Đang tải... (xem toàn văn)
Bài này cung cấp co người học những kiến thức cơ bản về chuỗi số, chuỗi luỹ thừa. Nội dung trình bày gồm có: Khái niệm chuỗi số, chuỗi không âm, chuỗi có dấu tuỳ ý, hội tụ tuyệt đối, chuỗi đan dấu, tiêu chuẩn Leibnitz, chuỗi luỹ thừa, bán kính và miền hội tụ. Mời các bạn cùng tham khảo.
Trường Đại học Bách khoa Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn Ứng dụng - Giải tích Chương Chuỗi số, chuỗi luỹ thừa • Giảng viên Ts Đặng Văn Vinh (11/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn Nội dung Khái niệm chuỗi số – Chuỗi khơng âm Chuỗi có dấu tuỳ ý Hội tụ tuyệt đối - Chuỗi đan dấu Tiêu chuẩn Leibnitz Chuỗi luỹ thừa Bán kính miền hội tụ h nghĩa chuỗi không âm uỗi số không âm chuỗi an , (n)an 0, n 1 ận xét i chuỗi không âm, dãy tổng riêng S n dãy không g y chuỗi không âm hội tụ bị chặn u chuẩn so sánh chuỗi an , bn n 1 thoả điều kiện an bn , n n0 n 1 Nếu chuỗi bn hội tụ, chuỗi n 1 an n 1 Nếu chuỗi an hội tụ phân kỳ, chuỗi n 1 an phân kỳ n 1 Chuỗi b n hội tụ nên dãy tổng riêng S n bị chặ n 1 n n k 0 k 0 S n' an bn S n dãy tổng riêng an củ n 1 u chuẩn so sánh chuỗi an n 1 (1) , bn (2) thoả an bn , n n0 n 1 an K lim n b n K : Nếu chuỗi (2) hội tụ, chuỗi (1) hội tụ K hữu hạn, : Chuỗi (1) (2) HT K : Nếu chuỗi (1) HT, chuỗi (2) HT cos n an dụ Khảo sát hội tụ chuỗi n 1 n( n 1) n 1 Chuỗi dương cos n 1 n(n 1) n(n 1) n Chọn chuỗi số bn n 1 n n 1 an im b n hữu hạn, khác khơng Suy hai chuỗi Vì chuỗi an , bn n 1 bn tính chất hội tụ n 1 hội tụ, nên chuỗi cho hội tụ 3(1)n a dụ Khảo sát hội tụ chuỗi n 3 n 1 n 1 n 3( 1) uỗi dương n 3 n n 3 2 1 chuỗi n , |q | hội tụ, nên chuỗi cho hội t n 1 n e n a dụ Khảo sát hội tụ chuỗi n n 1 ln n n 1 n huỗi dương huỗi e n n n e n e e n n ln n e FK, nên chuỗi cho FK dụ Khảo sát hội tụ ln(1 sin(1/ n) n ln n an n 1 n 1 ln(1 sin(1/ n) 1/ n uỗi dương 2 n n ln n n chuỗi hội tụ, nên chuỗi cho hội tụ n 1 n dụ Khảo sát hội tụ n 1 n cosh 1 n huỗi n cosh 1 an n n1 2 n1/ 1 1 3/ 2n 2n HT, nên chuỗi cho HT dụ Khảo sát hội tụ n ln cosh(1/ n) a n 1 n 1 n ln cosh(1/ n) n ln(1 1/(2n )) 3/ 2n chuỗi 3/ hội tụ, nên chuỗi cho hội tụ n 1 2n dụ Khảo sát hội tụ arctan( n 2n) 3n n2 an n 1 n 1 /2 arctan(n 2n) n n n 2 3 n huỗi HT, nên chuỗi cho HT dụ Tìm để chuỗi HT 1 n sin(1/ n) n 1 1 an 1 n sin(1/ n) 1 n 2 n n 3!n huỗi cho hội tụ dụ Tìm để chuỗi HT 1 ln sin n ln n n 1 1 1 1 ln ln ln 1 2 n 6n n n 6n h nghĩa chuỗi Taylor m y f ( x) có đạo hàm vô hạn lần lân cận củ m x0 Chuỗi n 0 f (n) ( x0 ) n ( x x0 ) (1) gọi chuỗi Tay n! a hàm y f ( x) lân cận x0 ỗi Taylor lân cận x0 gọi chuỗi Maclau h lý u hàm y f ( x) đạo hàm cấp b ặn lân cận điểm x0 , tức tồn số thực M ng lân cận x0 ta có (n N ), f f ( x) n 0 f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n n! ( n) ( x) M uỗi Maclaurint số hàm thông dụng: n x n0 n! Miền hội tụ: R ( 1) n x n (1 x) n n 1 Miền hội tụ: 1,1 n 1 x n n x 1 (2n 1)! n0 Miền hội tụ: R 2n x os x 1 (2n)! n 0 n Miền hội tụ: R x) ( 1) ( (n 1)) x n! n 0 n Miền hội tụ: ( x x n0 Miền hội tụ: (1,1) n n (1) x x n 0 Miền hội tụ: (1,1) n 1 x n arctan x 1 2n n0 x2n cosh x n (2n )! Miền hội tụ: 1,1 sinh x x Miền hội tụ: R n 1 Miền hội tụ: R dụ Tìm chuỗi luỹ thừa hàm y ln(2 x) g lân cận x0 t X x 1 x X 1 m khai triển Maclaurint hàm f ln(2 3( X 1)) 3X 3X ln(5 X) ln 1 ln ln 1 ln (1) n1 n1 3X / 5 n n ln (1) n1 n n1 x 1 n n n dụ Tìm chuỗi luỹ thừa hàm 2x 1 y x x g lân cận x0 t X x2 x X2 2X m khai triển Maclaurint hàm f ( X 2)( X 3) 1 1 1 X X 1 X / 2 1 X / n n X X (1)n n (1) n n n0 n0 (1) n 1 x 2 n , | x | dụ Tìm chuỗi Maclaurint hàm y (1 x) xn x n0 a có Đạo hàm hai vế (trong miền hội tụ, đạo hàm tổng tổng đạo hàm ) 1 x nx n1 n1 (n 1) xn n0 ln(1 x) I dx x dụ Tính tích phân 2 , t n1 n 2 (2n 1)2 n1 (1)n1 n x 1 n1 (1) n n1 n1 I dx x dx n x n1 có n1 ( 1) n2 n1 n1 ( 1) 1 n x 2 n 12 (2 n 1) n n n n 1 I ln dx 1 x dụ Tính tích phân 1 n n x ( 1) n ó I ln(1 x)dx ( x) dx dx n n1 n n1 1 n1 lim Sn n(n 1) x n1 n( n 1) n1 n 1 Sn a1 a2 an 1.2 2.3 n.(n 1) 1 1 1 (1) I n2 n n dụ Tính tổng (1) n n ( n 1)( n 2) (1) n (1)n n n n 2 n n N 1 (1) (1) Đặt N n 1: J N n2 n N 1 n 1 (1) ln n n 1 n N 2 (1) (1) t N n 2: K N n2 n N 4 Vậy I ln ln (1) n n4 n 1 n2 I n1 n! dụ Tính tổng n có I n1 n! n 1 n n1 ( n 1)! n1 ( n 1)! 1 2e I n0 n! n0 n! n ( n 2)! n1 ( n 1)! Đạo hàm riêng vi phân cấp 1,2: đạo hàm riêng vi phân a hàm f = f(x,y), hàm hợp, hàm ẩn ng dụng đạo hàm riêng: Cực trị tự do, có điều kiện, giá trị l hất, giá trị nhỏ nhất; công thức Taylor, Maclaurint f = f(x,y) Tích phân: 1) Tích phân kép: toạ độ Đềcác, toạ độ cực; ứng ng hình học tích phân kép (diện tích, thể tích, diện tích ặt cong) Tích phân bội ba: toạ độ Đềcác, toạ độ trụ, toạ độ cầu Ứng ng hình học: tính thể tích vật thể Tích phân đường: Tích phân đường loại mặt phẳng khơng gian Ứng dụng hình học: tính độ dài cung, diện h mặt cong h phân đường loại hai mặt phẳng khơng gia h tính, cơng thức Green, tích phân khơng phụ thuộc đường Tích phân mặt loại một: cách tính Ứng dụng hình học tính n tích mặt cong ch phân mặt loại hai: cách tính Cơng thức Gauss-Ostrograds ng thức Stoke dùng tính tích phân đường loại hai Chuỗi: 1) Chuỗi số: khảo sát hội tụ chuỗi tuỳ ý, ch ơng, chuỗi đan dấu Tính tổng chuỗi số Chuỗi luỹ thừa: bán kính hội tụ, miền hội tụ Dùng chuỗi ừa để tính tổng chuỗi số Chuỗi Taylor, Maclaurint: tìm chuỗi Taylor, Maclaurint h = f(x), ứng dụng để tính tổng chuỗi số, tính tích phân -2 2 z Cho f ( x, y) xy x y Tính dz(0,0); (0,0 xy y x2 (1 x y) Tìm cực trị tự hàm z e Tính tích phân I x | y | dxdy , D miền D ng giới hạn x2 y 4, x y Cho hàm P( x, y) y; Q( x, y) x ye Tìm hàm h(y) h(1) = 1để tích phân I h( y) P( x, y)dx h( y)Q( x, y)dy C ng phụ thuộc đường Với h(y) tìm tính: h( y)P( x, y)dx h( y)Q( x, y)dy C đường cong C Sử dụng tích phân bội ba, tính thể tích vật thể giới hạn 2 2 x y z z z x y Tính I (2 x y) dydz (3y z) dxdz (3z x) dxdy S 2 2 z x y , z x y S vật thể giới hạn Tìm miền hội tụ chuỗi n0 (n 2)( x 1) n 5n n6 2n (n 1) Tìm tổng chuỗi n! n0 uối kỳ thi TỰ LUẬN (trình bày cẩn thận), thời gian: 90phút ... Maclaurint hàm y (1 x) xn x n0 a có Đạo hàm hai vế (trong miền hội tụ, đạo hàm tổng tổng đạo hàm ) 1 x nx n1 n1 (n 1) xn n0 ln(1 x) I dx x dụ Tính tích phân... x n n tích phân: ant dt ant dt an n 1 n0 n0 n 0 n 3n n 1 dụ Tính tổng a có n x , x (1,1) x n 0 ạo hàm hai vế (đạo hàm tổng tổng cá ạo hàm) n... hàm vơ hạn lần lân cận củ m x0 Chuỗi n 0 f (n) ( x0 ) n ( x x0 ) (1) gọi chuỗi Tay n! a hàm y f ( x) lân cận x0 ỗi Taylor lân cận x0 gọi chuỗi Maclau h lý u hàm y f ( x) đạo hàm