Ngun §øc NghÞ Trêng THCS L¬ng Phó Mét sè d¹ng to¸n vỊ ®a thøc d·y sè- h×nh häc– • Chó ý: NÕu a 1 = k 1 .b + c 1 NÕu: a 2 = k 2. b + c 2 . Th× sè d a 1 .a 2 : b chÝnh lµ: c 1 .c 2 : b • T×m sè d: a n : b ta viÕt a n = (c + d) k sao cho c M b t×m sè d d k : b 1). Đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn khi biết chu kỳ ra phân số( hoặc hỗn số ) : * Nhận xét : .);0001(,0 9999 1 );001(,0 999 1 );01(,0 99 1 );1(,0 9 1 ==== * Ví dụ : Đổi số thập phân 1,5( 42) ra hỗn số . Giải : Ta biến đổi như sau : 1,5(42) = 1,5 + 0,1 . 0,(42)= 330 179 1 99 42 . 10 1 10 15 =+ * Công thức quy đổi : 0, abc … (klm) = ( Số thập phân tuần hoàn tạp ) trong đó abc …có x chữ số klm … có y chữ số * Áp dụng : 7, 5 ( 3 ) = = 2,1 (32) = = 0,23 (7) = = * Chú ý : Để khỏi tràn máy , khi đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số (hoặc hỗn số ) , ta chỉ cần đổi phần phân ra phân số , sau đó ghi thêm phần nguyên . 2.2 Cho số hữu tỉ biểu diễn dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn E = 1,235075075075075 Hãy biến đổi E thành dạng phân số tối giản ĐS : 10282 8325 E = 3.1 Hãy kiểm tra số F = 11237 có phải là số nguyên tố không . Nêu qui trình bấm phím để biết số F là số nguyên tố hay không . ĐS : F là số nguyên tố 3.2 Tìm các ước số nguyên tố của số : 5 5 5 1897 2981 3523M = + + ĐS : 17 ; 271 ; 32203 Chuyªn ®Ị gi¶i to¸n b»ng m¸y tÝnh casio 000 .999 abcklm .abc − 90 75753 − 15 113 90 678 = 990 212132 − 990 2111 900 23237 − 450 107 900 214 = Ngun §øc NghÞ Trêng THCS L¬ng Phó 5.2 Tìm phần dư khi chia đa thức 100 51 2 2 1, 1x x cho x − + + . Bài 8 : 8.1 Một tam giác có chu vi là 49,49 cm , các cạnh tỉ lệ với 20 , 21 và 29 .Tính khoảng cách từ giao điểm của ba phân giác đến mỗi cạnh của tam giác. 8.2 Cho tam giác ABC có chu vi 58 cm; số đo góc B bằng 58 0 20' ; số đo góc C bằng 82 0 35' .Hãy tính độ dài đường cao AH của tam giác đó . Bài 1 : 1.1: Tìm tất cả các số có 10 chữ số có chữ số tận cùng bằng 4 và là luỹ thừa bậc 5 của một số tự nhiên. ĐS : 1073741824 , 2219006624 , 4182119424 , 733040224 1.2 : Tìm tất cả các số có 10 chữ số có chữ số đầu tiên bằng 9 và là luỹ thừa bậc năm của một số tự nhiên. ĐS : 9039207968 , 9509900499 Bài 3 : 3.1. Cho đa thức bậc 4 f(x) = x 4 +bx 3 +cx 2 +dx+43 có f(0) = f(-1); f(1) = f(-2) ; f(2) = f(-3) . Tìm b, c, d ĐS : b = 2 ; c = 2 ; d = 1 3.2. Với b, c, d vừa tìm được, hãy tìm tất cả các số nguyên n sao cho f(n) = n 4 +bn 3 +cn 2 +n+43 là số chính phương. ĐS : n = -7 ; - 2 ; 1 ; 6 Bài 9 : 9.1. Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x,y) sao cho x là ước của y 2 +1 và y là ước của x 2 +1 9.2. Chứng minh rằng phương trình x 2 + y 2 – axy + 1 = 0 có nghiệm tự nhiên khi và chỉ khi a = 3. Tìm tất cả các cặp số tự nhiên ( x, y, z ) là nghiệm của phương trình x 2 + y 2 – 3xy + 1 = 0 Bài 4: Một hình thoi có cạnh bằng 24,13 cm , khoảng cách giữa hai cạnh là 12,25 cm. 1) Tính các góc của hình thoi đó ( độ, phút, giây) ĐS : A= 30 0 30'30.75" ; B =149 0 29 '29.2" 2. Tính diện tích của hình tròn (O) nội tiếp hình thoi chính xác đến chữ số thập phân thứ ba. ĐS : S =117 .8588118 3. Tính diện tích tam giác đều ngoại tiếp đường tròn (O) ĐS : S _= 194 .9369057 Bài 4 Cho đa thứcP(x)=x 4 +5x 3 −4x 2 + 3x− 50 Gọi r 1 là phần dư của phép chia P(x) cho x - 2 và r 2 là phần dư của phép chia P(x) cho x - 3. Tìm bội chung nhỏ nhấtcủa r 1 và r 2 Chuyªn ®Ị gi¶i to¸n b»ng m¸y tÝnh casio Ngun §øc NghÞ Trêng THCS L¬ng Phó Bài 5 So sánh các số sau: A = 13 2 + 42 2 + 53 2 + 57 2 + 68 2 + 97 2 B = 31 2 + 24 2 + 35 2 + 75 2 + 86 2 + 79 2 C= 28 2 + 33 2 + 44 2 + 66 2 + 77 2 + 88 2 Bài 6. Viết quy trình tìm phần dư của phép chia 21021961 cho 1781989. Bài 10: Số 3 12 -1 chia hết cho hai số tự nhiên nằm trong khoảng 70 đến 79.Tìm hai số đó. Bài 11 Cho tam giác ABC biết AB = 3, góc A bằng 45 độ và góc C bằng 75độ , đường cao AH.Tính (chính xác đến 5chữ số thập phân); 1. Độ dài các cạnh AC và BC của tam giác ABC 2. Độ dài đường trung tuyến AM của tam giác ABC 1- Dãy Fibonacci suy rộng dạng : u 1 = a , u 2 = b ; u n+1 = Mu n + Nu n-1 với mọi n ≥ 2 Thùc hµnh: A = a a B = b b D = 2 2 c«ng thøc : D = D + 1 : A = MB + NA : D = D + 1 : B = MA + NB * Bài tập áp dụng : Tính u 17 = ( 8346193634 ) Với u 1 = 2 và u 2 = 3 , u n+1 = 4 u n + u n -1 ∀n ≥ 2 Gán giá trò : A = 2 2 SHIFT STO A B = 3 3 SHIFT STO B D = 2 2 SHIFT STO D Công thức : D = D + 1 : A = 4B + A : D = D + 1 : B = 4A + B a). Biết : u 1 = 4 , u 2 =7 , u 3 = 5 , u n+1 = 2u n - u n - 1 + u n-2 với n ≥ 3. Gán giá trò : A = 4 4 SHIFT STO A B = 7 7 SHIFT STO B C = 5 5 SHIFT STO C D = 3 3 SHIFT STO D Công thức : D = D + 1 : A = 2C - B + A : D = D + 1 : B = 2A - C + B : D = D + 1 : C = 2B - A + C : Tính u 30 ? u 30 = 20929015 b). Biết : u 1 = 1 , u 2 =2 , u 3 = 3 , u n = u n-1 +2u n - 2 + 3u n-3 với n ≥ 3. Tính u 28 ? u 28 = 9524317645 + Tính dãy Fibonacci bậc 3 : u 1 = a ; u 2 =b , u 3 = c , u n+1 = Xu n + Yu n - 1 + Zu n-2 với n ≥ 3. Gán giá trò : A = a a SHIFT STO A B = b b SHIFT STO B Chuyªn ®Ị gi¶i to¸n b»ng m¸y tÝnh casio ASHIFT STO BSHIFT STO DSHIFT STO Ngun §øc NghÞ Trêng THCS L¬ng Phó C = c c SHIFT STO C D = 2 2 SHIFT STO D Công thức : D = D + 1 : A = XC + YB + ZA : D = D + 1 : B = XA + YC + ZB : D = D + 1 : C = XB + YA + ZC : BÀI TẬP 1). Cho dãy u 1 =2 và u 2 = 20 , u n+1 = 2u n + u n - 1 ( n ≥ 2 ) a). Tính u 3 , u 4 , u 5 , u 6 , u 7 . b). Viết quy trình bấm phím để tính u n . c). Tính giá trò của u 22 , u 23 , u 24 , u 25 . 2). Cho dãy số u n = ( ) ( ) 32 3232 nn −−+ a). Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy . b). Lập một công thức truy hồi để tính u n+2 theo u n+1 và u n . c). Lập một quy trình tính u n . d). Tìm các số n để u n chia hết cho 3 3). Cho dãy u 0 =2 , u 1 = 10 , 10u n - u n - 1 , n = 1, 2, a). Lập một quy trình tính u n+1 b). Tính u 2 , u 3 , u 4 , u 5 , u 6 . c). Tìm công thức tổng quát của u n . 4). Cho dãy u 1 = 1 , u 2 = 3 ; u n+1 = 2 1n 2 n uu − + . Tìm số dư của u n chia cho 7 . 5). Cho ( ) ( ) 52 5151 u nn n −−−+− = a). Tính u 1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 . b). Tìm công thức truy hồi tính u n+2 theo u n+1 và u n c). Viết quy trình bấm phím liên tục tính u n . 6). Cho dãy số ( ) ( ) .,3,2,1,0nvới 72 7575 Un nn = −−+ = a). Tính 5 số hạng đầu của dãy số : U 0 , U 1 , U 2 , U 3 , U 4 . b). Chứng minh rằng U n+2 = 10 U n+1 - 18U n c). Lập qui trình ấn phím liên tục tính U n+2 trên máy tính CASIO fx 570 MS . 7). Cho dãy số .,3,2,1,0nvới,2 2 53 2 53 U nn n =−         − +         + = BT: Tìm các số tự nhiên n ( 1000 < n < 2000) sao cho với mỗi số đó 54756 15 n a n = + cũng là số tự nhiên ĐS : n= 1428 ; n = 1539 ; n = 1995 Chuyªn ®Ị gi¶i to¸n b»ng m¸y tÝnh casio Ngun §øc NghÞ Trêng THCS L¬ng Phó Bài 7 : Tam giác ABC vuông tại A có cạnh AB = a = 2,75 cm, góc C = 37 0 25 / .Từ A vẽ các đường cao AH , đường phân giác AD và đường trung tuyến AM . a) Tính độ dài của AH , AD , AM b) Tính diện tích tam giác ADM ( Kết quả lấy với 2 chữ số ở phần thập phân ) ĐS : AH = 2,18 cm ; AD = 2,20 cm ; AM = 2,26cm S AMD = 0,33cm 2 8/ Hình thang cân ABCD có đáy lớn CD = 10 cm đáy nhỏ bằng đường cao , đường chéo vng góc với cạnh bên . Tính đường cao của hình thang . 9/ Tam giác ABC có BC = 40 cm , đường phân giác AD = 45 cm , đường cao AH = 36 cm . Tính độ dài BD, DC . 10/ Tam giác ABC vng tại A có AB = 9 cm , AC = 12 cm , gọi I là tâm đường tròn nội tiếp , G là trọng tâm của tam giác . Tính độ dài IG Tìm số dư cuối cùng trong phép chia: cho C¸c bµi to¸n vỊ ®a thøc. • Bµi to¸n 1; t×m sè d chia ®a thøc: f(x) = x 27 + x 9 + x 3 + x chia cho x 2 - 1 Gi¶i: Gi¶ sư ®a thøc d lµ: a.x + b: Ta cã: f(x) = (x 2 – 1).q(x) +a.x + b Chän c¸c gi¸ trÞ riªng sao cho x 2 – 1= 0. Víi x = 1 ta cã a + b = 4 Víi x = - 1 ta cã –a + b = -4 Gi¶i hƯ ta cã : a = 4; b = 0, VËy ®a thøc d lµ 4.x • Bµi to¸n 2: T×m sè d trong phÐp chia x 1992 cho (x 4 – 1)(x 8 + x 4 + 1) Gi¶i : ta cã (x 4 – 1)(x 8 + x 4 + 1) = x 12 – 1 MỈt kh¸c x 1992 – 1 = (x 12 ) 166 – 1 chia hÕt x 12 – 1 vËy sè d lµ 1. *Bµi to¸n 3: T×m a, b sao cho f(x) = x 4 – x 3 – 3.x 2 + a.x + b, chia ®a thøc: x 2 – x – 2 d 2.x + 3. Gi¶i: Chuyªn ®Ị gi¶i to¸n b»ng m¸y tÝnh casio Ngun §øc NghÞ Trêng THCS L¬ng Phó Ta cã f(x) = (x 2 – x – 2).q(x) + 2.x + 3 T×m c¸c gi¸ trÞ riªng sao cho x 2 – x – 2 cã gi¸ trÞ b»ng 0. Víi x = -1 ta cã –a + b = 4 Víi x= 2 ta cã 2a + b = 5, gi¶i ra ta cã a = 3; b= -1. • Bµi to¸n 4: TÝm sè d khi chia x 100 cho x 2 – 3x + 2 Gi¶i : x 100 = (x 2 – 3x + 2).q(x) +a.x +b = (x – 1).(x – 2).q(x) + a.x + b X = 1 ta cã a + b = 1 X = 2 ta cã 2.a + b = 2 100 Gi¶i ra: a = 2 100 – 1 ; b = 2 – 2 100 VËy sè d R = 2 10 (x – 1) – (x – 2). • Bµi to¸n 5: Cho g(x) = x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1, t×m d khi chia g(x 12 ) cho g(x). Gi¶i; - Ta cã (x – 1).g(x) = x 6 – 1 vµ : g(x 12 ) = (x 12 ) 5 + (x 12 ) 4 + .+x 12 + 1 - g(x 12 ) = (x 6 ) 10 + (x 6 ) 8 + (x 6 ) 6 + (x 6 ) 4 + (x 6 ) 4 + (x 6 ) 2 + 1 - g (x 12 ) – 6 = ((x 6 ) 10 – 1)+ ((x 6 ) 8 – 1) +((x 6 ) 6 – 1) + ((x 6 ) 4 – 1) +((x 6 ) 2 – 1) Víi p(x) lµ ®a thøc theo x 6 Thay x 6 – 1= (x – 1).g(x) ta ®ỵc g(x 12 ) = (x – 1).g(x).p(x) + 6 VËy sè d lµ: 6. Câu 8: (2 điểm) Tìm cặp (x,y) nguyên dương sao cho x 2 = 38y 2 +1 Câu 9: (6 điểm) Cho ∆ABC có AB = 8,91 cm, AC = 10,32 cm và BÂC = 72 0 . Tính ( chính xác đến 3chữ số thập phân) a) Độ dài đường cao BH b) Diện tích ∆ABC c) Độ dài cạnh BC d) Lấy điểm M thuộc đọan AC sao cho AM = 2MC. Tính CK từ C đến BM Chuyªn ®Ị gi¶i to¸n b»ng m¸y tÝnh casio . C : Tính u 30 ? u 30 = 20929015 b). Biết : u 1 = 1 , u 2 =2 , u 3 = 3 , u n = u n-1 +2u n - 2 + 3u n-3 với n ≥ 3. Tính u 28 ? u 28 = 9524317645 + Tính. n+1 = 2u n + u n - 1 ( n ≥ 2 ) a). Tính u 3 , u 4 , u 5 , u 6 , u 7 . b). Viết quy trình bấm phím để tính u n . c). Tính giá trò của u 22 , u 23 , u 24