Đang tải... (xem toàn văn)
Chương này cung cấp cho người học các kiến thức: Tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy rộng, ứng dụng của tích phân. Hi vọng đây sẽ là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên khối ngành Khoa học tự nhiên dùng làm tài liệu học tập và tham khảo.
Trường Đại học Bách khoa Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn Ứng dụng - Giải tích Chương 3: Tích phân (tt) • Giảng viên Ts Đặng Văn Vinh (11/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn Nội dung - – Tích phân xác định – Tích phân suy rộng – Ứng dụng tích phân Tài liệu: 1) Кудрявцев Л.Д Сборник задач по мат анализу, Том 2, Москва, 2003 2) James Stewart Calculus 6th edition, USA, 2008 I Tích phân xác định Bài tốn Tìm diện tích S miền phẳng giới hạn đường cong: y f ( x), trục hoành, hai đường thẳng x = a x = b Chia S cách tùy ý làm n miền con: S1, S2, …, Sn Xấp xỉ miền S1, S2, …, Sn hình chữ nhật Hình trường hợp chia thành phần Hình trường hợp chia thành 12 phần n lớn, diện tích tính xác Trên miền S1, S2, …, Sn lấy tùy ý điểm Ta có S S1 S2 Sn * * * n S f ( x ) ( x1 x0 ) f ( x ) ( x2 x1 ) f ( x ) ( xn xn1 ) n S f ( xi* ) xi i 1 n * Nếu giới hạn I lim f ( xi ) xi tồn không phụ xi 0 i 1 * i thuộc cách chia S cách lấy điểm x , I gọi tích phân xác định hàm y = f(x) đoạn [a,b] n b S lim f ( xi ) xi f ( x)dx max( xi )0 i 1 a Ví dụ Tìm diện tích S miền phẳng giới hạn đường cong: y x , trục hoành, hai đường thẳng x = x = Công thức Newton - Leibnitz Nếu f(x) liên tục [a,b], với nguyên hàm F(x) b b f ( x)dx F ( x) a F (b) F (a) a Công thức Đạo hàm theo cận Nếu f(x) liên tục [a,b], với nguyên hàm F(x) ' x f (t )dt f ( x) a ( x) a ' ' f (t )dt f ( x) ( x) Hai phương pháp tính tích phân xác định Đổi biến ' Nếu f(x) liên tục (a,b), (t ), (t ) xác định liên tục khoảng t1 , t2 , ngồi Khi đó: b t2 a t1 t (t1 , t2 ) a (t ) b ' f ( x ) dx f ( ( t )) (t )dt (t1 ) a, (t2 ) b Hai phương pháp tính tích phân xác định Từng phần Nếu u(x), v(x) với đạo hàm liên tục [a,b], b b b udv uv vdu a a Chứng minh a Ví dụ Tích phân lớn /2 I /2 sin xdx, J sin xdx 0 /2 x 0, / sin x sin x /2 sin xdx Ví dụ x (0,1) : x 19 19 x dx 20 x 20 Chứng minh 19 sin xdx x 1 x 19 x tích phân hai vế ta có biểu thức cần chứng minh Ví dụ n Tính giới hạn dãy S n n 5 Xét hàm f ( x) x đoạn [0,1] Chia đoạn [0,1] thành n phần nhau, phần có độ dài 1/n k k 1 k Trên đoạn chọn điểm , n n n 5 n 1 n lim S n lim lim f n n n n n n k 1 x lim S n n k f ( x)dx n Ví dụ 1 Tính lim x n n2 nn 1 1 1 n 1 n n n n 1/ n / n 1 n / n Xét hàm f ( x) 1/(1 x) đoạn [0,1] Chia [0,1] thành n phần nhau, có độ dài 1/n k k 1 k Trên đoạn chọn điểm , n n n n 1 1 lim lim n n 1/ n 1 / n n / n n n k 1 1 dx ln f ( x) dx 1 x 0 k f n x cos t dt Ví dụ I lim Tính x 0 x x Nhận xét cos t x 0 dt 0 0 Tích phân có dạng vơ định , dùng qui tắc Lơpital x ' cos t dt cos x lim cos I lim ' x0 x 0 x sin x Ví dụ Tính I lim x 0 tan tdt tan x sin tdt sin x Nhận xét x 0 tan tdt 0, tan x x 0 sin tdt 0 0 Tích phân có dạng vơ định , dùng qui tắc Lôpital ' sin x tan tdt tan(sin x) cos x I lim lim ' x 0 x 0 tan x sin(tan x ) (1/ cos x) sin tdt x Tính I lim Ví dụ x (arctan t ) dt x2 x Nhận xét (arctan t ) x dt Tích phân có dạng vơ định , dùng qui tắc Lơpital ' x (arctan t ) dt 2 x arctan x lim I lim ' x x 0 x x 1 I Tính tích phân sau 1) x 1 x dx dx 2) x 9 ln dx 3) ex 1 e cos(ln x)dx 4) x 1 x 5) e 1dx 1 141 20 2ln 4 1 ln 3( 1) sin1 e 2 e I Tính tích phân sau 15 6) x 29 270 x dx /4 7) cos x sin x cos x /6 dx cos x 8) dx 5sin x sin x /2 9) cos x dx cos x sin x 10) dx 6 sin x cos x /2 -1 18 2 10 ln 12 /4 tan xdx 11) /4 dx 12) cos x 13) dx x2 x 1/ 14) cosh 3xdx x 15) arcsin dx 1 x 13 15 2 ln 2 2 ln 1 1 sinh 12 4 3 /2 16) 4 cos x sin x cos x dx ln(1 x)dx 17) (1 x ) 18) 1 x 1/ x e 1/ 19) arcsin xdx e dx 20) x ln x x 1/ x dx ln 5/ e 2 1 II Tính giới hạn dãy sau 1 2 (n 1) 1) sin sin sin n n n n 1 n 2) n n n n 2n 3) n n n 4) 4n k /n 5) k 1 n 1/ k n 4n 2 2 1 4n n ln II Tính đạo hàm sau x d 1) t dt dx d t2 2) e dt dx x x d dt 3) dx x2 t d cos x 4) cos t dt dx sin x ...Nội dung - – Tích phân xác định – Tích phân suy rộng – Ứng dụng tích phân Tài liệu: 1) Кудрявцев Л.Д Сборник задач по мат анализу, Том... анализу, Том 2, Москва, 2003 2) James Stewart Calculus 6th edition, USA, 2008 I Tích phân xác định Bài tốn Tìm diện tích S miền phẳng giới hạn đường cong: y f ( x), trục hoành, hai đường thẳng... g ( x0 ) b b f ( x)dx g ( x)dx a a Nếu f(x) khả tích [a,b], | f | khả tích [a,b]: b b f ( x)dx g ( x) dx a a Nếu f(x) khả tích [a,b], x b F ( x) f (t )dt ; G ( x) f (t )dt