Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Giải tích 12 - Bài tập: Nguyên hàm với mục đích củng cố kiến thức cho các em học sinh về phương pháp đổi biến số; phương pháp tính nguyên hàm từng phần. Đây là tài liệu tham khảo hữu ích hỗ trợ cho quá trình học tập và giảng dạy của giáo viên và học sinh; mời các bạn cùng tham khảo.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI BÌNH TRƯỜNG THPT PHỤ DỰC Giáo viên thực hiện : Nguyễn Giang Nam A. Phương pháp đổi biến số Bài 1: Tính x dx x+ x2 − cos5 x sin x.dx + ln x ln xdx x Bài giải 1. Ta có : x.dx � x+ x2 − =� x( x + x − 1)dx ( ) =� x dx + � x2 − x3 = + 3 ( x − 1) 2 d ( x − 1) +C x3 = + ( x − 1)3 + C 3 A. Phương pháp đổi biến số Bài 1: Tính Bài giải 2. Ta có : x dx Cách 1 x+ x −1 cos5 x sin x.dx 2 + ln x ln xdx x Tổng quát hóa cos m x sin n+1 x.dx cos m+1 x sin n x.dx ( m, n N *) 5 cos x sin x dx = cos x sin x.sin xdx � � = − cos5 x(1 − cos x).d (cos x) = (cos x − cos5 x) d (cos x) cos8 x cox x = − +C Cách 2 cos x sin x dx = cos x sin x.cos xdx � � = sin x(1 − sin x) d (sin x) = (sin x − 2sin x + sin x) d (sin x) sin x sin x sin x = − + +C A. Phương pháp đổi biến số Bài 1: Tính x dx x+ x2 − cos5 x sin x.dx + ln x ln xdx x Bài giải 3. Ta có : Đặt : t = + ln x dt = ln x dx x Khi đó, ngun hàm cần tính trở thành t dt �t dt = � 2 t3 = t +C = +C 3 Thay t = + ln x vào kết quả, ta được : + ln x ln xdx = x (2 + ln x )3 + C A. Phương pháp đổi biến số Bài 2: Tính ( x + 1)dx 3x + dx x (1 + x ) Bài giải 1. Ta có : Đặt : t3 −1 t = 3x + x= ( dt = dx) (3 x + 1) dx = t dt Khi đó, ngun hàm cần tính trở thành t3 −1 +1 t dt = ( t + 2t )dt � t � t5 = ( + t2) + C Thay t = 3x + vào kết quả, ta được : ( x + 1)dx 13 = (3 x + 1) + (3 x + 1) +C 3 x + 15 A. Phương pháp đổi biến số Bài 1: Tính Bài giải 2. Ta có : Đặt : Bài 2: Tính ( x + 1)dx 3x + dx x (1 + x ) t= x ( t dt = − dx) x x= dx = − dt t Khi đó, ngun hàm cần tính trở thành dt t dt −� (− ) = � 1 t t +1 (1 + ) t t d (t + 1) = = ln t +1 + C 5 t +1 t= Thay vào kết quả, ta được x : dx = ln +1 + C 5 x (1 + x ) x Tổng quát : dx ( n > 1, n n x (1 + x ) N *) B. PP tính nguyên hàm từng phần Bài giải 1. Ta có : Bài 1: Tính x(cos x + sin x).dx x ln x.dx e sin x sin x.cos x.dx sin x dx Vậy cos x + sin x = (cos x + sin x) − 2sin x cos x 1 cos4 x = − sin 2 x = − (1 − cos4 x) = + 4 4 x (cos x + sin x ) dx = xdx + x cos4 xdx Do đó � � � 4 du = dx � sin x v= x sin x x cos x dx = − � sin xdx � 4 x sin x = + cos x + C ' 16 u=x Đặt � dv = cos x.dx x(cos x + sin x).dx = 1 x + x sin x + cos x + C 16 64 B. PP tính ngun hàm từng phần Bài giải 2. Ta có : Bài 1: Tính 4 x(cos x + sin x).dx x ln x.dx u = ln x � Đặt � dv = x.dx 2ln x du = dx x � � x2 v= x ln x x ln x.dx = −� x ln xdx � du = dx u = ln x x Đặt � � dv = x.dx x2 v= 2 e sin x sin x.cos x.dx sin x dx x ln x x ln x.dx = − � xdx � 2 x ln x x = − +C' Vậy x ln x x ln x x x ln x.dx = − + +C 2 B. PP tính nguyên hàm từng phần Bài 1: Tính Bài giải 3. Ta có : u = cos x � � sin x dv = e cos x.sin x.dx � Đặt sin x e � Vậy e sin x cos x.e sin x cos x.dx = cos x.esin = 2 du = −2sin x.cos x.dx � � sin x v= e � x sin x +� e sin x + e +C 2 cos x.e sin x cos x.dx = sin x sin x sin x + e +C sin x cos xdx B. PP tính ngun hàm từng phần Bài giải 4. Ta có : Bài 1: Tính x(cos x + sin x).dx x ln x.dx e sin x sin x.cos x.dx sin x dx Đặt t = x x = t3 dx = 3t 2dt Khi đó, ngun hàm cần tính trở thành 3t sin t.dt u = 3t Đặt � dv = sin t.dt du = 6tdt � v = − cos t 2 t sin t dt = − t cos t + � t cos tdt � u =t � Đặt � dv = cos t.dt � du = dt � � v = sin t � t cos t.dt = t sin t − � sin tdt � = t sin t + cos t + C ' Thay t = x ta được sin x dx = −3 x cos x + x cos x + 6cos x + C C. Củng cố : Phương pháp tính nguyên hàm D. Bài tập về nhà: Tính các nguyên hàm sau : 2x + dx x − 4x − dx (2 x − 1) (4 x − 5) 3x + 3x + dx x − 3x + dx + ex sin x .dx cos x dx sin x cos x x(cos x + sin x).dx x .dx cos x ln x ( ) dx x x 2e x 10 .dx ( x + 2) 11 .dx π cos x cos( x + ) 4sin x + 3cos x 12 .dx sin x + 2cos x ... xdx B. PP tính? ?nguyên? ?hàm? ?từng phần Bài? ?giải 4. Ta có : Bài? ? 1: Tính x(cos x + sin x).dx x ln x.dx e sin x sin x.cos x.dx sin x dx Đặt t = x x = t3 dx = 3t 2dt Khi đó, ngun? ?hàm? ?cần tính trở thành ... = cos x.dx x(cos x + sin x).dx = 1 x + x sin x + cos x + C 16 64 B. PP tính? ?nguyên? ?hàm? ?từng phần Bài? ?giải 2. Ta có : Bài? ? 1: Tính 4 x(cos x + sin x).dx x ln x.dx u = ln x � Đặt � dv = x.dx... A. Phương pháp đổi biến số Bài? ? 1: Tính Bài? ?giải 2. Ta có : Đặt : Bài? ? 2: Tính ( x + 1)dx 3x + dx x (1 + x ) t= x ( t dt = − dx) x x= dx = − dt t Khi đó, ngun? ?hàm? ?cần tính trở thành dt t