Đang tải... (xem toàn văn)
Khái niệm cơ bản lý thuyết xác suất
Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS Lê Anh Vũ CHƯƠNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT Nội dung Phép thử biến cố, loại biến cố quan hệ biến cố Xác suất (quan điểm cổ điển, thống kê, hình học ) Các cơng thức tính xác suất: • Cơng thức cộng xác suất • Xác suất có điều kiện cơng thức nhân xác suất • Cơng thức xác suất đầy đủ cơng thức Bayes • Cơng thức Bernoulli PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ – CÁC LOẠI BIẾN CỐ 1.1 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ 1.1.1 HAI VÍ DỤ KINH ĐIỂN Ví dụ 1.1 Tung đồng xu hai mặt (sấp, ngửa) cân đối, đồng chất mặt phẳng nằm ngang – phép thử Vài kết cục khơng thể xảy ra: • Mặt sấp xuất • Mặt ngửa xuất • Hoặc mặt sấp, mặt ngửa xuất • Khơng mặt xuất Chúng gọi biến cố sinh phép thử xét Ví dụ 1.2 Gieo xúc xắc sáu mặt cân đối đồng chất mặt phẳng nằm ngang – phép thử Sinh phép thử kể vài biến cố • Mặt k chấm xuất (k = 1, 2, … , 6) • Mặt có số chấm lẻ xuất • Mặt có số chấm chẵn xuất • Mặt có số chấm khơng q k xuất ( k = 1, 2, … , 6) • Mặt có số chấm lớn xuất • Mặt có số chấm nhỏ xuất Tài Liệu Xác Suất Thống Kê I.1 Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS Lê Anh Vũ 1.1.2 MÔ TẢ PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ Phép thử việc hành động, thí nghiệm khoa học xác suất nhằm nhiên cứu tượng ngẫu nhiên Phép thử thực nhóm điều kiện hoàn toàn xác định Ta thường đồng phép thử với nhóm điều kiện xác định Mỗi thực xong phép thử, dẫn đến kiện (hay kết cục) định Biến cố kiện liên quan đến phép thử xẩy ra, khơng xẩy sau phép thử kết thúc Các biến cố đặc trưng cho phép thử 1.2 CÁC LOẠI BIẾN CỐ 1.2.1 BIẾN CỐ CHẮC CHẮN Biến cố chắn biến cố định phải xẩy sau thực xong phép thử Ta thường ký hiệu biến cố chắn U 1.2.2 BIẾN CỐ KHÔNG THỂ CÓ Biến cố khơng thể có biến cố khơng thể xảy phép thử thực Biến cố có ký hiệu ∅ 1.2.3 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN Biến cố ngẫu nhiên (BCNN) biến cố xảy ra, khơng xẩy thực xong phép thử; Trước phép thử thực hiện, ta dự đốn khẳng định chắn xẩy hay khơng xẩy biến cố Biến cố ngẫu nhiên ký hiệu mẫu tự in hoa A, B, C… Ví dụ 1.3 • Bóc ngẫu nhiên tờ lịch năm – phép thử Biến cố “bóc tờ lịch ngày 30 tháng 2” biến cố khơng thể có Biến cố “bóc tờ lịch ghi ngày 14 tháng 2” biến cố ngẫu nhiên Biến cố “bóc tờ lịch ghi tháng 1, 2, 3, … , 12” biến cố chắn • Một người mua tờ vé số - phép thử Các biến cố vé số trúng độc đắc, trúng giải nhất, trúng giải nhì, trúng giải ba, trúng giải khuyến khích, khơng trúng giải biến cố ngẫu nhiên Biến cố vé số trúng giải, không trúng giải biến cố chắn Biến cố vé số vừa trúng giải vừa khơng trúng giải biến cố khơng thể có Ví dụ 1.4 Bây xét lại hai ví dụ kinh điển tung đồng xu gieo xúc xắc Hãy kể biến cố chắn, khơng thể có BCNN PHÉP TOÁN VÀ QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ 2.1 TỔNG CỦA CÁC BIẾN CỐ • Tổng hai biến cố A B, ký hiệu A + B ( hay A∪B), biến cố mà xảy hai biến cố A, B xảy sau phép thử thực Như Tài Liệu Xác Suất Thống Kê I.2 Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS Lê Anh Vuõ (A+B xẩy ra) ⇔ ( Hoặc A xẩy ra, B xẩy ra) • Tổng n biến cố A1, A2… An, ký hiệu n ∑A = i =1 i A1 + A2 + … + An (hay n U A ), i biến cố mà xảy có biến cố Ai i =1 ( i∈{1, 2, … , n}) xảy sau phép thử thực Như n ( ∑ Ai xẩy ra) ⇔ ( Hoặc A1 xẩy ra, A2 xẩy ra, …, An xẩy ra) i =1 2.2 TÍCH CỦA CÁC BIẾN CỐ • Tích hai biến cố A B, ký hiệu AB ( hay A∩B), biến cố mà xảy A B xảy sau phép thử thực Như (AB xẩy ra) ⇔ (A xảy B xẩy ra) • Tích n biến cố A1, A2, … , An, ký hiệu n ∏ Ai = A1A2 … An (hay i=n n I A ), i i =1 biến cố mà xảy tất biến cố Ai xảy sau phép thử thực n ( ∏ Ai xẩy ra) ⇔ (A1 xẩy ra, A2 xẩy ra, … An xảy ra) i=n 2.3 BIEÁN CỐ XUNG KHẮC VÀ BIẾN CỐ ĐỐI LẬP • • Hai biến cố A B gọi xung khắc với chúng xảy phép thử thực Tức A.B = ∅ Hai biến cố đối lập với chúng xung khắc sau phép thử thiết phải xẩy biến cố biến cố Biến cố đối lập A ký hiệu A Như vậy, sau thực phép thử, định có hai biến cố A A xảy Tức ⎧⎪ A + A = U ; ⎨ ⎪⎩ AA = ∅ Nói riêng, hai biến cố đối lập xung khắc Ngược lại nói chung sai Ví dụ 1.5 Một sinh viên thi hai mơn Tốn cao cấp Kinh tế lượng Gọi T biến cố sinh viên đậu mơn Tốn cao cấp, K biến cố sinh viên đậu mơn Kinh tế lượng Hãy biểu diễn biến cố sau qua T, K: a) Sinh viên đậu mơn b) Sinh viên đậu hai mơn c) Sinh viên bị trượt mơn Tốn cao cấp d) Sinh viên bị trượt hai mơn e) Sinh viên đậu mơn Kinh tế lượng Tài Liệu Xác Suất Thống Kê I.3 Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS Lê Anh Vũ f) Sinh viên đậu mơn g) Sinh viên đậu khơng q mơn Giải Gọi biến cố câu a, b, c, d, e, f, g A, B, C, D, E, F, G Ta có a) A = T + K (= T K + T K + TK) ; b) B = TK ; c) T (= T K + T K ); d) D = T K ; e) T K ; f) T K + T K ; g) G = T K + T K + T K ( = D + F = B ) 2.4 BIẾN CỐ SƠ CẤP - KHÔNG GIAN NHÓM ĐẦY ĐỦ CÁC BIẾN CỐ CÁC BIẾN CỐ SƠ CẤP – Biến cố sơ cấp biến cố khơng thể phân tích qua biến cố khác ∅ khác Tập hợp tất biến cố sơ cấp phép thử gọi không gian mẫu Không gian mẫu thường ký hiệu Ω Cũng có dùng ký hiệu U biến cố chắn để ký hiệu Tập hợp n biến cố (n ≥ 2) A1, A2,…,An gọi nhóm (hay hệ) đầy đủ biến cố sau thực phép thử, có biến cố xẩy Tức ⎧ Ai A j = φ , ≤ i ≠ j ≤ n; ⎨ ⎩ A1 + A2 + L + An = U • • { } Nói riêng, A, A nhóm đầy đủ gồm hai biến cố Ngược lại , nhóm đầy đủ hai biến cố phải gồm hai biến cố đối lập Ví dụ 1.6 Xét lại ví dụ gieo xúc xắc Đặt • Ai biến cố mặt i chấm xuất hiện, i = 1,6 • C biến cố mặt chẵn chấm xuất • L biến cố mặt lẻ chấm xuất Khi A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 tất biến cố sơ cấp Không gian biến cố sơ cấp Ω = {A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 } ⎧C = A2 + A4 + A6 ; Các biến cố C, L khơng biến cố sơ cấp vì: ⎨ ⎩ L = A1 + A3 + A5 2.5 BIẾN CỐ ĐỘC LẬP • • Hai biến cố A B gọi độc lập với nhau, xẩy hay không xẩy biến cố chúng không ảnh hưởng đến khả xảy biến cố lại Hệ n biến cố (n ≥ 3) A1, A2…, An gọi độc lập toàn phần A2 độc lập với A1, A3 độc lập với A1A2, … , An độc lập với A1A2…An-1 Tài Liệu Xác Suất Thống Kê I.4 Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS Lê Anh Vũ Ví dụ 1.7 Hai sinh viên Lan Tuấn thi môn Kinh tế lượng Gọi L, T biến cố Lan, Tuấn đậu Rõ ràng L T độc lập với Chú ý Hai biến cố đối lập khơng thể độc lập xẩy biến cố phủ định xẩy biến cố 2.6 VÀI TÍNH CHẤT CỦA CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC BIẾN CỐ 1) Tính giao hoán: A + B = B + A A.B = B A 2) Tính kết hợp: A + (B + C ) = ( A + B ) + C A.(B.C ) = ( A.B ).C A + C) 3) Tính phân phối: A.(B + C ) = A.B + A.C A + (B.C ) = ( A + B )( A A = A ; 4) A + A = A ; (A) = A 5) Luật DeMorgan: • A1 + A2 + L + An = A1 A2 L An • A1 A2 An = A1 + A2 + + An ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT 3.1 NHẬN XÉT – Ý NGHĨA CỦA XÁC SUẤT Các biến cố ngẫu nhiên có đặc điểm chung xẩy ra, khơng xẩy sau thực phép thử Khi phép thử chưa thực xong ta biết chắn biến cố ngẫu nhiên mà ta quan tâm có xẩy hay khơng Tuy nhiên dường ta trực cảm biến cố dễ xẩy hơn, cịn biến cố khó xẩy Nói cách khác, khả (dễ hay khó) xẩy biến cố ngẫu nhiên nói chung khác Ta muốn lượng hóa, tức tìm cách đo khả xẩy biến cố số Con số gọi xác suất biến cố xét Nói rõ hơn, xác suất biến cố A số, ký hiêu P(A), dùng để đo khả (dễ hay khó) xẩy biến cố A Xác suất P(A) nhỏ biến cố A khó xẩy ra, xác suất P(A) lớn biến cố A dễ xảy Chú ý rằng, khoa học xác suất, ta chủ yếu quan tâm đến xẩy hay không xẩy biến cố dường không quan tâm đến chất thực tế biến cố Bởi thế, hai biến cố A, B khác có xác suất nhau, tức chúng có khả xẩy mặtnào đó, xem chúng tương đương với Vấn đề đặt là, với biến cố A cho, làm để xác định P(A)? Dưới ta giới thiệu vài cách xác định P(A) Chú ý dù xác định xác suất phải thỏa mãn tính chất hiển nhiên sau • P(∅) = 0% = 0; P(U) = 100% = 1; • 0% = ≤ P(A) ≤ = 100%, v ới biến cố ngẫu nhiên A Tài Liệu Xác Suất Thống Kê I.5 Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS Lê Anh Vũ 3.2 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT THEO QUAN ĐIỂM CỔ ĐIỂN Giả sử sau thực phép thử ta có tất n trường hợp đồng khả năng, có m trường hợp thuận lợi cho biến cố A xẩy Khi xác suất P(A) A định nghĩa tỷ số số trường hợp thuận lợi số tất trường hợp Tức P( A) = mA n Nhận xét • Định nghĩa cổ điển xác suất đơn giản, dễ hiểu, dễ tính tốn • Tuy nhiên định nghĩa áp dụng số tất trường hợp đồng khả sau phép thử số hữu hạn Ví dụ 1.8 Tung xúc xắc sáu mặt, cân đối, đồng chất mặt phẳng nằm ngang Tính khả (xác suất) để a) Mặt chấm xuất ; b) Mặt có số chấm chẵn xuất Giải Vì xúc xắc có sáu mặt (cân đối, đồng chất ) với số chấm từ đến nên sau gieo (tức thục xong phép thử), có trường hợp đồng khả Ta đặt tên biến cố sau : Ai biến cố mặt i chấm xuất hiện; i = 1,6 ; C biến cố mặt có số chấm chẵn xuất Theo yêu cầu đề bài, ta cần tính P(A6) P(C) Dễ thấy số trường hợp thuận lợi cho A6 C xẩy m6 = mC = Do a) P ( A6 ) = ; b) P (C ) = = ( = 0, = 50%) 6 Nhận xét • Để dễ trực cảm khả xẩy biến cố, xác suất biến cố thường để dạng phần trăm • P( Ai ) = ; i = 1, 2, , ; P(L) = 50% ( L biến cố mặt có số chấm lẻ xuất hiện) 3.3 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT THEO QUAN ĐIỂM THỐNG KÊ Giả sử ta thực phép thử τ nhiều lần (trong điều kiện hoàn toàn giống nhau) quan sát để đếm số lần xẩy biến cố A Nếu n lần thực phép thử τ có m lần xuất biến cố A, tỷ số fn (A ) = k gọi tần suất xuất A n lần thử, m gọi tần số n xuất biến cố A Khi số lần thử đủ lớn, tần suất fn(A) dao động xung quanh giá trị ổn định Giá trị gọi xác suất biến cố A Một cách xác, ta định nghĩa Tài Liệu Xác Suất Thống Kê I.6 Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS Lê Anh Vũ P (A) = lim f n ( A) n →+∞ Nhận xét • Định nghĩa thống kê xác suất đơn giản, dễ hiểu, khó tính tốn cách xác • Người ta thường xun áp dụng định nghĩa xác định xác suất nhiều kiện, tượng thực tiễn Tuy nhiên, thay cho tính tốn xác, ta xấp xỉ P(A) với tần suất fn(A) A n (số lần lặp phép thử) đủ lớn Ví dụ 1.9 Khi tung nhiều lần đồng tiền cân đối, đồng chất mặt phẳng nằm ngang tần suất xuất mặt sấp dao động quanh giá trị 0,5 – Buffon: tung 4.040 lần, số lần sấp 2.048, tần suất 0,5080 – Pearson: tung 12.000 lần, số lần sấp 6.019, tần suất 0,5016 – Pearson: tung 24000 lần, số lần sấp 12.012, tần suất 0,5005 Như vậy, xác suất để xuất mặt sấp 0,5 = 50% 3.4 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT THEO QUAN ĐIỂM HÌNH HỌC Trong nhiều trường hợp, ta dùng hình học để xác định xác suất Ta giới thiệu định nghĩa thơng qua ví dụ cụ thể Ví dụ 1.10 (Bài tốn hai người gặp nhau) Hai người hẹn gặp địa điểm xác định vào khoảng từ 20h đến 21h Mỗi người đến (và chắn đến) địa điểm hẹn khoảng thời gian cách độc lập, chờ 20 phút, khơng gặp người bỏ Tính khả ( xác suất ) để hai người gặp Giải Gọi G biến cố hai người gặp nhau; X, Y thời điểm đến người Rõ ràng X, Y điểm ngẫu nhiên đoạn [20; 21] Để G xẩy ra, tức hai người gặp nhau, ta phải có X − Y ≤ 20 (phút) = (giờ) Xem cặp (X, Y) điểm mặt phẳng tọa độ Khi ta hai miền phẳng (D) = { (X, Y) / 20 ≤ X ≤ 21; 20 ≤ Y ≤ 21}: biểu diễn tất trường hợp; (G) = { (X, Y) ∈(D) / X − Y ≤ }: biểu diễn trường hợp thuận lợi cho biến cố G xẩy Rõ ràng miền (G) to so với (D) khả gặp hai người lớn Do hợp lý ta định nghĩa P(G) tỷ số diện tích hai miền (G) (D), tức S (G ) = = P(G) = S ( D) Tài Liệu Xác Suất Thống Kê I.7 Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS Lê Anh Vũ CÔNG THỨC CỘNG XÁC SUẤT 4.1 • TRƯỜNG HP CÁC BIẾN CỐ XUNG KHẮC Cho hai biến cố A, B hai biến cố xung khắc Ta có cơng thức cộng xác suất sau P ( A + B ) = P ( A) + P ( B ) • 4.2 Cho n biến cố A1, A2,…,An xung khắc đơi, ta có cơng thức cộng xác suất sau P ( A1 + A2 + An ) = P ( A1 ) + P( A2 ) + + P( An ) TRƯỜNG HP CÁC BIẾN CỐ BẤT KỲ Với A, B, C biến cố (không thiết xung khắc) Ta có cơng thức cộng xác suất tổng quát sau P ( A + B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A.B ) ; P ( A + B + C ) = P ( A) + P ( B ) + P (C ) − P ( AB ) − P ( BC ) − P (CA) + P ( ABC ) 4.3 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ ĐỐI LẬP Cho biến cố A phép thử τ, A có biến cố đối lập A Ta có cơng thức P ( A) = − P ( A) Ví dụ 1.11 Theo thống kê Bộ nơng nghiệp Hoa kỳ, diện tích tồn nông trại nước cho bảng sau Diện tích (ha) Tần suất Biến cố Dưới 10 0,087 A 10-49 0,192 B 50-99 0,156 C 100-179 0,173 D 180-259 0,098 E 260-499 0,143 F 500-999 0,085 G 1.000-1999 0,040 H Từ 2.000 0,026 I trở lên Chọn ngẫu nhiên nông trại Sử dụng bảng thống kê trên, tính xác suất để nơng trại chọn có diện tích: a) Từ 100 đến 499 b) Nhỏ 2.000 c) Khơng 50 Tài Liệu Xác Suất Thống Kê I.8 Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS Lê Anh Vũ Giải Gọi J, K, L biến cố nông trại chọn thỏa mãn yêu cầu câu a, b, c Ta cần tính xác suất P(J), P(K), P(L) Từ bảng cho ta thấy: J = D + E + F; K = I ; L = A + B Vì biến cố cho bảng đơi xung khắc nên ta có: a) P(J) = P( D + E + F) = P(D) + P(E) + P(F) = 0, 414 = 41, 4% b) P(K) = P ( I ) = – P(I) = – 0,026 = 0,974 = 97,4% c) P(L) = P( A + B ) = – P(A+B) = – P(A) – P(B) = – 0,087 – 0,192 = 0, 721 = 72,1% Kết luận: P(J) = 41,1%; P(K) = 97,4%; P(L) = 72,1% Ví dụ 1.12 Tại câu lạc âm nhạc, thăm dò 100 người thấy có 80 người thích nhạc Văn Cao; 70 người thích nhạc Trịnh Cơng Sơn; 60 người thích nhạc hai nhạc sỹ Chọn ngẫu nhiên người số họ Tính xác suất để người thích nhạc hai nhạc sỹ Giải Đặt C biến cố người chọn thích nhạc Văn Cao S biến cố người chọn thích nhạc Trịnh Cơng Sơn T biến cố người chọn thích nhạc hai nhạc sỹ Do C, S không xung khắc nên áp dụng công thức xác suất cộng P (T) = P (C + S) = P (C) + P (S) – P (CS) = 0,8 + 0,7 – 0,6 = 0,9 = 90% Kết luận: Xác suất để người chọn thích nhạc hai nhạc sỹ 90% XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT 5.1 CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT KHI CÁC BIẾN CỐ ĐỘC LẬP • Với A, B hai biến cố độc lập, ta có cơng thức nhân xác suất sau P ( A.B ) = P ( A).P ( B ) • Cho n biến cố A1, A2…, An độc lập tồn phần Cơng thức nhân xác suất chúng sau P(A A A n ) = P(A ) P(A ) K P(A n ) Ví dụ 1.13 Tung xúc xắc lần Tính xác suất mặt chấm xuất lần Giải Gọi Ai biến cố xuất mặt chấm lần tung thứ i, i= 1,2,3 Gọi A biến cố mặt chấm xuất lần Ta cần tính P(A) Rõ ràng Tài Liệu Xác Suất Thống Kê I.9 Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS Lê Anh Vũ A = A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 Do ( ) = P( A A A ) + P( A A A ) + P( A A A ) + P( A A A ) P ( A ) = P A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 3 3 Vì biến cố xuất mặt chấm lần tung độc lập với nên ta có 1 5 ; P ( A1 A2 A3 ) = P ( A1 A2 A3 ) = P ( A1 A2 A3 ) = P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) = × × = 6 216 1 1 P ( A1 A2 A3 ) = P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) = × × = 6 216 Kết luận: P ( A ) = 27 5.2 XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ CÔNG KHI CÁC BIẾN CỐ KHÔNG ĐỘC LẬP THỨC NHÂN XÁC SUẤT Cho A, B hai biến cố tùy ý Giả sử B xẩy Khi xác suất biến cố A (được tính điều kiện biết biến cố B xảy ra) gọi xác suất (có điều kiện) A điều kiện B (đã xảy ra), ký hiệu P(A/B) Cơng thức xác suất có điều kiện sau P( A.B) P ( B A) ; P ( B A) = P( A B) = P( B) P ( A) Do P ( A.B ) = P ( A B ) P ( B ) ; P( A B ) = P( B A) P( A) P( B) Rõ ràng A, B độc lập P ( A B ) = P ( A) P ( B A) = P ( B ) Từ ta tổng qt cơng thức nhân cho n biến cố A1, A2, … ,An (không thiết độc lập) sau P ( A1A A n ) = P ( A1 ) P ( A / A1 ) P ( A3 / A1 A2 )K P ( An / A1 A2 An −1 ) Ví dụ 1.14 Một lơ hàng có 20 sản phẩm, có hai sản phẩm xấu Chọn lần sản phẩm phát đủ hai sản phẩm xấu dừng Tính xác suất để dừng lại lần chọn thứ a) Chọn khơng hồn lại b) Chọn có hồn lại Giải Đặt Xi biến cố chọn sản phẩm xấu lần chọn thứ i, i = 1,20 D biến cố dừng lại lần chọn thứ Ta cần tính P(D) Dễ thấy D = X X X + X X X (các biến cố xung khắc với nhau) Do P ( D ) = P ( X X X ) + P ( X X X ) a) Chọn khơng hồn lại Các biến cố X , X , X không độc lập Do ta có: Tài Liệu Xác Suất Thống Kê I.10 Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất P( X X X ) = P( X ) P( X / X ) P( X / X X ) = PGS-TS Lê Anh Vũ 18 .= = 20 19 18 20.19 190 P( X X X ) = P( X ) P( X / X ) P( X / X X ) 18 2 = = 20 19 18 20.19 190 Kết luận: P( D) = = ≈ 1, 05% 190 95 b) Chọn có hồn lại Các biến cố X , X , X độc lập với Do ta có: = P( X X X ) = P( X ) P( X ) P( X ) = 18 × × = 0,9% 20 20 20 P( X X X ) = P( X ) P( X ) P( X ) = Kết luận: 18 2 = 0,9% 20 20 20 P ( D ) = 2.0, 009 = 1,8% CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ VÀ CÔNG THỨC BAYES 6.1 CÔNG THỨC XÁÙC SUẤT ĐẦY ĐỦ Giả sử A1, A2…, An nhóm đầy đủ biến cố B biến cố Khi ta có cơng thức xác suất đầy đủ sau n P ( B ) = ∑ P ( Ai ) P ( B / Ai ) = P ( A1 ) P ( B / A1 ) + P ( A2 ) P ( B / A2 ) + L + P ( An ) P ( B / An ) i =1 6.2 COÂNG THỨC BAYES Giả thiết hồn tồn giả thiết cơng thức xác suất đầy đủ Ta có cơng thức Bayes sau P ( A ) P ( B / Ak ) P ( Ak ) P ( B / Ak ) = P ( Ak / B ) = n k P( B) ∑ P( Ai ) P( B / Ai ) i =1 Ví dụ 1.15 Một nhà máy sản xuất bóng đèn có ba phân xưởng Phân xưởng I sản xuất 25%, phân xưởng II sản xuất 35%, phân xưởng III sản xuất 40% số bóng đèn Tỉ lệ sản phẩm hỏng phân xưởng tổng số sản phẩm phân xưởng sản xuất 3%, 2%, 1% Một người mua bóng đèn nhà máy sản xuất Tính xác suất để a) Sản phẩm tốt b) Biết sản phẩm hỏng Tính xác suất để phân xưởng III sản xuất Tài Liệu Xác Suất Thống Kê I.11 Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS Lê Anh Vũ Giải Đặt A biến cố sản phẩm phân xưởng I sản xuất B biến cố sản phẩm phân xưởng II sản xuất C biến cố sản phẩm phân xưởng III sản xuất T biến cố sản phẩm tốt Khi dó A, B, C nhóm đầy đủ, T biến cố sản phẩm hỏng a) Ta cần tính P(T) Theo cơng thức xác suất đầy đủ, ta có P (T ) = P (T A) P ( A) + P (T B ) P ( B ) + P(T C ) P(C ) = 0,97 × 0.25 + 0,98 × 0,35 + 0,99 × 0, = 0,9815 = 98,15% b) Ta cần tính P(C/ T ) Áp dụng công thức xác Bayes, ta có P(C / T ) = P(C ) P(T / C ) P(C ) P (T / C ) 0, × 0, 01 ≈ 21,62% = − P (T ) − 0,9815 P (T ) Ví dụ 1.16 Một hộp có 15 bóng bàn, có bóng (chưa sử dụng) bóng cũ (đã sử dụng) Lần đầu chọn để sử dụng, sau bỏ vào lại Lần hai chọn a) Tính xác suất bóng chọn lần hai bóng b) Biết lần hai chọn bóng Tính xác suất lần đầu chọn bóng Giải Gọi Mi biến cố lần đầu chọn i bóng mới, i = 0,3 Khi Mo, M1, M2, M3 nhóm đầy đủ biến cố Đặt B biến cố lần hai chọn bóng a) Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có P(B) = P(Mo)P(B/Mo) + P(M1)P(B/M1) + P(M2)P(B/M2) + P(M3)P(B/M3) Ta có: P (M o ) = P( B / M o 2 C6 ; P(M ) = C9 C6 ; P(M ) = C9 C6 ; P(M ) = C9 ; 3 3 C15 C15 C15 C15 )= C C P( B / M ) = C C ; 15 ; P( B / M 15 )= C C ; P( B / M 15 )= C C 15 Do P ( B) = (C ) (C C 3 3 3 ) + C 9C 6.C + C 9C 6.C + C 9.C = 528 ≈ 8,93% 5915 15 b) Áp dụng công thức Bayes, ta có C73 C92C61 P( M ) P( B / M ) C153 C153 P( M / B) = = = ≈ 40,91% 528 P( B) 22 5915 Tài Liệu Xác Suất Thống Kê I.12 Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS Lê Anh Vũ CÔNG THỨC BEC-NU-LI (BERNOULLI) 7.1 DÃY PHÉP THỬ BERNOULLI Một dãy n phép thử (0 < n ∈ ) gọi dãy phép thử Bernoulli, chúng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau đây: • Tất phép thử độc lập với • Trong phép thử biến cố A mà ta quan tâm có xác suất P(A) = p khơng đổi 7.2 CÔNG THỨC BERNOULLI Kí hiệu • • q = – p = P( A ) Pn(k; p) xác suất để biến cố A xuất k lần n phép thử Bernoulli (còn gọi xác suất để có k lần thành cơng n lần thử) • Pn(k1, k2; p) xác suất để A xuất k1 lần , nhiều k2 lần n phép thử Bernoulli (còn gọi xác suất để n lần thử số lần thành cơng k1, nhiều k2) Ta có cơng thức Bernoulli sau Pn ( k , p ) = C nk p k q n − k ; ≤ k ≤ n Pn (k1 , k2 ; p ) = k2 k2 k = k1 k = k1 ∑ Pn (k ; p) = ∑ Cnk p k q n−k ; ≤ k1 < k2 ≤ n 7.3 SỐ CÓ KHẢ NĂNG NHẤT Số k0 cho Pn(k0; p) lớn ( tất Pn(k;p) ) gọi số có khả Ta có • Nếu np – q ngun k0 có hai giá trị np – q np – q +1 • Nếu np – q khơng ngun k0 = k0 = [np – q] + Ví dụ 1.17 Xác suất bắn trúng mục tiêu xạ thủ lần bắn 0,6 Biết xác suất mục tiêu bị diệt trúng 1, 2, phát đạn 0,2 ; 0,5 ; 0,8 Còn trúng phát đạn chắn bị diệt.Tìm xác suất mục tiêu bị diệt xạ thủ bắn phát đạn Giải Gọi D biến cố cần tìm xác suất Theo đề bài, D phụ thuộc vào việc mục tiêu bị trúng phát đạn Ta gọi biến cố mục tiêu trúng k phát đạn Tk Khi ta có nhóm đầy đủ T0, T1, T2, T3, T4 Theo công thức xác suất đầy đủ, P(D) tính cơng thức : P(D) = ∑ P(T K =0 K )P(D/TK ) Từ đề suy P(D/T1) = 0,2 ; P(D/T2) = 0,5 ; P(D/T3) = 0,8 ; P(D/T4) = 1, hiển nhiên P(D/T0) = _ Ta cần tính P(Tk), k = 0,4 Tài Liệu Xác Suất Thống Kê I.13 Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS Lê Anh Vũ Xạ thủ bắn phát đạn cách độc lập xác suất bắn trúng mục tiêu lần khơng thay đổi Do ta có dãy phép thử Bernoulli với p = 0,6, q = 0,4 Áp dụng công thức Bernoulli ta P(T0) = P4(0 ; 0,6) = C 40 p q = 0,44 = 0,0256 ; P(T1) = P4(1 ; 0,6) = C 41 p q = 4.0,6.0,43 = 0,1536 ; P(T2) = P4(2 ; 0,6) = C 42 p q = 6.0,62.0,42 = 0,3456 ; P(T3) = P4(3 ; 0,6) = C 43 p q = 4.0,63.0,4 = 0,3456 ; P(T4) = P4(4 ; 0,6) = C 44 p q = 0,64 = 0,1296 ; Kết luận: xác suất mục tiêu bị diệt xạ thủ bắn phát đạn : P(D) = 0,0256.0 + 0,1536.0,2 + 0,3456.0,5 + 0,3456.0,8 + 0,1296.1 = 60,96% Ví dụ 1.18 Một bác sỹ có xác suất chữa khỏi bệnh 0,8 Có thể nói 10 người đến bác sỹ chữa bệnh chắn có người khỏi bệnh khơng ? Nếu khơng số người khỏi có khả ? Giải Câu khẳng định sai Ở coi việc chữa bệnh cho 10 người dãy 10 phepes thử Bernoulli với xác suất thành công lần thử p = 0,8 Do q = 0, Từ , xác suất để 10 người đến chữa có người khỏi bệnh P10 (8; 0,8) = C108 0,88.0, 2 ≈ 31, 08% Ở đây, np – q = 10 0, – 0,2 không nguyên nên số có khă k0 = [np – q] + = Kết luận: Không thể nói 10 người đến chữa chắn người khỏi bệnh Chỉ nói cư1 10 người đến chữa bệnh nhiều khả người khỏi LƯC ĐỒ GIẢI BÀI TOÁN CÁC SUẤT Để giải tốn xác suất, ta cần tuân thủ lược đồ sau : • Bước Đọc đề nhanh chóng phát hành động (tức phép thử) toán Căn vào kết cục xẩy sau hành động để đặt tên biến cố tóm tắt yêu cầu cần tính xác suất Nếu thấy hành động lặp lặp lại nhiều lần nên dùng cơng thức Bernoulli tính tốn Nếu hành động khơng lặp chuyển sang bước • Bước Xét quan hệ biến cố cần tính xác suất biến cố đơn giản để định cần dùng công thức công thức cộng , nhân xác suất đầy đủ hay Bayes Rõ ràng gặp biến cố tổng hay tích dùng cơng thức cộng, nhân xác suất Còn thấy hành động chia hai giai đoạn, kết cục giai đoạn sau phụ thuộc vào kết cục giai đoạn đầu nói chung dùng công thức xác suất đầy đủ Bayes • Bước3 Đọc kỹ số liệu cho giả thiết tốn để ráp vào cơng thức dùng tính tốn đến đáp số Tài Liệu Xác Suất Thống Kê I.14 ... nhà máy sản xuất Tính xác suất để a) Sản phẩm tốt b) Biết sản phẩm hỏng Tính xác suất để phân xưởng III sản xuất Tài Liệu Xác Suất Thống Kê I.11 Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS Lê Anh Vũ... hợp lý ta định nghĩa P(G) tỷ số diện tích hai miền (G) (D), tức S (G ) = = P(G) = S ( D) Tài Liệu Xác Suất Thống Kê I.7 Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS Lê Anh Vũ CÔNG THỨC CỘNG XÁC SUẤT... trại Sử dụng bảng thống kê trên, tính xác suất để nơng trại chọn có diện tích: a) Từ 100 đến 499 b) Nhỏ 2.000 c) Khơng 50 Tài Liệu Xác Suất Thống Kê I.8 Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS Lê
