BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————–o0o——————— NGUYỄN THỊ LAN HƯƠNG TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HOÁ CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ 2-D RỜI RẠC CHỨA THAM SỐ NGẪU NHIÊN Chuyên ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 46 01 03 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC HÀ NỘI-2020 Luận án hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Lê Văn Hiện PGS.TS Ngơ Hồng Long Phản biện 1: PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Phản biện 2: PGS.TS Khuất Văn Ninh Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội Phản biện 3: GS Cung Thế Anh Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Trường họp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, 136 Xuân Thủy, Cầu Giấy, Hà Nội Vào hồi ngày tháng năm 20 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Lý thuyết ổn định đóng vai trị quan trọng nghiên cứu định tính hệ động lực mơ tả phương trình vi phân Trải qua lịch sử 100 năm, nay, lý thuyết lĩnh vực nghiên cứu sôi động, phát triển ngày sâu rộng có nhiều ứng dụng thực tiễn kĩ thuật Hệ 2-D nảy sinh nhiều mô hình vật lí, kỹ thuật, mà lan truyền thông tin/trạng thái xảy theo hai hướng độc lập Mơ hình hệ 2-D ứng dụng để mơ tả phân tích tính chất nhiều lớp hệ thực tiễn kỹ thuật hệ mạng viễn thơng, xử lí ảnh, xử lí truyền tín hiệu đặc biệt việc thiết kế lọc tín hiệu số đa chiều Các mơ hình ứng dụng thực tiễn kĩ thuật thường xuất sai số xử lí số liệu, xấp xỉ tuyến tính, lỗi liệu truyền tải hay nhiễu từ môi trường Các nhiễu thường mô tả trình tất định ngẫu nhiên Bên cạnh đó, cấu trúc hệ 2-D, việc nghiên cứu định tính hệ 2-D có chứa nhiễu ngẫu nhiên trở nên khó khăn phức tạp nhiều so với hệ phương trình vi-sai phân thường tương ứng Hơn nữa, mơ hình thực tiễn kĩ thuật thường xuất độ trễ thời gian Sự xuất độ trễ làm thay đổi dáng điệu nghiệm ảnh hưởng đến tính ổn định hệ, đặc tính quan trọng có tính phổ dụng mơ hình ứng dụng Vì vậy, chủ đề nghiên cứu tính ổn định ứng dụng mơ hình điều khiển hệ phương trình vi phân có trễ vấn đề nghiên cứu thu hút quan tâm giới toán học kỹ sư vài thập kỉ gần Nhiều vấn đề mở tiếp tục nghiên cứu phát triển Luận án tập trung nghiên cứu tính ổn định ổn định hóa lớp hệ 2-D với thời gian rời rạc có chứa tham số ngẫu nhiên Đối tượng nội dung nghiên cứu 2.1 Điều khiển ngẫu nhiên 2- ∞ tín hiệu quan sát cho mơ hình hệ 2-D liệu Xét hệ 2-D mô tả mô hình dạng Roesser xh (i + 1, j) xv (i, j + 1) =A y(i, j) = C xh (i, j) xv (i, j) xh (i, j) xv (i, j) + B1 u(i, j) + B2 w(i, j) (1) + F w(i, j) xh (i, j) ∈ Rnh , xv (i, j) ∈ Rnv vectơ trạng thái theo phương ngang dọc; u(i, j) ∈ Rnu điều khiển đầu vào, w(i, j) ∈ Rnd nhiễu ngoại cảnh, y(i, j) ∈ Rno vectơ đo đầu A, B1 , B2 , C, F ma trận với số chiều thích hợp Trong thực tiễn kĩ thuật, vectơ trạng thái x(i, j) = xh (i, j) xv (i, j) ∈ Rn (n = nh + nv ) đo lưu trữ đầy đủ mà quan sát phần x(i, j), tức điều khiển phản hồi dạng u(i, j) = Kx(i, j) khơng khả dụng Chính vậy, từ tín hiệu đo đầu ra, ta thường khuếch đại thành tín hiệu quan sát phản hồi dạng u(i, j) = K xˆ(i, j) Trong chương này, thiết kế điều khiển dựa vào quan sát dạng Luenberger 2-D sau xˆh (i + 1, j) xˆv (i, j + 1) =A xˆh (i, j) xˆv (i, j) + L [y(i, j) − yˆ(i, j)] (2) yˆ(i, j) = C xˆ(i, j) L ∈ Rn×no ma trận đạt hàm quan sát thiết kế Do tượng liệu ngẫu nhiên, tín hiệu điều khiển thực có dạng u(i, j) = ξ¯ij K xˆ(i, j) (3) ξ¯ij dãy biến ngẫu nhiên 2-D có phân phối Bernoulli nhận giá trị {0, 1} với xác suất tương ứng P[ξ¯ij = 1] = E[ξ¯ij ] = ρ P[ξ¯ij = 0] = − E[ξ¯ij ] = − ρ ρ số dương Tích hợp điều khiển tín hiệu quan sát (2)-(3), hệ đóng (1) viết dạng Π η h (i + 1, j) η v (i, j = (Ac + ξij Aˆc Πη(i, j) + Bw(i, j) + 1) (4) x(i, j) = J 0n×nv η(i, j) Ac = J= A ρB1 K LC A − LC Inh 0 0 B1 K , Aˆc = B2 LF J 0n×nv 0n×nh J ,Π = Inv ,B = Kí hiệu l2 l∞ không gian dãy với chuẩn tương ứng w w l∞ = supi,j≥0 E w(i, j) l2 = ∞ i,j=0 w(i, j) Chúng thiết kế ma trận đạt K , L cho hệ đóng (4) khơng có nhiễu w ổn định ngẫu nhiên với mức γ > cho trước, điều kiện ban đầu 0, chuẩn l2 -l∞ ánh xạ vào-ra Σ : w → x hệ (4) thoả mãn Σ l2 −l∞ sup 0=w(·)∈l2 2.2 Tính ổn định 2- ∞ x l∞ < γ w l2 lớp hệ 2-D dạng Roesser có trễ biến thiên Trong chương 3, chúng tơi nghiên cứu tính ổn định ngẫu nhiên EP (energy-topeak) cho lớp hệ 2-D dạng Roesser với trễ biến thiên nhiễu ngẫu nhiên dạng nhân tính vectơ trạng thái vectơ đầu xh (i + 1, j) xv (i, j + 1) = Ax(i, j) + Ad xd (i, j) + Bw(i, j) ˆ ˆ + ξij Ax(i, j) + Aˆd xd (i, j) + Bw(i, j) (5a) z(i, j) = Cx(i, j) + Dxd (i, j) + F w(i, j) ˆ ˆ d (i, j) + Fˆ w(i, j) + θij Cx(i, j) + Dx (5b) xh (i, j) ∈ Rnh vectơ trạng thái ngang xv (i, j) ∈ Rnv vectơ trạng thái dọc, x(i, j) = xh (i, j) xv (i, j) xd (i, j) = xh (i − dh (i), j) xv (i, j − dv (j)) , w(i, j) ∈ Rno nhiễu đầu vào thuộc không gian l2 , z(i, j) ∈ Rnz vectơ đo đầu Trong mơ hình (5a)-(5b), (1) (2) (n) (1) (2) (n ) (p) (q) ξij = diag{ξij , ξij , , ξij } θij = diag{θij , θij , , θij z }, ξij θij nhiễu ngẫu nhiên 2-D độc lập với kì vọng thoả mãn (p) (q) (q) E[ξij(p) ξkl ] = σp2 δik δjl , E[θij θkl ] = σ ˆq2 δik δjl (6) σp (p = 1, , n) σˆq (q = 1, , nz ) số dương cho trước, δik hàm delta Kronecker Các đại lượng trễ biến thiên theo hướng dh (i) and dv (j) thoả mãn dh ≤ dh (i) ≤ dh , dv ≤ dv (j) ≤ dv (7) dh , dh dv , dv số nguyên biểu thị cận cận trễ theo hai hướng ngang dọc Dựa lược đồ phân tích ổn định chương 3, chúng tơi đưa điều kiện LMIs phụ thuộc trễ đảm bảo cho hệ (5a)-(5b) với nhiễu ngẫu nhiên (6) ổn định ngẫu nhiên EP 2.3 Tính ổn định ổn định hoá số lớp hệ 2-D ngẫu nhiên phi tuyến: Cách tiếp cận Định lí dạng LaSalle Xét lớp hệ 2-D ngẫu nhiên mô tả mơ hình Roesser sau xh (i + 1, j) xv (i, j + 1) =F xh (i, j) (i, j), xh (0, j) = φ(j), xv (i, j) (8a) , u(i, j), βij xv (i, 0) = ψ(i) (8b) xh (i, j) ∈ Rnh vectơ trạng thái ngang xv (i, j) ∈ Rnv vectơ trạng thái dọc, u(i, j) ∈ Rnc điều khiển đầu vào, βij dãy vectơ ngẫu nhiên xác định không gian xác suất đầy đủ (Ω, F, P) nhận giá trị Rd Hàm phi tuyến F : N20 × Rn × Rnc × Rd → Rn hàm đo thoả mãn F (., 0, 0, ) = (n = nh + nv ) φ, ψ dãy xác định điều kiện ban đầu hệ Đối với hệ (8), điều khiển phản hồi trạng thái có dạng xh (i, j) u(i, j) = u (9) xv (i, j) u trường vectơ từ Rn vào Rnc với u(0) = Khi đó, hệ đóng (8) viết lại dạng xh (i + 1, j) xv (i, j + 1) = Fu (i, j), xh (i, j) xv (i, j) (10) , βij Fu (i, j), xh (i, j) xv (i, j) , βij =F (i, j), xh (i, j) xv (i, j) ,u xh (i, j) xv (i, j) , βij Trong hệ (8) (10), dãy βij xem q trình ngẫu nhiên hai số Chúng tơi thiết lập điều kiện để hệ đóng (10) ổn định tiệm cận hầu chắn Cụ thể, áp dụng Định lí giới hạn lý thuyết martingale, chúng tơi thiết lập Định lí kiểu LaSalle cho lớp hệ 2-D phi tuyến ngẫu nhiên mô tả mô hình Roesser Trường hợp đặc biệt, chúng tơi đưa Định lí kiểu Lyapunov cho hội tụ hầu chắn quỹ đạo nghiệm Áp dụng kết đạt vào toán thiết kế điều khiển đảm bảo giá trị tối ưu cho lớp hệ 2-D ngẫu nhiên phi tuyến lớp hệ 2-D tuyến tính có chứa đại lượng khơng chắn nhiễu ngẫu nhiên dạng nhân tính Kết đạt luận án Luận án đạt kết sau Dựa lược đồ phân tích ổn định kiểu Lyapunov cho lớp hệ 2-D với thời gian rời rạc, đưa điều kiện ổn định khả dụng thiết kế điều khiển tín hiệu quan sát đảm bảo cho lớp hệ 2-D có nhiễu cảm sinh nhiễu ngẫu nhiên dạng nhân tính 2- ∞ ổn định với biểu diễn cho trước Thiết lập lược đồ phân tích tính ổn định cho lớp hệ 2-D ngẫu nhiên có trễ biến thiên Từ đó, chúng tơi đưa điều kiện LMIs phụ thuộc trễ để đảm bảo cho hệ cho ổn định ngẫu nhiên EP Chứng minh Định lí kiểu LaSalle cho lớp hệ 2-D ngẫu nhiên phi tuyến dựa Định lí hội tụ martingale rời rạc Như trường hợp riêng, chúng tơi đưa Định lí kiểu Lyapunov cho ổn định tiệm cận hầu chắn chắn quỹ đạo nghiệm Đưa điều kiện cho tồn điều khiển phản hồi tối ưu giải toán điều khiển đảm bảo giá trị tối ưu lớp hệ 2-D phi tuyến ngẫu nhiên dựa kết đạt Định lí kiểu LaSalle Từ đó, thiết lập điều kiện thiết kế khả dụng cho vấn đề ổn định đảm bảo giá trị tối ưu cho lớp hệ 2-D tuyến tính khơng chắn có nhiễu ngẫu nhiên dạng nhân tính Cấu trúc luận án Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục cơng trình cơng bố tài liệu tham khảo, luận án gồm chương Chương trình bày kết bổ trợ giải tích ngẫu nhiên, lý thuyết martingale, giải tích ma trận, cấc khái niệm kết liên quan đến lý thuyết ổn định Lyapunov cho số lớp hệ với thời gian rời rạc Chương thiết lập điều khiển 2- ∞ tín hiệu quan sát cho lớp hệ 2-D dạng Roesser Tín hiệu điều khiển chịu ảnh hưởng tượng liệu ngẫu nhiên hệ đóng biểu diễn lớp hệ 2-D có chứa nhiễu ngẫu nhiên dạng nhân tính xuất đồng thời vectơ trạng thái vectơ đầu Cụ thể, áp dụng số kĩ thuật lược đồ đánh giá phương pháp hàm Lyapunov, đưa điều kiện phân tích ổn định thiết kế điều khiển tín hiệu quan sát dựa bất đẳng thức ma trận tuyến tính Chương trình bày vấn đề ổn định ngẫu nhiên EP cho lớp hệ 2-D dạng Roesser có trễ biến thiên nhiễu ngẫu nhiên dạng nhân tính Chúng tơi đưa lược đồ phân tích tính ổn định cho lớp hệ 2-D ngẫu nhiên có trễ Kết mở rộng phương pháp hàm Lyapunov–Krasovskii Chương thiết lập Định lí kiểu LaSalle ngẫu nhiên cho lớp hệ 2-D phi tuyến chứa tham số ngẫu nhiên Áp dụng kết đạt vào toán thiết kế điều khiển đảm bảo giá trị tối ưu cho lớp hệ 2-D ngẫu nhiên phi tuyến dạng Roesser Trường hợp riêng, thiết kế điều khiển đảm bảo giá trị tối ưu cho lớp hệ 2-D tuyến tính khơng chắn chứa nhiễu ngẫu nhiên dạng nhân tính Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, trình bày số kiến thức tính ổn định Lyapunov hệ phương trình sai phân thường, hệ 1-D chứa tham số ngẫu nhiên, sơ lược giải tích ngẫu nhiên số Bổ đề bổ trợ làm sở cho việc trình bày nội dung luận án chương sau 1.1 Biến ngẫu nhiên vectơ ngẫu nhiên 1.2 Kì vọng 1.3 Kì vọng có điều kiện 1.4 Martingales 1.5 Lý thuyết ổn định 1.6 Phương pháp hàm Lyapunov 1.7 Lý thuyết Lyapunov hệ 1-D ngẫu nhiên, rời rạc 1.8 Bổ đề phụ trợ Chương ĐIỀU KHIỂN 2- ∞ BẰNG TÍN HIỆU QUAN SÁT CHO MƠ HÌNH HỆ 2-D TUYẾN TÍNH MẤT DỮ LIỆU NGẪU NHIÊN Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu tốn điều khiển 2- ∞ tín hiệu quan sát cho lớp hệ 2-D tuyến tính dạng Roesser Tín hiệu điều khiển chịu ảnh hưởng nhiễu ngẫu nhiên dạng nhân tích tượng liệu ngẫu nhiên trình truyền tải liệu Bên cạnh đó, cấu trúc đặc thù hệ 2-D, vectơ trạng thái đặc trưng hai biến lan truyền thông tin theo hai hướng khác nên việc thiết để điều khiển gặp nhiều phức tạp thách thức so với kết có 2.1 Mơ tả mơ hình phân tích sơ Xét lớp hệ 2-D mơ hình Roesser sau xh (i + 1, j) xv (i, j + 1) =A y(i, j) = C xh (i, j) xv (i, j) xh (i, j) xv (i, j) + B1 u(i, j) + B2 w(i, j) (2.1) + F w(i, j) xh (i, j) ∈ Rnh vectơ trạng thái ngang xv (i, j) ∈ Rnv vectơ trạng thái dọc; u(i, j) ∈ Rnu điều khiển đầu vào, w(i, j) ∈ Rnd nhiễu ngoại cảnh, y(i, j) ∈ Rno vectơ đo đầu A, B1 , B2 , C, F ma trận với số chiều thích hợp ∈ Rn (n = nh + nv ) vectơ trạng thái Kí hiệu x(i, j) = xh (i, j) xv (i, j) hệ (2.1) Trong thực tế, trạng thái đo được, tức vectơ x(i, j) khơng có sẵn để thiết kế điều khiển phản hồi dạng u(i, j) = Kx(i, j), K ma trận đạt cần thiết kế Khi đó, việc thiết kế điều khiển dựa tín hiệu quan sát có dạng u(i, j) = K xˆ(i, j), xˆ(i, j) vectơ quan sát Trong chương này, xét hệ quan sát 2-D dạng Luenberger sau xˆh (i + 1, j) xˆv (i, j + 1) =A xˆh (i, j) xˆv (i, j) + L [y(i, j) − yˆ(i, j)] yˆ(i, j) = C xˆ(i, j) với L ∈ Rn×no ma trận đạt hàm quan sát thiết kế (2.2) Định nghĩa 2.2.2 ( - ∞ ổn định mức γ ) Cho trước γ > 0, hệ (2.5) gọi 2- ∞ ổn định mức γ biểu diễn EP khơng vượt q γ Nói cách khác, với điều kiện ban đầu không, khẳng định sau với nhiễu w ∈ l2 z l∞ ≤γ w l2 Trong phần này, đưa điều kiện để hệ (2.5) w = ổn định ngẫu nhiên với γ > cho trước, hệ cho lược đồ phân tích tính ổn định 2- ∞ 2- ∞ ổn dịnh mức γ Định lí sau đưa hệ (2.5) Định lí 2.2.1 Với γ > cho trước, giả sử tồn hàm Vh (η h ), Vv (η v ) số dương c1 , c2 , c3 thoả mãn điều kiện sau (i) c1 η ≤ V (η) ≤ c2 η , η = [η h ηv ] V (η) = Vh (η h ) + Vv (η v ); (ii) Sai phân riêng hàm Vh (η h ) Vv (η v ) dọc quỹ đạo nghiệm hệ (2.5) thoả mãn E Vh (η h (i + 1, j))|Gij − Vh (η h (i, j)) + E [Vv (η v (i, j + 1))|Gij ] − Vv (η v (i, j)) ≤ w (i, j)w(i, j) − c3 η(i, j) , (2.9) Gij σ -đại số sinh {βkl , ζkl } với (k, l) ∈ Ωij định nghĩa {(k, l) ∈ N20 : k ≤ i, l ≤ j}\{(i, j)}; (iii) Với nhiễu w khác không, khẳng định sau E Khi đó, hệ (2.5) z(i, j) γ2 2- ∞ − V (η(i, j))|Gij < w (i, j)w(i, j) ổn định mức γ Định lí 2.2.2 Với γ > cho trước, giả sử tồn ma trận đối xứng xác định + dương Ph ∈ S+ nh Pv ∈ Snv thoả mãn điều kiện LMI sau Ψ Ψ11 Ψ12 (2.10) cho trước, điều kiện LMIs sau thỏa mãn nu ×n Z ∈ Rn×n với X ∈ D+ n (nh , nv ), Z1 ∈ R  −X ∗ ∗ ∗   −(F ⊥ ) F ⊥ ∗   O23 −X O13 O14    cho khẳng định sau với nhiễu w z l∞ < γ2 w l2 + κE(φ, ψ) (3.7) Nhận xét 3.1.1 Kí hiệu Twz toán tử vào-ra w đến z Điều kiện (3.7) viết lại sau Với số dương γ > điều kiện ban đầu không (tức φ = ψ = 0), chuẩn Twz l2 -l∞ thoả mãn Twz l2 −l∞ = sup 0=w(·)∈l2 z l∞ < γ w l2 Định nghĩa 3.1.3 (Ổn định ngẫu nhiên EP) Hệ (3.1a)-(3.1b) gọi ổn định ngẫu nhiên EP hai điều kiện sau thoả mãn (i) Hệ (3.1a)-(3.1b) w = ổn định ngẫu nhiên và; (ii) Với số γ > cho trước, hệ (3.1a)-(3.1b) có hiệu suất γ -EP 3.2 Lược đồ phân tích tính ổn định ngẫu nhiên EP Để thuận tiện, kí hiệu xh (i, j) = {xh (i + k, j) : k ∈ Z[−dh , 0]} xv (i, j) = {xv (i, j + l) : l ∈ Z[−dv , 0]} dãy vectơ trạng thái dọc theo hai hướng Với hàm η : Z × Z → Rn , ta đặt ∂1 η(i, j) = η(i + 1, j) − η(i, j) ∂2 η(i, j) = η(i, j + 1) − η(i, j) 14 Định lí 3.2.1 Giả sử với γ số dương cho trước, tồn hàm Vh (i, j) Vv (i, j) Vh (xh (i, j)), Vv (xv (i, j)) số dương λ1 , λ2 , λ3 thoả mãn điều kiện sau (i) λ1 xh (i, j) ≤ Vh (i, j) ≤ λ2 sup−dh ≤k≤0 xh (i + k, j) , λ1 xv (i, j) ≤ Vv (i, j) ≤ λ2 sup−dv ≤k≤0 xv (i, j + k) (ii) Sai phân riêng hàm Vh (i, j) Vv (i, j) dọc quỹ đạo nghiệm hệ (3.1a)(3.1b) thoả mãn E Vh (i + 1, j) + Vv (i, j + 1) Fij − V (i, j) ≤ w (i, j)w(i, j) − λ3 x(i, j) (3.8) V (i, j) = Vh (i, j) + Vv (i, j) Fij σ -đại số sinh {ξkl , θkl }, (k, l) ∈ Ωij = {(k, l) ∈ N20 : k ≤ i, l ≤ j}\{(i, j)} (iii) Với nhiễu w khác E z (i, j)z(i, j) − V (i, j) Fij < w (i, j)w(i, j) γ2 Khi đó, hệ (3.1a)-(3.1b) ổn định ngẫu nhiên EP 3.3 Thiết lập điều kiện ổn định ngẫu nhiên EP dạng LMIs Áp dụng kết Định lí 3.2.1, thiết lập điều kiện phụ thuộc trễ dựa bất đẳng thức ma trận tuyến tính cho hệ 2-D ngẫu nhiên (3.1a)-(3.1b) ổn định ngẫu nhiên EP Chúng tơi đưa số kí hiệu vectơ ma trận ˆ + Aˆd e3 + Be ˆ A = Ae1 + Ad e3 + Be8 , Aˆ = Ae n (p) (p) σp2 Aˆ En P En Aˆ − e1 P e1 − e8 e8 Ξ1 = A P A + p=1 Ξ2 = e1 Qe1 + e2 Re2 − e2 Qe2 − e4 Re4 n Ξ3 = A − e1 (p) (p) σp2 Aˆ En (I1 W )En Aˆ (I1 W ) A − e1 + p=1 Ξ4 = e1 − e2 diag{W, 3W } e1 + e2 − 2e5 e1 − e2 e1 + e2 − 2e5 n Ξ5 = A − e1 (p) (p) σp2 Aˆ En (I2 Z)En Aˆ (I2 Z) A − e1 + p=1 I1 = diag{d2h Inh , d2v Inv }, I2 = diag{(drh )2 Inh , (drv )2 Inv } 15 [4] Ih Ξ6 = Γ [4] [4] [4] Γ ΨvY Iv ΨhX Ih + Iv Zh = diag{Zh , 3Zh }, Zv = diag{Zv , 3Zv } Γ1 = Γ= e2 − e3 e2 + e3 − 2e6 Γ1 Γ2 e3 − e4 , Γ2 = , ΨhX = e3 + e4 − 2e7 Zh X X Zh , ΨvY = Zv Y Y Zv [p] Ih = Inh 0nh ×nv , Ih = diag{Ih , , Ih } p blocks [p] Iv = 0nv ×nh Inv , Iv = diag{Iv , , Iv } p blocks + + D+ n = P = diag{Ph , Pv }, Ph ∈ Snh , Pv ∈ Snv Định lí 3.3.1 Hệ (3.1a)-(3.1b) ổn định ngẫu nhiên EP với γ > cho trước 2nh ×2nh , Y ∈ R2nv ×2nv tồn ma trận P , Q, R, W , Z D+ n ma trận X ∈ R thoả mãn điều kiện LMIs sau M Ξk − Ξ4 + Ξ5 − Ξ6 < (3.9a) ΨhX ≥ 0, ΨvY ≥ (3.9b) k=1     −Φ ˆ Dσˆ H H H − ˆ Dσˆ H γ2    cho trước, tồn ma trận P ∈ D+ n cho Ψ11 Ψ12 Ψ12 Ψ22 < 0, Λ11 Λ12 Λ12 − γ2 I2nz 16 h, ψ(i) = 0, i > v (4.2) Trong hệ (4.1), điều khiển phản hồi trạng thái (SFC) có dạng xh (i, j) u(i, j) = u (4.3) xv (i, j) u vectơ từ Rn vào Rnc với u(0) = Khi đó, hệ đóng (4.1) có dạng xh (i + 1, j) xv (i, j + 1) = Fu (i, j), 18 xh (i, j) xv (i, j) , βij (4.4) Fu (i, j), xh (i, j) xv (i, j) , βij =F (i, j), xh (i, j) xv (i, j) ,u xh (i, j) xv (i, j) , βij Định nghĩa 4.1.1 Hệ (4.1) gọi ổn định hóa hầu chắn tồn điều khiển phản hồi u¯(i, j) dạng (4.3) cho hệ đóng (4.1) ổn định tiệm cận theo nghĩa hầu chắn, tức là, với điều kiện ban đầu (4.2), P lim i+j→∞ x(i, j) = xh (i, j) xv (i, j) x(i, j) = = ∈ Rn nghiệm hệ (4.4) (4.2) tương ứng với điều khiển phản hồi trạng thái u¯(i, j) 4.2 Định lí kiểu LaSalle cho lớp hệ 2-D ngẫu nhiên dạng Roesser Kí hiệu Jh = [Inh 0], Jv = [0 Inv ] hàm thành phần Fuh ((i, j), x(i, j), βij ) = Jh Fu ((i, j), x(i, j), βij ), Fuv ((i, j), x(i, j), βij ) = Jv Fu ((i, j), x(i, j), βij ) Khi đó, phương trình (4.4) có dạng xh (i + 1, j) = Fuh ((i, j), x(i, j), βij ) xv (i, j + 1) = Fuv ((i, j), x(i, j), βij ) với vectơ trạng thái x = x(i, j) Với Vh : Rnh → R, xh → Vh (xh ) Vv : Rnv → R, xv → Vv (xv ) hàm cho, sai phân V (x) Vh (xh ) + Vv (xv ) dọc theo quỹ đạo nghiệm x(i, j) hệ (4.4) xác định E Vh (xh (i + 1, j))|Gi+j − Vh (xh (i, j)) ∆u V (x(i, j)) + E [Vv (xv (i, j + 1))|Gi+j ] − Vv (xv (i, j)) = E [V (Fu ((i, j), x(i, j), βij ))|Gi+j ] − V (x(i, j)) (4.5) Gi+j σ -đại số sinh bởi{βkl : (k, l) ∈ Ωi+j−1 } và, với số nguyên dương κ, Ωκ = {(k, l) ∈ N20 : k + l ≤ κ} Định lí 4.2.1 Giả sử tồn hàm không âm Vh (xh ), Vv (xv ), W (x) số thực ζij ≥ cho ∞ i,j=0 ζij < ∞, Vh (0) = Vv (0) = sai phân hàm V (x) = Vh (xh ) + Vv (xv ) dọc quỹ đạo nghiệm x(i, j) hệ (4.4) thoả mãn ∆u V (x(i, j)) ≤ ζij − W (x(i, j)), i, j ≥ Khi đó, limi+j→∞ V (x(i, j)) tồn hữu hạn hầu chắn (a.s) Hơn nữa, lim W (x(i, j)) = i+j→∞ 19 (a.s) (4.6) Hệ 4.2.1 Giả sử tồn hàm không âm V, W : Rn → R+ , V (x) = Vh (xh ) + Vv (xv ), số thực không âm {ζij } cho V (0) = 0, W (x) liên tục, ∞ i,j=0 ζij số cho trước Trong hệ (4.14), A0 , B0 , As Bs (s = 1, 2, , d) ma trận cho trước với số chiều thích hợp ∆A0 , ∆B0 , ∆As , ∆Bs đại lượng khơng chắn có cấu trúc [∆A0 ∆B0 ] = LFij [M0 N0 ] [∆As ∆Bs ] = LFijs [Ms Ns ], (s = 1, 2, , d) L, M0 , Ms , N0 , Ns ma trận biết Fij , Fijs ma trận chưa biết cho Fij Fij ≤ I Fijs Fijs ≤ I Khơng tính tổng qt, giả sử điều kiện ban đầu hệ (4.14) nằm tập Din = xh (0, ) = Zh ϑ1 , xv (., 0) = Zv ϑ2 , ϑ1 ϑ1 ≤ 1, ϑ2 ϑ2 ≤ (4.16) Zh , Zv ma trận cho trước ϑ1 , ϑ2 vectơ chưa biết Một ví dụ điển hình hàm giá J vấn đề LQR (linear quadratic regulator) có dạng sau L(x, u) = x Qx + u Ru + Q ∈ S+ ¯(i, j) = Kx(i, j), n R ∈ Snc Chúng xét điều khiển phản hồi trạng thái u K ∈ Rnc ×n ma trận đạt Khi đó, hệ đóng (4.14) biểu diễn dạng xh (i + 1, j) xv (i, j + 1) = Ac0 xh (i, j) xv (i, j) d Acs + s=1 xh (i, j) xv (i, j) s βij , (4.17) Ac0 = A0 +∆A0 +(B0 +∆B0 )K Acs = As +∆As +(Bs +∆Bs )K (s = 1, 2, , d) Định lí 4.3.3 Với ma trận K cho trước, giả sử tổn ma trận đối xứng xác định + dương Ph ∈ S+ nh Pv ∈ Snv thoả mãn điều kiện sau d (Ac0 ) (Ph ⊕ Pv ) Ac0 +σ (Acs ) (Ph ⊕ Pv ) Acs − (Ph ⊕ Pv ) + Q + K RK < s=1 22 (4.18) Ph ⊕ Pv = diag(Ph , Pv ) biểu thị tổng Ph Pv Khi đó, hệ đóng hệ (4.17) ổn định hố hầu chắn hàm giá hệ đóng J(φ, ψ, u¯) thoả mãn đánh giá sau J(φ, ψ, u¯) ≤ J ∗ = h λmax Zh Ph Zh + v λmax Zv Pv Zv (4.19) với điều kiện ban đầu (φ, ψ) ∈ Din Đặt P = Ph ⊕ Pv Điều kiện (4.18) tương đương với điều kiện LMI sau   −X H1   ∗    ∗ ∗ H2 H3 −Λ 0 ∗ −In+nc ∗ − I(d+1)q    0, λ2 >      LMI (4.20)     −(λ1 Inh ) ⊕ (λ2 Inv ) (Zh ⊕ Zv )     <     Zh ⊕ Zv −X 23 (4.22) KẾT LUẬN CHUNG Các kết đạt Thiết lập điều kiện ổn định khả dụng thiết kế điều khiển tín hiệu quan sát để đảm bảo cho lớp hệ 2-D mơ hình liệu ngẫu nhiên 2- ∞ ổn định với hiệu suất mức γ cho trước Đưa lược đồ phân tích tính ổn định ngẫu nhiên EP lớp hệ 2-D dạng Roesser có trễ biến thiên nhiễu ngẫu nhiên dạng nhân tính Chứng minh Định lí kiểu LaSalle cho lớp hệ 2-D ngẫu nhiên phi tuyến tổng quát phương pháp sử dụng Định lí giới hạn có lý thuyết hội tụ trình ngẫu nhiên Dựa tiếp cận Định lí kiểu LaSalle 2-D thu được, tồn điều khiển đảm bảo giá trị tối ưu cho lớp hệ 2-D ngẫu nhiên phi tuyến dạng Roesser Một số vấn đề nghiên cứu • Các kết chương tính 2- ∞ ổn định với hiệu suất mức γ điều khiển tín hiệu quan sát cho lớp hệ 2-D ngẫu nhiên tuyến tính dạng Roesser mở rộng cho việc nghiên cứu lớp hệ 2-D mơ hình FornasiniMarchesini, mơ hình Kurel mơ hình tổng qt có chứa nhiễu ngẫu nhiên dạng nhân tính độ trễ thời gian • Lược đồ phân tích tính ổn định ngẫu nhiên EP cho lớp hệ 2-D dạng Roesser có trễ biến thiên nhiễu ngẫu nhiên dạng nhân tính thiết lập chương áp dụng toán quan trọng lý thuyết điều khiển hệ thống điều khiển H∞ , thiết kế lọc đánh giá trạng thái Cụ thể, tính ổn định ngẫu nhiên lớp hệ bước nhảy Markov 2-D chứa nhiễu ngẫu nhiên vấn đề nghiên cứu đầy triển vọng thú vị • Định lý kiểu LaSalle thiết lập Chương cho hệ ngẫu nhiên 2-D có độ trễ thời gian dường cịn bỏ ngỏ, hệ 2-D tuyến tính tựa tuyến tính Những ứng dụng kết này, ví dụ vấn đề tính ổn định tiệm cận hầu chắn, thiết kế điều khiển/bộ lọc/quan sát cần nghiên cứu thêm 24 DANH MỤC CƠNG TRÌNH CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN [P1] Le Van Hien, Hieu Trinh and Nguyen Thi Lan Huong (2019), Delay-dependent energy-to-peak stability of 2-D time-delay Roesser systems with multiplicative stochastic noises, IEEE Transactions on Automatic Control, 64 (12), 5066–5073 (SCI, Q1) [P2] Le Van Hien and Nguyen Thi Lan Huong (2020), Observer-based control of 2-D Roesser systems with random packet dropout, IET Control Theory and Applications, 14 (5), 774–780 (SCI, Q1) [P3] Nguyen Thi Lan Huong and Le Van Hien (2020), Robust stability of nonlinear stochastic 2-D systems: LaSalle-type theorem approach, International Journal of Robust and Nonlinear Control, 30(13), 4839-4862 (SCI, Q1) Các kết luận án báo cáo tại: • Xemina Phương trình vi phân tích phân, Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn-Tin, Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội • Xemina Phịng Tối ưu Điều khiển, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Cơng nghệ Việt Nam • Xemina Bộ mơn Tốn Ứng dụng, Khoa Tốn-Tin, Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội • Hội nghị cán bộ, Khoa Tốn-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội • Hội nghị khoa học nghiên cứu sinh, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội • Workshop “Phương trình vi phân hệ động lực”, 2018, Xn Hồ, Vĩnh Phúc • Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ IX, tháng 8/2018, Nha Trang, Khánh Hồ • Workshop “Piecewise deterministic Markov processes and application”, 3-4/7/ 2019, Viện nghiên cứu cao cấp Tốn (VIASM) • Workshop “ Dynamical Systems and Related Topics”, 23-25/12/2019, Viện nghiên cứu cao cấp Toán (VIASM) ... (5a)-(5b) với nhiễu ngẫu nhiên (6) ổn định ngẫu nhiên EP 2. 3 Tính ổn định ổn định hố số lớp hệ 2- D ngẫu nhiên phi tuyến: Cách tiếp cận Định lí d? ??ng LaSalle Xét lớp hệ 2- D ngẫu nhiên mơ tả mơ hình... phải C 12 (2. 13) Chương TÍNH ỔN ĐỊNH NGẪU NHIÊN EP CỦA LỚP HỆ 2- D TUYẾN TÍNH D? ??NG ROESSER CĨ TRỄ BIẾN THIÊN Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu tính ổn định ngẫu nhiên EP cho lớp hệ 2- D dạng... w ổn định ngẫu nhiên với mức γ > cho trước, điều kiện ban đầu 0, chuẩn l2 -l∞ ánh xạ vào-ra Σ : w → x hệ (4) thoả mãn Σ l2 −l∞ sup 0=w(·)∈l2 2. 2 Tính ổn định 2- ∞ x l∞ < γ w l2 lớp hệ 2- D dạng