Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu tham khảo dành cho giáo viên, học sinh trung học phổ thông đang trong giai đoạn ôn thi đại học môn toán - Một số đề thi thử đại học giúp củng cố kiến thức và rèn luyện khả năng giải toán
Câu I.1)Vớim=-1hệvônghiệm.2) Bất phỷơng trình thứ nhất có nghiệm : -1 < x <13.Để khảo sát bất phỷơng trình thứ hai, xét hàm sốf(x) = x3+3mx+1.Ta có f(x) = 3x2+ 3m.a) Nếu m 0, hàm số là đồng biến, vậymin ( ) ( ) ,[;]xfx f m==11313tứclà:*nếum=0,tacóf(x) > 0 với mọi x ẻ (-1 ;13):hệ vô nghiệm;* nếu m > 0, ta có f(-1) < 0, nên tồn tại x0ẻ (-1;13) với f(xo) < 0 : hệ có nghiệm.b) Nếu m < 0, hàm f(x) có bảng biến thiênx-Ơ--m -m+Ơf + 0 - 0 +1-2m -m+Ơf-Ơ1+2m -mĐể ý rằng f(-1) = -3m > 0, f(0) = 1 > 0, vậy f(x) > 0 khix ẻ (-1 ; 0]. Muốn hệ có nghiệm, phải tồn tại x0ẻ (0;13) với f(xo)< 0. Ta xét hai trỷỳõng hợp có thể xảy ra:www.khoabang.com.vnLuyện thi trên mạng Phiên bản 1.0________________________________________________________________________________ i) 0 <-m13, tức là-19m<0. Cần cóf(-m)=1+2m -m< 0 m < -143,mâu thuẫn với điều kiện -19Ê m.ii)13<-m, tức là m < -19. Cần có f(13)=2827+m< 0 m < -2827.Tóm lại hệ có nghiệm nếu m > 0 hoặc nếu m < -2827.Câu II. 1) Điều kiện để biểu thức có nghĩa:a 3;b 4;c 2.áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:c-2 =(c - 2)2212.(c-2)+22=c22.Tỷơng tự ta đỷợc:a-3a23;b-4b24.Từ đó:f=c-2c+a-3a+b-4bÊ122+123+124.Vậy : maxf =1212+13+12, đạt đỷợckhi: c=4;a=6;b=8.2) Chia hai vế cho92x - x + 12ta sẽ có259+13415.532x - x + 1 2x - x + 122.Đặtt=532x - x + 12,(t> 0) thì sẽ tới t2-3415t+1 0. Giải ra, sẽ đ ợc : t Ê35hoặc t 53.www.khoabang.com.vnLuyện thi trên mạng Phiên bản 1.0________________________________________________________________________________ a)53352x - x + 12 2x-x2+1Ê -1 x2-2x-2 0 x Ê 1-3hoặc x 1+3.b)53532x - x + 12 2x-x2+1 1 0 Ê x Ê 2.Đáp số.0Ê x Ê 2 hoặcxÊ 1-3hoặcx 1+3.Câu III.1)Phỷơng trình đã cho có thể viết lại:a2(sinx - cosx) - a(sin2x - cos2x) = cosx - sinx (sinx - cosx)[a2- a(sinx + cosx) + 1] = 0.a)sinx-cosx=0cómộtnghiệm duy nhất x =4trong khoảng-34;.b) a2- a(sinx + cosx)+1=0 a(cosx + sinx) = a2+1.Phỷơng trình này có nghiệm khi và chỉ khia2+a2 (a2+1)2ị a4+1Ê 0:vôlý.Vậy phỷơng trình ban đầu chỉ có một nghiệm duy nhất:x=/4 trong khoảng (-3/4 ; ).2)2- = + ị tg (2- )=tg + tg1 - tg tg tgtg +tgtg =1-tgtg tgtg +tgtg +tgtg =1.Theo Bunhicôpxki ta có: g2=(1 + tg tg + 1 + tg tg + 1 + tg tg )2Ê(12+12+12)(1+tgtg +1+tgtg +1+tgtg)=3(3+1)=12.VậygÊ 23. (Dấu bằng xảy ra khi = = =6) ịmaxg = 23.www.khoabang.com.vnLuyện thi trên mạng Phiên bản 1.0________________________________________________________________________________ www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 ________________________________________________________ Câu IVa. Đặt 22xf(x)x1=, ta có 223/2x(x 2)f'(x)(x 1)= Suy r f(x) đồng biến trong (2 ; + ) f(x) đồng biến trong [2 ; 3] Từ đó : y x [2 ; 3], f(x) < f(3) = 924 do đó 332292 92f(x)dx dx44<= y x [2 ; 3], x < f(x) nên 3233222x5f(x)dx xdx22>== Câu Va. 1) Vì 22(m 1) ( 2m) 5 0++ +> nên m(C ) luôn là 2) đờng tròn thực với mọi m. 3) Tọa độ tâm của m(C ) : I(x= m + 1, y = 2m). Khử m ta có tọa độ của I thỏa mãn phơng trình y = 2x + 2 Suy ra tập hợp các tâm I là đờng thẳng có phơng trình y = 2x + 2. 2) Bán kính của (C) là R = 1, của m(C ) là 2mR5m2m6=++. Khoảng cách hai tâm 2OI 5m 2m 1=++. Xét hai trờng hợp : m(C ) tiếp xúc ngoài với (C) mR + R = OI 225m 2m 6 1 5m 2m 1+++= ++ : phơng trình này vô nghiệm. m(C ) tiếp xúc trong với (C) mRR = OI 225m 2m 6 1 5m 2m 1++= ++ 25m 2m 6 3++= 25m + 2m 3 = 0 1m1=, 23m5=. Với m = 1 ta có đờng tròn 1(C ) : 22x y 4y50+=, tâm 1I(0, 2), 1R = 3. Với m = 35 ta có đờng tròn 2(C ) : 2216 12xy x y5055+ + =, tâm 286I,55, 2R = 3. 65085 www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 ________________________________________________________ Do 1285II5= < 12RR+ = 6 nên 1(C ) và 2(C ) cắt nhau (Hình 16). Suy ra 1(C ), 2(C ) chỉ có hai tiếp tuyến chung ngoài song song với 12II. Hai tiếp tuyến đó có phơng trình 2x y 3 5 2 0+ =. Câu IVb. 1) H là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC, 2) CH cắt AB tại điểm I. Trong SCI, kẻ IK SC, vì AB SC (do AB (SHC)), nên (ABK) SC, nói cách khác (P) = (ABK). Vì nICS là góc trong tam giác vuông SHC, nên nó là góc nhọn. Để K thuộc đoạn SC, nISC phải là góc nhọn, muốn vậy điều kiện cần và đủ là : 22 2 2 2 2IC SI SC 2SH IH HC<+ = + + hay 22223a a a2h4123<++ 22ah6> ah6>. Để tính IK, để ý rằng IC.SH = 2dt(SIC) = SC.IK 22IC.SH 3ahIKSC2a 3h==+. Từ đó suy ra diện tích tam giác ABK : 22213ahdt(ABK) AB.IK24a 3h==+. 2) Để hình chóp K.ABC có thể tích bằng 12 thể tích SABC, thì K phải là trung điểm của SC, mà IK SC, vậy IS = IC hay 32a4 = 22ah12+ h = 2a3. Khi đó các tam giác CAB và SAB bằng nhau, vậy SAB là tam giác đều : SA = SB = a. Đồng thời 222 2aSC h a3=+= SC = a. Vậy SABC là tứ diện đều, do đó hình cầu ngoại tiếp và hình cầu nội tiếp tứ diện có tâm trùng nhau. Câu Vb. Trớc hết ta hãy chứng minh rằng nếu a + b 0, m và n là hai số nguyên dơng thì m m n n mn mnababa b.22 2++++ +. Quả vậy, bất đẳng thức này tơng đơng với mmnn mnmn(a b )(a b ) 2(a b )+++++ hay mmnn0 (a b )(a b ) . (2) Các số a, b có vai trò nh nhau, vậy có thể coi rằng a b. 1) Nếu a b 0 thì với mọi số nguyên dơng k, ta có kkab, suy ra (2). www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 ________________________________________________________ 2) Giả sử b 0. Ta có a b, và đồng thời a + b 0, suy ra a - b, vậy a | b | , suy ra kkka|b|b, vậy (2) đúng Từ (1) suy ra 3355 88abab ab.22 2++ +. Nhân hai vế với (a b)2+ 0 và lại áp dụng (1) 3355 88 99aba ba b aba b a b .22 2 22 2++ + ++ + . f(x) có bảng biến thi nx- -- m -m+Ơf + 0 - 0 + 1-2 m -m+Ơf-Ơ1+2m -mĐể ý rằng f (-1 ) = -3 m > 0, f(0) = 1 > 0, vậy f(x) > 0 khix ẻ (-1 ; 0]. Muốn hệ. 1.0________________________________________________________________________________ a)53352x - x + 12 2x-x2+1Ê -1 x 2-2 x-2 0 x Ê 1-3 hoặc x 1+3.b)53532x - x + 12 2x-x2+1 1 0 Ê x Ê 2.Đáp số.0Ê x Ê 2 hoặcxÊ 1-3 hoặcx 1+3.Câu III.1)Phỷơng