www.thuvienhoclieu.com BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN- DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG- THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY VẬN DỤNG VÀ VẬN DỤNG CAO I NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN Câu 1: [2D3-3] [ĐỀ SỞ BẮC GIANG 2018] Cho hàm số f ( 1) = x ∫  f ′ ( x )  dx = ∫ ( x + 1) e f ( x ) dx = 0 A I = − e f ( x) e2 − có đạo hàm đoạn Tính tích phân e I= C B I = e − [ 0;1] I = ∫ f ( x ) dx D I= e −1 Lời giải Chọn B ∫ ( x + 1) e f ( x ) dx x Xét tích phân u = f ( x ) du = f ′ ( x ) dx ⇒   dv = ( x + 1) e x dx v = xe x   Đặt Nên 1 0 x x x x ∫ ( x + 1) e f ( x ) dx = f ( x ) xe − ∫ xe f ′ ( x ) dx = − ∫ xe f ′ ( x ) dx 1 Do x ∫ xe f ′ ( x ) dx = − ex −1 Lại có (theo BĐT tích phân) 2 1 x  x 2  e2 −  − e2 x ′ ′ ′ ⇒ xe f x d x ≥ x e f x d x ≤ x e d x f x d x   = ( ) ( ) ( ) ∫ ÷ ∫ ( )  ÷  ∫0 ∫0    0  f ′ x = k xe x Dấu " = " xảy ( ) Suy x ∫ kx ( e ) dx = − e2 ⇒ k = −1 ⇒ f ′ ( x ) = − xe x ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ − xe dx = ( − x ) e x Do Vậy 1 0 x + C ⇒ f ( 1) = C = I = ∫ f ( x ) dx = ∫ ( − x ) e x dx = e − www.thuvienhoclieu.com Trang thỏa mãn www.thuvienhoclieu.com y = f ( x) Câu 2:Cho hàm số f ( x) ∫1 x dx liên tục thoả mãn 1 f ( x ) + f  ÷ = 3x  x với 1  x ∈  ; 2 2  Tính A − B C − D Lời giải Chọn A I =∫ Đặt Với ⇒∫ 1  x ∈  ; 2 2  1 f ÷ f x 1 f ( x ) + f  ÷ = 3x ⇔ ( ) +  x  =  x x x , 1 f  ÷ f ( x) x dx + ∫   dx = ∫ 3dx (1) x x 1 t= Đặt f ( x) dx x 1 1 ⇒ dt = − dx ⇒ − dt = dx x x t x 1 f ÷ f ( t) x  2∫ dx = ∫ dt = I x t 1 2 2 ( 1) ⇒ 3I = ∫ 3dx ⇒ I = ò f ( x) dx = 2018 Câu 3: [2D3-3] [Sở GD&ĐT Hà Tĩnh - Lần - năm 2018] Cho Tính tích phân p ị f ( sin2x) cos2xdx A 2018 B - 1009 C - 2018 www.thuvienhoclieu.com D 1009 Trang www.thuvienhoclieu.com Lời giải Chọn D t = sin2x Þ dt = 2cos2xdx Đặt p x = Þ t = 0; x = Þ t = Đổi cận: p 1 ò f ( sin 2x) cos2xdx = ò f ( t) dt = 2.2018 = 1009 0 F ( x ) = ( ax + bx + c ) x + Câu 4: [2D3-3] [Sở GD&ĐT Phú Thọ, lần năm 2018] Biết f ( x) = a , b, c ∈ ¢ ) nguyên hàm hàm số T = a + b + c Tính T = 11 A B T = 10 C ( 20 x + 30 x + 11 2x + T =9 khoảng D T =8    − ; +∞ ÷   Lời giải Chọn A f ( x) = 20 x + 30 x + 11 2x +  t2 − x = 2x + = t ⇒ 2x + = t  dx = tdt  Đặt I =∫  t2 −  20  ÷ + 15 ( t − 3) + 11  f ( x ) dx = ∫  t.dt t = ∫ ( 5t − 15t + 11) dt = t ( t − 5t + 11) + C = x + ( x + x + ) + C ⇒ a = 4; b = 2; c = ⇒ a + b + c = 11 x + dx = a + b ln + c ln 3 2x + + ∫ 2x + Câu 5: [2D3-3] [Sở GD&ĐT Phú Thọ, lần năm 2018] Biết (a, b, c Ô ) T = a + b + c Tính A T = −3 B T = −5 C T = −4 www.thuvienhoclieu.com D T = −7 Trang www.thuvienhoclieu.com Lời giải Chọn A 6 2x + 2x + ∫0 x + x + + dx = ∫0 x + + x + + d ( ) t2 dt t + 5t + 2x + = ∫ với  5t + = ∫ 1 − ( t + 1) ( t + ) 2 4 4  1 16 1 16 ÷ ÷dt = ∫ 1dt + ∫ t + dt − ∫ t + dt = + ln − ln 2  16 a = 2, b = , c = − ⇒ a + b + c = −3 3 Suy I= f ( x ) + f ( − x ) = − cos x hàm số liên tục  thỏa mãn [2D3-3] Cho Tính 3π − ∫ f ( x ) dx 3π tích phân I =3 A B I =4 C I =6 D I =8 Lời giải Chọn C I= 3π − 3π ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx 3π − 3π Ta có − Xét ∫π f ( x ) dx Đặt − f ( x) Câu 6: t = 2x + t = − x ⇒ dt = −dx 0 3π 3π x=− ; Đổi cận: 3π 3π 0 3π 3π ⇒t = 2 ; x =0⇒t =0 ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( −t ) dt = ∫ f ( −t ) dt = ∫ f ( − x ) dx Suy www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com f ( x ) + f ( − x ) = − cos x ⇔ 3π 3π 0 ∫ ( f ( x ) + f ( − x ) ) dx = ∫ − cos xdx Theo giả thiết ta có: ⇔ ⇔ 3π 3π 3π 0 ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( − x ) dx = ∫ 3π π 3π 3π 0 ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 2∫ sin x dx − ∫ sin x dx ⇔ sin x dx − 3π − ∫ f ( x ) dx = 3π f ( x) Câu 7:[SỞ GD VŨNG TÀU-LẦN 2-NĂM 2018] Hàm số liên tục 2017 ∫ f (2018 − x) = f ( x) ∀x ∈ [1; 2018] , 2017 f ( x)dx = 10 A I = 10100 B 1;2018 I= Tính I = 20170 C ∫ I = 20180 x f ( x) dx D I = 10090 Lời giải Chọn.D t = 2018− x ⇒ dt = −dx Đặt x = 1⇒ t = 2017, x = 2017 ⇒ t = 1 I =− ∫ 2017 (2018− t )f (2018− t )dt = 2017 (2018− t )f (t )dt 2017 2017 1 = 2018 ∫ f (x )dx − ∫ ∫ xf (x )dx ⇒ I = 2018.10 − I ⇒ I = 10090 www.thuvienhoclieu.com Trang : www.thuvienhoclieu.com π f ( x) Câu 8:[2D3-3] Hàm số liên tục f (π − x ) = f ( x ) ∀x ∈ [0; π ] , ∫ f ( x )dx =  0;π  π : Tính π I = ∫ x f ( x) dx I= A π I= B π2 I= C Lời giải π I= D π2 Chọn.D t = π − x ⇒ dt = −dx Đặt x = 0⇒ t = π , x = π ⇒ t = 0 I = − ∫ (π − t )f (π − t )dt π π = ∫ (π − t )f (t )dt π π 0 = π ∫ f (x )dx − ∫ xf (x )dx π π2 ⇒ I =π −I ⇒ I = b f ( x) Câu 9:[2D3-3] Hàm số liên tục a;b ∫ f ( x)dx = a + b f (a + b − x) = f ( x ) ∀x ∈ [a; b] : a ; b I = ∫ x f ( x)dx a Tính ( a + b) I= A ( a + b) I= B ( a + b) I= C Lời giải ( a + b) I= D 2 Chọn.D t = a + b − x ⇒ dt = −dx Đặt www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com x = a ⇒ t = b, x = b ⇒ t = a a I = − ∫ (a + b − t )f (a + b − t )dt b b = ∫ (a + b − t )f (t )dt a b b a a = (a + b)∫ f (x )dx − ∫ xf (x )dx ⇒ I = (a + b).(a + b) − I ⇒ I ( a + b) = 2 [ 1; 2] y = f ( x) Câu 10: [2D3-3] [Chuyên ĐH Vinh lần – 2018] Cho hàm số f ( 1) = thỏa mãn A có đạo hàm liên tục f ( x ) = x f ′ ( x ) − x3 − 3x f ( 2) Tính giá trị B 20 C 10 D 15 Lời giải Chọn B ∀x ∈ [ 1; 2] Cách 1: + : f ( x ) = x f ′ ( x ) − x − 3x ⇔ ′ f ′( x) f ( x)  f x − = 2x +  ( ) ÷ = 2x + x ⇔ ⇔ x x Vậy ′  f ( x) f x ∫  ( ) x ÷ dx = ∫ ( x + 3) dx ⇒ x = x + 3x + C f ( 1) = ⇒ C = + Vì f ( x) f ′( x) = − 2x − x2 x f ( x ) = x + x ⇒ f ( ) = 20 Do www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Cách 2:  f ( x)  ⇒ x ′ ′ ÷ = ( x + 3x )   f ( x)  ∫ ⇒ 1 x Từ giả thiết f ( x ) = xf ′ ( x ) − x − 3x ⇒ xf ′ ( x ) − f ( x ) = 2x + x2 ′ dx = ( x + 3x ) ′ dx f ( ) − f ( 1) = x + 3x ÷ ∫  ⇒ 1 ( ) ⇒ f ( ) = 20 Nhận xét: Đặc điểm chung toán từ khai thác đạo hàm thương, tích hàm đạo hàm hàm hợp Ta nêu số dạng tổng quát sau: [ a; b] , g ( x ) ≠ 0, ∀x ∈ [ a; b] g ( x) ,u ( x) , v ( x) 1) Cho trước hàm có đạo hàm liên tục [ a; b] f ( x) hàm có đạo hàm liên tục thỏa mãn: f ( x ) g ′ ( x ) + f ′ ( x ) g ( x ) = u ( x ) v′ ( x ) + u ′ ( x ) v ( x ) Khi đó, ( f ( b) − f ( a ) = f ( x) g ( x) )′ = ( u ( x) v ( x) )′ ⇒ u ( b) v ( b) u ( a ) v ( a ) − g ( b) g ( a) [ a; b ] , g ( x ) ≠ 0, ∀x ∈ [ a; b] g ( x) ,u ( x) 2) Cho trước hàm có đạo hàm liên tục [ a; b] f ( x) có đạo hàm liên tục Khi đó, f ′ ( x ) g ( x ) − f ( x ) g ′ ( x ) = u′ ( x ) g hàm liên tục [ a; b ] g ( x) , u ( x) , v ( x) có đạo hàm liên tục [ a; b] thỏa mãn: ( x) thỏa mãn:  f ( x ) ′ ′  ÷ ÷ = u ( x) g x ( )   ⇒ f ( b) − f ( a) = u ( b) g ( b) − u ( a ) g ( a ) 3) Cho trước hàm hàm f ( x) hàm u ′ ( x ) f ′ ( x ) f ( u ( x ) ) = v′ ( x ) g ′ ( x ) g ( v ( x ) ) ( f ( u ( x) ) ) ′ = ( g ( v ( x) ) ) ′ ⇒ f ( u ( b) ) − f ( u ( a) ) = g ( v ( b) ) − g ( v ( a ) ) www.thuvienhoclieu.com Khi đó, Trang có đạo www.thuvienhoclieu.com v1 ( t ) = 7t ( m/s ) Câu 11: [2D3-3] Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần với vận tốc Đi 5( s) , người lái xe phát chướng ngại vật phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần ( a = −70 m/s ) S ( m) với gia tốc Tính quãng đường chuyển bánh dừng hẳn S = 87,50 ( m ) A S = 94, 00 ( m ) B ô tô từ lúc bắt đầu S = 95, 70 ( m ) C S = 96, 25 ( m ) D Lời giải Chọn D v1 ( 5) = 35 ( m / s ) Vận tốc ô tô thời điểm bắt đầu phanh là: v2 ( t ) = −70t + C Vận tốc chuyển động sau phanh là: Do v2 ( ) = 35 ⇒ C = 35 ⇒ v2 ( t ) = −70t + 35 v2 ( t ) = ⇒ −70t + 35 = ⇒ t = Khi xe dừng hẳn tức S ( m) Quãng đường ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh dừng hẳn là: 0 S ( m ) = ∫ 7t dt + ∫ ( −70t + 35 ) dt = 96, 25 ( m ) ∫ ( x − 1) ln xdx = a ln + b ( a; b Ô ) Cõu 12: [2D3-2] Gi sử A , B Tính C a+b D Lời giải Chọn D Đặt www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com  du = dx u = ln x   ⇒ x    dv = ( x − 1) dx v = x − x 2 x − x = ln −  x − x     ÷ = ln − ∫1 ( x − 1) ln xdx = = ( x − x ) ln x  − ∫1 x dx  1 2 2 b=− Vậy Câu 13: 2 nên a=2 a +b = [2D3-3] [Chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM - năm 2018] x3 + 3x ∫0 x + 3x + dx = a + b ln + c ln Biết A a, b, c với S = 515 B S = 164 số hữu tỉ , tính C S = 436 S = 2a + b + c D S = −9 Lời giải Chọn A I =∫ Xét : 1  x + 3x 10 x +  −4 14   dx = x − + dx = x −3+ + dx   ∫ ∫  x + 3x + x + x +  ( x + 1) ( x + )    1 x2 1 I= − 3x − ln x + + 14 ln x + = − − ln + 14 ln − 14 ln 2 −5  a =  −5 I= − 18ln + 14 ln ⇒ b = −18 ⇒ S = 2a + b + c = 515 c = 14   www.thuvienhoclieu.com Trang 10 , www.thuvienhoclieu.com +) Chọn S 1 1− 1 x = −1 + = log + =− + 2 ln 2 ln 2 ln 2 Câu 159: Cho hàm số Tiếp tuyến d A phẳng giới hạn y = ax + bx + c d cắt ( C) , đồ thị ( C) ( C) có đồ thị ( C) A , biết ( C) qua điểm A ( −1; ) điểm có hồnh độ 2, diện tích hình hai đường thẳng x = 0; x = có diện tích 28 (phần gạch chéo hình vẽ) Diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng d , đồ thị ( C) hai đường thẳng x = −1; x = A B C D Lời giải Chọn A +) Điểm A ( −1;0 ) thuộc đồ thị +) Phương trình tiếp tuyến ( C) ⇒ a +b+ c = A ( −1; ) ( d ) : y = y ' ( 1) ( x + 1) ⇔ y = ( −4a − 2b ) ( x + 1) www.thuvienhoclieu.com Trang 117 www.thuvienhoclieu.com +) Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị d C ( ) ( −4a − 2b ) ( x + 1) = ax + bx + c ( *) +) Mà x = 0, x = +) Có +) Từ nghiệm (*) suy −4a − 2b = c ( 1)  −12a − 6b = 16a + 4b + c 32 28 28 ( 2) = ∫ ( −4a − 2b ) ( x + 1) − ax − bx − c  dx ⇔ ( −4a − 2b ) − a − b − 2c = 3 5 ( 1) , ( ) ta a = 1, b = −3, c = +) Vậy diện tích cần tính suy y = x − 3x + ∫ 2x + − x + x − dx = −1 Câu 160: Cho parabol hạn A ( P) ( P ) : y = x2 hai điểm đường thẳng B AB Chọn S= A, B thuộc ( P) A cho AB = Diện tích hình phẳng giới đạt giá trị lớn bằng: C D Lời giải Chọn C www.thuvienhoclieu.com Trang 118 www.thuvienhoclieu.com +) Gọi đường thẳng d : y = ax + b Xét phương trình hồnh độ giao điểm Đường thẳng cắt ( P) hai điểm phân biệt Gọi hai nghiệm phương trình Gọi giao điểm Ta có: d ( P) ( P) A, B x1 = x − ax − b = ∆ = a + 4b > Khi ta có  x1 + x2 = a   x1.x2 = −b A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 2 2 AB = ⇔ ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) = ⇔ ( x2 + x1 ) − x1 x2  + a ( x2 + x1 ) − x1 x2  =     a +1 Diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng S =∫ là: d x1 , x2 ; ( x1 < x2 ) ⇔ ( a + 4b ) + a ( a + 4b ) = ⇔ a + 4b = x2 x − ax − b dx = ∫ x2 x1 d ( *) là: ( P) x2  ax x3  ax + b − x dx = + bx − ( )  ÷ x  a ax22 x  ax x3  x2 + x x + x2  + bx2 − −  + bx1 − ÷ = ( x2 − x1 )  ( x2 + x1 ) + b − 2   3 2  = ( x2 − x1 )  a2 a2 + b  a + 4b + b − = a + b = 2   Vì a + ≥ 1, ∀a ⇒ nên (a + 1) ≤1 S≤ ( a + 4b ) 3    ÷ a +1   = = (a www.thuvienhoclieu.com Trang 119 + 1) www.thuvienhoclieu.com Câu 161: [THPT Chuyên Trần Phú, Hải Phịng, lần 2, 2018] Thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường A V= π y , y = − x + 2, x = x= B V= π quay quanh C có giá trị kết sau Ox 32 V = π 15 D 11 V= π Lời giải Chọn C Ta có  x2 = y x= y⇒ x ; y ≥ Phương trình hồnh độ giao điểm  x = (TM ) x2 = − x + ⇔   x = −2 ( L) Thể tích cần tìm là: 32 V = π ∫  ( − x + ) − x  dx = π   15 Câu 162: Một mảnh vườn hình elip có trục lớn 100 m , trục nhỏ 80 m chia thành phần đoạn thẳng nối hai đỉnh liên tiếp elip Phần nhỏ trồng phần lớn trồng rau Biết lợi nhuận thu 2000 m trồng 4000 m trồng rau Hỏi thu nhập từ mảnh vườn bao nhiêu? (Kết làm trịn đến hàng nghìn ) A 31904000 B 23991000 C 10566000 D 17635000 Lời giải Chọn B www.thuvienhoclieu.com Trang 120 www.thuvienhoclieu.com Chứng minh: Diện tích hình phẳng giới hạn elip : ( E) 2 (với a>b>0 x y + =1 a b Thật vậy, phần đường elip nằm trục hồnh có phương trình Do y = b 1− trục đối xứng elip ( E) nên diện tích hình phẳng giới hạn elip x a2 ( E) ) π ab Ox, Oy a S = 4∫ b − Đặt x = a sin t với Xét mảnh vườn:  π π t ∈ − ;   2 ta Sc = Diện tích trồng rau là: π 40.50 − S ∆OAB = ( π − ) 500 ( m ) ( π − ) 500.2000 + ( 3π + ) 500.4000 ≈ 23991000 cm cầu độ dài trục lớn, trục nhỏ a π ( cm3 ) b với B a, b 36 Hạt khối trịn xoay sinh hình Elip quay quanh đường thẳng nối hai tiêu điểm = π ab S = 4b ∫ − sin td ( a sin t ) = 4ab ∫ cos tdt Câu 163: Một đào hình cầu có đường kính 97 π S r = π 40.50 − ( π − ) 500 = ( 3π + ) 500 Thu nhập từ mảnh vườn là: A π x2 dx a2 a = 50, b = 40 Diện tích trồng là: đào , Biết tâm Elip trùng với tâm khối F1 F2 , Thể tích phần cùi (phần ăn được) 4cm cm số thực C tối giản, a b www.thuvienhoclieu.com a −b D 103 Trang 121 www.thuvienhoclieu.com Lời giải Chọn A Chọn hệ trục tọa độ Ox Oxy cho tâm Elip trùng với gốc tọa độ Khi phương trình Elip x2 y + =1 , xét O , hai tiêu điểm nằm trục x2 y = 14 Thể tích khối trịn xoay quay Elip quanh trục lớn là:  x2  V1 = 2π ∫ y dx = 2π ∫ 1 − ÷dx = π 4  Thể tích đào hình cầu V = π 33 = 36π Do thể tích phần cùi đào 100 V − V1 = π Do Câu 164: Trong mặt phẳng cho đường Elip có độ dài trục lớn đường tròn tâm O đường kính BB ' a − b = 97 AA ' = , độ dài trục nhỏ BB ' = ; hình vẽ Tính thể tích vật thể trịn xoay có cách cho miền hình phẳng giới hạn đường Elip đường trịn ( phần hình phẳng tơ đậm hình ve) quay xung quanh trục www.thuvienhoclieu.com AA ' Trang 122 www.thuvienhoclieu.com A 36π B 12π C 16π D 64 π Lời giải Chọn B Gắn hệ trục toạ độ Oxy Phương trình elip cho x2 y + =1 16 O tâm đường tròn, , xét y = 1− x 16 Thể tích khối trịn xoay sinh quay Elip quanh trục Thể tích khối cầu là: V = π 33 = 36π Ox là:  x  V1 = 2π ∫ 1 − ÷dx = 48π  16  Suy thể tích khối trịn xoay cần tìm là: Câu 165: Từ tơn hình chữ nhật , A, A ' ∈ Ox B, B ' ∈ Oy ABCD V − V1 = 12π với 55π AB = 30 cm, AD = cm Người ta cắt miếng tơn theo đường hình sin hình vẽ bên để hai miếng tơn nhỏ Biết AM = 20 cm CN = 15 cm BE = 5π cm www.thuvienhoclieu.com Trang 123 , , CN = 15 cm BE = 5π cm quanh trục A AD 81788cm www.thuvienhoclieu.com Tính thể tích lọ hoa tạo thành cách quay miếng tôn lớn (kết làm tròn đến hàng trăm) B 87388cm C 83788cm D 7883cm Lời giải Chọn C Chọn hệ trục Ta có Oxy BE = 5π cho , , A ≡ O D ∈ Ox B ∈ Oy suy hàm số tuần hồn với chu kì Suy phương trình đồ thị hình Do đồ thị hình sin qua Sin M ( 0; 20 )  1   a sin  10 ÷+ b = 20  a = 10    ⇔  b = 20  a sin  55π  + b = 15  ÷   10  T = 20π cần tìm có dạng: ,  55π  N ;15 ÷    x y = a sin  ÷+ b  10  nên ta có: www.thuvienhoclieu.com Trang 124 www.thuvienhoclieu.com Ta có phương trình đồ thị hình sin cần tìm Thể tích cần tìm là: 55π π∫  x y = 10sin  ÷+ 20  10     x 10 sin  10 ÷+ 20 ÷ dx ; 83788 cm     Câu 166: [THPT CHUYÊN LQĐ, LAI CHÂU, lần 1, 2018] Một vật chuyển động bốn với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t ( h) có đồ thị vận tốc hình vẽ bên Trong khoảng thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường parabol có đỉnh I (2;9) trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian lại vật chuyển động chậm dần Tính quãng đường S mà vật di chuyển A S = 23, 71 km ( kết làm tròn đến hàng phần trăm) B S = 23,58 km C S = 23,56 km D S = 23, 72 km Lời giải Chọn A Với t∈[ 0;1] , gọi v(0) = 4; v(2) =9; v(t ) = at +bt + c Ta có : hồnh độ đỉnh parabol nên ta có hệ phương trình: www.thuvienhoclieu.com Trang 125 www.thuvienhoclieu.com   a =−  c=4   4a + 2b + c =9 ⇔  b =5   c =4 b  − =2  2a   Quãng đường vật khoảng thời gian từ 73   S1 = ∫  − t +5t + ÷dt = km 12  0 Với t∈(1; 4], gọi v(t ) = mt + n 31   m + n = m = − ⇔   4m + n =  n = : đến : Ta có hệ phương trình : Quãng đường vật khoảng thời gian từ đến 141   S2 = ∫  − t + ÷dt = km  1 Quãng đường S mà vật di chuyển : Câu 167: Biết diện tích hình phẳng giới hạn đường π π  a∈ ;  4 2 A 7   ;1÷  10  ( −3 + − B ) hỏi số  51 11   ; ÷  50 10  a S = S1 + S = 23, 71 km y = sin x , y = cos x , x = 0, x=a thuộc khoảng sau đây? C  11   ; ÷  10  D  51  1; ÷  50  Lời giải www.thuvienhoclieu.com Trang 126 với www.thuvienhoclieu.com Chọn B Diện tích hình phẳng giới hạn đường , , y = sin x y = cos x x = 0, x = a a S = ∫ sin x − cos x dx π π a a = ∫ sin x − cos x dx + ∫ sin x − cos x dx = ∫ ( cos x − sin x ) dx + ∫ ( sin x − cos x ) dx π π π a = ∫ ( cos x − sin x ) dx − ∫ ( cos x − sin x ) dx = − − ( sin x + cos x ) a π = 2 − − cos a − sin a π Theo ta có: ( −3 + ) − = −2 + − cos a − 2sin a π +1 5π  ⇔ sin  a + ÷ = = sin 4 2 12  π 7π π 51 11 ⇒a+ = ⇔ a = ≈ 1, 047 ⇒ a ∈  , ÷ 12  50 10  Câu 168: (THPT Nguyễn Đăng Đạo – Bắc Ninh lần 3-2018) Cho mảnh vườn hình chử nhật ABCD có chiều rộng 2m, chiều dài gấp ba chiều rộng Người ta chia mảnh vườn cách dùng hai đường parabol, đường parabol có đỉnh trung điểm cạnh dài qua hai mút canh dài đối diện Tính tỉ số diện tích phần mảnh vườn nằm miền hai parabol với diện tích phần cịn lại A B C 3 D 2+3 Lời giải Chọn D Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ: www.thuvienhoclieu.com Trang 127 www.thuvienhoclieu.com Ta lập phương trình parabol y = x2 y = − x2 + miền hai parabol hình phẳng giới hạn đường diện tích mảnh vườn nằm hai parabol là: Khi mảnh vườn nằm y = x2 y = − x2 + Khi S = ∫ (− x + 2) dx = m Diện tích hình chử nhật là: 12m Khi tỉ số diện tích phần mảnh vườn nằm miền hai parabol với diện tích phần cịn lại là: 2+3 = 12 − Câu 169: Cho hình phẳng y = k ( < k < 16 ) S1 = S (H) giới hạn đường chia hình (H) y = x , y = 0, x = 0, x = thành hai phần có diện tích S1 , S2 Đường thẳng hình vẽ Tìm www.thuvienhoclieu.com Trang 128 k để www.thuvienhoclieu.com A B C D Lời giải Chọn D Xét phương trình x = k ⇔ x = k ∈ ( 0; ) Khi S1 = ∫ x − k dx = k ∫(x k S = ∫ x dx − S1 = x  − k ) dx =  − kx ÷   = k 64 k k − 4k + 3 64 − S1 Theo giả thiết ta có S1 = S ⇔ S1 = 64 32 32 − S1 ⇔ S1 = ⇔ k k − 4k + = ⇔ k = 3 3 Câu 170: Gọi (H) hình phẳng giới hạn đồ thị (P) hàm số thẳng y = m, y = n y = x − x2 trục hoành Hai đường chia hình (H) thành ba phần có diện tích Tính Q = (9 − m)3 + (9 − n)3 www.thuvienhoclieu.com Trang 129 www.thuvienhoclieu.com A Q = 405 B Q = 409 C Q = 407 Câu 171: Cho hình cong (H) giới hạn đường D Q = 403 ; y = x x +1 y=0 ; x=0 1< k < S2 Để x= Đường thẳng x=k với chia hình (H) thành phần có diện tích S1 = 6S k S1 gần A 1,37 B 1,63 C 0,97 D 1,24 Câu 172: Cho khối trụ có chiều cao độ dài trục lớn nửa tích 10 V2 20 Cắt khối trụ mặt phẳng ta thiết diện hình elip có Thiết diện chia khối trụ ban đầu thành hai nửa, nửa tích V1 , Khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần điểm thuộc thiết diện xa đáy tới đáy www.thuvienhoclieu.com 14 Tính tỉ số V1 V2 Trang 130 A 11 20 www.thuvienhoclieu.com B C 9 11 20 D 11 Lời giải Chọn B Ta có cơng thức tính nhanh khối trụ cụt có bán kính Theo ta có h1 = 8; h2 = 14 R h + h   V = π R2  ÷   , thiết diện hình elip có độ dài trục lớn Ta dễ dàng tính bán kính khối trụ 10 R = 10 − ⇒ R = Khi ; V ⇒ V1 = V − V2 = 144π V = π 20 = 320π  + 14  ⇒ = V2 = π 42  ÷ = 176π V2 11   www.thuvienhoclieu.com Trang 131