Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương Các phương pháp chứng minh Chương : Các phương pháp chứng minh Chứng minh bất đẳng thức địi hỏi kỹ kinh nghiệm Khơng thể khơi khơi mà ta đâm đầu vào chứng minh gặp bất ñẳng thức Ta xem xét thuộc dạng nào, nên dùng phương pháp để chứng minh Lúc việc chứng minh bất đẳng thức thành cơng Như vậy, ñể ñương ñầu với bất ñẳng thức lượng giác, bạn ñọc cần nắm vững phương pháp chứng minh ðó kim nam cho bất đẳng thức Những phương pháp phong phú đa dạng : tổng hợp, phân tích, quy ước ñúng, ước lượng non già, ñổi biến, chọn phần tử cực trị … Nhưng theo ý kiến chủ quan mình, phương pháp thật cần thiết thơng dụng tác giả giới thiệu chương : “Các phương pháp chứng minh” Mục lục : 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Biến ñổi lượng giác tương ñương ……………………………………… 32 Sử dụng bước ñầu sở …………………………………………… 38 ðưa vector tích vơ hướng ………………………………………… 46 Kết hợp bất đẳng thức cổ điển ……………………………………… 48 Tận dụng tính đơn diệu hàm số ……………………………………… 57 Bài tập …………………………………………………………………… 64 The Inequalities Trigonometry 31 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương Các phương pháp chứng minh 2.1 Biến ñổi lượng giác tương ñương : Có thể nói phương pháp phương pháp “xưa Trái ðất” Nó sử dụng cơng thức lượng giác biến đổi qua lại bất đẳng thức ðể sử dụng tốt phương pháp bạn ñọc cần trang bị cho kiến thức cần thiết biến đổi lượng giác (bạn đọc tham khảo thêm phần 1.2 Các đẳng thức,bất đẳng thức tam giác) Thơng thường với phương pháp này, ta đưa bất đẳng thức cần chứng minh dạng bất ñẳng thức ñúng hay quen thuộc Ngồi ra, ta sử dụng hai kết quen thuộc sin x ≤ ; cos x ≤ Ví dụ 2.1.1 − sin π 14 > cos π π sin 14 CMR : Lời giải : Ta có : − sin π π 5π 7π 3π 5π 3π − sin + sin − sin + sin − sin 14 14 14 14 14 14 14 π  π 3π  2π = sin  cos + cos + cos   14  = sin − sin π 14 = cos π + cos 2π + cos 3π (1) π 7 sin 14 Mặt khác ta có : π 1 π π 2π  4π 5π 3π + cos + cos + cos + cos cos =  cos + cos   7 7 2 π 2π 2π 3π 3π π (2) cos = cos cos + cos + cos cos 7 7 7 π 2π 3π ; z = cos ðặt x = cos ; y = cos 7 Khi từ (1), (2) ta có bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : ⇒ x + y + z > 3( xy + yz + zx ) (3) mà x, y, z > nên : (3) ⇔ (x − y )2 + ( y − z )2 + (z − x )2 The Inequalities Trigonometry >0 (4 ) 32 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương Các phương pháp chứng minh Vì x, y, z đơi khác nên (4) ⇒ đpcm Như vậy, với bất đẳng thức việc biến đổi lượng giác định sống cịn với việc chứng minh bất ñẳng thức Sau sử dụng biến đổi việc giải bất đẳng thức trở nên dễ dàng chí hiển nhiên (!) Ví dụ 2.1.2 CMR : a + b + c ≥ 2(ab sin 3x + ca cos x − bc sin x ) Lời giải : Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : a sin 2 x + cos 2 x + b sin x + cos x + c ≥ 2ab(sin x cos x + sin x cos x ) + + 2ca cos x − 2bc sin x ( ) ( ) ( ⇔ a cos 2 x + b sin x + c − 2ab cos x sin x − 2ca cos x + 2bc sin x ( 2 ) ) + a sin x − 2ab sin x cos x + b cos x ≥ ⇔ (a cos x − b sin x − c ) + (a sin x − b cos x ) ≥ Bất đẳng thức cuối ln nên ta có đpcm 2 Ví dụ 2.1.3 CMR với ∆ABC ta có : sin A + sin B + sin C ≤ Lời giải : Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : − cos B − cos 2C − cos A + + ≤ 2 1 ⇔ cos A + (cos B + cos 2C ) + ≥ ⇔ cos A − cos A cos(B − C ) + ≥ cos(B − C )   ⇔  cos A −  + sin (B − C ) ≥   ⇒ ñpcm ðẳng thức xảy ∆ABC ñều The Inequalities Trigonometry 33 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương Các phương pháp chứng minh Ví dụ 2.1.4 Cho α , β , γ ≠ π + kπ (k ∈ Z ) ba góc thỏa sin α + sin β + sin γ = CMR :  tan α tan β + tan β tan γ + tan γ tan α  2   ≤ − tan α tan β tan γ   Lời giải : Ta có : sin α + sin β + sin γ = ⇔ cos α + cos β + cos γ = 1 ⇔ + + =2 2 + tan α + tan β + tan γ ⇔ tan α tan β + tan β tan γ + tan γ tan α = − tan α tan β tan γ Khi bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với :  tan α tan β + tan β tan γ + tan γ tan α  2 2 2  ≤ tan α tan β + tan β tan γ + tan γ tan α    ⇔ (tan α tan β − tan β tan γ ) + (tan β tan γ − tan γ tan α ) + (tan γ tan α − tan α tan β ) ≥ ⇒ ñpcm tan α tan β = tan β tan γ  ðẳng thức xảy ⇔ tan β tan γ = tan γ tan α ⇔ tan α = tan β = tan γ tan γ tan α = tan α tan β  2 Ví dụ 2.1.5 CMR ∆ABC ta có : A B C A B C  cot + cot + cot ≥ 3 tan + tan + tan  2 2 2  Lời giải : Ta có : A B C A B C + cot + cot = cot cot cot 2 2 2 x, y , z >  A B C ðặt x = cot ; y = cot ; z = cot  2  x + y + z = xyz Khi bất đẳng thức cần chứng minh tương ñương với : cot The Inequalities Trigonometry 34 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương Các phương pháp chứng minh 1 1 x + y + z ≥ 3 + +  x y z 3( xy + yz + zx ) ⇔ (x + y + z ) ≥ xyz ⇔ ( x + y + z ) ≥ 3( xy + yz + zx ) ⇔ (x − y ) + ( y − z ) + (z − x ) ≥ ⇒ ñpcm ðẳng thức xảy ⇔ cot A = cot B = cot C ⇔ A=B=C ⇔ ∆ABC ñều 2 Ví dụ 2.1.6 1 + ≤ + sin x − sin x + cos x CMR : Lời giải : Vì − ≤ sin x ≤ cos x ≥ −1 nên : + sin x > ; − sin x > + cos > Khi bất đẳng thức cần chứng minh tương ñương với : 6(2 + cos x ) ≤ − sin x ( ) ( ⇔ 12 + cos x ≤ 18 − − cos x ) ⇔ cos x − cos x + ≥ ⇔ (cos x − 1)(cos x − 2) ≥ cos x ≤ nên bất đẳng thức cuối ln ⇒ đpcm Ví dụ 2.1.7 CMR ∀ π ≤ α ;β < π ta có :    − 1 −1 ≤  − 1 cos α + cos β  cos β  cos α  Lời giải : Từ ∀ π ≤ α ;β < π ⇒ < cos α ; cos β ≤ The Inequalities Trigonometry 35 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương Các phương pháp chứng minh 0 < cos α + cos β ≤   0 < cos α cos β ≤ ðặt a = cos α + cos β ; b = cos α cos β Bất ñẳng thức ñã cho trở thành : 2−a 1− a + b ≤ a b 1− a + b 2−a ⇔  ≤ b  a  ⇔ (2 − a ) b ≤ a (1 − a + b ) ⇔ a − a − 4ab + 4b ≤ ( ) ⇔ (a − 1) a − 4b ≤ Bất ñẳng thức cuối a ≤ a − 4b = (cos α − cos β ) ≥ ⇒ đpcm Ví dụ 2.1.8 Cho góc nhọn a b thỏa sin a + sin b < CMR : sin a + sin b < sin (a + b ) Lời giải : π  sin a + sin  − a  = 2  2 nên từ ñiều kiện sin a + sin b < suy : Ta có : b< π −a ; < a+b < π 2 Mặt khác ta có : sin (a + b ) = sin a cos b + sin b cos a + sin a sin b cos a cos b nên thay cos b = − sin b vào bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : sin a sin b < sin a sin b cos a cos b ⇔ sin a sin b < cos a cos b ⇔ < cos(a + b ) (ñể ý sin a sin b > nên chia hai vế cho sin a sin b ) Bất ñẳng thức sau hiển nhiên ñúng < a + b < The Inequalities Trigonometry π ⇒ ñpcm 36 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương Các phương pháp chứng minh Ví dụ 2.1.9 Cho ∆ABC không vuông CMR : ( ) tan A tan B tan C − tan A + tan B + tan C ≤ + tan A tan B + tan B tan C + tan C tan A Lời giải : Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : ( ) ( )( )( tan A tan B tan C − tan A + tan B + tan C − ≤ + tan A + tan B + tan C ) 1       + + − 3 − ≤ − 1 − 4 − 1 ⇔ 4 − 1 2 2 2 cos A cos B cos C   cos A  cos B  cos C   cos A cos B cos C 1 1   ⇔ − + + ≤ 2 2 2 2 2 cos A cos B cos C  cos A cos B cos B cos C cos C cos A  cos A cos B cos C ⇔ cos A + cos B + cos C ≥ + cos A + cos B ⇔ + + cos C ≥ 2 ⇔ 2(cos A + cos B ) + cos C + ≥ ⇔ cos( A + B ) cos( A − B ) + cos C + ≥ ⇔ cos C − cos C cos( A − B ) + ≥ ⇔ (2 cos C − cos( A − B )) + sin ( A − B ) ≥ ⇒ đpcm Ví dụ sau đây, theo ý kiến chủ quan tác giả, lời giải xứng đáng bậc thầy biến đổi lượng giác Những biến ñổi thật lắt léo kết hợp bất ñẳng thức cách hợp lý ñúng chỗ mang đến cho tốn thật đặc sắc !!! Ví dụ 2.1.10 Cho nửa đường trịn bán kính R , C điểm tùy ý nửa đường trịn Trong hai hình quạt nội tiếp hai đường trịn, gọi M N hai tiếp điểm hai đường trịn với đường kính nửa đường trịn cho CMR : MN ≥ R − ( ) Lời giải : Gọi O1 ,O2 tâm hai đường trịn ðặt ∠CON = 2α (như < α < π ) OO1 = R1 ; OO2 = R2 Ta có : ∠O2 ON = α ∠O1OM = π −α The Inequalities Trigonometry 37 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương Các phương pháp chứng minh Vậy : π  MN = MO + ON = R1 cot  − α  + R2 cot α = R1 tan α + R2 cot α 2  Trong ∆ vuông O1 MO có : π  R1 = O1O sin − α  = (R − R1 ) cos α 2  R cos α R1 (1 + cos α ) = R cos α ⇒ R1 = + cos α Tương tự : R2 = OO2 sin α = (R − R2 ) sin α ⇒ R2 = R sin α + sin α Do : R cos α sin α R sin α cos α ⋅ + ⋅ + cos α cos α + sin α sin α R sin α R cos α = + + cos α + sin α sin α + cos α + =R (1 + sin α )(1 + cos α ) MN = cos =R α C O1 O2 α α  sin + cos  2 2 M α  α α  sin + cos  cos 2  =R α α α cos  sin + cos  2 2 2R = sin α + cos α + π  mà sin α + cos α ≤  α −  ≤ ⇒ MN ≥ 4  ðẳng thức xảy ⇔ α = π 2R +1 N O ( ) = R − ⇒ ñpcm ⇔ OC ⊥ MN 2.2 Sử dụng bước ñầu sở : Các bước ñầu sở mà tác giả muốn nhắc ñến ñây phần 1.2 Các ñẳng thức, bất ñẳng thức tam giác Ta ñưa bất ñẳng thức cần chứng minh bất ñẳng thức bắng cách biến ñổi sử dụng ñẳng thức Ngoài ra, tham gia kỳ thi, tác giả khuyên bạn ñọc nên chứng minh ñẳng thức, bất ñẳng thức sử dụng bổ ñề cho toán The Inequalities Trigonometry 38 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương Các phương pháp chứng minh Ví dụ 2.2.1 Cho ∆ABC ðường phân giác góc A, B, C cắt đường trịn ngoại tiếp ∆ABC A1 , B1 , C1 CMR : S ABC ≤ S A1B1C1 Lời giải : Gọi R bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆ABC bán kính đường trịn A ngoại tiếp ∆A1 B1C1 Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : R sin A sin B sin C ≤ R sin A1 sin B1 sin C1 (1) C1 B+C C+A A+ B Do A1 = ; B1 = ; C1 = nên : 2 (1) ⇔ sin A sin B sin C ≤ sin B + C sin C + A sin A + B 2 B A B C A B C A B C ⇔ sin sin sin cos cos cos ≤ cos cos cos (2) 2 2 2 2 A B C A1 Vì cos cos cos > nên : 2 (2) ⇔ sin A sin B sin C ≤ ⇒ ñpcm 2 ðẳng thức xảy ⇔ ∆ABC Ví dụ 2.2.2 CMR tam giác ta có : sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A ≤ A B C + sin sin sin 2 Lời giải : Ta có : cos A + cos B + cos C = + sin A B C sin sin 2 Bất ñẳng thức ñã cho tương ñương với : sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A ≤ + cos A + cos B + cos C (1) mà : The Inequalities Trigonometry 39 B1 C Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương Các phương pháp chứng minh cos A = sin B sin C − cos B cos C cos B = sin C sin A − cos C cos A cos C = sin A sin B − cos A cos B nên : (1) ⇔ cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A ≤ (2) Thật hiển nhiên ta có : cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A ≤ (cos A + cos B + cos C )2 (3) 3 ⇒ (3) ñúng ⇒ (2) ñúng ⇒ ñpcm ðẳng thức xảy ∆ABC ñều Mặt khác ta có : cos A + cos B + cos C ≤ Ví dụ 2.2.3 Cho ∆ABC CMR : 1 + + ≥1 + cos A + cos A cos B + cos B + cos B cos C + cos C + cos C cos A Lời giải : ðặt vế trái bất ñẳng thức cần chứng minh T Theo AM – GM ta có : T [3 + 2(cos A + cos B + cos C ) + 4(cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A)] ≥ (1) mà : cos A + cos B + cos C ≤ (cos A + cos B + cos C )2 ≤ hiển nhiên : cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A ≤ ⇒ + 2(cos A + cos B + cos C ) + 4(cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A) ≤ (2 ) Từ (1), (2) suy T ≥ ⇒ đpcm Ví dụ 2.2.4 CMR với ∆ABC bất kỳ, ta có : 2 a + b + c ≥ 3S + (a − b ) + (b − c ) + (c − a ) Lời giải : Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : The Inequalities Trigonometry 40 ... thức lượng giác biến ñổi qua lại bất ñẳng thức ðể sử dụng tốt phương pháp bạn đọc cần trang bị cho kiến thức cần thiết biến ñổi lượng giác (bạn ñọc tham khảo thêm phần 1.2 Các đẳng thức ,bất đẳng. .. Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương Các phương pháp chứng minh Vì x, y, z đơi khác nên (4) ñúng ⇒ ñpcm Như vậy, với bất đẳng thức việc biến đổi lượng giác định... 2  x + y + z = xyz Khi bất đẳng thức cần chứng minh tương ñương với : cot The Inequalities Trigonometry 34 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương Các phương