TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 TÍCH PHÂN - PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Chuyên đề 26 TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI – XUẤT SẮC MỨC 8-9-10 ĐIỂM Dạng Tích phân Hàm ẩn Dạng 1.1 Giải phương pháp đổi biến b Thông thường toán xuất  f u  x  dx ta đặt u  x   t a Câu (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa mãn  f  x  dx  Tích phân 5 A 15 Câu   f 1  x   9 dx B 27  10 B P  6 C P  D P  12 (Chuyên Bắc Ninh - 2020) Cho I   f  x  dx  26 Khi J   x  f  x  1  1 dx A 15 B 13 C 54 D 52 Câu thỏa mãn f  x  dx  7,  f  x  dx  Tính P   f  x  dx A P  Câu 0;10 f  x  liên tục đoạn (Chuyên Lam Sơn - 2020) Cho hàm số 10 D 21 C 75 (Chuyên Lào Cai - 2020) Cho hàm số y  f ( x) liên tục  thỏa mãn  f  x  dx  x   f  sin x  cos xdx  Tích phân I   f ( x)dx 0 A I  B I  D I  10 C I  Câu (THPT Cẩm Giàng 2019) Cho biết  f  x dx  15 Tính giá trị P    f   3x    dx 1 A P  15 B P  37 C P  27 D P  19 Câu (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho  f  x  dx  2018 Tính tích phân I    f  x   f   x   dx A I  B I  2018 C I  4036 D I  1009 Câu Cho y  f  x  hàm số chẵn, liên tục  6;6 Biết  1 f  x  dx  ;  f  2 x  dx  Giá trị I   f  x  dx 1 A I  B I  C I  14 D I  11 Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương -2019) Cho hàm số 2  f  x  liên tục   f  x  dx  2018 , tính I   xf  x  dx 0 A I  1008 B I  2019 C I  2017 D I  1009 (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Cho  f  x dx  Khi B C Câu 10 (Sở Hà Nội 2019) Cho  x dx x D  f x A  1 A f Câu  1xdx  Khi I   f  x  dx B C D 1 Câu 11 Cho f , g hai hàm số liên tục 1;3 thỏa mãn điều kiện   f  x   3g  x dx=10 đồng thời 3  2 f  x   g  x dx=6 Tính  f   x dx +2  g  x  1dx 1 A B C D Câu 12 Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa  f  x  dx   A I  16 Câu 13 f  x  1 dx  Tính I   f  x  dx B I  18 C I  D I  20 (THPT Quỳnh Lưu Nghệ An 2019) Cho f  x  liên tục  thỏa mãn f  x   f 10  x   f  x  dx  Tính I   xf  x  dx A 80 B 60 C 40 D 20 Câu 14 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Cho  f  x  dx  Tính  I   f  sin x  cos xdx A I  B I  D I  C I  Câu 15 (Chuyên Quốc Học Huế -2019) Cho tích phân I   f  x  dx  32 Tính tích phân J   f  x  dx A J  32 B J  64 C J  D J  16 Câu 16 (Việt Đức Hà Nội 2019) Biết f  x  hàm liên tục   f  x  dx  Khi giá trị  f  3x  3 dx A B 24 C 27 D Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 17 (Đề Thi Công Bằng KHTN 2019) Cho hàm số f ( x) thỏa mãn  f (2 x)dx  Tích phân  f ( x)dx A B C D 2017 Câu 18 Cho hàm f  x  thỏa mãn  f  x  dx  Tính tích phân I   f  2017 x  dx 2017 A I  B I  Câu 19 Cho tích phân  1  B I  a C I  a D I  2a (Thpt Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa mãn  e2  tan x f  cos x  dx   A f  ln x  x ln x e Câu 21  f  x  dx  a Hãy tính tích phân I   xf x  dx theo a A I  4a Câu 20 D I  C I  2017 dx  Tính  B f  2x dx x D C  x  3x ; x  (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hàm số y  f  x    Tính 5  x ; x   I   f  sin x  cos xdx  3 f   x  dx A I  71 B I  31 D I  C I  32 32 Câu 22 (THPT Yên Khánh - Ninh Bình- 2019) Cho I   f  x  dx  Giá trị  f  x  dx  20 Tính  sin xf   3cos x  3cos x   dx B  A C D  Câu 23 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Biết  f  x  dx   ln f  x  3 dx  15 A I   f e  e 2x 2x dx B I  15 C I  D I  25 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 24 (Chuyên Thái Bình f ( x ) Cho 2019) hàm số liên tục  thỏa mãn 2 f ( x )  f (2  x )  x.e x , x   Tính tích phân I   f ( x )dx A I  Câu 25 e4  B I  2e  C I  e  D I  e4  (Chuyên Vĩnh Phúc Năm 2019) Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa mãn f  x   f  x  , x   Biết  f  x  dx  Tính tích phân I   f  x  dx A I  B I  C I  D I   Câu 26 Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa mãn  tan x f  cos x  dx  2 Tính  f  2x x B (Chuyên  x ln x e dx  dx A Câu 27 f  ln x  e2 KHTN 2019) C Cho hàm số D f ( x) liên tục  thỏa mãn   tan x f (cos x)dx   f (3 x) dx  Tính tích phân x A Câu 28 B  f ( x2 ) dx x C D 10 (Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng - 2018) Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa e 2018 1 2018  f  x  dx  Khi tích phân  0 A x f ln  x  1 dx x2   B  C D  Câu 29 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2018) Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa mãn  f  tan x  dx   x f  x x2  1 dx  Tính I   f  x  dx A I  B I  C I  Câu 30 (SGD Thanh Hóa - 2018) Cho hàm số f  x   16  cot x f  sin x  dx    f  x  dx  Tính tích phân x B I  Câu 31  A I  D I  liên tục  thỏa mãn f  4x dx x C I  D I  (SGD - Nam Định - 2018) Cho hàm số f  x  liên tục đoạn 1; 4 thỏa mãn f  x     ln x Tính tích phân I  f x 1 x x  f  x  dx Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A I   ln 2 Câu 32 B I  ln 2 C I  ln 2 (Nam Định - 2018) Cho hàm số y  f ( x) D I  ln liên tục 1; 4 thỏa mãn f (2 x  1) ln x  Tính tích phân I   f ( x) dx x x f ( x)  B I  ln 2 A I   ln 2 Câu 33 C I  ln 2 D I  ln (Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - 2020) Cho hàm số f  x  liên tục hàm số lẻ đoạn  2;2 Biết  f  x  dx  1,  f  2 x  dx  Mệnh đề sau đúng? 1 A f  x  dx   f  x  dx  2  f  x  dx  4 C B f  x  dx  1  D  f  x  dx  3 Câu 34 (Chuyên Sơn La - 2020) Cho f  x  hàm số liên tục  thỏa f 1   f  t  dt  Tính  I   sin x f   sin x  dx A I  Câu 35 (Chuyên f  B I  Vĩnh  x  dx  4, x Phúc   hàm số f  x liên tục  C I  10 B I  (Sở Hưng Yên - 2020) Cho D I  f  x  liên tục  thỏa mãn f  x   f  2020  x  2017  f  x dx  Khi  xf  x dx A 16160 B 4040 C 2020 D 8080 (Sở Phú Thọ - 2020) Cho hàm số f  x  có đạo hàm xác định  Biết f 1   x f   x  dx   A Câu 38 Cho 2020) D I  2017 Câu 37 C I   f sin x  cos xdx  Tính tích phân I   f  x dx A I  Câu 36 - 1 x f  x dx  Giá trị x B C 7   (Sở Yên Bái - 2020) Cho hàm số xf ( x )  f (2 x)  A 52 25 3 x  Giá trị B 52  f  x  dx D y  f ( x) liên tục  thỏa mãn  f ( x)dx C 48 25 D 48 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 39 (Đô Lương f  x  liên tục - Nghệ An - 2020) Cho  thỏa mãn f    16,  f  x  dx  Tích phân  xf   x dx 0 A 30 B 28 C 36 D 16  Câu 40 (Kim Liên - Hà Nội - 2020) Cho hàm số f  x  liên tục đoạn  0;1  f sin x  dx   Tính I   xf  sin x dx A I   Câu 41 B I  10 (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên 2019) Cho hàm số f  x  liên tục  , thỏa mãn   tan x f  cos x  d x  A Câu 42 D I  5 C I   e2 f  ln x  x ln x e d x  Tính B  f  2x dx x C D (Hùng Vương Gia Lai 2019) Cho hàm số y  f ( x) liên tục 1   ;3 thỏa f ( x) 1 dx bằng: mãn f ( x)  x f    x  x Giá trị tích phân I    x x  x 16 A B 9 Dạng 1.2 Giải phương pháp phần C D u  g  x  g x f ' x d x ta đặt      a dv  f '  x  dx b Thơng thường tốn xuất Câu 43 (Đề tham khảo 2017) Cho hàm số f  x  thỏa mãn   x  1 f   x  dx  10 f 1  f    Tính  f  x  dx A I  12 Câu 44 (Mã 104 - 2019) Cho hàm số  xf  x  dx  , Câu 45 C I  B I  x 0 25 A B D I  8 f  x  có đạo hàm liên tục  Biết f    f   x  dx C D 9 (Mã 101 - 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  Biết f     xf  x  dx  1,  x f   x  dx Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A Câu 46 B 14  xf  x  dx  ,  x f   x  dx 0 107 (Mã 102 - 2019) Cho hàm số D 36 f ( x) có đạo hàm liên tục  Biết f (5)   x xf (5 x)dx  , f ( x)dx A 15 B 23 C 123 D 25 (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An -2020) Cho f  x  hàm số có đạo hàm liên tục  0;1 f 1   A  Câu 49 C 24 B 34 Câu 48 D 16 (Mã 103 - 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  Biết f    A Câu 47 31 C , 18  x f   x  dx  12 B Giá trị 36  f  x  dx 36 C 12 (Sở Phú Thọ - 2020) Cho hàm số f  x  có f 1  e f   x   D  36 2x 1 2x e với x khác x2 ln Khi  xf  x  dx A  e Câu 50 B  e2 C  e2 D  e2 (HSG Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm liên tục  thỏa mãn f (2)  16,  f ( x) dx  Tính I   xf (2 x)dx A I  20 Câu 51 B I  C I  12 D I  13 (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục  0;1 thỏa mãn A Câu 52  12 x f  x  dx   , f 1  21 B   1  f '  x   dx  Giá trị  f  x  dx 7 C D  10 (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị -2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  thỏa mãn  f  x  dx  1, f 1  cot1 Tính tích phân I    f  x  tan x  f   x  tan x  dx A 1 B  ln  cos1 C D  cot1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 53 f  x (THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Cho hàm số thỏa mãn f 1  ,  x f  x  dx  A 1 Tính có đạo hàm liên tục đoạn  ;1  x f '  x  dx C B D 3   x  cos x  2m dx=2 Câu 54 Biết m số thực thỏa mãn   A m  Câu 55 B  m   Mệnh đề đúng? C  m  D m  (Đề Tham Khảo 2018) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  0;1 thỏa mãn f 1  0,   f ( x)  dx  A Câu 56 B  x f ( x)dx  Tính tích phân  f ( x)dx C D (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương -2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục đoạn 1 0 0;1 f    f 1  Biết  f  x  dx  ,  f   x  cos  x  dx   Tính  f  x  dx 2 A  Câu 57 B 3 A D  0 x f  x  dx  Tích phân B C  f  x  dx D (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  ,   f   x  dx  36 A B  x f  x  dx  Tích phân  f  x  dx C D (Chuyên Vĩnh Phúc Năm 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0; 2 thỏa 2 mãn f    ,   f   x   dx  A Câu 60  f 1  ,   f   x   dx  Câu 59 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn Câu 58 C 115 B 297 115 0 x f  x  dx  Tích phân C 562 115  f  x  dx 266 115 D ( Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  ,   f   x  dx  A 15 19 B 17 0 x f  x  dx   Tích phân C 17 18  f  x  dx D 15 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 61 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0; 2 thỏa mãn f  2  , 2   f   x  dx  A Câu 62 17 Tích phân B  f  x  dx C D (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;3 thỏa mãn f  3  ,   f   x  dx  A Câu 63  x f  x  dx  53 B  x f  x  dx  117 20 154 Tích phân C  f  x  dx 153 D 13 ( Chuyên Vĩnh Phúc Năm 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  ,   f   x  dx  1  x f  x  dx  10 Tích phân  f  x  dx 0 194 584 116 B C D 95 285 285 57 Câu 64 ( Bắc Giang - 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  A  1 x   f   x  dx    x  1 e f  x  dx  0 A I   e Câu 65 D I  e 1     (Nam Định - 2018) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;  f     4 4  Biết  f  x  dx    , f   x  sin 2xdx     B I  A I  Tính tích phân I   f  x  dx C I  D I  (Chuyên Vinh - 2018) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục đoạn f    f 1  Biết f  x  dx  ,  A  Câu 67 e C I  B I  e   Câu 66 e2  Tính tích phân I   f  x  dx B   f   x  cos  x  dx  C    0;1 Tính  f  x  dx D 3   (THPT Trần Phú - Đà Nẵng - 2018) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục 0;   4    thỏa mãn f    , 4 f  x  cos x dx    4  sin x tan x f  x  dx  Tích phân  sin x f   x  dx 0 bằng: A B 23 C 1 D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 68 Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x  liên tục đoạn  0;1 thỏa f 1  ,   f   x  dx  2   cos  2 A Câu 69  1  x  f  x  dx  Tính   f  x  dx B  C  D 1   f   x  dx  A B   x f  x  dx  C Tích phân  f  x  dx bằng: D (THPT Phan Chu Trinh - Đắc Lắc - 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn 1 e2  f 1  Tính  0;1 thỏa mãn   f   x  dx    x  1 e f  x  dx  0 A Câu 71 (Chuyên Trần Phú - Hải Phòng - 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  , Câu 70 x e 1 B e C e  D  f  x dx e (Sở Phú Thọ - 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn 1;  thỏa mãn   x  1 1 f  x  dx   , f      f   x  2 dx  Tính tích phân I   f  x  dx 1 7 7 A I  B I   C I   D I  5 20 20 Câu 72 (THPT Quảng Yên - Quảng Ninh - 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn: f 1  0,   f   x  dx  A I  Câu 73 B I  Tính tích phân I   f  x  dx C I  D I  (Yên Phong - 2018) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  0;1 thỏa mãn f 1  3,   f   x   dx  11 A Câu 74  x f  x  dx  35 11 B  x f  x  dx  65 21 Giá trị 11 C  f  x  dx 23 D (THPT Bình Giang - Hải Dương - 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 1; 2 thỏa mãn f    0,   f   x  dx   ln 12 f  x   x  1 dx    ln Tính tích phân 12 2  f  x  dx A  ln B ln C 3  ln D 3  ln Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A 17 20 B 13 C 17 D 1 Khi 3x    Câu 91 Cho hàm số f  x  liên tục  0;1 thỏa mãn f 1  x   x f x3  A B 1 C  f  x  dx D Câu 92 Cho hàm số f  x  xác định liên tục  \ 0 thỏa mãn x f 2  x    x  1 f  x   xf '  x   , với x   \ 0 đồng thời thỏa f 1  2 Tính  f  x dx ln 1 A  Câu 93 Cho B  ln  hàm C  ln  f  x số liên ln  2 D  tục  thỏa mãn 3 1 f  x    x  1 f  x3  x    x5  x3  5x2  x  6, x   Tích phân  f  x  dx 2 4 1 19 A B C D  3 Câu 94 Cho hàm số  f   x  f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f 1    x  1 f  x   40 x6  44 x  32 x  4, x   0;1 Tích phân  f  x dx bằng? A 23 15 Câu 95 Cho B hàm số f ( x) 13 15 có C  đạo hàm liên 17 15 tục D   15 thỏa mãn f (0)  f ( x)  f (2  x)  x  x  2, x   Tích phân  xf ( x)dx A 4 B C Câu 96 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục x f  x    f   x    x , x   2; 4 , f    A 40  Câu 97 Cho hàm  f   x B số f  x 20  có đạo  2;4  10 f   x   0, x   2;4 Biết Giá trị f   C hàm D 20  liên tục D  0; 2 40  thỏa f 1  ,  f  x   x  32 x  28 với x thuộc  0; 2 Giá trị  f  x  dx A  B Câu 98 Cho hàm số f  x  liên tục C  0;1 f  x   f 1  x   D  14 x2  2x  , x   0;1 Tính x 1  f  x  dx Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A  ln C  ln B  ln Câu 99 Cho hàm số y  f ( x ) liên tục D  ln thỏa mãn f  x   f   x    x  1 e x  x 1  Tính tích phân I   f  x  dx ta kết quả: A I  e  Câu 100 Cho C I  B I  hàm f  x số liên tục D I  e   thỏa mãn xf  x5   f 1  x4   x11  x8  x6  3x  x  3, x   Khi  f  x dx 1 A 35 B  15 C  24 D  2   2 2   ;1 Khi  x  ,  x Câu 101 Cho hàm số f  x  liên tục  ;1 thỏa mãn f  x   f    x       I A ln x f '  x dx bằng: 15 ln  5 35 B ln  35 C  ln  35 D  ln  5 35 Câu 102 Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa mãn f  x   xf  x   x  x  x  với x    xf   x dx Tính tích phân A B C D  Câu 103 Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa mãn  2x    x  x  4x  x2 f 1  x   f   , x  0, x  Khi  x  x  A B C Câu 104 Cho hàm f  x số liên tục  f  x  dx có giá trị 1 D  thỏa mãn 3 1 f  x    x  1 f  x3  x    x5  x3  x2  x  6, x   Tích phân  f  x  dx 2 4 1 19 A B C D  3 Câu 105 (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Cho hàm số f ( x ) liên tục  1; 2 thỏa mãn điều kiện f ( x )  x   xf   x  Tích phân I   f ( x)dx 1 14 A I  B I  28 C I  D I  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 106 (Hậu Lộc - Thanh Hóa - 2020) Cho hàm số f  x  có đạo hàm cấp hai đoạn  0;1 đồng thời thỏa mãn điều kiện f     1, f   x   0,  f   x    f   x  , x   0;1 Giá trị f    f 1 thuộc khoảng A 1;  B  1;  Câu 107 (Chuyên Bến Tre - C  0;1 Cho 2020) hàm D  2; 1 số thỏa y  f ( x) mãn  f ' ( x)   f ( x) f '' ( x )  x  x, x  R f (0)  f ' (0)  Tính giá trị T  f (2) 160 268 268 A B C D 15 15 15 30 Câu 108 (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho f  x hàm số liên tục tập xác đinh   thỏa mãn f  x  x  1  x  Tính I   f  x dx A 37 B 527 C 61 D 464 Câu 109 (Chuyên Chu Văn An - 2020) Cho hàm số y  f  x  liên tục, có đạo hàm R thỏa mãn điều     kiện f ( x )  x  f  ( x )  sin x   x cos x, x  R f    Tính 2 A B   xf   x  dx D  C Câu 110 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f      x  x  f '  x   1, x  1 Biết a b với a, b   Tính T  a  b 15  f  x  dx  A 8 B 24 C 24 Câu 111 (Chuyên Hưng Yên - 2020) Cho hàm số D f  x  liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn x f  x   f 1  x    x Tính I   f  x  dx A  B  16 C  20 D  Câu 112 (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - 2020) Cho hàm số f  x  liên tục khoảng  0;   Biết f  3  xf '  x  1  f  x  1  x , x   0;   Giá trị  f  x  dx A 914 B 59 C 45 D 88 Câu 113 (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hàm số f  x  có đạo hàm đồng biến 1;4 , thỏa mãn x  xf  x    f   x   với x  1;4 Biết f 1  , tính I   f  x dx Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1188 A 45 1187 B 45 1186 C 45 D Câu 114 (Chuyên Thăng Long - Đà Lạt - 2018) Cho hàm số f  x  liên tục  thảo mãn: f  x   f   x   2018 x x  ,  x   Tính I   f  x  dx A 2018 11 B 7063 98 C Câu 115 (THPT Ba Đình 2019) Hàm số D 197764 33 f  x  có đạo hàm đến cấp hai  thỏa mãn: f 1  x    x  3 f  x  1 Biết f  x   0, x   , tính I    x  1 f "  x  dx A B C 4 D Câu 116 Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục  thỏa mãn x f ( x) f '( x)  f ( x)  x, x   có f (2)  Tích phân f ( x) dx A B C D Câu 117 (THPT Đơng Sơn Thanh Hóa 2019) Cho hàm số f  x  nhận giá trị khơng âm có đạo hàm liên tục  thỏa mãn f   x    x  1  f  x   , x   f    1 Giá trị tích phân  f  x dx A  C  B  ln  D  2 Câu 118 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  , f    0, f '    thỏa mãn hệ   thức f  x  f '  x   18 x  3x  x f '  x    x  1 f  x  ;   Biết   x  1 e f  x dx  ae2  b,  a, b    Giá trị a  b A B C Câu 119 (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Cho hàm số D f  x  thỏa mãn f  x   2  f  x   1 f  x  f  x    x   0;1 Biết f    , khẳng định sau đúng? x 2 e x x  x 1 A f    5 B 1  f   5 C 1  f   5 1 D f    5 Câu 120 Cho hàm số f  x  liên tục nhận giá trị không âm đoạn 0;1 Giá trị nhỏ biểu 1 thức M    f  x   x  f  x dx    f  x   x  xf  x dx 0 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A  24 B  C  12 D  Câu 121 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương -2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  , f    0, f     thỏa mãn hệ thức f  x  f   x   18 x   x  x  f   x    x  1 f  x  , x   Biết   x  1 e f  x  dx  a.e  b , với a; b   Giá trị a  b A C B D  1 Câu 122 (Bắc Ninh 2019) Cho hàm số f  x  liên tục có đạo hàm   ;  thỏa mãn  2 2 109 1  f  x   f  x    x   dx   12 Tính  f  x dx 1 x A ln B ln C ln D ln   Câu 123 (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018) Cho hàm số f  x  xá định 0;  thỏa mãn  2   2      0  f  x   2 f  x  sin  x   d x  Tích phân A   f  x d x C B D  Câu 124 (THPT Hậu Lộc - TH - 2018) Cho số thực a  Giả sử hàm số f ( x) liên tục dương a dx ? 1 f  x đoạn  0; a  thỏa mãn f ( x) f (a  x)  Tính tích phân I   A I  2a B I  a C I  a D I  a Câu 125 (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2018) Xét hàm số f  x  liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f  x   f 1  x    x Tích phân  f  x  dx A B C 15 D Câu 126 (Hà Tĩnh - 2018) Cho hàm số f  x  đồng biến, có đạo hàm đến cấp hai đoạn  0; 2 thỏa 2 mãn  f  x    f  x  f   x    f   x    Biết f    , f    e6 Khi f 1 A e2 B e C e3 D e Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 127 (THPT Hàm Rồng - Thanh Hóa - 2018) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  0;3 ; f   x  f  x   1, f  x   1 x f   x   1  f   x  2  f  x  A với x   0;3 f  0  Tính tích phân: dx B C D Câu 128 (Sở Bình Phước - 2018) Cho số thực a  Giả sử hàm số f  x  liên tục dương a dx ? 1 f  x đoạn  0;a  thỏa mãn f  x  f  a  x   Tính tích phân I   A I  a B I  a D I  C I  a 2a Câu 129 (THCS&THPT Nguyễn Khuyến - Bình Dương - 2018) Cho hàm số y  f  x  hàm số lẻ   f  x  đồng thời thỏa mãn hai điều kiện f  x  1  f  x   , x   f    , x  x x f  x dx Hãy chọn khẳng định giá trị I Gọi I   f  x 1 A I   1;0  B I  1;  C I   0;1 Câu 130 (ĐHQG Hà Nội - 2020) Cho hàm số f ( x ) liên tục đoạn  f ( x)dx  A  xf ( x)dx  27 B Hỏi giá trị nhỏ 34 D I   2; 1 0;1 thỏa mãn điều kiện f ( x) dx bao nhiêu? C D Câu 131 (Sở Phú Thọ - 2020) Cho hàm số f  x   có đạo hàm liên tục  , thỏa mãn f  x  ln  f      Giá trị f   x2   1 2 A  4ln  ln 5 B  4ln  ln 5 C  4ln  ln   x  1 f   x   D  4ln  ln 5 Câu 132 (Sở Phú Thọ - 2020) Cho hàm số f  x  liên tục khoảng f  x  1  f  x   x  ln  x  1 Biết 4x x a  b  2c 29 A 2x  0;   thỏa mãn 17  f  x  dx  a ln  ln b  c với a, b, c   Giá trị B C D 37 Câu 133 (THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Cho hàm số f  x  liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn x f  x3   f 1  x    x Tính  f  x  dx Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A  B  20 C  16 Câu 134 (Yên Lạc - Vĩnh Phúc - 2020) Cho hàm số D  y  f  x  liên tục  Biết f  4x  f  x  4x3  2x f  0  Tính I   f  x  dx 147 A 63 149 B 63 C 148 63 D 352 63 Câu 135 (Kìm Thành - Hải Dương - 2020) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 1;2 thỏa mãn   x  1 f  x  dx   , f    A I  2   f   x  dx  Tính tích phân I   f  x  dx B I   1 C I   20 20 D I  Câu 136 (Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2020) Cho hàm số y  f  x  liên tục  thảo mãn 1 sin x f  cos x   cos x f  sin x   sin x  sin x với x   Tính tích phân I   f  x  dx B C D 18 Câu 137 (Chuyên Lam Sơn 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  0;   Biết f    2e A  f  x  thỏa mãn hệ thức f   x   sin x f  x   cos x.ecos x , x   0;   Tính I   f  x  dx (làm tròn đến hàng phần trăm) A I  6,55 B I  17,30 C I  10,31 D I  16,91 Câu 138 (Chuyên Thái Bình - 2019) Cho hàm số f  x  liên tục nhận giá trị dương  0;1 Biết dx 1 f  x f  x  f 1  x   với x   0;1 Tính giá trí I   A B C D Câu 139 (THPT Cẩm Bình 2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm khoảng  0;   thỏa mãn   x3 f  x   x.ln  Tính tích phân I  f    1 f  x  dx  x f x  f x       A 12 ln13  13 B 13ln13  12 C 12 ln13  13 D 13ln13  12 Câu 140 Cho hàm số  0;1 f  x  khơng âm, có đạo hàm đoạn thỏa mãn  f  x    x  f   x   x 1  f  x   , x   0;1 Tích phân  f  x  dx A B C D Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ f 1  , TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 141 (Kinh Môn - Hải Dương 2019) Cho hàm số f  x  liên tục  \ 1;0 thỏa mãn điều kiện f 1  2 ln x  x  1 f   x   f  x   x  x 1 Biết f    a  b.ln   a, b    Giá trị  a  b là: A 27 B C D Câu 142 (Sở Cần Thơ - 2019) Cho hàm số y  f ( x ) xác định có đạo hàm f   x  liên tục [1;3] ; f  x   0, x  1;3 ; 2 f   x  1  f  x     x  1  f  x   f 1  1 Biết  f  x  dx  a ln  b  a, b    , giá trị a  b e A B C D -1 Câu 143 (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương thỏa mãn f    1,  f   x    e x  f  x   , x   Tính f  3 A f  3  B f  3  e2 C f  3  e3 D f  3  e Câu 144 Hàm số f  x  có đạo hàm cấp hai  thỏa mãn: f 1  x    x   f  x  1 x   Biết f  x   0, x  , tính I    x  1 f "  x  dx A B D 4 C Câu 145 (Sở Nam Định - 2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  0;1 , thỏa mãn  f   x   f  x   x  4, x   0;1 f 1  Tính  f  x  dx A B Câu 146 Cho hàm số  x5 f  x dx  C D f  x  nhận giá trị dương thỏa mãn f  x  f  x x 21  x3 , x   0;    Giá trị biểu thức f    f  3 20 A 110 B 90 C 20 Câu 147 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục x   0;1 Tìm giá trị nhỏ A 2018.2020 D 25  0;1 thỏa mãn f  x   xf   x   x 2018 ,  f  x  dx B 2019.2020 C 2020.2021 D 2019.2021 Câu 148 Cho hàm số y  f  x  liên tục  \ 0;  1 thỏa mãn điều kiện f 1  2ln x  x  1 f   x   f  x   x  3x  Giá trị f    a  b ln , với a , b   Tính a  b A B 13 C 25 D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 149 (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định- 2019) Cho hàm số y  f ( x) liên tục  thỏa mãn: f ( x)  f (2  x)  2( x  1)e x A I  e   x 1  4, x   Tính giá trị tích phân I   f ( x)dx B I  2e  C I  D I  Câu 150 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  2;4 f  2  A f   x   0, x   2; 4 Biết x3 f  x    f   x    x3 , x   2; 4 Giá trị f   20  B 40  C 20  D 40  Câu 151 Cho hàm số y  f ( x) liên tục đoạn  e ; e  Biết x f  ( x )  ln x  xf ( x )  ln x  0, x  e; e  e f (e)  Tính tích phân I   f ( x)dx e e B I  A I  C I  D I  ln Dạng Tích phân số hàm đặc biệt Dạng 2.1 Tích phân hàm số lẻ hàm số chẵn Nhắc lại kiến thức hàm số lẻ hàm số chẵn: Hàm số y  f  x  có miền xác định tập đối xứng D Nếu f   x   f  x  , x  D  y  f  x  : hàm số chẵn Nếu f   x    f  x  , x  D  y  f  x  : hàm số lẻ (thay chỗ có x  x tính f   x  so sánh với f  x  ) Thường gặp cung góc đối cos   x   cos x, sin   x    sin x a Nếu hàm số f  x  liên tục lẻ   a; a   f  x .dx  a a a f x dx     0 f  x  dx a Nếu hàm số f  x  liên tục chẵn   a; a   a   f  x  dx  f x dx 0     bx 1 a Do kết khơng có SGK nên mặt thực hành, ta làm theo bước sau (sau nhận định hàm chẵn lẻ tốn thường có cận đối dạng  a  a ): a Bước Phân tích: I   a f  x .dx   a a f  x .dx   f  x .dx  A  B Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Bước Tính A   f  x .dx ? cách đổi biến t   x cần nhớ rằng: tích phân khơng phụ thuộc vào a biến, mà phụ thuộc vào giá trị hai cận, chẳng hạn ln có: 3t cos t 3x cos x dt   dx 2014  sin t  sin x 2014  Tích phân hàm số liên tục b Nếu hàm số f  x  liên tục  a; b   a b f  x  dx   f  a  b  x  dx a Nếu hàm số f  x  liên tục  0;1  +  2  f  sin x  dx   f  cos x  dx 0  a + xf  sin x  dx   a  a   f  sin x  dx  a 2  a +   a   x f  sin x  dx   f  sin x  dx 2  a xf  cos x  dx    2 f  cos x  dx a  2 x f  cos x  dx    f  cos x  dx   Về mặt thực hành, đặt x  cận  cận  t  x  a  b  t  Từ tạo tích phân xoay vịng (tạo I), giải phương trình bậc với ẩn I Nếu hàm số f  x  liên tục  tuần hoàn với chu kỳ T a T  a T nT f  x  dx   f  x  dx  T f  x  dx  n  f  x  dx Lưu ý: Hàm số f  x  có chu kỳ T f  x  T   f  x    Về mặt thực hành, ta làm theo bước sau: a T Bước Tách: I  T a T f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  i  a T          a A B C a T Bước Tính C   f  x  dx ? T x  a  T t  a Đặt x  t  T  dx  dt Đổi cận:  Khi đó:  x  T t  a 0 C   f  t  T  dt    f  t  dt    f  x  dx   A  ii  a a T Thế  i  vào  ii  ta được: I  B   f  x  dx Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (Đề Tham 2017) Cho Khảo hàm f  x số liên tục  thoả mãn 3 f  x   f   x    cos x , x   Tính I   A I  6 B I   f  x  dx D I  C I  2  Câu (THPT Hàm Rồng - Thanh Hóa - 2018) Cho  b  15 Khi a  b  c bằng: A 10 B Câu sin x  dx   1 x  x a  c , với a, b, c   , b C 11 D 12 (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho f  x  hàm số chẵn đoạn  a; a  k  a Giá trị tích phân f  x  1 e kx dx a a A  a f  x  dx B (Việt Đức Hà Nội a C  f  x  dx a Câu  a f  x  dx D  f  x  dx a f  x, f x Cho 2019) liên tục  thỏa mãn 2 f  x   f  x    Biết I   f  x  dx  Khi giá trị m m x 4 2 A m  Câu B m  20 A I   20 Tính I   f  x  dx 2 4 x B I   10 C I  D I   10 I   f  x  dx  f   x  dx   f  2 x  dx  Tính A I  10  4; 4 biết 2 B I  6 C I  D I  10 (Hồng Quang - Hải Dương - 2018) Cho hàm số f  x  liên tục đoạn   ln 2;ln  thỏa mãn f  x   f   x   A P  Câu  20 (Hà Nội - 2018) Cho hàm số y  f  x  hàm lẻ liên tục Câu D m  10 (THPT Hàm Rồng Thanh Hóa -2019) Cho hàm số f  x  , f   x  liên tục  thõa mãn f  x  f x  Câu C m  Biết x e 1 ln  f  x  dx  a ln  b ln  a; b    Tính P  a  b  ln B P  2 C P  1 D P  (Chuyên ĐH Vinh - 2018) Cho y  f  x  hàm số chẵn liên tục  Biết  f  x  dx  A 1 f  x  dx  Giá trị 1 B f x 3 2 x 1 dx C D Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu (SGD&ĐT BRVT - 2018) Hàm số f  x  hàm số chẵn liên tục   f  x  dx  10 Tính I f  x 2 x 2 1 dx B I  A I  10 Câu 10 10 C I  20 (Yên Phong - 2018) Cho hàm số y  f  x  hàm số chẵn, liên tục đoạn  1;1 f  x  f  x  dx  Kết   2018 1 x dx 1 A Câu 11 D I  C B D (Toán Học Và Tuổi Trẻ 2018) Cho f  x  hàm liên tục đoạn  0; a  thỏa mãn a  f  x  f  a  x   b dx ba  , b , c hai số nguyên dương phân số   f x  0,  x  0; a c   1 f  x c    tối giản Khi b  c có giá trị thuộc khoảng đây? A 11; 22  B  0;9  C  7; 21 D  2017; 2020  Câu 12 (Chuyên Sơn La - 2020) Tích phân A S  Câu 13 x 2020 2a d x  Tính tổng S  a  b  ex  b 2 B S  2021 C S  2020 D S  4042 (Đại Học Hà Tĩnh - 2020) Cho hàm số f  x  liên tục đoạn   ln 2;ln 2 thỏa mãn f  x  f x  Biết x e 1 ln  f  x  dx  a ln  b ln 3,  a, b    Tính P  a  b  ln B P  A P  2 C P  1 D P  Câu 14 (Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa 2019) Cho f  x  hàm số chẵn  f  x  dx  Giá trị tích phân f  x   2019 x dx 1 B 2019 Dạng 2.2 Tích phân hàm chứa dấu trị tuyệt đối A C D b Tính tích phân: I   f  x  dx ? a Bước Xét dấu f  x  đoạn  a; b  Giả sử đoạn  a; b  phương trình f  x   có nghiệm xo   a; b  có bảng xét dấu sau: x a xo b f  x   Bước Dựa vào công thức phân đoạn dấu  a; xo  ,  xo ; b  ta được: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 xo b I   f  x  dx  a  a b f  x  dx     f  x   dx  A  B xo Sử dụng phương pháp tính tích phân học tính A, B  I a Câu 15 Cho a số thực dương, tính tích phân I   x dx theo a 1 a2 1 A I  a2  B I  2a  C I  D I  3a  m Câu 16 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho số thực m  thỏa mãn  2mx  dx  Khẳng định sau đúng? A m   4;6  Câu 17 B m   2;  C m   3;5 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Khẳng định sau đúng? A C  1  2 x dx   1 x3 dx B  2018 1 x  x  dx   x  x  1 dx  e x  x  1 dx   e x  x  1 dx D 2 (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho tích phân  nguyên Tính P = abc A P  36 2018 1 Câu 18 D m  1;3 B P      cos xdx   2 sin xdx  2 x2 dx  a  b ln  c ln với a, b, c số x 1 C P  18 D P  18 Câu 19 (Chuyên Hạ Long 2019) Có số tự nhiên m để x 2  2m dx  A Vô số B x  2m  dx D C Duy Câu 20 (Chu Văn An -Thái Nguyên - 2018) Tính tích phân I  2 x   x dx 1 A ln B ln C 2ln D ln Câu 21 (KTNL Gia Bình 2019) Cho hàm số f  x  liên tục  có  f  x  dx  ;  f  x  dx  Tính I   f  x   dx 1 A I  B I  C I  D I  Câu 22 (Chuyên KHTN 2019) Cho hàm số f ( x) liên tục  có  f ( x)dx   f ( x)dx  Tính  f ( x  1)dx 1 Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A 11 B C D Câu 23 Cho hàm số f  x  liên tục   thỏa f  x  dx   f  x  dx  14 Tính  f  x   dx 2 A 30 B 32 C 34 D 36 Câu 24 (Phong - 2018) Cho hàm số f  x  liên tục  0;3  f  x  dx  2;  f  x  dx  Giá trị 0 tích phân  f  x   dx  ? 1 A B D C Câu 25 Cho hàm số f ( x) liên tục  có  f ( x) dx   A B f ( x ) dx  Tính  f ( x  1)dx 1 11 C D 2x với số x  x2  Câu 26 Cho hàm số y  f  x  xác định  thỏa mãn f   x   f    x   thực x Giả sử f  2  m , f  3  n Tính giá trị biểu thức T  f  2  f  3 A T  m  n B T  n  m C T  m  n D T  m  n Dạng 2.3 Tích phân nhiều hàm 2 x Câu 27 Cho số thực a hàm số f  x    a x  x a 2a  A  B  Câu 28 x   x  C Tính tích phân a   f  x  dx bằng: 1 D 2a  e x  m x  (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho hàm số f  x    liên tục 2 x  x x    f  x dx=ae  b  c ,  a, b, c  Q  Tổng a  b  3c 1 A 15 B 10 C 19 D 17 Câu 29 (THPT Yên Phong Bắc Ninh 2019) Tính tích phân  max e , e dx x 12 x A e  B e e   C e  e D 1 1 e   2 e   x  x  Câu 30 Cho hàm số y  f  x   Tính I   f sin x  cos xdx  3 f 3  x dx 5  x x  0 71 32 A I  B I  31 C I  32 D I  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 BẠN HỌC THAM KHẢO THÊM DẠNG CÂU KHÁC TẠI https://drive.google.com/drive/folders/15DX-hbY5paR0iUmcs4RU1DkA1-7QpKlG?usp=sharing Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TỐN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/ Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương  https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber Tải nhiều tài liệu tại: http://diendangiaovientoan.vn/ ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ! Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ ... VƯƠNG - 0946798489 Câu 39 (Đô Lương f  x  liên tục - Nghệ An - 2020) Cho  thỏa mãn f    16,  f  x  dx  Tích phân  xf   x dx 0 A 30 B 28 C 36 D 16  Câu 40 (Kim Liên - Hà Nội -. .. 10 (Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng - 2018) Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa e 2018 1 2018  f  x  dx  Khi tích phân  0 A x f ln  x  1 dx x2   B  C D  Câu 29 (Chuyên Vĩnh Phúc -. ..   Tích phân  f  x  dx 2 4 1 19 A B C D  3 Câu 105 (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Cho hàm số f ( x ) liên tục  1; 2 thỏa mãn điều kiện f ( x )  x   xf   x  Tích phân