Đang tải... (xem toàn văn)
Hệ phương trình vi phân tuyến tính có hệ số hằng số, hay phương trình vi phân hệ động lực, trong các giáo trình đại học được giải theo phương pháp giá trị riêng của ma trận hoặc đưa về một phương trình vi phân cấp cao. Bài này giới thiệu phương pháp giải phương trình vi phân hệ động lực nhờ hàm mũ của toán tử.
TẠP CHÍ ĐẠI HỌC SÀI GÒN Số - Tháng 01/2011 HÀM MŨ CỦA TỐN TỬ VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HỆ ĐỘNG LỰC VÕ XUÂN BẰNG (*) LÊ NGỌC HƯNG (**) TĨM TẮT Hệ phương trình vi phân tuyến tính có hệ số số, hay phương trình vi phân hệ động lực, giáo trình đại học giải theo phương pháp giá trị riêng ma trận đưa phương trình vi phân cấp cao Bài giới thiệu phương pháp giải phương trình vi phân hệ động lực nhờ hàm mũ toán tử ABSTRACT Linear differential equations with constant coefficients or dynamical differential equations, which are basic knowledge for students, can be solved by using the values of matrices or by using advanced differential equations This writing aims to introduce a method of solving dynamical linear differential equations based on the exponential function of operators PHƯƠNG PHÁP HÀM MŨ CỦA TOÁN TỬ (*) (**) Xét hệ phương trình vi phân có hệ số x’ = A.x (1) x’ = ( … exp(T) = eT = +… + Là chuỗi không gian vector L(R ) Coi T ma trận vuông cấp n, I ma trận đơn vị cấp n n ), Ta có tính chất bổ đề sau Bổ đề Tập L(Rn) = {T : Rn + +… x = (x1 x2 x3 … xn) viết theo dạng cột, A = (aij)n =I+ Chuỗi lũy thừa Rn T tốn tử tuyến tính} đồng với tập tất ma trận vuông cấp n ( ma trận tốn tử tuyến tính T sở tắc) Tập đồng với ma trận bảng gồm n số Chuẩn sử dụng chuẩn Euclide Rk Với toán tử T : Rn Rn ta định nghĩa hội tụ tuyệt đối L(Rn) Giả sử P, S, T tốn tử Rn Khi đó: a) Nếu Q = PT P-1 eQ = P.eT P-1 b) Nếu S.T = T.S eS+T = eS eT c) e-S = (eS)-1 d) Nếu n = T = eT = ea (*) ThS, Trường Đại học Giao thông Vận tải Thành phố Hồ Chí Minh (**) ThS, Trường Đại học Sài Gòn Tk k 0 k ! e) Nếu T ma trận chéo: 73 c1 c2 T= 0 ec1 T e = 0 cn ec2 (*) Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính không ecn x’(t) = A.x(t) + B có phương trình vi phân tuyến tính tương ứng x’(t) = A.x(t) n Cho T có trị riêng c T có trị riêng cn eT có trị riêng ec Gọi A toán tử Rn, tức A L(Rn) Ta biểu diễn nghiệm phương trình x’ = A.x (1) dạng hàm mũ toán tử Xét ánh xạ: φ : R → L(Rn), t Vì L(Rn) đồng với nên đạo (3) Định lý Giả sử x0 nghiệm riêng (2) H tập nghiệm (3) Khi tập K nghiệm (2) có dạng K = {x = y + x0 y H} Từ định lý 2, để giải (2) ta cần tìm nghiệm riêng (2) phương pháp biến thiên số etA hàm ánh xạ có nghĩa Khi φ khả vi R φ’(t) = A.et.A = et.A.A Nghiệm (3) có dạng x(t) = et.A.M ) nên tìm nghiệm (2) ( dạng x(t) = et.A.M(t), Đạo hàm x(t) thay vào (2) ta có nghiệm riêng (2) Ta có định lý sau Định lý Giả sử A (2) x0(t) = et.A n L(R ) Khi , Do nghiệm (2) có dạng hệ phương trình vi phân tuyến tính x(t) = et.A VÍ DỤ ÁP DỤNG Ví dụ Giải hệ (I) 2 0 Giải Ta có: A = 2 = 2 2 0 0 2 0 = S + N 0 2 Ta có: S.N = N.S S ma trận đường chéo 74 0 0 N = 0 0 = 0 0 N = 0 0 = 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0= 0 0 Khi etA = et(S+N) = etS.etN e 2t etS = e 2 t 0 tN t2 ; e = I3 + tN + N 2! e 2t 0 0 0 tN e = t 0 0 1 t 0 t2 2 0 0 t t 0 2 0 0 t Nghiệm hệ (I) 2t 2t 2 t e 0 0 m1 e 0 m1 m1e x(t ) tA 2t t m2 e 2t e 2t m2 m1te 2t m2e 2t y (t ) e M e 2t m m m z (t ) 0 e t t t e2t e2t t 2e2t m2te2t m3e2t 2 2 Ví dụ Giải hệ (II) 1 x’(t) = A.x(t) + B(t), A = , B = 1 Giải hệ x’(t) = A.x(t) 75 0 t Ta có nghiệm x(t) = etA.M (M tA e =e t t cos t sin t R2 ) sin t cos t Tìm nghiệm riêng t tA x’(t) = e e sA cos s s ins ds 0 s ins cos s s s B( s)ds e tA t s.s ins etA ds s cos s sin t t cos t etA cos t t sin t cos t sin t sin t t cos t sin t cos t cos t sin t cos t.sin t t cos t sin t.cos t t sin t 2 sin t t cos t cos t t sin t.cos t t 1 t cos t (sin t cos t ) cos t sin t m m1 cos t m2 sin t etA M sin t cos t m2 m1 sin t m2 cos t Vậy nghiệm (II) t x (t ) m1 cos t m2 sin t x(t) = = x2 (t ) 1 t cos t sin t t cos t m1 sin t m2 cos t t m1 cos t m2 sin t = , (m1,m2) 1 t cos t sin t t cos t m1 sin t m2 cos t 76 R2 Ví dụ Giải hệ X’(t) = A.X(t) + B(t) (III) với 1 1 A = 2 , X(t) = 0 2 Trước hết giải hệ nhất: x (t ) y (t ) , X’(t) = z (t ) X’(t) = A.X(t) x '(t ) y '(t ) , B(t) = z '(t ) t sin t (*) Phương trình đặc trưng: 1 PA( ) = 1 1 2 = ( - 1)( - 2)( + 2) 2 0 = 1, = 2, = -2 Ứng với = 1, ta có vector riêng 1 (1, 0, 0) Ứng với = 2, ta có vector riêng (1, 0,1) Ứng với = -2, ta có vector riêng 1 (1,3, 0) Ta có sở R 1 1 gồm vector riêng T = 0 0 V 1 , , 3 Theo phương pháp chéo hóa ma trận, với 1 1 P = 0 , 0 ta có [T] = P-1.A.P Từ 1 P-1 = 0 A = P.[T].P-1 3 etA P.et[T ] P1 77 1 1 , A 0 0 0 0 0 2 t 1 1 e = 0 0 e 2t 0 0 e2t 1 1 = 0 t e 0 0 t 2t (e e ) e t e t e2t e 2t Vậy nghiệm hệ (*) là: X (t) = etA.M, (M t e X (t) = 0 R3 ) t 2t (e e ) e t e t m1 e 2t m2 e2t m3 t t 2 t 2t t m1e m2 (e e ) m3 (e e ) m2 e 2t = 2t m3e Nghiệm riêng hệ (III) X0(t): t X0(t) = etA e SA B( S )ds s e t = etA 0 s 2s (e e ) e2 s e s 2s s.e s ds e2 s s ins s s 2s 2 s s (e e ) s ins.(e e ) t tA s.e s = e ds 2 s 0 s ins.e 78 2t 1 1 t e (2t 1) et (cos t sin t ) e 2t (cos t sin t ) t t 2t 2t t e (t 1) 12 e (e e ) e e 1 X0(t) = 2 t 2t e e (2t 1) 4 0 e 2t 2t e (cos t sin t ) 3 Từ nghiệm hệ (III) là: X(t) = X (t) + X0(t) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CAO HỆ SỐ HẰNG Đối với phương trình vi phân tuyến tính cấp cao có hệ số số ta đưa hệ phương trình vi phân không cấp có hệ số số Từ nghiệm hệ ta tìm nghiệm phương trình Cách làm sở lý luận để đưa đến dạng nghiệm phương trình vi phân có hệ số cấp cao 2, mặt thực hành tính toán phức tạp cách giải trực tiếp Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp n: u ( n) a1u ( n1) an1u ' anu , (u = u(t), t R) Đặt: x1 = u, x2 = u’ = x’1, … xn = u(n – 1) = x’n-1 Ta có hệ phương trình vi phân cấp có hệ số số sau: x1 x2 x2 x3 x3 x4 xn 1 xn xn un x1 un 1 x2 u1 xn X’ = A.X với A = a n 0 0 an 1 an Đa thức đặc trưng ma trận A PA( ) = n a1 n1 an1 an 79 0 0 0 0 1 (có thể chứng minh quy nạp theo n 2) Từ hệ X’ = A.X có nghiệm X(t) = etA M (M Rn) suy u(t) = x1(t) nghiệm phương trình TÀI LIỆU THAM KHẢO Hồng Hữu Đường, Võ Đức Tơn, Nguyễn Thế Hồn, Phương trình vi phân, NXB Giáo dục Hà Nội, 1970 N.Nitecki, Differentiable dynamics, The MIT Press, 1971 F.Gantmacher, Theorie des matries, Dunod E’ditor, Paris, 1966 80 ... nghiệm hệ (III) là: X(t) = X (t) + X0(t) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CAO HỆ SỐ HẰNG Đối với phương trình vi phân tuyến tính cấp cao có hệ số số ta đưa hệ phương trình vi phân khơng cấp có hệ. .. nghiệm hệ ta tìm nghiệm phương trình Cách làm sở lý luận để đưa đến dạng nghiệm phương trình vi phân có hệ số cấp cao 2, mặt thực hành tính tốn phức tạp cách giải trực tiếp Xét phương trình vi phân. .. 0 cn ec2 (*) Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng ecn x’(t) = A.x(t) + B có phương trình vi phân tuyến tính tương ứng x’(t) = A.x(t) n Cho