Bài tập đạo hàm ĐẠO HÀM A. LÝ THUYẾT. 1. Tính đạo hàm bằng định nghĩa Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại 0 x 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x ∆ → → + ∆ − − ′ = = ∆ − 0 x x x∆ = − : là số gia của đối số tại 0 x 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )y f x f x f x x f x∆ = − = + ∆ − : là số gia của hàm số tại 0 x Quy tắc tính: Bước 1: Với ∆ x là số gia của đối số tại 0 x ( 0 x x x∆ = − ), tính ∆y = f(x 0 + ∆x ) – f(x 0 ) Bước 2: Lập tỉ số: x y ∆ ∆ Bước 3: Tìm x y x ∆ ∆ →∆ 0 lim 2. Quan hệ giữa tính liên tục và sự có đạo hàm 3. Ý nghĩa hình học: Nếu tồn tại, 0 ( )f x ′ là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại 0 0 ( ; )M x y . Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại 0 0 ( ; )M x y là 0 0 0 ( )( )y y f x x x ′ − = − , với 0 0 ( )y f x= 5. Quy tắc tính đạo hàm 1) (c)’ = 0 (c = const) 2) (x n )’ = nx n-1 3) (u ± v)’ = u’ ± v’± w’ 4) (u.v)’ = u’v + uv’ 5) 2 ' '' v uvvu v u − =       (v ≠ 0) 6) (ku)’ = ku’ 7) y’ x = y’ u .u’ x 8) 1 sin lim 0 = → x x x ( u, v là các hàm số; c, k: hằng số) BẢNG ĐẠO HÀM u = f(x) 1 ( ) n n x nx − ′ = 2 1 1 x x ′   = −  ÷   ( ) 1 2 x x ′ = 1 ( ) . n n u nu u − ′ ′ = 2 1 u u u ′ ′   = −  ÷   ( ) 2 u u u ′ ′ = (sinx)’ = cosx (cosx)’ = -sinx ( ) 2 1 t anx cos x ′ = (cotx)’ = - x 2 sin 1 (sinu)’ = u’.cosu (cosu)’ = -u’.sinu ( ) 2 t anu cos u u ′ ′ = (cotu)’ = - u u 2 ' sin 6. Đạo hàm cấp cao: Cho hàm số y = f(x) Đạo hàm cấp 2: [ ] ( ) ( )y f x f x ′ ′′ ′′ ′ = = Đạo hàm cấp n: ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) n n n y f x f x − ′   = =   (n > 1) 7. Vi phân của hàm số y = f(x): ( ) ( )dy df x f x dx ′ = = B. BÀI TẬP 1 f(x) có đạo hàm tại 0 x f(x) liên tục tại 0 x Bài tập đạo hàm Dạng 1: Tính đạo hàm của hàm số bằng định nghĩa: Bài 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm các hàm số sau. a) y = f(x) = 2x + 1 tại 0 1x = − b) 2 ( )y f x x= = − tại 0 2x = c) 3 2 ( ) x y f x x − = = tại 0 1x = d) ( ) 2y f x x= = + tại 0 3x = Bài 2: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = 3x – 5 b) 2 9y x= − c) 2 4y x x= − d) 3 1y x= + e) 1 2 y x = − Dạng 2: Quan hệ giữa tính liên tục và sự có đạo hàm Bài 3: Chứng minh hàm số 2 2 ( 1) , 0 ( ) ( 1) , 0 x x f x x x  − ≥  =  + <   không có đạo hàm tại x = 0, nhưng liên tục tại đó. Bài 4: chứng minh hàm số 1y x= − không có đạo hàm tại x = 1 , nhưng liên tục tại đó Bài 5: chứng minh hàm số 2y x= − không có đạo hàm tại x = 2, nhưng liên tục tại đó Dạng 3: Đạo hàm của tổng, hiệu, tích , thương Bài 6: Tìm đạo hàm của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra: a) 2 3 2y x x= − − tại x =1 b) 2 4 1y x x= − − tại 2x = c) 1 3 2 y x = − + tại x = 2 d) 1 5 4 y x = − + tại x = 1 e) 3 1y x= + tại x = 2 3 2y x= − tại x = -3 f) 3 4 2 1 x y x + = − + tại x = 4 g) 5 2 3 9 x y x + = − + Bài 7: Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a) 3 2 3 4 5 7 11y x x x x = − + − + b) 2 4 1 4 6 5 3 y x x x x= + − + c) 2 (2 1)( 3 2)y x x x= + − − + d) 2 3 1 4 1 x x y x + + = − e) 2 ( 3 4 6)(7 1)y x x x= − + − − f) 2 5 4 2 3 4 x x y x − + = + g) 2 ( 4 2 3)( 2 4)(3 1)y x x x x= − + + − + + h) 3 ( 2 1) 4 7 x x y x − + = − i) 6 5 (4 1)( 2 3) x y x x − + = − − + j) y = ( 2 x - 3x + 3)( 2 x +2x-1) k) y = ( ) 1 x 1 1 x   + −  ÷   l) y = ( ) ( ) 3 2 3 x 2 1 x 3x+ + + m) y = (1+ x )(1+ 2x )(1+ 3x ) n) y = 1 x 1 2x + + p) y = 3 3 1 2x 1 2x − + Dạng 4: Đạo hàm của hàm hợp Bài 8: Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a) 6 (3 5)y x= − b) 10 2 3 1 4 2 2 y x x   = + −  ÷   c) 7 5 1 2 3 x y x −   =  ÷ +   d) ( ) ( ) 4 3 2 5 4 4 3y x x x= − + − − Bài 9: Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a) 2 3 4 5y x x= − + b) 3 2 1 x y x − = + c) 2 1 2 3 y x x = + + d) 2 3 1 2 1 x x y x − − = − Bài 10: Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a) 3 2 2 4y x x= + b) 2 ( 2) 1y x x= − + c) 2 2 1 1 x y x + = − d) 1 3 1 1 3 1 x y x + + = − + e) y = x 1 x 1 + − f) y = 2 2 1 x 1 x − + g) 1 1 1 1 y x x = − + − 2 Bài tập đạo hàm h) 2 1y x x= + + i) 3 2 1 1 x y x   =  ÷ − −   Dạng 5: Tiếp tuyến của đường cong: Bài 11: Cho đồ thị 3 ( ) : ( )C y f x x= = a) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ là -1; -2, 2 b) Tìm điểm trên đồ thị hàm số mà tiếp tuyến tại đố có hệ số góc là 3; 27 Bài 12: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị các hàm số a) 2 4 5 2 x x y x + + = + tại điểm có hoành độ x = 0; b) 3 2 3 2y x x= − + tại điểm (-1; -2); c) 2 1y x= + , biết hệ số góc của tiếp tuyến là 1 3 Bài 13: Cho hàm số 3 ( ) 2y f x x= = − có đồ thị là đường cong (C). Viết pttt của (C) biết a) Tiếp tuyến tại điểm (2; -16) b) Tiếp tuyến có hệ số góc là 3 2 − c) Tiếp tuyến song song với đường thẳng 6x + y – 1 = 0 d) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 5 24 y x= + Bài 14: trên đường cong 2 4 6 3y x x= − + , hãy tìm điểm tại đó tiếp tuyến song song với đthẳng y = 2x Bài 15: cho hàm số 3 ( )y f x x= = a) Tính đạo hàm của hàm số tại x = -2 b) Điểm nào trên đồ thị mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc là 4; -3; 3 c) Một tiếp tuyến của đồ thị tiếp xúc với đồ thị tại điểm có tung độ là 8. Viết phương trình tiếp tuyến đó Bài 16: Cho hàm số 2 3 2y x x= − a) Tính hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị tại các điểm có hoành độ -3; 2; 4 b) Tìm điểm trên đồ thị mà hệ số góc của tiếp tuyến tại đó là -2; 4 Bài 17: Cho hàm số 3 ( ) 2y f x x= = − a) Tìm điểm trên đồ thị mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc lớn nhất b) Điểm nào trên đồ thị mà tiếp tuyến tại đó chắn trên hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 27 4 Bài 18: cho hàm số 2 8 4 y x = + a) Viết pttt của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = 2 b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4. Dạng 6: Tính giới hạn của các hàm số lượng giác Bài 19: Tính các giới hạn sau: a) 0 sin 3 lim 2 x x x → b) 0 sin 4 lim 3 x x x → c) 2 0 1 os6 lim 2 x c x x → − d) 0 1 os2 lim sin x c x x x → − e) 2 0 os3 cos lim x c x x x → − f) 0 1 os3 lim 1 cos x c x x → − − g) 0 sin 2 lim 1 2 1 x x x → − + h) 0 sin 5 lim tan 4 x x x → Dạng 7: Tìm đạo hàm của các hàm số lượng giác tại một điểm Bài 20: Tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm đã chỉ ra: a) 3cos 2y x= tại 6 x π = − b) sin 2 x y = tại 2 3 x π = Dạng 8: Tìm đạo hàm của các hàm số lượng giác Bài 21: Tìm đạo hàm của các hàm số 3 Bài tập đạo hàm a) 3cos 2siny x x= − d) 2 1 siny x = e) sin 3 . os2y x c x= g) 3sin 2 2cos 2 sin 2 os2 x x y x c x + = − h) sin 3 cos . os2 x y x c x = Bài 22: Tìm đạo hàm của các hàm số b) sin 3 os tan 2 x y x c x= + + c) 2 sin( 5 1) tan a y x x x = − + + f) .cot 2y x x= bxfbfbdfbfbdfbdf 4 . 5 2 3 9 x y x + = − + Bài 7: Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a) 3 2 3 4 5 7 11y x x x x = − + − + b) 2 4 1 4 6 5 3 y x x x x= + − + c) 2 (2 1)( 3 2)y x. + i) 3 2 1 1 x y x   =  ÷ − −   Dạng 5: Tiếp tuyến của đường cong: Bài 11: Cho đồ thị 3 ( ) : ( )C y f x x= = a) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ