Đang tải... (xem toàn văn)
Chương này cung cấp cho người học các kiến thức: Tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy rộng, ứng dụng của tích phân. Hi vọng đây sẽ là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên khối ngành Khoa học tự nhiên dùng làm tài liệu học tập và tham khảo.
Nội dung ôn tập I) Giới hạn liên tục: Cách tìm giới hạn hàm, liên tục hàm số II) Đạo hàm vi phân: đạo hàm vi phân hàm y = f(x), hàm tham số, hàm ẩn Công thức Taylor, Maclaurint Ứng dụng đạo hàm: toán liên quan, khảo sát vẽ III) Tích phân: 1) Tích phân bất định, tích phân xác định Tích phân suy rộng loại hai: tính tphân, khảo sát hội tụ Ứng dụng hình học tích phân: có ứng dụng học IV) phương trình vi phân: 1) Phương trình vi phân cấp 1: có loại học: Tách biến, tuyến tính, đẳng cấp, Bernoulli 2) Phương trình vi phân cấp hai HỆ SỐ HẰNG 3) Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số hằng: Phương pháp khử, phương pháp trị riêng, véctơ riêng (trường hợp chéo được) Chú ý: Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số Các em giải theo cách Thầy trình bày giảng Tuy nhiên hệ nhất, cách trình bày giảng dài dịng Với hệ em giải theo cách trình bày nhiều sách (Vdụ: Sách Thầy Đỗ Công Khanh, Ngô Thu Lương) Với hệ khơng nhất, giải theo cách trình bày giảng dễ hiểu Tuy nhiên em giải theo cách sách Đáp án đề mẫu lại, Thầy cố gắng đưa lên mạng Không hứa trước!!!! CHÚC MỪNG NĂM MỚI! С НОВЫМ ГОДОМ! HAPPY NEW YEAR! Đề mẫu cuối kỳ -arcsin x x cosh x e Câu Tính lim x tan x x cos x Câu Tìm tiệm cận đường cong cho ptrình tham số t 8 x ,y t 4 t (t 4) dx Câu Tính tích phân I 2 x 2x x Câu Tính tất để tích phân sau hội tụ x ln(1 x ) dx 3 2 8 x cosh I Câu Tìm thể tích vật thể trịn xoay quay miền D giới hạn y x arctan x , y x arctan x , x 1, x quanh trục Ox ' Câu Giải phương trình vi phân y y x y Câu Giải phương trình vi phân cấp y '' y ' y 3x 5sin x Câu Giải hệ phương trình vi phân phương pháp trị riêng x1' ' x2 x' t x1 x2 x3 e x1 11x x3 t x1 x2 x3 Cuối kỳ thi TỰ LUẬN (trình bày cẩn thận), thời gian: 90phút Giải đề mẫu x x Câu cosh x ( x ) arcsin x x ( x ) 3 x x x earcsin x x ( x3 ) tan x x ( x3 ) 3 5x 3 3x x x (x ) x3 / ( x3 ) I lim 3 x 4 x / ( x ) lim y (t ) x2 Câu Tiệm cận đứng: t 0 x(t ) lim t 0 Khơng có tiệm cận ngang tiệm cận đứng lim y (t ) y (t ) 1 t 2 a lim t 2 x (t ) x(t ) lim t 2 1 x tiệm cận xiên b lim y (t ) a x(t ) y t 2 8 lim y (t ) y (t ) t 2 a lim t 2 x (t ) 20 lim x ( t ) t 2 3x b lim y (t ) a x(t ) y tiệm cận xiên t 2 40 20 40 Tiệm cận xiên Câu A B C ( x 1)( x 1)( x 2) x x x Để tìm A, nhân vế cho x - thay x = vào, tương tự cho B, C 1 dx 1 I ln | x 1| ln | x 1| ln | x | 2 x 2x x 6 2 x 11/ x 1/ ln 1/ ( x 1) 2 ln 2ln x cosh x ln(1 x ) ( x ) Câu 2 x3 x0 x 3 12 Hàm dấu tích phân hàm ln âm Xét tích phân hàm - f(x) cosh x ln(1 x ) 12 x 12 f ( x) 3 3 2 x x 3 2 8 x Tích phân hội tụ 3 Câu y1 x arctan x , y x arctan x y1 ( x) y2 ( x), x [0,1] Ta có 2 1 2 V0 x y y dx ( x arctan x) ( x arctan x) dx 0 V0 x x arctan xdx 2 Câu Đây phương trình Bernoulli với 1/ ' y y x z x z 2 ' y y' y x y 2 Đặt z z Ce x / x Nghiệm tổng quát pt y Ce x/2 x2 y Câu Phương trình đặc trưng: k 3k k1 k2 x Nghiệm phương trình nhất: y0 C1e C2e 2x Dùng nguyên lý cộng dồn nghiệm tìm nghiệm riêng: yr yr1 yr2 Nghiệm riêng y y y x yr1 x '' ' Nghiệm riêng y y y 5sin x : yr2 cos x sin x 4 '' ' Nghiệm tổng quát phương trình cho: ytq C1e C2e x cos x sin x 4 x 2x 1 0 4 4 1 1 Câu A 11 8 P D 3 8 0 5 2 Đặt Y P 1 X Ta có: Y ' DY P 1F (t ) t y1' 0 y1 4 / 4 / e ' y2 3 y2 8/ 3 8 / 2t y3' 0 3 y3 8/ / / y1' y2' y' y1 et 8t / 3 y2 8et / 6t 3 y3 8et / 16t / y1 (t ) C1et tet 8t / / y2 (t ) C2 e3t 2et / 2t / y (t ) C e 3t 2et / 16t / 16 / 27 Suy nghiệm tổng quát hệ Câu Tìm độ dài cungr 2(1 sin ) 2 Câu Giải phương trình ydx ( y x ) dy 0, y (1) Câu Giải phương trình vi phân cấp y '' y ' y sin x cos x Câu Giải hệ phương trình vi phân phương pháp trị riêng x1' ' x2 x' x1 x2 x3 sin t x1 x x3 x1 x x3 Cuối kỳ thi TỰ LUẬN (trình bày cẩn thận), thời gian: 90phút Đề mẫu cuối kỳ -x Câu Tính lim arctan x x Câu Khảo sát vẽ đồ thị đường cong cho pt tham số t 2 t 1 x(t ) , y (t ) t2 t 1 ax I e sin bxdx , a Câu Tính tích phân Câu Tính tất để tích phân sau hội tụ x x3 ) x dx sin x sin(arcsin I Câu Tìm diện tích miền D giới hạn đường cong toạ độ cực r a sin 5 , a ' sin x y y cos x e Câu Giải phương trình Câu Giải phương trình vi phân cấp '' y y cos x Câu Giải hệ phương trình vi phân phương pháp trị riêng x1' ' x2 x' x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x3 Cuối kỳ thi TỰ LUẬN (trình bày gọn gàng), thời gian: 90phút Đề mẫu cuối kỳ Câu Tính x lim arctan x x Câu Khảo sát vẽ đồ thị đường cong cho toạ độ cực r 2cos 1/ x I e Câu Tính tích phân 1 dx x Câu Tính tất để tích phân sau hội tụ I x 4 / x arctan dx 1 x Câu Tìm diện tích miền D giới hạn đường cong tham số t (1 t ) x ,y 1 t 1 t2 ' Câu Giải phương trình y y cos x e sin x Câu Giải phương trình vi phân cấp '' ' x y y y 2e e 2 x Câu Giải hệ phương trình vi phân phương pháp trị riêng x1' ' x2 x1 x2 e x1 x e t t Đề mẫu cuối kỳ Câu Tìm khai triển Maclaurint đến cấp hàm y arcsin x Câu Tìm tiệm cận đường cong x y ln(1 2e ) Câu Tính tích phân I x arcsin xdx x2 Câu Tính tất để tích phân sau hội tụ cosh x I x dx x) ( e 1)( x Câu Tìm thể tích vật thể tròn xoay tạo nên miền D quay quanh Oy D : y sin x, x 0, y (0 x / 2) Câu Giải phương trình ( x y 3) dx (2 x y 3) dy Câu Giải phương trình vi phân cấp '' ' y y y sinh x Câu Giải hệ phương trình vi phân phương pháp khử x1' ' x2 x1 x2 sin t x1 x e t Đề mẫu cuối kỳ Câu Tìm f (10) (0), biết f ( x ) ln(2 x ) Câu Tìm đạo hàm trái, phải điểm x0 e1/ x , x0 y x , x Câu Tính tích phân x dx I (1 x2 ) x2 x ln ( e x ) Câu Tính để tích phân I hội tụ dx 2 x 1 x Câu Tìm thể tích vật thể trịn xoay quay miền D quanh 0x D : x 2t t , y 4t t ' y cos( x y ) cos( x y ), y (0) / Câu Giải pt Câu Giải phương trình vi phân cấp '' ' y y sin x 0, y ( ) y ( ) Câu Giải hệ phương trình vi phân phương pháp trị riêng ' x1 ' x2 x' x1 x2 x3 t x1 x2 x3 t x1 x2 x3 t Đề mẫu cuối kỳ x 1 Câu Khảo sát điểm gián đoạn hàm y arctan(1 / x ) Câu Tìm cực trị đường cong cho pt tham số t 3 t 2t x ,y t 1 t 1 Câu Tính tích phân I dx (1 x ) x Câu Tính tất để tích phân sau hội tụ I x x x 2x x dx Câu Tìm diện tích bề mặt tròn xoay quay miền D quanh 0x D : y x,0 x y ' y tan x y cos x Câu Giải phương trình Câu Giải phương trình vi phân cấp '' ' x y 2y e x x Câu Giải hệ phương trình vi phân phương pháp khử x1' ' x2 x1 x cos t x1 x t Đề mẫu cuối kỳ arcsin x y sin x Câu Khảo sát điểm gián đoạn hàm Câu Tìm đạo hàm cấp hai hàm cho pt tham số x t sin t , y cos t , t (0, 2 ) I Câu Tính tích phân dx x e e x Câu Tính tất để tích phân sau hội tụ I x ln(arctan x e x )dx Câu Tìm độ dài cung (phần tự cắt) đường cong tham số 1 2 x t , y t t 3 Câu Giải phương trình ( x y 1) dx (2 x y 1) dy Câu Giải phương trình vi phân cấp '' ' y y 10 y xe 2 x Câu Giải hệ phương trình vi phân phương pháp trị riêng ' x1 ' x2 x' x1 12 x2 x3 x1 x2 x3 x1 12 x x3 Đề mẫu cuối kỳ 10 Câu Tìm tất , để hàm sau vô bé x 0 y x arctan x Câu Tìm đạo hàm hàm ẩn y = y(x) cho phương trình 2 xy y x sin( xy ) ln xdx I x 1 Câu Tính tích phân Câu Tính tất để tích phân sau hội tụ 1 x I e 1/ x (1 x ) dx Câu Tìm diện tích miền D giới hạn đường cong tọa độ cực 2 r 2a cos 2 Câu Giải phương trình y xy y arctan x , y (1) x ' Câu Giải phương trình vi phân cấp '' ' y y sin x 1, y (0) 1/ 4, y (0) Câu Giải hệ phương trình vi phân phương pháp trị riêng x1' ' x2 x1 x t x1 x t ... em giải theo cách Thầy trình bày giảng Tuy nhiên hệ nhất, cách trình bày giảng dài dòng Với hệ em giải theo cách trình bày nhiều sách (Vdụ: Sách Thầy Đỗ Công Khanh, Ngô Thu Lương) Với hệ không... x3 x0 x 3 12 Hàm dấu tích phân hàm ln âm Xét tích phân hàm - f(x) cosh x ln(1 x ) 12 x 12 f ( x) 3 3 2 x x 3 2 8 x Tích phân hội tụ 3 Câu... (2) (3): x3'' x1' x3' 3 x3 - 9t 12t Khử x1' pt (2) (3): x3'' 16 x3' 4 x1 x3 - 27t 36t Đạo hàm hai vế (5): x3''' 16 x3''' 4 x1' - x3' - 54t 36 Rút x1' thay vào (4): x3'''