TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN BỘ MƠN TỐN  LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN SINH VIÊN THỰC HIỆN TS Nguyễn Hữu Khánh Trần Ngọc Hiền Bộ mơn Tốn – Khoa KHTN Ngành: Tốn Thống Kê Cần Thơ, 06/2010 LỜI CẢM ƠN Xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Hữu Khánh tận tình dạy suốt trình làm luận văn, thầy cung cấp cho nhiều tài liệu vô quý báu giúp hiểu sâu Maple Xin cảm ơn q Thầy, Cơ trường Đại Học Cần Thơ đặc biệt Thầy, Cơ mơn Tốn khoa khao học Tự Nhiên – Đại Học Cần Thơ tận tình giảng dạy tơi suốt thời gian học tập Xin cảm ơn Ban Giám Hiệu phòng quản lý Đào Tạo trường Đại Học Cần Thơ tạo điều kiện tốt cho tơi q trình học tập trường Xin cảm ơn bạn bè giúp đỡ tơi q trình học tập, sưu tầm tìm kiếm tài liệu để tơi hồn thành luận văn Xin bày tỏ lòng biết ơn đặc biệt đến Cha, Mẹ người thân dạy dỗ, khuyến khích, động viên tạo điều kiện tốt cho tơi suốt q trình học tập BẢNG CÁC CHỮ VIẾT TẮT CDF Hàm phân phối tích lũy (Cumulative distribution functions) PDF Hàm phân phối xác suất (Probability distribution function) PMF Hàm khối xác suất (Probability mass function) MỤC LỤC Chương GIỚI THIỆU VỀ MAPLE 1.1 Giới thiệu Maple 1.2 Đốí tượng Maple 1.2.1 Tập hợp danh sách .2 1.2.2 Dãy 1.2.3 Biến ngẫu nhiên 1.2.4 Định nghĩa hàm 1.2.5 Vẽ đồ thị Chương XÁC SUẤT 2.1 Giải tích tổ hợp 2.1.1 Hoán vị 2.1.2 Chỉnh hợp 2.1.3 Tổ hợp 2.2 Định nghĩa xác suất 2.2.1 Định nghĩa xác suất theo cổ điển: 2.2.2 Định nghĩa xác suất theo thống kê: 2.3 Xác suất có điều kiện: 2.3.1 Định nghĩa .7 2.3.2 Công thức 2.4 Biến cố độc lập Chương 10 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT RỜI RẠC 10 3.1 Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc: 10 3.1.1 Khái niệm đại lượng ngẫu nhiên rời rạc .10 3.2 Các đặc trưng đại lượng ngẫu nhiên rời rạc 15 3.2.1 Kỳ vọng toán 15 3.2.2 Phương sai độ lệch tiêu chuẩn 16 3.2.3 Moment 18 3.2.4 Maple với thống kê mô tả đại lượng ngẫu nhiên rời rạc 18 3.3 Các phân phối đại lượng ngẫu nhiên rời rạc 22 3.3.1 Phân phối .22 3.3.2 Phân phối siêu bội .24 3.3.3 Phân phối nhị thức phân phối Bernoulli 25 3.3.4 Phân phối Poisson 29 Chương 32 PHÂN PHỐI LIÊN TỤC 32 4.1 Đại lượng ngẫu nhiên liên tục 32 4.1.1 Khái niệm đại lượng ngẫu nhiên liên tục 32 4.1.2 Hàm mật độ xác suất: .32 4.1.3 Hàm phân phối xác suất: .33 4.2 Các đặc trưng đại lượng ngẫu nhiên liên tục 35 4.2.1 Kỳ vọng 35 4.2.2 Phương sai độ lệch chuẩn 36 4.2.3 Moment 36 4.3 Các phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục 37 4.3.1 Phân phối 37 4.3.2 Phân phối mũ: 38 4.3.3 Phân phối Gamma 39 4.3.4 Phân phối bình phương 40 4.3.5 Phân phối chuẩn .42 4.3.6 Phân phối Student 44 4.3.7 Phân phối Fisher 45 4.3.8 Phân phối Weibull 46 4.4 Tổng quát hoá biến ngẫu nhiên - Mô 47 4.5 Mô phân phối xác suất với Maple 48 Chương 53 LÝ THUYẾT PHÂN PHỐI MẪU 53 5.1 5.2 5.3 5.4 Đại lượng ngẫu nhiên độc lập 53 Phân phối tổng đại lượng ngẫu nhiên độc lập .54 Các hàm ngẫu nhiên kết hợp với phân phối chuẩn 55 Định lý giới hạn trung tâm 56 Chương 58 HỒI QUI - ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ - KHOẢNG TIN CẬY58 6.1 Hồi qui ước lượng tham số 58 6.2 Ước lượng khoảng tin cậy .59 6.2.2 Ước lượng trung bình 59 6.2.3 Ước lượng phương sai 62 6.2.4 Ước lượng tỉ lệ 64 6.2.5 Xác định kích thước mẫu .65 Chương 67 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ 67 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 Kiểm định trung bình 70 Kiểm định tỉ lệ .74 Kiểm định phương sai 75 Kiểm định hai trung bình .78 Kiểm định hai tỉ lệ 82 Chương GIỚI THIỆU VỀ MAPLE 1.1 Giới thiệu Maple Maple hệ tính tốn hình thức xây dựng cơng ty Waterloo Maple (Canada) năm 1980 Phần mềm tính tốn tạo bước việc học , khám phá ứng dụng tốn học đáp ứng yêu cầu sau: i) Cho phép nhiều người sử dụng tiếp cận hệ thống lúc với khả sử lư nhanh ii) Có cú pháp dễ hiểu, rơ ràng lơgic iii) Có đặc tính thêm vào ) Hiện phần mềm Toán học MAPLE nhà Toán học, nhà nghiên cứu sinh viên giới sử dụng cách rộng răi Giao diện cũa Maple MAPLE có chức sau: (Symbolic computating) * Tính tốn giá trị (Numerical Calculus) * Đồ họa (Graphics) * Tạo văn (Documentation) (Programming) Phần mềm MAPLE sử dụng luận văn MAPLE 11 1.2 Đốí tượng Maple 1.2.1 Tập hợp danh sách {tập hợp} [danh sách] Cần phân biệt > {a,a,b}; cho {a,b} > [a,a,b]; cho [a,a,b] 1.2.2 Dãy Lệnh: > seq(f, i = m n); f biểu thức, i tên m,n giá trị số 1.2.3 Biến ngẫu nhiên Lệnh: > X:=RandomVariable(distribution); distribution phân phối biến ngẫu nhiên  Ví dụ: > X := RandomVariable(Normal(0,1)); X biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với µ = σ = 1.2.4 Định nghĩa hàm * Lệnh: Hàm biến: f := x -> biểu thức x Hàm nhiều biến: g := (x,y) -> biểu thức x, y  Ví dụ: > f:=x-> x^2; f := x → x2 > g:=(x,y)->x*y; g := ( x, y ) → x y 1.2.5 Vẽ đồ thị Trước hết ta đưa thư viện "plots" vào: Lệnh: > with(plots): > plot(expr,range,options,title); * expr: biểu thức hàm số * range: tham biến xác định vùng vẽ * options: tùy chọn + axes (trục): none, normal, boxed, frame + color (màu): red, yellow, green, blue… + labels = [x,y]: đặt tên cho trục + linestyle (kiểu đường): chọn đường liền hay đứt đoạn cho đường liền, cho đường đứt đoạn + numpoints: chọn số lượng điểm tạo nên đồ thị Mặc định numpoints = 50 + style: cho phép ta bi ểu diễn đồ thị line (đường), point (điểm), patch (dung cho dạng có chứa đa giác), patchnogrid (giống patch khơng có ô lưới) + scaling: tỷ lệ co giãn trục tọa độ unconstrained: không bị rang buộc constrained: bị rang buộc (các trục có độ dài đơn vị) + symbol: plot diểm dạng box (ô vuông), cross (dấu cộng), point (điểm), circle (chữ o), diamond (hình thoi vng) * title: tiêu đề cho hình vẽ (Ví dụ: title = ‘hàm bậc ba’) Chương XÁC SUẤT 2.1 Giải tích tổ hợp Maple có gói lệnh combinat dùng để xác định đối tượng giải tích tổ hợp Để mơ tả chỉnh hợp tính số chỉnh hợp ta dùng lệnh: > with(combinat,permute); > with(combinat,numbperm); Để mơ tả tổ hộp tính số tổ hợp ta dùng lệnh: > with(combinat,choose); > binomail(n,k); 2.1.1 Hoán vị Giả sử X tập hợp gồm n phần tử Một hoán vị X cách xếp thứ tự n phần tử X Số hoán vị tập gồm n phần tử Pn = n !  Ví dụ: Tính P10 ta dùng lệnh > 10!; 3628800 2.1.2 Chỉnh hợp Chỉnh hợp chập k n phần tử (k ≤ n) có thứ tự gồm k phần tử khác chọn từ n phần tử cho Số chỉnh hợp chập k n phần tử là: Ank = n! (k = 1, 2, …) (n − k )! Tính Ank ta dùng lệnh > with(combinat, numbperm); > numbperm(n, k); Trường hợp 2: Var ( X ) = σ chưa biết, n ≥ 30 • Chọn thống kê: U= ( X − m0 ) n H U ~ (0,1) S' • Miền bác bỏ kiểm định: - Nếu  H : m = m0   H1 : m < m0 - Nếu  H : m = m0   H1 : m > m0 ⇒= Wα (u1−α ; +∞) - Nếu  H : m = m0   H1 : m ≠ m0  ⇒ Wα =  −∞; −u α  1−  ( −∞; −u1−α ) ⇒ Wα =       u α ; +∞    1−     Các giá trị u1−α u α tra bảng phân vị chuẩn 1− • Giá trị quan sát: u0 = ( x − m0 ) n s' • Kết luận: - Nếu u0 ∈ Wα : Bác bỏ giả thiết H , chấp nhận đối thiết - Nếu u0 ∉ Wα : Chấp nhận giả thiết H , bác bỏ đối thiết Trường hợp 3: Var ( X ) = σ chưa biết, n ≤ 30 , X có phân phối chuẩn • Chọn thống kê: T= ( X − m0 ) n S' H T ~ T (n − 1) • Miền bác bỏ kiểm định: - Nếu  H : m = m0   H1 : m < m0 - Nếu  H : m = m0   H1 : m > m0 = ⇒ Wα (tn −1,1−α ; +∞) - Nếu  H : m = m0   H1 : m ≠ m0  ⇒ Wα =  −∞; −t α  n −1,1−  ⇒ Wα = ( −∞; −tn −1,1−α )      t  +∞ ;   n −1,1− α     Các giá trị tn −1,1−α t • Giá trị quan sát: n −1,1− t0 = α tra bảng phân vị Student ( x − m0 ) n s' • Kết luận: - Nếu t0 ∈ Wα : Bác bỏ giả thiết H , chấp nhận đối thiết - Nếu t0 ∉ Wα : Chấp nhận giả thiết H , bác bỏ đối thiết • Lệnh Maple Kiểm định trung bình với phương sai chưa biết >OneSampleTTest(X, mu0, test_options) Kiểm định trung bình với phương sai biết >OneSampleZTest(X, mu0, sigma, test_options) Trong đó: X: liệu mẫu mu0: giá trị kiểm định trung bình sigma: độ lệch chuẩn X test_option: độ tin cậy, output, alternative, ignore or weights  Ví dụ: Độ dài chi tiết máy đại lượng ngẫu nhiên X có luật phân phối chuẩn Kiểm tra 28 sản phẩm thu số liệu sau (đơn vị tính: cm) 20,10 20,05 20,03 19,98 20,00 20,02 20,01 20,00 20,02 19,99 19,97 20,02 19,99 19,96 19,97 20,00 20,00 20,02 20,03 19,97 20,00 20,01 20,04 19,99 20,03 20,02 20,00 20,04 Với mức ý nghĩa α = 0,05 , cho trung bình độ dài chi tiết máy 20 cm hay khơng? Trước tiên ta gọi gói Statistics > With(Statistics): Hiển thị tồn thơng số q trình kiểm định > infolevel[Statistics] := 1: Nhập liệu mẫu > X := Array([20.10, 20.05, 20.03,19.98, 20, 20.02,20.01, 20, 20.02, 19.99, 19.97, 20.02, 19.99, 19.96, 19.97, 20, 20, 20.02, 20.03, 19.97, 20, 20.01, 20.04, 19.99, 20.03, 20.02, 20, 20.04 ]): Tính trung bình mẫu > Mean(X); 20.00928571 Kiểm định xem trung bình độ dài máy 20 không, với mức ý nghĩa α = 0,05 > OneSampleTTest(X, 20, confidence=.975); Maple  Standard T-Test on One Sample Null Hypothesis: Sample drawn from population with mean 20 Alt Hypothesis: Sample drawn equal to 20 from population with Sample size: 28 Sample mean: 20.0093 Sample standard dev.: 0.0293041 Distribution: StudentT(27) Computed statistic: 1.67674 Computed pvalue: 0.105136 Confidence interval: 20.02242959 mean 19.99614183 not (population mean) Result: [Accepted] There is no statistical evidence against the null hypothesis hypothesis = true, confidenceinterval = 19.99614183 20.02242959 , distribution = StudentT( 27 ), pvalue = 0.1051356791 , statistic = 1.676740189 7.2 Kiểm định tỉ lệ Giả sử tổng thể có hai loại phần tử: loại phần tử có tính chất A loại phần tử khơng có tính chất A p chưa biết ta đưa toán kiểm định sau:  H : p = p0   H1 : p < p0  H : p = p0   H : p > p0  H : p = p0   H : p ≠ p0 Lập mẫu ngẫu nhiên WX = ( X1, X , , X n ) , gọi f phần tử có tính chất A mẫu • Chọn thống kê: U= ( f − p0 ) n Nếu H U ~ N (0,1) p0 q0 • Miền bác bỏ: - Nếu  H : p = p0   H1 : p < p0 ⇒ Wα = (−∞; −u1−α ) - Nếu  H : p = p0   H1 : p > p0 ⇒= Wα (u1−α ; +∞) - Nếu  H : p = p0   H1 : p ≠ p0  ⇒ Wα =  −∞; −u α  1−        u α ; +∞    1−     Các giá trị u1−α u α tra bảng phân vị chuẩn 1− • Giá trị quan sát: • Kết luận: u0 = (f − p0 ) n p0 q0 (q0 = − p0 ) - Nếu u0 ∈ Wα : Bác bỏ giả thiết H , chấp nhận đối thiết - Nếu u0 ∉ Wα : Chấp nhận giả thiết H , bác bỏ đối thiết • Lệnh Maple 7.3 Kiểm định phương sai Giả sử đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với phương sai Var( X ) = σ chưa biết Ta đưa toán kiểm định sau:  H : σ = σ 02  2  H1 : σ < p0  H : σ = σ 02  2  H1 : σ > p0  H : σ = σ 02  2  H1 : σ ≠ p0 Lập mẫu ngẫu nhiên WX = ( X1, X , , X n ) • Chọn thống kê: n − 1) S ' ( χ = H χ ~ χ (n − 1) σ • Miền bác bỏ kiểm định: - - - Nếu  H : σ = σ 02  2  H1 : σ < σ ⇒ Wα = ( −∞; − χn2−1,α ) Nếu  H : σ = σ 02  2  H1 : σ > σ = ⇒ Wα ( χn2−1,1−α ; +∞ ) Nếu  H : σ = σ 02  2  H1 : σ ≠ σ  ⇒ Wα =  −∞; − χ α  n −1,      χ2  +∞ ;   n −1,1− α     Các giá trị χ tra bảng phân vị Chi-bình-phương • Giá trị quan sát: χ 02 n − 1) s ' ( = σ 02 • Kết luận: - Nếu χ 02 ∈ Wα : Bác bỏ giả thiết H , chấp nhận đối thiết - Nếu χ 02 ∉ Wα : Chấp nhận giả thiết H , bác bỏ đối thiết • Lệnh Maple >OneSampleChiSquareTest(X, sigma0, test_options) Trong đó: X: liệu mẫu sigma0: giá trị kiểm định độ lệch chuẩn test_option: độ tin cậy, output, alternative, ignore or weights  Ví dụ: Trước tiên ta gọi gói Statistics > with(Statistics): Hiển thị tồn thơng số q trình kiểm định >infolevel[Statistics] := 1: Nhập liệu > X := Array([9, 10, 8, 4, 8, 3, 0, 10, 15, 9]): Tính độ lệch tiêu chuẩn mẫu StandardDeviation(X); 4.247875286 Kiểm định xem độ lệch chuẩn sigma0 = không, với alpha = 0.95 > OneSampleChiSquareTest(X, 7, confidence=.95); Chi-Square Test on One Sample Null Hypothesis: Sample drawn from population with standard deviation equal to Alt Hypothesis: Sample drawn from population with standard deviation not equal to Sample size: 10 Sample standard dev.: 4.24788 Distribution: ChiSquare(9) Computed statistic: 3.31429 Computed pvalue: 0.0989571 Confidence interval: 2.921838179 7.754964053 (population standard deviation) Result: [Accepted] There is no statistical evidence against the null hypothesis hypothesis = true, confidenceinterval = 2.921838179 7.754964053 , distribution = ChiSquare( ), pvalue = 0.09895707466 , statistic = 3.314285714 Calculate the lower tail chisquare-test > OneSampleChiSquareTest(X, alternative='lowertail'); 7, confidence=.95, Chi-Square Test on One Sample Null Hypothesis: Sample drawn from greater than population with standard deviation population with standard deviation Alt Hypothesis: Sample drawn less than from Sample size: 10 Sample standard dev.: 4.24788 Distribution: ChiSquare(9) Computed statistic: 3.31429 Computed pvalue: 0.0494785 Confidence interval: 6.988593924 (population standard deviation) Result: [Rejected] There exists hypothesis statistical evidence against the null hypothesis = false, confidenceinterval = 6.988593924 , distribution = ChiSquare( ), pvalue = 0.04947853733 , statistic = 3.314285714 Calculate the upper tail chisquare-test > OneSampleChiSquareTest(X, alternative='uppertail'); 7, confidence=.95, Chi-Square Test on One Sample Null Hypothesis: Sample drawn less than from population with standard deviation population with standard deviation Alt Hypothesis: Sample drawn from greater than Sample size: 10 Sample standard dev.: 4.24788 Distribution: ChiSquare(9) Computed statistic: 3.31429 Computed pvalue: 0.950521 Confidence interval: 3.098175082 infinity (population standard deviation) Result: [Accepted] There is no hypothesis statistical evidence against the null hypothesis = true, confidenceinterval = 3.098175082 ∞, distribution = ChiSquare( ), pvalue = 0.9505214627 , statistic = 3.314285714 7.4 Kiểm định hai trung bình Giả sử hai đại lượng ngẫu nhiên X, Y có trung bình E(X), E(Y) chưa biết Ta đưa toán kiểm định sau:  H : E ( X ) = E (Y )   H1 : E ( X ) < E (Y )  H : E ( X ) = E (Y )   H1 : E ( X ) > E (Y )  H : E ( X ) = E (Y )   H1 : E ( X ) ≠ E (Y ) • Miền bác bỏ: (Tương tự kiểm định tỉ lệ) • Giá trị quan sát: Trường hợp 1: Biết Var(X), Var(Y ) u0 = Trường hợp 2: Chưa biết Var(X), Var(Y ) x− y Var( X ) Var(Y ) + n m u0 = x− y '2 s x' s y + n m • Kết luận: (Tương tự kiểm định tỉ lệ) • Lệnh Maple >TwoSampleTTest(X1, X2, beta, options) Trong đó: X1: mẫu X2: mẫu Beta: giá trị kiểm định hiệu trung bình Options:  Ví dụ: > with(Statistics): infolevel[Statistics] := 1: Nhập liệu mẫu > X := Array([9, 10, 8, 4, 8, 3, 0, 10, 15, 9]): >Y := Array([6, 3, 10, 11, 9, 8, 13, 4, 4, 4]): Tính hiệu hai trung bình Mean(X)-Mean(Y); 0.400000000 Kiểm định xem hai trung bình có không với alpha = 0.95 > TwoSampleTTest(X, Y, 0, confidence=.95); Standard T-Test on Two Samples (Unequal Variances) -Null Hypothesis: Sample drawn from populations with difference of means equal to Alt Hypothesis: Sample drawn from population with difference of means not equal to Sample sizes: 10, 10 Sample means: 7.6, 7.2 Sample standard devs.: 4.24788, 3.48967 Difference in means: 0.4 Distribution: StudentT(17.34636034) Computed statistic: 0.230089 Computed pvalue: 0.820714 Confidence interval: -3.262246305 4.062246305 (difference of population means) Result: [Accepted] There is no statistical evidence against the null hypothesis hypothesis = true, confidenceinterval = -3.262246305 4.062246305 , distribution = StudentT( 17.34636034 ), pvalue = 0.8207137446 , statistic = 0.2300894966 Repeat the test with population variances indicated as equal > TwoSampleTTest(X, equalvariances=true); Y, 0, confidence=.95, Standard T-Test on Two Samples (Equal Variances) -Null Hypothesis: Sample drawn from populations with difference of means equal to Alt Hypothesis: Sample drawn from population with difference of means not equal to Sample sizes: 10, 10 Sample means: 7.6, 7.2 Sample standard devs.: 4.24788, 3.48967 Difference in means: 0.4 Distribution: StudentT(18) Computed statistic: 0.230089 Computed pvalue: 0.820617 Confidence interval: -3.252356256 4.052356256 (difference of population means) Result: [Accepted] There is no hypothesis statistical evidence against the null hypothesis = true, confidenceinterval = -3.252356256 4.052356256 , distribution = StudentT( 18 ), pvalue = 0.8206168078 , statistic = 0.2300894966 Calculate the lower tail t-test > TwoSampleTTest(X, alternative='lowertail'); Y, 0, confidence=.95, Standard T-Test on Two Samples (Unequal Variances) -Null Hypothesis: Sample drawn from populations with difference of means greater than Alt Hypothesis: Sample drawn from population with difference of means less than Sample sizes: 10, 10 Sample means: 7.6, 7.2 Sample standard devs.: 4.24788, 3.48967 Difference in means: 0.4 Distribution: StudentT(17.34636034) Computed statistic: 0.230089 Computed pvalue: 0.589643 Confidence interval: -infinity 3.420755933 (difference of population means) Result: [Accepted] There is no statistical evidence against the null hypothesis hypothesis = true, confidenceinterval = −∞ 3.420755933 , distribution = StudentT( 17.34636034 ), pvalue = 0.5896431277 , statistic = 0.2300894966 Calculate the upper tail t-test > TwoSampleTTest(X, alternative='uppertail'); Y, 0, confidence=.95, Standard T-Test on Two Samples (Unequal Variances) -Null Hypothesis: Sample drawn from populations with difference of means less than Alt Hypothesis: Sample drawn from population with difference of means greater than Sample sizes: 10, 10 Sample means: Sample standard devs.: Difference in means: Distribution: Computed statistic: Computed pvalue: Confidence interval: 7.6, 7.2 4.24788, 3.48967 0.4 StudentT(17.34636034) 0.230089 0.410357 -2.620755933 infinity (difference of population means) Result: [Accepted] There is no statistical hypothesis evidence against the null hypothesis = true, confidenceinterval = -2.620755933 ∞, distribution = StudentT( 17.34636034 ), pvalue = 0.4103568723 , statistic = 0.2300894966 7.5 Kiểm định hai tỉ lệ Giả sử có hai tổng thể chứa loại phần tử: có tính chất A khơng có tính chất A, với tỉ lệ phần tả có tính chất A phần tử p , p chưa biết Ta đưa toán kiểm định sau: p= p0  H : p=   H1 : p1 < p2 p0  H : p= p=   H1 : p1 > p2 p0  H : p= p=   H1 : p1 ≠ p2 • Miền bác bỏ: (Tương tự kiểm định tỉ lệ) • Giá trị quan sát: Trường hợp 1: Biết p Trường với p* = hợp 2: u0 = Chưa ết bi f1 − f 1  p0 (1 − p0 )  +   n1 n2  p0 n1 f1 + n2 f n1 + n2 • Kết luận: (Tương tự kiểm định tỉ lệ) u0 = f1 − f 1  p* (1 − p* )  +   n1 n2  PHỤ LỤC Các lệnh gọi gói stat > restart: with(plots): randomize(): with(student): read `C:\\MapExmps\\stat.m`: read `C:\\MapExmps\\ProbHistFill.txt`: read `C:\\MapExmps\\EmpCDF.txt`: read `C:\\MapExmps\\HistogramFill.txt`: read `C:\\MapExmps\\ProbHistB.txt`: read `C:\\MapExmps\\ProbHistFillY.txt`: read `C:\\MapExmps\\ScatPlotCirc.txt`: read `C:\\MapExmps\\ScatPlotPoint.txt`: read `C:\\MapExmps\\BoxPlot.txt`: TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Huy Điển, Thực hành tính tốn chương trình Maple V, NXB Giáo dục, 1998 [2] Trần Văn Lý, Giáo trình xác suất thống kê [3] P Adam, K Smith & R Vyborny, Introduction to Mathematics with Maple, World Scientific Publishing Co Pte Ltd, 2004 [4] Martha L Abell & James P Braselton, Maple by Examples, Elsevier Academic Press, 2005 ... dủ lớn tần suất biến cố A dần số cố định gọi xác suất biến cố A m n →∞ n P( A) = lim 2.3 Xác suất có điều kiện: 2.3.1 Định nghĩa: Xác suất biến cố A điều kiện biến cố B xảy gọi xác suất có điều... P(A).P(B) Tức A B độc lập xác suất tích biến cố tích xác suất biến cố Chương PHÂN PHỐI XÁC SUẤT RỜI RẠC Trong phần ta sử dụng gói Statistics bao gồm phân phối xác suất rời rạc lệnh thao tác... Độ lệch tiêu chuẩn X là: σ ( X ) = Var ( X )  Hàm phân phối xác suất (CDF) Maple Hàm phân phối xác suất Maple gọi hàm phân phối xác suất tích lũy, có tên CumulativeDistributionFunction (CDF) >