CHUN ĐỀ: GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH A) TĨM TẮT LÝ THUYẾT Bước 1: Lập phương trình hệ ohương trình: a) Chọn ẩn đặt điều kiện cho ẩn b) Biểu diễn đại lượng chưa biết thông qua ẩn địa lượng biết c) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ đại lượng Bước 2: Giải phương trình Bước 3: Đối chiếu nghiệm pt, hệ phương trình (nếu có) với điều kiện ẩn số để trả lời Chú ý: Tuỳ tập cụ thể mà ta lập phương trình bậc ẩn, hệ phương trình hay phương trình bậc hai Khi đặt diều kiện cho ẩn ta phải dựa vào nội dung toán v nhng kin thc thc t B) Các dạng toán + + + + + Dạng 1: Toán quan hệ số Nững kiến thức cần nhớ: Biểu diễn sè cã hai ch÷ sè : ab  10a b ( v�i00 Vận tốc lúc sau ô tô x+10 (km/h) 240 (giờ) x 280 Thời gian ô tô hết quảng đờng đầu (giờ) x 10 Thời gian ô tô hết quảng đờng đầu Vì thời gian ô tô hết quảng đờng nên ta có phơng trình 240 280 x2  55x  300  x x  10   b2  4ac  (55)2  4.(300)  4225  �   4225  65 55 65 55 65  60(TMDK );x2   5(loai) Ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm x1  2 VËy vËn tốc ban đầu ô tô 60 km/h Bài tập: Một ô tô khởi hành từ A với vËn tèc 50 km/h Qua giê 15 « tô thứ hai khởi hành từ A híng víi « t« thø nhÊt víi vËn tèc 40 km/h Hỏi sau ô tô gặp nhau, điểm gặp cách A km? Một ca nô xuôi dòng 50 km ngợc dòng 30 km Biết thời gian xuôi dòng lâu thời gian ngợc dòng 30 phút vận tốc xuôi dòng lớn vận tốc ngợc dòng km/h Tính vận tốc lúc xuôi dòng? Hai ô tô khởi hành lúc từ A đến B cách 150 km Biết vận tốc « t« thø nhÊt lín h¬n vËn tèc « t« thứ hai 10 km/h ô tô thứ đến B trớc ô tô thứ hai 30 phút Tính vânl tốc ô tô Một thuyền dòng sông dài 50 km Tổng thời gian xuôi dòng ngợc dòng 10 TÝnh vËn tèc thùc cđa thun biÕt r»ng mét bè thả phải 10 xuôi hết dòng sông Một ngời xe đạp từ A đến B cách 108 km Cùng lúc ô tô khởi hành từ B đến A với vận tốc vận tốc xe đạp 18 km/h Sau hai xe gặp xe đạp phải mÊt giê n÷a míi tíi B TÝnh vËn tèc xe? Một ca nô xuôi dòng từ A đến B cách 100 km Cùng lúc bè nứa trôi tự từ A đến B Ca nô đến B quay lại A ngay, thời gian xuôi dòng ngợc dòng hết 15 Trên đờng ca nô ngợc A gặp bè nứa điểm cách A 50 km Tìm vận tốc riêng ca nô vận tốc dòng nớc? Đáp án: (gi) 20 km/h Vận tèc cña « t« thø nhÊt 60 km/h VËn tèc cña « tô thứ hai 50 km/h 25 km/h Vận tốc ca nô 15 km/h Vận tốc dòng nớc km/h Dạng 3: Toán làm chung công việc Những kiến thức cần nhớ: - Nếu đội làm xong công việc x ngày đội làm đợc công việc x - Xem toàn công việc Ví dụ 1: Hai ngời thợ làm công việc 16 xong Nếu ngời thứ làm giờ, ngời thứ hai làm hoàn thành đợc 25% công việc Hỏi làm riêng ngời hoàn thành công việc bao lâu? Giải: Ta có 25%= Gäi thêi gian mét m×nh ngêi thứ hoàn thành công việc x(x > 0; giờ) Gọi thời gian ngời thứ hai hoàn thành công việc y(y > 0; giờ) Trong ngời thứ làm đợc Trong ngời thứ hai làm đợc công việc x công việc y Hai ngời làm xong 16 Vậy hai ngời làm đợc công việc 16 Ta có phơng trình: 1   (1) x y 16 Ngêi thø nhÊt lµm giê, ngêi thø hai lµm 25%= công việc Ta có phơng trình   (2) x y �1 1 �3 3 �1 1 �x  y  16 �x  y  16 �x  y  16 � � � �� Từ (1) (2) ta có hệ phơng trình � �3   �3   �3  � � � �x y �x y �y 16 x  24 � �� (tho�m� n� i� u ki� n) y  48 Vy làm riêng ngời thứ hoàn thành công việc 24 Ngời thứ hai hoàn thành công việc 48 Ví dụ 2: Hai thợ đào mơng sau 2giờ 55 phút xong việc Nếu họ làm riêng đội hoàn thành công việc nhanh đội Hỏi làm riêng đội phải làm xong công việc? Giải : Gọi thời gian đội làm xong công việc x (x > 0; giờ) Gọi thời gian đội làm xong công việc x + (giê) c� ng vi� c x c ng vi c Mỗi đội làm đợc x Mỗi đội làm đợc Vì hai đội sau 55 phút = 11 35  (giê) xong 12 12 12 c«ng viÖc 35 1 12   � 35x  70  35  12x2  24x Theo bµi ta có phơng trình x x 35 2 � 12x  46x  70  � 6x  23x  35  Trong giê hai đội làm đợc Ta có (23)2  4.6.(35)  529  840  1369  �   1369  37 23 37 23 37 V� y ph� � ng tr� nh c�hai nghi� m x1   5(thoa m� n); x2   2(lo� i) 12 12 Vậy đội thứ hoàn thành công việc Đội hai hoàn thành công việc giê Chó ý: + NÕu cã hai ®èi tợng làm công việc biết thời gian đại lợng hơn, đại lợng ta nên chọn ẩn đa phơng trình bậc hai + Nếu thời gian hai đại lợng không phụ thuộc vào ta nên chọn hai ẩn làm thời gian hai đội đa dạng hệ phơng trình để giải Ví dụ 3: Hai ngời thợ sơn cửa cho nhà ngµy xong viƯc NÕu ngêi thø nhÊt lµm ngµy råi nghØ ngêi thø hai lµm tiÕp ngày xong việc Hỏi ngời làm xong công việc? Giải: Gọi thời gian để ngời thứ hoàn thành công việc x (x>2; ngày) Gọi thời gian để ngời thứ hai hoàn thành công việc y (x>2; ngµy) Trong mét ngµy ngêi thø nhÊt lµm đợc công việc x Trong ngày ngời thứ hai làm đợc y công việc Cả hai ngời làm xong ngày nên ngày hai ngời làm đợc công việc Từ ta có pt 1 + y = (1) x Ngêi thø nhÊt lµm ngµy råi ngời thứ hai làm ngày xong công viÖc ta cã pt:   (2) x y �1 1 �1 1 �x  y  �   x6 � �x y � �� �� (tho�m� n� k) Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ pt � y  3 � �  1 �  � � x y �x � VËy ngêi thø nhÊt làm xong công việc ngày Ngời thứ hai làm xong công việc ngày Bài tâp: Hai ngời thợ làm công việc xong 18 Nếu ngời thứ nhÊt lµm giê, ngêi thø hai lµm đợc 1/3 công việc Hỏi ngời làm xong công việc? Để hoàn thành công việc hai tổ phải làm Sau làm chung tổ hai đợc điều làm việc khác Tổ đà hoàn thành công việc lại 10 Hỏi tổ làm riêng thhì xong công việc đó? Hai đội công nhân đào mơng Nếu họ làm ngày xong công việc Nếu làm riêng đội haihoàn thành công việc nhanh đội ngày Hỏi làm riêng đội phải làm ngày để xong công việc? Hai bình rỗng giống có dung tích 375 lít ậ binmhf có vòi nớc chảy vào dung lợng nớc chảy nh Ngời ta mở cho hai vòi chảy vào bình nhng sau khoá vòi thứ hai lại sau 45 phút tiếp tục mở lại Để hai bình đầy lúc ngời ta phải tăng dung lợng vòi thứ hai thêm 25 lít/giờ Tính xem vòi thứ chảy đợc lít nớc Kết quả: 1) Ngời thứ làm 54 Ngời thứ hai làm 27 2) Tổ thứ làm 10 Tổ thứ hai làm 15 3) Đội thứ làm ngày Đội thứ hai làm ngày 4) Mỗi vòi thứ chảy đợc 75 lít Dạng 4: Toán có nội dung hình học: Kiến thức cần nhớ: - Diện tích hình chữ nhật S = x.y ( xlà chiều rộng; y chiều dài) - Diện tích tam giác S  x.y ( x chiều cao, y cạnh đáy tương ứng) - Độ dài cạnh huyền : c2 = a2 + b2 (c cạnh huyền; a,b cạnh góc vng) - Số đường chéo đa giác n(n  3) (n số đỉnh) Ví dụ 1: Tính kích thước hình chữ nhật có diện tích 40 cm2 , biết tăng kích thước thêm cm diện tích tăng thêm 48 cm2 Giải: Gọi kích thước hình chữ nhật x y (cm; x, y > 0) Diện tích hình chữ nhật lúc đầu x.y (cm2) Theo ta có pt x.y = 40 (1) Khi tăng chiều thêm cm diện tích hình chữ nhật Theo ta có pt (x + 3)(y + 3) – xy = 48  3x + 3y + = 48 x + y = 13(2) Từ (1) (2) suy x y nghiệm pt X2 – 13 X + 40 = Ta có   (13)2  4.40   �   Phương trình có hai nghiệm X  13 13  8;X  5 2 Vậy kích thước hình chữ nhật (cm) (cm) Ví dụ 2: Cạnh huyền tam giác vuông m Hai cạnh góc vng 1m Tính cạnh góc vng tam giác? Giải: Gọi cạnh góc vng thứ x (m) (5 > x > 0) Cạnh góc vng thứ hai x + (m) Vì cạnh huyền 5m nên theo định lý pi – ta – go ta có phương trình x2 + (x + 1)2 = 52 � 2x2  2x  24 � x2  x  12    12  4.(12)  49 �   Ph� � ng tr� nh co hai nghi� m phan bi� t 1 1 x1   3(tho�m� n);x2   4(lo� i) 2 Vậy kích thước cạnh góc vng tam giác vng m m Bài tâp : Bài 1: Một hình chữ nhật có đường chéo 13 m, chiều dài chiều rộng m Tính diện tích hình chữ nhật đó? Bài 2: Một ruộng hình chữ nhật có chu vi 250 m Tính diện tích ruộng biết chiều dài giảm lần chiều rộng tăng lần chu vi ruộng không thay đổi Bài 3: Một đa giác lồi có tất 35 đường chéo Hỏi đa giác có đỉnh? Bài 4: Một sân hình tam giác có diện tích 180 m2 Tính cạnh đáy sân biết tăng cạnh đáy m giảm chiều cao tương ứng m diện tích khơng đổi? Bài 5: Một miếng đất hình thang cân có chiều cao 35 m hai đáy 30 m 50 m người ta làm hai đoạn đường có chiều rộng Các tim đừng đường trung bình hình thang đoạn thẳng nối hai trung điểm hai đáy Tính chiều rộng đoạn đường biết diện tích phần làm đường diện tích hình thang Đáp số: Bài 1: Diện tích hình chữ nhật 60 m2 Bài 2: Diện tích hình chữ nhật 3750 m2 Bài 3: Đa giác có 10 đỉnh Bài 4: Cạnh đày tam giác 36 m Bài 5: Chiều rộng đoạn đường m Dng 5: Toán dân số, lÃi suất, tăng trởng Những kiến thức cần nhớ : + x% = x 100 + Dân số tỉnh A năm ngoái a, tỷ lệ gia tăng dân số x% dân số năm tỉnh A a  a x 100 S�d� n n� m sau l�(a+a x x x )  (a+a ) 100 100 100 10 Ví dụ 1: Bài 42 – SGK tr 58 Gọi lãi suất cho vay x (%),đk: x > Tiền lãi suất sau năm 2000000 x  20000 (đồng) 100 Sau năm vốn lẫn lãi 200000 + 20000 x (đồng) Riêng tiền lãi năm thứ hai (2000000 20000x ) x  20000x  200x 2(� � ng) 100 Số tiến sau hai năm Bác Thời phải trả 2000000 +20000x + 20000x + 200x2 (đồng) 200x2 + 40000x +2000000 (đồng) Theo ta có phương trình 200x2 + 40 000x + 2000000 = 2420000  x2 + 200x – 2100 = Giải phương trình ta x1 = 10 (thoả mãn); x2 = -210 (không thoả mãn) Vậy lãi suất cho vay 10 % năm Ví dụ 2: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm thời gian định Do áp dụng kỹ thuật nên tổ I sản xuất vượt mức kế hoạch 18% tổ II vượt mức 21% Vì thời gian quy định họ hồn thành vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm giao tổ Giải Gọi x số sản phẩm tổ I hoàn thành theo kế hoạch (sản phẩm), đk < x < 600 Số sản phẩm tổ II hoàn thành theo kế hoạch 600 – x (sản phẩm) 18 (sản phẩm) 100 21 Số sản phẩm vượt mức tổ II (600 x ) (sản phẩm) 100 Số sản phẩm vượt mức tổ I x Vì số sản phẩm vượt mức kế hoạch hai tổ 120 sản phẩm ta có pt 18x 21(600  x )   120  x = 20 (thoả mãn yêu cầu toán) 100 100 Vậy số sản phẩm theo kế hoạch tổ I 200 (sản phẩm) Vậy số sản phẩm theo kế hoạch tổ II 400 (sản phẩm) Bài tập: Bài 1: Dân số thành phố Hà Nội sau năm tăng từ 200000 lên 2048288 người Tính xem hàng năm trung bình dân số tăng phần trăm Bài 2: Bác An vay 10 000 000 đồng ngân hàng để làm kinh tế Trong năm đầu bác chưa trả nên số tiền lãi năm đầu chuyển thành vốn để tính lãi năm sau Sau năm bác An phải trả 11 881 000 đồng Hỏi lãi suất cho vay phần trăm năm? Bài 3: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 1000 sản phẩm thời gian dự định Do áp dụng kỹ thuật nên tổ I vượt mức kế hoạch 15% tổ hai vượt mức 17% Vì thời gian quy định hai tổ sản xuất tất 1162 sản phẩm Hỏi số sản phẩm tổ bao nhiêu? 11 Kết quả: Bài 1: Trung bình dân số tăng 1,2% Bài 2: Lãi suất cho vay 9% năm Bài 3: Tổ I giao 400 sản phẩm Tổ II giao 600 sản phẩm Dạng 6: Các dạng toán khác Những kiến thức cần nhớ : m (V l�th�tich dung dich; m l�kh� i l� � ng; D l�kh� i l� � ng ri� ng) D Kh� i l� � ng ch� t tan - Khối lượng nồng độ dung dịch = Kh�il��ng dung m�i(m t�ng) - V Ví dụ : (Bài trang 59 SGK) Gọi trọng lượng nước dung dịch trước đổ thêm nước x (g) đk x > Nồng độ muối dung dịch 40 % x  40 Nếu đổ thêm 200g nước vào dung dịch trọng lượng dung dịch là: Vì nồng độ giảm 10% nên ta có phương trình 40 % x  240 40 40 10   � x2  280x  70400  x  40 x  240 100 Giải pt ta x1 = -440 ( loại); x2 = 160 (thoả mãn đk toán) Vậy trước đổ thêm nước dung dịch có 160 g nước Ví dụ 2: Người ta trộn 8g chất lỏng với 6g chất lỏng khác có khối lượng riêng nhỏ 0,2g/cm3 để hỗn hợp có khối lượng riêng 0,7g/cm3 Tìm khối lượng riêng chất lỏng Giải Gọi khối lượng riêng chất lỏng thứ x (g/cm3) Đk x > 0,2 Khối lượng riêng chất lỏng thứ x – 0,2 (g/cm3) (cm3 ) x Thể tích chất lỏng thứ hai x  0, (cm ) Thể tích hỗn hợp x  x  0, (cm ) Thể tích chất lỏng thứ 14 Theo ta có pt x  x  0,  0, � 14x  12, 6x  1,12  Giải pt ta kết x1 = 0,1 (loại) ; x2 = 0,8 (t/m đk) Vậy khối lượng riêng chất lỏng thứ 0,8 (g/cm3) 12 Khối lượng riêng chất lỏng thứ hai 0,6 (g/cm3) Bài tập: Bài 1: Một phịng họp có 240 ghế xếp thành dãy có số ghế Nếu dãy bớt ghế phải xếp thêm 20 dãy hết số ghế Hỏi phòng họp lúc đầu xếp thành dãy ghế Bài 2: Hai giá sách có 400 Nếu chuyển từ giá thứ sang giá thứ hai 30 số sách giá thứ số sách ngăn thứ hai Tính số sách ban đầu ngăn? Bài 3: Người ta trồng 35 dừa đất hình chữ nhật có chiều dài 30 m chiều rộng 20 m thành hàng song song cách theo hai chiều Hàng trồng biên đất Hãy tính khoảng cách hai hàng liên tiếp? Bài 4: Hai người nông dân mang 100 trứng chợ bán Số trứng hai người không số tiền thu hai người lại Một người nói với người kia: “ Nếu số trứng tơi số trứng anh tơi bán 15 đồng ” Người nói “ Nếu số trứng số trứmg anh bán đồng thôi” Hỏi người có trứng? Bài 5: Một hợp kim gồm đồng kẽm có gam kẽm Nếu thêm 15 gam kẽm vào hợp kim hợp kim mà lượng đồng giảm so với lúc đầu 30% Tìm khối lượng ban đầu hợp kim? Kết quả: Bài 1: Có 60 dãy ghế Bài 2: Giá thứ có 180 Giá thứ hai có 220 Bài 3: Khoảng cách hai hàng 5m Bài 4: Người thứ có 40 Người thứ hai có 60 Bài 5: 25 gam 10 gam 13