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❝õ❛ ✭❱■✮ ✣➦t S t❛ ❝â Fj (x∗ ), y − x∗ ≥ 0, ∀y ∈ Cj ✱ ✤✐➲✉ ✤â ❝â ♥❣❤➽❛ x∗ ❧➔ ♠ët (Cj , Fj ) ❧➔ ❣✐❛♦ ❝õ❛ ❝→❝ t➟♣ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❱■ (Cj , Fj )(j = 1, , m)✱ ❜➔✐ t♦→♥ ✭❇❊❱■✮ ✤÷đ❝ ✤÷❛ ✈➲ ❞↕♥❣ ❝õ❛ ✭❇❊❋✮✳ ❑❤✐ ✤â✱ ♠ët t❤✉➟t t♦→♥ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ✭❇❊❱■✮ s✉② r❛ tø ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷✳✷✳✶ ♥❤÷ s❛✉✿ ❜✮ ❚❤✉➟t t♦→♥ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷✳✷✳✷✳ L2 2β , < ξ ≤ 2η µj > 0, ❈❤å♥ ✈➔ ❝❤å♥ ❞➣② m j=1 µj {λk }k≥0 ⊂ (0, 1) s❛♦ ❝❤♦ ∞ ∞ lim λk = 0, k→∞ s❛♦ ❝❤♦ |λk − λk−1 | < +∞ λk = +∞, k=0 ❳✉➜t ♣❤→t tø ♠ët ♣❤➛♥ tû ∂2 f (xk = 1, η := {ηj : j = 1, , m}, α > k=0 x0 H t ộ ữợ xk ), k = 0, 1, , ❧➜② gk ∈ g k − g k−1 ≤ L xk − xk−1 ✈➔ t➼♥❤ y k := xk − α1 g k xk+1 := λk y k + (1 − λk ) m k j=1 µj PCj (x − ξFj (xk )) ✷✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈ỵ✐ ❝→❝ r➔♥❣ ❜✉ë❝ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✤ì♥ ✤✐➺✉✳ ❛✮ ✣➦t ❜➔✐ t♦→♥ ❚➻♠ x∗ ∈ S : f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ S; (BEE) ✈ỵ✐ S = {x ∈ Cj : fj (x, y) ≥ 0, ∀y ∈ Cj (j = 1, , m)} , ð ✤➙② fj ❧➔ ❝→❝ s♦♥❣ ❤➔♠ ✤ì♥ ✤✐➺✉ tr➯♥ ▼ët tr÷í♥❣ ❤đ♣ r✐➯♥❣✱ ❦❤✐ t➻♠ ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉ ❝õ❛ ♣❤➛♥ tû u Cj j = 1, , m ✈ỵ✐ ♠å✐ f (x, y) = x − u, y − x ✱ ✭❇❊❊✮ trð t❤➔♥❤ ❜➔✐ t♦→♥ ❧➯♥ t➟♣ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣✱ ✤÷đ❝ ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ tr♦♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✤➣ ✤÷đ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳ ▼ët sè ❣✐↔ t❤✐➳t ❝❤♦ ❝→❝ s♦♥❣ ❤➔♠ fj , j = 1, 2, , m tr♦♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ tr➯♥ ❧➔✿ ✭❍✶✮ fj (x, x) = ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ Cj ; ✭❍✷✮ fj ✭❍✸✮ fj (., y) ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ t❤❡♦ t✐❛✱ tù❝ ❧➔ ✈ỵ✐ ♠é✐ x, y, z ∈ Cj ✤ì♥ ✤✐➺✉ tr➯♥ Cj ✱ tù❝ ❧➔ fj (x, y) + fj (y, x) ≤ ✈ỵ✐ ♠å✐ x, y ∈ Cj ; lim sup fj (λz + (1 − λ)x, y) ≤ fj (x, y); λ↓0 ✭❍✹✮ ✈ỵ✐ ♠é✐ x ∈ Cj , fj (x, ) ỗ ỷ tử ữợ tr Cj s t õ t ữợ ❝õ❛ ✭❇❊❋✮✳ ❇ê ✤➲ ✷✳✷✳✸✳ ❈❤♦ fj : H × H → R t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ❣✐↔ t❤✐➳t ✭❍✶✮ ✲ ✭❍✹✮✳ ❱ỵ✐ r > ✈➔ x ∈ H✱ t❛ ①→❝ ✤à♥❤ →♥❤ ①↕ T f T fj (x) = z ∈ Cj : fj (z, y) + j : H → Cj ♥❤÷ s❛✉✿ y − z, z − x ≥ 0, ∀y ∈ Cj r ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ H✳ ❑❤✐ ✤â✿ ✭✐✮ T f ①→❝ ✤à♥❤ ✈➔ ✤ì♥ trà tr➯♥ H; j ✹✵ ✭✐✐✮ T f ỡ ữủ ợ số ❧➔ ✶✱ tù❝ ❧➔✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ j x, y ∈ H, T fj (x) − T fj (y) ≤ T fj (x) − T fj (y), x − y ; ✭✐✐✐✮ ❚➟♣ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ T f trò♥❣ ✈ỵ✐ t➟♣ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❚➻♠ x∗ ∈ Cj s❛♦ ❝❤♦ fj (x∗, y) ≥ 0, ∀y ∈ Cj j ⑩♣ ❞ư♥❣ ❜ê ✤➲ tr➯♥✱ t❛ ✤÷❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭❇❊❊✮ ✈➲ ❞↕♥❣ ✭❇❊❋✮ ✈➔ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷✳✷✳✶ ❝❤♦ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♥➔② ❝â ❞↕♥❣ ♥❤÷ s❛✉✿ ❜✮ ❚❤✉➟t t♦→♥ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷✳✷✳✸✳ ❈❤å♥ µj > 0, m j=1 µj = 1, ❧➜② α> L2 2β ✈➔ ❞➣② {λk }k≥0 ⊂ (0, 1) s❛♦ ❝❤♦ ∞ ∞ lim λk = 0, k→∞ |λk − λk−1 | < +∞ λk = +∞, k=0 ❳✉➜t ♣❤→t tø ♠ët ♣❤➛♥ tû k=0 x0 H t ộ ữợ f (xk , xk ) s❛♦ ❝❤♦ g k − g k−1 ≤ L xk − xk−1 y k := xk − α1 g k xk+1 := λk y k + (1 − λk ) ❙ü ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ❝õ❛ ❝→❝ ❞➣② xk k = 0, 1, , ❧➜② gk ∈ ✈➔ t➼♥❤ m fj k j=1 µj T (x ) tr♦♥❣ ❝→❝ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷✳✷✳✷ ✈➔ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷✳✷✳✸ ✤÷đ❝ s r tứ ỵ õ ð ✤➙② ❧➔ tr♦♥❣ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷✳✷✳✷ ❝❤➾ ❝➛♥ t➼♥❤ ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉ ❝õ❛ ♠ët ✤✐➸♠ tr➯♥ tø♥❣ Cj t❤❛② ✈➻ t➼♥❤ tr➯♥ t➟♣ ❣✐❛♦ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣✳ ❚÷ì♥❣ tü tr♦♥❣ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷✳✷✳✸ ❧➔ ❣✐→ trà ❝õ❛ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❣➛♥ ❦➲ T fj ✸✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈ỵ✐ r➔♥❣ ❜✉ë❝ ❜❛♦ ❤➔♠ t❤ù❝ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝ü❝ ✤↕✐✳ ✹✶ ❈❤♦ Tj : H → 2H , j = 1, , m ❧➔ ❝→❝ t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝ü❝ ✤↕✐✳ ●✐↔ sû domTj = Cj = φ✳ ❉♦ Tj ✤ì♥ ỹ Cj ỗ õt t ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈ỵ✐ r➔♥❣ ❜✉ë❝ ❤➺ ❜❛♦ ❤➔♠ t❤ù❝ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝ü❝ ✤↕✐ s❛✉✿ ❚➻♠ ð ✤â S x∗ ∈ S : f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ S, ❧➔ t➟♣ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ∈ Tj (x), j = 1, , m✳ ●✐↔ t❤✐➳t r➡♥❣ S ❚❛ ①→❝ ✤à♥❤ t♦→♥ tû ❣✐↔✐ ✈ỵ✐ ♠é✐ q✉↔ q✉❡♥ t❤✉ë❝ ❝❤♦ t❛ Pj (BEI) Tj ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ✤➦t ❦❤æ♥❣ ré♥❣✳ Pj (x) := (I + Tj )−1 (x)✳ ▼ët ❦➳t ❧➔ ❝→❝ t♦→♥ tû ✤ì♥ trà✱ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐➣♥ tr➯♥ t♦➔♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➔ t➟♣ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜❛♦ ❤➔♠ t❤ù❝ ∈ Tj (x) trị♥❣ ✈ỵ✐ t➟♣ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ Pj ✳ ❉♦ ✤â ❜➔✐ t♦→♥ ✭❇❊■✮ ❝â t❤➸ ✤÷❛ ✈➲ ❞↕♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ✭❇❊❋✮✳ ⑩♣ ❞ö♥❣ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷✳✷✳✶ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ✭❇❊■✮✱ t❛ ✤÷đ❝ ❞➣② xk ❤ë✐ tư ♠↕♥❤ ✈➲ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭❇❊■✮✱ ♠➔ ð ✤â✱ tr♦♥❣ ộ ữợ t õ t t tr tø♥❣ t♦→♥ tû ❣✐↔✐ Pj ❚r♦♥❣ t❤✉➟t t♦→♥ ✤✐➸♠ ❣➛♥ ❦➲ ❝õ❛ ❘♦❝❦❛❢❡❧❧❛r ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝ü❝ ✤↕✐ tr➯♥ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✱ ❞➣② ❧➦♣ ❝❤➾ ❤ë✐ tư ②➳✉✳ Ð ✤➙②✱ ♥❤í ❝→❝❤ t✐➳♣ ❝➟♥ ❤❛✐ ❝➜♣✱ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ ♠ët ❞➣② ❧➦♣ ❤ë✐ tư ♠↕♥❤ ✤÷đ❝ ♠ët ❞➣② ❧➦♣ ❤ë✐ tư ♠↕♥❤ ✤➳♥ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ♥â✐ tr➯♥✳ ✹✷ ❑➌❚ ▲❯❾◆ ❇➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❧➔ ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ tờ qt õ t t ữợ ữợ tr tt t s♦♥❣ s♦♥❣ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ tr➯♥ t➟♣ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤➼♥❤ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❧✉➟♥ 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