ĐẠI SỐ Ky II I. PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A. Phương trình bậc nhất hai ẩn ( 0ax by c a+ = ≠ 0)b ≠ Phương trình luôn có vô số nghiệm. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi đường thẳng ax + by = c B. Phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 1) Phương pháp thế: *Phương pháp: Tìm x theo y hoặc y theo x trong một phương trình của hệ rồi thay thế vào phương trình còn lại. 2) Phương pháp cộng đại số Bước 1: Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình đã cho để được một phương trình mới. Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ và giữ nguyên phương trình kia. *Phương pháp: Biến đổi hai phương trình của hệ sao cho hệ số của x hoặc y trong hai phương trình đối nhau. 3) Phương pháp đặt ẩn phụ: *Phương pháp: Đặt ẩn phụ rồi biến đổi hệ phương trình đã cho thành hệ phương trình mới, sau đó giải bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số. C. Phương pháp giải hệ phương trình bằng đồ thị Phương pháp: Vẽ đồ thị của hai phương trình trên cùng một hệ trục toạ độ a) Nếu đồ thị của hai phưong trình cắt nhau tại một điểm thì toạ độ giao điểm là nghiệm của hệ. b) Nếu đồ thị của hai phương trình không cắt nhau thì hệ phương trình vô nghiệm. c) Nếu đồ thị của hai phương trình trùng nhau thì hệ phương trình có vô số nghiệm. D. Phương pháp giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: Bước 1: Lập hệ phương trình: - Chọn hai ẩn (Thường là x và y) - Nêu rõ đơn vị cho ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn. - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết. - Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại đại lượng. Bước 2: Giải hệ phương trình trên Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận. Chú ý: *Loại toán chuyên động: S = v.t S: là quãng đường, đơn vị km (hoặc m) v: là vận tốc, đơn vị km/h (hoặc m/s) t: là thời gian, đơn vị giờ (h) (hoặc giây (s) ) Ngoài ra, cần đọc kỹ đề để hiểu được chuyển động của các động tử là chuyển động cùng chiều hay ngược chiều, xuất phát cùng một lúc hay không cùng một lúc. Có thể vẽ sơ đồ hoặc lập bảng để hình dung bài toán dễ hơn: + Nếu động tử chuyển động trên dòng nước chảy thì: v xuôi dòng = v động tử + v dòng nước v ngược dòng = v động tử - v dòng nước * Loại toán về công việc đồng thời (Hoặc các vòi nước chảy) Trong loại toán này, khối lượng công việc tương tự như quãng đường trong toán chuyển động. Thời gian có ý nghĩa như thời gian trong toán chuyển động. Năng suất làm việc của mỗi đội (Hoặc năng suất chảy của vòi nước) có ý nghĩa tương tự như vận tốc của các động tử trong toán chuyển động E. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax 2 (a ≠ 0) Phương pháp: Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số Bước 2: Nêu tính chất biến thiên (Đồng biến, nghịch biến, và tại x = 0) Bước 3: Lập bảng giá trị. Bước 4: Dựa vào bảng giá trị vẽ đồ thị Bước 5: Nhận xét đồ thị vẽ được: + Trường hợp a > 0: Đồ thị hàm số y = ax 2 là một Parapol có đỉnh O(0;0) cực tiểu, Parapol có bề lõm quay về phía y dương, và nhận trục Oy làm trục đối xứng. 1 + Trường hợp a < 0: Đồ thị hàm số y = ax 2 là một Parapol có đỉnh O(0;0) cực đại, Parapol có bề lõm quay về phía y âm, và nhận trục Oy làm trục đối xứng. F. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI: ax 2 + bx +c = 0 1) Phương pháp giải theo phương trình tích: Có thể biến đổi tương đương để phương trình bậc hai thành phương trình tích ( tích các thừa số bậc nhất). Để giải phương trình :f(x) = ax 2 + bx + c = 0 , ta biến đổi phương trình về dạng q(x).g(x) = 0 trong đó q(x), g(x) là các đa thức bậc nhất, rồi giải các phương trình này để tìm nghiệm của phương trình đã cho: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 q x f x q x g x g x  = = ⇔ = ⇔  =   Chú ý: Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (lớp 8) 2) Phương pháp dùng công thức nghiệm: Bước 1: Lập biệt số 2 4 = − V b ac Bước 2: Xét dấu của V : * Nếu V > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: 1 2 ; 2 2 b b x x a a − + − + = = V V * Nếu V = 0 thì phương trình có hai nghiệm kép: 1 2 2 b x x a − = = * Nếu V < 0 thì phương trình vô nghiệm 3)Phương pháp dùng công thức nghiệm thu gọn Bước 1: + Xác định b’: Ta có b = 2b’ 2 '⇒ = b b +Lập biệt số thu gọn: 2 ' 'b ac = − V Bước 2: Xét dấu của 'V : * Nếu 'V > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: 1 2 ' ' ' ' ; − + − + = = V Vb b x x a a * Nếu 'V = 0 thì phương trình có hai nghiệm kép: 1 2 'b x x a − = = * Nếu 'V < 0 thì phương trình vô nghiệm 4) Tính nhẫm nghiệm của phương trình bậc hai: a) Biết S = x 1 + x 2 = b a α β − = + ; P = x 1 .x 2 = . c a α β = Suy ra: x 1 = α và x 2 = β b) Biết được: a + b + c = 0 Suy ra: x 1 = 1 ; x 2 = c a c) Biết được: 0a b c − + = Suy ra: 1 2 1 ; c x x a − = − = Chú ý: So sánh a + c với b * Nếu a + c = b thì sử dụng 0a b c − + = * Nếu a + c và b là hai số đối nhau thì sử dụng a + b + c = 0 5) Phương pháp đồ thị: Phương pháp: Tách phương trình bậc hai thành hai phần ở hai vế khác nhau: Một vế có dạng: y = ax 2 (D) Một vế có dạng: y = ax + b (P) Sau đó vẽ đồ thị của hai hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ. a) Nếu đồ thị của đường thẳng (D) cắt đồ thị của parapol (P) thì hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình đã cho. b) Nếu đồ thị của đường thẳng (D) tiếp xúc đồ thị của parapol (P) thì hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình đã cho. 2 c) Nếu đồ thị của đường thẳng (D) không cắt đồ thị của parapol (P) thì pt đã cho vô nghiệm. Chú ý: Có thể sử dụng phương pháp trên để giải các bài toán về sự tương giao giữa đường thẳng(D) và Parapol (P): {Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng (D) cắt parapol (P) tại hai điểm phân biệt hoặc tại một điểm(Tiếp xúc) hoặc đường thẳng (D) không cắt parapol (P)} (D): y = a 1 x + b 1 (P): y = a 2 x 2 Lược giải: Bước 1: Phương trình hoành độ giao điểm giữa (D) và (P) là: a 2 x 2 = a 1 x + b 1 ⇔ ax 2 + bx + c = 0 (1) {Phương trình (1) có chứa tham số m} Bước 2: * (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ⇔ V > 0 Suy ra giá trị của m * (D) tiếp xúc với (P) ⇔ V = 0 Suy ra giá trị của m * (D) không cắt (P) ⇔ V < 0 Suy ra giá trị của m Bước 3: Kết luận 6) Phương trình bậc hai có tham số m Dạng: ax 2 + bx + c = 0 (1) Phương pháp: tìm giá trị của tham số m thoả mãn điều kiện bài toán. Lập biệt số V hoặc ' V của phương trình bậc hai đã cho theo m a) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ V ≥ 0 (hoăc ' V ≥ 0) Từ đó suy ra giá trị tham số m b) Phương trình (1) có nghiệm kép ⇔ V =0 (hoăc ' V = 0) Từ đó suy ra giá trị tham số m c) Phương trình (1) vô nghiệm ⇔ V < 0 (hoăc ' V < 0) Từ đó suy ra giá trị tham số m 7) Giải và biện luận (về số nghiệm) của phương trình bậc hai Phương pháp: Bước 1: Lập biệt số V hoặc 'V của phương trình bậc hai đã cho theo m Bước 2: Biện luận trong 3 trường hợp của V (hoặc ' V ) a) Nếu V > 0 ( hoặc ' V > 0 ) : Suy ra m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Tính nghiệm phân biệt đó theo m b) Nếu V = 0 ( hoặc ' V = 0 ) : Suy ra m để phương trình có nghiệm phân kép. Tính nghiệm kép đó theo m c) Nếu V < 0 ( hoặc ' V < 0 ): Suy ra m để phương trình vô nghiệm G.PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PT BẬC HAI 1) Phương trình có ẩn ở mẫu: Bước 1: Thu tất cả về một vế, vế còn lại bằng 0 Bước 2: Đặt điều kiện các mẫu khác 0. Từ đó suy ra điều kiện của ẩn trong phương trình Bước 3: Giải phương trình bằng cách quy đồng mẫu thức Bước 4: Đối chiếu với điều kiện của ẩn và kết luận nghiệm 2) Phương trình trùng phương: ax 4 + bx 2 + c = 0 (a ≠ 0) (1) Bước 1: Đặt x 2 = t, t ≥ 0 Bước 2: Giải phương trình bậc hai trung gian. Ta có: Phương trình (1) ⇔ at 2 + bt + c = 0 (2) Bước 3: Với mỗi giá trị không âm của t, ta giải phương trình x 2 = t để tìm x Lược giải: * Nếu V < 0 thì phương trình (2) vô nghiệm ⇒ phương trình (1) vô nghiệm * Nếu V = 0 thì phương trình (2) có nghiệm kép: t 0 b a − = + S < 0 ⇒ t 0 < 0: phương trình (1) vô nghiệm + S = 0 ⇒ t 0 = 0: phương trình (1) có nghiệm kép x = 0 3 + S > 0 ⇒ t 0 > 0 : phương trình (1) có hai nghiệm kép x 0 t= ± * Nếu V > 0 thì pt (2) có hai nghiệm phân biệt: 1 2 ; 2 2 b b t t a a − + − − = = V V + P < 0 ⇒ t 1 < 0 < t 2 : Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x 2 t = ± + 0 0 P S =  ⇒  <  t 1 < t 2 = 0 : Phương trình (1) có nghiệm x = 0 + 0 0 P S    = ⇒ > 0 = t 1 < t 2 : Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt: x = 0 ; x 2 t = ± + 0 0 P S >  ⇒  <  t 1 < t 2 < 0 : Phương trình (1) vô nghiệm + 0 0 P S >  ⇒  >  0 < t 1 < t 2 : Phương trình (1) có 4 nghiệm: x 1 t = ± ; x 2 t = ± Tóm lại: Phương trình: ax 4 + bx 2 + c = 0 (a ≠ 0) (1) Đặt t = x2 ≥ 0 Phương trình (1) ⇔ at 2 + bt + c = 0 (a ≠ 0) 2 4b ac = − V , b a S − = , c a P = + Phương trình(1) có 4 nghiệm phân biệt 0 0 0 P S   >   >  > ⇔ V + Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt 0 0 0 P S   ⇔ =   >  >V +Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt 0 0 0 S P     ⇔ >    <  =V + Phương trình (1) có 1 nghiệm 0 0 0 0 S P S  =    =   ⇔  =    <    V + Phương trình (1) vô nghiệm ⇔ 0 0 0 0 0 0 < =   <  >   >   <  V V V S P S H. HỆ THỨC VI- ÉT 1) Tính giá trị của biểu thức nghiệm pt bậc hai bằng cách không giải phương trình Phương pháp: Bước 1: Xét biệt số V = b 2 – 4ac > 0 hoặc ' V = b’ 2 – ac hoặc P = ac < 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 Bước 2: Tìm tổng S và tích P của phương trình rồi thay vào biểu thức. Chú ý: Một số biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của phương trình bậc hai 4 Giả sử phương trình bậc hai : ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x 1 , x 2 Ta có các hệ thức sau: a) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2xx x x x x S P+ = + − = − b) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 21 4 4x x x x x x S P− = + − = − c) ( ) ( ) 3 3 3 3 1 2 1 2 1 2 1 2 3 3x x x x x x x x S SP+ = + − + = − d) 1 2 1 2 1 2 1 1 x x S x x x x P + + = = e) ( ) ( ) 3 3 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x x x x x x x x− = − + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 . 4x x x x x x S P P S   = − + − = − −     f) ( ) ( ) 2 4 4 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2x x x x x x S P P + = + − = − − g) 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 x x x x S P x x x x P + − + = = h) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 x x x x x x P S α α α α α α − − = − + + = − + i) ( ) ( ) 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 x x S x x x x P S α α α α α α α α + − − + = = − − − − − + 2) Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x 1 , x 2 Bước 1: Lập tổng S = x 1 + x 2 và tích P = x 1 x 2 Bước 2: Kiểm tra điều kiện: S 2 - 4P ≥ 0 ? Bước 3: + Nếu S 2 – 4P ≥ 0 thì x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình: X 2 – SX + P = 0 + Nếu S 2 – 4P < 0: Không có phương trình nào có hai nghiệm x 1 , x 2 3) Tìm giá trị của tham số m của phương trình bậc hai thoả hệ thức cho trước Bước 1: Lập biệt số V (hoặc ' V ) cho V ≥ 0 hoặc ' V ≥ 0 để suy ra điều kiện tham số m cho phương trình có nghiệm Bước 2: Tìm m trong hệ thức cho trước. Sau đó, chọn giá trị m thích hợp với điều kiện và trả lời. 4) Giá trị lớn nhất: “ Nếu hai số có tổng không đổi thì tích hai số đó lớn nhất khi hai số bằng nhau” Giả sử x 1 + x 2 =s không đổi, còn P = x 1 x 2 thay đổi Do điều kiện: S 2 – 4P ≥ 0 Suy ra P 2 4 S ≤ Vậy maxP = 2 4 S khi và chỉ khi 1 2 2 S x x = = 5) Giá trị nhỏ nhất: “ Nếu hai số dương có tích không thay đổi thì tổng của hai số đó nhỏ nhất khi hai số bằng nhau” Giả sử: x 1 ,x 2 >0 và x 1 x 2 = P không đổi, còn x 1 + x 2 = S thay đổi Do điều kiện: S 2 – 4P ≥ 0 Suy ra: ( ) ( ) 2 2 0S P S P − + ≥ 2 0S P⇒ − ≥ Vậy minS = 2 P khi và chỉ khi : x 1 = x 2 = P 6) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai phụ thuộc tham số m Bước 1: Lập biệt số V (hoặc ' V ) Bước 2: Cho V ≥ 0 (hoặc 'V ≥ 0) để suy ra điều kiện tham số m cho phương trình có nghiệm Bước 3: Gọi x 1 , x 2 là các nghiệm của phương trình. Theo định lý Vi-ét tính ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 x x x x  +     theo m Bước 4: Thay m từ (1) vào (2) ta được hệ thức cần tìm. 7) Phương pháp giải toán bằng cách lập phương trình bậc hai Bước 1: Chọn ẩn, ghi rõ đơn vị và điều kiện của ẩn. Bước 2: Lập phương trình: + Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại lượng đã biết. 5 + dựa vào mối liên hệ giữa các đại lượng để lập phươnh trình. Bước 3: Giải phương trình Bước 4: Đối chiếu với điều kiện ở bước 1 để trả lời 8) Tìm giá trị của tham số m để hai phương trình tương đương: ax 2 + bx + c = 0 (1) a’x 2 + b’x + c’ = 0 (2) Lược giải: * Phương trình (1) tương đương với phương trình (2) ⇔ Hai phương trình vô nghiệm ⇔ 1 2 0 0 <    <   V V * Tồn tại nghiệm x 1 , x 2 của (1) và x 3 , x 4 của (2) để hai phương trình tương đương thì: 1 2 3 4 1 2 3 4 . . x x x x x x x x + = +    =   1 2 1 2 S S P P =   ⇔  =   9) Lập phương trình bậc hai thoả mãn điều kiện của bài toán Gọi x 1 , x 2 là nghiệm của phương trình : ax 2 + bx + c = 0 (1) a) Lập phương trình bậc hai có các nghiệm gấp đôi các nghiệm của phương trình (1): *Gọi y 1 , y 2 là hai nghiệm của phương trình cần tìm. *Tính S và P của phương trình (1) Theo đề, ta có y 1 = 2x 1 và y 2 = 2x 2 Suy ra y 1 + y 2 = 2( x 1 + x 2 ) = 2S y 1 .y 2 = 4x 1 .x 2 = 4P Vậy y 1 ,y 2 là nghiệm của phương trình: y 2 – (y 1 + y 2 )y + y 1 .y 2 = 0 b) Lập phương trình bậc hai có tổng hai nghiệm bằng tích nghịch đảo hai nghiệm của phương trình (1) và có tích hai nghiệm bằng tổng các nghịch đảo của các nghiệm của phương trình (1): 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 . ; .y y y y x x x x + = = + * Tính S và P của phương trình (1) * Tính 1 2 1 2 1 2 1 1 . 1 1 . x x P y y x x = =+ = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 . . x x S y y x x x x P + = + = = * Do đó: y 1 , y 2 là nghiệm của phương trình : y 2 – (y 1 + y 2 )y + y 1 .y 2 = 0 c)Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là : 1 1 1 y x α = − và 2 2 1 y x α = − { α là hằng số } * Tính S và P của phương trình (1) * Tính: ( ) ( ) 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 x x x S y y x x x P S α α α α α α α α α = − + − − + = + = − − − − − − ( ) ( ) 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 . .y y x x x x P S α α α α α α = = = − − − − − − * Do đó: y 1 , y 2 là nghiệm của phương trình : y 2 – (y 1 + y 2 )y + y 1 .y 2 = 0 10) Tìm giá trị tham số m thoả mãn điều kiện về nghiệm của phương trình bậc hai chứa tham số m: ax 2 + bx + c = 0 (1) a) Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu 0 0 0 a P ≠   ⇔ ≥   >  V b) Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu 0 0 0 a P ≠   ⇔ ≥   <  V 6 c) Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu phân biệt 0 0 0 a P ≠   ⇔ >   >  V d) Phương trình có hai nghiệm dương 0 0 0 0 a P S ≠   ≥  ⇔  >   >  V {0 < x 1 ≤ x 2 } e) Phương trình có hai nghiệm âm 0 0 0 0 ≠   ≥  ⇔  >   <  V a P S { x 1 ≤ x 2 < 0 } f) Phương trình (1) có hai nghiệm âm phân biệt 0 0 0 0 ≠   >  ⇔  >   <  V a P S { x 1 < x 2 < 0 } g) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt đều dương 0 0 0 0 ≠   >  ⇔  >   >  V a P S {0 < x 1 < x 2 } h) Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn 0 0 0 0 ≠   ≥  ⇔  <   <  V a P S i) Phương trình (1)có hai nghiệm trái dấu , có giá trị tuyệt đối bằng nhau 0 0 0 0 ≠   ≥  ⇔  <   =  V a P S j) Phương trình (1) có đúng một nghiệm dương Xét các trường hợp: * Trường hợp 1: a = 0 Phương trình (1) có dạng pt bậc nhất → Tìm nghiệm x Kiểm tra nghiệm này có dương hay không . Sau đó kết luận * Truờng hợp 2: a ≠ 0: phương trình (1) là phương trình bậc hai. Muốn xác định tham số m để phương trình có đúng một nghiệm dương, ta xét các khả năng sau: + Phương trình có một nghiệm kép dương 0 0S =  ⇔ →  >  V Tìm m + Phương trình có một nghiệm bằng 0 còn nghiệm kia lớn hơn 0 0 0 0 P S >   ⇔ = →   >  V Tìm m + Phương trình có hai nghiệm trái dấu . 0a c⇔ < → Tìm m Kết hợp 3 khả năng trên → Tìm m Kết luận: Tổng hợp 2 trường hợp chọn giá trị thích hợp của m k) Phương trình (1) có đúng một nghiệm không dương: * Trường hợp 1: a = 0 Phương trình (1) có dạng phương trình bậc nhất → Tìm nghiệm x Kiểm tra nghiệm này có dương hay không . Sau đó kết luận * Truờng hợp 2: a ≠ 0: phương trình (1) là phương trình bậc hai. Muốn xác định tham số m để phương trình có đúng một nghiệm dương, ta xét các khả năng sau: 7 + Phương trình có một nghiệm kép không dương 0 0S =  ⇔ →  <  V Tìm m + Phương trình có một nghiệm bằng 0 còn nghiệm kia nhỏ hơn 0 0 0 0 P S >   ⇔ = →   <  V Tìm m + Phương trình có hai nghiệm trái dấu . 0a c⇔ < → Tìm m Kết hợp 3 khả năng trên → Tìm m Kết luận: Tổng hợp 2 trường hợp chọn giá trị thích hợp của m l) Phương trình (1) có ít nhất một nghiệm không âm * Trường hợp 1: a = 0 Phương trình (1) có dạng phương trình bậc nhất → Tìm nghiệm x Kiểm tra nghiệm này có dương hay không . Sau đó kết luận * Truờng hợp 2: a ≠ 0: phương trình (1) là phương trình bậc hai. Phương pháp 1: Phương trình (1) có ít nhất một nghiệm không âm Phương trình (1) có một nghiệm dương Phương trình (1) có một nghiệm âm và một nghiệm không âm 0 0 0 0 0 S P S ≥   >  ≥   ≤   <  V V ( Giải hai TH tìm m ) Phương pháp 2: Phương trình (1) có ít nhất một nghiệm không âm Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu Phương trình (1) có một nghiệm bằng 0 Phương trình (1) có 2 nghiệm dương Phương pháp 3: Với m (Thoả mãn a ≠ 0 ). Phương trình (1) có nghiệm 0≥⇔ V (Từ đó tìm m) Các nghiệm của phương trình (1) là: ; 1 2 2 2 b b x x a a − + − + = = V V Cho x 1 0≥ (Tìm m) (2) Cho x 2 0 ≥ (Tìm m) (3) Kết hợp (2), (3) và điều kiện của m (Thoả a ≠ 0) Suy ra giá trị tham số m cần tìm Phương pháp 4: Phương trình (1) có hai nghiệm đều âm 0 0 0 P S ≥    ⇔ >   <   V Giải tìm giá trị của m (*) Vậy pt (1) có ít nhất một nghiệm không âm ⇔ m nhận các giá trị trái với giá trị của m ở (*) 8  ⇔    ⇔    ⇔   0 × 0 ×m 0 0 ×m 0 < → = → ≥   > →   >  V P T m P T P T S m m m   ⇔    HÌNH HỌC A. CÁC ĐỊNH NGHĨA: 1. Góc ở tâm : Góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn. 2. Số đo cung: - Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó. - Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 360 0 và số đo của cung nhỏ ( Có chung hai mút với đường tròn). - Số đo của nửa đường tròn bằng 180 0 . 3. Góc nội tiếp: Góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó. 4. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung: Góc có đỉnh tại tiếp điểm, một cạnh là tiếp tuyến và cạnh kia chứa dây cung. 5. Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn. 6. Đường tròn đi qua các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác nội tiếp đường tròn. 7.Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác ngoại tiếp đường tròn. B.CÁC ĐỊNH LÝ: 1. Định lý cộng số đo cung: Nếu C là điểm nằm trên cung AB thì sđ » AB = sđ » AC + sđ » CB 2.So sánh cung: Trong một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau: - Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau. - Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn. 3. Định lý hệ giữa cung và dây: Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau: - Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau và ngược lại. - Cung lớn hơn căng dây lớn hơn và ngược lại. (Trong một đường tròn hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.) 4. Định lý liên hệ giữa đường kính, cung và dây: - Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy. Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây cung ( không phải là đường kính ) thì đi qua điểm chính giữa của cung ấy. - Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại. 5. Định lý góc nội tiếp: Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn. 6. Hệ quả góc nội tiếp: Trong một đường tròn: + Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau. + Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau. + Góc nội tiếp ( nhỏ hơn hoặc bằng 90 0 ) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung. + Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông. 7. Định lý góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung: Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn. 8. Hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung: Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. 9 9.Định lý góc có đỉnh ở bên trong đường tròn: Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn có số đo bằng nửa tổng số đo của hai cung bị chắn. 10. Định lý góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn: Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn có số đo bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị chắn. 11.Quỹ tích (tập hợp) các điểm nhìn một đoạn thẳng cho trước dưới một góc α Không đổi là hai cung chứa góc α dựng trên đoạn thẳng đó (0 0 < α < 180 0 ). 12. Định lý tứ giác nội tiếp: +(Thuận) :Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 0 . + ( Đảo) : Nếu một tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180 0 thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn. 13. Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đường tròn: + Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 0 . + Tứ giác có góc ngoài tải một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. + Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một diểm. Điểm đó gọi là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác. + Tứ giác cá hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α . + Hình thang cân nội tiếp đường tròn có tâm là giao điểm 2 đường trung trực của hai cạnh bên. + Hình vuông , hình chữ nhật nội tiếp đường tròn có tâm là giao điểm hai đường chéo. 14. Định lý đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp: Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp. 15. Độ dài l của một cung n 0 bán kính R: 180 = Rn l π 16. Độ dài đường tròn bán kính R: 2= =C R d π π 17. Diện tích hình tròn bán kính R: 2 =S R π 18. Diện tích hình quạt tròn cung n 0 bán kính R: 2 360 2 quat R n R S l π = = 19. Hình trụ bán kính r, chiều cao h: + Diện tích xung quanh: 2 xq S rh π = + Diện tích toàn phần: 2 2 2 tp S rh r π π = + + Thể tích: 2 V Sh r h π = = ( S là diện tích đáy) 20. Hình nón bán kính đáy r, đường sinh l + Diện tích xung quanh: xq S rl π = + Diện tích toàn phần: 2 2 2 tp S rh r π π = + + Thể tích: 2 ón 1 1 3 3 = = n tru V V r h π 21. Hình nón cụt bán kính đáy r 1 , r 2 , đường sinh l : + Diện tích xung quanh: ( ) 1 2xq S r r l π = + + Thể tích: ( ) 2 2 1 2 1 2 1 3 V h r r r r π = + + 22. Hình cầu bán kính R: + Diện tích mặt cầu: 2 2 4S R d π π = = + Thể tích hình cầu: 3 4 3 V R π = 10 [...]... trng giao cho lp 9A nht 105 kg giy vn Vỡ mi bn gúp nhiu hn ch tiờu c giao l 1 kg Nờn dự cú 4 bn cha np nhng s giy vn ó vt ch tiờu 19 kg Hi lp 9A cú bao nhiờu hc sinh 13 Bi 2: Mt ca nụ xuụi dũng 44 km ri ngc dũng 27 km Ht tt c 3 gi 30 phỳt Bit vn tc thc ca ca nụ l 20 km/h Tớnh vn tc dũng nc Bi 3: Mt ca nụ xuụi dũng mt khỳc sụng di 90 km ri i ngc dũng v 36 km Bit rng thi gian xuụi dũng nhiu hn thi gian... khụng ct (P) c)Tỡm m (d) ct (P) ti hai im phõn bit d) Tỡm m (d) ct (P) ti mt im duy nht e) Xỏc nh to giao im tip xỳc ca (P) v (d) f) Xỏc nh m (P) v (d) cú ớt nht mt im chung g) Xỏc nh to giao im ca (P) v (d) khi m = 3 2 2 Bi 5: Cho (P ) : y = x ; (d) : y = 2x + m 8 ( mlà thamsố ) a) Tỡm to giao im ca (P) v (d) khi m = 5 b) Tỡm m (P) v (d) cú ớt nht mt im chung 2 Bi 6: Trong mt phng to Oxy... trc to b) Tỡm to giao im A v B ca (P) v (d) bng phng phỏp i s c) T A v B v AH xx;BK xx.Tớnh din tớch ca t giỏc AHBK Bi 7: Cho hm s y = ax2 cú th (P) a) Tỡm a bit rng (P) qua A(1 ; 1) V (P) vi a va tỡm c b) Trờn (P) ly B cú honh bng 2 Vit phng trỡnh ca ng thng AB v tỡm to giao im D ca ng thng AB v trc tung c) Vit phng trỡnh ng thng (d) qua O v song song vi AB, xỏc nh to giao im C ca ng thng... Tớnh vn tc ca mi ngi Bi 6: Ch s hng chc ca mt s cú hai ch s ln hn ch s hng n v l 5 Nu i ch hai ch s cho 3 nhau s c mt s bng s cho ban u Tớnh s cho ban u 8 Bi 7: Trong thỏng giờng, hai t sn xut c 720 chi tit mỏy Trong thỏng 2, t 1 vt mc 15%, t 2 vt mc 12%, nờn sn xut c 8 19 chi tit mỏy Tớnh xem trong thỏng giờng mi t sn xut c bao nhiờu chi tit mỏy? Bi 8: Hai i xõy dng cựng lm chung mt cụng vic v d nh... x2 + 4x = 0 c) x 2 9 = 0 d) 4x2 5 = 0 e) x 2 16 = 0 f) x2 4 = 0 g) ( 2x + 1) 2 4 = 0 h) 4x2 4x + 1 = 0 i) x 2 4x + 4 = 5 j) x 2 + 5x + 6 = 0 k) 2x2 x 10 = 0 1 2 3 m) x + x = 0 4 8 n) x 2 6x + 9 = 0 o) 4x2 20x + 16 = 0 ( ) 1 2 5 l) x x + = 0 6 6 2 p) x ( ) 2 + 3 x+ 6 =0 x+2 6 +3= x5 2x 2 2x 3x + 10 x x2 5 2x x + 11x 6 2 = +1 = t) u) v) = x2 x 4 x+ 2 x +1 2x 2 x3 x2 9 III GII V BIN LUN... ti D Chng minh rng: a) Tam giỏc ABD cõn, OE P BD b) Gi I l giao im ca AC v BE CMR: DI AB, DI P Ax c) Tỡm qu tớch ca im D khi C di ng trờn na ng trũn Baứi 9: Cho hai ng trũn (O) v (O) tip xỳc ngoi ti A v mt ng thng (d) tip xỳc vi c hai ng trũn ti B v C, ct tip tuyn ti A M Chng minh rng: a) Tam giỏc ABC vuụng b) OM OM c) Gi E, F ln lt l giao im ca OM v AB, OM v AC Chng minh t giỏc MEAF l hỡnh ch... trờn tia Ax im M ri v tip tuyn MP ct By ti N MON APB a) CMR: b) Chng minh: AM BN = R2 c) Tớnh t s SMON R khi AM = SAPB 2 d) Tớnh th tớch ca hỡnh do na hỡnh trũn APB quay quanh AB sinh ra Baứi 14: BT 41/1 29, 7/134, 15/136 SGK toỏn 9 tp 2 16 ... vuụng gúc vi EN, AF ct (O) ti K a) T giỏc AEBN l hỡnh gỡ? Vỡ sao? b) CM: T giỏc MBFK ni tip 14 ã ẳ c) Cho EF = 10cm, AFE = 30 0 Gi cung ca (O) b chn bi gúc ny l AnE Tớnh din tớch hỡnh qut trũn OEnA Baứi 2: Cho tam giỏc ABC cú gúc B bng 90 0 v cú BC > BA, ng cao BH Trờn na mt phng b AC cha im B, v na ng trũn tõm O ng kớnh CH ct BC ti M, v na ng trũn tõm O ng kớnh HA ct AB ti N Chng minh: a) BMHN l... (P) v (d) trờn cựng mt mt phng to Oxy b) Chng minh rng: (P) v (d) ch ct nhau ti mt im duy nht c) Xỏc nh to giao im gia (P) v (d) Bi 2: Cho (P ) : y = mx2 (m 0) , m l tham s v (d): y = ax + b a) Tỡm a v b bit rng (d) i qua A( 1; 3) v B(2 ;0) b) Tỡm m sao cho (P) tip xỳc vi (d) va tỡm c Tỡm to giao im tip xỳc ca (P) v (d) Bi 3: Cho (P ) : y = x2 ; (d) : y = m x a) V (P) b) Tỡm giỏ tr ca m (d) ct (P)... l 20 km/ h thỡ s n ni sm hn 1 gi nu tng thờm 1h thỡ ngi ú phi bt i vn tc l 10 km/h Tớnh vn tc v thi gian ca ụ tụ Bi 4: Hai ca nụ cựng khi hnh t hai i im A,B cỏch nhau 85 km, i ngc chiu nhau, sau 1 gi 40 phỳt gp nhau Tớnh vn tc thc ca mi ca nụ Bit rng vn tc ca nụ xuụi dũng hn vn tc ca nụ ngc dũng l 9 km/h v vn tc nc l 3 km/h Bi 5: Hai ngi cỏch nhau mt quóng ng AB di 120 km khi hnh cựng m lỳc Nu hai . Hình thang cân nội tiếp đường tròn có tâm là giao điểm 2 đường trung trực của hai cạnh bên. + Hình vuông , hình chữ nhật nội tiếp đường tròn có tâm là giao. PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 Bài 1: Liên đội trường giao cho lớp 9 A nhặt 105 kg giấy vụn. Vì mỗi bạn góp nhiều hơn chỉ tiêu được giao là 1 kg. Nên dù có 4 bạn chưa nộp