Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến - Chương 4: Tích phân bội ba cung cấp cho người học các kiến thức: Định nghĩa, cách tính tích phân bội ba; tọa độ trụ, tọa độ cầu; ứng dụng hình học, ứng dụng cơ học. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Trường Đại học Bách khoa Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn Ứng dụng - Giải tích hàm nhiều biến Chương 4: Tích phân bội ba • Giảng viên Ts Đặng Văn Vinh (4/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn Nội dung - 0.1 – Định nghĩa, cách tính tích phân bội ba 0.2 – Tọa độ trụ 0.3 – Tọa độ cầu 0.4 – Ứng dụng hình học 0.5 – Ứng dụng học I Định nghĩa, cách tính tích phân bội ba - f f ( x, y, z ) xác định vật thể đóng, bị chặn E Chia E cách tùy ý thành n khối nhỏ: E1 , E2 , , En Thể tích tương ứng khối V ( E1 ),V ( E2 ), ,V ( En ) Trên khối Ei lấy tuỳ ý điểm M i ( xi , yi , zi ) n Lập tổng Riemann: I n f ( M i ) V ( Ei ) i 1 I lim I n , không phụ thuộc cách chia E, cách lấy điểm Mi n I f ( x, y, z )dxdydz E gọi tích phân bội ba f=f(x,y,z) khối E I Định nghĩa, cách tính tích phân kép - Tính chất tích phân bội ba 1) Hàm liên tục khối đóng, bị chặn, có biên mặt trơn tùng khúc khả tích miền 2) VE dxdydz E 3) f ( x, y, z )dxdydz f ( x, y, z ) dxdydz E E 4) ( f g )dxdydz f dxdydz gdxdydz E E E 5) Nếu E chia làm hai khối E1 E2 không dẫm lên nhau: fdxdydz fdxdydz fdxdydz E E1 E2 6) ( x, y, z ) E , f ( x, y, z ) g ( x, y, z ) f g E E Định lý (Fubini) I f ( x, y, z )dxdydz E Phân tích khối E: z z2 ( x, y ) Chọn mặt chiếu x0y Mặt phía dưới: z z1 ( x, y ) Mặt phía trên: z z2 ( x, y ) Hình chiếu: Pr0 xy E D z z1 ( x, y ) I f ( x, y, z )dxdydz E z2 ( x , y ) f ( x, y, z ) dz dxdy D z1 ( x , y ) Hình chiếu: D Ví dụ Tính tích phân bội ba I ( x z )dxdydz E vật thể giới hạn E x y 1, z x y , z Hình chiếu E xuống 0xy: D : x2 y 2 z ( x , y ) x y Mặt phía trên: Mặt phía dưới: z 2 x y I ( x z )dz dxdy x y 1 2 x y z2 I xz 2 x y 1 dxdy 2 (2 x y ) 2 I x(2 x y ) dxdy x y 1 (2 x y )2 I dxdy x y 1 2 I d 0 2 r 2 r dr 7 Đổi sang tọa độ cực Ví dụ Tính tích phân bội ba I zdxdydz E vật thể giới hạn E y x, z x mặt phẳng tọa độ, (phần z ) Hình chiếu E xuống 0xy: Tam giác OAB z ( x , y ) x Mặt phía trên: Mặt phía dưới: z 1 x2 I zdz dxdy OAB B A A 1 x2 I zdz dxdy OAB 1 x z dxdy I OAB I OAB 1 x I dx 1 x dxdy O 1 x dy 2 11 60 B Ví dụ Tính tích phân I (2 x y )dxdydz E vật thể giới hạn E y x , z y, x 0, z Mặt phía trên: z 1 y Mặt phía dưới: z Hình chiếu E xuống 0xy: Ví dụ Tính tích phân I e( x2 y z )3/ dxdydz E vật thể giới hạn E y 0, x y z ( y 0) z x sin cos Đổi sang tọa độ cầu: y sin sin z cos Xác định cận: y 2 1 2 I d d e 3 sin d 2 x e 1 Ví dụ Tính tích phân I zdxdydz E vật thể giới hạn E z 1, x y z z ( z 1) x sin cos Đổi sang tọa độ cầu: y sin sin z cos Xác định cận: 2 0 ? Phải chia khối E làm khối Công việc tính tốn phức tạp Đổi sang tọa độ cầu mở rộng Gốc tọa độ dời x sin cos y sin sin z cos Xác định cận: 2 1 2 /2 0 I d d (1 cos ) sin d Ví dụ I Tính tích phân E x2 y dxdydz E vật thể giới hạn z 0, x y z 4, x y ( z 0) Sử dụng tọa độ cầu công việc tính tốn phức tạp nhiều x r cos Đổi sang tọa độ trụ: y r sin zz Xác định cận: 2 r 1 z r2 2 4r I d dr 0 r dz r Ví dụ Đổi sang tọa độ cầu tính Xác định vật thể E: 2 x x y0 2 x y z0 0 I dx 2 4 x Vẽ khối E dy xdz 4 x y z y x z Đổi biến sang tọa độ cầu: x sin cos y sin sin z cos Xác định cận: x 3 0 2 3 / 2 /2 I d d sin cos sin d 3 / 3 / I sin d cos d d sin d cos d /2 /2 y I Ví dụ Đổi sang tọa độ trụ tính 2 x x2 I dx 0 dy z x y dz z Xác định vật thể E: Vẽ khối E 0 x2 y x x 0 z4 y y x x z Đổi biến sang tọa độ trụ: x r cos y r sin zz Xác định cận: 0 r 2cos y 0 z4 /2 2cos I d dr z r r dz 0 /2 2cos z I d r dr 0 128 I x III Ứng dụng hình học tích phân bội ba - Từ định nghĩa tích phân bội ba ta có cơng thức tính thể tích vật thể E: VE 1dxdydz E Có thể sử dụng tích phân kép để tính thể tích vật thể Tuy nhiên số trường hợp sử dụng tích phân bội ba tính nhanh hơn, tích phân bội ba có cách đổi sang tọa độ trụ tọa độ cầu Ví dụ Tính thể tích vật thể E giới hạn x y z 1; x y z 4, z x y V dxdydz E Sử dụng tọa độ cầu 2 1 /4 2 0 V d d sin d 14 V 3 Sử dụng tích phân kép, tính tốn phức tạp!! Ví dụ Tính thể tích vật thể E giới hạn x y x; x z 3, x z V dxdydz x r cos Sử dụng tọa độ trụ y r sin zz 2 E z r 2cos x r cos z r cos /2 cos V d dr / V 4 y 3r cos r cos 3 r dz Ví dụ Tính thể tích vật thể E giới hạn x y z 4; x y z z V dxdydz z E Sử dụng tọa độ trụ 2 y 0r r2 z r2 2 V d dr 10 V 4 r 2 4 r r dz x Sử dụng tọa độ cầu tính phức tạp nhiều Ví dụ Tính thể tích vật thể E giới hạn y x , y z 1, z 1 y 1 1 y V dxdydz dz dxdy dx dy dz 1 Parabol x2 E Bài tập Bài tập ... )dxdydz E gọi tích phân bội ba f=f(x,y,z) khối E I Định nghĩa, cách tính tích phân kép - Tính chất tích phân bội ba 1) Hàm liên tục... học tích phân bội ba - Từ định nghĩa tích phân bội ba ta có cơng thức tính thể tích vật thể E: VE 1dxdydz E Có thể sử dụng tích. .. phân kép để tính thể tích vật thể Tuy nhiên số trường hợp sử dụng tích phân bội ba tính nhanh hơn, tích phân bội ba có cách đổi sang tọa độ trụ tọa độ cầu Ví dụ Tính thể tích vật thể E giới hạn