TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 NGUYÊN HÀM Chuyên đề 25 TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Dạng Nguyên hàm hàm ẩn liên quan đến phương trình f(x),f’(x),f’’(x) Dạng Bài tốn tích phân liên quan đến đẳng thúrc u ( x ) f  ( x)  u ' ( x) f ( x)  h( x) Phương pháp: Dễ dàng thấy u ( x) f  ( x)  u  ( x) f ( x)  [u ( x) f ( x)] Do dó u ( x) f  ( x)  u  ( x ) f ( x)  h( x)  [u ( x) f ( x)]  h( x) Suy u ( x) f ( x)   h( x)dx Từ ta dễ dàng tính f ( x) Dang Bài tốn tích phân liên quan đến biếu thúrc f  ( x )  f ( x)  h( x) Phương pháp:  Nhân hai vế vói e x ta durọc e x  f  ( x)  e x  f ( x)  e x  h( x)  e x  f ( x)   e x  h( x) Suy e x  f ( x)   e x  h( x)dx Từ ta dễ dàng tính f ( x) Dang Bài tốn tích phân liên quan đến biếu thúc f  ( x)  f ( x)  h( x) Phương pháp:  Nhân hai vế vói e x ta durọc e x  f  ( x)  e  x  f ( x)  e x  h( x)  e  x  f ( x)   e  x  h( x) Suy e x  f ( x)   e  x  h( x)dx Từ ta dễ dàng tính f ( x) Dạng Bài tốn tích phân liên quan đến biếu thúrc f  ( x)  p ( x)  f ( x)  h( x) (Phương trình vi phân tuyên tinh cấp 1) Phương pháp: p ( x ) dx Nhân hai vế với e  ta f  ( x)  e  p ( x ) dx  p ( x)  e  Suy f ( x)  e  p ( x ) dx p ( x ) dx   e  f ( x)  h( x)  e  p ( x ) dx p ( x ) dx   f ( x)  e   p ( x ) dx    h( x)  e  p ( x ) dx  h( x)dx Từ ta dễ dàng tính f ( x) Dang Bài tốn tích phân liên quan đến biếu thúc f  ( x)  p ( x)  f ( x)  Phương pháp: f  ( x) f  ( x) Chia hai vế với f ( x) ta đựơc  p ( x)     p ( x) f ( x) f ( x) f  ( x)  f ( x) dx    p( x)dx  ln | f ( x) |   p( x)dx Từ ta dễ dàng tính f ( x) Suy Dạng Bài tốn tích phân liên quan đến biểu thức f  ( x)  p( x)  [ f ( x)]n  Phương pháp: f  ( x) f  ( x) Chia hai vế với [ f ( x)]n ta  p ( x )     p( x) [ f ( x)]n [ f ( x)]n f  ( x) [ f ( x)] n 1 Suy  dx    p ( x)dx     p ( x)dx [ f ( x)]n n  Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Từ dầy ta dễ dàng tính f ( x) Câu (Mã 103 2018) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f     f   x   x  f  x   với 25 x   Giá trị f 1 A  391 400 B  40 C  41 400 D  10 Lời giải Chọn D   3   x4  C    x    4 x  f x f x    f  x      1 Do f     , nên ta có C  9 Do f  x     f 1   25 x 9 10 Ta có f   x   x  f  x     Câu f  x (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho hàm số y  f  x  đồng biến có đạo hàm liên tục  thỏa mãn sau đây? A 12;13   f   x   f  x  e x , x   f    Khi f   thuộc khoảng B  9;10  D 13;14  C 11;12  Lời giải Chọn B Vì hàm số y  f  x  đồng biến có đạo hàm liên tục  đồng thời f    nên f   x   f  x   với x   0;   Từ giả thiết  f   x    f  x  e x , x   suy f   x   Do đó, x f  x  e , x   0;   f  x x  e , x   0;   f  x x Lấy nguyên hàm hai vế, ta f  x   e  C , x   0;   với C số Kết hợp với f    , ta C     Từ đó, tính f    e    9,81 Câu (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hàm số y  f  x thỏa mãn f  2   f   x   x3 f  x  x   Giá trị f 1 A  B  C 1 D  Lời giải Chọn C Ta có f   x   x3 f  x   f  x f  x x4 3  x  dx  x dx    C  f  x  f  x f  x Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 19 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 19 16 Mà f        C  C  Suy f  x    19 4 x 3 Vậy f 1  1 Câu (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số y  f  x  liên tục  \ 1;0 thỏa mãn điều kiện: f 1  2 ln x  x  1 f   x   f  x   x  x Biết f    a  b.ln ( a , b  )   Giá trị a  b2 A 27 Lời giải B C D Chọn B Chia hai vế biểu thức x  x  1 f   x   f  x   x  x cho  x  1 ta có x x x  x  f  x  f x   f x        x 1 x 1  x 1  x 1  x  1 Vậy x x   x   f  x    f  x   dx   dx   1  dx  x  ln x   C x 1 x 1  x 1   x 1  Do f 1  2 ln nên ta có Khi f  x   f 1   ln  C   ln   ln  C  C  1 x 1  x  ln x  1 x Vậy ta có f    3 3 3   ln  1  1  ln 3   ln  a  , b   2 2 2      2 Suy a  b                Câu  (Hải Hậu - Nam Định - 2020) Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f  x   0, x  có đạo hàm f   x  liên tục khoảng  0;    thỏa mãn f   x    x  1 f  x  , x  f 1   Giá trị biểu thức f 1  f     f  2020  A  2020 2021 B  2015 2019 2019 2020 C  D  2016 2021 Lời giải Chọn A Ta có: f   x    x  1 f  x   Mà f 1   f  x f  x  2x 1   f  x f  x dx    x  1 dx    x2  x  C f  x 1 1  C   f  x    x  x x 1 x Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  f  f    f    f   Câu 1 1  2   1  3   1   2020    f 1  f     f  2020   1  2020  2021 2021 1  2021 2020 (Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y  f  x  liên tục  \ 1;0 thỏa mãn f 1  ln  , x  x  1 f   x    x   f  x   x  x  1 , x   \ 1;0 Biết f    a  b ln , với a , b hai số hữu tỉ Tính T  a  b 3 21 A T  B T  16 16 C T  D T  Lời giải Chọn A Ta có x  x  1 f   x    x   f  x   x  x  1  f  x  x  x  2 x2 x2 x2  f  x   f  x  f  x  x  x  1 x 1 x 1  x  1 '  x2  x2 x2 x2 x2 x2  f  x   dx  f  x    x  ln x   c  f  x   x 1 x 1 x 1  x 1  x 1  f  x   x   x2  x  ln x   c   x   Ta có f 1  ln   c   a   x   x2 3 Từ f  x     x  ln x   1 , f     ln Nên  x  4  b   Vậy T  a  b   16 Câu (THPT Nguyễn Trãi - Đà Nẵng - 2018) Cho hs y  f  x  thỏa mãn y  xy f  1  giá trị f   A e B 2e D e3 C e  Lời giải x C y y x3 Ta có y  xy   x   dx   x 2dx  ln y   C  y  e y y Theo giả thiết f  1  nên e  C 1 C  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Vậy y  f  x  =e Câu x3  3 Do f    e3 (Sở Hà Nội Năm 2019) Cho hàm số f  x  liên tục  , f  x   với x thỏa mãn f 1   , f   x    x  1 f  x  Biết a, b  ,  a, b   Khẳng định sau sai? A a  b  2019 f 1  f     f  2019   a 1 b với C 2a  b  2022 D b  2020 Lời giải f  x f  x f   x    x  1 f  x    2x 1   dx    x  1dx f  x f  x   d  f  x f  x B ab  2019    x  1 dx  x  x  C 1 (Với C số thực) f  x 1   C  Vậy f  x   x 1 x  1   1  1   T  f (1)  f (2)   f (2019)               1  2020  1    2020 2019  Thay x  vào 1  C   a  Suy ra:   a  b  2019 (Chọn đáp số sai) b  2020 Câu (THPT Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số y  f  x  liên tục  0;   Tính f   ? C Lời giải thỏa mãn xf   x   f  x   x x Biết f 1  A 24 B 14 D 16 Chọn D Trên khoảng  0;   ta có: xf '  x   f  x   3x x  x f '  x       ' x f  x  x f  x  x   x  x ' x f  x  dx   x dx  x  C   x2 x 1 1 Mà f 1  nên từ   có: f 1  13  C    C  C   f  x   2 2 Vậy f    Câu 10 42  16 (Chuyên Thái Nguyên 2019) Cho hàm số f  x   với x, f    f  x   x  f   x  với x   Mệnh đề đúng? A f  x   B  f  x   C f  x   D  f  x   Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 f  x Ta có: f  x f  x 1  dx   dx  ln  f  x    x   C f  x x 1 x 1  Mà f    nên C  2  f  x   e Câu 11 x 1   f  3  e  (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  2; 4 f   x   0, x   2; 4 Biết x f  x    f   x    x3 , x   2; 4 , f    Giá trị f   A 40  20  B 20  Lời giải C D 40  Ta có: f   x   0, x   2; 4 nên hàm số y  f  x  đồng biến  2; 4  f  x   f   mà f  2  Do đó: f  x   0, x   2;4 Từ giả thiết ta có: x3 f  x    f   x    x3  x3  f  x   1   f   x    x f  x    f   x   Suy ra: f  2   f  x f  x 1 f  x f  x 1 dx   xdx   x 33 x2 d  f  x   1 x  f x   C     C      f  x 1   2C  C   2 Vậy: f  x   Câu 12 4    x  1   40   f  4  4 (Chuyên Thái Bình 2019) Cho f ( x) hàm số liên tục f  x   f   x   x, x   f    Tính f 1 A e B e C e D Lời giải f  x  f  x  x (1) Nhân vế (1) với e x ta e x f  x   e x f   x   x.e x Hay e x f  x    x.e x  e x f  x    x.e x dx Xét I   x.e xdx  u  x  du  dx Đặt  x x e dx  dv  v  e I   x.e x dx  x.e x   e xdx  x.e x  e x  C Suy e x f  x   x.e x  e x  C Theo giả thiết f (0)  nên C   f  x   x.e x  e x  2  f 1  x e e Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ e  thỏa mãn TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 13 (THPT NGHĨA HƯNG NĐ- GK2 - 2018 - 2019) Cho hàm số f  x  thỏa mãn  xf   x     x 1  f  x  f   x   với x dương Biết f 1  f  1  Giá trị f   A f    ln  B f    ln  C f    ln  D f    ln  Lời giải 2 Ta có:  xf   x     x 1  f  x  f "  x   ; x   x  f '  x     x 1  f  x  f "  x     f  x  f " x  x2   f '  x    f  x  f "  x    x '   f  x  f '  x     x ' 1  Do đó:   f  x  f '  x   dx   1  .dx  f  x  f '  x   x   c1 x  x    f '  x    Vì f 1  f ' 1     c1  c1  1 Nên    f  x  f '  x  dx    x  x 1.dx     f  x  d  f  x      x   1.dx x   f  x  x2 1    ln x  x  c2 Vì f 1      c2  c2  2 2 Vậy Câu 14 f  x  x2   ln x  x   f  2  2ln  2 (Chuyên Bắc Ninh 2019) Cho hàm số f ( x) thỏa mãn ( f '( x))2  f ( x) f ''( x)  x  x, x  R f (0)  f '(0)  Tính giá trị T  f (2) 43 15 Lời giải Có ( f '( x))  f ( x) f ''( x)  x  x  ( f ( x) f '( x))'  x  x A 43 30 B 16 15  f ( x) f '( x)   ( x3  x)dx  C D 26 15 x  x C Từ f (0)  f '(0)  Suy C  Vậy f ( x ) f '( x )  x  x2  4 x  x   ( f ( x))'  x  x  2 1  f ( x)   ( x  x  2)dx  x5  x3  x  C 10 Từ f (0)  Suy C  Vậy f ( x)  x5  x  x  10 43 Do T  15 Tiếp, có f ( x) f '( x)  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 15   (Sở Bình Phước 2019) Cho hàm số f  x  liên tục có đạo hàm  0;  , thỏa mãn  2 x     f  x   tan x f   x   Biết f    f    a  b ln a, b Giá cos x 3 6 trị biểu thức P  a  b 14 A B  C D  9 9 Lời giải Chọn D f  x   tan x f   x   x x  cos x f  x   sin x f   x   cos2 x cos x x  sin x f  x    cos x Do x   sin x f  x  dx   cos Tính I   x dx  sin x f  x    x dx cos x x dx cos2 x u  x  du  dx  Đặt  Khi dx   v  tan x dv  cos x I  d  cos x  x dx  x tan x   tan xdx  x tan x   dx  x tan x  ln cos x cos x cos x Suy f  x   x.tan x  ln cos x sin x  ln cos x x  cos x sin x 3  2 ln        a  b ln  f    f         ln      3 6  5   ln Suy  a   b  1 Vậy P  a  b   Câu 16 (THPT Yên Phong Số Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y  f  x  đồng biến y  f  x liên tục, nhận giá trị dương  0;   thỏa mãn f  3   f '  x     x  1 f  x  Tính f   A f    49 B f    256 C f    16 D f    Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/  0;   ; 49 64 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Chọn A Ta có với x   0;   y  f  x   ; x   Hàm số y  f  x  đồng biến  0;   nên f   x   0, x   0;   Do  f   x     x  1 f  x   f   x   Suy  f  x f  x Vì f  3  dx    x  1dx  x  1 f  x   f  x    x  1 f  x f  x   x  1 2 C nên C    2 3 1 Suy f  x    3  x  1   , suy f 8   49    f   x    f  x   x Câu 17 Cho hàm số f  x  thỏa mãn f 1  x    với x   Giá trị f   A B  C  D Lời giải Chọn D Từ giả thiết ta có: f   x    f  x   x2 1 x  1  với x  1; 2 Do f  x   f 1   với x  1;2 Xét với x  1;2 ta có: x  1 f   x    f  x    x  1  f  x f  x x2 1 x2    dx   dx 2 f  x   x  1 f  x  x2  1 1  d x    f x   dx   x  1 x dx  dx    C 2   2   f  x f  x f  x 1 1   x x  x  x x x   f  x 1 x2  Mà f 1     C  C  Vậy f  x    f  2  x Câu 18 (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục khoảng  0;    , biết f   x    x  1 f  x   , f  x   0, x  f    Tính giá trị P  f 1  f     f  2019  A 2021 2020 B 2020 2019 2019 2020 Lời giải C D 2018 2019 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 TH1: f  x    f   x   trái giả thiết TH2: f  x    f   x     x  1 f  x    f  x f  x    x  1   f  x f  x dx     x  1dx 1    x2  x  C  f  x 1 1  C   f  x    x  x x x 1 1 1 2019  P        2 2020 2020 Ta có: f    Câu 19 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  f  x  2;1 thỏa mãn f    f   x   x  x  Giá trị lớn hàm số y  f  x  đoạn  2;1 B 15 A 42 C 42 D 15 Lời giải Ta có:  f  x   f   x   3x  x  (*) Lấy nguyên hàm vế phương trình ta   f  x  2 f   x dx    3x  x  dx    f  x   d  f  x    x3  x  x  C  f  x  3  x  x  x  C   f  x     x  x  x  C  1   Theo đề f    nên từ (1) ta có  f     03  2.02  2.0  C  27  3C  C    f  x     x  x  x    f ( x)  3  x  x  x   Tiếp theo tìm giá trị lớn hàm số y  f  x  đoạn  2;1 CÁCH 1: Vì x3  x  x   x  x     x     0, x   2;1 nên f  x  có đạo hàm  2;1  3x  x   f   x   3  x  x  x    3 2 3x  x   3  x  x  x      2  0, x   2;1 Hàm số y  f  x  đồng biến  2;1  max f  x   f 1  42  2;1 Vậy max f  x   f 1  42  2;1 CÁCH 2: 2  223   f  x   3 x  2x  2x  9   x     x    3 3   3 3 2  223   Vì hàm số y   x   , y   x    đồng biến  nên hàm số 3 3   Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Suy f  x  f   x   x2 x   x  C Hơn f    f     suy C  2  x2 Tương  f  x    f  x  f   x  nên  f  x     x   x   Suy 3  2  x2 x3 f  x     x   x   dx  x   x  18 x  C , f    suy 3 3  Câu 23 x3 f  x   x   x  18 x  Do  f 1   28 3 (Chuyên Lê Hồng Phong - 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm  thỏa mãn  x   f  x    x  1 f   x   e x e A f    f    B f    Tính f   e C f    e2 D f    e2 Lời giải Ta có  x   f  x    x  1 f   x   e x   x  1 f  x   f  x    x  1 f   x   e x   x  1 f  x     x  1 f  x    e x  e x  x  1 f  x    e x  x  1 f  x    e2 x  e x  x  1 f  x    e2 x   e x  x  1 f  x  dx   e2 x dx  e x  x  1 f  x   e2 x  C Mà f    ex  C  Vậy f  x   2 x 1 Khi f    Câu 24 e2 (Liên Trường - Nghệ An - 2018) Cho hàm số y  f  x  liên tục  \ 0;  1 thỏa mãn điều kiện f 1  2 ln x  x  1 f   x   f  x   x  x Giá trị f    a  b ln , với a, b  Tính a  b2 25 A B Lời giải C Từ giả thiết, ta có x  x  1 f   x   f  x   x  x  D 13 x x f  x  f  x  x 1 x 1  x  1 x  x   f  x   , với x   \ 0;  1  x 1  x 1 x x x Suy f  x   dx hay f  x   x  ln x   C x 1 x 1 x 1 x f  x   x  ln x   Mặt khác, ta có f 1  2 ln nên C  1 Do x 1 3 3 Với x  f     ln  f     ln Suy a  b   2 2 Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Vậy a  b  2 Câu 25 (THPT Lê Xoay - 2018) Giả sử hàm số y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương  0;   thỏa mãn f 1  , f  x   f   x  3x  , với x  Mệnh đề sau đúng? A  f    B  f    C  f    D  f    Lời giải Ta có f  x   f   x  3x    d  f  x f  x 2 dx  ln f  x   3x   C  f  x   e 3 3x   Mà f 1  nên e Câu 26 f  x f  x 1   dx   dx f  x f  x 3x  3x  C x 1  C 4   C   Suy f    e  3, 794 (THPT Quỳnh Lưu - Nghệ An - 2018) Cho hàm số f  x   thỏa mãn điều kiện Biết tổng f  0   a a f 1  f    f  3   f  2017   f  2018  với  a  , b  *  phân số tối giản b b Mệnh đề sau đúng? a a A  1 B  C a  b  1010 D b  a  3029 b b Lời giải f  x Ta có f   x    x  3 f  x    2x  f  x f   x    x  3 f  x   f  x dx    x  3 dx    x  3x  C f  x f  x Vì f      C  1   Vậy f  x     x  1 x   x  x  Do f 1  f    f  3   f  2017   f  2018   1 1009   2020 2020 Vậy a  1009 ; b  2020 Do b  a  3029 Câu 27 (THPT Nam Trực - Nam Định - 2018) Cho hàm số f  x   , f   x   f 1   Tính f 1  f     f  80  3240 6480 A  B 6481 6481 C  6480 6481 D 3x  x  f  x  x2 3240 6481 Lời giải f  x  f   x  3x  x  3x  x  f x     x2 f x x2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  f  x  3x  x  d x   x dx  f x  d  f  x  f  x 3x  x   dx x2 d  f  x   1 1     3x    dx  C  x3  x   C  f  x   f  x x  f x x  x x x 1 1 x   Do f 1    C   f  x   =  x  x   x  x  x  x    1 11 1 1 1 1 1  f 1     ; f       ; f  3     ;.; f  80      1 2 3  13   6481 6321  1 3240 = f 1  f     f  80     2 6481 6481  Câu 28  (Sở Hà Tĩnh - 2018) Cho hàm số f  x  đồng biến có đạo hàm đến cấp hai đoạn  0; 2 2 thỏa mãn  f  x    f  x  f   x    f   x    Biết f    , f    e6 Khi f 1 B e3 A e D e2 C e Lời giải 2 Theo đề bài, ta có  f  x    f  x  f   x    f   x     f  x  f   x    f   x    f  x   2 1  f   x   f  x x2   x  C  ln f  x    C.x  D  1 f  x  f  x  x  f    2 x C  2 Mà   Suy : f x  e  f  e      D    f    e 2 Câu 29 Cho hàm số y  f  x  liên tục  thỏa mãn f   x   x f  x   e x , x   f    Tính f 1 B f 1   e A f 1  e2 C f 1  e2 D f 1  e Lời giải Chọn D Ta có 2   f   x   x f  x   e x  e x f   x   x.e x f  x    e x f  x   xC  f  x  dx   dx  e x f  x   x  C  f  x   x e Vì f     C  Suy  e  x2 Do f  x   x Vậy f 1  e e x2 Câu 30 Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f '  x  f  x   x4  x2 Biết f  0  Tính f   Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 313 A f    15 332 B f    15 324 C f    15 Lời giải D f    323 15 Chọn B f  x  x5 x   C f '  x  f  x  dx    x  x  dx  C  Ta có  f  0  nên suy C  Do  32  332 Vậy f           15 Câu 31 (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  x   f   x   e x , x   f    Tất nguyên hàm f  x  e x A  x   e x  e x  C B  x   e2 x  e x  C C  x  1 e x  C D  x  1 e x  C Lời giải Chọn D  f  x   f   x   e x  f  x  e x  f   x  e x   f  x  e x    f  x  e x  x  C Vì f    nên C   Do f  x  e2 x   x   e x Vậy:  f  xe 2x   dx    x   e x dx    x   d e x   x   e x   e x d  x     x   e x   e x dx  x x x   x   e  e  C   x  1 e  C Câu 32 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  0;    thỏa mãn xf   x   f  x   x x   0;    , f 1  Giá trị biểu thức f   là: A 25 B 25 17 Lời giải C D 17 Chọn C Xét phương trình xf   x   f  x   x 1  0;    : 1  f   x    f  x  2 2x , ta tìm nguyên hàm G  x  g  x  2x 1 Ta có  g  x  dx   dx  ln x  C  ln x  C Ta chọn G  x   ln x 2x  f  x  x Nhân vế   cho eG  x   x , ta được: x  f   x   x Đặt g  x      x f  x   x   3 Lấy tích phân vế  3 từ đến 4, ta được:    x f  x     x f  x  dx   xdx 14  14  17 2 3  x   f    f 1   f      1  (vì f 1  ) 2 3 1  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Vậy f    Câu 33 17 (Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  thỏa mãn điều kiện x  f   x    27  f  x   1  0, x   f 1  Giá trị f   A 1 B C D  Lời giải Chọn D Ta có x  f   x    27  f  x   1     1      f  x    x f  x 1 x f  x 3  f  x   1   1  dx   dx    C Suy Do   x x  f  x    1   C x f  x  1 Có f 1   C  Do f  x    x3 Khi f    7 Câu 34 (Bến Tre 2019) Cho hàm số f  x  thỏa mãn:  f   x   f  x  f   x   15 x  12 x , x   f    f     Giá trị f 1 A B C 10 D Lời giải Chọn B Theo giả thiết, x   :  f   x    f  x  f   x   15 x  12 x  f   x  f   x   f  x  f   x   15 x  12 x   f  x  f   x    15 x  12 x  f  x  f   x    15 x  12 x  dx  x  x  C 1 Thay x  vào 1 , ta được: f   f     C  C  Khi đó, 1 trở thành: f  x  f   x   3x5  x  1 1 1  1    f  x  f   x  dx    x5  x  1 dx   f  x     x  x3  x  2 0 2 0 0   f 1  f      f 1    f 1  2 Vậy f 1  Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 35 Cho hàm y  f  x số  xf   x   f  x   ln x  x đây? 25   A 12;    có đạo hàm liên  f  x  , x  1;    ; biết f 27   B 13;    tục 1;     e   3e Giá trị  23  C  ;12    Lời giải thỏa mãn f   thuộc khoảng 29   D 14;  2  Chọn C Xét phương trình  xf   x   f  x   ln x  x3  f  x  1 khoảng 1;   : 1  x ln x f   x   1  ln x  f  x   x3  f   x    ln x x2  f  x  x ln x ln x 2  ln x Ta tìm nguyên hàm G  x  g  x  x ln x  2ln x  ln x   dx   d  ln x       d  ln x  Ta có  g  x  dx   x ln x ln x  ln x  Đặt g  x    ln x   ln  ln x   2ln x  C  ln    C  x   ln x  Ta chọn G  x   ln    x  ln x ln x  ln x Nhân vế   cho eG  x   , ta được:  f   x    f  x  x x x3 ln x  ln x     f  x      f  x   x  C  3 x  x   e   3e nên thay x  Theo giả thiết, f ln  e.f 3 e  e  3 e C  C  Từ đây, ta tìm f  x   Câu 36 3 e2 e vào  3 , ta được:  3e  e  x3 23  23  Vậy f     ;12   f  2  ln x ln   (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm  thỏa mãn f   x  e f  x   x2 1  2x  với  x   Biết f    , tính tích phân f  x 11 A 15 B 45 C Lời giải  x f  x  dx D Chọn C Ta có f   x  e f  x   x2 1   f  x  f   x  e f   x 2x   f  x  f   x  e f  x   x.e x 1 f  x 2 dx   x.e x 1dx   e f  x d  f  x     e x 1d  x  1  e f  x  ex 1 C Mặt khác, f    nên C  Do e f  x  ex 1  f  x   x2   f  x   x  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Vậy  x f  x  dx  Câu 37  x x  dx   45 x  d  x  1   x  1 x      8 (SP Đồng Nai - 2019) Cho hàm số y  f  x  liên tục không âm  thỏa mãn f  x  f   x   x f  x   f    Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y  f  x  đoạn 1;3 Biết giá trị biểu thức P  2M  m có dạng a 11  b  c ,  a , b , c    Tính a  b  c A a  b  c  B a  b  c  C a  b  c  D a  b  c  Lời giải Chọn A Ta có: f  x  f   x   x f  x    f  x  f   x f  x 1  2x   f  x  f   x  f  x 1 dx   xdx f  x    x2  C  f  x    x   f  x    x  1   x  x Mà f     C    f  x   x  x (do f  x   0, x   ) Ta có: f   x   x3  x x4  x2  0, x  1;3  max f  x   f  3  11; f  x   f 1  1;3 1;3 Ta có: P  M  m  11   a  6; b  1; c   a  b  c  Câu 38 Cho hàm số y  f  x liên tục  \ 1;0 thỏa mãn f 1  2ln  , x  x  1 f   x    x   f  x   x  x  1 , x   \ 1;0 Biết f    a  b ln , với a, b hai số hữu tỉ Tính T  a  b A T  21 16 B T  C T  D T   Lời giải Chọn D Ta có: x  x  1 f   x    x   f  x   x  x  1 , x   \ 1;0  x2 x2  2x x2 , x   \ 1;0 f  x  f x    x 1  x  1  x  1  x2  x2  f  x   , x   \ 1;0  x 1  x 1  x2 x2 dx  f  x   C  , x   \ 1;0 x 1 x 1  x2     x 1 d x  f  x   C  , x   \ 1;0  x 1  x 1   x2 x2  x  ln x   C   f  x   C x 1  x2 x2  x  ln x   C  f  x  , x   \ 1;0 x 1 Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 16 TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 Ta có: f 1  2ln  f 1  1  2ln  2C  C  x2 x2  x  ln x    f  x x 1 3 3 3  f     ln f  2  a  b ln  a  , b   T  a2  b    4 4 16 16  Câu 39 Cho hàm số y  f  x  liên tục  0;    thỏa mãn 3x f  x   x f   x   f  x  , với Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y  f  x  đoạn 1; 2 Tính M  m f  x   0, x   0;    f 1  A 10 B 21 10 Lời giải C D Chọn C Ta có: 3x f  x   x f   x   f  x   3x f  x   x3 f   x   x f  x   x f  x   x3 f   x  f  x  x f  x   0, x   0;     x  x3    x    xdx  x  C  f  x  f  x  Mà f 1  x3  C   f  x  x 2 Ta có: f  x   x3 x4  6x2   f x   0, x   0;      x2   x2  2 Vậy, hàm số f  x   x3 đồng biến khoảng  0;    x2  Mà 1;2   0;    nên hàm số f  x   x3 đồng biến đoạn 1; 2 x2  Suy ra, M  f    ; m  f 1   M  m  3 Dạng Một số toán khác liên quan đến nguyên hàm Câu   (Chuyên Thái Nguyên 2019) Cho F  x  nguyên hàm hàm số f  x   e x x3  4x Hàm số F  x  x  có điểm cực trị? A B C Lời giải D Ta có F   x   f  x  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489          F  x  x  f x  x x  x   2x  1 x  x e   2x  1 x  x  1 e 2  x  x   4 2  x  x x2  x  x2  x         2x  1 x  x  1 x   x  1 x  x  e   x  x    x  x    x   2; 1; 1 ;0;1   2    F  x  x  có nghiệm đơn nên F x  x có điểm cực trị 1  cos x   sin x  cot x  dx S Câu (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho F  x    sin x tổng   tất nghiệm phương trình F  x   F   khoảng  0;4  Tổng S thuộc khoảng 2 A  6 ;9  B  2 ;4  C  4 ;6  D  0;2  Lời giải Chọn 1  cos x   sin x  cot x  dx  1  cos x  sin x dx  1  cos x  cot x dx  sin x  sin x sin x 1  cos x  cot x dx B  1  cos x  sin x dx A  sin x sin x 2 Ta có: F  x    4 Gọi 4 Ta có: 1  cos x  cot x dx  1  cot x  cot x dx   cot x  cot x d cot x      sin x sin x A  cot x cot x       C1   1  cos x  sin x dx  1  cos x  sin x dx B   cos x sin x   2 2 Đặt t  cos x , suy dt   sin x.dx Khi đó: B   1 t2 t  1 dt    1 t2  t  1  t  1 dt    1  1 1   dt       C2 2    t  1  t  1   t 1 t   1 1       C2  cos x  cos x   Do đó: 1 1   cot x cot x  F  x  A  B     C   cos x  cos x    2  Suy ra: 1 1   cot x cot x    F  x  F       C  C   cos x  cos x    2  2  1   cot x  cot x  cos x  cos x  cos x cos x cos x   0 sin x sin x sin x Với điều kiện sin x  ,  Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 cos x  cos x   *    cos x 2  cos x    1  cos x   cos x 1  cos x   cos x   sin x cos x  cos x    cos x   17  cos x  cos x      3  3 Theo giả thiết x   0;4  nên x  ; x  ; x   2 ; x   2 ; 2 2 x   ; x    2 ; x   ; x    2 Khi tổng nghiệm lớn 9 Câu (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Cho hàm số F  x  nguyên hàm hàm số f  x  2cos x  khoảng  0;   Biết giá trị lớn F  x  khoảng  0;   sin x Chọn mệnh đề mệnh đề sau   A F    3  6  2 B F   3      C F     3 Lời giải  5 D F      3  Ta có: 2cos x  cos x dx  2 dx   dx sin x sin x sin x d  sin x   2   dx    cot x  C sin x sin x sin x  f  x  dx   Do F  x  nguyên hàm hàm số f  x   F  x  có cơng thức dạng F  x    2cos x  khoảng  0;   nên hàm số sin x  cot x  C với x   0;   sin x  cot x  C xác định liên tục  0;   sin x 2cos x  F ' x  f  x  sin x 2cos x  1    cos x   x    k 2  k   Xét F '  x    sin x Xét hàm số F  x    Trên khoảng  0;   , phương trình F '  x   có nghiệm x   Bảng biến thiên: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489   max F  x   F      C 0;    3 Theo đề ta có,   C   C   cot x  Do đó, F  x    sin x Câu Biết F  x nguyên hàm hàm số f  x  x cos x  sin x Hỏi đồ thị hàm số y  F  x có x2 điểm cực trị khoảng 0; 4  ? A C Lời giải B D Chọn C Ta có F ' x  f  x   F ' x   f  x   x cos x  sin x 0; 4  x2 x cos x  sin x   x cos x  sin x  0; 4  x2 Đặt g  x  x cos x  sin x 0; 4  x    Ta có g ' x  x.sin x    x  2 0; 4    x  3  Từ có bảng biến thiên g  x  : x - g'(x) g(x) x1 π 0 + 2π x2 3π - x3 4π + 4π 2π 0 -π 0 -3π Vì g  x  liên tục đồng biến  ; 2  g  .g  2   nên tồn x1   ; 2  cho g  x1   Tương tự ta có g  x2   , g  x3   với x2   2 ;3  , x3  3 ; 4  Từ bảng biến thiên g  x  ta thấy g  x  x  0; x1  x   x2 ; x3  ; g  x  x   x1 ; x2  x   x3 ;4  Dấu f  x dấu g  x 0;4  Do ta có bảng biến thiên F  x : Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x x2 x1 0 - f(x) + x3 - 4π + CĐ F(x) CT CT Vậy hàm số y  F  x có ba cực trị Câu (Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Biết F  x  nguyên hàm hàm số f  x   x  cos x Hỏi đồ x2 thị hàm số y  F  x  có điểm cực trị? A B C vơ số điểm Lời giải D Chọn A Vì  F  x    f  x  nên ta xét đổi dấu hàm số f  x  để tìm cực trị hàm số cho Ta xét hàm số g  x   x  cos x , ta có g   x    sin x  x Vì g  x  hàm số đồng biến toàn trục số     g           Hơn ta có  , g  x   có nghiệm     ;   2 g            Ta có bảng xét dấu Kết luận hàm số cho có cực trị Câu (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Cho hàm số y  f  x  Đồ thị hàm số y  f '  x   5;3 hình vẽ (phần cong đồ thị phần parabol y  ax2  bx  c ) Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Biết f  0  , giá trị f  5  f   A 33 B 109 C 35 D 11 Lời giải Chon C *)Parabol y  ax2  bx  c qua điểm  2;3 , 1;4 ,  0;3 ,  1;0 ,  3;0 nên xác định y  x2  2x  3, x  1 suy f  x    f  0   C1  0, f  x    x3  x  3x  C1 Mà x3  x  3x 22 ; f 2  (1) 3 Có f   1   *)Đồ thị f ' x đoạn  4; 1 qua điểm  4;2 ,  1;0 nên f ' x    2 2  x  x  1  f  x     x   C2 3   Mà f   1    5 2 1 2  x 14  C        2  f  x    x   , hay f  4    3 3 2   *) Đồ thị f ' x đoạn  5; 4 qua điểm  4;2 ,  5; 1 nên f '  x   3x 14  f  x   3x2 14x  C3 2 Mà f  4    4  14 14 82   14  4   C3  suy C  3 Ta có f  x   3x2 82 31 14x   f  5   (2) Từ (1) (2) ta f     f     Câu 31 35  22  3 f  x  x  x x f 1  Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm có hồnh độ x  Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  0;   thỏa mãn f   x   A y  16 x  20 B y  16 x  20 C y  16 x  20 D y  16 x  20 Lời giải Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn B f  x  f  x  x  x  xf   x   f  x   x3  x x   Lấy nguyên hàm hai vế ta được: xf  x    x3  3x dx  x  x3  C Với x  ta có: f 1   C Theo f 1    C   C  Vậy xf  x   x  x3  f  x   x3  x Ta có: f   x   3x  x ; f     16 ; f    12 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm có hồnh độ x  là: y  16  x    12  y  16 x  20 BẠN HỌC THAM KHẢO THÊM DẠNG CÂU KHÁC TẠI https://drive.google.com/drive/folders/15DX-hbY5paR0iUmcs4RU1DkA1-7QpKlG?usp=sharing Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/ Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương  https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber Tải nhiều tài liệu tại: http://diendangiaovientoan.vn/ ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ! Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ ... ra, M  f    ; m  f 1   M  m  3 Dạng Một số toán khác liên quan đến nguyên hàm Câu   (Chuyên Thái Nguyên 2019) Cho F  x  nguyên hàm hàm số f  x   e x x3  4x Hàm số F  x ... lớn 9 Câu (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Cho hàm số F  x  nguyên hàm hàm số f  x  2cos x  khoảng  0;   Biết giá trị lớn F  x  khoảng  0;   sin x Chọn mệnh đề mệnh đề sau   A... f  x   2 2 Vậy f    Câu 10 42  16 (Chuyên Thái Nguyên 2019) Cho hàm số f  x   với x, f    f  x   x  f   x  với x   Mệnh đề đúng? A f  x   B  f  x   C f  x 