự) 2013-2014 8/8 7/8 2014-2015 4/5 5/5 2015-2016 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 20 Trường THCS Đức Bác Giáo viên : Nguyễn Xuân Chính 2) Bài học kinh nghiệm: - Thường xuyên nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo - Sàng lọc nội dung hay, tâm đắc biên soạn thành tài liệu riêng cho thân - Luôn trao đổi học hỏi đồng nghiệp, lựa chọn phương án giảng dạy hiệu - Động viên, khuyến khích học sinh cố gắng học tập tăng cường thời gian luyện tập thực hành - Khi tổ chức thực hiện, giáo viên phải tâm, tác phong chuẩn mực, lập thời gian biểu bám sát nội dung thực - Sau nội dung giảng dạy, phải tổ chức kiểm tra đánh giá học sinh 3) Lời kết: Mặc dù thân có nhiều cố gắng, nhiên đề tài không tránh khỏi thiếu sót hạn chế, mong Hội đồng khoa học góp ý xây dựng để đề tài tơi hồn thiện Đức Bác, ngày 26 tháng 10 năm 2015 Người viết Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 21 Trường THCS Đức Bác Giáo viên : Nguyễn Xuân Chính Tài liệu tham khảo Sách giáo khoa sách tập toán (Nhà xuất GD) Nâng cao phát triển toán (Tập 1, 2) Tác giả: Vũ Hữu Bình Tốn bồi dưỡng học sinh lớp Tác giả: Vũ Hữu Bình NXBGD NXB Hà Nội Nhận xét hội đồng khoa học: Nhận xét Tổ KHTN: ……………………………………………………………………………………… ……………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………… ……………………………………………………………………… Nhận xét Nhà trường: ……………………………………………………………………………………… ……………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………… ……………………………………………………………………… Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 22 Trường THCS Đức Bác Giáo viên : Nguyễn Xuân Chính ……………………………………………………………………………………… ……………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………… ……………………………………………………………………… Nhận xét Phòng giáo dục- đào tạo Huyện: ……………………………………………………………………………………… ……………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………… ……………………………………………………………………… Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 23 ... hành học sinh Sau đề tài đưa vào áp dụng dạy tiết luyện tập, ôn tập chương, ôn tập cuối năm học ơn luyện học sinh giỏi vịng trường tham gia thi vòng thị kết qua học sinh đạt sau: Năm học HSG... vơi học sinh trung học sở Qua giảng dạy số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, học sinh nắm vững vận dụng cách giải góp phần nâng cao hiệu giảng dạy giáo viên rèn học sinh khả tư toán, ... Bài giải học sinh Những sai sót cách khắc phục Bài giải Bài tốn 1: Phân tích đa thức 3x2 – 6x thành nhân tử Học sinh : Thiếu sót : 2 Ta có: 3x – 6x = 3(x – x ) Học sinh : Cả hai học sinh đặt