Đang tải... (xem toàn văn)
Giáo trình xác suất thống kê
BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TRƯỜNG ðẠI HỌC NÔNG NGHIỆP I ********************** Ths.LÊ ðỨC VĨNH GIÁO TRÌNH XÁC SUẤT THỐNG KÊ HÀ NỘI - 2006 Chương : Phép thử Sự kiện Những kiến thức giải tích tổ hợp sinh viên học chương trình phổ thơng Tuy nhiên để giúp người học dễ dàng tiếp thu kiến thức chương chúng tơi giới thiệu lại cách có hệ thống kiến thức Phép thử ngẫu nhiên kiện ngẫu nhiên bước khởi ñầu ñể người học làm quen với môn học Xác suất Trong chương chúng tơi trình bày kiến thức tối thiểu kiện ngẫu nhiên, phép toán kiện ngẫu nhiên, hệ ñầy ñủ kiện ñồng thời cách phân chia kiện ngẫu nhiên theo hệ ñầy ñủ Những kiến thức cần thiết để người học tiếp thu tốt chương I Giải tích tổ hợp 1.Qui tắc nhân: Trong thực tế nhiều để hồn thành công việc, người ta phải thực dãy liên tiếp k hành động Hành động thứ nhất: có n1 cách thực Hành ñộng thứ hai: có n2 cách thực Hành động thứ k: có nk cách thực Gọi n số cách hoàn thành cơng việc nói trên, ta có: n = n1n2 nk Qui tắc gọi qui tắc nhân Ví dụ: ðể ñi từ thành phố A tới thành phố C phải qua thành phố B Có bốn phương tiện ñể ñi từ A tới B là: ñường bộ, đường sắt, đường khơng đường thuỷ Có hai phương tiện ñể ñi từ B tới C đường đường thuỷ Hỏi có cách ñi từ A tới C? ðể thực việc ñi từ A tới C ta phải thực dãy liên tiếp hai hành ñộng Hành ñộng thứ nhất: chọn phương tiện từ A tới C có n1= cách Hành ñộng thứ hai: chọn phương tiện ñi từ B tới C có n2 = cách Vậy theo qui tắc nhân, số cách ñi từ A tới C n= 4.2 = cách 2.Qui tắc cộng: ðể hồn thành cơng việc người ta chọn k phương án Phương án thứ nhất: có n1 cách thực Phương án thứ hai: có n2 cách thực Phương án thứ k: có nk cách thực Gọi n số cách hoàn thành cơng việc nói trên, ta có: n = n1 + n2 + + nk Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Xác suất thống kê…………………… Qui tắc gọi qui tắc cộng Ví dụ: Một tổ sinh viên gồm hai sinh viên Hà Nội, ba sinh viên Nam ðịnh ba sinh viên Thanh Hoá Cần chọn hai sinh viên tỉnh tham gia đội niên xung kích Hỏi có cách chọn Phương án thứ nhất: Chọn hai sinh viên Hà Nội có n1= cách Phương án thứ hai: Chọn hai sinh viên Nam ðịnh có n2= cách Phương án thứ ba: Chọn hai sinh viên Thanh Hố có n3= cách Theo qui tắc cộng ta có số cách chọn hai sinh viên theo yêu cầu: n = + + = cách 3.Hốn vị Trước đưa khái niệm hốn vị n phần tử ta xét ví dụ sau: Ví dụ: Có ba học sinh A,B,C xếp ngồi bàn học Hỏi có cách xếp? Có cách xếp sau: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA Nhận thấy rằng: ðổi chỗ hai học sinh cho ta ñược cách xếp khác Từ cách xếp ban ñầu, cách ñổi chỗ liên tiếp hai học sinh cho ta đưa cách xếp lại Mỗi cách xếp cịn gọi hốn vị ba phần tử A, B, C Tổng quát với tập hợp gồm n phần tử ta có định nghĩa sau: 3.1 ðịnh nghĩa: Một hoán vị n phần tử cách xếp có thứ tự n phần tử 3.2 Số hốn vị n phần tử: Với tập gồm n phần tử ñã cho Số tất hoán vị n phần tử ký hiệu Pn.Ta cần xây dựng cơng thức tính Pn ðể tạo hoán vị n phần tử ta phải thực dãy liên tiếp n hành ñộng Hành ñộng thứ nhất: Chọn phần tử xếp đầu có n cách chọn Hành động thứ hai: Chọn phần tử xếp thứ có n-1 cách chọn Hành ñộng cuối: Chọn phần tử cịn lại xếp cuối có cách chọn Theo qui tắc nhân, số cách tạo hoán vị n phần tử Pn = n.(n-1) 2.1= n! Chỉnh hợp không lặp 4.1 ðịnh nghĩa: Một chỉnh hợp không lặp chập k n phần tử cách xếp có thứ tự gồm k phần tử khác lấy từ n phần tử cho Ví dụ: Có chữ số 1, 2, 3, 4, Hãy lập tất số gồm chữ số khác Các số là: 12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54 Mỗi số cách xếp có thứ tự gồm hai phần tử khác lấy từ năm phần tử năm chữ số ñã cho Vậy số chỉnh hợp không lặp chập hai năm phần tử Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Xác suất thống kê…………………… 4.2 Số chỉnh hợp không lặp: Số chỉnh hợp khơng lặp chập k n phần tử kí hiệu A kn Ta xây dựng công thức tính A kn ðể tạo chỉnh hợp không lặp chập k n phần tử ta phải thực dãy liên tiếp k hành ñộng Hành ñộng thứ nhất: chọn n phần tử ñể xếp đầu: có n cách Hành động thứ hai: chọn n-1 phần tử để xếp thứ 2: có n -1 cách Hành ñộng thứ k: chọn n-k+1 phần tử để xếp cuối: có n-k+1 cách Theo qui tắc nhân: Số cách tạo chỉnh hợp không lặp chập k n phần tử : A kn = n(n-1) (n-k+1) ðể dễ nhớ ta sử dụng công thức sau: A kn = n.(n − 1) (n − k + 1) = n.(n − 1) (n − k + 1) (n − k ) .2.1 n! = (n − k ) 2.1 (n − k )! Chỉnh hợp lặp: ðể hiểu chỉnh hợp lặp ta xét ví dụ sau: Ví dụ: Hãy lập số gồm chữ số từ chữ số: 1, 2, 3, Các số là: 11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44 Mỗi số số nói cách xếp có thứ tự gồm hai chữ số, chữ số có mặt ñến hai lần lấy từ bốn chữ số ñã cho Mỗi cách xếp gọi chỉnh hợp lặp chập hai bốn phần tử Tổng qt hố ta có định nghĩa sau: 5.1 ðịnh nghĩa: Một chỉnh hợp lặp chập k n phần tử cách xếp có thứ tự gồm k phần tử mà phần tử lấy từ n phần tử cho có mặt nhiều lần 5.2 Số chỉnh hợp lặp chập k: ˆ k Ta đưa cơng thức Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử ñược ký hiệu A n ˆ k tính A n ðể tạo chỉnh hợp lặp chập k n phần tử ta phải thực dãy liên tiếp k hành ñộng Hành ñộng thứ nhất: chọn n phần tử xếp đầu có n cách Hành động thứ hai: chọn n phần tử xếp thứ có n cách Hành ñộng thứ k: chọn n phần tử xếp thứ k có n cách ˆ k = nk Theo qui tắc nhân ta có: A n 6.Tổ hợp: Các khái niệm ln để ý đến trật tự tập hợp ta quan sát Tuy nhiên thực tế có nhiều ta cần quan tâm tới phần tử tập tập hợp mà không cần để ý đến cách xếp tập theo trật tự Từ ta có khái niệm tổ hợp sau 6.1 ðịnh nghĩa: Một tổ hợp chập k n phần tử tập gồm k phần tử lấy từ n phần tử cho Trường ðại học Nơng nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Xác suất thống kê…………………… Ví dụ: Cho tập hợp gồm bốn phần tử {a,b,c,d} Hỏi có tập gồm hai phần tử? Các tập {a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d} Vậy tập hợp gồm bốn phần tử {a,b,c,d} có sáu tập vừa nêu 6.2: Số tổ hợp chập k n phần tử có ký hiệu C kn Bằng cách đổi chỗ phần tử cho nhau, tổ hợp chập k n phần tử tạo k! chỉnh hợp khơng lặp chập k n phần tử Có C kn tổ hợp chập k n phần tử tạo A kn chỉnh hợp không lặp chập k n phần tử Vậy ta có : C kn = A kn n! = k! k!(n − k )! 7.Tổ hợp lặp: 7.1 ðịnh nghĩa: Một tổ hợp lặp chập k n phần tử nhóm khơng phân biệt thứ tự gồm k phần tử, phần tử có mặt đến k lần lấy từ n phần tử cho Ví dụ: Cho tập {a,b,c} gồm phần tử Các tổ hợp lặp tập hợp {a,a},{a,b},{a,c},{b,b},{b,c},{c,c} ˆk 7.2 Số tổ hợp lặp chập k n phần tử ký hiệu là: C n Việc tạo tổ hợp lặp chập k n phần tử tương ñương với việc xếp k cầu giống vào n ngăn kéo ñặt liền nhau, hai ngăn liên tiếp chung vách ngăn Các vách ngăn trừ vách ngăn ñầu cuối xê dịch đổi chỗ cho Mỗi cách xếp k cầu giống vào n ngăn cách bố trí n+k-1 phần tử ( gồm k cầu n-1 vách ngăn) theo thứ tự từ phải sang trái Cách bố trí khơng đổi cầu ñổi chỗ cho vách ngăn đổi chỗ cho Cách bố trí thay ñổi cầu vách ngăn ñổi chỗ cho Ta có (n+k-1)! cách bố trí n+k-1 phần tử (gồm k cầu n-1 vách ngăn) Số cách ñổi chỗ k cầu k! , số cách ñổi chỗ n-1 vách ngăn (n-1)! Vậy ta có số tổ hợp lặp chập k n phần tử là: (n + k − 1)! = C nk+ k −1 Cˆ nk = k!(n − 1)! Ví dụ: Tại trại giống gà có ba loại gà giống A, B, C Một khách hàng vào ñịnh mua 10 Hỏi có cách mua ( giả sử số lượng giống gà A, B, C loại trại ñều lớn 10) Ta thấy cách mua 10 gà tổ hợp lặp chập 10 phần tử Vậy ˆ 10 = C10 = 66 số cách mua là: C 12 Nhị thức Newton Ta có: (a + b) = a + 2ab + b = C 02a b + C12a 1b1 + C12 a b (a + b) = a + 3a b + 3ab + b = C 03 a b + C13a b1 + C 32 a 1b + C 33a b Mở rộng ra: (a + b) n = C 0n a n b + C1n a n −1b1 + + C kn a n −k b k + + C nn a b n Công thức gọi công thức nhị thức Newton Ta chứng minh công thức nhị thức Newton theo qui nạp Trường ðại học Nơng nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Xác suất thống kê…………………… Với n = ta có cơng thức Giả sử cơng thức với n = m tức là: (a + b) m = C 0m a m b + C1m a m−1b1 + + C mm a b m Ta chứng minh: (a + b) m+1 = C 0m+1a m +1b + C1m+1a m b1 + + C mm++11a b m+1 Thật vậy: (a + b) m +1 = (a + b) m (a + b) = (C 0m a n b + + C km a m −k b k + + C mm a b m )(a + b) => (a + b) m+1 = (C m0 + C m1 )a m +1b + + (C mk −1 + C mk )a m +1−k b k + + (C mm−1 + C mm )a b m +1 Mặt khác: C km−1 + C km = C km+1 suy ra: (a + b) m +1 = C 0m +1a m +1b + C1m +1a m b1 + + C mm++11a b m+1 Theo nguyên lý qui nạp công thức nhị thức Newton chứng minh Ví dụ: Tìm hệ số x12 khai triển: ( x + ) 20 x 1 Ta có: ( x + ) 20 = C 020 x 20 + + C k20 x 20−2 k + + C 20 20 x x 20 Xét 20 - k = 12 = 4745 => k = Vậy hệ số x12 là: C20 II Phép thử, kiện 1.Phép thử ngẫu nhiên không ngẫu nhiên Một phép thử coi thí nghiệm, quan sát tượng tự nhiên, tượng xã hội vấn ñề kĩ thuật với hệ điều kiện Trong loại phép thử có phép thử mà bắt đầu tiến hành thực ta ñã biết ñược kết xảy sau thử ñun nước ñiều kiện bình thường (dưới áp suất atmotphe) đến 100oC nước sôi, cho dung dịch NaOH không dư vào dung dịch HCl khơng dư ta thu muối ăn NaCl nước H2O Những phép thử mà bắt ñầu tiến hành thử ta biết ñược kết xảy sau thử ñược gọi phép thử không ngẫu nhiên Tuy nhiên có nhiều loại phép thử mà bắt ñầu tiến hành phép thử ta biết ñược kết xảy sau thử chẳng hạn gieo 100 hạt ñậu giống, số hạt nảy mầm sau thời gian gieo từ ñến 100 cho ấp 10 trứng số trứng gà nở gà từ ñến 10 Những phép thử loại gọi phép thử ngẫu nhiên Trong giáo trình quan tâm tới phép thử ngẫu nhiên, phép thử mà bắt ñầu tiến hành thử ta chưa thể biết kết xảy ðể ñơn giản từ trở nói tới phép thử ta phải hiểu ñấy phép thử ngẫu nhiên Trường ðại học Nơng nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Xác suất thống kê…………………… Sự kiện: Các kết có phép thử ứng với điều kiện xác định gọi kiện ngẫu nhiên ñơn giản gọi kiện biến cố Ta thường lấy chữ A, B, C, D Ai, Bj, Ck, Dn ñể kiện Ví dụ 1: Tung xúc xắc cân đối đồng chất có kiện sau: A: Sự kiện xuất mặt chẵn B: Sự kiện xuất mặt lẻ Ai: Sự kiện xuất mặt có i chấm Ví dụ 2: Trong giỏ đựng hoa có chứa cam, quýt, ñào lê Chọn ngẫu nhiên có kiện sau: A: Hai chọn gồm cam quýt B: Hai ñược chọn gồm cam ñào C: Hai ñược chọn gồm cam lê D: Hai ñược chọn gồm quýt lê E: Hai ñược chọn gồm quýt ñào G: Hai ñược chọn gồm ñào lê Sự kiện tất yếu kiện khơng thể có Sự kiện tất yếu kiện chắn kiện thiết phải xảy sau phép thử ñược thực Ta kí hiệu kiện Ω Sự kiện khơng thể có kiện bất khả kiện rỗng kiện không xảy sau thử Ta kí hiệu kiện φ Ví dụ: ðứng Hà Nội ném hịn đá Sự kiện đá rơi xuống địa giới Việt Nam kiện tất yếu Sự kiện ñá rơi xuống ðại Tây Dương kiện bất khả Quan hệ kiện, hai kiện Sự kiện A ñược gọi kéo theo kiện B A xảy B xảy kí hiệu A ⊂ B ( A ⇒ B) Nếu A kéo theo B B kéo theo A ta nói A B viết A = B Trong xác suất hai kiện coi Ví dụ: Một học sinh thi hết môn học A kiện học sinh đỗ (đạt điểm từ tới 10) B kiện học sinh đỗ trung bình (ñạt ñiểm từ tới 8) C kiện học sinh đỗ giỏi G kiện học sinh đỗ giỏi (đạt điểm 9, 10) K kiện học sinh dố ñỗ (ñạt ñiểm 7, 8) TB kiện học sinh đỗ trung bình (đạt điểm 5, 6) Ai kiện học sinh đạt i điểm (i = 0, 1, ,9, 10) Ta có: G ⇒ A ; B ⇒ A ; C ⇒ A ; A ⇒ A ; A ⇒ G ; A ⇒ B ; A ⇒ K ; A ⇒ TB Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Xác suất thống kê…………………… 5.Các phép tính kiện 5.1 Phép hợp: Hợp kiện A B kiện C, kiện C xảy A xảy B xảy Kí hiệu: A Υ B = C ñọc A hợp B C Ta mơ tả hợp kiện A B hình vẽ sau: Hình Dựa vào hình vẽ thấy C xảy khi: • A xảy B khơng xảy • B xảy A khơng xảy • Cả A B xảy Vì có thểnói hợp hai kiện A B kiện C xảy kiện A, B xảy Ví dụ: Một sinh viên thi hết mơn học Gọi : A kiện sinh viên khơng phải thi lại (ñiểm thi từ ñến 10) B kiện sinh viên đạt điểm trung bình (ñiểm thi từ ñến 8) C kiện sinh viên đạt điểm giỏi ( điểm thi từ đến 10) Ta có: A = B Υ C 5.2 Phép giao: Giao kiện A B kiện D, kiện D xảy A B xảy Kí hiệu: A Ι B = D AB = D ñọc A giao B D A nhân B D Hình vẽ sau mơ tả giao kiện A B Hình Ví dụ: Quay lại ví dụ mục 5.1 Gọi K kiện sinh viên đạt điểm (điểm thi từ đến 8) Ta có: K = B Ι C Nếu A Ι B = φ ta nói A B kiện xung khắc với Khi A xung khắc với B hợp kiện A B kí hiệu A + B ñọc A cộng B Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Xác suất thống kê…………………… 5.3 Phép trừ Sự kiện ñối lập: Hiệu kiện A trừ kiện B kiện E, kiện E xảy A xảy B không xảy Kí hiệu: A\B= E đọc A trừ B E Ta mơ tả hiệu kiện A trừ kiện B hình vẽ sau: Hình Dễ nhận thấy rằng: Nếu A Ι B = φ A \ B = A Sự kiện : Ω \ A Gọi kiện ñối lập kiện A kí hiệu A Từ định nghĩa kiện ñối lập kiện A ta thấy: * A A xung khắc với * Nếu A khơng xảy A xảy ngược lại Hai kiện ñối lập xung khắc với “mạnh mẽ” theo kiểu có anh khơng có tơi khơng có anh phải có tơi Ví dụ: Một tổ học sinh gồm học sinh nam học sinh nữ Chọn ngẫu nhiên người Gọi : A kiện học sinh ñược chọn giới B kiện học sinh ñược chọn ñều nam C kiện học sinh ñược chọn ñều nữ D kiện học sinh chọn có nam nữ Ta có A \ B = C, D = A Hình sau mơ tả kiện đối lập kiện A Hình 5.4 Tính chất φ ⇒ A ; A ⇒ Ω ∀A 1/ 2/ A Υ φ = A ; Aφ = φ ; A Υ Ω = Ω ; AΩ = A 3/ Nếu A ⇒ B ; B ⇒ C A ⇒ C 4/ A Υ B = B Υ A ; AB = BA Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Xác suất thống kê…………………… 5/ A Υ (B Υ C) = (A Υ B) Υ C ; A (BC) = (AB)C 6/ A (B Υ C) = AB Υ AC ; A Υ (BC) = (A Υ B)(A Υ C) 7/ A \ B= A B 8/ A Υ B = A B ; AB = AΥ B Việc chứng minh tính chất dễ dàng xin dành cho bạn ñọc Chúng tơi chứng minh tính chất phần ví dụ minh hoạ cho việc chứng minh kiện nhau: _ Ta chứng minh: A Υ B = A B _ Giả sử A Υ B xảy theo ñịnh nghĩa kiện ñối lập => A Υ B không xảy ra, theo ñịnh nghĩa hợp hai kiện => A không xảy B khơng xảy ra, lại theo định nghĩa kiện ñối lập => A xảy B xảy ra, theo ñịnh nghĩa phép giao hai kiện => A B xảy _ Vậy ta có: A Υ B ⇒ A B (1) Ngược lại giả sử A B xảy ra, theo ñịnh nghĩa phép giao, => A xảy B xảy ra, lại theo ñịnh nghĩa kiện ñối lập => A không xảy B không xảy ra, theo ñịnh nghĩa hợp hai kiện => A Υ B khơng xảy ra, theo định nghĩa kiện ñối lập _ => A Υ B xảy Vậy ta có: A B ⇒ A Υ B _ (2) Từ (1) (2) => A Υ B = A B Sự kiện phân chia ñược, kiện sơ cấp 6.1 Sự kiện phân chia Sự kiện A ñược gọi phân chia ñược tồn hai kiện B ≠ φ , C ≠ φ , BC = φ A = B + C Khi ta nói A phân chia thành hai kiện B C Ví dụ: Trong xúc xắc cân ñối ñồng chất Gọi A kiện xuất mặt có số chấm chia hết cho Gọi Ai kiện xuất mặt i chấm Sự kiện A phân chia ñược tồn A3; A6 ≠ φ ; A A = φ A = A3 + A6 6.2 Sự kiện sơ cấp bản: Sự kiện khác rỗng khơng thể phân chia gọi kiện sơ cấp Ví dụ: Quay lại ví dụ mục 6.1 Các kiện A1, A2, A3, A4, A5, A6 kiện sơ cấp Ta nhận thấy kiện sơ cấp kiện mà sau phép thử có kiện xảy Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Xác suất thống kê…………………… ... Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Xác suất thống kê? ??………………… 14 Chương : Xác suất Việc ñưa số đo thích hợp đánh giá khả khách quan xảy kiện trình bày phần ñầu chương Các dạng ñịnh nghĩa xác suất từ... thuyết xác suất A.N Kolmogorop ñưa Xét C σ - ñại số kiện Xác suất P hàm xác ñịnh C thoả mãn : 1/ P(A) ≥ ∀A ∈ C Trường ðại học Nơng nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Xác suất thống kê? ??…………………... gen AaBb Tính xác suất để cá thể có kiểu gen giống kiểu gen bố mẹ Ta có bảng liên kết gen sau: Vậy: P(A)= Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Xác suất thống kê? ??………………… 16
![Hình 14 Vậy FZ(z) = P[M(X,Y) ∈ D ] = +∞ ∫ ∫ - Giáo trình xác suất thống kê](https://media.store123doc.com/figures/000/875/hinh-fz-z-p-m-x-y-d-875581.png)
