ĐỀ THI ĐH,CĐ KHỐI D NĂM 2007 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I: ( 2 điểm) Cho hàm số 1x x2 y + = 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số đã cho. 2. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng 4 1 Câu II: ( 2 điểm) 1. Giải phương trình : 2x3 2 x 2 x 2 =+       + coscossin 2. Tìm giá trò của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực :        −=+++ =+++ 10m15 y 1 y x 1 x 5 y 1 y x 1 x 3 3 3 3 Câu III: (2 điểm) Trong kgian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2), B(-1; 2; 4) và đường thẳng ∆ : 2 z 1 2y 1 1x = + = − − 1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mp(OAB) 2. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho MA 2 + MB 2 nhỏ nhất. Câu IV: (2 điểm) 1. Tính tích phân : ∫ = e 1 23 xdxxI ln 2. Cho a ≥ b > 0. Chứng minh rằng : a b b b a a 2 1 2 2 1 2       +≤       + PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chọn câu V.a hoặc câu V.b Câu V.a: Theo chương trình THPT không phân ban ( 2 điểm) 1. Tìm hệ số của x 5 trong khai triển thành đa thức của : x(1 – 2x) 5 + x 2 (1 + 3x) 10 . 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x – 1) 2 + (y + 2) 2 = 9 và đường thẳng d : 3x – 4y + m = 0. Tìm để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới (C) (A, B là tiếp điểm) sao cho tam giác PAB là tam giác đều. Câu V.b: Theo chương trình THPT phân ban thí điểm ( 2 điểm) 1. Giải phương trình : 0 324 1 2272154 x 2 xx 2 = − +++ . log).(log 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cạnh a, 0 90BADABC == ∧∧ , BA = BC = a, AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính ( theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD). ĐÁP ÁN : Câu I: ( 2 điểm) b) M       −− 2 2 1 ; , M(1 ; 1) Câu II: ( 2 điểm) 1. x = π /2 + k2 π , x = - π /6+ k2 π . 2. Đặt x + x 1 = u, y + y 1 = v ( ) 2v2u ≥≥ , .    −= =+ ⇔    −=+−+ =+ m8uv 5vu 10m15vu3vu 5vu 33 )( ⇔ u, v là nghiệm của phương trình : t 2 – 5t + 8 = 0 (1) Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm t = t 1 , t= t 2 thoả ( ) 2t2t 21 ≥≥ , Xét hàm số f(t) = t 2 – 5t + 8 với 2t ≥ Bảng biến thiên : Từ bảng biến thiên của hàm số hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi : 7/4 ≤ m ≤ 2 hoặc m ≥ 22 Câu III: (2 điểm) 1. Phương trình của đường thẳng d : 1 2z 1 2y 2 x − = − − = 2. MA 2 + MB 2 = 12(t – 2) 2 + 28 ; MA 2 + MB 2 nhỏ nhất ⇔ t = 2. M(-1 ; 0 ; 4) Câu IV: (2 điểm) 1. I = 32 1e5 4 − 2. BĐT ⇔ (1 + 4 a ) b ≤ ( 1 + 4 b ) a ⇔ b 41 a 41 ba )ln()ln( + ≤ + Xét hàm số x 41 xf x )ln( )( + = với x > 0. Ta có : 0 41x 414144 xf x2 xxxx < + ++− = )( )ln()(ln )(' ⇒ f(x) nghòch biến trên khoảng (0; + ∞ ) Do f(x) nghòch biến trên (0; + ∞ ) và a ≥ b > 0 nên f(a) < f(b) và ta có đpcm. Câu V.a: 1. Hệ số của x 5 trong khai triển của x(1 – 2x) 5 là 4 5 4 C2)( − Hệ số của x 5 trong khai triển của x 2 (1 + 3x) 10 là 3 10 3 C3 Hệ số của x 5 trong khai triển của x(1 – 2x) 5 + x 2 (1 + 3x) 10 = 4 5 4 C2)( − + 3 10 3 C3 = 3320 2. (C) có tâm I(1; -2) và bán kính R = 3. Ta có : ∆ PAB đều nên IP = 2IA = 2R = 6 ⇔ P thuộc đường tròn (C’) tâm I, bán kính R’ = 6. Trên d có duy nhất một điểm P thỏa mãn yêu cầu bài toán ⇔ d tiếp xúc với (C’) tại P ⇔ d(I; d) = 6 ⇔ m = 19, m = - 41. t + - -2 2 5/2 _ _ 0 + 22 2 7/4 + + f(t) f’(t) Caâu V.b: 1.x = log 2 3 . số của x 5 trong khai triển của x(1 – 2x) 5 là 4 5 4 C2)( − Hệ số của x 5 trong khai triển của x 2 (1 + 3x) 10 là 3 10 3 C3 Hệ số của x 5 trong khai triển. phân ban ( 2 điểm) 1. Tìm hệ số của x 5 trong khai triển thành đa thức của : x(1 – 2x) 5 + x 2 (1 + 3x) 10 . 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường