ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN *** ĐOÀN VĂN LỚI MỘT SỐ BÀI TỐN TRÕ CHƠI CĨ NỘI DUNG TỐN HỌC LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội , Năm 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN *** ĐOÀN VĂN LỚI MỘT SỐ BÀI TỐN TRÕ CHƠI CĨ NỘI DUNG TỐN HỌC Chun ngành : Phương pháp toán sơ cấp Mã số : 60 46 40 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học : PGS.TS Tạ Duy Phượng Hà Nội , Năm 2012 MỤC LỤC Trang Mục lục…………………………………………………………… Lời nói đầu………………………………………………………… Chƣơng Giải số tốn trị chơi nhờ cơng cụ hệ đếm số 2…… …… §1 Hệ đếm số …………………… .… §2 Máy đọc ý nghĩ §3 Trị chơi Nim §4 Giải toán Tháp Hà Nội nhờ hệ đếm số 21 Chƣơng Giải số tốn trị chơi học nhờ cơng cụ mã Gray số 2…… 31 §1 Mã Gray số ……… ……………… 31 §2 Mã Gray, trò chơi Tháp Hà Nội trò chơi Hamilton đa 41 diện §3 Baguenaudier hay trò chơi tháo vòng Trung Hoa… …………… 48 Chƣơng Một số ví dụ tốn trị chơi 66 Kết luận…………………………………………………………… 74 Tài liệu tham khảo………………………………………………… 75 LỜI NĨI ĐẦU Trị chơi lí thuyết trị chơi có lịch sử phát triển lâu đời Nó nhiều nhà tốn học tiếng (L Euler, U Hamilton, E Lucas, ) nghiên cứu làm phong phú nội dung Nó nhiều chuyên gia trị chơi tốn học (E Lucas, H E Dudeney, W W Rouse Ball, M Gardner, ) phổ biến rộng rãi Nhiều lĩnh vực tốn học (Lí thuyết tập hợp, lí thuyết đồ thị, tốn tổ hợp, hệ đếm, tối ưu, ) phát triển gắn liền với lí thuyết trị chơi, đồng thời tốn học công cụ hữu hiệu để giải nhiều tốn trị chơi Với phát triển cơng nghệ thơng tin, tốn trị chơi thu hút quan tâm đặc biệt chuyên gia toán-tin học, nhiều tốn trị chơi giải nhờ cơng cụ máy tính, đồng thời tốn trị chơi thí dụ minh họa tốt xây dựng thuật tốn kĩ thuật lập trình Vào năm 50 kỉ trước, với đóng góp nhà toán học lớn (Von Neuman, J F Nash, R Isaacs, L S Pontriagin, N Krasovskii, ), lí thuyết trị chơi phát triển thành ngành toán học độc lập có nhiều ứng dụng thực tế (kinh tế, qn sự, cơng nghệ, ) Nhiều nhà tốn học giải thưởng Nobel đóng góp vào lí thuyết trị chơi ứng dụng lí thuyết kinh tế Có nhiều sách tiếng nước ngồi (tiếng Anh, tiếng Nga, tiếng Pháp, ) viết trị chơi có nội dung tốn học Tuy nhiên, sách tốn trị chơi Việt Nam nói chung cịn ít, đặc biệt tài liệu sâu tìm hiểu nội dung tốn học tốn trị chơi Luận văn Một số tốn trị chơi có nội dung tốn học có mục đích trình bày số tốn trị chơi có lời giải sử dụng cơng cụ tốn học, chủ yếu sử dụng hệ đếm số mã Gray số Luận văn gồm Phần mở đầu, ba Chương Tài liệu tham khảo Chương trình bày lời giải số tốn trị chơi nhờ cơng cụ hệ đếm số Chương trình bày lời giải số tốn trị chơi nhờ mã Gray số Chương tập hợp số ví dụ dạng tốn trị chơi Lý thuyết trị chơi có sở tốn học sâu sắc Nó liên quan đến nhiều kiến thức lí thuyết tốn học lí thuyết đồ thị (đồ thị liên thơng, đường đóng đồ thị, ), mơ hình cây, khơng gian trạng thái, lí thuyết tối ưu, độ phức tạp tính tốn, Chúng tơi khơng có tham vọng trình bày đầy đủ kiến thức sâu sắc lí thuyết trị chơi hay lí thuyết tốn học liên quan trị chơi xét khn khổ luận văn này, mà chúng tối cố gắng mơ tả lịch sử trị chơi trình bày lời giải chúng nhờ cơng cụ hệ đếm số Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình PGS.TS Tạ Duy Phượng, Viện Tốn học Em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc Thầy xin cám ơn Thầy cung cấp nhiều tài liệu đồng thời cho phép sử dụng thảo sách Thầy tốn Trị chơi Tơi xin cảm ơn khoa Toán, khoa Sau Đại học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho thực kế hoạch học tập Xin cảm ơn người thân, đồng nghiệp, bạn bè cổ vũ động viên tơi suốt q trình học cao học làm luận văn Hà Nội, 31.12.2011 Đoàn Văn Lới Chƣơng GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRÕ CHƠI NHỜ CƠNG CỤ HỆ ĐẾM CƠ SỐ §1 Hệ đếm số Cho p số tự nhiên Theo thuật tốn chia Euclid, số tự nhiên a biểu diễn dạng a  ak p k  ak 1 p k 1   a1 p  a0 p với hệ số nguyên   p  1, i  0, , k ; ak  Như vậy, chọn p làm số hệ đếm, số tự nhiên a biểu diễn dạng  ak ak 1a1a0  p hệ đếm số p Nếu p  10 ta có hệ đếm số 10 Do thói quen, lịch sử, truyền thống thuận tiện, hệ đếm số 10 sử dụng rộng rãi sống đại Hệ đếm định nghĩa hệ đếm theo vị trí, tức hệ số (được gọi chữ số a ) vị trí khác có giá trị khác (hàng “đơn vị”, “hàng chục”, “hàng trăm”, ) Bằng cách chia cho 2, số tự nhiên biểu diễn dạng tổng lũy thừa với hệ số Thí dụ, 2011  210  29  28  27  26  24  23  21  20 Như vậy, chọn làm số hệ đếm số 2, số tự nhiên có biểu diễn hệ đếm số Các chữ số (chỉ 1) hệ số phân tích số cho dạng lũy thừa Thí dụ, ta có, 201110 = 111110110112 =111110110112 Hệ đếm số sử dụng từ thời cổ đại, thí dụ, Kinh Dịch (Trung Hoa Hơn 2000 năm trước công nguyên) xây dựng dựa hai gạch (hai kí hiệu), gạch ngắn gạch dài, tương ứng với chữ số chữ số hệ đếm số Dưới quan hệ Kinh Dịch hệ đếm số (trong sách E Lucas, xem [13], trang 174) Mặc dầu vậy, với nhà toán học vĩ đại người Đức Leibnitz, hệ đếm số xây dựng cách hồn chỉnh Leibnitz nhìn thấy hệ đếm số biểu chân lí siêu hình sâu sắc Số Leibnitz biểu tượng không tồn tại, trống rỗng, số biểu tượng tồn hay vật chất Ông coi số quan trọng cần thiết số Đấng tạo hóa, vũ trụ tạo thành từ vật chất túy tách rời khỏi khoảng không trống rỗng, khoảng không không bị nhiễu loạn vũ trụ biểu tượng số Theo Leibnitz, thứ giới hình thành từ hai cực đối lập: tồn không tồn tại, số biểu diễn số số Từ thời Leibnitz cho tới gần đây, người ta thường coi hệ đếm số thứ kì lạ hấp dẫn, khơng có nhiều ý nghĩa thực tiễn Chỉ xuất máy tính điện tử, vai trò hệ đếm số xác lập Rất nhiều phận máy tính điện tử làm việc theo ngun lí “có-khơng” hay “0-1”: Dòng điện chạy theo dây dẫn, không; công tắc tắt, bật; cực nam châm bắc, nam; ô nhớ hai trạng thái chứa thông tin rỗng (không chứa thông tin) Điều cho phép xây dựng máy tính có khả xử lí liệu mã hóa hệ đếm số với tốc độ cực nhanh độ xác tuyệt đối Nhiều trị chơi giải nhờ công cụ hệ đếm số 2: trò chơi với “máy đọc ý nghĩ”, trò chơi Nim, trò chơi Tháp Hà Nội, Trong bài, mục tiếp theo, ta mơ tả trị chơi giải chúng công cụ hệ đếm số §2 Máy đọc ý nghĩ Xét trị chơi trang bị “máy đọc ý nghĩ”, tức ta có (một số) bảng lập sẵn, đóng vai trị máy phiên dịch số hệ đếm số 10 sang hệ đếm số Nhờ mà ta “đọc” người đối diện nghĩ số Thí dụ 2.1 Giả sử bạn chọn số khoảng từ đến 1000 Tơi hỏi bạn 10 câu hỏi, bạn có quyền trả lời “đúng” “sai” Dựa 10 câu trả lời bạn, khẳng định bạn chọn số Tại sao? Giải Các câu hỏi sau Câu thứ nhất: Lấy số chọn chia cho Hỏi phép chia có dư hay khơng? Nếu bạn trả lời “khơng” tơi viết số 0, cịn câu trả lời “có” viết chữ số Câu thứ hai: Lấy thương phép chia vừa chia cho Hỏi phép chia có dư hay khơng? Nếu câu trả lời “khơng” tơi viết số 0, cịn câu trả lời “có” tơi viết chữ số vào phía trước (về bên trái) số viết (chữ số chữ số 1) câu trả lời thứ Các câu hỏi tương tự: Lấy thương phép chia vừa xong chia cho Hỏi phép chia có dư khơng? Nếu câu trả lời “khơng” viết chữ số 0, cịn câu trả lời “có” viết chữ số trước số viết Sau 10 lần trả lời, ta nhận 10 chữ số gồm chữ số 1, chữ số chữ số Như vậy, hệ thống 10 câu hỏi cách chuyển biểu diễn số cho (dưới 1000) từ hệ đếm số 10 sang hệ đếm số Hơn nữa, 10 câu hỏi đủ, số từ đến 1000 viết dạng số hệ đếm số với không 10 chữ số ( 210  1024  100000000002 ) Vì số ban đầu chưa biết nên cần chuyển số nhận hệ đếm số sang hệ đếm số 10, ta khôi phục số ban đầu Thí dụ, sau 10 lần trả lời, ta nhận số 1010011010 Đổi số từ hệ đếm số sang hệ đếm số 10 theo định nghĩa ta 1010011010 2  667 Vậy số ban đầu bạn chọn 667 Kiểm tra lại: 667=333  2+1=(166  2+1)  2+1=((83  2)  2+1)  2+1 =(((41  2+1)  2)  2+1)  2+1=((((20  2+1)  2+1)  2)  2+1)  2+1 =(((((10  2)  2+1)  2+1)  2)  2+1)  2+1 =(((((5  2)  2+1)  2+1)  2)  2+1)  2+1 =((((((2  2+1)  2)  2+1)  2+1)  2)  2+1)  2+1 =(((((((1  2)  2+1)  2)  2+1)  2+1)  2)  2+1)  2+1 =29+27+24+23+2+1=(1010011010)2 §3 Trị chơi Nim 3.1 Giới thiệu trị chơi Nim Người Trung Quốc thời xưa có trị chơi gọi trò chơi Nim Nội dung trò chơi sau: Có ba đống sỏi, hai người chơi lấy số sỏi (khác 0) từ ba đống (và lần chơi lấy sỏi từ đống) Ai người nhặt viên sỏi cuối người thắng Có hay không chiến lược chơi để người trước thắng? Giải Các viên sỏi thay đồ vật khác, thí dụ, trẻ em thường dùng que diêm mảnh bìa, trò chơi gọi trò chơi ăn diêm Người lớn thường dùng đồng tiền xu đặt lên bàn quầy bar Dạng phổ biến trò chơi Nim trò chơi gồm 12 đồng xu đặt thành ba hàng với 3, 4, đồng xu Hình 3.1 hàng (Hình 3.1) Qui tắc chơi trò chơi Nim đơn giản: Hai người chơi nhặt đồng xu (ít đồng) từ hàng Người nhặt đồng xu cuối người thắng Cũng nêu qui tắc ngược lại: phải nhặt đồng xu cuối người thua Ta có số nhận xét đơn giản sau Nhận xét Nếu sau số lượt đi, lại hai hàng với số đồng xu đến lượt người chơi thứ hai người chơi thứ thắng (trong trò chơi với qui tắc người nhặt đồng xu cuối người thắng) Chứng minh Vì số đồng xu hai hàng nên đến lượt người chơi thứ hai, phải lấy số đồng xu từ hàng, số đồng xu hai hàng khác Nếu người thứ hai nhặt toàn xu hàng người thứ nhặt tồn xu hàng lại thắng Nếu sau người thứ hai mà cịn hai hàng người thứ chọn chiến lược: nhặt số đồng xu số đồng xu mà người chơi thứ hai nhặt, hàng khác Số đồng xu hai hàng lại Cứ tiếp tục vậy, đến lại hàng đồng xu Người thứ hai buộc phải nhặt đồng xu hàng, người thứ nhặt đồng xu cuối hàng cịn lại thắng 10 Theo cơng thức trên, S10  bước S60  10  1  682 bước; S25   226  1  22369621  3 60   1  768614336404564650 bước Một người tháo vòng nhanh với tốc độ 50 bước/phút, để tháo 25 vịng khoảng năm, ngày làm việc 10 Ta giả thiết lần chuyển vịng (đưa lên đơi bỏ khỏi đơi) Tuy nhiên, thao tác tháo vịng Mục 3.2, có vị trí mà ta làm với vòng Nếu vòng tính chuyển động, trị chơi vịng giải 31 bước thay 42 Cơng thức cho “con đường nhanh” giải cho trò chơi n vòng sau 2n1  bước n chẵn 2n1 bước n lẻ Với trò chơi vòng tỉ lệ chậm-nhanh 42 85  1,355 ; cho vòng  1,328 31 64 Tỉ lệ tiếp tục 1,338; 1,332; 1,334, N S Mendelsohn dãy hội tụ tới 3.3 Giải tốn tháo vịng Trung Hoa nhờ mã Gray Dưới lời giải sử dụng mã Gray hệ đếm số Louis Gros năm 1872, thực chất sử dụng mã Gray Giả sử vòng biểu diễn số gồm chữ số số (0 1): ứng với on, ứng với off Số 42 số 10 có mã Gray 111111 (xem Bảng 1.1) Nếu ta đặt biểu diễn ứng với vòng, số mã Gray từ 42 vòng vòng phải chuyển cho lời giải sau số tối thiểu bước chuyển! Với n vòng xác định số chuyển cần thiết, đơn giản viết n số mã Gray n đơn vị, đổi ngược lại vào hệ số nhận câu trả lời Trong trường hợp số 111111 mã Gray tương ứng vơi 101010 hệ đếm số 2, 42 hệ đếm số 64 10 Để tìm số theo công thức, ta sử dụng n1  , n chẵn   n1  n lẻ   Mỗi vị trí vịng gán cho số hệ đếm số số đường mà bước phải thêm vào hay tháo vòng Giả sử vòng kí hiệu khun trịn: Nếu vịng đơi, biểu diễn khun tròn nằm thanh, vòng đơi, biểu diễn khun trịn nằm bên que Thí dụ, Hình 3.2a biểu thị bảy vịng, hai vịng thứ nằm đơi, ba vịng nằm nó, vịng thứ đơi vịng thứ nằm đơi Hình 3.2a Hình 3.2b Hình 3.2c Các vịng nằm đơi tính từ trái sang phải gán cho chữ số chữ số luân phiên Vòng đơi gán cho chữ số trùng với chữ số vịng nằm đơi gần bên trái nó, chữ số khơng có vịng đơi nằm bên trái Như vậy, vị trí hình 3.2a mã hóa số 1101000 vì: Các vịng vị trí thứ nhất, thứ ba, thứ tư thứ năm (từ trái sang phải) gán chữ số luân phiên: 010 Vòng vị trí số nên gán chữ số 1, trùng với chữ số vòng vị trí số nằm gần bên trái; Các vịng vị trí số số nằm gán cho chữ số trùng với chữ số vòng vị trí thứ năm gần chúng nằm 65 Các số 1101001 1100111 ứng với Hình 3.2b Hình 3.2c tính tương tự Mặt khác, ta thấy rằng, vị trí Hình 3.2b nhận từ vị trí Hình 3.2a cách đặt vịng thứ bảy (bên phải cùng) lên đơi, có chữ số cuối bên phải thay chữ số (nằm chữ số trước vị trí thứ năm 0) Vị trí biểu thị Hình 3.2c nhận từ Hình 3.2a cách bỏ vòng thứ tư khỏi đơi Do chữ số ứng với vịng thay đổi thành 1 Chữ số vịng thứ hai khơng đổi (là 1), chữ số vòng thứ tư đổi thành (trùng với chữ số vịng vị trí thứ ba, nằm thanh, 0) Chữ số vòng thứ thứ (trùng với chữ số vòng vị trí thứ năm, nằm thanh, 1) Vậy số tương ứng với vị trí vịng hình 3.2c 1100111 Như vậy, vị trí vịng kí hiệu số hệ đếm số Hơn nữa, từ trái sang phải vịng đơi cho thay đổi (nghĩa là, thành thành 1) vịng nằm ngồi đơi cho biết, theo vịng lấy đặt lại lên que (bỏ đơn vị từ số trước số thêm đơn vị vào số trước số đó) Thí dụ, vị trí vịng Hình 3.2b nhận từ vị trí vịng Hình 3.2a cách đưa vịng (số 7) lên đơi, tương ứng số 1101001 (ứng với vị trí 3.2b) nhận từ số 1101000 (ứng với vị trí 3.2a) cách cộng thêm Tương tự, vị trí vịng Hình 3.2c nhận vị trí vịng Hình 3.2a cách tháo vịng số khỏi đơi, tương ứng số 1100111 (Hình 3.2c) nhận từ số 1101000 cách bớt Theo qui tắc trên, vị trí tất vịng nằm ngồi đơi kí hiệu 0000000, vị trí tất vịng nằm que kí hiệu 1010101 Bởi thay đổi từ vị trí tới vị trí khác địi hỏi số bước hiệu số hai số hệ đếm số Số số số 0; số cuối 10101012  26  0.25  1.24  0.23  1.22  0.2   85 Do cần 85 bước 66 22 n   Tương tự, để tháo xong 2n  vòng cấn     bước; Để tháo xong 2n vịng cấn    n1 2n 22 n1  bước  Dưới bẳng mô tả bước cần thiết để lấy vòng từ tập hợp vòng Bắt đầu từ 10101 biểu thị vịng nằm đơi Biểu đồ cột vị trí vòng sau bước Số bên phải biểu đồ vị trí vịng, số nhận từ số nhờ cộng thêm Hai bước nằm ngoặc làm chuyển động, cần bước thay 10 bước Điều phù hợp với công thức nêu “lời giải nhanh” “lời giải chậm” Tương tư, ta xây dựng lời giải chậm lời giải nhanh cho trò chơi tháo vòng Trung Hoa với vòng nhờ mã Gray 67 CHƢƠNG III MỘT SỐ VÍ DỤ TỐN TRÕ CHƠI Chương tập hợp số ví dụ dạng tốn trị chơi thường gặp kì thi vơ địch Quốc gia Quốc tế Dạng tốn Bốc kẹo, bốc sỏi Ví dụ Trên bàn có đống kẹo gồm 2011 2012 viên kẹo người chơi trò chơi Họ bốc số kẹo từ đống người bốc viên kẹo cuối bàn người thắng Giải Để chiến thắng trạng thái số kẹo bàn đống (0; 0), hai đống cân Và trạng thái bàn (2011; 2012) ta tìm chiến thuật mà người thắng tạo trạng thái a , đối thủ phá vỡ trạng thái người thắng lại đưa trạng thái a Như nói trạng thái thắng đống (0; 0) cân nhau, người thứ bốc viên để trạng thái số kẹo bàn (2011; 2011), đến lượt người thứ hai bốc dĩ nhiên trạng thái cân phá vỡ Sau người thứ đưa số kẹo đống Vậy người thứ hai bốc số kẹo đống không nên chắn phải thua Tương tự số kẹo ban đầu bàn hai đống người thứ hai người có chiến thuật thắng Ví dụ Trên bàn có 100 viên kẹo người chơi bốc (1;2;k) viên kẹo Hai người bốc kẹo, người bốc viên kẹo cuối người thua Giải Ban đầu có 100 viên kẹo người thứ đảm bảo “an tồn” cho tránh bị thua cách bốc để lại 99 viên số lẻ Sau người thứ hai bốc người thứ ln có chiến thuật để bốc cho số kẹo sau bốc số lẻ nên khơng thể thua Vai trị k tốn mang tính chất phụ họa với tốn sau tốn trở lên khác hẳn khó nhiều 68 Ví dụ Cho 2011 viên kẹo bàn Hai người chơi trò chơi họ bốc số kẹo (1;2;6) Hỏi người có chiến thuật thắng Giải Thật toán sử dụng phương pháp đại lượng bất biến, tự dưng ta tìm cách giải bất ngờ Với toán này, cách giải “khơng hay” “hiệu quả” giải khơng thể tìm đại lượng bất biến đâu Bài ban đầu ta không 2011 viên kẹo mà bắt đầu với số kẹo nhỏ Giả sử ban đầu bàn có n viên kẹo Nếu n  1,2 rõ ràng người thứ có chiến thuật thắng (ta gọi đơn giản “người thứ thắng”) Với n =3 người thứ hai thắng người thứ bốc viên tương ứng với người thứ hai bốc viên để thắng Với n = người thứ thắng cách bốc viên kẹo đẩy người thứ hai vào thua Tương tự với n = người thứ thắng Với n = người thứ hai thắng ba cách bốc người thứ (1, 2, 6) dẫn đến thắng cho người thứ hai (tương ứng 6, 5, viên kẹo bàn) Với n = người thứ thắng… Bằng cách lý luận tương tự ta có bảng sau: n 10 11 12 13 14 15 16 17 KQ 1 1 1 1 1 Từ kết bảng ta dự đốn người thứ thắng n có số dư 1, 2, 4, 5, phép chia cho 7, người thứ hai thắng n có số dư 0, phép chia cho Sau dự đốn tìm cách chứng minh chặt chẽ dự đốn ình quy nạp tốn học Đặt n  7k  r với r = 1, 2, … 6, ta chứng minh dự đoán quy nạp kẹo k Với k  , mệnh đề kiểm chứng qua bảng Xét n   k  1  r với r = 0,1, ,6 69 Nếu r = 1, 2, người thứ bốc 1, 2, viên để đưa trường hợp bàn 7k  viên kẹo thua cho người thứ hai theo giả thiết quy nạp người thứ thắng Nếu r = người thứ có cách bốc + Bốc viên, 7k  viên thắng cho người thứ hai (như ta vừa chứng minh trên) + Bốc viên,  k  1  viên thắng cho người thứ hai (theo chứng minh trên) + Bốc viên, 7k  viên thắng cho người thứ hai (theo quy nạp) Như trường hợp người thứ thua Nếu r = 4, 5, người thứ bốc tương ứng 1, viên để đưa trường hợp n   k  1  thua cho người thứ hai người thứ thắng Cuối cùng, trường hợp r = 7, người thứ có cách bốc + Bốc viên,  k  1  thắng cho người thứ hai, (chứng minh trên) + Bốc viên,  k  1  thắng cho người thứ hai (chứng minh trên) Vậy trường hợp người thứ thua Như dự đoán ta chứng minh hoàn toàn 2011 chia cho dư nên theo lí luận người thứ có chiến thuật thắng Ví dụ Trên bàn có đống kẹo gồm 2010 2011 kẹo, người bốc kẹo cho chọn đống bốc họ phải bốc số kẹo ước đống Ai người bốc viên kẹo cuối người thắng Giải Người thứ bốc kẹo đống 2010 số kẹo bên số lẻ Do dù người thứ hai bốc số kẹo bên khác tính chẵn lẻ Và người thứ tiếp tục bốc kẹo đống chẵn đưa trạng thái (lẻ; lẻ) Như sau người thứ bốc khơng có đống hết Do phải đến thời điểm người thứ hai bốc hết số kẹo đống người thứ việc bốc số kẹo lại đống lại chiến thắng 70 Ở lại đến với đại lượng bất biến chẵn lẻ ta tổng qt tốn với đống kẹo chẵn lẻ Các bạn dựa vào để giải toán với đống kẹo  4k  2;4l  2 Ví dụ Có 2010 viên sỏi Hai người chơi thay phiên bốc sỏi, lượt người chơi quyền bốc lượng sỏi luỹ thừa với số mũ tự nhiên (1; 2; 3;…) Ai bốc viên sỏi cuối người chiến thắng Giả sử người chơi người thông minh Hỏi người chiến thắng Giải Ta có 2010 chia hết cho để ý số kẹo sau số lần bốc bơi 6, 12, 18, 24 người thứ ln thắng người thứ bốc số kẹo cho tổng số kẹo người thứ người thứ sau lượt bội sau số lần bốc số kẹo lại bội “nhỏ” tức nằm số 24, 18, 12, Vậy người thứ hai có chiến thắng Nếu người thứ bốc số kẹo luỹ thừa chẵn chả người thứ bốc số kẹo luỹ thừa lẻ (hoặc ngược lại) để bảo toàn số kẹo bội Dạng toán Viết số, tơ mầu Ví dụ Hai người chơi trị chơi Ban đầu bảng có số 1, 2, 3, Mỗi lần thực người thứ cộng vào số cạnh đơn vị, người thứ hai đổi chỗ số cạnh Hai người thay phiên thực hiện, số người thứ thắng Hỏi người thứ hai có cách ngăn người thứ thắng hay không? Giải Câu trả lời người thứ hai ngăn cản người thứ chiến thắng Ta thấy sau thao tác người thứ thực khoảng cách số lớn số nhỏ thấp Và số nhỏ chắn phải số (có thể sau lần đầu nâng lên 2), số lớn (có thể nâng lên 5) người thứ hai cần để số số cạnh số 1, lần sau dịch chuyển số vị trí cịn lại tráo đổi cho khoảng cách số đầu chênh đơn vị chúng tăng số lớn tăng lên khơng thể 71 Ví dụ Trên bảng có số Hai người chơi trị chơi, bảng có số n người xoá số viết vào số n + d với d ước n bé n Ai người viết lên bảng số lớn 2011 trước người thua Hỏi người có chiến thuật thắng Giải Đầu tiên bảng có số người thứ việc cộng thêm vào số để số lẻ Do sau người thứ hai thực bảng cịn lại số chẵn Cứ sau người thứ hai thực số bảng đạt đến 2011 người thứ viết vào số n + nên số khơng thể 2011 người thứ chiến thắng Ví dụ Hai người chơi trị chơi tơ màu lên bảng hình chữ nhật m x n Đánh số cột từ đến m hàng từ đến n Hai người thay phiên tô màu ô lượt tơ người họ không tô ô hàng, cột đường chéo với ô người tô liền trước Hai người dùng màu trắng đen Giả sử họ ln tơ kín bảng Nếu sau tơ, tồn hình vng x thuộc hình chữ nhật có số ô trắng lẻ người thứ thắng Hỏi người thứ hai có ngăn người thứ thắng khơng? Giải Trong ví dụ người thứ thắng Chú ý người thứ lần đầu tơ (1;1) người thứ tơ đỉnh hình chữ nhật Và điều thật thú vị dựa vào ô đỉnh người thứ thắng khơng cần quan tâm đến cách tô ô khác Thật người thứ tô ô đỉnh có màu trắng àu đen ln tồn hình vng thoả mãn đề Ý tưởng rõ ràng ta phản chứng giả sử tất ô x có số chẵn màu trắng Đánh số cột đến m hàng đến n Xét ô (l; i) (tức hàng cột i) (1; i + 1) tổng số ô trắng ô với ô (2; i) 2; i + 1) số chẵn, ô (2; i) + 2; i + 1) + (3; i) + (3; i+1) số 72 chẵn nên suy (1; i) + (1; i + 1) + (3; i) + (3; i+1) số chẵn ta suy ra: (1; i) + (1; i + 1) + (n; i) + (n; i+1) số chẵn Xét đỉnh màu trắng nằ cột với bên cạnh có tổng số trắng số chẵn suy ô cạnh ô màu, tiếp tục ô cạnh lại màu, … dẫn đến ô cuối hàng màu, điều vơ lý trắng đen Bài toán thú vị chỗ khơng cần q trình định mang tính chất bất biến toán mà cần quan tâm đến vài vị trí đặc biệt định Trên thực tế suy nghĩ tìm lời giải cho cách tô từ giả thiết điều khó Dạng tốn Một vài tốn đề thi vơ địch Ví dụ ( Đề thi vô địch Nam Tư năm 1975, Đề thi vô địch nước trang 56) Trong hội nghị nọ, người quen khơng có người quen chung, cịn người khơng quen có người quen chung Chứng minh hội tất người có số người quen Giải Trước hết ta chứng minh hai người quen có số người quen Thật vậy, giả sử A B quen nhau, A1, A2,…,An tất người quen A khác với B Khi theo điều kiện tốn khơng có hai người B, A1, A2,…,An quen lẫn Xét A1, A1 khơng quen B, nên có với B hai người quen chung A ví dụ B1 Vì A B1 khơng quen nên ngồi B A1 họ khơng cịn người quen nữa, có nghĩa B không quen với A2,…,An Tương tự ta tìm B2 người quen chung A2 B (khác với B1, B1 khơng quen A2)… Như tất người quen A (khác B) tương ứng với người quen B (khác A), có nghĩa số người quen A không vượt số người quen B Tương tự ta chứng minh số người quen B không vượt số người quen A Vì A B có số người quen 73 Mặt khác, C D khơng quen họ có chung người quen E Khi theo chứng minh C E có số người quen, E D Suy C D có số người quen, trùng với số người quen E Ví dụ 10 (Đề thi vơ địch Rumani năm 1978, sách Đề thi vô địch số nước) Trong hội, tập trung chàng trai gái Biết chọn nhóm chàng trai số gái quen với chàng trai từ nhóm này, khơng nhỏ số chàng trai nhóm Chứng minh rằng: Tất chàng trai lúc nhảy đơi với gái mà quen Giải Ta giải toán, qui nạp theo n số chàng trai Với n=1, khẳng định suy từ: với chàng trai định tìm gái quen Giả sử khẳng định chứng minh với số nhỏ n Ta chứng minh với n Xét hai trường hợp: 1) Tìm nhóm A từ k < n chàng trai cho tổng số cô gái quen với họ k Giả sử chàng trai nhảy với gái ( điều kiện theo giả thiết qui nạp) Khi số cịn lại chàng trai gái điều kiện toán thực Thật vậy, có nhóm B từ Y chàng tai khơng thuộc nhóm A, chàng trai thuộc hợp hai nhóm A B có khơng i+k gái quen chàng trai nhóm A quen với không nhiều k cô gái Như vậy, i chàng trai thuộc nhóm B quen với i gái cịn lại theo giả thiết qui nạp, chàng trai khơng thuộc nhóm A nhảy với cô gái quen 2) Ở nhóm với k (k