Chú ý: Đề thi có 05 trang Quy định chung: 1, Thí sinh được dung một trong các loại máy tính: Casio fx-500A, fx-500MS, fx-500ES, fx-570MS, fx-570ES, VINACAL Vn-500MS, Vn-570MS. 2, Nếu có yêu cầu trình bày lời giải, thí sinh chỉ cần nêu vắn tắt, công thức áp dụng, kết quả tính vào ô qui định. 3, Đối với các kết quả tính toán gần đúng, nếu không có quy định cụ thể trong từng câu thì được lấy đến 6 chữ số thập phân sau dấu phảy. 4, Thí sinh không được dùng bút xóa 1. Phần ghi của thí sinh: Họ và tên:…………………………………………………………………………………………… Ngày sinh: …………… , Lớp ……………, Trường ……………………………………………… Điểm của bài thi Các giám khảo ( Họ, tên, chữ kí ) Số phách ( Do chủ tịch hội đồng thi ghi) Bằng số Bằng chữ GK1 GK2 ĐỀ THI VÀ BÀI LÀM Bài 1. a) Tính giá trị của biểu thức A= ( ) ( ) ( ) ( ) + + − + + − − 1 3 1 1 25 22 4,85 : 2 1,23(7).3,6 : 3 .6 1 : 3 7 8 6 47 149 1 1 2 7 17 56 3 : 2 3 :13 1 : 0,3(1) 2 . 5 4 3 20 46 65 Đáp số: A ≈ b) Cho P(x) = x 2 .Tính chính xác kết quả sau: P(567 898 765) B = Trang PHÒNG GIÁO DỤC TAM DƯƠNG TRƯỜNG THCS ĐỒNG TĨNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MTCT MÔN TOÁN THCS Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề ------------------------------------------------ 1 Bài 2. a) Bác An vay ở một ngân hàng với số vốn là 100 triệu đồng, lãi suất là 1,25% trên tháng, thời hạn là 4 năm, tính theo dư nợ, trả đúng ngày quy định. Hỏi hàng tháng, Bác An phải đều đặn trả vào ngân hàng một khoản tiền cả gốc lẫn lãi là bao nhiêu để đến khi vừa hết 4 năm thì Bác An trả hết cả gốc lẫn lãi cho ngân hàng? b) Nếu bác An vay 100 triệu đồng tiền vốn ở một ngân hàng khác với thời hạn 4 năm, lãi suất 0,85% trên tháng, trên tổng số tiền vay thì so với việc vay vốn ở ngân hàng trên, việc vay vốn ở ngân hàng này có lợi gì cho người vay không? a)Bác An phải gửi đêu đặn hàng tháng số tiền là:………………. Tóm tắt cách giải …… …………………………………………………………………………………………………… … …………………………………………………………………………………………………… … …………………………………………………………………………………………………… … …………………………………………………………………………………………………… … …………………………………………………………………………………………………… … …………………………………………………………………………………………………… … …………………………………………………………………………………………………… … …………………………………………………………………………………………………… … …………………………………………………………………………………………………… … …………………………………………………………………………………………………… … …………………………………………………………………………………………………… … …………………………………………………………………………………………………… ……………………………… b) Tóm tắt cách giải ……… .…… ……………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… ………………………… ………………………………………………………………………………. Bài 3. Cho P(x) = x 5 + ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx – 2010. Biết P(1) = -3 , P(2) = 0 , P(3) = 3 , P(4) = 6 a) Xác định hệ số a, b, c, d. b) Tính P(32) Trang 2 a) a = b = c = d = Tóm tắt cách giải:……………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………….………. ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… b) P(32) = ………………… Trang 3 Bài 4. a) Một học sinh có 32 ô vuông. Ô thứ nhất bỏ 1 hạt thóc, ô thứ hai bỏ 2 thóc, ô thứ ba bỏ 4 hạt thóc, ô thứ tư bỏ 8 hạt thóc, …(số hạt thóc ô tiếp theo gấp đôi ô trước) và đặt liên tiếp như vậy đến ô cuối cùng. Hỏi cần bao nhiêu hạt thóc để đặt vào đủ 32 ô vuông đó. b) Ngày 24/11/2008 là ngày thứ hai. Hỏi ngày 24/11/2097 là ngày thứ mấy trong tuần? c) Tìm các chữ số x, y sao cho A = 9x1167 y17 là lập phương của một số tự nhiên a)Số hạt thóc cần là:……………… b) ngày 24/11/2097 là ngày:…………… Trình bày sơ lược cách tìm:……………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. c) x = …… ; y = …… Trình bày sơ lược cách tìm:………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. Bài 5. Giải các phương trình sau: (Kết quả lấy chính xác) a) 10 1 1 9 8 1 1 7 6 1 1 5 4 3 2 = + + + + + + + x x Nghiệm của phương trình x = b) 1 1 1 1 3 1 1 2 2 3 3 4 2011 2012 + + +×××+ = + + + + + + + + + + + + + x x x x x x x x x Nghiệm của phương trình x = Bài 6. Tìm chữ số hàng đơn vị của số: 2011 9 3 Chữ số hàng đơn vị là:…………………………………………… Trình bày sơ lược cách tìm: ……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. Trang 4 Bài 7. Cho ( ) ( ) 4 11 4 11 2 11 + − − = n n n U +3 với n = 0;1; 2; 3; . a) Chứng minh công thức truy hồi của dãy số : U n+2 = 8 U n+1 - 5U n + 3 b) Từ công thức truy hồi trên viết quy trình bấm phím liên tục tính các giá trị u n . Tính từ U 11 đến U 13 ? c) Tính tổng 13 số hạng đầu tiên của dãy. a) Sơ lược cách chứng minh:………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… b)Quy trình bấm phím……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… U 11 = ……………….U 12 =……………………………… U 13 =………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… c) Tổng 13 số hạng đầu tiên của dãy là:……………………………………………………0 Quy trình bấm phím:………………… ………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… Bài 8. a) Cho số a = 1.2.3.4…15 (Tích 15 số tự nhiên bắt đầu từ 1)Tìm ước số lớn nhất của a biết số này là lập phương của một số tự nhiên. a)Ước số cần tìm là: ……. Sơ lược cách giải:…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. b) Tìm số dư r trong phép chia: 1 715 192 198 765 567 cho 2354 Trang 5 Số dư là: r =……… Bài 9. Cho ΔABC vuông tại A đường cao AH, tia phân giác góc B cắt AC tại D. Biết DA = 2cm; DC = 3cm. a) Tính số đo góc C và góc B của ΔABC . b) Tính độ dài các đoạn thẳng AH; HB; HC. Bài 10. Một hình gọi tên là Ma trận vuông có cấu tạo gồm 25 dòng, mỗi dòng có 25 ô vuông nhỏ bằng nhau. Hỏi ma trận vuông này có tất cả bao nhiêu hình vuông? Số hình vuông là:……………… Sơ lược cách giải:…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. Trang 6 Bài 1 a) 1, 23(7) = 557 450 0,3(1) = 14 45 A = 4, 869 964 b) B = 322 509 007 288 525 225 Bài 2. HD a) Gọi số tiền vay là N đồng, lãi suất m% /tháng, số tháng vay là n, số tiền trả hàng tháng là A đồng. - Sau tháng thứ nhất số tiền gốc còn lại trong ngân hàng là: N 1 100 m   +  ÷   – A = N.x – A đồng với x = 1 100 m   +  ÷   - Sau tháng thứ hai số tiền gốc còn lại là: (Nx– A)x– A = Nx 2 – A(x+1) đồng. - Sau tháng thứ ba số tiền gốc còn lại là: [Nx 2 – A(x+1)]x– A = Nx 3 – A(x 2 +x+1) đồng - Số tiền gốc còn lại sau tháng thứ n là : Nx n – A(x n-1 +x n-2 + .+x+1)đồng. Vì lúc này số tiền cả gốc lẫn lãi đã trả hết nên ta có : Nx n - A (x n-1 +x n-2 + .+x+1) = 0 ⇒ A = n 1 2 Nx . 1 − − + + + + n n x x x = ( 1) 1 − − n n Nx x x Thay bằng số với N = 100 000 000 đồng, n = 4năm = 48 tháng, x =1+0,0125=1,0125 Ta có : A = 2 783 074, 827 đồng. b) Nếu vay ở ngân hàng khác người đó phải trả cho ngân hàng một khoản tiền là: 100 000 000 + 100 000 000 . 0,85% . 48 = 140 800 000 đồng. Vay ở ngân hàng ban đầu người đó phải trả cho ngân hàng một khoản tiền là: 2 783 074, 827. 48 = 133 587 519,7 đồng. Như thế việc vay vốn ở ngân hàng thứ hai không có lợi cho người vay vốn. Bài 3. Xét đa thức phụ Q(x) = 3x + 6 Ta có Q(1) = 9 , Q(2) = 12 , Q(3) = 15 , Q(4) = 18 Đặt H(x) = P(x) – Q(x) Ta có H(1) = H(2) = H(3) = H(4) = 0 hay H(x) có 4 nghiệm là 1 , 2 , 3 , 4 . Đa thức H(x) phải có hệ số cao nhất là hệ số cao nhất của P(x) nên H(x) được phân tích thành nhân tử như sau H(x) = (x + a) (x – 1)(x – 2) (x – 3) (x – 4) . Vì H(x) = P(x) – Q(x)  P(x) = H(x) + Q(x) Hay P(x) = (x + a) (x – 1)(x – 2) (x – 3) (x – 4) + 3x + 6 Hệ số tự do của P(x) là a.(–1)(–2).(–3).(–4) + 6 = - 2010  24a = - 2016  a = – 84 Vậy P(x) = (x – 84)(x – 1) (x – 2) (x – 3) (x – 4) + 3x + 6 = x 5 – 94x 4 + 875x 3 - 2990x 2 + 4227x - 2010 a) a = – 94, b = 875, c = - 2990, d = 4227. b) P(32) = -39 268 218 Bài 4. Trang 7 a) Tổng số hạt thóc người đó cần là: 2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + …+ 2 31 = 2 32 – 1 = 4 294 967 295 (hạt) b) Khoảng cách giữa hai năm là: 2097 – 2008 = 89 (năm). Số năm nhuận giữa từ năm 2008 đến năm 2097 là: [(2097 – 2008):4]+1 = 23 (năm) Số ngày giữa hai năm là: (89.365 + 23 ) – 1 = 32 507 (Vì năm 2008 là năm nhuận nhưng ngày 29/02/2008 không được tính vào nên số ngày phải trừ 1) 32 506 chia 7 thương là 4643 và dư 6 Ngày 24/11/2097 là ngày CHỦ NHẬT c) Đặt n 3 = A = 9x1167 y17 Ta có 901 167 017 ≤ n 3 ≤ 991 167 917 966 ≤ n ≤ 997 Quy trình ấn phím: 965 → D; D = D + 1: D 3 Dừng lại khi D đến 997 KQ: x = 2; y = 3 Bài 5. a) x = 4803070 6301 − b) x = 1996 15 Bài 6. Cách 1: Ta có 9 và 40 nguyên tố cùng nhau nên theo định lý Ơ le suy ra (40) 9 ϕ = 9 16 ≡ 1 (mod 40) 9 2011 = (9 16 ) 125+11 = (9 16 ) 125 .9 11 ≡ (9 16 ) 125 .9 5 . 9 6 ≡ 1.9.1 ≡ 9 vậy 9 2011 = 40k + 9 (k ∈ Z) Mặt khác theo định lý Ơ le ta cũng có (100) 3 ϕ = 3 40 ≡ 1 (mod 100) 2011 9 3 = 3 40k+9 = (3 40 ) k .3 9 ≡ 1.3 9 ≡ 83 Vậy chữ số hàng đơn vị là 3; hàng chục là: 8 Cách 2: Ta có 3 9 = 1 9 3 ≡ 83 ( ) 2 1 9 9 9.9 9 9 5 4 3 3 3 83 83 .83= = ≡ = ≡ 43.21 ≡ 03 ( ) 3 2 2 9 9 9 .9 9 9 3 3 3 3 83= = ≡ = ……………………………… Chu kì lặp lại là: 2 và 2011 = 2.1005 + 1 nên 2011 9 3 có hai chữ số tận cùng là 83 Vậy chữ số hàng đơn vị là 3; hàng chục là: 8 Bài 7. a) Đặt a n = ( ) n 4 11+ , b n = ( ) n 4 11− ⇒ a n = ( ) n n 1 4 11 .a − + , b n = ( ) n n 1 4 11 .b − − ⇒ U n = 1 2 11 (a n - b n ) + 3 = 1 2 11 { ( ) n n 1 4 11 .a − + - ( ) n n 1 4 11 .b − − } + 3 ⇒ U n+1 = 1 2 11 (a n+1 - b n+1) = 1 2 11 ( ) 2 n 1 4 11 .a − + - 1 2 11 ( ) 2 n 1 4 11 .b − − + 3 Trang 8 = 1 2 11 ( ) n 1 27 8 11 a − + - 1 2 11 ( ) n 1 27 8 11 b − − + 3 = 1 2 11 ( ) n 1 8.(4 11) 5 a − + − - 1 2 11 ( ) n 1 8(4 11) 5 b − − − + 3 = [8 1 2 11 n 1 (4 11)a − + - 8 1 2 11 n 1 (4 11)b − − ] – [5 1 2 11 a n-1 - 5 1 2 11 b n-1 ] + 3 = 8u n+1 - 5u n + 3 b) Quy trình trên fx 570 MS 1 -> D; 3 -> A; 4 -> B; Viết vào màn hình: D=D+1:A = 8B – 5A + 3 :D=D+1: B = 8A – 5B + 3 Kq: U 11 = 484 944 782 ; U 12 = 3 548 158 995 ; U 13 = 25 960 548 053 c) Quy trình bấm phím (fx 570 MS) Cách 1: -1 -> D; Viết vào màn hình: D = D + 1:((4 + 11)^D - (4 1 11)^D) ÷ (1 11) + 3 = = …Dừng lại khi D = 12 Cách 2: 1 -> D; 3 -> A; 4 -> B; 7 -> C; Viết vào màn hình: D=D+1:A = 8B – 5A + 3:C = C + A:D=D+1: B = 8A – 5B + 3:C = C + B KQ: 4 109 876 579 Bài 8. a) Số a chứa các luỹ thừa của 2:2x2 2 x2x2 3 x2x2 2 x2= 2 11 = (2 3 ) 3 .2 Vì a có mặt các thừa số: 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28) Tương tự lập luận trên, ta có: -a chứa các luỹ thừa của 3: 3x3x3 2 x3x3 = 3 6 = (3 2 ) 3 -a chứa các luỹ thừa của 5: 5x5x5= 5 3 Ước số lớn nhất của a là lập phương của một số tự nhiên là: (2 3 ) 3 (3 2 ) 3 5 3 = 46 656 000 b) r = 1611 Bài 9: a) Ta có BD là phân giác của góc B suy ra DA BA 2 = = =sinC DC BC 3 từ đó tính được µ 0 C 41 48'37,13'' ≈ µ 0 B 48 11'22,87'' ≈ b) AH=AC.sinC 3,33333( )≈ cm HB=AH.cotgB 2,98142( )≈ cm HC=AH.tgB 3,72678( )≈ cm Bài 10. Gọi ma trận này là hình gồm nxn ô vuông. Ma trận vuông này có: Trang 9 A B C H D 1 x 1 hình vuông kích thước n x n 2 x 2 hình vuông kích thước (n – 1) x (n – 1) …………. n x n hình vuông kích thước 1 x 1 Số hình vuông trên bàn cờ là: 1 2 + 2 2 + 3 2 +…+n 2 = ( ) ( ) n n 1 2n 1+ + Áp dụng: Ma trận vuông có số ô vuông là: 8775 ô vuông. Trang 10 . TAM DƯƠNG TRƯỜNG THCS ĐỒNG TĨNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MTCT MÔN TOÁN THCS Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề ------------------------------------------------. ……………………………………………… Điểm của bài thi Các giám khảo ( Họ, tên, chữ kí ) Số phách ( Do chủ tịch hội đồng thi ghi) Bằng số Bằng chữ GK1 GK2 ĐỀ THI VÀ BÀI LÀM Bài 1.